GESTAR IIPROGRAMA GESTO DA APRENDIZAGEM ESCOLARGESTAR IIPROGRAMA GESTO DA APRENDIZAGEM ESCOLARMinistri da o EducaoPresidncia Repblica Ministrio Educao Secretaria Executiva Secretaria de Bsicada daEducaoPROGRAMA GESTO DA APRENDIZAGEM ESCOLAR GESTAR IIFORMAO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS ANOS/SRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTALMATEMTICACADERNO DE TEORIA E PRTICA 1MATEMTICA IMPOSTOS NA ALIMENTAO E NOSDiretoria de Polticas de Formao, Materiais Didticos e de Tecnologias para a Educao Bsica Coordenao Geral de Formao de ProfessoresPrograma Gesto da Aprendizagem Escolar - Gestar IIMatemtica OrganizadorCristiano Muniz AlbertoGuias e Manuais AutoresElciene de Oliveira Diniz Barbosa Especializao em Lngua Portuguesa Universidade Salgado Oliveira/UNIVERSO deAutoresAna Lcia Braz Dias - TP2, TP3 e TP5 Doutora em Matemtica Universidade de Indiana Celso de Oliveira Faria - TP2, TP4, TP5, AAA1, AAA2 e AAA3 Mestre em Educao Universidade Federal de Gois/UFG Cristiano Alberto Muniz - TP1 e TP4 Doutor em Cincia da Educao Universidade Paris XIII Professor Adjunto - Educao Matemtica Universidade de Braslia/UnB Nilza Eigenheer Bertoni - TP1, TP3, TP4, TP5 e TP6 em Matemtica Mestre Universidade de Braslia/UnB Regina da Silva Pina Neves - AAA4, AAA5 e AAA6 em Educao Mestre Universidade de Braslia/UnB Sinval Braga de Freitas TP6 em Matemtica Mestre Universidade de Braslia/UnBLcia Helena Cavasin Zabotto Pulino Doutora em Filosofia Universidade Estadual de Campinas/UNICAMP Professora Adjunta - Instituto de Psicologia Universidade de Braslia/UnB Paola Maluceli Lins em Lingstica Mestre Universidade Federal de Pernambuco/UFPEIlustraesFrancisco RivoireRgiseTatianaDISTRIBUI O SEB - Secretaria de Educao Bsica Esplanada dos Ministrios, Bloco L, 5o Andar, Sala 500 CEP: 70047-900 - Braslia-DF Brasil ESTA PUBLICAO NO PODE SER VENDIDA. DISTRIBUIO GRATUITA. QUALQUER PARTE DESTA OBRA PODE SER REPRODUZIDA DESDE QUE CITADA A FONTE. Todos os direitos reservados ao Ministrio da Educao - MEC. A exatido das informaes e os conceitos e opinies emitidos so de exclusiva responsabilidade do autor.Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) Centro de Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC) Programa Gesto da Aprendizagem Escolar - Gestar II. Matemtica: Caderno de Teoria e Prtica 1 - TP1: matemtica na alimentao e nos impostos. Braslia: Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica, 2008. 228 p.: il. 1. Programa Gesto da Aprendizagem Escolar. 2. Matemtica. 3. Formao Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Professores. I. de Bsica.CDU 371.13MINISTRIO EDUCAO DE SECRETARIA BSICADA EDUCAOPROGRAMA GESTO DA APRENDIZAGEM ESCOLAR GESTAR IIFORMAO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS ANOS/SRIES FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTALMATEMTICACADERNO DE TEORIA E PRTICA 1MATEMTICA IMPOSTOS NA ALIMENTAO E NOSBRASLI A 2008Sumri oApresentao.................................................................................................. .... 7PARTE IApresentao das unidades ............................................................................... .... Unidade 1: Explorando conceitos matemticos numa discusso sobre ......... alimentao . Seo 1: Integrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos ....................................................... animais Construo do conhecimento matemtico em ao: ... Seo 2: exploraes matemticas no campo conceitual da ..................................... proporo .. Seo 3: Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua ............................................................... sade ... Leituras ............................................................................................... sugeridas ...................................................................................................... .... Bibliografi a ..... Texto de referncia Resoluo de problemas....................................................... . ... Solues das atividades...................................................................................... . .... Unidade 2: Alimentao para a ................................................................... sade ... Seo 1: Situao-problema Alimentao versus carncia alimentar: uma questo meramente biolgica? ...................................................................... ... Seo 2: Construo do conhecimento matemtico em ao: nmeros e ................................................................ lgebra Transposio ... Seo 3: didtica: pesquisando o consumo de ferro na nossa .............................................................................. alimentao .... Leituras ............................................................................................... sugeridas ...................................................................................................... .... Bibliografi a ..... Texto de referncia Teoria dos campos conceituais............................................... . .. Solues das atividades...................................................................................... . .... Unidade 3:Imposto de Renda e ........................................................ Porcentagem Seo 1: Resoluo de situao-problema: o ... conceito de porcentagem relacionado ao Imposto de ...................................................... Renda 2: Construo do conhecimento .. Seo matemtico em ao: ...................................................................... porcentagem Seo 3:Transposio didtica:... impostos e ......................................... porcentagens .. Leituras ............................................................................................. sugeridas ..................................................................................................... .... Bibliografi a .... Texto de referncia Currculo de matemtica em .......................................... rede .. Solues das atividades.................................................................................... . .... 11 13 15 22 37 43 44 45 55 59 60 64 80 85 86 87 95 101 102 108 129 139 140 141 149Unidade 4: Impostos, grficos, nmeros ................................................... negativos .. Seo 1: Resoluo de situao-problema: Impostos e carga tributria Clculos e .............................................. Porcentagens .. Seo 2: Construo do conhecimento matemtico em ao: representao de dados em grficos de barras e circulares. negativos e traado de ............................................................. Nmeros ngulos. Transposio didtica: grficos de barras e ... Seo 3: circulares, traado de ngulos e nmeros .............................................................. negativos ... Leituras ............................................................................................. sugeridas ..................................................................................................... .... Bibliografi a Texto de.... referncia Transposio Didtica: como construtor de conhecimento..................................................... O professor .. Solues das atividades.................................................................................... . ....157 158170 182 189 190 191 199PARTE IISocializando o seu conhecimento e experincias de sala de aula............................... .. 205PARTE IIISesso Coletiva 1........................................................................................ .... Sesso Coletiva 2 ............................................................................................. .... Anexos..................................................................................................... .... 211 216 225Apresenta oCaro Professor, cara Professora: Ao iniciar este mdulo importante que voc tenha uma viso mais ampla da proposta de Matemtica, como esto estruturados os mdulos em unidades e estes em sees. ecessrio, caro professor, que voc v se situando, momento a momento, nos n diferentes e estgios circunstncias da proposta. Primeiro reconhecimento que voc far que a matemtica se apresenta na posta proimpregnada em diferentes aspectos da vida real e em situaes significativas. Um segundo reconhecimento imediato da provocao do desenvolvimento dessa viso de matemtica junto aos seus alunos. Este trabalho foi elaborado, com carinho e muita dedicao, pensando em voc, nos seus interesses, nas suas necessidades e nas suas dvidas e facilidades. A idia que conduziu a produo da equipe foi, a todo momento, que tipo de central propostavoc que possa ser de real valor para ajud-lo a melhor desenvolver seu levar a trabalho pedaggico em matemtica nas sries finais do ensino fundamental. Sem dvida, trata-se de uma proposta muito abrangente quando vemos que se destina a professores de diferentes regies do nosso Brasil. Por isso, foi importante nossa vivncia com formao de professores, nos mais diferentes espaos geogrficos, para que a proposta se aproxime o mximo possvel dos seus interesses e necessidades. Pensar na qualidade do trabalho pedaggico em sala de aula em Matemtica requereu num duplo pensamento: de um lado, no prprio fazer matemtico do professor, quanto de matemtica e que tipo de matemtica precisamos saber para ou seja, o desenvolvermos um bom trabalho; de outro lado, no fazer pedaggico, do como trabalhar a atemtica com nossos alunos. m Essa preocupao fez com que a proposta fosse estruturada a partir de trs eixos: Conhecimentos matemticos: um convite ao fazer matemtico. Conhecimentos de Educao Matemtica: um convite leituras, reflexes e discusses acerca do tema. Transposio Didtica, que implica conhecimentos para a sala de aula. Cada caderno ser composto de 4 unidades, sendo que em cada unidade voc encontrar conhecimentos relacionados aos trs eixos. Os conhecimentos matemticos para voc , professor do GESTAR, sero desenvolvidos em dois momentos: A Na seo 1 de cada unidade, ao vivenciar a resoluo de uma situaoproblema como uma estratgia para mobilizar conhecimentos matemticos j conhecidos ou buscar outros que emergem naturalmente no contexto. B Na seo 2, pela construo de conhecimentos matemticos em ao, na qual, a partir da situao-problema da seo 1, procuraremos buscar e elaborar procedimentos e conceitos matemticos envolvidos.Os conhecimentos matemticos para os alunos sero desenvolvidos na seo 3. Educar envolve muito mais que preparar uma boa aula, estruturar atividades e apresen- contedo de forma organizada. Voc, professor, precisa estar afiado tar um tambm em outros aspectos da Educao Matemtica: o contrato didtico, as novas dimen- currculo, o papel das interaes dos alunos entre si e com o professor em ses do sua aprendizagem.. . So estes assuntos que compem o segundo eixo de estruturamento dos mdulos de matemtica do GESTAR, o eixo Conhecimentos de Educao Matemtica , e sobre quais vamos conversar em dois os espaos: A No Texto de Referncia que aparece ao final de cada unidade e B Em pequenos textos que podem surgir nas sees 2 e 3, que aparecem em quadros com o ttulo Aprendendo sobre Educao