VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

TÓPICOS em HISTÓRIA DA mATemÁTICA

Rio de Janeiro / 2008

Todos os direiTos reservados à

Universidade CasTelo BranCo

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB.

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Un3t Universidade Castelo Branco

Tópicos em História da Matemática / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2008. - 36 p.: il.

ISBN 978-85-7880-007-9

1. Ensino a Distância. 2. Título.

CDD – 371.39

Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional

Coordenadora de Educação a DistânciaProf.ª Ziléa Baptista Nespoli

Coordenador do Curso de GraduaçãoSonia Albuquerque - Matemática

ConteudistaJosé Carlos Morais de Araújo

Supervisor do Centro Editorial – CEDIJoselmo Botelho

Apresentação

Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-

ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

Reitor

Orientações para o Auto-estudo

O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.

A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

Bons Estudos!

Dicas para o Auto-estudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.

9 - Não hesite em começar de novo.

SUmÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11

Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 13

UNIDADe I

INTRODUçãO à LINGUAGEM MATEMáTICA

1.1 - O sistema de numeração ..................................................................................................................... 151.2 - Base de sistema de numeração ........................................................................................................... 17

UNIDADe II

UM POUCO DE GEOMETRIA

2.1 - A geometria da antigüidade ................................................................................................................. 192.2 - As escolas de Tales de Mileto e de Pitágoras ...................................................................................... 21

UNIDADe III

PESQUISANDO EM DIFERENTES FONTES ......................................................................................... 25

Glossário ..................................................................................................................................................... 30

Gabarito ....................................................................................................................................................... 31

Referências bibliográficas ........................................................................................................................... 33

11Quadro-síntese do conteúdo programático

UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

I - INTRODUçãO A LINGUAGEM MATEMáTICA1.1 - O sistema de numeração1.2 - Base de um sistema de numeração

II - UM POUCO DE GEOMETRIA2.1 - A geometria da antiguidade2.2 - As escolas de Tales de Mileto e de Pitágoras

III - PESQUISANDO EM DIFERENTES FON-TES

• Primeiros sistemas de numeração;• Bases; • Sistemas de numeração posicionais e o sistema de numeração hindu-arábico.

• A geometria babilônica e egípcia;• Geometria pitagórica: resolução geométrica de equações quadráticas e o número de ouro;• O raciocínio postulacional.

• A seqüência de Fibonacci;• O início do simbolismo algébrico;• Os logaritmos; • Geometria analítica;• O surgimento do cálculo diferencial e integral;• Geometrias não-euclidianas;• A Matemática do século XX.

13Contextualização da Disciplina

A disciplina Tópicos em História da Matemática se propõe a abordar os primeiros sistemas de numeração, a geometria da antigüidade, o desenvolvimento da matemática no Renascimento e nos séculos posteriores.

Podemos entender esse instrucional como dividido em duas partes: na primeira abordamos o sistema de nume-ração e o início da geometria e abordamos, paralelamente, algumas atividades com conteúdos de matemática de Ensino Fundamental; na segunda parte apresentamos bibliografias, diferentes fontes de pesquisas e propostas de estudos.

A compreensão de alguns textos nessa disciplina pode ficar comprometido pelo conhecimento que você tenha de alguns assuntos de Matemática, portanto, recomendamos que você, concomitantemente, aproveite para pes-quisar e ampliar esse conhecimento. Não está descartada, portanto, a hipótese de você precisar buscar em outras fontes material para seus estudos. A pesquisa é uma característica forte na EAD e, sobretudo, nessa disciplina. Contamos com a sua dedicação.

No texto atual dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) do Ensino Médio que compreende Linguagens, Códigos e suas Tecnologias onde está inserida a Matemática, é sugerido, quando aborda as competências e habilidades que devam ser desenvolvidas em Matemática, relacionarmos etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

15UNIDADe I

1.1 - O Sistema de Numeração

Um dos primeiros dos grandes problemas que o homem enfrentou no caminho que desenhou para a Matemá-tica, certamente, foi a criação de um sistema de numeração que fosse eficiente; acreditamos que muitas das difi-culdades que nossos alunos encontram no estudo da Matemática tenham haver com a pouca intimidade que têm com a linguagem que a Matemática se utiliza. Nesse sentido, sugerimos que façam parte de suas formações um conjunto de referências que temos hoje de como se deu o desenvolvimento da Matemática ao longo dos tempos de modo que possamos contextualizar os conteúdos da Matemática que levamos para as salas de aulas.

