PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAIS Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica Mestrado em Ensino de Cincias e Matemtica

UMA EXPLORAO DIDTICA DAS EQUAES DIOFANTINAS LINEARES DE DUAS E TRS INCGNITAS COM ESTUDANTES DE CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

SRGIO DE ASSIS OLIVEIRA

Belo Horizonte 2010

Srgio de Assis Oliveira

UMA EXPLORAO DIDTICA DAS EQUAES DIOFANTINAS LINEARES DE DUAS E TRS INCGNITAS COM ESTUDANTES DE CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

Dissertao apresentada ao Programa de PsGraduao em Ensino de Cincias e Matemtica da Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais como requisito parcial para obteno de ttulo de Mestre em Ensino de Cincias e Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte 2010

FICHA CATALOGRFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais Oliveira, Srgio de Assis Uma explorao didtica das equaes diofantinas lineares de duas e trs incgnitas com estudantes de cursos de licenciatura em matemtica / Srgio de Assis Oliveira. Belo Horizonte, 2010. 115f. : Il. Orientador: Dimas Felipe de Miranda Dissertao (Mestrado) Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais. Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica. 1. Equaes lineares. 2. Anlise indeterminada. 3. Soluo de problemas. 4. Matemtica Estudo e ensino. I. Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais. Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica. III. Ttulo. CDU: 517.941

O48u

Dedico este trabalho, primeiramente a Deus e, posteriormente, minha esposa Ivone e a meu filho Srgio Henrique que foram fonte de inspirao nessa minha viagem pela Matemtica atravs das Equaes Diofantinas Lineares.

AGRADECIMENTOS

A Deus pela inspirao e transpirao suficientes para a realizao desse trabalho. A minha famlia pelo acolhimento e ao meu orientador Dimas Felipe pelo profissionalismo. Aos professores e colegas da turma IV de Mestrandos de Matemtica da PUC-MG pela amizade e solidariedade. FUNDAO EDUCACIONAL NORDESTE MINEIRO pela oportunidade profissional dada por dez anos no Ensino Superior. Secretaria Estadual de Educao pela liberao dos trabalhos para que pudesse fazer minha pesquisa.

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo principal auxiliar os alunos na resoluo e compreenso de problemas que recaem em Equaes Diofantinas Lineares com duas ou trs incgnitas atravs da elaborao e aplicao de Atividades Didticas destinadas a contribuir para o estudo desse tipo de equaes. Os sujeitos da pesquisa foram estudantes de cursos de Licenciatura em Matemtica. O contedo foi abordado atravs de Sequncias de Atividades, constitudas de textos auxiliares, questes de manipulao e, principalmente, explorao de resoluo de problemas. Procurou-se nas tarefas fazer a integrao da Aritmtica com a lgebra e a Geometria, utilizando-se de alguns programas computacionais que serviram de suporte para as visualizaes grficas das solues inteiras. Os resultados mostraram as dificuldades que, em geral, os alunos tm ao lidar com o mtodo formal para se obter as respostas satisfatrias, juntamente com a condio de existncia e na discusso do nmero de solues inteiras. A concluso desse trabalho ressalta a importncia da interpretao geomtrica das Equaes Diofantinas Lineares, aliada ao contexto algbrico, e que o contato com problemas desta rea contribui para que o aluno desenvolva, de forma criativa e discutida, suas habilidades de raciocnio. importante enfatizar que esse tema pode ser abordado desde o Ensino Fundamental, de forma gradativa, passando pelo Ensino Mdio, no estudo dos sistemas lineares, at atingir uma forma mais rigorosa na Educao Superior, em especial nos cursos de licenciatura em Matemtica.

Palavras-chave: Equaes Diofantinas Lineares, Resoluo de Problemas, Solues Inteiras.

ABSTRACT

The present work has as main objective to help the students in the resolution and understanding of problems related to Linear Diophantine Equations with two or three incognits through the elaboration and application of Didactic Activities in order to contribute to the study of this type of equations. The subjects of the research were math licenciature course students. The content was boarded through Sequences of Activities, consisting of auxiliary texts, manipulation questions and, mainly, exploration of problems resolution. It was aimed in the tasks to make the integration of the Arithmetic with Algebra and Geometry with the use of some computational programs that worked as support to the graphical visualizations of the entire solutions. The results showed the difficulties that, in general, the students have when dealing with the formal method to get the desired answers, together with the condition that existence and in the discussion of the number of entire solutions. The Conclusion of this study highlight the importance of geometric interpretation of Linear Diophantine Equations, allied to algebraic context, and that the contact with problems of this area contributes so that the student develops, in a creative and discussed way his abilities of reasoning. It is important to emphasize that this issue can be boarded from elementary school, way crossing high school in the study of the linear systems until it reaches more rigorous shape in college, especially in math licenciature courses.

Words-key: Linear Diophantine Equations, Problems resolution, Entire solutions.

LISTA DE ILUSTRAES GRFICO 1: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo de um sistema linear possvel e indeterminado no ...................................................................................... GRFICO 2: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo de um sistema linear possvel e indeterminado no ...................................................................................... GRFICO 3: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo da equao linear 8x + 5y = 500, no domnio discreto positivo ------------------------------------------------GRFICO 4: Visualizao geomtrica parcial do conjunto-soluo da equao linear x + 10y + 25z = 99, no domnio discreto.............................................................. GRFICO 5: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo da equao linear 0,10x + 0,50y = 20, no domnio discreto positivo........................................................... GRFICO 6: Visualizao grfica da equao 3x 2y = 23, plotado no .............

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31 48

Quadro 1: Grupo da UFVJM Referente atividade I.............................................. Quadro 2: Grupo da PUC Minas Betim - Referente atividade I..............................

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

EDL: Equaes Diofantinas Lineares Ed.: Edio E: Etapa Ex: Exemplo FENORD: Fundao Educacional Nordeste Mineiro GPEA: Grupo de Pesquisa em Educao Algbrica PCN: Parmetros Curriculares Nacionais PCN+: Parmetros Curriculares Nacionais Complementares PCNEM: Parmetros Curriculares Nacionais no Ensino Mdio PUC- MG: Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais UFVJM: Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri

SUMRIO

1 INTRODUO .............................................................................................. 10 2 EQUAES DIOFANTINAS: ORIGEM, TEORIAS E LITERATURA 122.1 Origem e Teorias Matemticas ....................................................................................... 12 2.1.1 Mltiplos e Divisores ..................................................................................................... 17 2.1.2 Algoritmo da Diviso: (Algoritmo de Euclides) .......................................................... 17 2.1.3 Mximo Divisor Comum ............................................................................................... 18 2.1.4 Processo das Divises Sucessivas .................................................................................. 18 2.1.5 Teorema de Bzout ........................................................................................................ 19 2.1.6 Equaes Diofantinas Lineares Com Duas Incgnitas............................................... 20 2.1.7 Equaes Diofantinas Lineares com Trs Incgnitas................................................. 22 2.1.8 Congruncias Lineares .................................................................................................. 25 2.2 Experincias com o Ensino de Equaes Diofantinas ................................................... 27 2.2.1 As experincias de Patrcia Sadovsky .......................................................................... 27 2.2.2 As experincias de Slvio Barbosa de Oliveira ............................................................ 31 2.2.3 As experincias de Eduardo Sad da Costa...................................................................34 2.2.4 As experincias de Wagner Marcelo Pommer ............................................................ 35 2.2.5 As experincias de Cludia L. O. Groenwald e Rosvita F. Franke ........................... 37

3 A PESQUISA REALIZADA ......................................................................... 393.1 Orientaes Didtico-Metodolgicas .............................................................................. 39 3.2 Os Trs Blocos de Atividades .......................................................................................... 44 3.2.1 Primeiro Bloco de Atividades ....................................................................................... 45 3.2.2 Segundo Bloco de Atividades ........................................................................................ 59 3.2.3 Terceiro Bloco de Atividades ........................................................................................ 70

4 CONSIDERAES FINAIS ........................................................................ 78 REFERNCIAS ................................................................................................ 80 APNDICE ........................................................................................................ 83

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1 INTRODUO

Entre as orientaes educacionais dos PCN, algumas incentivam explorar, no ensino de matemtica, situaes cotidianas e formas de se desenvolver habilidades de pensamento do estudante. Problemas do tipo, por exemplo: Deseja-se comprar produtos de duas marcas A e B, respectivamente por R$3,00 e R$4,00 cada unidade, desembolsando-se exatamente um total de R$20,00. Quantos produtos de cada tipo podem ser comprados?, colocam o estudante, em geral, diante de uma situao de desafio do dia-a-dia. Esses problemas permitem ao estudante tomar a iniciativa de elaborar uma estratgia pessoal, um raciocnio prprio de soluo, bem como a possibilidade de apreciar, avaliar e comparar sua soluo com as diferentes solues dos demais colegas, enriquecendo suas habilidades mentais. Uma pessoa poderia obter uma soluo deste problema por raciocnio meramente aritmtico; outra, por meio geomtrico e, uma terceira, via lgebra. Ao professor, em sala de aula, tambm se abre a grande oportunidade de explorar as relaes entre estas diversas formas de registros para problemas deste tipo. O problema, acima explicitado, poderia ser modelado, via lgebra, pela equao linear: 3x + 4y = 20, onde x representaria a quantidade de produtos do tipo A e y, a de produtos do tipo B. Este tipo de equao, sozinha, causa certa estranheza e questionamentos. possvel resolver uma equao com duas incgnitas? H soluo nica? Como saber se h soluo? Se houver vrias solues, aceitam-se todas? H teoria matemtica para o problema? Equaes como esta (duas incgnitas e uma nica equao), estudadas nas licenciaturas de matemtica, so chamadas de Equaes Diofantinas Lineares (EDL), em homenagem ao sbio Diofanto de Alexandria, e fazem parte do objeto de pesquisa deste trabalho. O autor dessa pesquisa trabalha, h algum tempo, com o ensino de Equaes Diofantinas e constatou que as dificuldades no processo ensino-aprendizagem deste assunto so evidentes. Essas equaes so atreladas frequentemente nos livros didticos a apenas exerccios algbricos repetitivos. Diante destas reflexes, formulou-se, assim, a questo principal de pesquisa deste trabalho: De que forma um conjunto de atividades direcionadas para problemas em situaes do cotidiano, com solues visualizadas e interpretadas graficamente, poderia contribuir para o ensino e aprendizagem de EDL, junto a um grupo de estudantes de cursos de Licenciatura em matemtica?

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Ento, este trabalho de pesquisa teve como objetivo auxiliar o aprendizado do aluno, atravs de uma sequncia de atividades, na resoluo e compreenso de problemas que recaem nas EDL, com duas ou trs incgnitas, bem como no entendimento da teoria de suporte. A metodologia da investigao consistiu na aplicao de uma Sequncia de Atividades, constituda de textos auxiliares, questes de manipulao e, principalmente, explorao de resoluo de problemas. As Atividades foram implementadas e aplicadas, conforme objetivos e concepes previamente assumidas (ZABALA, 2007; PONTE, 2003, POLYA, 1995) para alunos dos cursos de licenciatura em Matemtica da UFVJM e PUC Minas Betim. Os resultados evidenciaram a dificuldade dos alunos na compreenso e resoluo de problemas. Todavia, com a insero da interpretao geomtrica das solues inteiras de uma EDL, constatou-se uma melhor aprendizagem dos mesmos quanto existncia e ao nmero de solues positivas no campo dos nmeros inteiros. Tambm deve ser ressaltado que esse tema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental de uma forma introdutria, atravs do mtodo de tentativas, com melhor explorao no ensino mdio com a utilizao das progresses aritmticas e sistemas lineares. Enfim, ser trabalhado de uma maneira mais rigorosa e formal na educao superior. Nesta dissertao, o captulo 1, denominado de Introduo, coloca a situao de pesquisa com a justificativa e a questo formulada. O captulo 2 aborda a origem das EDL, resgata os contedos matemticos bsicos de suporte e apresenta as teorias das EDL de duas e trs incgnitas. Em seguida expe as experincias de alguns autores com as EDL na rea da Educao Matemtica. O captulo 3 discorre sobre as orientaes didtico-metodolgicas, descreve, comenta e analisa os dados da pesquisa. O captulo 4 relata as Consideraes finais e no Apndice encontram-se os registros e comentrios analticos das etapas das solues das atividades didticas realizadas pelos alunos participantes durante a pesquisa.

