Torcao

Universidade Federal do Mato Grosso

Campus Universitário de Rondonópolis

Instituto de Ciências Agrárias e Tecnológicas

Curso de Engenharia mecânica

Disciplina de Mecânica dos Sólidos I

Prof. Valterson Marques dos Santos

TORÇÃO

Rondonópolis, 31, de Janeiro de 2014

Estudaremos as tensões e deformações produzidas em peças de seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças.

Tais conjugados são chamados - Momentos de torção, momentos torcionais ou torque, T e T’. De mesma intensidade e sentidos opostos.

Podem ser representadas por setas curvas ou vetores conjugados.

Torção

Torção

• O sistema da figura é composto de

um gerador e uma turbina,

interligados por um eixo.

• A turbina exerce um torque T no

eixo.

• O eixo transmite o torque para o

gerador e o gerador cria um torque

igual e contrário T’, chamado

Momento Torçor.

Efeitos da torção:

-Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções transversais do eixo;

- Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação a outra.

Aplicações - eixos de transmissão

• A resultante das tensões de cisalhamento, geram um torque interno igual e oposto ao torque externo aplicado • Embora a resultante do torque devido as tensões de cisalhamento seja conhecida, a distribuição das tensões ainda não o é. • A determinação da distribuição das tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada, deve-se considerar as deformações do eixo para a sua solução. • Diferentemente da distribuição das tensões normais devido à cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido ao torque não pode ser considerada uniforme.

)( dAdFT

Torção Torque Interno

• O torque aplicado na barra circular produz

tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares

ao eixo axial.

• As condições de equilíbrio requerem a existência

de tensões iguais nas faces do dois planos que

contêm o eixo da barra.

• A existência destas tensões pode ser

demonstrada, considerando que a barra é feita de

tiras axiais, conforme a figura ao lado.

Torção

Componentes de tensão de cisalhamento

• Considere um elemento no interior de uma

seção de um eixo submetido a um torque T.

• Desde que a extremidade do elemento

permanece plana, a deformação de cisalhamento

é proporcional ao ângulo de torção.

• Temos então: ou

• Logo: e

Pela lei de hooke parra o cisalhamento

LL

L

cmáx

máx

c

LG

Torção

Cisalhamento na Torção

a) Eixos Circulares Cheios:

ou

b) Eixos Circulares Vazados

ou

Torção

Momento Polar de Inércia

dAJ 2

cc

dJ

ddAA

0

42

2

22

2

32

4DJ

)(2

1 4

1

4

2 ccJ )(32

44

ie DDJ

• Logo, se:

• encontramos então, a seguinte relação:

•Como a soma dos momentos internos causados pela

tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque externo,

• E com isto temos que:

e (Fórmulas da torção em regime elástico)

Torção

Cisalhamento na Torção

máxc

00

máxmáx

cc

Jc

dAdAT máxmáx

2

J

Tcmáx

J

T

dAJ 2

• Quando submetido a torção, o eixo circular

permanece com a sua seção transversal

plana e sem distorção.

• A seção transversal de barras não circulares

submetidas a torção são distorcidas, devidas

a falta de axisimetria.

• Verifica-se que o ângulo de torção no eixo é

proporcional ao torque aplicado e ao

comprimento do eixo.

Torção

Deformação do Eixo - ângulo de Torção

L

T

• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação

de cisalhamento estão relacionadas por:

• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

• Igualando as equações e resolvendo para o ângulo

de torção, encontramos:

• Se o torque, a seção, o material ou o

comprimento variam ao longo do eixo:

Torção

Ângulo de Torção no regime elástico

L

cmáx

JG

Tc

G

máxmáx

JG

TL

i ii

ii

GJ

LT

• O eixo BC é ôco com diâmetro interno de

90mm e diâmetro externo de 120mm. Os

eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d.

Para o carregamento mostrado, determine:

a) As tensões de cisalhamento minima e

máxima no eixo BC,

b) O diâmetro d necessário para os eixos AB e

CD, se a tensão admissível ao cisalhamento

para o material do eixo é de 65 MPa.

Torção

Exemplo 3.1

• Que valor de momento de torção deve ser

aplicado à extremidade do eixo circular da

figura, de modo a produzir um ângulo de

torção de 2°? Adotar G = 80 GPa.

Torção

Exemplo 3.2

• Calcular para o eixo da figura, o valor do

ângulo de torção que provoca uma tensão de

cisalhamento de 70 MPa na face interna do

eixo. Adotar G = 80 GPa.

Torção

Exemplo 3.3

Torção

Exercícios

No conjunto da fig., sabe-se que Determinar

o ângulo de rotação da extremidade E do eixo BE,

quando o momento torçor é aplicado em E.