Listamos a seguir algumas particularidades da história da Matemática e sugerimos que você, através de pes-quisas e muita leitura, procure se aprofundar desses aspectos.

NOÇÕES PRIMITIVAS DE NÚMERO, GRANDEZA E FORMA

• 1 lobo e muitos.• Tamanhos da sardinha e da baleia.• Forma da lua e de um pinheiro.

LINGUAGEM DOS SINAIS

• Dedos das mãos: 1 2 3 4 5 (base cinco).• As duas mãos: contagem até 10.• Usando as mãos e os pés: base 20.• O recurso das pedras: correspondência biunívoca.

Foram muitas as bases que o homem utilizou para expressar quantidades, mas fica fácil compreendermos a preferência pela base decimal quando olhamos para a anatomia do corpo humano.

Segundo Aristóteles, o sistema decimal é resultado do acidente anatômico.

Fontes Importantes da História

Marcas em ossos que datam de 30.000 anos são os mais antigos documentos:

Na Mesopotâmia (2000 a.C.) faziam-se registros sobre o barro através de uma linguagem que usava marcas de cunhas, era a escrita cuneiforme. Um dos mais antigos documentos da Matemática dos babilônios, povos que viviam nessa região, foi a Rocha Behistun que trazia uma narração trilingüe e que começou a ser traduzida em 1870.

A escrita egípcia leva melhor sorte, pois a pedra de Rosetta foi decifrada em 1799. Nela, havia Hieróglifos na escala decimal: o numeral 12345 é escrito na forma abaixo.

Em 1858 é comprado por Henri Rhind um rolo de papiro de 0,30m por 5m. Nele, além de uma lista de problemas matemáticos, documenta-se que o processo repetitivo de representação numérica dá lugar a sinais especiais para dígitos e múltiplos de potências de dez. Seguem exemplos de numerais 4, 7 e 28.

INTRODUÇÃO à lINGUAGEM MATEMáTICA

16A notação posicional pode ser percebida na escrita para o numeral 59.

Egípcia: Mesopotâmia:

Observa-se que os babilônios percebiam funções duplas, triplas etc. para o mesmo símbolo. O valor depende-ria da posição que ocupassem na representação do numeral.

Usamos hoje no numeral 222 um mesmo algarismo com 3 diferentes significados.

Obstáculo para a escrita numérica: A CASA VAZIA

A não existência do zero dificulta a identificação.

O numeral acima tanto poderia representar o numeral 22 (2 x 60 + 2 = 122) quanto o numeral 202 (2 x 602 + 0 x 60 + 2 = 7202).

No tempo das conquistas de Alexandre o Grande, um símbolo foi providenciado pra ocupar o lugar vazio. O numeral seguinte representa 202, isto é, o número 2 x 602 + 0 x 60 + 2 = 7202.

Nosso Sistema de Numeração

Por volta do ano de 750, os árabes absorvem as culturas de seus vizinhos e, com os reinados dos califas al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum, aumenta o interesse dos árabes pela cultura e a paixão por tradução.

• Parte do Euclides é traduzido no reinado do segundo califa.• Al-Mamum estabelece em Bagdá a “Casa da sabedoria”.• O matemático e astrônomo Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi escreve dois livros sobre aritmética e

álgebra se baseando nas obras dos Hindus.

A partir daí, predomina na matemática árabe o sistema de numeração dos hindus, criando a falsa impressão de que nosso sistema de numeração é de origem árabe.

Formas arábicas hoje:

17A notação numérica de então é conhecida como a de al-khowarizmi (de onde derivam algoritmo e algarismo).

Como os princípios do sistema são os mesmos, nosso sistema é conhecido por indo-arábico.

Características do Sistema Decimal de Numeração

• Símbolos usados: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.• Base: 10 (agrupamentos são feitos de 10 em 10).• É posicional: o mesmo símbolo representa valores diferentes dependendo da posição que ocupa no numeral.• Zero: para indicar a posição vazia.• Multiplicativo: um algarismo escrito à esquerda de outro vale 10 vezes o valor que teria se ocupasse a po-

sição deste outro.• Aditivo: o valor do número é obtido pela adição dos valores posicionais.