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2 EQUAES DIOFANTINAS: ORIGEM, TEORIAS E LITERATURA

2.1 Origem e Teorias Matemticas

Diofanto de Alexandria viveu no sculo III d.C e pouco se sabe da sua vida, sendo que o nico dado pessoal sobre ele encontrase sob forma de problema, na chamada Antologia grega do 5 ou 6 sculo:

Deus lhe concedeu ser menino pela sexta parte de sua vida, e somando sua duodcima parte a isso, cobriu - lhe as faces de penugem. Ele lhe acendeu a lmpada nupcial aps uma stima parte, e cinco anos aps seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criana; depois de viver a metade da vida de seu pai, o Destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a cincia dos nmeros, ele terminou sua vida. (BOYER, 1996, p.121).

Resolvendo, matematicamente esse enigma, a equao que representa o problema ser: . Conclumos que ele viveu 84 anos, se caso esse enigma for historicamente exato. Diofanto escreveu duas obras sobre Nmeros Poligonais e Arithmetica. Esta ltima obra consiste em treze livros, dos quais s os seis primeiros foram preservados. Numa coletnea de problemas, na maioria das vezes indeterminados, em resolues, eram utilizados mtodos algbricos, distinguindo-se da Matemtica grega clssica. A Arithmetica uma coleo de 150 problemas, todos formatados em termos de exemplos numricos especficos. Embora pretendessem a obteno da generalidade do mtodo, os problemas determinados e indeterminados eram resolvidos de forma semelhante. Ainda que esses ltimos tenham infinitas solues, buscavase uma s resposta para eles. Muitos sculos aps os trabalhos de Diofanto, no se registrou um avano qualitativo no ponto de vista terico. Houve, nesse intervalo de tempo, a criao do sistema de numerao decimal posicional e a introduo do zero pelos hindus, a sua adoo pelos rabes e o seu uso na Europa mais tarde. Tambm nesse longo perodo, foram aperfeioados os algoritmos para se efetuar as operaes, as fraes e a Aritmtica Financeira. Segundo Hefez (1997), o despertar da Aritmtica Terica se houve no sculo XVII pelos trabalhos do jurista e matemtico francs Pierre de Fermat (16011665). Nas suas obras foram enunciados vrios teoremas, dos quais raramente eram demonstrados. Muitas

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demonstraes desses teoremas foram feitas por outros matemticos, sendo um deles, o matemtico suo Leonhard Euler (17071783), considerado o mais produtivo de todos os tempos, cujos trabalhos realizados nos seus 55 anos de atividades no caberiam em 80 grossos volumes. Grandes matemticos como Legendre, Gauss, Dirichlet, Dedekind, Riemann e Hilbert, contriburam para o desenvolvimento posterior da Teoria dos Nmeros considerada por muitos a rea mais nobre da Matemtica. Segundo Hygino, devido utilizao desses mtodos algbricos por Diofanto, define se Equaes Diofantinas como:

Todas as equaes polinomiais (com qualquer nmero de incgnitas) com coeficientes inteiros, buscando sempre que se tratam procurar, suas possveis solues tambm entre os inteiros. Isso embora Diofanto s tenha estudado algumas dessas equaes, em casos particulares e tambm embora o universo que tenha usado para resoluo dos seus problemas fosse o conjunto dos nmeros racionais positivos. (HYGINO, 1991, p. 119).

Hefez (1997) define Equaes Diofantinas como equaes polinomiais, com coeficientes inteiros (para as quais s se est interessado em solues inteiras ou racionais). Muitas outras Equaes Diofantinas foram estudadas, algumas resolvidas por mtodos elementares, outras requeriam mtodos mais sofisticados. Uma equao estudada desde a antiguidade a equao pitagrica: = que possui infinitas solues e com

frmulas que permitem gerar todas elas. Pierre de Fermat afirmou, sem demonstrar, que a equao = para n > 2, no permitia solues inteiras positivas. Aps suas leituras

de uma traduo da Aritmtica de Diofanto, no seu comentrio relativo ao oitavo problema do segundo livro que se refere equao pitagrica = . Fermat escreveu:

Ao contrrio, impossvel separar um cubo em dois cubos, uma potncia quarta em duas potncias quartas, ou em geral, qualquer potncia acima da segunda em duas potncias do mesmo grau. Eu descobri uma demonstrao verdadeiramente maravilhosa que esta margem muito estreita para conter. (HEFEZ, 1997, p. 106).

Este teorema citado, mas conhecido como o ltimo Teorema de Fermat, at incio da dcada de 90, no havia sido provado. Finalmente, em 1993, Andrew Wiles, exibindo um manuscrito de cerca de 200 pginas, anunciou que havia demonstrado este teorema, sendo necessrios dois anos para que os especialistas analisassem esse trabalho e que o prprio Wiles esclarecesse vrios pontos, para que a prova fosse reconhecida como completa e

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correta. Venceuse uma dos maiores desafios da Matemtica, no se acreditando que Fermat realmente tivesse a demonstrao desse teorema. Vale ressaltar que, apesar deste tipo de equaes que visa solues inteiras receber o nome de Diofantinas, graas a Diofanto de Alexandria, o primeiro matemtico a encontrar uma soluo geral de uma EDL foi o hindu Bramagupta (598 670), cuja resoluo foi embasada no algoritmo de Euclides. Segundo Fernandes (2005), certamente muitas dessas equaes podem ser resolvidas por tentativas, mtodo muito utilizado na idade mdia. Todavia, h muitos problemas cujas possibilidades so limitadas, requerendo muitas delas. Um dos textos mais antigos contendo esse tipo de problema foi encontrado na Europa, sendo um manuscrito do sculo X, acreditando ser uma cpia de uma coleo de quebracabeas preparada por Alcuin De York (735 804) para o rei Carlos Magno (742 814), que era o seguinte:

Quando 100 alqueires (medida antiga para cereais) de gro so distribudos entre 100 pessoas, de modo que cada homem receba 3 alqueires, cada mulher 2 e cada criana alqueire, qual o nmero de homens, mulheres e crianas que participou da distribuio? (FERNANDES, 2005, p.101).

O problema descrito pelo sistema de equaes lineares

Multiplicando a equao II por 2, teremos o sistema equivalente

Fazendo equao II equao I, obteremos a equao 5x + 3y = 100. Conclui se que: x = .

Observase que o problema se restringe a solues inteiras e positivas, e que para x ser inteiro, o numerador 100 3y divide 5, e para ser positivo, 0 . Sabendose que y

pertence ao conjunto dos inteiros, verificamos que seus possveis valores so 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, e so possveis solues inteiras e positivas: (20, 0, 80), (17, 5, 78), (14, 10, 76), (11, 15, 74), ( 8, 20, 72), ( 5, 25, 70), (2, 30, 68). Se observarmos o conjunto das possveis solues do problema, podemos generalizar essas solues para o campo dos nmeros naturais, utilizando o conhecimento das progresses aritmticas, concluindo que x = -1 + 3 t, y = 35 5 t, z = 66 + 2 t, com t Ne1 t 7. Alcuin apresentou apenas a soluo inteira

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(11, 15, 74). Com a introduo das Equaes Diofantinas, veremos que possvel encontrar a soluo geral para as variveis do problema, discretizando o parmetro t para o campo dos nmeros inteiros. Se for considerado como domnio o conjunto dos nmeros reais, a interpretao grfica do conjunto-soluo deste tipo de sistema linear, no interseo de dois planos, conforme o GRFICO 1. , ser uma reta, definida pela

GRFICO 1: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo de um sistema linear possvel e indeterminado no Fonte: Plotado no software MAPLE

Se for considerado como domnio o conjunto dos nmeros inteiros, a interpretao geomtrica do conjunto-soluo deste tipo de sistema linear uma coleo de pontos colineares, em conformidade com o GRFICO 2.

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GRFICO 2: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo de um sistema linear possvel e indeterminado no Fonte: Plotado no software WINPLOT A

utilizao da tecnologia na sala de aula de suma importncia no processo ensino-

aprendizagem atrelada ao papel do professor como elemento mediador entre os estudantes. Corre-se um risco eminente no mbito pedaggico tecnicista, de se ter uma supremacia dos recursos tecnolgicos em relao a quem o conduz. Laudares (2001) fez uma colocao muito interessante sobre a dicotomia computador/sujeito:

A ferramenta - computador - no tem inteligncia, sensibilidade, emoo e nem intuio, caractersticas prprias dos sujeitos; somente quando usada por um sujeito que a ferramenta se torna instrumento que pode explicitar as muitas qualidades de quem a manuseia. (LAUDARES, 2001, p. 69)

Neste trabalho, sero abordadas as EDL com duas e trs incgnitas, cuja fundamentao terica tem como base o livro (Fundamentos da Aritmtica, do Hygino H. Domingues, 1991), onde sero enfatizados alguns tpicos bsicos da Teoria Elementar dos Nmeros, tais como: Mltiplos e Divisores, Algoritmo da Diviso, Mximo divisor Comum, Processo das Divises Sucessivas, Teorema de Bzout, que sero pilares para o estudo das EDL.

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2.1.1 Mltiplos e Divisores

Afirmamos que um nmero inteiro a, no nulo, divide um nmero inteiro b quando existe um inteiro k tal que b = ka. Quando isso acontece, dizemos que a divisvel por b ou b mltiplo de a. Usamos a notao a Exemplo: 5 30 = 6. 5 = {ak / k Z}. (a divide b).

O conjunto dos mltiplos de um nmero inteiro a definido por EX: = {5k / k Z}. e a , ento a com a,b, c, x, y

PROPOSIO 1: Se a

Z, onde a no nulo.

Prova: Se a , ento b = ka, com k

Z. Multiplicando ambos os membros pelo nmero c = a, com Z. Multiplicando ambos

inteiro x, teremos a equao I: bx = kax e se a

os membros por y inteiro, teremos a equao II: cy = obteremos: bx + cy = (kx + mostrando que a . y).a. Fazendo

ay. Somando as equaes I e II, Z,

= kx + y, teremos bx + cy = a, com

2.1.2 Algoritmo da Diviso: (Algoritmo de Euclides)

Para quaisquer a e b inteiros, com b > 0, existe um par nico de inteiros q e r, de maneira que a = bq + r, onde 0 r < b. Z, ento a mltiplo a < b.(q + 1).

Prova da existncia: Seja b um nmero inteiro positivo no nulo. Se a

de b ou est compreendido entre dois mltiplos consecutivos de b, isto , bq Se bq a, ento a = bq + r, onde r Zer

0. Se a < b.(q + 1), temos que bq + r < bq + b r < b. , , , , onde + b.( , com 0 )= e < b. .

r < b. Logo, podemos afirmar que a = bq + r, com 0

Prova da unicidade: Suponhamos que existam inteiros e que satisfaam s igualdades: a = b Se b > eb> , ento b > + , com 0 +

< >...>... > ser, para algum ndice n,

Generalizando:

De qualquer forma, a sequncia b >

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= 0. = ...= mdc ( , onde ) = mdc ( b, = mdc ( ) = ( mdc (a, b). ) = mdc ( ) = mdc ( )=

Ex: Encontrar o mdc (41,12) * 3 2 2 2 41 12 5 2 1 5 2 1 0 41 = 12. 3 + 5 12 = 5. 2 + 2 5 = 2. 2 + 1 2 = 2. 1 + 0

Logo o MDC(41, 12) = 1

2.1.5 Teorema de Bzout ( Etienne Bzout 1730 1783)

Se d = mdc (a, b), ento existem

,

Z, de maneira que a

+b

, = d. e , . Z.