Matemtica. Nestes dois espaos voc vai encontrar estes assuntos sistematizados textualmente. Mas esperamos que voc aprenda sobre educao matemtica tambm na prtica, ao longo de toda a unidade. Como se dar isto? Ao iniciarmos cada Unidade com uma situao-problema, j estamos fazendo que voc vivencie um novo modo de aprender matemtica, a partir de situaes do mundoque, para sua soluo, requerem a busca e a construo de conhecimentos real e matemticos. Essa busca e construo ocorrem, portanto, a partir de necessidades geradas situao real, e no impostas dentro de uma concepo linear de por uma currculo. Ou seja, os mdulos do GESTAR fazem uso de teorias de Educao Matemtica para ajud-lo a crescer em sua relao com a matemtica e no modo como voc a utiliza vida. Vivendo, na prtica, um processo de Educao Matemtica, e em sua aprendendo essa rea do conhecimento nos quadros e no Texto de Referncia, mais sobre voc entender e ajudar a construir a Educao Matemtica de seus poder alunos. Os conhecimentos relativos ao terceiro eixo de estruturao dos mdulos, a Trans posio Didtica , aparecem sempre na seo 3. Ela visa a ajud-lo a conhecer e produzir situaes didticas que facilitem o desenvolvimento, em sala de aula, de conheci-matemticos vistos nas sees 1 e mentos 2. Portanto, as sees 1 e 2 so voltadas para o seu processo de Educao Matemtica. A seo 3 procura ajud-lo em um dos aspectos da Educao de seus Matemtica alunos: o modo como voc poder fazer, em sala de aula, a Transposio Didtica, dos contedos matemticos que voc trabalhou nas sees 1 e 2. Ns quatro esperamos fielmente que este caderno provoque momentos de dvidas, desafios, aventuras e, acima de tudo, alegria e satisfao diante da oportunidade de expandir seus limites realizando novas e interessantes aprendizagens. Um bom trabalho at e breve!PARTE I TEORIA E PRTICA 1 1 2 3 4Unidade Unidade Unidade UnidadeGESTAR II TP1 Matemtica-Vem, vamos embora, que esperar no saber Quem sabe faz a hora, no espera acontecerCaminhando - Pra No Dizer que No Falei das Flores Geraldo VandrCaro professor, cara professora: Iniciar novos caminhos sempre um bom momento em nossas vidas. Ainda mais se comeamos a caminhada com vontade e disposio, esperando encontrar coisas e pes- interessantes, que nos ajudaro a aumentarmos nosso conhecimento, soas modificarmos mundo e desenvolvermos nossas competncias para um saber viver nossa viso do e ma atuao profissional melhores. u sempre bom conhecermos, de antemo, a rota que vamos percorrer. No TP1, ela compreende quatro etapas: as Unidades 1, 2, 3 e 4, todas com temas relevantes para viver no mundo atual. nosso As unidades so interligadas, duas a duas. O tema central das duas primeiras a questo da boa alimentao, condio essencial de vida e de sade. A Unidade 1 aborda a alimentao dos animais, em geral. A Unidade 2 aborda a alimentao do ser humano. J as duas unidades seguintes tratam de impostos, algo de que nenhum cidado escapa, voc sabia disso? A unidade 3 gira em torno do Imposto de Renda; a Unidade 4, torno de impostos em em geral. Cada uma delas inicia-se com uma situao-problema relacionada a esses temas. Isso no estimulante? Partir de problemticas importantes e usar a matemtica para resolver situaes-problema relacionadas, fazendo hipteses, tentativas, remexendo em conhecimentos que j vimos e buscando outros. Neste TP1, os conhecimentos envolvidos nas situaes-problema e desenvolvidos a 8 a srie ou 6 o ao 9 o ano. nas Unidades so bsicos para a matemtica da 5 Assim, nas Unidades 1 e 2 sero tratados medidas e decimais, reas e razo,volumes, proporcionalidade, escalas, tabelas e grficos e equaes. Nossa! Mas, se tanta coisa foi tratada nas duas primeiras unidades, talvez seja voltar bom alguns deles e discuti-los mais pausadamente, a concorda? o que acontece nas Unidades 3 e 4. Levaremos um tempo, na Unidade 3, esmiuando o conceito de porcentagem, desenvolvendo aspectos novos relacionados asse conceito. Depois, trataremos dos nmeros racionais e irracionais, propores e eregra de trs, razes de semelhana. Na Unidade 4, surgiro grficos no cartesianos, negativos nmeros e ngulos. Ao final de cada Unidade, temos um presente para voc. Procure um canto solitrio e uma hora em que lhe d vontade de pensar sem ningum para atrapalhlo. Mergulhe no texto de Educao Matemtica do final de cada unidade. Deixe seu pensa- ir e voltar do texto para a sua prtica, muitas mento vezes. Veja o nome de cada texto : Resoluo de Problemas. Teoria dos Campos Conceituais. Currculo de Matemtica em Rede. Transposio didtica - O professor como construtor de conhecimento. No d vontade de abrir logo o presente? Boa caminhada a voc e a ns todos!Unidade 1 Explorando matemticos numa discusso alimentao Cristiano AlbertoMuniz Iniciando a ossa conversa nconceitos sobreVamos desenvolver nossas atividades a partir de um assunto de alta relevncia: a necessidade de uma boa alimentao como condio essencial de vida e de sade. voc est recebendo um material cujo objetivo harmonizar os contedos Assim, abor- neste caderno de Teoria e Prtica (TP) e articular os temas escolhidos na dados constru- situaes-problema e na transposio didtica. Logo, as unidades iniciais o das deste estaro estruturadas em torno da TP alimentao. temtica A primeira unidade ser dedicada a situaes que dizem respeito alimentao dos animais em geral, e explora o quanto um animal come e o quanto precisaria comer para ter sade, e explora situaes nas quais a produo de alimentos torna-se um ramo de interesse tanto da economia como da ecologia. Na segunda unidade, ser explorado o tema alimentao do ser humano, mais especificamente as necessidades nutricionais, assim como a carncia de ferro no organismo decorrente de uma m alimentao. Assim, veremos que a qualidade da alimentao diz respeito no apenas quantidade ingerida, mas tambm quali-dos alimentos, em especial seus nutrientes. Esse enfoque ser trabalhado dade na unidade seguinte quando o tema da situao-problema ser a qualidade da alimentao dos brasileiros. um assunto repleto de conhecimentos no s fsicos e qumicos, mas, vimoscomo de conceitos matemticos que nos possibilitam uma explorao de acima, situa-interessantes. Conceitos centrais que sero tratados nesse tema alimentao es so equaes, rea e volume, tratamento de informaes, medidas e decimais (comparao Esta unidade est organizada em trs e operao). sees: 1. Resoluo de situao-problema Na resoluo da situao-problema, a partir de um texto sobre a alimentao de alguns animais, poderemos refletir sobre a questo de proporcionalidade apoiado sobre diferentes formas de registro de informaes matemticas, em especial a linguagem dos grficos. Sero vitais conceitos matemticos para a resoluo da situao tais como a idia de escala e, portanto, de razo. A situao-problema ser um bom gancho para uma primeira explorao de conceitos de porcentagem que sero aprofundados em unidades posteriores.132. Construo do conhecimento matemtico em ao A partir das provocaes iniciadas na situao-problema, em especial envolvendomatemticos ligados noo de proporcionalidade, voc ter uma conceitos importante oportunidade, professor, de revisitar alguns conceitos e alguns procedimentos, ou mesmo construir novos conhecimentos e sistematizar outros, os quais podero, quem sabe, ajudar a conceber formas mais adequadas de resolver a situao-problema pro- na seo 1. posta A partir dessa situao e do contedo central, teremos a oportunidade de mobilizar conceitos sobre medidas de comprimento, de superfcie, de volume, de massa, de capa- de tempo, de ngulos, alm da explorao de figuras espaciais. A explorao cidade, de organizao de informaes em tabelas e grficos ser uma constante ao longo da proposta desta unidade. 3. Transposio didtica Aps suas prprias experincias e aventuras matemticas propiciadas pelas atividades propostas nas sees 1 e 2, hora de voc, professor, pensar na sua prtica de de aula: do que foi vivenciado, o sala que podemos levar para seus alunos, com as devidas adaptaes? Continuando a idia de propor atividades, como foi feito nas sees ante- continuareriores, mos a convid-lo a realizar atividades, mas, agora, diferente!!!! As ativida- propostas des so de sala de ida aula, para experimentar tais aventuras mate- junto com mticas os alunos, procurando observar e registrar os resultados para uma futura discusso com os demais professores colegas tambm que participam do GESTAR. Nesta primeira unidade o convite ser de levar para a sala de aula experincias medidas, organizando as envolvendo informaes em tabelas e grficos. A partirinformaes obtidas, explorar a das idia de valor mdio. A explorao de fr- em situaes significativas para mulas os alunos ser igualmente proposta.14Do que foi vivenciado, o que podemos levar para seus alunos, com as devidas adaptaes?A seo termina com um texto pequeno noo de esttica que sobre a po- ser levado aos alunos para der discusso da temtica. Todas as unidades sero seguidas de um Texto de Referncia que tem por objetivo focalizar as bases tericas em Educao Matemtica que do sustentao e que merece leitura e ao trabalho reflexo do professor. Caro professor, no deixe de ler o Texto de Referncia, pois ele muito importante na sua formao no campo da Educao Matemtica, sendo produzido ou selecionado por ns pensando especialmente em voc. Os textos snteses importantes que voc trazem s obteria lendo muitos e variados textos. O nosso texto d a voc uma primeira sobre temas de alta viso relevncia para o ensino de matemtica. Nesta unidade o Texto de Referncia trata da importncia da resoluo de situaes-problema para a aprendizagem significativa da matemtica.TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IDefinindo o osso n percurso Ao longo desta unidade, esperamos que voc possa estar constituindo conhecimentos como: 1 Com relao ao seu conhecimento de contedos matemticos: Identificar os conceitos de volume, de medidas, de tratamento de informaes, de nmeros decimais, equaes em que estes possam servir de base para a construo de procedimentos para tomada de decises e resoluo de situaes-problema inseridos no contexto de alimentao. 2 Com relao aos seus conhecimentos sobre Educao Matemtica: Caracterizar situaes-problema, campo conceitual, currculo em rede e o fazer matemtico do aluno. 