1.2 - Base de um Sistema de Numeração

A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é hoje a mais usu-almente empregada, embora não seja a única utilizada. Ainda pedimos no comércio uma dúzia de ovos ou uma grosa de parafusos (base 12) e também o tempo é marcado em minutos e segundos (base 60).

Os computadores utilizam o sistema binário (base 2) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).

Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, seriam apenas dois algarismos: 0 e 1. Na computação usa-se a base 16 quando, aos 10 algarismos aos quais estamos acostumados, são acrescentados os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. Generalizando, temos que uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).

A representação 254,3810 (base 10) significa: 2x102 + 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 8x10-2

Representamos então uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue:

an.bn + .... + a2.b

2 + a1.b1 + a0.b

0 + a-1.b-1 + a-2.b

-2 + .... + a-n.b-n

onde: an.bn + .... + a2.b

2 + a1.b1 + a0.b

0 é a parte inteira e a-1.b-1 + a-2.b

-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.

Exemplo: A representação do número 1610 nos sistemas binário, octal e hexadecimal são, respectivamente, 100002, 208 e 1016.

Exercício de Fixação

1) Converta 4F5H para a base 10 (lembramos que o H significa que a representação é hexadecimal (base 16)).

2) Converter 34258 para a base 10.3) Converter 10112 para a base 10.4) Converter 1001,012 para a base 10.5) Converter 34,35 para a base 10.

Conversão da Base 10 para uma Base b Qualquer

Lançaremos mão de um exemplo para o entendimento da conversão de números da base dez para uma base qualquer. A seguir apresentamos os algoritmos para a parte inteira e depois para a parte fracionária.

Parte Inteira: O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que o resto da última divisão (que resulta em quociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem. Veja o exemplo da conversão do número 15,6510 para a base 2.

18

Parte Fracionária: Os algoritmos de conversão são diferentes. O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base; assim por diante, até o resultado dar zero ou até encontrarmos o número de casas deci-mais desejado. Por exemplo, vamos converter 15,6510 para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:

Com 5 dígitos fracionários: Com 10 dígitos fracionários: 0,65 = 0,101002 0,65 = 0,10100110012

Portanto, o resultado da conversão será:

15,6510 = 1111,101002 (com 5 dígitos)15,6510 = 1111,10100110012 (com 10 dígitos)

Exercícios de Fixação

01. Converta 231 para a base 2.

02. Converta 14,258 para o sistema binário.

03. Resolva as operações seguintes:a. Efetue a soma: 1110102 + 1010102b. Multiplicação: 01012 * 1012c. Subtração: 10112 - 01102d. Divisão: 1112/102

04. Encontre os cinco números seguintes à seqüência hexa:E9A, E9B, E9C,_______ ,_______ ,_______ ,_______ ,_______.

05. Uma nave interplanetária tripulada chega a um planeta distante que, provavelmente, foi habitado por se-res inteligentes e lá um livro intacto é encontrado. Ao pé de cada página desse livro, há um ou mais símbolos que nossos exploradores do espaço acreditam serem registros numéricos. Supondo que, como os humanos, os habitantes do planeta inventaram um sistema posicional de numeração, pergunta-se:

a) Qual era, provavelmente, a base desse sistema, uma vez que as páginas do livro, a partir da primeira, estavam “numeradas’ pelos símbolos mostrados abaixo?

b) A partir da décima sétima página, como estariam “numeradas as próximas dez páginas do livro alienígena encontrado?

19UNIDADe II

UM POUCO DE GEOMETRIA

A Geometria surgiu no Egito e na Babilônia, no vale mesopotâmio, região entre os rios Tigre e Eufrates. Parece sem sentido precisar uma data já que os mais antigos vestígios nos mostram que desde o início das ci-vilizações havia uma preocupação com as relações espaciais, com a confecção de cestos e potes, por exemplo, e, esta preocupação possivelmente abriu caminho para a Geometria. Uma Geometria intuitiva, não-axiomática, como uma coleção de regras práticas sugeridas pela experiência, cujo objetivo possivelmente fosse aplicações às medições, como defende Heródoto ou como Aristóteles acreditava (320 a.C.), tendo sua origem na prática de rituais primitivos.

Como documento, o Papiro de Ahmes trazia inscrições de alguns problemas dos quais se ocupavam os Egípcios.

• A área do triângulo isósceles era calculada pela metade do produto da base pela altura.