Prova: Se d = mdc (a, b), temos que d . e Pela proposio 1, podemos afirmar que se Ento a que a +b +b e

. Seja c inteiro, onde , ento ) com

= kc, com k inteiro. Se d = mdc (a, b) = kc = d ,

, ento d = kc, logo, verificamos

Para encontrarmos os inteiros

usamos o processo das divises sucessivas, +

isolando os restos, fazendo combinaes at encontrar a combinao linear desejada: a b =d 5 = 41 12. 3 2 = 12 5. 2 1 = 5 2. 2 5 2. (12 - 5. 2) = 1 1 = 5 2. 2 5 2. (12 - 5. 2) = 1 =5e 5 . 5 + 12. ( - 2) = 1 = - 17 5. ( 41 12 . 3) + 12. ( - 2) = 1 5 . 5 + 12. ( - 2) = 1 5e = - 17 5. ( 41 12 . 3) + 12. ( - 2) = 1

Exemplo: Aplicar o teorema de Bzout para os inteiros a = 41 e b = 12. 41 = 12. 3 + 5 12 = 5. 2 + 2 5 = 2. 2 + 1 5 2. 2 = 1

41. (5) + 12. ( -17) = 1. Ento 5 = 2. 2 + 1 5 2. 2 = 1

41.(5) + 12. (-17) = 1. Ento

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2.1.6 Equaes Diofantinas Lineares Com Duas Incgnitas

So equaes do tipo ax + by = c, onde a, b e c so nmeros inteiros dados e as solues x e y procuradas, tambm pertencem ao conjunto Z. PROPOSIO 3: Uma Equao Diofantina Linear: ax + by = c tem soluo se, e somente se, d divide c, onde d = mdc(a, b).

Prova: Se d = mdc(a, b), ento, pelo Teorema de Bzout podese afirmar que existem r e s inteiros, tais que ar + bs = d. Multiplicando a equao pelo nmero inteiro t, teremos uma nova equao a(rt) + b(st) = dt. Fazendo c = dt, mostra que d . Ento soluo particular da equao ax + by = c. = rt e = st uma

PROPOSIO 4: Se a EDL: ax + by = c tem uma soluo ( solues cujo conjunto das mesmas expresso por S = { t,

,

), ento tem infinitas t), t }.

Prova: Se o par ordenado ( ento a +b

uma soluo particular da Equao Diofantina acima,

= c. Tomando o par (x, y) como uma soluo genrica da equao, temos que ) = b. ( - y). Se d = mdc (a, b), ento y) e . Logo, a = dr e

ax + by = c. Ento a. (x -

b = ds, onde r e s so inteiros e primos entre si, isto , mdc (r, s) = 1. Substituindo os valores de a e de b, teremos dr. ( x ento r conclumos que y = que ordenado ( + t, x= ) = ds. ( ) = s. ( - y). Se r no divide s,

- y = rt, com t inteiro.. Ento y = t / t + st. Se s = t), com t

- rt. Sabendo que r = ,

Z. Analogamente se s no divide r, ento conclumos ento x = + t/ t Z. Ento verificamos que o par

Z a soluo geral da EDL: ax + by = c.

Vamos aplicar esse conhecimento com o seguinte problema:

O valor da entrada de um cinema R$8,00 e da meia entrada R$5,00. Qual o menor nmero de pessoas que pode assistir a uma sesso de maneira que a bilheteria seja de R$500, 00? (Em tempo; a capacidade desse cinema suficiente para esse nmero de pessoas.) (DOMINGUES; IEZZI, 2003, p. 52, exerccio 36).

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RESOLUO: Inicialmente identificaremos quais as variveis do problema, onde x o nmero de pessoas que pagaro o valor integral da entrada, e y corresponde ao nmero de pessoas que pagaro o valor da meia entrada. Posteriormente, vamos escrever a lei matemtica que representa o problema que recai na EDL: 8x + 5y = 500 e visa solues inteiras e positivas. Aplicando o teorema de Bezout , temos:

* 8 3 8 = 5.1 + 3 3 = 2.1 + 1 3 = 8 5.1 1 = 3 2.1 5 = 3.1 + 2 3 2.1 = 1

1 1 1 2 5 3 2 1 2 1 0 2 = 5 3.1 3 (5 3.1). 1 = 1 8.2 5.2 5.1 = 1

3 5.1 + 3.1 = 1

3.2 5.1 = 1

(8 5.1) .2 5.1 = 1

8.2 + 5. ( -3) = 1. Multiplicando a equao por 500, temos: 8.(1000) + 5. (-1500 ) = 500. Ento o par ordenado ( 1000, - 1500) uma soluo particular da equao acima. Verificamos que a soluo geral dada por x = 1000 + 5t e y = -1500 8t, com t Z.

O problema requer solues inteiras e positivas. Faremos x que o parmetro t assume valores -200 admitidos por t so {-200 t t

0ey

0. Conclumos

-187,5. Se t inteiro, ento os possveis valores

-188}. Para que encontremos o menor nmero de pessoas,

usaremos o maior valor encontrado para t = -188. Da encontramos x = 60 e y = 4. Sendo assim, o menor nmero de pessoas ser 64. OBS: Podemos encontrar o conjunto de solues inteiras de uma equao linear no software MAPLE atravs do comando isolve. EX: isolve(5*x+8*y=500,t). Podemos fazer a interpretao geomtrica desse problema que ser um conjunto de pontos alinhados que pertencero reta de equao 8x + 5y = 500, conforme o GRFICO 3, que foi plotado no software matemtico GRAPHMATICA. A partir da soluo geral, podemos atribuir os valores inteiros para t encontrados acima e usando a tabela DataPlot, inserimos alguns pontos no grfico que satisfazem a equao.

X 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Y 4

0

12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100

22

GRFICO 3: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo da equao linear 8x + 5y = 500, no domnio discreto positivo. Fonte: Plotado no software GRAPHMATICA.

Caso a EDL tenha soluo, observamos que quando o coeficiente angular da retasuporte ax + by = c for negativo, teremos um nmero finito de solues inteiras e positivas. Analogamente, se ele for positivo, a EDL ter infinitas solues inteiras e positivas.

2.1.7 Equaes Diofantinas Lineares com Trs Incgnitas

A pouca explorao das EDL com trs incgnitas nos livros didticos e artigos cientficos despertou a minha curiosidade na resoluo de problemas que recaem nas equaes do tipo ax + by + cz = m, cuja soluo pertence ao conjunto dos nmeros inteiros. O livro: Fundamentos da Aritmtica do Hygino H. Domingues, (1991, p. 121) mostra apenas a soluo particular da EDL com trs incgnitas, entretanto, no livro Introduo Teoria dos nmeros: Um breve curso. do Joo Carlos Vieira Sampaio foi encontrado um exemplo da

23

soluo geral da EDL: 2x - 6y + 5z = 3 (SAMPAIO, 2008, p.63), que muito contribuiu para esta pesquisa. Conclumos que, a partir da soluo geral da EDL: ax + by = c, sendo o par ordenado t, t), t seria possvel encontrar o conjunto de solues inteiras de

equaes com mais de duas incgnitas.

PROPOSIO 5: A EDL: ax + by + cz = m, com a, b, c, inteiros no nulos e m inteiro tem soluo se, e somente se, d = mdc (a, b, c) divide m.

Prova: Seja

= mdc(a, b), com

ento existem r e s inteiros para os quais ar + bs = tais que = d. Fazendo +c = rk e = d. =

e seja d = mdc (

c), ento existem os nmeros inteiros k e = d. Temos que a(rk) + b(sk) + c

Sendo assim, (ar + bs)k + c sk, ento a d +b +c

= d. Se a equao ax + by + cz = m admite soluo, afirmamos que

logo, m = q.d, com q inteiro. +b + c q = dq = m, mostrando que a terna ordenada ( , , ) uma

Assim, a

soluo particular de ax + by + cz = m. Vejamos o exemplo de uma soluo particular da EDL 3x + 5y + 6z = 4 (Fundamentos da Aritmtica, 1991, p.124). O mdc (3,5) = 1. Temos que 5 = 3.1 + 2 3 2.1 = 1 3 (5 3.1). 1 = 1 2 = 5 3.1 3 = 2.1 + 1 1 = 3 2.1

3. (2 ) + 5. ( - 1) = 1 (3.2 + 5. (- 1) . 7 + 6.( -1) = 1

O mdc(1, 6) = 1. Ento 1 .(7) + 6. ( -1) = 1

3. (14) + 5. ( -7) + 6 . (- 1) = 1 Se m = 4, ento q = 4. Multiplicando a combinao linear por 4, teremos: 3.(56) + 5. (-28) + 6.(-4) = 4, mostrando que a terna ordenada (56, -28, - 4) uma de suas solues particulares.

SOLUO GERAL: Seja a EDL ax + by + cz = m, com a, b, c, inteiros no nulos e m inteiro. Inicialmente procuraremos a soluo geral da EDL: ax + by = p, onde p k a com k inteiro e + b = mdc(a, b), Podemos afirmar que existem inteiros + b e k)= t, com t Zep= tais que = p. z.

. Multiplicando a equao por k, teremos: a + tey=

Conclumos que a soluo geral dessa equao x = Tomamos a equao P + cz = ordenado ( + w, -

+ cz = m. Seja mdc( , k) = d, conclumos que o par Z a soluo geral dessa equao. Substituindo k na

w), com w

24

soluo geral encontrada na equao ax + by = p, verificamos que a soluo geral da equao ax + by +cz = m expressa por: S={ + w) + t, + w) t, w}, com t,w Z}

Como aplicao, vejamos o seguinte problema:Combinando moedas de 1, 10 e 25 centavos como podemos totalizar 99 centavos? (SAMPAIO, 2008, p 64). O problema

citado representado pela equao linear 0,01x + 0,10y+ 0,25z = 0,99 que

equivale equao x + 10y + 25z = 99, onde x o numero de moedas de 1 centavo, y corresponde ao de 10 centavos e z ao nmero de moedas de 25 centavos. Fazendo a igualdade 10y + 25z = 5k, com k Z, onde mdc (25,10) = 5 teremos a equao x + 5k = 99. Efetuando a

combinao linear de Bzout, obtemos: 1. (6) + 5. (-1) = 1. Multiplicando ambos os membros por 99, teremos 1. (594) + 5. (-99) = 99. Conclumos ento que a equao diofantina: x + 5k = 99 ter soluo geral x = 594 + 5w e k = - 99 w, com w z. Retornamos equao 10y +

25z = 5k que equivalente 2x + 5y = k e aplicando o teorema de Bzout, teremos que 2. (2) + 5. (1) = 1. Multiplicando a equao por k, verificamos que 2. (- 2k) + 5. ( k) = k, concluindo que y = - 2k + 5t e z = k 2t, com t inteiro. Substituindo o valor de k nessas equaes, conclumos que a soluo geral da equao x + 10y + 25z = 99 S = {594 + 5w, 198 + 2w +5 t, - 99 w 2t; com t, w requer solues inteiras e positivas. Fazendo x valores de w esto compreendidos entre ,y Z}. Observamos que o problema z , teremos que os possveis , ento -118 w - 99.

