Tópicos en GeometríaPerímetro y Área

Prof. Ángel A. Fonseca Mulero

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico en Humacao

Bienvenido

• A través de este tutorial tendrás la oportunidad de relacionarte con los conceptos básicos de perímetro y área aplicados a problemas comunes de los cursos básicos de matemáticas.

Objetivos Específicos

Al finalizar este módulo serás capaz de:

• Calcular el perímetro para polígonos y círculos• Aplicar el Teorema de Pitágoras• Conocer el significado de área y aplicarlo a

polígonos regulares e irregulares.• Conocer y aplicar la Fórmula de Herón

Navegación

• La navegación es tanto secuencial como ramificada. Sigue las instrucciones cuidadosamente y oprime los vínculos indicados a la hora de seleccionar una alternativa. Se recomienda el uso de calculadora para resolver algunos de los ejercicios aunque no es indispensable.

Sigue las siguientes instrucciones:

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¡Listos para comenzar!

Parte I Perímetro

Definición:

El perímetro de una figura plana compuesta por segmentos de línea es la suma de las medidas de cada segmento. Se mide en unidades lineales.

Veamos un ejemplo.

Ej.1 El perímetro de esta figura se calcula al sumar todos los lados, esto es:

8 + 5 + 8 + 5 = 26 unidades.

8

5

Ej. 2 El perímetro de esta figura es 34, verifícalo. Asume por simetría las medidas que no se muestran.

6

2

3

Parte II Circunferencia

Los círculos en lugar de perímetro tienen Circunferencia

La circunferencia alrededor del círculo se mide mediante la fórmula C = 2πr, donde el radio r es la medida desde el centro al borde y el número π se sustituye por 3.14

r

Calcula la circunferencia

Nota que C = 2πr implica C = 2(3.14)(7)= 43.96 ≈ 44 unidades

r=7

Parte III Teorema de Pitágoras

Para todo triángulo rectángulo (aquél que contiene un ángulo de 900) la suma de los cuadrados de los catetos (lados que encierran el ángulo de 90o ) es igual al cuadrado de la hipotenusa (lado más largo).

3

45

Nota que 222 543

2525

25169

El Teorema de Pitágoras es muy útil a la hora de hallar medidas en triángulos rectángulos ya que conociendo cualesquiera dos lados se halla el tercero. Veamos un ejemplo.

5

12

c

Halla el perímetro de este triángulo.

Primero notamos que desconocemos el lado c por lo cual aplicamos Pitágoras.

222 125 c

Finalmente el perímetro mide 30.

12

6

Para repasar los conceptos presentados hasta ahora procederemos con un ejercicio de selección múltiple.

A. 36

B. 39.42

C. 48.85

Halla el perímetro de esta figura compuesta por un semicírculo y un rectángulo. Luego que hagas cómputos selecciona la contestación correcta.

Parte IV Área

Cuando la figura contiene curvas, por ejemplo el círculo, no es tan obvio como medirla.

En esta parte consideramos medir el área superficial interior de los polígonos y demás figuras.

Notarás que en los polígonos como triángulos, cuadriláteros y todos los que se componen de segmentos de recta es relativamente fácil obtener área,

pero…….

Área se mide en unidades cuadradas y el área de una región es la suma de las unidades cuadradas (no

solapadas) que cubren esa región.

Por definición de área nota que la cantidad de unidades cuadradas necesarias para cubrir este rectángulo es de 15.

Usando la unidad cuadrada descrita a la izquierda estima cuántas de ellas son necesarias para cubrir el polígono a su

derecha de tal manera que obtengas su área.

Después de contar y sumar los cuadros notamos que hay 10 unidades cuadradas. ¿Lo ves?

A continuación se muestran algunas fórmulas que te serán utiles para hallar área:

Ej.1 Halla el área del siguiente triángulo en pulgadas cuadradas.

12

15

Por lo tanto A = 90 pulg 2

Ej. 2 Halla el área del círculo

r=5

Parte V Herón de Alejandría

Este matemático griego de Alejandría(norte de Egipto 75 A.D.) descubrió una fórmula para hallar el área de cualquier triángulo si se conoce la

longitud de sus tres lados.