• A área de um trapézio isósceles de base 6 e 4 e altura 20 foi obtida pelo produto da metade da soma das bases pela altura.

• A área de um círculo de diâmetro 9 era calculada como a área de um quadrado de lado 8.

O que nos leva a ter como valor de .

• Sabiam calcular o volume de um tronco de pirâmide (com base quadrada) usando a mesma fórmula que usamos hoje, embora esta não apareça em lugar algum.

Acreditou-se durante muito tempo que os Egípcios detivessem maior conhecimento da Geometria que os mesopotâmios, no entanto, na década de 30 do século passado, foram encontradas tabletas (placas de barro) trazendo inscrições de cálculos de áreas de triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos e heptágonos.

Faziam ainda parte da cultura dos Babilônios:

• A área do círculo como três vezes o quadrado de seu raio. área: 3 R2

2.1 - A Geometria da Antigüidade

20• Dada uma corda de um círculo onde se conheça o raio, calcular o apótema.

• Sabiam ainda que o ângulo inscrito no semi-círculo é reto (Teorema de Tales).

Diz-se que os Egípcios conheciam o Teorema de Pitágoras, no entanto, não há provas disso e é bem pouco provável que seja verdade.

Para qualquer uma das duas culturas:• Não há registro se sentiam necessidades de provas;• Havia ausência de distinção entre o exato e o aproximado;• Usavam linguagem próxima de casos concretos (ausência de abstração).

A Geometria somente aparece com caráter dedutivo, apoiada em proposições gerais, na antiga Grécia, com Tales de Mileto (640-546 a.C.) e Pitágoras (580-500 a.C.).

Exercícios de Fixação

01. Admitamos que é conhecido o processo pra calcular a área do retângulo, isto é, que sabemos que a área do retângulo pode ser calculada pelo produto de suas duas dimensões. Então, por equivalência, podemos determi-nar as áreas do paralelogramo e do triângulo.

02. A área de um losango pode ser determinada em função da medida de seu lado? Justifique sua resposta.

03. Determine a expressão que dá a área do losango em função de suas diagonais.

04. Investigue pelo menos duas maneiras diferentes de justificar a expressão que usamos para determinar a área do trapézio.

Observação: Dois triângulos que possuam bases e alturas, respectivamente iguais, são equivalentes.

D

21É possível, portanto, com esse argumento construir para todo polígono um retângulo que seja equivalente.

Exemplo: O quadrilátero ABCD pode ser transformado no triângulo ABE e este triângulo pode ser transfor-mado em um retângulo.

05. Construa um retângulo equivalente ao triângulo seguinte.

06. Transforme o quadrilátero a seguir em um retângulo equivalente.

07. Transforme o pentágono a seguir em um retângulo equivalente.

2.2 – As Escolas de Tales de Mileto e de Pitágoras

Entre os anos 800 a.C. e 800 d.C., o centro de desenvolvimento da Matemática se desloca para o litoral do Mediterrâneo com a chegada dos helênicos, antepassados dos gregos. Os gregos, ansiosos por aprender, absor-vem os conhecimentos matemáticos dos egípcios e babilônios e a tudo acrescentam melhorias.

Qualquer leitura que façamos das contribuições feitas pelos antigos povos gregos na história da Matemática haverá de incluir referências das principais escolas da Grécia antiga: a escola Jônica e a Pitagórica.

A escola Jônica originou-se na cidade de Mileto, na costa da ásia Menor, que, por ser um centro mercantil, estava em contato constante com as antigas civilizações orientais. Entre os grandes filósofos pertencentes à cultura cosmopolita desta cidade, destacamos Tales. Segundo Tales de Mileto (640 a.C.), a Terra seria um disco circular flutuando num oceano (“como um pedaço de madeira”) que seria o princípio de todas as coisas. Todas as substâncias seriam diferentes formas do elemento água: vapor, terra, água.

A Escola Pitagórica pregava uma outra linha de pensamento da Grécia Antiga. Desenvolveu-se numa colônia grega no sul da península Itálica, supostamente liderada pelo legendário Pitágoras. A comunidade pitagórica tinha o caráter de um movimento religioso, onde a geometria e a matemática possuíam um papel privilegiado. Os números e figuras geométricas possuiriam poderes especiais, sendo o próprio Criador do Universo um geômetra. A atividade desta escola transcendeu o escopo religioso: atribuem-se a ela diversos importantes re-sultados na matemática e geometria, em particular o teorema “de Pitágoras”, tendo chegado também à maioria das conclusões expressas mais tarde no Elementos de Euclides. Os números eram classificados com critérios peculiares como: pares e ímpares, primários e secundários, perfeitos, imperfeitos, quadrados, poligonais etc.