.2 BA rr

• Lembrando que concluímos que o momento torçor do

eixo AD é o dobro do momento torçor no eixo BE; dessa forma,

ADT

BA rr 2

TTAD 2

• Vamos inicialmente determinar o momento de torção

, que atua no eixo AD. No ponto de contato das duas

rodas dentadas ocorrem as duas forças iguais e de

sentido contrário, F e F’.

Torção

Exercícios

• A extremidade D do eixo AD é fixa e o ângulo de rotação da

seção A, pode ser igualado ao ângulo de torção do eixo, que

se obtém por

• Analisando agora o eixo BE, sabemos que o ângulo de torção é

igual ao ângulo , segundo o qual a seção E gira em relação a

B. Temos

JG

TL

JG

LTADA

2

BBAA rr

JG

TL

JG

LTBEBE

A

• Observamos na figura que os arcos CC’ e CC” devem ser iguais.

Temos então que e obtemos o valor:

AA

B

AB

r

r 2 e desse modo

JG

TLAB

42

BE

• O ângulo de rotação da extremidade E é obtida fazendo

JG

TL

JG

TL

JG

TLEEBEBE

54

• Como o elemento “a” tem suas faces

respectivamente paralelas e perpendiculares

ao eixo da barra, dizemos que o elemento

“a” está submetido a cisalhamento puro e

definida por:

• As faces do elemento “b”, formam um

ângulo arbitrário com o eixo da barra, estão

sujeitas a uma combinação de tensões

normais e tensões de cisalhamento.

Torção

Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo

J

Tcmáx

• Considere um elemento a 45° do eixo axial,

• Elemento a está sob cisalhamento puro.

• Elemento c está submetido a tração em duas

de suas faces e a compressão nas outras

duas.

Torção

Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo

245cos)(2 00 AAF máxmáx

máxmáx

A

A

A

F

2

2

0

045

• Materiais dúcteis geralmente falham por

cisalhamento. Materiais frágeis são mais

suscetíveis a falhas por tensão normal.

• Quando for submetidos a torção, os materiais

dúcteis rompem no plano onde ocorre a tensão

de cisalhamento máxima, isto é, o plano

perpendicular ao eixo axial.

Torção

Falhas sob torção

• São aqueles, onde o número de incógnitas a

encontrar é maior que o número de equações da

estática aplicáveis.

• Exemplo: Dado o eixo da figura, desejamos

determinar os torques reativos em A e B.

- Da análise do diagrama de corpo livre do eixo:

- Dividindo o eixo em duas partes, as quais

precisam ter compatibilidade de deformações,

Substituindo na equação de equilíbrio,

Torção

Eixos Estaticamente Indeterminados

BA TTT

02

2

1

121

GJ

LT

GJ

LT BA AB TJL

JLT

12

21

TTJL

JLT AA

12

21

TJLJL

JLTT

JLJL

JLT BA

2112

21

2112

12 e

Torção


Um eixo vertical AD é engastado a uma base fixa D, e fica

submetido ao momento torçor indicado. A porção CD do

eixo tem seção transversal vazada de 44 mm de diâmetro

interno. Sabendo-se que o eixo é feito de aço, com módulo

de elasticidade transversal G = 80 GPa, calcular o ângulo

de torção no ponto A.

O eixo é constituído de três partes, onde cada uma delas

tem seção transversal uniforme e resiste a um momento

torçor constante.

Torção


• Condições da estática - Cortando o eixo por uma seção

entre A e B, o diagrama de corpo livre mostra que

NmT

TNmM

AB

ABy

250

0)250( ;0

NmT

TNmNmM

BC

BCy

2250

0)2000()250( ;0

• Passando uma seção entre B e C, temos

• Como não existe momento torçor aplicado em C,

NmTT BCCD 2250

Torção


• Momentos de inércia polares

46444

1

4

2

4644

4644

10904,0)022,0()030,0(2

)(2

10272,1)030,0(22

100795,0)015,0(22

mmmccJ

mmcJ

mmcJ

AB

AB

AB

Torção


• Ângulo de torção. Usando a Equação , e lembrando que G = 80 MPa,

temos

22,2

0388,0

01867,000442,001572,0

10904,0

)6,0)(2250(

10272,1

)2,0)(2250(

100795,0

)4,0)(250(

80

1

1

464646

A

A

A

A

CD

CDCD

BC

BCBC

AB

ABABA

radianos

m

mNm

m

mNm

m

mNm

GPa

J

LT

J

LT

J

LT

G

i ii

ii

GJ

LT

• O projeto de eixo de transmissão

(árvores) baseia-se na Potência

transmitida e na Velocidade de rotação

do eixo.