3 Com relao sua situao em sala de aula: Conhecer e produzir, com relao aos temas tratados, situaes didticas das adequa- que atua envolvendo medidas, tabelas, grficos e mdias, noo srie em de ngulos e figuras geomtricas.15Seo 1 Integrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos animaisObjetivo da seo Esperamos que ao longo desta seo voc possa, resolvendo uma situaoproblema, mobilizar e desenvolver conhecimentos relacionados a: Reconhecimento da matemtica no mundo dos alimentos e da sade: mobilizar conceitos de nmeros decimais, rea, volume, equaes, porcentagem e medidas na resoluo de situao-problema, permitindo o desenvolvimento de um pensamento crtico frente a situaes envolvendo questes de alimentao e sade. Reconhecimento da existncia de um campo conceitual de nmeros e es propor- situao envolvendo o numa alimentao . temaIntegrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos animaisVeja o texto abaixo: Os animais so curiosos pelas suas interessantes dietas e padres de alimentao. Por exemplo, o urso pardo um animal muito temido pelo seu tamanho e fora, ainda que prefira comer frutas. E embora o urso polar possa comer quase 20% do do seu corpo durante uma refeio, ele pode fazer esta refeio de seis em peso seis Veja a seguir algumas informaes sobre a quantidade de comida que dias. diferentes animais comem normalmente: O urso polar macho pode pesar mais do que 680kg e poder comer cerca de 68kg durante uma refeio de 30 minutos, isto significa que ele necessita em torno de 11kg dirios, j que faz suas refeies a cada seis dias. Um morcego pesa cerca de 28g e poder comer 28 gramas de comida por dia. A abelha rainha pesa cerca de 0,113 grama mas poder comer cerca de 9 gramas de comida por dia quando est pondo ovos. Em mdia, um tigre pesa cerca de 227kg e pode comer cerca de 35kg de carne numa nica refeio. Em compensao, os tigres esperam vrios dias para atacar um animal e fazer uma nova refeio, ento ele utiliza, em mdia, 6,4kg de comida para manter sua energia corporal. Em mdia uma hmster fmea pesa cerca de 100g e consome cerca de 11g de comida por dia. 16 Um elefante normalmente pesa 4,1 toneladas e come cerca de 180kg de comida por dia. Em mdia um beija-flor pesa cerca de 3,1g e deve comer cerca de 10 minutos durante um dia. O beija-flor dever consumir aproximadamente 2g de comida por dia.(Traduo livre Animals as our Companions, Words Largest Math, NCTM)Resoluo de situao-problema: proporcionalidade na alimentao dos animaisVoc acredita nisto? Que uma abelha rai- pode comer mais que um elefante? nha Mais urso polar ou tigre? E mais, um que um morcego come mais do que um elefante, tambm. necessrio analisar com cuidado, que a j abelha come mais do que o urso se estabelecermos uma relao entre o peso que come com o seu peso. daquiloTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoAtividade 1 Vamos analisar os dados construindo um grfico de barras no qual uma das barras apresente o peso mdio do animal (para cada um apresentado no texto) e a outra, a uantidade de comida de que ele precisa q diariamente. PesoAnima l Ao fazer as representaes voc deve ter observado que, por estar trabalhando com animais de tamanhos to diferentes, fica difcil apresentar num mesmo eixo de sistema de coordenadas o peso de todos os animais (por exemplo, o peso do elefante e o da abelha). Dessa forma, seria interessante agruparmos os animais maiores em um grupo e s menos pesados em outro grupo. o Animais maiores menores Urso polar Morcego Tigre Abelha rainha Elefante Hmster Beija-flor Com os animais separados em dois grupos, pode-se fazer uma representao grfica em quilos e outra em gramas. Dessa forma, estaremos utilizando escalas diferentes. Articuland oonhecimentos c Escala: pode ser definida com uma razo entre dois nmeros, dois valores ou medidas. A escala dada por um nmero, indicando a relao entre os dois termos considerados, e desprovido de uma grandeza, sendo portanto um nmero puro, indica vezes um est em relao ao outro. A escala muito usada no desenho, quantas como em redues e ampliaes, em croquis, plantas e mapas, muito til em navegao e nas cincias de forma geral. Nas artes, na msica, na culinria e no artesanato encontramos escala, apesar de muitas vezes as pessoas no tomarem conscinca de a presena da tal presena e de sua importncia. A representao grfica de escalas uma constante no nosso dia-a-dia, ou seja, sobretudo nos mapas e em plantas, nos quais, por meio da definio de segmentos e sua medio, podemos encontrar a relao existente nas distncias no desenho com as Animais17Integrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos animaisdistncias reais. Um uso mais complexo das escalas est presente nos grficos, muito hoje nas mdias, sendo importante ao leitor crtico levar em conta as presente escalas utilizadas para que possa ter uma compreenso adequada do fenmeno representado graficamente . Nos mapas antigos observa-se que as escalas utilizadas no respeitam as reais proporcionalidades das diferentes regies, apresentando um desequilbrio entre as dimenses. Esse desequilbrio tem um forte cunho poltico, uma vez que a representao influenciada mais pelas condies econmicas e polticas do que pelas de cunho geofsico. A escala enquanto razo e sua representao grfica ser objeto de estudo longo ao deste programa do GESTAR. Para uma melhor idia de escala, caso tenha dvidas sobre o seu conceito, mea com uma rgua centimetrada (graduada em centmetros e em milmetros) o desenho da figura ao lado, e reproduza a tartaruga aumen- proporcionalmente trs tando vezes dimenses. Assim, diramos suas que a escala seria de 1:3, ou seja, cada centmetro do desenho abaixo representar 3 centmetros do seu desenho.18TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoAtividade 2 Refaa a representao dos grficos em escalas diferentes, apropriados a cada um deles.19Veja que o desenho em escalas diferentes nos permite melhor analisar os resultados e os dados. Observando os grficos, comparando a quantidade de comida com o peso animal, do responda s perguntas: 1 Qual animal come mais? 2 Qual animal come menos? 3 Dentre os animais menores, qual come mais? E menos? 4 Dentre os animais maiores, qual come mais? E menos? Voc pode perceber que fazer essa anlise em relao representao grfica no ainda uma tarefa simples, pois a comparao deve ser feita observando-se a diferena entre o peso do animal e o quanto come. Ento qual seria uma estratgia melhor para analisar os dados? Uma boa estratgia usar uma mesma comparao vlida para os animais, tal como comparar a diferena em relao a 100kg para os animais mais pesa- e 100g para os animais dos menores.Integrando a matemtica ao mundo real: estudando proporcionalidade na alimentao dos animaisAteno! Caro professor, esperamos que tenha notado que os dados da alimentao dos ani- referem-se a doses dirias; porm, no caso do tigre, isso no verdade, o mais que influenciar nas respostas. Caso no tenha prestado ateno a esse fato, volte vai ituao e verifique os dados de cada s animal. Claro que essa comparao poderia ser feita em relao a 1.000kg (ou 1.000g) ou 10kg (ou 10g). Isso vai depender do referencial que se queira. Compararemos em rela- a 100, uma vez que na matemtica j temos o o porcentagem que conceito representa uma comparao em relao a 100.Articuland oonhecimentos c A porcentagem um conceito que mostra uma razo e ser objeto de estudo longo ao deste TP e em outras unidades dos demais Cadernos de Teoria e Prtica.20Atividade 3 Vamos organizar os dados acima em uma tabela para podermos analisar melhor. Na primeira coluna, coloque o peso mdio de cada animal; na segunda, o quanto de comida precisa aproximadamente por dia; na terceira coluna, tente fazer o clculo mentalmente e registre. Na ltima coluna, use uma calculadora e calcule qual porcentagem dia de alimentao a partir do seu representa um peso. Veja o primeiro exemplo:ANIMAL PESO PORCENTUALMDIOCOMIDA/DIA%ESTIMADOUrso polar 680kg 11kg 1,5% Morcego Abelha rainha Tigre Hmster Elefante Beija-florTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoAgora seria interessante fazermos um grfico de coluna, no qual o eixo horizontal (das abscissas) registre os diferentes tipos de animais da tabela, e no eixo vertical (das ordenadas) sejam registradas porcentagens. Para tanto, importante que no as eixo vertical o intervalo de valores (entre o mximo e o mnimo) possibilite que consideremos todos os valores percentuais encontrados na tabela anterior.Atividade 4 Quanto de comida voc come por dia em relao ao seu peso? Que tal voc fazer uma estimativa do quanto voc come? Faa tambm a anlise de seu estado de sade relacionando a proporo entre o seu peso e a quantidade de comida consumida diariamente por voc. Quanto qualidade da nossa alimentao, isso ser tema de discusso na Unidade 2 deste TP. Conside- razo entre o que voc come e seu peso corporal, podemos dizer que rando essa voc proporcionalmente como um elefante, tigre, urso, hmster, beija-flor, morcego come ou abelha rainha?21Aprendendo sobre Educao MatemticaCaro professor, devemos perceber que as atividades iniciais desta Unidade nos levam a tratar de um conjunto de conceitos matemticos que aparecem nas situaes e no processo de resoluo integrada, de tal modo que um conceito perpassa outro, com procedimento envolvendo mais do que uma nica idia matemtica. Tal fato fica evidenciado ao vermos que, ao trabalharmos com propores, acabamos mais por com idias de mltiplos, ordem de grandeza, razes, diviso, escalas, lidar medidas, fracionamentos do inteiro e representaes grficas, dentre outros. Esses conceitos matemticos coexistem em situaes de proporcionalidade, todos eles articuladosEssa coexistncia entre os conceitos e as situaes determina o que entre si. definimos como campo conceitual . Um campo conceitual composto por um conjunto de conceitos que se entrelaam de forma que um conceito delineia e implica outro. Um campo conceitual permite ao professor constatar de que forma e em que medida agir um conceito (por exemplo, tratar o conceito proporo) implica agir sobre sobre a ele conectados, como o de multiplicao. outrosSeo 2 Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual proporoObjetivo da seo Esperamos que ao longo desta seo voc possa: Revisitar seus conceitos de medidas, rea, volume, mdia, grficos, frmulas e equaes. Caracterizar conceitual. campoda22A situao-problema proposta na seo anterior permitiu que voc utilizasse vrios conceitos e temas matemticos. Assim a matemtica foi utilizada como uma ferramenta para interpretar e resolver a situao. A proposta deste curso que os temas matemticos sejam trabalhados em AssimREDE. os contedos no seguiro, a priori, a ordem curricular a que estamos acostumados. Nesta segunda seo estaremos estudando mais profundamente alguns temas matemticos que voc utilizou para resolver a situao-problema. Alguns temas voc, inclusi- trabalhar com seus alunos em sala de aula. Portanto, o momento de ve, deve rever conceitos, reforar definies e, assim, poder at mesmo reformular algumas das suas prticas. Bom trabalho! Ao final desta seo voc dever: ter estudado unidades de medidas de superfcie e capacidade, observando suas relaes e aplicabilidade; caracterizar a utilizao mais adequada de alguns grficos estatsticos para apresentao de resultados.Atividade 5 O Brasil possui uma grande criao de bovinos. Um dos motivos para isso , alm de um clima e relevo altamente favorveis, a existncia de grandes reas para formao de pastos. Segundo informaes conseguidas na internet, um boi deve pesar de 400kg a 80kg para ser abatido, e em poca de seca ele deve comer de 20kg a 25kg dirios 4 de uma mistura feita de cana-de-acar e uria. Analisando o peso mximo de 480kg e a alimentao diria de 25kg, quais dos animais analisados na atividade 1 comem proporcionalmente o que o boi consome por em relao ao seu peso? diaTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoAtividade 6 Falar sobre a alimentao de bovinos uma questo sria, dado que esse um tipo de carne que ns consumimos com muita freqncia. Por exemplo, voc sabia que a oena denominada de vaca louca surgiu porque os criadores de bovinos d comearam de carne de bois na alimentao do a usar restos gado? O boi um animal que tipicamente se alimenta de vegetais, herbvoro. Para a sua agilizar os criadores acrescentam carne na dieta dos animais, proporcionando engorda, uma engorda mais rpida. Porm, por ser um animal no adaptado a esse tipo de alimentao,comearam a apresentar algumas anomalias, como a doena da vaca os bovinos louca. Por isso, todo cuidado na criao e confinamento dos animais importantssimo. Por exemplo, qual seria uma rea ideal para o confinamento bovino para uma criao de animais? 