22Estudaram de forma geométrica algumas séries numéricas como a dos “números triangulares” e, no que con-

cerne à estrutura do Universo, acreditavam ser inteiramente regido por “harmonia e número”, concebido como foi por um Deus geômetra.

A figura abaixo é uma analogia aos argumentos dos pitagóricos para o teorema que leva o nome de sua escola.

Alguns relatos tentam apontar que Pitágoras foi discípulo de Tales. De volta da Índia, Pitágoras estabeleceu-se na Magna Grécia, hoje Itália, e fundou sua sociedade secreta de bases Matemáticas e Filosóficas. Esta sociedade tratava a propriedade e o conhecimento como comuns e, por conta disso, a partir daí, muito do desenvolvimento dos pitagó-ricos é atribuído como sendo de Pitágoras. O lema da escola era “TUDO É NÚMERO” e segundo Filolaus:

“Todas as coisas que podem ser concebidas têm números; pois não é possível que sem números qualquer coisa possa ser concebidas ou conhecida.” Exemplos de criações dos pitagóricos: os números figurativos.

• Números Triangulares: N = 1 + 2 + 3 + ... n

• Números Quadrangulares: N = 1 + 3 + 5 + ...+ (2n - 1)

• Números Pentagonais: N = 1 + 4 + 7 + ...+ (3n – 2)

a2 = b2 + c2

Em Euclides, livro V, a prova do te-orema é feita mostrando que a área do quadrado sobre o cateto AC é duas vezes a área do triângulo PBC ou duas vezes o triângulo ACR ou o retângulo CHTR.

Analogamente, o quadrado sobre o cateto AB tem a área do retângulo HBST.

Exemplo:

Isso equivale dizer: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

⇒ 25 = 9 + 16

23A escola tinha como símbolo um Pentagrama ou o Pentágono estrelado que exercia verdadeiro fascínio. É

possível que venha daí o conhecimento que possuíam sobre a divisão de um segmento em MÉDIA E EXTRE-MA RAZãO.

No Pentágono regular, traçadas as diagonais, cada um dos pontos de interseção divide a diagonal de maneira notável. Esta divisão é conhecida hoje como SECçãO áUREA e o número resultado dessa divisão, número de ouro.

Diz-se que um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razão se: a razão do segmento todo para o segmento maior AP é igual à razão deste segmento AP para o segmento PB, isto é:

O Número de Ouro

A divisão de um segmento em média e extrema razão deu origem a um número conhecido por “Número de ouro”, representado pela letra grega f (Phi) e que sempre foi tratado como um número ligado a beleza.

Diz-se que de todas as divisões possíveis de um segmento, a divisão na MÉDIA E EXTREMA RAZãO pa-rece ser a mais agradável à vista como que um modelo harmonioso para os nossos sentidos. Documentado no Papiro de Rhind, os Egípcios faziam referência a uma “razão sagrada” que se crê ser o número de ouro.

A busca por razões que justificassem a participação do número phi no modelo da beleza levou o matemático alemão Zeizing a formular, em 1855, o seguinte princípio:

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresen-tar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo.”

Zeizing - 1855

Determinar o valor do número de ouro equivale a resolver uma equação do 2º grau. Seja P um ponto que divida AB = em média e extrema razão. Chamemos x o segmento AP.

Desta equação obtém-se que , portanto: é o número irracional f = 1,610834.

Acredita-se que os Pitagóricos tinham uma solução geométrica para divisão de um segmento em média e extrema razão. Dado o segmento AB, construíam o quadrado ABCD e pelo ponto médio do lado AD, e sobre sua reta suporte, construíam o segmento ME = MB. O lado do quadrado AEFG determina o ponto G. A razão entre AB e AG é o número de ouro.

Então,

24Experimente mostrar isso algebricamente.

