Tópicos em Física ModernaCinemática e Dinâmica Relativísticas

Aula 2 2Prof

. Pau

lo R

osa

CCET

/UFM

SCu

rso

de M

estr

ado

em E

nsin

o de

Ciê

ncia

s - U

FMS

Regra de adição de velocidades

x

y

z

x'

y'

z'v

u'

u

Velocidade da partícula no

sistema S.

Velocidade da partícula no

sistema S’.

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FMS

Regra de adição de velocidades (II)Como as velocidades se adicionam na Relatividade Restrita?

A regra clássica nos levaria a violar o postulado de que a maior velocidade possível é a velocidade da luz:

' ' 'dy d

y y vt y v u u vdt dt

Precisamos de uma nova regra. Podemos obtê-la a partir da expressão das transformações dos intervalos de tempo:

2

'

'

dy dy vdt

vdydt dt

c

Dividindo as duas expressões, obtemos:

2 2

'' 1

dydt v

dy vdtdy dtvdy v dydt dt dtc c dt

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FMS

Regra de adição de velocidades (III)

''

'dy

udt

dy

udt

S’ S

22

2

' '1

u v u vu u c

uv c uvc

u,v << c

2

22

2 20

2

' '1 uv

c

u v c u vu c u u v

uvc uv cc

22 2

2 2' 'u v c v c c v

u c c u cc uv c cv c c v

u c

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x

y

z

Dinâmica Relativística

x'

y'

z'

v

x'

y'

z'

v

u'

u

Sistema de Referência

Próprio

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Sistema de Referências Próprio

É o sistema no qual a partícula está em repouso.

Massa de repouso é a massa medida no Sistema de

Referência Próprio (m0).

Tempo próprio é o tempo medido no Sistema de Referência Próprio.

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FMS

Massa em outros sistemas de referência

Em qualquer outro sistema de referências a massa da partícula será maior que no Sistema de Referências

Próprio

00 2

21

mm m

vc

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FMS

O momento na Relatividade RestritaEm um dado sistema de Referências, o momento da partícula será dado pelo produto da massa pela velocidade da partícula medida naquele sistema de

referências.

00 2

21

mm m

vc

vp v v

Massa medida no Sistema Próprio da partícula

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A força na Relatividade RestritaDa mesma forma que na Física Clássica, identificarmos a força resultante sobre uma partícula com a variação do momento desta partícula:

ddt

p

F

00 2

21

md dm

dt dt vc

F v vAgora, há uma

dependência no tempo na velocidade dentro

da raiz.

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Força na Relatividade Restrita (II)Vamos dividir o cálculo da força em duas partes.

Caso I – A força é na direção da velocidade da partícula.

x

y

z

v

F

Neste caso:2

300 0 22

2

22

0 2

1

md d d v dvm m

dt dt dt c dtvc

vm a

c

vF v v a v

F a v

Módulo

Se a força é paralela à velocidade ela altera o módulo da velocidade.

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Força na Relatividade Restrita (III)Vamos agora calcular o caso quando a força está na direção perpendicular à velocidade da partícula:

0 0

0

d dm m

dt dtm

vF v

F a

Se a força é perpendicular ela não altera o módulo da

velocidade.

O caso geral, é uma soma destes dois casos particulares:

F F F e e

30 0m a m a F e e

20m a a F e e

No caso geral , a força e a aceleração não são

mais colineares !!!

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A expressão para a energia na Relatividade RestritaA energia cinética de uma partícula é dada por:

2

2c

pE

m

Vamos calcular a variação temporal da energia cinética da partícula:

2 1. .

2c

d d p d dE

dt dt m m dt dt

p pp v

2

20

2

21c

m cd d dE mc

dt dt dtvc

220

2

21

m cE mc

vc

Energia total da

partícula

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A expressão da energia na Relatividade Restrita (II)

Vamos integrar a expressão da variação da energia cinética da partícula para ver o quanto de energia a partícula recebeu desde o momento em que estava em repouso no referencial S até o momento t:

20

2

2

constante= constante1

c c

m cd dE E E E

dt dt vc

220

0( 0) 0 constante=0 constante= -1

c

m cE v m c

Quando partícula está em repouso:

Logo, a energia cinética relativística será dada por:

22 20

0 02

2

( 1)1

c c

m cE m c E m c

vc

20cE E m c

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A expressão da energia na Relatividade Restrita (III)Vamos obter uma relação entre a energia e o momento da partícula:

2

Em

c p v p v

O que acontece se a massa de repouso da partícula for nula? Tomando o quadrado da expressão para o momento:

2

2 20

2

2

2 2 22 2 22 20 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 222 20 0

2 2 2 2 2

22202 2

.1

1 11 / 1 / 1 /

1 /1 / 1 /

mp v

vc

m m mp v vp v

v c c v c c v c c

m mpv c

c v c v c

p Em

c c

pp

22 2 2

02

Ep m c

c m0 = 0 2

| |Ev E

p v cc c

p

p = E/c

Somente partículas sem massa de repouso podem

viajar com a velocidade da luz!

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Energia versus massa na Relatividade Restrita

2

Em

c

Vamos analisar a equação para a energia de uma partícula, a reescrevendo de forma diferente:

Sistema Físico

mi, Ei

Processo

Sistema Físico

Ef =Ei –Emf

E

2f i i

Em m m m

c

2

Em

c

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Um exemplo

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Fim da Aula 2