100 Intuitivamente, qual rea voc consideraria suficiente? Vamos pensar: Qual rea voc acha que cada animal precisaria para seu bom desenvolvimento num processo de confinamento? Quanto de comprimento e largura voc acha que o boi ter? Qual rea ocuparia esse boi? Deveria existir uma rea livre para eles pode deitarem? obra! Faa os Mos clculos! Veja algumas orientaes sobre o confinamento de bovinos: As instalaes para confinamento de bovinos de corte devem ser bastante ples,simfuncionais, principalmente visando s dificuldades ainda existentes no Brasila prtica, de modo que um investimento inicial alto, com instalaes para sofisticadas, colocaria em risco o sucesso do empreendimento. Ressalta-se aqui que, nem sempre, sofisticao se traduz em praticidade. Tem sido observado em determinadas aproveitamento de galpes ociosos (em determinada poca do regies do pas ano) local para beneficiamento de cereais, abrigo para animais etc., com bom como resul-econmico para a finalidade proposta, de acordo com a tado regio. Dependendo do nmero e do tipo de animais, do regime de alimentao, do perodo do confinamento, existem diversos sistemas de confinamento, a cu aberto, parcialmente coberto, fechado ou curral coberto. Sistema a Cu Aberto: Esse sistema consiste de instalaes simples, nas quais os bebedouros e os cochos podem ser distribudos ao longo das cercas ou dentro dos currais (no centro), dependendo do tamanho e da localizao, a fim de facilitar o anejo da alimentao. A rea prxima aos cochos e bebedouros deve ser m revesti-alguma forma, para impedir a formao de lama, o que dificulta o acesso da, de dos animais.2 a 14m A rea necessria para esse sistema de confinamento de 10m animal. A prtica ensina que no se deve encerrar mais que 150 a 200 animais por instalao ou piquete. 223porSistema Parcialmente Coberto: As caractersticas desse sistema so as mesmas do curral a cu aberto, com exceo dos cochos para a alimentao, que so cobertos,Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoe uma cobertura de cama para os animais, que pode ser prxima aos cochos. A cobertura do cocho deve ter pelo menos 3,5m de largura, com o objetivo de projetar uma proteo sobre o calamento. Sistema Fechado ou Curral Coberto: Nesse sistema, os animais so confinados no sentido restrito da palavra, ou seja, so colocados em pequenas reas, limitandose a se movimentar entre a procura de alimento e gua. A rea necessria para esse de confinamento de 2 por animal, com p direito nas coberturas de 3,5m tipo 4m a 4 metros. A altura do cocho deve ser de 60cm a 70cm. Observa : denominado de p direito a medida da altura interna de o uma construo, ou seja, medindo por dentro do cmodo, a altura entre o piso e o teto. O termo usado em engenharia, arquitetura e construo civil, e muito comum no vocabulrio dos mestres-de-obra, pedreiros etc.Atividade 7 Os resultados encontrados neste texto esto compatveis com a sua previso? O levantamento que voc fez est mais prximo de qual tipo de confinamento? 24TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoUm elemento interessante na formao de um confinamento o cocho para que o animal possa comer ou beber gua (apesar de que gua seja muito restrita para animais em engorda). Se todos os cem animais fossem comer ao mesmo tempo, qual seria oomprimento necessrio do cocho? cAtividade 8 Se cada animal em p pode medir at 1m de largura, qual seria o comprimento necessrio do cocho? 1m x 100 seriam necessrios 100m de cocho. Porm, se o cocho estiver interno ao curral, o animal pode usar os dois lados. Isto reduziria nosso clculo pela metade, ou 50m de cocho. Ser que dentro seja, rea de curral pensada acima, haveria da esse cocho? espao para Para criar 100 bois em confinamento aberto com rea mnima de 10m necessrio um curral de 1.000m 2 .2, ento serSe for construdo um cocho de 50m de comprimento com uma rea livre para locomoo do animal (veja figura), qual seria o comprimento mnimo para completar os 10.000m 2 ? 25Ao construir esse cocho de 50m, qual ser o seu volume total do interior, sabendose que a altura deva ser de 40cm? Vamos pensar em um cocho com as seguintes propores:Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoO conceito do clculo do volume similar ao do clculo da rea . Enquanto o clculo da rea tem como objetivo saber quantos quadrados de 1m de lado cabem na superfcie, o volume calcular determinar quantos cubos de significa 1m aresta cabem no espao. Veja a de figura ao lado. Tal atividade pode ser realizada com os blocos do material dourado montessoriano, lembrando que o grande cubo 10cm de aresta sendo, portanto, tem um exemplo de 1 decmetro cbico, enquanto ou seja, o pequeno cubo, a unidade, tem de aresta, sendo, portanto, um 1cm exem- 1 centmetro cbico. plo de1dm31cm 3 Articuland oonhecimentos c Lembre-se de que a rea diz respeito a uma medida de um espao bidimensional, representado por uma superfcie, enquanto o volume diz respeito a um espao tridimen- determinarmos a rea temos de ter conhecimento de duas dimenses, sional. Para normalmente denominadas de largura e comprimento. Para determinarmos o valor de volume, necessitamos de trs dimenses; alm das presentes na superfcie, temos um de conhecer a altura. Essas idias sero exploradas em unidades posteriores e nos prxi- e, em especial, naquele que tratar privilegiadamente dos espaos e das mos TP formas. Para calcular o volume basta utilizar o conceito multiplicativo. Se na base cabem 5 quadrados de 2 e na largura cabem 4, ento na base cabem 20 quadrados. 1cm repetirmos esses 20 Se quadrados 5 vezes, j que cabem 5 quadrados na altura, completa3 . mos 100 quadrados. Logo, o volume total do dado de 100cm Um recado para sala de aula Esse trabalho com a relao entre o 3 e o dm 3 , assim como deste com o 3 , em cm m sala de aula deve ser mais cauteloso. Devemos buscar propor vivncias com embalagens de 1dm 3 , ou seja, uma caixa cbica de 1dm de aresta, preenchendo-a com pequenos objetos de 1cm 3 para o qual a unidade do material dourado montessoriano serve muito bem. A relao milesimal entre as duas unidades de volume deve ser descoberta pelos ao tentarem estimar quantas unidades de 3 so necessrias para preencher alunos 1cm a totalidade do volume maior. O mesmo deve ser feito na relao entre 3 e o dm 3 . Para tanto, convidar os alunos a, em1m equipes, construrem em papelo um cubo de 1m de aresta, e depois estimar dm 3 sero necessrios para preench-lo, lembrando novamente do material quantos 3. do, no qual adoura- de milhar um bom referencial para a visualizao do unidade dmTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte I26Explorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoArticuland oonhecimentos c Veja: importante que voc, muitos alunos decoram como calculamos enten- raciocnio, o aluno pode de esse diversos inclusive de slidos tais volumes, etc. professor, entenda o conceito de volume, pois o volume sem compreender o seu porqu. Se usar o mesmo conceito para o clculo de como: pirmide, cone, cilindroEnto, depois de compreender o conceito de volume, podemos calcular o volume do cocho multiplicando as suas dimenses. Faa o clculo. O volume do cocho :Atividade 9 Para o cocho que voc determinou na atividade anterior, quanto de gua necessrio para ench-lo? Quantas caixas dgua de 1000l seriam necessrias para ench-lo? Voc j deve saber que existe uma relao entre as medidas de volume que 3 e as tm como unidade padro o medidas de capacidade que tm como unidam padro o litro. Existe uma relao direta entre as duas de o litro e a unidades:de volume expressa em 3 . Qual essa relao? Como descobri-la e medida dm alunos a encontrar a correspondncia entre o volume e a levar meus capacidade? Articuland oonhecimentos c Para comprovar isso, mea um 1 litro de areia ou serragem em uma garrafa ou em um medidor. Depois construa um cubo com cada aresta medindo 10cm de lado, ou seja, Despeje a areia contida no litro no cubo. O que voc vai observar? Que tal 1dm. fazeratividade com os seus alunos? essa A partir da descoberta realizada, outras relaes podem ser estabelecidas; por exemplo, 1.000 litros equivalem a _______ m 3 . Ento, se uma caixa dgua tem um volume de 1.000 litros, ou seja, uma caixa dgua que seja um cubo de arestas iguais a 1m, quantas caixas cheias seriam necessrias para encher o _________________ cocho? Articuland oonhecimentos c O litro uma medida de capacidade de um recipiente utilizada para medir quanto cabe, por exemplo, numa garrafa, piscina, caixa dgua, botijo de gs etc.27Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoEnto, para determinar o espao interno de recipientes, podemos usar as medidas de capacidade e de volume. Voc pode perceber que uma das unidades mais presentes em nosso cotidiano o mililitro (ml). Observe as embalagens de alimentos, de remdios, os produtos de higiene e os produtos de limpeza: como so indicadas as pessoal capacidades?Atividade 10 Voc conta com gua encanada na sua casa? Se sim, pegue a conta de gua da sua casa e vamos analisar. Se voc mora em prdio, normalmente a conta de gua conjun- todos os moradores. Pea essa fatura emprestada ao seu sndico para ta para poder realizar essa atividade. Se voc no conta com gua encanada, voc pode pedir emprestada uma conta de um amigo ou conhecido. Quanto custa cada litro de gua que voc utiliza na sua casa? Voc sabe? Como fazer para calcular matematicamente o consumo de gua e o seu custo monetrio mensal? Como faz-lo? Caso no saiba, procure pesquisar junto aos colegas. Descreva as diferentes etapas necessrias do procedimento para se chegar ao valor da de gua-esgoto. conta 28O consumo de gua marcado pelo hidrmetro, que instalado em todos os estabelecimentos comerciais e residenciais que dispem de gua encanada. O hidr- mede o volume de gua em metros cbicos. Assim que voc puder, d metro uma olhada no hidrmetro da sua casa ou no da sua escola. 