25UNIDADe III

PESQUISANDO EM DIFERENTES FONTES

Nas unidades I e II procuramos apresentar textos que servissem como ponto de partida para um estudo mais apurado de conteúdos que são muito presentes no Ensino Fundamental. Agora, estaremos soltando as amarras e propondo diferentes tópicos para você pesquisar. Sugerimos que você deve se utilizar de diferentes fontes de consultas. Utilizando sites de busca na Internet, você deve digitar “história da Matemática” para ter acesso a inúmeros endereços que te ajudarão a ampliar seu conhecimento. Recomendamos que você visite a apresenta-ção da versão digital dos Elementos de Euclides que está em português disponível na site (Livro I) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html.

A seguir, listamos alguns tópicos para suas pesquisas. Faça resumos sobre cada um deles e busque contextu-alizar esses assuntos com a prática da sala de aula. Serão alvo de nossas pesquisas:

• A seqüência de Fibonacci• O número PI• Duplicação do cubo• Trissecção do ângulo• Quadratura do círculo• Os elementos de Euclides• Os logarítmos• A Geometria Analítica• O surgimento do Cálculo Diferencial e Integral• Fractais• Geometrias não-Euclidianas• A Teoria dos conjuntos

Além dos sites, você vai encontrar muitos bons artigos na Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática. Reproduzimos aqui uma síntese feita por Circe Mary Silva da Silva Dynnikov de excelentes fontes de consultas (BIBLIOGRAFIA COMENTADA EM HISTÓRIA DA MATEMáTICA):

• BOYER, C. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, Edusp, 1974.

O original em língua inglesa surgiu em 1968 e foi traduzido em 1974 por Elza Gomide. A edição em língua portuguesa compreende 488 páginas, contém várias ilustrações e uma tabela cronológica. Este é um dos livros-textos de história da matemática mais conhecidos e recomendados no Brasil.

O livro está dividido em 27 capítulos e está organizado segundo a seguinte cronologia: desde as “origens pri-mitivas”, Egito, passando por China e Índia e concluindo com “aspectos do século XX”. Embora o autor afir-me, no prefácio, que o nível de conhecimento matemático pressuposto é o de um estudante de curso superior do segundo ou terceiro ano, na realidade, a experiência tem mostrado que os alunos universitários manifestam alguma dificuldade para acompanhar o texto. Seria aconselhável, antes de iniciar a leitura deste texto, uma leitura prévia em textos mais concisos, a fim de facilitar a introdução em estudos de história da matemática. Os exercícios propostos são muito interessantes, mas seriam mais bem aproveitados por alunos já iniciados.

• EVES, H. História da geometria. São Paulo: Atual, 1992.

Comentário: O livro Historical topics for the mathematics classroom, do Conselho Nacional de Professores de Matemática dos Estados Unidos, foi traduzido por Hygino H. Domingues e apresentado em cinco volumes indepen-dentes sobre os temas “Números e Numerais”, “Geometria”, “álgebra”, “Cálculo”, “Computação” e “Trigonome-tria”. Esta série de livros destina-se ao uso em sala de aula. Cada livro compreende duas partes: a primeira, que tem como objetivo dar uma visão geral sobre o assunto, e a segunda, com textos independentes, de diferentes autores, que visam “tornar facilmente acessíveis fatos pertinentes relativos a importantes teoremas, conceitos e avanços em matemática”. A linguagem do texto é simples, mas rigorosa, sendo acessível para um aluno de Ensino Médio ou do início de um curso de matemática. Cada livro possui aproximadamente 100 páginas.

26• EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 1995.

Comentário: A tradução foi feita por Hygino H. Domingues. A característica principal desta obra é a sua apre-sentação metodológica. É uma proposta de livro-texto para um curso de história da matemática para alunos de graduação, mas pode ser usado também por professores da escola secundária. O autor incluiu uma quantidade razoável de conteúdos matemáticos juntamente com a abordagem histórica, porque ele espera que através des-se livro “o aluno aprenda muita matemática, além da história”. O material histórico é apresentado em ordem cronológica, iniciando com a contagem primitiva e chegando à matemática do século XX. Quase todos os ca-pítulos incluem um interessante panorama cultural da época pesquisada, procurando mostrar que a matemática não se desenvolveu no vácuo. Os exercícios no final de cada capítulo têm o objetivo de tornar o curso mais concreto e significativo para o aluno, oportunizando a reflexão sobre problemas matemáticos clássicos e servin-do de subsídio para projetos de iniciação científica. Cada capítulo inclui uma ampla e atualizada bibliografia. O texto apresenta inúmeras ilustrações, um quadro ilustrativo dos diferentes períodos matemáticos e uma tabela cronológica desde o início da contagem (aproximadamente 50.000 a.C.) até a conjectura de Bieberbach em 1987. O livro possui 843 páginas.