e 99. Como w

Para w = - 118, temos que t = 8 ou 9, logo x = 4, y = 2 e z = 3 ou x = 4, y = 7 e z = 1 Para w = - 117, temos que t = 8 ou 9, logo x = 9, y = 4 e z = 2 ou x = 9, y = 9 e z = 0 Para w = - 116, temos que t = 7 ou 8, logo x = 14, y = 1 e z = 3 ou x = 14, y = 6 e z = 1 Para w = - 115, temos que t = 7 ou 8, logo x = 19, y = 3 e z = 2 ou x = 19, y = 8 e z = 0 Para w = - 114, temos que t = 6 ou 7, logo x = 24, y = 0 e z = 3 ou x = 24, y = 5 e z = 1 Para w = - 113, temos que t = 6 ou 7, logo x = 29, y = 2 e z = 2 ou x = 29, y = 7 e z = 0 Para w = - 112, temos que t = 6, logo x = 34, y = 6 e z = 0 Para w = - 111, temos que t = 5 o u 6, logo x = 39, y = 1 e z = 2 ou x = 39, y = 6, z = 0 Para w = - 110, temos que t = 5, logo x = 44, y = 3 e z = 1 Para w = - 109, temos que t = 4 ou t =5, logo x = 49, y = 0 e z = 2 ou x = 49, y = 5, z = 0 Para w = - 108, temos que t = 4, logo x = 54, y = 2, z = 1 Para w = - 107, temos que t = 4, logo x = 59, y = 4, z = 0 Para w = - 106, temos que t = 3, logo x = 64, y = 1, z = 1

25

Para w = - 105, temos que t = 3, logo x = 69, y = 3, z = 0 Para w = - 104, temos que t = 2, logo x = 74, y = 0, z = 1 Para w = - 103, temos que t = 2, logo x = 79, y = 2, z = 0 Para w = - 102, temos que t no inteiro. Portanto, o problema possui 24 combinaes possveis.

A interpretao geomtrica das solues inteiras da EDL com trs incgnitas um conjunto de pontos que pertencem ao plano ax + by + cz = m. Para uma visualizao geomtrica, discreta, de algumas solues inteiras e positivas da equao x + 10y + 25z = 99 utilizou-se o software matemtico WINPLOT, conforme registrado no GRFICO 4.

X Y Z

4 2 3

4 7 1

9 4 2

9 9 0

14 1 3

14 6 1

19 3 2

19 8 0

24 0 3

24 5 1

z

y

x

GRFICO 4: Visualizao geomtrica parcial do conjunto-soluo da equao linear x + 10y + 25z = 99, no domnio discreto. Fonte: Plotado no software WINPLOT

2.1.8 Congruncias Lineares

Sejam a, b e m nmeros inteiros, com m > 0; dizse que a congruente a b mdulo m se, somente se, m um divisor de a b. Usa- se a notao: a Exemplo: 32 5 (mod 9) 9 9 b (mod m)

Vejamos agora o seguinte problema:

26

Dados dois nmeros inteiros a e b e um nmero inteiro no nulo m, determinar todos os nmeros inteiros x tais que ax b (mod m). (MONTEIRO, 1971, p. 149).

Esse problema conhecido pelo nome de Congruncia do 1 grau mdulo m ou Congruncia linear mdulo m.

PROPOSIO 6: Diz-se que um nmero inteiro somente se, a

uma soluo de ax

b (mod m) se, e

b (mod m). O conjunto de todos os nmeros inteiros que satisfazem essa b (mod m).

condio chamado de conjunto-soluo da congruncia linear ax

Demonstrao: Se com q

uma soluo de ax

b (mod m), ento m

- b = mq,

Z. Ento, a(

) - m(q) = b. Da a equao diofantina ax my = b admite o par

ordenado (

, q) como uma soluo particular. Portanto, se esta equao tem soluo, isto , b (mod m) tambm

d , onde d = mdc(a, m), podese afirmar que a congruncia linear ax ter soluo. Vejamos o exemplo: 5x 5x 2 = 26y, y Z 2 (mod 26)

5x 26y = 2. Resolvendo a equao diofantina, teremos; 5. ( - 10) - 26. ( - 2) = 2 x 16 (mod 26), logo x = -10 - 26t, t Z. S = {16 }

5. ( -5) 26. ( - 1) = 1 x -10 (mod 26)

= 16.

Consideremos agora o seguinte problema:

Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir entre si, igualmente, as moedas de ouro de uma arca, verifica que 3 moedas sobrariam. Na discusso que se seguiu um dos piratas foi morto: na nova tentativa de diviso, j com um pirata a menos, desta feita 10 moedas sobrariam. Novo quiproqu e mais um pirata morto. Mas agora, por fim, possvel dividir a fortuna entre eles. Qual o menor nmero de moedas que a arca poderia conter? (DOMINGUES, 1991 p. 142, exerccio 299).

Inicialmente, ao dividir x moedas para 17 piratas, cada um receber y moedas de ouro. Portanto, teremos a equao x = 17y + 3. Morrendo um pirata, teremos x = 16 z + 10 e, finalmente morrendo outro, teremos x = 15 w, com x, y, z, w inteiros positivos. Temos que

resolver o sistema de congruncias lineares

27

Na primeira congruncia linear verificamos que x = 17y + 3. Substituindo na equao 2 teremos: (17y + 31 0 (mod 16) 17. (7) 16. (7) = 7 122 272t = 15w, w 17y + 3 - 10 = 16z, z Z. 17y 16z = 7 1 7. (1) -16.(1) = 1 x = 119 272t + 3 0( mod 15) y = 7 16t, t Z.Temos que x = 17( 7 16t ) + 3

x = 122 272t. Substituindo o valor de x na equao 3, teremos ( 122 272t)

Z. Resolvendo a equao diofantina: 272 t + 15w = 122. Conclumos Z. Substituindo o valor de t na equao x = 122 272 t, Z.

que o valor de t = - 854 + 15k, k

teremos: X = 122 272. ( - 854 + 15k) x = 122 + 232.288 4080k, k x 232.410 (mod 4080), logo x

3960 (mod 4080). Portanto, a soluo do problema

S = {3960}

2.2 Experincias com o Ensino de Equaes Diofantinas

Atividades exploratrias com EDL, na perspectiva dos PCN e da Educao Matemtica, isto , destinadas a contribuir para o desenvolvimento de habilidades do pensamento do estudante a partir de situaes que lhe exija interpretao, reflexo, investigao e anlise ainda no so muitas. Mas algumas experincias de professores pesquisadores sobre EDL foram encontradas na reviso bibliogrfica deste trabalho.

2.2.1 As experincias de Patrcia Sadovsky

As suas experincias esto relatadas em um livro com o ttulo: O espao social da sala de aula: condio propcia para a produo de conhecimento A autora parte do princpio de que a elaborao de conhecimento em equipe propicia um aprofundamento de ideias sobre uma questo num determinado momento, motivando o aluno a trabalhar em grupos, gerando novas indagaes entre eles, criando novas possibilidades para o ensino da matemtica. O universo de incerteza mostra que melhor no o mesmo que o indiscutvel. H momentos em que as questes novas enfrentadas pelos alunos propiciam tantas dvidas que o intercmbio entre eles geram novas perguntas, aumentando as possibilidades para o

28

matemtico. O professor um elemento importante nesse processo, pois, alm de complementar a elaborao de uma ideia, cabe a ele nortear o aluno nas suas diferentes decises, tornando a qualidade do aprendizado efetiva. O tema EDL foi explorado pela autora numa sala de aula para uma turma de stima srie, onde foi proposto um problema que abordava novas questes alusivas transio aritmticalgebra, onde o aluno tinha que experimentar e explorar, individualmente, sendo enfatizada a necessidade de reflexo sobre as formas de articulao da classe, as dimenses privada e pblica, o trabalho pessoal e o espao coletivo. Foi lanado o seguinte problema:

Marisa tem 20 reais em moedas de 10 e 50 centavos. Quantas moedas de cada tipo pode ser que ela tenha? (SADOWAKY, 2007, p. 59).

A proposta desse problema compreendia as seguintes tarefas para os alunos: Produzir solues, definir o nmero de solues do problema, argumentar sobre a diversidade das variveis e criar um procedimento que permita a generalizao da produo de todas as solues. Ao mesmo tempo em que esse problema possibilita a utilizao de estratgias bsicas da aritmtica, ele impe certa dificuldade para o aluno nessa transio para a lgebra, devido noo de varivel e dependncia, busca de um procedimento padro que obtenha todos os pares de solues do problema, gerando, inicialmente, um mundo de incertezas, provocando perguntas que conduzam aos conhecimentos necessrios para a introduo s prticas algbricas. O problema das moedas foi trabalhado em duas aulas e dividido em quatro etapas na sala de aula. A primeira etapa foi feita individualmente com cada aluno, procurando as solues, a quantidade delas e criando um procedimento para a obteno das mesmas. A etapa II foi realizada em grupos, optando por um nico procedimento ou gerando outro. A etapa III foi feita pelo professor, colocando os procedimentos de cada grupo na lousa e feita a anlise dos procedimentos expostos, em pequenos grupos. Finalmente, houve a culminncia na etapa IV atravs de um debate coletivo sobre os procedimentos. O confronto entre as diversas produes da classe teve um carter retroativo do ponto de vista de cada aluno, incentivando a busca de critrios para estabelecer o nmero de solues do problema, onde as dvidas e incertezas so elementos importantes no processo. A autora analisa cinco procedimentos interessantes criados pelos grupos, verificando as diferentes argumentaes de cada grupo: P.1) Somando 1,2,3,...,n moedas de 50 centavos e subtraindo de 20 e dividindo o resultado por 0,1 encontraremos a quantidade de moedas de 10 centavos. (Mrio e Mariano)

29

Esse procedimento propicia o encontro de solues particulares do problema e dificulta a obteno de um algoritmo que generalize o conjunto-soluo do mesmo. P.2) Escolhese um nmero de 0 a 200. Multiplica-o por 10, obtendo a quantidade de moedas de 10 centavos. Diminui o resultado de 2000 e divide por 50, encontrando o nmero de moedas de 50 centavos. (Guilherme, Alessandro, Manoel e Joo) 2000 340 = 1660

Exemplo: 34

10 = 340

1.660

50 = 33,2

Resposta: 33 moedas de 50 centavos e 35 de 10 centavos

Esse procedimento particulariza a soluo do problema, pois o grupo parte de um exemplo, escolhendo um nmero de 0 a 200 (universo da quantidade de moedas de 10 centavos: 20 10) e no percebeu o truncamento na converso de nmeros decimais em 0,50 = 0,1, evidenciando que a quantidade de moedas de 10 centavos vai n menor que 40 2000C)

inteiros, gerando uma boa discusso na hora do debate, pois o resultado 0,2 ignorado por eles, mostra que 0,2 de 5 em 5. P.(3) Nmero de moedas de 10 centavos: (50C Nmero de moedas de 50 centavos: (20 A 10 =A

0,10) = B ( Gabriel, Alex, Martim e Xavier)

Esse grupo criou dois algoritmos. Cometeu um erro no primeiro, pois o correto seria 2000 50n, e mostrou um uso aritmtico com letras, um algoritmo para cada varivel. P.(4) 20 195 0,5 = 40 20 1 190 0,1 = 200 0,10 + 0,5 200 2 40 = 5 5 200 0,10 0,5 40 0,5.