3 de gua so Toda conta de gua possui um campo com o registro de quantos m utilizados por ms. Procure o campo em que essa medida est registrada e faa aransformao em litros. t Resposta: Encontre agora o valor da sua conta pelo seu consumo em litros/ms. Resposta:TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoQuanto custa um banho que voc toma? E o do seu filho, se voc tiver? Voc j pensou sobre isso? Que tal descobrir quanto de gua voc gasta em um banho? Voc tem alguma idia de como pode fazer isso? X=gua do chuveiro em 1 minutoTempo mdio do seu banhoVolume de gua usada em um banhoCalcule, agora, o custo do seu banho: X=Volume de gua usada em um banhoCusto/litro de guaCusto total do banhoArticuland oonhecimentos c Professor veja a quantidade de temas matemticos que voc precisou para resolver essa atividade: rea, volume, capacidade, relao entre unidades de volume e capacidade, e medidas de tempo e valores monetrios. Veja como possvel, realmente, em uma situao simples, trabalhar tantos temas em rede. Dessa maneira no precisamos ficar preocupados sobre se esse tema daquela srie ou no. Assim, trabalhamos com um currculo em rede. Para finalizar a atividade, voc poder levantar algumas perguntas alunos: para seus a)Quantas caixas dgua voc usa por ms para tomar banho diariamente? b)Se reduzir 1 minuto no seu banho, quanto posso economizar financeiramente por ms? c)Considerados todos os membros da minha casa, quanto gastamos de banho por ms? d)Para lavar as louas, quanto gastamos de gua? (Faa o mesmo procedimento.)29Atividade 11 A alimentao dos bovinos deve seguir uma certa proporcionalidade para garantir a engorda e a sua sade. Por exemplo, muitos criadores preferem usar na alimentao dos animais a cana-de-acar, pelo seu custo baixo. Porm, quando usada seus isoladamen- satisfaz o mnimo de protena exigido para a sade dos bovinos. Isso te, a cana no podecorrigido misturando-se uria e sulfato de amnio. Essa mistura usada na ser alimentao dos animais tem baixo custo para os criadores.Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoVeja como feita a mistura: Misture 9kg de uria com 1kg de sulfato de amnia. Ensaque e guarde em local seco. Na primeira semana de adaptao do animal com o tipo de alimentao, proceda assim: misture 500g da mistura acima em 4 litros de gua e despeje sobre 100kg de cana picada (que foi colocada no coxo de alimentao). Na segunda semana, misture 1kg da mistura nos mesmos 4 litros de gua e despeje 100kg de cana sobre picada. O consumo da mistura pelo bovino livre mas, segundo estudos, o animal consome de 20kg a 25kg dirios da alimentao. Vamos determinar qual porcentagem representa cada ingrediente na total. mistura calcule quanto isso representa na alimentao do animal, Depois, conside- ele consome 20kg dirios da mistura. rando que organizar os , elabore Para tabela : dados uma Considere que na primeira fase so necessrias 500g da mistura para 100kg de cana-de-acar. Ento, com os 10kg da mistura ensacada (segundo a receita), sero utilizados 2.000kg de cana-de-acar. Na segunda fase, utilizado 1kg para 100kg Assim com os 10kg da mistura, sero necessrios 1.000kg de de cana. cana. Ingrediente diria 30 Uria Quantidade 1a fase 29kgaPorcentagemaQuantidadeafase 1fase 2fase 1afase 2afase0,45% x 20 0,09 = kg 90 ou g0,89%x 20 0,178 = kg 178 ou gSulfato de amnia Cana-deacar Total1kg 2.000kg 1.000kg 2.010kg 1.010kgVoc pode ver que a tabela d uma viso geral da alimentao do animal. assim Mas, apresentados, esses dados podem parecer complicados para um leigo e possvel se perceba, realmente, a situao. Por isso, na organizao de dados que no muito a sua apresentao em forma de grfico . Assim, poderemos ter uma comum viso e mais geral. O profissional poder ter uma noo da dimenso que muitas melhor vezes os nmeros no do num primeiro apenas momento. Portanto, no qualquer tipo de representao grfica que poder ser utilizada para anlise. Isso vai depender da pergunta a que se deseja responder. Vamos ver algumas dessas possibilidades: 1. Se pretendemos analisar quanto representa cada ingrediente na alimentao total do animal:TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoNesse caso, a interpretao que se deseja fazer est relacionada com o todo. Pretende-se ter uma anlise visual em relao ao todo. O melhor a utilizar talvez seja orfico circular. g Vamos fazer esse grfico para a alimentao na primeira fase do processo de mistura para a alimentao dos bois. o ; Sabe-se que uma volta completa em torno de um ponto representa ento, o igual a 1,62 o , pois: 360 se a uria representa 0,45% da alimentao, 0,45% de 360 0,45% de 360 = 0,45/100 x 360 = 1,62Articuland oonhecimentos cPara medir ngulos, assim como as medidas de tempo, utiliza-se a base sexagesimal, ou seja, 60. As razes histricas sobre tal opo encontram-se em textos sobre a istria da geometria; sobre a construo histrica de ngulos, so encontradas h no de Antnio Jos Lopes, Um ngulo mais do que duas semi-retas de texto mesma (ver em http://www.tvebrasil.com.br/salto/gq/gqtxt3.htm). A idia de origem ngulo pode estar associada noo de inclinao, abertura, rota, desvio e mudana de direo, caminho, curvas, rotao, regio compreendida entre duas retas concorrentes entre outras idias. A idia de ngulo agudo central na construo no colineares, do conceito de ngulo. H uma forte associao da medida do ngulo com o crculo. A partir de uma sobreposio da origem do ngulo com o centro da circunferncia, podemos dividir esta partes iguais, utilizando cada regio circular como unidade de medida para o em ngulo. Alguns dos sistemas de medida de ngulos so aqueles que tomam por base: O grado: a circunferncia dividida em 400 partes. O radiano: a circunferncia dividida por arcos de mesmo comprimento que oeu raio. s O grau: a circunferncia dividida em 360 partes. O grado e o radiano (este segundo valendo aproximadamente 57), apesar poucode presentes em contextos culturais, so muito utilizados em matemtica, sobretudo no campo da trigonometria (objeto de estudo escolar principalmente no ensino mdio e o ensino superior). J o sistema de medida de ngulos em graus bem freqente n em situaes mais usuais fora da escola. A histria diz que a opo pelo sistema tem por base duas razes principais: A sua associao ao movimento dos astros, em especial do planeta Terra, que definem movimentos circulares, e usados para as antigas navegaes; o uso do sistema sexagesimal, base 60, utilizado por muitos povos antigos, como os egpcios, em funo do grande nmero de divisores que ele possui. Se dividirmos aircunferncia em 360 partes iguais, isso aumenta a possibilidade de encontrarmos c divises exatas.31Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoEm funo disso, mesmo havendo outros sistemas para medir ngulos, no ensino fundamental praticamente assume-se que a unidade de medida padro de ngulo orau. Seus submltiplos so: minutos e segundos. g Assim: 1 grau (1 o ) = 60 minutos 1 minuto (1) = 60 segundos Dessa forma, a mudana de unidade do ngulo diferente da decimal. Enquanto na decimal voc precisa de 10 unidades para passar para a unidade seguinte, nos submltiplos dos ngulos, precisamos de 60 unidades para alcanarmos a unidade posterior. Quando representamos 1,62 o , veja que usamos depois da vrgula uma o seria representao decimal. Se quisssemos transformar para minutos e segundos, 1,62 assim: 1 o 3712. Vamos estudar essas transformaes mais profundamente em representado unidades posteriores. Para resolver esta atividade, a representao em decimal ser suficiente.Um recado para sala de aula 32 Procure junto aos seus alunos dividir o crculo em partes iguais, por exemplo: quatro partes, dez partes, doze partes, vintes partes e, por ltimo, trinta e seis partes. Voc pode medir ngulos com essas partes, em especial explorando a utilizao de medidas e construes utilizando: circunferncia dividida em 4 partes: cada uma denominada de ngulo reto; circunferncia dividida em 36 partes: cada uma corresponde a 10. Isso permite aos alunos ter uma viso mais real das unidades. Quando chega a 10, tendo-o em suas mos, pode ter uma viso, antes mesmo de manipular o transferidor, do quanto corresponde a 1. Essas divises podem ser associadas s fraes, e permitem um trabalho mentecurricularmais bem integrado. Para mais idias consulte o livro paradidtico ngulos, dos autores Imenes, Jakubo e Lellis, da Editora Atual. Calcule quantos graus representam o sulfato de amnio e a cana. Sulfato de amnia: Cana: Utilizando o transferidor, faa a marcao dos pontos. Como a parte que senta reprea mistura (sulfato de amnia e uria) muito pequena, grfico no dois valores: circular os , junteTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoO transferidor o instrumento usado para medir ngulos. Voc pode encontrlo em formatos de 360 o e 180 o . Para medir um gulon preciso colocar o ponto central do transferidor no vrtice de um dos lados do ngulo alinhado com o 0 o . Observe que no centro do transferidor h um ponto. Esse ponto o centro o marcado no crculo acima. Depois do ngulo. Alinhe o zero do transferidor com o 0 marque o ngulo na direo do aumento da contagem do transferidor. Com o grfico pronto voc pode ter uma noo melhor do que representa cada ingrediente na refeio do bovino. 2. Qual a relao que existe entre os ingredientes em cada estgio de preparao da alimentao dos bois? Nesse caso a melhor representao grfica a se utilizar ser o grfico de barras ou de colunas, pois torna mais fcil visualizar as relaes. O grfico circular permite que voc faa uma interpretao de cada parte (ou seja, quantidade de amnia, uria e cana) em relao ao todo (toda a mistura). Por lado, o grfico de barras ou outro permite a voc analisar cada parte em relao s outrascolunas partes. Construa o grfico de barras usando o referencial abaixo, com cores diferentes cada para estgio. Amnia 33UriaCana 100% Sugesto: como a quantidade de uria e sulfato muito pequena em relao quantidade de cana-de-acar, faa um outro grfico apenas com as quantidades de e de sulfato. uriaConstruo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoAmniaUria 100% Observe que, no grfico de barras ou colunas, para se determinar o total ser somar preciso as partes.Atividade 12 Os animais, na engorda, no podem ficar privados de alimentao. Os criadores devem estar sempre atentos reposio da mistura. Um criador fez a seguinte anotao quantidade de alimentos colocada nos cochos durante uma sobre a semana:DIA (kg) QUANTIDADEDomingo 980 34 Segunda-feira 1.050 Tera-feira 1.055 Quarta-feira 1.100 Quinta-feira 974 Sexta-feira 920 Sbado 1.021 Para poder interpretar esses dados, a representao grfica pode nos auxiliar. Porm, o grfico circular ou de barras no conveniente nesse caso. Podemos usar orfico de linhas, em que no eixo horizontal dispomos os dias da semana e no g eixo vertical, a quantidade de alimento seguindo escala . uma Qtde kgDias semanadaTP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoUtilizando o grfico feito, crie trs questes que poderiam ser respondidas somente pela anlise visual dos dados apresentados no grfico. Bom trabalho!Como voc observou, nas atividades at aqui propostas tanto nesta seo como seo na situao-problema, esto envolvidas noes importantes sobre a melhor da utiliza- grficos. Os dados podem ser organizados sob diversas formas e cada uma o de delasum impacto diferente na imagem da informao apresentada. Alm disso, cada tem uma mais de acordo com uma dada perspectiva ou adequada para um tipo de estar resposta pretende que se ter. Voc observou na situao-problema a importncia do uso de diferentes escalas para apresentar os dados e quo importante foi essa adequao de escalas para a melhor compreenso dos dados. O uso adequado dos grficos para tratamento o um item de grande importncia no ensino es estatstica . informade Ainda podemos lanar mo de computadores que aumentam consideravelmente as possibilidades de interpretao e anlise dos dados. Existem hoje programas, tais como orograma computacional Excel, que podem ser muito teis para o tratamento das p infor- permitindo a estruturao, o registro e as investigaes dos dados mais maes, rapida- em vrias categorias e, ainda, tornando possvel organizar os dados numa mente grande diversidade de formas.de35Aprendendo sobre Educao MatemticaNum campo conceitual os conceitos aparecem de forma integrada e articulada, e nas situaes-problema os conceitos so, na verdade, elementos de um mesmo campo: uns do vida e sentido aos outros. Se assumimos essa perspectiva terica, que tem base a Teoria dos Campos Conceituais do pesquisador francs Grard por Vergnaud, no podemos conceber a idia de um currculo escolar de Matemtica que trate dos conceitos de forma isolada, fragmentada, distantes uns dos outros. Dessa forma, uma concepo de currculo que contempla essa possibilidade de trabalhar os conceitos integrada, sem destruir as conexes que os articulam, seria a de de forma currcu um rede , que, dentre outras caractersticas (que trataremos ao longo da lo em formao), possibilita tratar do conhecimento numa viso mais integrada e holstica, levando em que uma dada situao permite explorar uma multiplicidade de conceitos conta e rocedimentos que se articulam entre si, permitindo ver o conhecimento p matemtico algo estanque e esttico, mas conceber e representar o no como conhecimento como algo dinmico, interativo e complexo, fazendo que o conhecimento trabalhado esteja mais prximo dos modelos da vida pela escola real.Construo do conhecimento matemtico em ao: exploraes matemticas no campo conceitual da proporoResumind o Nesta seo voc estudou temas relacionados a medidas e tratamento de informao. Volume: O conceito do clculo do volume similar ao do clculo da rea. Enquanto o clculo da rea tem como objetivo saber quantos quadrados cabem na superfcie, calcular o volume significa determinar quantos cubos cabem no slido. para determinar o volume de um paraleleppedo basta multiplicar as Portanto, suas trs dimenses. Relao entre unidade de volume e capacidade: 1 litro equivale a 1dm 3 . Tratamento de informao: Vimos neste TP quatro tipos de representao grfica para diferentes objetivos: para anlise da parte com o todo: recomenda-se o grfico circular; para anlise da relao entre as partes: recomendam-se grficos de barras ou colunas; para anlise do crescimento ou diminuio em relao ao tempo: recomenda-se orfico g de linhas. 36TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte ISeo 3 Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua sadeObjetivo da seo Com relao sua atuao em sala de aula, voc poder conhecer, nesta seo: Como desenvolver junto aos seus alunos uma situao-problema que permita transferir para a sala de aula as vivncias realizadas na resoluo da situao proposta na seo 1. Como explorar uma frmula matemtica. Como coletar informaes e organiz-las em tabelas. Como explorar a idia de valor mdio. Que tal fazer as atividades 1 e 2 da seo 1 com os seus alunos? Amplie o texto, cole no mural da sua sala e no diga nada por alguns dias. Apenas tente ouvir os comentrios dos alunos e procure incit-los discusso sobre o assunto. Depois leve o texto da atividade 1 e discuta questes relativas organizao dos dados para anlise, necessidade de usar uma escala e ao papel da porcentagem nessa interpretao. Em seguida, pea para os alunos anotarem o quanto comem em mdia por dia. Pea que faam tal anotao durante uma semana, assim voc pode introduzir oonceito c de mdia. Depois dos resultados em mo, faa a interpretao e pea que os alunos nem relacioo quanto comem com os dados relativos aos animais. Pea aos alunos para analisarem o quanto comem diariamente. Pode ser que, num determinado dia, um aluno tenha comido mais como um tigre, e, em outros, hmster. como um37Atividade 13 Levar uma balana para a sala de aula e verificar o quanto pesa o que cada come um merenda escolar quando ela composta de arroz/feijo, e/ou macarro na e/ou legumes, mingau, angu etc. Fazer uma tabela por grupo de 6 alunos cada. Calcular oeso mdio de quanto come cada aluno no p grupo. A partir valor mdio do grupo, considerando as mdias dos demais do grupos, discutir uma forma de determinar quanto cada um come, em mdia, na turma. Determinada a mdia da turma, explorar: Cada aluno deve verificar se come mais ou menos que a mdia da turma.Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua sade No grupo, construir estratgia para registrar come x a mais que a mdia come x a menos que a mdia (o que pode ser o incio para ouuso dos o sinais positivo e negativo). Realizar uma anlise das incidncias tais como: os que esto com consumo abaixo da mdia so na sua maioria meninos ou meninas, os que esto com consumo acima da mdia em sua maioria so os mais altos e/ou mais gordos e/ou mais velhos? Fazer uma tabela relacionando o peso de quanto come cada aluno com o peso cada aluno. Discutir comde alunos (se possvel construindo um grfico relacionando os massa de alimento x massa corporal) se podemos ou no relao de depenestabelecer essas variveis . dncia entre Fazer um levantamento de quanto pesam os pratos de merenda de alguns adultos presentes na escola, bem como de alguns professores e funcionrios. Registrar em tabela e calcular quanto consome em mdia um adulto, buscando relacionar o quanto come um adulto em relao a: idade; sexo; peso; signo do zodaco; natureza de trabalho que realiza na escola. A idia de correlao entre as variveis pode ser a explorada, por exemplo: o quanto uma pessoa come sofre influncia do horscopo? Quais so as variveis que podem, a, serem consideradas? Usando a frmula abaixo, define o peso ideal, cada aluno deve fazer seu clculo, e depois registrar em grfico os resultados de toda a turma, identificando o ndice mdio da turma, os que esto bem abaixo e os que esto bem acima desse ndice. Para tanto, fornecemos abaixo a frmula e os significados dos ndices por intervalos. sua turma como se aplica essa frmula e ressalte a necessidade de Discuta com se realizar a medida da altura e do peso de cada um. O ndice de Massa 1 Corporal Esse ndice pode ser obtido dividindo-se o peso corporal pelo quadrado da altura em metros. 2 (67 Por exemplo: uma pessoa que pese 67kg e mea 1,64m, tem um IMC de 24,9kg/m pelo quadrado de 1,64). divididos38NDICE DE MASSA CORPORAL = PESO em [ALTURA kg metros)]2 (em1.Fonte: http://www.maxway.com.br/Emagrec2.htm TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoArticuland oonhecimentos c A unidade 2 indica a quantidade de massa concentrada em uma dada kg/m Pode-se expressar superfcie. como sendo massa por superfcie. A aplicao dessa frmula um mtodo eficaz e prtico para se avaliar o grau de risco associado obesidade. Os estudos populacionais mostram que o menor risco de 2 aos 25kg/m 2 . Entre 25 e 30 mortalidade corresponde faixa de IMC que vai dos 20kg/m j se observa um aumento do risco. Os pacientes que a se situam so rotulados como sobrepesados ou com excesso de peso. Entre 30 e 35, considera-se obesidade 35 e 40, obesidade moderada, e acima de 40, obesidade leve, entre mrbida. 20kg/m 2 tambm se observam maiores ndices de mortalidade, Abaixo dos principalmente por doenas pulmonares e desnutrio. Esto nessa faixa, por exemplo, os portadores nervosa (perda de apetite por problemas psicolgicos). A faixa ideal, de anorexia portanto, situa-se entre 20kg/m 2 e 25kg/m 2 . Analisar o comportamento desse grfico em relao variao do ndice mdio turma,da sobretudo discutindo o seu significado: na maioria dos casos na nossa turma precisando ganhar ou perder peso? Por que esse fato est ocorrendo? Qual estamos oignificado sociocultural disso e o que fazer para mudar essa realidade no mbito s da nossa escola? Questionar se essa frmula funcionaria bem para avaliar o desenvolvimen- crianas ou se aplicvel mais para o to de jovens e adulto. Introduzir as variaes desse ndice de acordo com o desenvolvimento do indivduo, conforme tabelas abaixo: o ndice de massa corporal por faixas de risco; as tabelas de peso e altura. Apesar de muito sujeitas a erros, as tabelas de peso e altura ainda so largamente utilizadas em todo o mundo para estimar-se o peso ideal. Elas so derivadas de dados por companhias de seguro americanas, que as desenvolveram a partir da obtidos observao de dados de mortalidade e longevidade de sua populao segurada. Os chamados de ideais so, na verdade, mdias das faixas de peso ideal pesos para grupo etrio analisado. As tabelas abaixo mostram os pesos de referncia cada para um desses grupos. Reparem que na tabela dos indivduos mais idosos esses cada pesos j so bem mais altos.39Pesos de referncia para adultos entre 20 e 55 anosALTURA (em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)1,47 - 51,7 1,50 - 52,8 1,52 - 53,9 1,55 - 55,3Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua sadeALTURA(em metros) PESO para homens (em kg) PESO para mulheres(em kg)1,57 60,3 56,7 1,60 61,2 58,0 1,63 62,4 59,4 1,65 63,5 60,8 1,68 64,9 62,1 1,70 66,2 63,5 1,73 67,6 64,9 1,75 68,9 66,2 1,78 70,3 67,6 1,80 71,9 69,0 1,83 73,9 1,85 75,3 40 1,88 76,9 1,91 78,9 Clculo de peso ideal para crianas e adolescentesArticuland oonhecimentos c Os mtodos utilizados para o clculo do peso ideal de adultos no so adequados para indivduos em fase de crescimento. Nesses casos, o mtodo mais prtico baseado na utilizao de grficos de peso e altura em funo da idade, conforme demonstrado na figura a seguir. Por exemplo, se uma menina apresenta uma altura de 1,45 metro est pesando 53kg, para sua idade, de 10 anos e 9 meses, a estatura de 1,45 metro aoloca um pouco acima da linha mdia de crescimento, chamada de percentil 50. c O ponto situado no percentil equivalente a esse na curva de peso seria o seu peso terico ideal, correspondendo, no caso, a cerca de 38kg. Se dividirmos o peso atual pelo peso e multiplicarmos esse resultado por 100, chegaremos ao percentual do peso ideal da criana em relao ao peso ideal. Nesse exemplo teramos 53 / 38 = aproximadamente seja, essa menina estaria com 140% do seu peso ideal, ou com um 1,4 x 100 = 140; ou excesso de 40%, ou 15kg. Aproveitar para discutir a noo/conceito de ndice enquanto razo. Observar que no momento em que comparamos nossa razo peso/altura com os ndices que definem os intervalos de obesidade, acabamos por fazer uma proporcionalidade entre nosso fsico com uma outra razo considerada como estado ideal.TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoDiscutir essa noo de esttica e sade com os alunos sobre a noo e valor social do tipo fsico bonito ou belo de um jovem garoto ou garota, refletindo sobre sua coincidncia ou no com o que considerado como bom ndice pela frmula. Discutir a variao da noo de beleza fsica ao longo da histria da humanidade e em diferentes culturas nos tempos atuais.Articuland oonhecimentos c Podemos agora voltar a discutir a relao entre a ingesto de alimentos, e, portanto, de energia, procurando estabelecer uma lgica entre energia absorvida e energia consumida como fator