Sugerimos ainda os volumes de “Tópicos de história da matemática para uso em sala de aulas, da Atual edito-ra. São seis volumes: Números e numerais, Computação, Geometria, álgebra, Trigonometria e Cálculo.

Após sua pesquisa, ou para iniciar suas pesquisas, procure responder às questões seguintes.

Exercícios de Fixação

01. Os números figurativos 1, 4, 9, 16, ... são chamados pelos Pitagóricos de números quadrangulares, nomen-clatura esta justificada pela seqüência de quadrados.

a) Determine qual seria o oitavo elemento dessa seqüência.b) Determine uma expressão algébrica para o n-ésimo número quadrangular.

02. Segundo Arquimedes (250 a.C), a área do círculo é igual à de um triângulo retângulo cujos catetos valem:(A) o raio e o diâmetro do círculo.(B) o diâmetro e a circunferência do círculo.(C) o raio e a circunferência do círculo.(D) p e o raio.

03. Nos Elementos de Euclides, uma asserção cuja veracidade seja garantida pela sua evidência e que, portan-to, não carece de demonstração é chamada de:

(A) proporção(B) teorema(C) axioma (D) corolário

04. Durante o século V, um grande matemático indiano Aryabhata escreveu em um livro de versos:“ Somar quatro e cem, multiplicar por oito, somar ainda sessenta e dois mil. Obtémse assim um valor apro-

ximado (asanna) da circunferência de um círculo cujo diâmetro é de duas miríades”.

Sabendo que o miríade é igual a 10000, qual é o valor de p admitido na proposta de Aryabhata?

05. Napier, perto do início do século XVII, teve grande participação na invenção do Logaritmo. Para resolver o problema do complicado processo de prostaférese, utilizado até então para simplificar multiplicações, Napier desenvolveu um método que associava os termos de uma Progressão Aritmética aos termos de uma Progressão Geométrica.

27PA: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...PG: 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 ....

Para efetuar o produto 128 x 32 bastava encontrar na PG o elemento correspondente ao elemento 12 da P.A. Isto se deve ao fato de:

(A) log232 + log2128 = log2(32x128)(B) log25 + log27 = log212(C) log2(5x7) = log2(4096)(D) log2(4096) = log212

06. Newton, Libniz, Weierstrass e Poincaré são nomes que podem ser associados ao desenvolvimento do conceito de Fractal, mas foi Benoit Mandelbrot quem cunhou o termo fractal do adjetivo fractus, do latim, que, além de significar quebrado ou partido, também significa irregular. Diz-se que um fractal é uma figura auto-semelhante, o que significa que:

(A) uma parte dela é semelhante a toda a figura.(B) qualquer parte dela é maior do que toda a figura.(C) todas as suas partes são menores que ela.(D) ela é semelhante a qualquer outra figura.

07. Quando do surgimento do Cálculo no século XVII, ele tinha como objetivos resolver quatro classes de problemas científicos. Entre eles:

( ) Explicar o conceito de logaritmo Neperiano.( ) Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.( ) Calcular as possibilidades de se obter uma determinada soma no lançamento de dois dados.( ) Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.( ) Definir as raízes complexas de uma equação algébrica.

08. Qual postulado de Euclides não foi aceito facilmente, cuja tentativa de se provar que se tratava de um teorema acabou implicando na criação de novas geometrias?

(A) Segundo postulado de Euclides.(B) Terceiro postulado de Euclides.(C) Quarto postulado de Euclides.(D) Quinto postulado de Euclides.

09. O desenvolvimento do Cálculo contou com muitos matemáticos de expressão, dentre eles, os que mais contribuíram para seu desenvolvimento foram:

(A) Pitágoras e Galileu Gelilei(B) Newton e Libniz(C) Fermat e Euler(D) Hípias e Eróstenes.

10. Uma pessoa A está parada no ponto , a 3 metros ao seu lado, existe uma pedra. Sabendo que uma pessoa B está a 4 metros dessa pedra e que o ângulo formado pelas restas da pessoa A até a pedra e da pedra até a pessoa B é de 90º, qual a menor distância entre as pessoas A e B?