0,10 + 0,5

0,10 + 39

Nota-se que todos os resultados do 20 (Julieta, Lusa, Ester e Rosana). Esse grupo encontrou 41 solues utilizando uma estratgia de compensao da quantidade de moedas de um tipo com moedas do outro tipo. P.(5)Quantidade de moedas de 10 C 0 5 = 50 10 = 100 15 20 200 Quantidade de moedas de 50 C 40 39 = 19,5 38 37 36 Zero

(Slvia, Paula e Sebastio)

30

Os alunos desse grupo partiram de zero moeda de 10 centavos e 40 moedas de 50 centavos. Somavam cinco moedas de 10 centavos e subtraiam uma de 50, at chegar a 200 moedas de 10 centavos e zero de 50 centavos, usando tambm uma estratgia de compensao. O debate desses procedimentos foi efetuado entre os grupos e a professora, onde um grupo discutia o procedimento do outro grupo, gerando dvidas, novos questionamentos, e a docente apenas norteava as discusses, deixando que os alunos construssem o prprio conhecimento. Bloch (1999) considera que a atividade matemtica do professor na sala de aula um indicador da atividade dos alunos. Aps longo debate sobre cada procedimento, compreendemos que a quantidade de solues est atrelada ao problema e no ao procedimento particular utilizado. A proposta desse livro consiste pela luta dos trabalhos coletivos, considerando os alunos seres pensantes, criativos, crticos, capazes de produzir novas ideias, pensar individualmente e no coletivo. A ttulo de contribuio, esta dissertao expande as solues encontradas pelos alunos da autora em questo, apresentando abaixo duas abordagens com referenciais matemticos de nveis mais elevados. Percebe-se que esse tipo de situaoproblema mostra que podemos aplicar as Equaes Diofantinas nos trs nveis de ensino. Se ele fosse aplicado, por exemplo, no ensino mdio, o aluno, por conhecer sistemas lineares e progresso aritmtica, teria mais facilidade ao resolver, pois, fatalmente montaria a lei matemtica 0,10x + 0,50y = 20. Multiplicaria a equao por 10, obtendo x + 5y = 200. Isolando x, teria: x = 200 5y. Se x e y so inteiros e positivos, concluiriam que 0 y 40 e x um mltilpo de 5.

X Y

0 40

5 39 90 20

10 38 95 19

15 37 100 18 170 4

10 36

15 35 105 17

20 34 110 16

25 33

30 32 115 15

35 31 120 14

40 30

45 29 125 13

50 28

55 27

60 26 135 11

65 25

70 24

75 23 145 9

80 22 150 8 155 7

X 85 Y 21 X Y 160 6

130 12

140 10

165 5

175 3

180 3

185 2

190 1

195 0

Observando a primeira linha, verificamos que constitui uma progresso aritmtica de razo cinco. Ento, x = 5n 5, com n , e a segunda linha uma progresso aritmtica de

razo um. Sendo assim, y = 41 - n e n = 41 que corresponde ao nmero de solues do problema.

31

Aplicando esse mesmo problema num curso de licenciatura, o aluno pode usar todos os conhecimentos adquiridos na teoria dos nmeros e aplicar a resoluo de uma Equao Diofantina. X + 5y = 200 1. (6) + 5. (-1) = 1 (1200) + 5( -200) = 200 Z. Fazendo x 0ey 0, teramos - 240 t - 200, X = 1200 + 5 t e y = - 200 t, com t

com t inteiro; acharamos 41 solues. Ainda se pode ter a interpretao geomtrica dessa equao, usando o GRAPHMATICA, o que se v no GRFICO 5.

GRFICO 5: Visualizao geomtrica do conjunto-soluo da equao linear 0,10x + 0,50y = 20, no domnio discreto positivo. Fonte: Plotado no software GRAPHMATICA.

2.2.2 As experincias de Slvio Barbosa de Oliveira

A experincia do autor foi relatada em sua dissertao de mestrado: As Equaes Diofantinas Lineares e o Livro Didtico de Matemtica para o Ensino Mdio

32

Esse trabalho baseado em duas indagaes: Se o objeto do saber Equaes Diofantinas lineares considerado um objeto de ensino nos PCNEM e PCN+ , e se os livros didticos abordam esse tema ou situaes-problema envolvendo o conhecimento da teoria dos nmeros, mais especificamente as EDL. A justificativa do trabalho, relatada pelo autor, baseia-se no interesse pela lgebra, a partir da mudana da metodologia aplicada pelos professores na graduao que consiste na compreenso de conceitos e na interpretao dos resultados dos problemas, contrastando-se com a metodologia do ensino tradicional, que se limitava aplicao correta das regras em exerccios padronizados, em algoritmos sem significado, comuns no ensino mdio, propiciando ao aluno a iluso de que isso era o fazer matemtica. Na sua pesquisa, Slvio destaca alguns livros importantes da educao matemtica tais como Aproaches to Algebra: Perspectives for Research and Reaching, Learning and Teaching Number Theory Research in Cognition and Instruction, onde so citados pesquisadores famosos como John Mason, Lesley Lee, Carolyn Kieran, Alan Bell, Teresa Rojano. O primeiro livro retrata a dificuldade do aluno na aprendizagem da lgebra no mbito mundial, e o segundo, enfatiza os temas da Teoria dos nmeros, considerando a Aritmtica como parte da lgebra, isto , a Aritmtica origina a lgebra quando so abordadas as ideias implcitas da Aritmtica. So citados tambm na sua pesquisa alguns pesquisadores da Educao Matemtica, tais como Campbell e Zazkis (2002), onde enfatizam o estudo da Teoria dos Nmeros como ideias fundamentais da matemtica que consistem em conjecturar, argumentar e demonstrar. Estudiosos tais como Machado et al. (2005) mostram que a Teoria dos Nmeros auxilia os alunos a reconhecer e reparar as limitaes no seu entendimento conceitual da Aritmtica dos nmeros inteiros. Tambm so destacados autores como Ferrari (2002), artigos sobre a Teoria dos Nmeros de membros do grupo de pesquisa Educao Algbrica e de Guzmn (1992), artigos sobre Equaes Diofantinas Lineares de Rama (2005), Barros (1998), La Roque e Pitombeira (1991) e Silva (2002). No trabalho do autor, so objetos de anlise alguns interessantes problemas envolvendo esse tema e enunciados em textos de educadores matemticos:

PROBEMA 1:Um cachecol custa, na Rssia, 19 rublos, mas o caso que o comprador s tem notas de 3, e o caixa, s de 5.. Nessas condies ser possvel pagar a importncia da compra e de que modo? (BARROS, 1998, p. 141).

33

PROBLEMA 2:Prope-se a uma pessoa que multiplique a data do dia do seu nascimento por 12, e o nmero que indica o ms correspondente por 31. Com a soma desses produtos possvel calcular a data de aniversrio da dita pessoa? (BARROS, 1998, p. 143).

PROBLEMA 3:Por R$ 5 000,00 compraram-se 100 unidades de eletrodomsticos. Os preos deles eram os seguintes; TELEVISOR 14 POLEGADAS R$ 500, 00 cada BATEDEIRA R$ 100, 00 cada RDIO DE PILHA R$ 10, 00 cada Quantos eletrodomsticos de cada espcie puderam ser comprados? (BARROS, 1998, p. 45).

PROBLEMA 4:Quantas quadras de basquete e quantas de vlei so necessrias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (LA ROQUE; PITOMBEIRA, 1991, p.39).

PROBLEMA 5:Para agrupar 13 avies em filas de 3 ou de 5, quantas filas sero formadas de cada tipo? (LA ROQUE; PITOMBEIRA, 1991, p.39).

Na sua dissertao, o autor destaca ainda que Edmia Silva (2002) publicou um artigo na Revista do professor de matemtica, lembrando que o estudo das Equaes Diofantinas pode ser tratado em outras reas de conhecimento, assim como na Fsica, Qumica e Biologia. Por exemplo, na Qumica, ao balancearmos uma equao. Cita tambm um problema envolvendo a diviso euclidiana na prova de Olimpada de matemtica em Gois. Enfatizam a ideia da importncia de se trabalhar com problemas que envolvam nmeros inteiros e ver suas aplicaes em outras reas de conhecimento. Para responder a sua primeira indagao, foram analisados dois documentos norteadores da educao no Brasil: Os PCNEM e os PCN+. Constatou-se nos parmetros curriculares nacionais do ensino mdio e nos PCN+ que no h referncia explcita ao tema EDL, pois na abordagem dos eixos temticos lgebra, Nmeros e Funes, verificou-se que seus autores do nfase aos conjuntos infinitos e contnuos, tendo como objeto de estudo, os nmeros reais, os nmeros complexos, as funes e as equaes de varveis reais. Todavia, alguns pesquisadores da Educao matemtica, como Resende (2004), destacam que tratar o conjunto dos nmeros inteiros apenas como um subconjunto dos nmeros reais, deixa passar despercebido aspectos fundamentais tais como a divisibilidade. Respondendo a segunda indagao, foram analisadas duas colees de livros didticos do ensino mdio: A C1 Cincias e Aplicaes (2004), dos autores Gelson Iezzi, Osvaldo

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Dolce, David Degenszajn e Roberto Perigo, e a C2 Matemtica (2005), do autor Luiz Roberto Dante, cada coleo distribudas em trs volumes. Verificou-se que em ambas as colees no constam o contedo Equaes Diofantinas Lineares. As concluses do autor so de que benfico para o aluno e para o ensino de matemtica que o estudo das EDL seja abordado adequadamente ao longo do ensino bsico.

2.2.3 As experincias de Eduardo Sad da Costa Este autor discute sua experincia na dissertao de mestrado: As Equaes Diofantinas Lineares e o Professor de Matemtica do Ensino Mdio. A proposta desse trabalho visa investigar se e como os professores de matemtica do ensino mdio trabalham, com seus alunos, situaes-problema que recaem em Equaes Diofantinas Lineares. A pesquisa feita com uma mostra de professores voluntrios. O autor se graduou em Licenciatura Plena em Fsica e Administrao de Empresas e no conhecia a Teoria dos Nmeros. Aps ingressar no Mestrado em Educao Matemtica na PUC-SP e aps participar do GPEA (Grupo de Pesquisa em Educao Matemtica) e fazer vrias leituras sobre esse tema, ele percebeu a relevncia dessa teoria nas suas aulas de matemtica. Alm da sua aplicabilidade no cotidiano, havia questes de pesquisas interessantes de serem exploradas. O autor, durante as suas pesquisas, recorreu a algumas revistas cientficas e revistas destinadas a professores do ensino bsico, em busca desse tema, encontrando um artigo interessante: Uma Equao Diofantina e suas Resolues (1991), de Gilda de La Roque e Joo Bosco de Pitombeira, que enfatiza a resoluo de EDL, sugerindo aos leitores seu ensino na educao bsica. Esse artigo provocou as seguintes indagaes: Ser que os outros professorem da Educao Bsica esto trabalhando com esse assunto? Caso afirmativo, como est sendo abordado esse tema? Em uma amostra de professores entrevistados pelo autor e colocados diante de alguns problemas de EDL, verificou-se que o assunto no trabalhado no ensino mdio e que o prprio professor no est habituado a resolver problemas nesta linha de abordagem. O autor exorta a comunidade acadmica a incorporar ideias expostas nos trabalhos de pesquisadores da Educao Matemtica que tm dado nfase s questes relacionadas ao ensino da Teoria Elementar dos Nmeros nos trs nveis de ensino de Educao Bsica. Refere-se, por exemplo, a resultados de pesquisas publicados em 2002 em Learning and

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Teaching Number Theory Research in Cognition and Instruction, editada por Stephen R. Campbell e Rina Zazkis. Comenta que nos trabalhos so tratados temas importantes da Teoria Elementar dos Nmeros, fornecendo a indicao da sua potencialidade e enfatizando a sua compreenso mais aprofundada na Matemtica Fundamental, e considera a necessidade de um esforo mais conciso por parte da comunidade dos educadores matemticos e pesquisadores para a investigao desse potencial, levando-se em conta a pouca explorao e desconexo das pesquisas na rea A Teoria dos Nmeros propicia uma variedade de situaesproblema, permitindo que sejam formuladas questes fceis de compreenso pelos alunos do ensino bsico. Coelho, Machado e Maranho (2003) consideram esse tema um campo vasto para o desenvolvimento da rede de significados mencionada nos PCN, pois a Teoria dos Nmeros permite a formulao de questes cuja soluo completa requer incorporao e manejo de conceitos de forma integrada. Todavia, esses mesmos autores consideram a pouca explorao e relevncia dadas pelos professores na educao bsica, embora a Teoria dos Nmeros esteja presente nos currculos de alguns cursos de Licenciatura de Matemtica. A explorao das potencialidades desse tema escassa. O autor refere-se aos trabalhos de Maranho, Machado e Coelho (2004) que destacam uma caracterstica importante da Teoria Elementar dos Nmeros, que a sua facilidade no contexto na introduo do formalismo matemtico, pois os objetos (nmeros) so familiares aos alunos do ensino Mdio desde as primeiras sries do Ensino Fundamental. O autor atenta para a necessidade de se repensar o processo de ensino-aprendizagem dos assuntos inerentes Teoria Elementar dos nmeros no Ensino Mdio, de maneira que apontem novas direes e significaes para o desenvolvimento desse tema.