determinante, no apenas de sade fsica, mas tambm de esttica e eleza corporal. A beleza que encontramos na natureza essencialmente traduzida b por relaes de proporcionalidade. Podemos entender por que, segundo o grego Pitgoras (VI sculo AC) e seus dores,segui- coisa sendo nmero. Para os pitagricos, o prprio Universo parecia toda regido pelas relaes numricas, que permitem ao homem ver toda a harmonia, equilbrio eegularidade que rege toda criao divina. Essa harmonia era chamada de msica r das esferas, harmonia silenciosa, a harmonia sendo a unificao do diverso e colocao em concordncia o discordante ou ainda ajustamento, reunio, acordo das partes com o todo. As leis numricas da harmonia, uma vez formuladas, sero generalizadas a todas as representaes de tudo aquilo que consideramos belo. propore sendo, ento, As no sentido largo, relaes entre nmeros, significaria a buscas de uma proporo JUSTA. Na proporcionalidade matemtica encontraramos explicao e compreenso humanas para a harmonia do Universo, ou seja, de toda e qualquer criao divina. Toda uma tradio artstica das formas tambm fundada sobre mesma idia de harmonia (como o caso da simetria do grego symmetria que significa JUSTA , , PROPORO). Conta-se, por exemplo, de Alberti (1404-1472), humanista e arquiteto italiano, que, dirigindo uma construo, teria dito: a menor alterao desacordaria toda msi- e mais, que as propores pelas quais a harmonia dos sons toca nosso ouvido ca... so exatamente as mesmas que agradam ao nosso esprito. Da mesma maneira, a diviso de um segmento em mdia e extrema razo ceitos (conmatemticos aplicados engenharia e arquitetura) permite, a partir dos termos constituir uma proporo qualificada pelo monge italiano Luca Pacioli (1445extremos, 1514) de razo urea, magnificamente ilustrada por Leonardo da Vinci, na sua Divina obra Proporo(1509), contribuindo ao conhecimento desse apogeu da esttica, pois essa razo conduz definio do famoso nmero de ouro. At nossos dias, a ltima notcia de sistema de propores (Le Modulor) aquele do arquiteto Le Corbusier (1887-1965). um Friamente definida por Euclides no seu muito V Livro dos Elementos, clebre as propore constituram durante toda a Idade Mdia um corpo de saber autnomo s e distinto da geometria e da aritmtica. Levado at um grau de sutileza a qual ns mal imaginamos hoje. Mas, divinos ou musicais, uma vez colocadas como referncia estti- todos os tempos dominaram os espritos dos artistas, tanto aqueles que quiseram ca, em alas se conformar como aqueles que quiseram neg-las como contrrio ao e desenvolvi-fantasia de um mundo mento, vivo. 41Transposio didtica: convidando os alunos a analisarem matematicamente sua sadeResumind o No eixo de Educao Matemtica, alm da experincia de realizar atividades propostas na seo 1 junto com seus alunos e tambm explorar a atividade envolven- do corpo, voc teve oportunidade de refletir, ler, sistematizar do medidas alguns sobre campo conceitual, currculo em rede e representao aspectos grfica. Nesse incio do programa de Matemtica do GESTAR, consideramos muito, muito mesmo, importante que voc faa uma primeira leitura e reflexes sobre a importncia da resoluo de situaes-problema para a aprendizagem matemtica. Para tanto, preparamos especialmente para voc um Texto de Referncia, o qual esperamos que leia com ateno e faa a atividade de reflexo que segue o texto. As voc atividadesTexto de Referncia tm por objetivo ajud-lo na reflexo do junto ao tema.42TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoBRASIL. Ministrio da Educao e do Parmetros Curriculares Nacionais . 1996. Desporto. em: disponvel DANTE, L. Didtica da resoluo de problemas de matemtica . tica, 1991. R. NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF Normas para o Currculo e a MATHEMATICS. avaliao em matemtica escolar . Associao de professores de Matemtica de Portugal,1989. IFRAH, Georges. bo, 1989. IMENES, Mrcio. PERIDICOS : BOLEMA - BOLETIM DE EDUCAO MATEMTICA. Departamento de Matemtica NESP, 1989. p.178. U BOLETIM DO GEPEM. Rio de Janeiro: Grupo de Estudos e Pesquisas em Educao Matemtica Universidade Santa rsula. BOLETIM INFORMATIVO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAO MATEMTI- Disponvel CA. em: CADERNOS DE EDUCAO MATEMTICA. So Paulo. EDUCAO MATEMTICA EM REVISTA. SBEM. FOLHETIM DE EDUCAO MATEMTICA .Bahia:Univ. Estadual de Feira de Santana EMOC Ncleo de Educao Matemtica Omar Catunda Dep. de Cincias N Exatas. NEWSLETTER UFPR GPHM Grupo de Pesquisa em Histria da Matemtica Dep. de Matemtica. Curitiba. PRO-POSIES. Campinas: 1993 v.4, n.1. REVISTA DO GEEMPA: Grupo de Estudos sobre Educao, Metodologia de Pesquisa e o. A Porto Alegre. RPM REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMTICA. So Paulo: SBM. TEMAS & DEBATES. Sociedade Brasileira de Educao Matemtica. ZETETIK: Faculdade de Educao UNICAMP. Campinas. Os nmeros: a histria de uma grande inveno Luis Os nmeros na histria da civilizao . Rio de Janeiro: Glo-Leituras sugeridas. So Paulo: Scipione, 1993.43IMENES, Luiz Incio; JAKUBO, Jos; LELLIS, ngulos . So Paulo: Atual, 1985. Marcelo. LESTER, O que aconteceu investigao em resoluo de problemas de matemtica? F. situao nos Estados Unidos. Em: FERNANDES, D.; BORRALHO, A.; AMARO, A G. (org.) Resoluo de Problemas: Processos cognitivos, concepes de professores e desenvolvimento curricular. Lisboa: Instituto de Inovao Educacional, 1994. POLYA, A arte de resolver problemas .Rio de Janeiro: Intercincia, 1978. George. disponvel em: LOPES, Antnio Um ngulo mais do que duas semi-retas da mesma origem. Jos. Disponvel em: Bibliografi a44TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IResoluo de problemasAna Lcia Dias BrazTexto refernciadeO grande objetivo da escola preparar o aluno para resolver situaes problemticas que ele encontra em seu cotidiano e que encontrar em sua vida adulta. Esperase cada rea da aprendizagem escolar contribua para este que objetivo. A matemtica tambm pode contribuir para a resoluo de situaes problemticas. Por exemplo, certo que os conhecimentos construdos sobre nmeros e es, opera- as formas, sobre medies, sobre a organizao e a interpretao da sobre informao quantitativa podero ser necessrios nesta tarefa. Mas o que dizer da prpria disposio para se resolver problemas, da capacidade de interpretar um problema, de examinar informaes diversas e decidir quais so rele- para a soluo, de delinear estratgias de soluo e de tomar decises vantes importantes processo? ao longo do Ou sobre a capacidade argumentativa de defender uma idia logicamente a de partir informao coletada da realidade e tratada matematicamente? O ensino de matemtica deveria ser capaz de levar os alunos a desenvolver estas habilidades. Afinal, ao longo dos sculos, para qu se tem desenvolvido a matemtica, o objetivo de resolver problemas e de defender seno com idias? A linha de pesquisa e a proposta pedaggica denominada Resoluo de Problemas, que teve muitos adeptos nos anos 90, popularizou o termo resolver problemas no ensino de matemtica. Quase todo professor de matemtica afirma usar a metodologia de problemas em sala de de resoluo aula. Mas comum haver equvocos quanto ao que foi realmente o movimento de Resoluo de Problemas e do que se tratava. Neste texto, vamos discutir dois aspectos relacionados a esse tema. Primeiro, vamos discutir a Resoluo de Problemas como foi preconizada nos anos 90; Depois, vamos comparar a proposta do GESTAR que estaremos chamando de Resoluo de Situaes-Problema com as vrias vertentes da Resoluo de Problema,45Resoluo de problemas uma linha de pesquisa e uma proposta pedaggicaUma pergunta incial: O que um problema? Nem sempre a palavra problema tilizada com o mesmo sentido por diferentes pessoas. At mesmo professores e u educa- matemticos dores apresentam definies diferentes. s vezes eles utilizam termos adicionais para ressaltar certas caractersticas do est que sendo considerado um problema: problemas abertos (com mais de uma resposta possvel), problemas de dois ou mais passos (requerendo duas ou mais operaes para sua soluo), problemas realistas (contextualizados em situaes reais), problemas no-rotineiros, problemas-processo (enfatizando que o real problema encontrar o caminho soluo, e no a resposta), da problemas-desafio, problemas mal-estruturados (que no contm em seu enunciado todas as informaes necessrias para sua resoluo). Desse modo, as definies de problema na literatura especializada variam quanto a alguns fatores: Alguns autores consideram importante que os problemas admitam vrias solues ou requeiram a tomada de deciso quanto a algumas de suas condies para que que uma soluo seja definida. Outros j aceitam chamar de problema aqueles para os quais haja resposta bem definida qual o professor espera que os alunos cheguem. Para alguns educadores, os problemas propostos aos alunos devem ser contextualizados em situaes reais. Outros admitem problemas puramente matemticos. Em nenhum destes casos, porm, a resoluo de problemas se reduz utilizao ou aplicao imediata de resultados apresentados em aula. 46 Entretanto, h pontos sobre os quais os autores concordam que devem se aplicar todos a problemas. osPontos que se aplicam a todos os problemas A soluo no evidente, nem o caminho para ela. O problema prope um desafio a conflitos cognitivos. Em um problema no possvel tirar concluses, ou leva descobrir imediatamente as operaes a fazer ou dar solues de cara. A pessoa que o resolve esforo cognitivo para saber como faz um proceder. Um problema requer processo de resoluo, que envolve mais de uma um ao: vrias operaes, ou uma cadeia lgica de argumentos, ou vrios procedimentos diferen- a organizao dos dados, o desenho de diagramas, ou a tentativa de tes, como generali- algo que se percebe ser vlido para alguns casos zao de particulares. Os obstculos ou desafios colocados em um problema exigem uma reorganizao dos conhecimentos anteriores, que levam a pessoa que o resolve a assimilaes e adaptaes esquemas mentais ou seja, a novas em seus aprendizagens. O enunciado de um problema no induz nem o mtodo, nem a soluo (nada de questes intermedirias que preparem o caminho, nem palavras-chave como junte, ao todo). A pessoa a quem o problema se apresenta deve perceb-lo como um dilema a ser resolvido e deve estar envolvido com sua resoluo. isto que faz o problema ser problema dele, faz com que ele se engaje em sua resoluo, e no simplesmente o ignore, ou tente resolv-lo sem convico.TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoProblemas para uns e no para outrosVemos que, dentro de um grupo de alunos, uma atividade pode ser um problema para enquanto que para outros essa mesma atividade pode no ser um problema. alguns, O de no constituir problema pode ocorrer porque: fato alguns alunos j tm em suas estruturas mentais o caminho de encontrar a resposta, outros podem no se incomodar com a presente falta de soluo para a problemtica. E mesmo dentre aqueles para os quais uma situao um problema, a forma na qual cada um interage com o problema varia, em funo dos conhecimentos prvios que cada um tem, da imagem que cada um faz sobre sua prpria capacidade em produzir uma soluo, e ainda, o