• O projetista precisa selecionar o material

e calcular adequadamente a seção do

eixo, sem que exceda a tensão

admissível do material e o ângulo de

torção máximo permitido para a

aplicação.

• O torque aplicado é uma função da

potência e da velocidade de rotação,

Torção

Projetos de Eixos de Transmissão

f

PPTfTTP

2 2

• A seção do eixo é encontrada,

igualando-se a tensão máxima à

tensão admissível do material

• O ângulo de torção deve ser

verificado pela expressão:

)cheio ixo(2

3 ET

cc

J

J

Tc

máx

máx

vazado)(Eixo )(2

4

1

4

2

22 máx

Tcc

cc

J

JG

TL

Que diâmetro deve ser usado para o eixo do rotor de uma máquina de 5 hp, operando a 3600

rpm, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 59 MPa?

• Inicialmente vamos expressar a potência do motor em Nm/s e sua frequência em Hz, ou

ciclos por segundo:

• O torque que vai atuar sobre o eixo é dado pela equação

Torção

Projetos de Eixos de Transmissão - Exemplo

WsNmhp

sNmhpP 3730/3730

1

/746)5(

1 60 60 60

1) 3600( sHz

rpm

Hzrpmf

Nms

N

f

PT 89,9

) 60(2

m/s 7303

2 1

Uma vez tendo determinado o torque T que será aplicado ao eixo e escolhido o material a

ser usado, o projetista levará os valores de T e da máxima tensão de cisalhamento

admissível às fórmulas de torção em regime elástico. Obtendo desta relação o menor

valor admissível para o parâmetro J/c.

• No caso de um eixo circular de seção maciça, ,determinamos assim o mínimo

valor admissível para o raio c do eixo circular. No caso de uma seção vazada, o

parâmetro crítico é , onde c2 é o raio externo.

• E com isto deverá ser usado um eixo de 9,5 mm de diâmetro.

Torção

Projetos de Eixos de Transmissão - Exemplo

36

26m 10167,0

/m 1059

89,9

N

NmT

c

J

máx

)(2

1 3cc

J

2cJ

mmd

mmmc

mc

5,9

75,4 10475,0

10167,02

1

2

363

Torção

Concentração de Tensões

• A equação da tensão de cisalhamento

Supõe a seção circular uniforme, sem

descontinuidades.

• A utilização de acoplamentos, engrenagens,

polias, etc., acopladas através de chavetas,

ou no caso de descontinuidades na seção,

causam concentrações de tensão.

• Nestes casos deve-se multiplicar a tensão

pelo fator de concentração de tensões:

• Para eixos com rasgo para chavetas:

K = 1,25

J

Tcmáx

J

TcKmáx

Torção


O eixo de seção transversal variável da figura transmite a potência de uma turbina a

para um gerador, girando a 900 rpm. O tipo de aço especificado no projeto tem

tensão admissível de cisalhamento de 55 MPa. a) As dimensões indicadas são as de

um projeto preliminar. Determinar, para esses valores, a máxima potência que pode

ser transmitida. b) Se o projeto final especifica o valor de 10 mm para o raio do

adoçamento, qual o aumento percentual, na potência transmitida, em relação ao

caso a?

Torção


• a) Projeto preliminar.

• D = 160 mm, d = 80 mm, r = 4 mm

2mm 80

mm 160

d

D05,0

mm 80

mm 4

d

r

• Encontramos da figura a esquerda K = 1,72

Torção


O valor máximo da tensão de cisalhamento no arredondamento ou adoçamento pode

ser calculado por:

J

TcKmáx

• Substituindo na primeira equação acima

Kc

JT máx

onde J/c se refere ao diâmetro menos do eixo:

3633 m 105,100)m 040,0(22

1

cc

J

MPaMPa

K

máx 3272,1

55

e

NmMPaKc

JT máx 3216)32)(m 105,100( 36

Torção


Potência. Como f = (900 rpm)(1Hz/60rpm) = 15 hz

sNmNmHzfTPa / 303000) 3216)( 15(22)(

W 303)( kPa

Torção


b) Projeto final. Para r = 10 mm

MPaMPa

K

máx 7,4035,1

55

NmMPaKc

JT máx 4090)7,40)(m 105,100( 36

2mm 80

mm 160

d

D125,0

mm 80

mm 01

d

r

• Adotando a mesma sequência vista acima,

temos

135,0K

sNmNmHzfTPb / 385000) 4090)( 15(22)(

W 385)( kPb

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