2.2.4 As experincias de Wagner Marcelo Pommer

Em: EQUAOES DIOFANTINAS LINEARES: Um desafio Motivador para alunos do Ensino Mdio, um trabalho de mestrado, o autor relata a sua experincia com EDL.

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uma pesquisa direcionada a alunos do Ensino Mdio cujo objetivo principal verificar se, como, e em que medida os alunos do Ensino Mdio explicitam conhecimentos que envolvam as EDL. Ele analisa um dos problemas encontrados na Educao Bsica, ressaltado pelo pesquisador Nilson Jos Machado, que o desequilbrio existente entre a Matemtica Discreta e a Matemtica Contnua. Ele revela a existncia de questes simples e interessantes envolvendo nmeros inteiros, no abordados no Ensino Bsico, sendo que, geralmente so resolvidas no campo do conjunto dos nmeros reais, podendo ser ajustadas com solues particulares para os nmeros inteiros, evidenciando a importncia da insero do estudo das EDL na Escola Bsica. Brolezzi (1996) define a dicotomia discreto/contnuo da seguinte maneira:

De modo geral, discreto aquilo que exprime objetos distintos, que se revela por sinais separados, que se pe parte. Vem do latim discretus, particpio passado do verbo discernere (discernir), que significa discriminar, separar, distinguir, ver claro [...]. J contnuo vem de com tenere (ter juntado, manter unido, segurar). Contnuo o que est imediatamente unido outra coisa (BROLEZZI, 1996, p.1).

A Matemtica Discreta ou finita uma ferramenta muito utilizada nas reas cientficas tais como as Cincias da Computao e Economia, e tambm na prpria Matemtica relacionada com os temas da Teoria dos Nmeros, propiciando o desenvolvimento das habilidades de contagem, estimao e previsibilidade. Atualmente so enfatizados tpicos como Mximo Divisor Comum, Nmeros Primos, Aritmtica Modular, e Criptografia. Pommer tambm destaca a importncia dos trabalhos de Resende (2007) e Veloso (2005), que abordam temas voltados aos nmeros inteiros, inseridos no contexto da Matemtica Discreta. Os trabalhos de Oliveira (2006) e Costa (2007) referentes ao estudo das EDL no Ensino Mdio tambm foram importantes na sua pesquisa. A metodologia utilizada pelo pesquisador consistiu na elaborao e aplicao de uma sequncia didtica, embasada na Engenharia didtica, procedimento metodolgico descrito em Artigue (1996), cujos sujeitos da pesquisa foram alunos do Ensino Mdio com prvios conhecimentos bsicos necessrios para o desenvolvimento do tema escolhido. A estratgia usada nessa investigao foi a de tentativa e erro, permitindo ao aluno determinar algumas ou todas as solues inteiras de uma EDL, mas no possibilitando verificar a inexistncia da soluo.

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O autor tambm enfatiza a importncia da necessidade do repensar e da valorizao de propostas articuladas em sala de aula que envolva situaes no mbito da Matemtica Discreta, conforme relatado em Moura (2005).

2.2.5 As experincias de Cludia L. O. Groenwald e Rosvita F. Franke

No artigo Equaes Diofantinas na Formao de Professores de Matemtica as autoras sintetizam suas experincias com EDL. Comentam que o estudo mais aprofundado da Teoria dos Nmeros apresenta muitas barreiras, tanto para os professores quanto para os alunos, gerando pouca nfase nos currculos de matemtica na atualidade. Essas dificuldades esto retratadas na transposio didtica dos conceitos aritmticos pelos professores, devido falta de modelos, ao nmero reduzido de atividades metodolgicas existentes nos livros didticos, minimizando a capacidade do aluno do pensamento aritmtico, limitando-se realizao de exerccios repetitivos. Visando auxiliar o professor de matemtica na soluo dessas dificuldades, as autoras citadas fizeram uma investigao de problemas modelados ao estudo das EDL, cujos sujeitos da pesquisa foram alunos do curso de licenciatura em matemtica da Universidade Luterana do Brasil, um grupo de onze alunos, cujo tpico no estava contemplado no curso e tambm no encontrado no currculo do ensino bsico. As EDL foram trabalhadas com o uso da metodologia Resoluo de problemas cuja complexidade envolve diferentes processos tais como compreenso, inferncias, deduo, restaurao do conhecimento prvio, interpretao de premissas e raciocnio (SANCHEZ; ESCUDERO; MASSA, 2001). Esse procedimento metodolgica objetiva o desenvolvimento das habilidades da argumentao, observao, deduo e o esprito crtico do aluno, atravs da aprendizagem sob forma de desafios e nas propostas de problemas interessantes. A investigao foi realizada em duas etapas: a primeira consistiu num estudo exploratrio dos conceitos bsicos da Teoria dos Nmeros tais quais mltiplos, divisores, MDC, algoritmo da diviso, EDL e implementao de um experimento de ensino. Na segunda etapa foi aplicado um experimento de ensino com atividades pesquisadas na primeira etapa, onde foi criado um espao de discusses em que os alunos se dividiram em pequenos grupos na busca de solues para os problemas propostos, sendo auxiliados pelo professor nas anlises e conjecturas levantadas pelos alunos, obtendo xito no trabalho realizado.

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Observou-se uma participao efetiva dos alunos, demonstrando interesse, disposio e concentrao no desenvolvimento das atividades, mas eles apresentaram muitas dificuldades na correlao dos conceitos matemticos com a resoluo dos problemas, na interpretao dos textos. Todavia, essas adversidades desencadearam neles uma maior motivao na realizao das atividades, levando-os ao sentimento do desafio de superar essas barreiras. Alguns discentes atriburam suas dificuldades forma de aprendizagem na educao bsica, cujos conceitos fundamentais eram ensinados, desconectados das situaes prticas,

impossibilitando a compreenso desses conceitos matemticos utilizados ao longo desse experimento. Muitos deles se propuseram a participar de outras oficinas relativas a esse tema, para uma melhor transposio didtica desses conceitos. Quando o sujeito passa a ter um relativo domnio sobre um determinado saber, tornase possvel desencadear uma prxis transformadora e tambm geradora de novos saberes (PAIS, 2002). Foi notrio que os alunos que j lecionavam e aqueles com o maior nmero de disciplinas concludas tiveram um melhor desempenho em relao aos outros, havendo uma colaborao dos mesmos nas dvidas de outros colegas, promovendo uma intensa troca de experincias, corroborando com o crescimento de todos os participantes. Verificou-se que a estratgia cognitiva usada nesse experimento foi a de tentativa e erro, no havendo o levantamento das hipteses nem a realizao do enfrentamento das mesmas. O trabalho grupal ocasionou um ambiente de reflexo e discusso, conduzindo, na maioria das vezes, os alunos a encontrarem a resoluo correta de um problema que anteriormente no fora encontrada. Ficou evidenciado que os cursos de licenciatura de matemtica devem primar pelo desenvolvimento de um espao propcio para a reflexo, discusso e estudo dos conceitos aritmticos para que promovam um maior leque de estratgias metodolgicas que satisfaam a realizao da transposio didtica adequada para o ensino bsico. Lins e Gimenez (1997) afirmam que um bom trabalho aritmtico para a prtica do professor reconhecer a necessidade de uma mudana curricular que sirva para desenvolver um sentido numrico; integrar diversos tipos de raciocnios na produo de conjecturas; assumir o papel dos distintos clculos, que no se reduzam obteno de resultados, e contribuam para aprimorar processos como planificar, desenvolver estratgias diferentes, selecionar as mais adequadas; fomentar uma avaliao que a regulao e o controle constante do processo de ensino proposto.

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3 A PESQUISA REALIZADA

O objetivo da pesquisa relatada nesta dissertao buscar formas de auxiliar o aluno na resoluo e compreenso de problemas do cotidiano envolvendo o estudo das Equaes Diofantinas Lineares. Para que ele seja atingido, foi feita, inicialmente, uma fundamentao terica da Teoria Elementar dos Nmeros, que pr-requisito para o estudo das Equaes Diofantinas e, posteriormente, foi aplicado um conjunto de atividades preparadas conforme objetivos e concepes previamente assumidas.

3.1 Orientaes Didtico-Metodolgicas

Desde o incio desta pesquisa, foi dada ateno aos suportes tericos, procurando orientaes educacionais e didtico-metodolgicas, de cujos princpios foram feitas aproximaes ao longo do seu desenvolvimento. O conjunto de Atividades foi organizado, aplicado e observado pelo

professor/pesquisador luz das teorias de Zabala (1998), Ponte (2003) e Polya (1995). Zaballa, (1998) define Sequncias Didticas como sries ordenadas e articuladas de atividades que formam as unidades didticas. Primeiramente devemos escolher qual o tipo de tarefa, podendo ser a exposio de um tema, a observao, o debate, as provas, os exerccios, as aplicaes, etc., sendo assim o elemento diferenciador das diversas metodologias ou maneiras de ensinar. A sequncia didtica apresenta um alto grau de complexidade diante daquele modelo de aula tradicional que geralmente expositivo, pois propicia uma diversidade de propostas, cuja dificuldade no se encontra nas fases da realizao das tarefas e sim na elaborao das atividades. A sequncia do modelo tradicional tem a seguinte formatao:

a) composio da lio; b) estudo individual sobre o livro didtico; c) repetio do contedo aprendido( numa espcie de fico de ter se apropriado dele e o ter compartilhado, embora no se esteja de acordo com ele), sem discusso ou ajuda recproca;

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d) O julgamento ou sano administrativa ( nota) do professor ou professora.

Esse modelo no to simples quanto parece e configura-se como um ponto de partida com variaes significativas das diversas maneiras de ensinar. A proposta de Zaballa de colocar sobre a mesa instrumentos que permitam ao professor introduzir, nas variadas formas de interveno, atividades que proporcionem uma melhora substancial de sua atuao na sala de aula, como resultado de um conhecimento com profundidade das variveis e do papel que cada uma delas tem no processo de aprendizagem dos alunos. Um dos modelos de sequncia didtica proposto por ele do estudo do meio que se formata nas seguintes fases:

a) atividade motivadora relacionada com experiencial dos alunos;

uma situao conflitante da realidade

b) explicao das perguntas ou problemas que esta situao coloca; c) respostas indutivas ou hipteses; d) seleo e esboo das fontes de informao e planejamento da investigao; e) coleta, seleo e classificao dos dados; f) generalizao das concluses tiradas; g) expresso e comunicao.