Fórmula de Herón

a

b

c

Aplicando la Fórmula de Herón

12

13

5 Halla el área del triángulo.

Este caso especial se conoce como triple de Herón ya que a partir de lados enteros (5,12,13) el área es número entero (30).

Parte VI Autoevaluación:

• A continuación se presentan ejercicios para aplicar los conocimientos adquiridos. Se requiere un análisis cuidadoso de cada problema, aplicación de fórmulas y cómputo de algunas cantidades. Pulsa sobre la contestación correcta. En caso de fallar se proveerá explicación y retroalimentación. ¡Exito!

AE1) Halla el área de este castillo

A. 36 u2

B. 54 u2

C. 45 u2

4

9

AE2) Halla el perímetro del cuadrilátero

16

20

5x

A. 54

B. 43

C. 66

AE3) Halla el área de la región amarilla, o sea,

remanente al remover el círculo.

A. 39.25

B. 60.75 u

C. 21.5

AE4) Halla el área fuera del círculo dentro del trapezoide. Asume simetría en las figuras.

4

3

7

A. 36.44 u2

B. 49 u2

C. 12.5 u2

AE5) Halla el área del triángulo mediante la Formula de Herón.

A. 52.24 u2

B. 91 u2

C. 84 u2

14

15

13

Incorrecto, pues no se usa un círculo completo sino un semicírculo sumado a tres lados del rectángulo.

B. 54 Correcto , ya que el área del rectángulo es

4 x 9 = 36 u2 y cada triángulo mide 4 de alto por 3 de base lo cual nos da:

hbA2

1 6)4)(3(

2

1→

Al contar con tres triángulos tenemos 18 unidades cuadradas sumadas a las 36 anteriores obtenemos 54 unidades cuadradas en total.

A. 36 Incorrecto. Esto es el área del rectángulo solamente , hay que tomar en cuenta los triángulos con altura h = 4 y base b = 3 .

c. 45 Incorrecto. Necesita sumar el área del rectángulo con el área de los tres triángulos.

A. Incorrecto, debe considerar sólo tres de los lados del rectángulo y la mitad de la circunferencia.

B. 39.42 Correcto pues has sumado los lados comprendidos por 12 + 12 + 6 = 30 y luego añades la mitad de la circunferencia que está dada por:

Microsoft Equation 3.0

84.18)3)(14.3(22 CrC

Como es semicírculo tomamos la mitad de esa cantidad ,o sea, 9.42 y la sumamos con 30 obteniendo perímetro P = 39.42

Cabe notar que el radio del círculo es la mitad del ancho(diámetro) por lo cual se usa 6 ÷ 2 =3

A. 54 ¡Correcto! Muy bien.

¡Incorrecto! Debes calcular el valor del lado desconocido x usando Pitágoras (en triángulo superior) y luego repetir Pitágoras en triángulo inferior.

Arriba tenemos 222 2016 a Luego 2564002 a

12144 a

Abajo tenemos 222 125 x Luego 214425 x

13169 x

B) 60.75 ¡Correcto!

¡Incorrecto! A partir de la figura se infiere que el radio del círculo es 5. El área del rectángulo es 100 u2 .

El área del círculo está dada por 2rA , o sea,

A = (3.14)(25) = 78.5 2cm

Sólo se descuenta el área de medio círculo.

¡Correcto! Pasa al próximo ejercicio…

¡Incorrecto!

Por la fórmula de área para trapezoide con bases 4 y 10 ; altura = 7 calcule área: obtendrá 49.

El área del círculo está dada por 2rA , o sea,

A = (3.14)(4) = 12.56 2cm

¡Correcto!

¡Incorrecto!

¿Seguro que quieres detenerte ?

Sí No

Si deseas repasar selecciona la parte correspondiente

Parte I Perímetro

Parte II

Parte III

Parte IV

Parte V

Parte VI

Circunferencia

Teorema de Pitágoras

Área

Fórmula de Herón

Autoevaluación

¡Felicidades!

Has completado el módulo, espero haya sido de provecho y te invito a seguir explorando el

maravilloso mundo de las matemáticas.

π Ω <

¡Adiós!...