interesse e o significado que cada um atribui experincia. Uma analogia com uma situao fora da matemtica: em um passeio a uma cachoeira desconhecida por todos do grupo da excurso, entrar em um ribeiro pode problema tanto para aqueles que sabem nadar mas que desconhecem ser um as foras e direes da correnteza e a existncia de rochedos naquele ribeiro em particular como para aqueles que no sabem nadar. Do mesmo modo que ocorre na vida, tambm com os problemas que mos apresenta- alunos em sala de aula os indivduos apresentam diferentes a nossos conhecimentos que um mesmo problema se apresente de forma bem diferente de prvios, fazendo uma para outra. pessoa47Problemas versus exercciosMuitos professores pensam que a realizao de exerccios onde os alunos aplicam um conceito que acabaram de estudar se encaixa dentro da proposta pedaggica de resolu- problemas. Isto no o de verdade. Os professores que acham que problemas so sinnimos de exerccios pem proa realizao de exerccios aps suas exposies tericas, para os alunos treina- praticarem procedimentos anteriormente mostrados. As nicas aes rem ou exerci- alunos neste tipo de atividade so a imitao, a repetio e, s vezes, das pelos a emorizao. mO que uma atividade de resoluo de problemas?Para que haja autntica atividade de resoluo de problemas, necessrio que haja: um verdadeiro problema, que satisfaa os pontos levantados; elaborao de estratgias de soluo (e no a imitao de um exemplo); uma indefinio inicial, da parte de quem resolve o problema, quanto aos conheci- matemticos que ele dever mobilizar no processo de mentos resoluo; a validao da soluo.Pode envolver tambm: a idealizao e realizao de experincias; a construo de novos conhecimentos matemticos; a atividade de socializao, com argumentao quanto a estratgias a serem tomadas e a justificativa de aes escolhidas.O que a metodologia de Resoluo de Problemas?Quando foram publicados os Parmetros Curriculares Americanos, ao final dos anos 80, dizendo que a resoluo de problemas deveria ser o principal objetivo do ensino de matemtica, desencadeou-se um grande movimento em torno da Resoluo de Problemas. Houve vrias interpretaes diferentes em torno de como se incorporaria a resoluo de problemas em sala de aula, dentro e fora dos Estados Unidos. Surgiram basicamente trs formas diferentes de se entender a resoluo de 1 : mas proble- papel no ensino de e seu matemtica ensinar paraa resoluo de problemas, ensinar sobreresoluo de problemas e ensinar viaresoluo de problemas. 48 No ensino de paraa resoluo de problemas, a meta final que matemtica alunos sejam capazes de resolver certos os problemas, ento o contedo matemtico nsinado para este e fim. No ensino sobreresoluo de problemas, a forma como se procurou alcanar a de resolver problemas meta comentando com os alunos o processo de resoluo de foi problemas: suas fases, estratgias comumente utilizadas, posturas que se deve ter para conseguir resolver problemas. Os professores que utilizam esta estratgia basearam-se muito no livroarte de resolver problemas, de George Plya (1945/1973) (veja A quadro). Primeir o preciso problema Compreenso do problema Nesta fase, importante indagar: qual a incgnita? Quais so os dados? Qual a condio? A condio imposta suficiente, insuficiente, excessiva ou contraditria? Desenhar uma figura e adotar uma notao adequada tambm ajudam.compreendero1Schroeder, T. L. & Lester, F. K. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: Paul R. Trafton & Albert P. Shult (Orgs.). New directions for elementary school mathematics 1989 , p. 31-42. Reston, VA: National Council of Yearbook Teachers of Mathematics, 1989. TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte IExplorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoSegundo Encontre a conexo entre os dados e a incgnitaEstabelecimento de um plano Perguntas que ajudam: j viu esse problema antes, ou sob uma forma ligeiramente diferente? um teorema ou uma propriedade Conhece que poderia ser til? Se voc no consegue resolver o problema proposto, resolve primeiro algum problema correlacionado, ou uma mais especfico, ou parte do problema: para isso, mantm uma parte da condio. Verifica se apenas voc j utilizou todos os dados e a condio. Execuo do plano Nesta etapa, verifica se cada passo est correto. Retrospectiva Verifica o resultado, o raciocnio feito. V se seria possvel chegar ao resultado por um caminho diferente. Finalmente, v se possvelo resultado, ou o mtodo, para outros utilizar problemasTerceiro Executa o seu plano Quarto Examina a soluo obtidaEnsinarvia resoluo de problemas significa considerar o problema como um mento disparador ele- processo de construo do conhecimento matemtico de um . Ou seja, problemas visam contribuir na formao dos conceitos antes mesmo de sua apresentao matemtica. a necessidade de resolver o problema que leva o aluno em linguagem ae apropriar, sozinho ou coletivamente, dos instrumentos intelectuais necessrios s cons- de uma soluo. truo Isto no significa que o problema seja utilizado apenas como um ponto de partida motivador que gera a exposio dos conceitos necessrios sua soluo. A resoluo do problema, nesta abordagem, o prprio caminho ao longo do qual os conceitos vo sendo construdos. na ao de resolver um problema particular que conhecimentos e procedimentos so elaborados. A institucionalizao destes conhecimentos (reconhecimento pelo grupo, generalizao,) que ocorre aps a resoluo do problema.49Quais tm sido as concluses das pesquisas sobre Resoluo de Problemas?Aps pesquisas sobre experincias de ensino de resoluo de problemas, alguns pontos 2: parecem claros2Lester, F. O que aconteceu investigao em resoluo de problemas de matemtica? A situao nos Estados Unidos. In: Domingos Fernandes, Antnio Borralho e Gertrudes Amaro (Orgs.), Resoluo de Problemas: Processos cognitivos, concepes de professores e desenvolvimento . Lisboa: Instituto de Inovao Educacional, curricular 1994. Para melhorar as suas capacidades de resoluo os alunos devem resolver muitos problemas. As capacidades de resoluo de problemas demandam tempo para se desenvolverem. A maioria dos alunos beneficia-se significativamente de um ensino planejado sistemati- com base em resoluo de camente problemas. Ensinar os alunos sobreresoluo de problemas, isto , ensin-los acerca de estratgias de resoluo comumente usadas, fases de resoluo de problemas como por exemplo o modelo de quatro fases de resoluo de problemas de Plya pode melhorar a sua competncia, mas no atinge o ponto central do envolvimento do aluno na cons- geral da resoluo. truoQue fatores interferem na competncia de resoluo de problemas?Pesquisas com diferentes indivduos em processo de resoluo de problemas mostraram faz uma pessoa ser competente em resolver problemas no s o conjunto que o que de conhecimentos. seus claro que os conhecimentos disponveis para a pessoa que tenta resolver um problema influem bastante para o xito na obteno de uma soluo. Eles incluem tantoconhecimentos matemticos quanto os conhecimentos extra-matemticos os relacionados ao problema. Conhecimentos de problemas parecidos e de estratgias de resoluo problemas tambm aumentam as chances de sucesso. Mas no basta s de outros isso. Durante a resoluo de problemas, so mobilizados, alm dos conhecimentos, habilidades de: criar estratgias para a soluo do problema; monitorao do processo; atitudes e afetividade. A criatividade na elaborao de estratgias importante. Muitos alunos tempoperdem selecionar a estratgia adequada para resolver o problema, dentre tentando aquelas ensinadas pelo professor. Outros j se permitem criar, aparecendo com solues surpreendentes . A monitorao aquela habilidade de prestar ateno ao prprio processo de resoluo do problema e tomar decises. Por exemplo: decidir quando j se trabalhou muito tempo por um caminho que parece no estar levando soluo, e que hora de tentar outra estratgia; pensar sobre experincias passadas, o que se fez naquelas situaes, e quais foram as conseqncias ; selecionar as estratgias mais adequadas dentre aquelas que a pessoa conhece e etectar que mudanas precisam ser d feitas. Dentre os aspectos de atitudes e afetividade, mencionamos a disposio de frente investigar a confiana na prpria capacidade de resolver problemas, a motivao, a desafios, o interesse e a iniciativa, todos determinantes no processo de resoluo de problemas.TP1 - Matemtica na Alimentao e nos Impostos - Parte I50Explorando conceitos matemticos numa discusso sobre alimentaoComo os Parmetros Curriculares Nacionais entendem a Resoluo de Problemas?Os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica citam essa tendncia como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemtica. Esse documento enfatiza que no podemos considerar como resoluo de problemas os exerccios de aplicao e de repetio de procedimentos, nem devemos ver proposta como aplicao de conceitos ou forma de avaliar se os alunos essa aprende- um conceito ensinado. ram ou no Ao invs disso, o documento defende a resoluo de problemas como meio de desenvolver habilidades e atitudes (por exemplo, a capacidade de mobilizar conheci-de gerenciar informaes, de fazer analogias, de argumentar, de justificar) e mentos, de elaborar novos conceitos matemticos. Ou seja, os conhecimentos e habilidades englobam contedo matemtico e as atividades cognitivas prprias da resoluo de problemas. O objetivo desloca-se da resposta do problema para o processo de resoluo. Resolver um problema no se Alm disso, necessrio resume em compreender o que foi ver desenvolhabilidades que permitam pro- e em dar provar posto os resultados, testar res- aplicando propostas seus efeitos, comparar a importncia da resposta cedimentos diferentes correta cede lugar a adequacaminhos a soluo. dos. Aprender a para obter dar resposta correta, uma Nessa forma de importncia do processo traba- a importncia que tenha lho, de resoluo sentido, suficiente da pode ser resposta correta cede a importncia para que ela lugar seja e at seja convincente, mas aceita do processo de resoluo. nogarantia de apropriao do (PCN de . a 8 sries, 1998, p. conhe- envolvido. cimento 5 42)a51Nos PCN a resoluo de problemas o contexto tanto para a elaborao de novos conceitos matemticos quanto para a adaptao de antigos esquemas mentais a novas situaes. A concepo adotada sobre resoluo de problemas portanto a ensinar de resoluo de problemas. via Quanto s formas de aplicao da metodologia de resoluo de problemas, os Parmetros Curriculares Nacionais defendem que: um problema, e no a definio de um conceito, seja o ponto de partida da atividade matemtica ; o aluno seja estimulado a questionar sua prpria resposta, a questionar o problema, aransformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas t a artir de determinadas informaes, a analisar problemas abertos (que admitem p diferentes respostas em funo de certas condies); o aluno compare seus resultados com os de outros alunos.A proposta do GESTAR: Resoluo de Situaes-ProblemaComo j dissemos, h vrias interpretaes do que seja um problema e de como se deve estruturar o ensino em torno da resoluo de problemas. Ns do GESTAR acreditamos que resolve