O pesquisador procurou orientar-se por estes princpios ao propor e estabelecer as atividades didticas destinadas experincia com o processo ensino-aprendizagem das EDL. s vezes, pretendemos inicialmente com determinada atividade, que os alunos trabalhem certos contedos numa esfera mais conceitual. Mas, durante a aplicao da atividade, alm das observaes do pesquisador nesta direo, observamos que os alunos tambm usam algumas tcnicas, algoritmos, dilogos, debates, fazem propostas, participam, respeitam a vez de o outro falar, etc... que so classificados como elementos que se distribuem pelas reas de formao procedimental e/ou atitudinal, segundo Zabala (2007). Ele define a aprendizagem de uma forma sinttica:

A aprendizagem uma construo pessoal que cada menino ou menina realiza graas ajuda que recebem de outras pessoas. Esta construo atravs da qual podem atribuir significado a um objeto de ensino, implica a contribuio por parte da pessoa que aprende, de seu interesse e disponibilidade, de seus conhecimentos prvios e de sua experincia. (ZABALLA, 2007, p. 63).

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Para visualizar as trs categorias referidas acima pelo autor, o quadro abaixo apresenta alguns tpicos de um possvel caderno de campo em que a apresentao da situao problemtica visava o aspecto conceitual, mas, a troca ou comparao de pontos de vistas entre os alunos permitiu observaes de aspectos procedimentais e atitudinais, alm do conceitual. (C = Conceitual; P = Procedimental; A = atitudinal.)1 Apresentao situao problemtica 2 Dilogo professores/ alunos 3 Comparaes pontos de vista 4 Concluses 5 Generalizao 6 Exerccios de memorizao 7 Avaliao

C C C C C C C P P P A A

Nas aplicaes das atividades de pesquisa da presente dissertao, foi possvel observar que o apego a uma destas categorias dificultava, em algumas ocasies, que o aluno tirasse concluses ou alcanasse generalizaes maiores. A interveno do

professor/pesquisador se fez na tentativa de auxiliar o aluno a raciocinar de forma abrangente e mais completa. A leitura de Ponte (2003) permitiu ajudar a conduzir, de forma especial, o processo de aplicao das atividades desta pesquisa para uma linha investigativa. Pela orientao deste autor, importante que o professor esteja atento para promover a investigao nas aulas de matemtica e valorizar o papel dela no ensino e na aprendizagem dessa disciplina. Cabe ao docente criar condies necessrias para que elas aconteam. O processo de investigao no consiste na explorao de problemas sofisticados e difceis, mas implica na formulao de questes interessantes, sem respostas prontas, cuja procura das mesmas depende de uma fundamentao terica e rigorosa. Ponte (2003) reflete da seguinte forma:

Desse modo, investigar no representa trabalhar em problemas mais difceis. Significa, pelo contrrio, trabalhar com questes que nos interpelam e que se apresentam, no incio, de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado. (PONTE, 2003, p. 9).

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Nesse tipo de investigao so envolvidos, de forma natural, conceitos, procedimentos e representaes matemticas, onde se deve enfatizar as caractersticas da conjectura testedemonstrao. Uma atividade investigativa constitui-se numa poderosa forma de construo de conhecimentos, mas o professor deve ficar atento neste tipo de tarefa em no promover uma simples aplicao de procedimentos repetitivos, no s em construir tabelas e obter regularidades, mas sim, dar condies ao aluno de desenvolver o seu lado cognitivo, criando um ambiente harmnico e propcio para a aprendizagem desse aluno. Investigar significa procurar conhecer o que no se sabe. Consiste em pesquisar e inquirir, realizar atividades que envolvam uma busca de informao. Investigar descobrir relaes entre os objetos matemticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades. (PONTE, 2003, p. 13). Todo trabalho investigativo pautado pela imprevisibilidade. Neste contexto, durante a pesquisa, o professor/pesquisador, ao explorar a tarefa a ser executada, estava sempre consciente de novas situaes no decorrer da mesma, e quando isto ocorria, ele procurava imbuir-se de maior sensibilidade para enfrentar os acontecimentos inesperados e despertar o esprito investigativo do aluno. Segundo Ponte (2003), durante a investigao, o professor deve adotar uma postura interrogativa, cujas questes colocadas por ele devem visar a clarificao de ideias, promovendo a compreenso do assunto. Quando um aluno apresentar uma indagao, gerando um impasse no decorrer da tarefa, o professor deve san-la com questionamentos abertos, inicialmente. Em seguida, levar esse aluno a uma melhor reflexo do problema. Posteriormente, as questes levantadas pelo professor devem ser transformadas em sugestes orientadoras das atividades dos alunos. A leitura de Polya (1995) orienta o professor a exercer o seu verdadeiro papel, ou seja, o de auxiliar do aluno na compreenso de um problema, e no de se colocar como algum com o absoluto poder de validar ou no a resoluo ou resposta. Ele faz a seguinte colocao sobre a compreenso de um problema:

uma tolice responder a uma pergunta que no tenha sido compreendida. triste trabalhar para um fim que no se deseja. Essas coisas tolas e tristes fazem-se muitas vezes, mas cabe ao professor evitar que elas ocorram nas suas aulas. (POLYA, 1995, p.4).

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Polya (1995) considera que o aluno deve compreender o problema e ter algum interesse na sua resoluo. No se pode culp-lo, caso isto no acontea, pois a escolha do problema proposto deve ter um grau mdio de dificuldade, de forma natural e interessante, com certa disponibilidade de tempo para a sua apresentao. O aluno deve ser condicionado a identificar as partes principais do problema que so: a incgnita, os dados e a condicionante que devem ser encarados pelos alunos sob vrios pontos de vista, como por exemplo, traar uma figura relacionada ao problema e nela indicar os dados e a incgnita. A compreenso do problema se faz, muitas vezes, em dois estgios: da familiarizao e do aperfeioamento da compreenso. No decorrer da pesquisa, atentamos sempre para a observao de Polya (1995), quando afirma que na resoluo de um problema, a maior dificuldade est na sua compreenso e no estabelecimento de um plano. Para vencer essas duas etapas, so necessrios conhecimentos anteriores, bons hbitos mentais, concentrao nos objetivos e, alm disso, boa sorte. A execuo do plano menos tortuosa, requer maior pacincia, pois os detalhes inseridos no roteiro geral gerado pelo plano devem ser examinados, calmamente, para que no dem margem ocultao de um erro. Assim, nesta pesquisa, o professor/pesquisador enfatizava para que o aluno verificasse cada passo, que no perdesse a sua ideia final concebida, analisando as possveis restries de cada problema. Para Polya, (1995), reexaminar a trajetria de resoluo muito importante. Depois de consignada a soluo do problema ou a sua demonstrao, necessrio que o aluno faa uma retrospectiva da resoluo completa, fazendo reconsideraes, reexaminando o resultado final e o caminho percorrido para atingir esse feito, consolidando o seu conhecimento e aprimorando sua capacidade de resolver problemas. Os sujeitos da presente pesquisa foram alunos de licenciatura em Matemtica de duas universidades mineiras: a PUC-Minas - Betim e a UFVJM, onde foram realizados seis encontros, sendo aplicados trs blocos de atividades sequenciadas. O primeiro bloco de atividades foi aplicado em setembro de 2009, o segundo em novembro do mesmo ano e ltimo em maro de 2010. Nos dois primeiros encontros, realizados na sala de aula, os alunos ainda no tinham iniciado qualquer estudo sobre o tema EDL. Ento, primeiramente, leram um texto redigido para esta pesquisa, definindo e exemplificando os tpicos principais da Teoria Elementar dos Nmeros tais quais Mltiplos e Divisores, Algoritmo da Diviso, Mximo Divisor Comum, Teorema de Bzout. No segundo encontro, o texto propunha lidar com a definio de EDL

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com duas e trs incgnitas, identificando a sua aplicao no estudo das Congruncias Lineares, concluindo com uma lista de atividades propostas. O terceiro e quarto encontros foram ministrados na sala de laboratrio de informtica, com anlise das interpretaes geomtricas dessas equaes, enfatizando a matemtica discreta e contnua, usando o Winplot, Geogebra e o Graphmatica. Os dois ltimos momentos abrangeram os anteriores, comeando pela aplicao do teorema de Bzout, passando pela condio de existncia das solues inteiras, sua representao grfica, at a sua aplicao nas situaes-problema do cotidiano. As atividades foram elaboradas conforme os objetivos pr-estabelecidos:

a) aplicar o estudo das Equaes Diofantinas Lineares em problemas do cotidiano, auxiliando o aluno na resoluo e compreenso dos mesmos; b) interpretar geometricamente uma Equao Diofantina Linear com duas e com trs incgnitas; c) discutir o nmero de solues inteiras de uma equao linear; d) modelar situaes e problemas que envolvam as Equaes Diofantinas lineares associadas ao Algoritmo da Diviso e Mximo Divisor Comum.

Nas fases de aplicao e avaliao, a opo do pesquisador foi colher dados pelo mtodo da Observao Participante (FIORENTINI; LORENZATO, 2007). Ela uma estratgia que envolve a observao direta, com grande participao do pesquisador, no no sentido de fazer frequentes intervenes, mas porque dele se exige participao efetiva no registro de tudo aquilo que pode ser considerado observao pertinente durante o processo da pesquisa.

3.2 Os Trs Blocos de Atividades

Optamos por realizar uma sequncia de atividades com algumas envolvendo resoluo de problemas que conduziam ao estudo das Equaes Diofantinas Lineares. No primeiro bloco foi elaborada uma sequncia de seis atividades, sendo que a primeira teve um carter investigativo na busca da soluo geral e positiva de uma EDL e as demais se pautaram na resoluo de problemas. O segundo bloco de atividades foi composto de cinco questes e

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visou investigar a existncia de solues inteiras de uma EDL com duas e trs incgnitas, atravs da interpretao geomtrica, culminando com a resoluo de um problema. O ltimo bloco teve seis atividades, buscando uma culminncia dos blocos anteriores, fazendo um elo entre a Aritmtica, lgebra e a Geometria.

3.2.1 Primeiro Bloco de Atividades

O primeiro bloco de atividades foi realizado para alunos que, previamente, no conheciam o tema proposto. Os seus professores tinham apenas ensinado o conceito de MDC. Ento, primeiramente o professor/pesquisador redigiu um texto (inserido no captulo 2), definindo e exemplificando os tpicos principais da Teoria Elementar dos Nmeros, tais quais Mltiplos e Divisores, Algoritmo da Diviso, Mximo Divisor Comum, Teorema de Bzout, para, posteriormente, definir as EDL com duas e trs incgnitas, identificando a sua aplicao no estudo das Congruncias Lineares, concluindo o texto com uma lista de atividades propostas. A seguir, tm-se as atividades:

ATIVIDADE I

Um aluno, ao realizar um exame de vestibulinho, ganha trs pontos por questo certa e perde dois por cada questo errada.

a) Sabendo que ele obteve vinte e trs pontos, expresse uma lei matemtica que verifique o problema proposto. b) Encontre cinco possveis solues inteiras e positivas para essa equao e interprete geometricamente esse resultado. c) Baseando se no resultado anterior, encontre uma soluo geral para essa equao no domnio do conjunto N. d) Expanda essa soluo para o campo dos inteiros. e) Qual o menor nmero de questes dessa prova?

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ATIVIDADE II

Exprimir o nmero 100 como soma de dois nmeros inteiros de modo que o primeiro seja divisvel por 7 e o segundo por 11. (MONTEIRO, 1971, p. 138, exerccio 55).

ATIVIDADE III

Determinar o menor nmero inteiro positivo que tem, para restos 16 e 27 quando dividido, respectivamente, por 39 e 56. (MONTEIRO, 1969, p. 138, exerccio 57).