(A) 7 (B) 5 (C) 1 (D) 12

11. Na figura abaixo, considerando-se que o triângulo ABC é retângulo em A e ABFG, ACIH, BCDE são quadrados. Em relação às afirmativas a seguir, pode-se afirmar que:

28I - Os triângulos CBF e EBA são congruentes.II - A área de ABFG é o dobro da área de CBF.III - A área do retângulo BKJE é o dobro da área de EBA.IV - ABFG e BKJE têm mesma área.V - A área de BCDE é a soma das áreas de ABFG e ACIH.

(A) somente a III é falsa;(B) todas são falsas;(C) todas são verdadeiras;(D) uma delas é falsa.

12. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes 1596-1650), desenvolveram simultanea-mente e de forma independente:

(A) a Trigonometria.(B) a Geometria Analítica.(C) a álgebra.(D) a Geometria Plana

13. Os problemas clássicos conhecidos como a “quadratura do círculo”, a “trissecção do ângulo” e a “duplica-ção do cubo” foram responsáveis por boa parte do desenvolvimento da Matemática, embora tenham se mostra-dos impossíveis de serem resolvidos dadas às condições a que estavam impostas suas soluções. Tais soluções:

(A) deveriam envolver somente régua e compasso.(B) deveriam ser algébricas.(C) deveriam usar somente Geometria.(D) não permitiria o uso de Trigonometria.

14. O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido em 105 quadrados elementares iguais.

Determine a área sombreada correspondente às letras da sigla UCB, admitindo:a) cada quadrado elementar como a unidade de área.b) O quadrado ABCD como a unidade de área.c) A letra U como a unidade de área.

29

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

então, você está preparado para as avaliações.

Parabéns!

30Glossário

Apótema - segmento que representa a distância do centro a uma corda da circunferência.Axiomática - desenvolvida a partir de axiomas (proposições que não precisam ser demonstradas).Babilônios - natural ou habitante da Babilônia (cidade situada na região mesopotâmia).Cuneiforme - que tem a forma de cunha;diz-se da antiga escrita dos Assírios, Medos e Persas.Corda - segmento de reta que tem como extremos dois pontos de uma circunferência.Mesopotâmia - região situada entre rios.Tabletas - placas de barro onde povos antigos deixavam marcas em linguagem cuneiforme.Tangencia - diz-se que uma reta tangencia um círculo (é tangente) quando esta intercepta o círculo em apenas um de seus pontos.Triângulo isósceles - triângulo que possui dois de seus lados iguais.

31Gabarito

Unidade I

Exercícios com início na Página 18

1) 1110011122) 1110,0123) a)10001002 b) 110012 c)1012 d) 11,124) E9D, E9E, E9F, EA0, EA1.5) a) 7 b)

Unidade II

Item 2.1

1)

O paralelogramo é equivalente ao retângulo de base b e altura h. Então, S = b.h. A área do pareleogramo é equivalente a dois triângulos de mesma base e mesma altura, portanto 2.S = b.h, ou seja:

2) Não. Podemos ter diferentes losangos com lados respectivamente iguais, no entanto, com áreas diferentes. 3) Observe que a área do losango é a metade da área do retângulo que

possui lados iguais às suas diagonais. Portanto,

4)

• Na primeira figura, o trapézio é formado por dois triângulo de bases respectivamente iguais a B e b e com

alturas iguais a h. Portanto então ;

• Na segunda figura o paralelogramo de base (B+b) e altura h é formado por dois trapézios. Então 2.S =

(B+b).h, ou seja:

5)

S = d.D2

Retângulo de mesma base e metade da altura.

S = b.h2

S = (B+b).h2

S = Bh2

bh2+ S = (B+b).h

2

326)

7)

Traçamos duas retas paralelas às duas diagonais, obtemos um triângulo equivalente e, a seguir, um retângulo de mesma base e metade da altura do triângulo.

Unidade III

01. a) 82 = 64 b) n2

02. C03. C04. O valor admitido para π é 3,1416.05. A06. A07. Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta e determinação do comprimento de

uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.08. D09. B10. B11. C12. B13. A14. a) 31,75 b) 0,3 c) 2,868686...

33Referências Bibliográficas

BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. São Paulo: UNICAMP, 1997.______. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992.LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática e outras histórias. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1998.