ATIVIDADE IV

possvel encontrar dois inteiros mltiplos de 6 e 9, respectivamente, tais que o resto da diviso euclidiana de um pelo outro seja 13? Justifique sua resposta

ATIVIDADE V

De quantos modos podemos combinar 60 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais?

ATIVIDADE VI

Sejam as equaes lineares: 100x + 72y + 90z = 11 e 120x + 84 y + 144z = 60.

a) Encontre, se existir, uma soluo particular para cada equao. b) Encontre a soluo geral de nmeros inteiros para cada equao, se existir.

Na sequncia, sero apresentados padres esperados de soluo para as atividades, com o objetivo de verificar e analisar as aproximaes que as solues dos alunos fizeram em relao a estes padres.

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PADRES ESPERADOS DE SOLUES PARA O PRIMEIRO BLOCO

ATIVIDADE I: uma questo composta de cinco itens e tem como objetivo a busca de solues inteiras e positivas de uma Equao Diofantina a partir de tentativas e erros e representao geomtrica da mesma, at que se encontre uma resposta satisfatria. Para resolver cada atividade, esperase que o aluno o faa por etapas, desenvolvendo o seu raciocnio, atingindo assim o objetivo que a compreenso na resoluo de problemas do cotidiano que envolva o tema mencionado. As etapas da soluo do aluno sero cruzadas com as etapas dos padres de solues apresentadas a seguir: E.I Identificar as variveis x e y, onde x o nmero de questes certas e y corresponde ao nmero de questes erradas. E. II Escrever a lei matemtica 3x - 2y = 23 que representa a equao do problema proposto. E. III Isolar a varivel y e, por tentativa, encontrar 5 pares ordenados (x, y) cujos valores sejam nmeros inteiros e positivos. Isolando a varivel y em funo de x, temos que y = verificamos que x 7,6 e que e fazendo y 0ey Z,

(3x 23). Portanto, x assume valores mpares. Logo, seu

menor valor x = 9. Substituindo na equao, teremos a tabela:

x y

9 2

11 5

13 8

15 11

17 14

E. IV Representar, graficamente, a equao dada, usando softwares matemticos que plotam grficos, tais como: Maple, Geogebra, Graphmatica, Winplot e outros ou fazer manualmente, mostrando que a representao geomtrica um conjunto de pontos alinhados e no uma reta.

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GRFICO 6: Visualizao grfica da equao 3x 2y = 23, plotado no Fonte: Software GRAPHMATICA

E.V Identificar na tabela que as sequncia de valores de x e y constituem duas progresses aritmticas de razo 2 e 3, respectivamente. Usando o termo geral da progresso aritmtica: = + (n 1). r, encontrar a soluo geral da equao 3x 2y = 23, no campo dos naturais. Os valores de x constituem uma progresso aritmtica de razo 2, logo x = 7 + 2n, com n com n , e os valores de y formam uma progresso aritmtica de razo 3, logo y = -1 + 3n, . E. VI Encontrar o mdc(3, 2) = 1 e aplicar o teorema de Bzout. 3. 1 2. 1 = 1> Ento r = 1 e s = 1 E.VII Multiplicar a expresso do exerccio anterior por 23, encontrando uma soluo particular para 3x 2y = 23. 3. (23) 2. (23) = 23, logo = 23 e = 23

E. VIII Encontrar a soluo geral da equao, no campo dos inteiros que dada por S= t, t), t }. Logo x = 23 2t e y = 23 3t, com t Z.

E. IX Verificar que a soluo do problema recai em solues inteiras e positivas, isto , devemos encontrar valores inteiros para o parmetro t para x 23 2t 0 e 23 3t 0. Logo t 0ey 0. Temos que

O maior valor inteiro que t assume vale 7. Ento,

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encontraremos os menores valores para x e y que sero x = 23 2.7 = 9 e y = 23 - 3. 7 = 2. Portanto, o menor nmero de questes da prova 11. Os quadros 1 e 2 mostram as etapas atingidas pelos alunos na ATIVIDADE I, numa comparao com as etapas dos padres de solues apresentados anteriormente. Os nomes dos alunos foram substitudos por duplas de letras.

ALUNO AP AC CM DG EF GA KS LS MR MB MA NB PG

E.I E. II E. III E. IV E. V E. VI E. VII E. VIII X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Quadro 1: Grupo da UFVJM Referente atividade I

E. IX X X X X X X X

ALUNO E.I E. II E. III E. IV E. V E. VI E. VII E. VIII E. IX AC X X X DV X X GL X X X X X X X IR LM X X RM RC X X X X RR X X X RS RA VA Quadro 2: Grupo da PUC Minas Betim - Referente atividade I

Observouse que 17 dos 26 alunos pesquisados escreveram corretamente a lei matemtica que representa o problema. O restante errou o sinal do coeficiente b ou no encontrou a lei. Quatorze alunos usaram o mtodo da tentativa para a construo da tabela de valores e respectiva interpretao geomtrica.

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Resoluo do aluno DG da UFVJM:

Oito alunos, ao observar a tabela do exerccio b usaram o conhecimento da progresso aritmtica para encontrar a soluo geral da equao 3x - 2 y = 23 no campo dos naturais. Outros usaram a frmula correta do termo geral da P. A, mas erraram nos clculos.

Resoluo do aluno CM da UFVJM:

Dezesseis alunos encontraram a soluo geral da equao no campo dos inteiros, outros erraram a lei no exerccio anterior e alguns no conseguiram assimilar o mtodo formal da construo da soluo geral de uma Equao Diofantina. Resoluo do aluno RR da PUC Minas Betim:

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Notou-se a maior dificuldade dos alunos na restrio do parmetro t, pois o problema visa solues inteiras e positivas, sendo que apenas 7 alunos atingiram essa etapa

Resoluo do aluno PG da UFVJM

A estrutura do texto, com tabelas e protocolos das solues dos alunos, que se usou acima para a exposio da ATIVIDADE I, foi elaborada para todas as demais Atividades dos trs Blocos e permitiu que ao final de cada Bloco se fizesse um Comentrio/Anlise do seu momento de aplicao. Mas, apresentar todas as demais Atividades dos trs Blocos com esta estrutura torna a leitura repetitiva e cansativa para o leitor. Ento, para as demais Atividades, as Tabelas das etapas de solues dos alunos foram disponibilizadas no APNDICE desta dissertao. Os itens Comentrios/Anlise, aps cada Bloco, sintetizam os elementos destas tabelas. ATIVIDADE II: uma questo que envolve o conhecimento do estudo dos mltiplos e divisores e almeja o encontro de solues inteiras e positivas da equao 7x + 11y = 100. Ao resolver a questo, espera-se que o aluno seja capaz de:

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E. 1 Identificar as variveis x e y, onde x corresponde aos inteiros mltiplos de 7, e y corresponde aos nmeros inteiros divisveis por 11. E. II Escrever a lei matemtica 7x + 11y = 100. E.III Aplicar o teorema de Bzout.

11 4

1 7 3

1 4 1

1 3 0

1 1

11 = 7.1 + 4 4 = 11 7.1 1 = 4 3.1 4 -3. 1 = 1

7 = 4. 1 + 33 = 7 - 4.1

4 = 3. 1 + 1

4 (7 4. 1).1 = 1 4 -7.1 + 4. 1 = 1 4. 2 7.1 = 1 7. (- 3) + 11. (2) = 1

(11 -7. 1) .2 7 . 1 = 1

E.IV Multiplicar a expresso por 100, encontrando uma soluo particular para a equao. 7. (- 300) + 1 . ( 200) = 100. Ento X = - 300 + 11 t e y = 200 7 t, t = - 300 e = 200 E.V Encontrar a soluo geral da equao 7x + 11y = 100. Z. E.VI Verificar que a soluo do problema requer nmeros inteiros e positivos, portanto deve-se fazer x t 0ey 0. Ento, 300 +11 t 0, sendo t 27, 3 e 200 7t 0, com

28,6. Se t inteiro, ento seu valor 28. Portanto x = -300 +11. 28 = 8 e

y = 200 7. 28 = 4. E.VII Encontrar a soluo do problema, identificando as partes que so mltiplas de 7 e de 11, respectivamente. 1 parte: 7.8 = 56 2 parte: 11. 4 = 44

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ATIVIDADE III Esse problema pode ser resolvido utilizando os conhecimentos do algoritmo da diviso ou sistema de congruncias lineares. As etapas esperadas de soluo so: E.I Montar um sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas, usando o algoritmo da diviso: E.II Substituir o valor de x na segunda equao, montando a EDL: 19y 56 z = 11 e encontrar sua soluo geral.

* 56 17

1 39 5

2 17 2

3 5 1

2 2 0

2 1

56 =39. 1 +17 17 = 5. 3 +2 5 2. 2 = 1

17 = 56 - 39. 1 2 = 17 - 5. 3

39 = 17. 2 + 5

5 = 39 17. 2

5 = 2. 2 + 1

1 = 5 2. 2 =1

5 17. 2 + 5. 6 = 1 39. 7 - 17. 14 -17. 2 = 1 39.7 17. 16 = 1

(39 -17. 2) . 7 -17. 2 =1

39. 7 (56 - 39. 1) . 16 = 1 39. 7 56. 16 + 39. 16 = 1 Ento, 39. (253) 56. (176) = 11. Logo = 253 e Z. = 176

39. (23) 56. (16) = 1

Logo, y = 253 56 t e z = 176 39 t, com t X = 39. (253 56 t) + 16

E. III Encontrar o valor de x, substituindo o valor de y na equao x = 39y + 16. x = 9867 2184 t + 16 = 9883 - 2184 t x 1147 mod (2184).

Logo, a resposta encontrada 1147.

ATIVIDADE IV um problema que requer o conhecimento de mltiplos e divisores, algoritmo da diviso, e visa a discusso da existncia das solues inteiras de uma EDL. As etapas esperadas de soluo so: E. I Escrever a lei matemtica: 6x + 9y = 13. E. II Encontrar o mdc (6, 9) = 3 e verificar que o mdc (6, 9) = 3 no divide c = 13. Logo, a EDL 6x + 9y = 13 no tem soluo.

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ATIVIDADE V um problema que requer o conhecimento da resoluo de um sistema linear com 2 equaes e trs incgnitas e recai numa EDL com duas incgnitas, visando a busca de solues inteiras e positivas. As etapas esperadas de soluo so: E. I Monte o sistema linear, identificando as incgnitas. E.II Multiplique a segunda equao por 100 e escolha uma varivel a ser eliminada. Some as duas equaes, reduzindo-se EDL 9y + 24 z = 240. E. III Divida ambos os membros da equao por 3, tornando a nova equao 3y + 8z = 80, e encontre sua soluo geral.

8 2

2 3 1

1 2 0

2 1

8 = 3.2 + 2

2 = 8 3. 2

3 = 2.1 + 1

3 2. 1 = 1

3 (8 3. 2) . 1 = 1

3. (3) + 8. (- 1) = 1 Ento, 3. (240) + 8. ( - 80) = 80, logo = 240 e = - 80.

Sendo assim, y = 240 + 8 t e z = - 80 3t, com t inteiro. E. IV Verifique que o problema requer solues inteiras e positivas, isto , y 0, e encontre as solues desejadas. Ento, 240 + 8t 0 t - 30 e - 80 + 3t 0 t - 26, 7. Se t inteiro, seus possveis 0ez

valores so 30, - 29, 28 e 27. Para t = - 30, temos x = 50, y = 0 e z = 10; Para t = - 29, temos x = 45, y = 8 e z = 7; Para t = - 28, temos x = 40, y = 16 e z = 4; Para t = - 27, temos x = 35, y = 24 e z = 1.