TÓPICO Fundamentos da Matemática II · Mais geralmente, o campo depende das coordenadas do ponto...

TÓPI

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

CaMPOs EsCalarEs E VETOrIaIs6

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atem

átic

a II

6.1 Conceitos Básicos6.2 Campos Escalares e Campos Vetoriais6.3 representando Campos em 2-D6.4 superfícies de valores constantes do Campo Escalar6.5 linhas de força de um Campo Vetorial6.6 Categorias de Campos Escalares6.7 Campos de Temperaturas e Pressões6.8 Campos Escalares: Densidades6.9 Campos Escalares associados a Potenciais e Energias Potenciais6.10 Tipos de Campos Vetoriais

6.10.1 Campos Vetoriais associados a Forças 6.10.2 Campos Vetoriais associados a Densidades6.10.3 Variação de Grandezas Vetoriais: Velocidades6.10.4 Potenciais Vetoriais6.10.5 Funções Vetoriais Derivadas: a Densidade de corrente

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Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

licenciatura em Ciências · UsP/Univesp

6.1 Conceitos BásicosCampo é um conceito fundamental da física e de todas as ciências. É o conceito básico, e

único, utilizado nas interações eletromagnéticas. No entanto, é também utilizado na mecânica,

na mecânica dos fluidos, ciências atmosféricas e na Teoria Quântica. Sem nos darmos conta

muitas vezes é o conceito fundamental da química teórica, aquela que estuda as propriedades

dos elementos químicos e seus compostos a luz da mecânica quântica.

Hoje entendemos que a presença de objetos dotados de certos atributos, como massa e carga

elétrica, geram alterações nas propriedades do espaço ao redor dos mesmos. Quanto mais longe

dos objetos que as provocam, menor é o efeito por eles provocado. Assim os efeitos associados

a tais alterações dependem do ponto do espaço no qual as observamos.

As alterações decorrentes da mera presença dos objetos no espaço são descritas por meio

do uso do conceito de campo. Um campo a rigor é tão somente uma função de até quatro

variáveis. Mais geralmente, o campo depende das coordenadas do ponto do espaço e, eventual-

mente, do tempo. Assim escrevemos o campo escalar mais importante do eletromagnetismo, o

potencial elétrico, como:

6.1

O campo, em princípio é uma grandeza física observável com propriedades físicas a ela

associada. Por exemplo, o potencial elétrico associado a uma partícula dotada de uma carga

elétrica, ou massa, acarreta uma alteração na energia de outra partícula que dela se aproxima.

Assim o conceito mais importante, depois daqueles associados aos atributos dos constituintes

da matéria, é o conceito de campo.

Dizemos que um campo é estático, se ele não depende do tempo. No caso do campo

escalar, escrevemos:

6.2

( ), , ,V V x y z t=

( ), ,V V x y z=

86

TÓPICO 6 Campos Escalares e Vetoriais


Se, além de estático ele não depende dos pontos do espaço, dizemos que o campo é

uniforme. Nesse caso, utilizamos o indice 0 para caracterizá-lo. Um campo vetorial uniforme

tem a forma mais geral dada pela expressão:

6.3

onde suas componentes E0x, E0y e E0z são constantes.

Como o planeta Terra é dotado de massa, de carga elétrica e de um momento de dipolo

magnético, ele produz três variedades de campos vetoriais. Eles estão associados à massa da Terra

(o campo gravitacional), à sua distribuição de cargas elétricas (o campo elétrico) e ao dipolo

magnético do planeta (o campo magnético da Terra).

6.2 Campos Escalares e Campos VetoriaisCampos estão associados a grandezas que variam de ponto a ponto no espaço. Esse é o caso

de uma distribuição de grandezas físicas no espaço, como a distribuição de temperaturas na

atmosfera terrestre. Se as grandezas têm um caráter escalar, o mesmo acontece com o campo.

Analogamente, podemos introduzir o conceito de campo vetorial para descrever a variação

ponto a ponto de grandezas vetoriais, como a distribuição de velocidades do ar na atmosfera.

Um campo escalar, como a distribuição de massa num sólido, (a densidade de massa do

mesmo), depende para sua inteira caracterização de apenas uma função seguida de uma unidade

0 0 0 0x y zE E i E j E k= + +

Figura 6.1: Campos gravitacional e elétrico da Terra.

87



de medida. Por exemplo, especificamos que a densidade do ferro é uniforme e seu valor é

7,87 g/cm3; isso é tudo que precisamos saber.

Um campo vetorial, associado a uma grandeza vetorial que varia de ponto a ponto no

espaço, é inteiramente caractarerizado, pelo módulo da grandeza, sua direção e seu sentido em

cada ponto do espaço. Como no caso de qualquer vetor, um campo vetorial pode ser repre-

sentado em cada ponto do espaço também, em termos de componentes numa base de vetores

adequada para a escolha de coordenadas. Isso é o que será feito a seguir.

Em coordenadas cartesianas um campo vetorial se escreve como:

6.4

Assim, o campo de velocidades de um furacão, tem componentes:

6.5

A intensidade da velocidade nos vários pontos do espaço no qual o furacão se desenvolve, é

dada pelo módulo da velocidade. Ou seja:

6.6

A velocidade do fluido aumenta à medida em que nos aproximamos do olho do furacão,

localizado na origem do sistema de coordenadas.

Tal vetor tem uma inclinação, em relação ao eixo x, de tal forma que o ângulo ϕ, entre o

eixo x e o vetor é dado por:

6.7

Num furacão, a direção da velocidade dos ventos depende, portanto, do ponto considerado.

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y kV x y z V x y z i V x y z j V x y z k= + +

2 2 2 2( , ) ( , )x yx y x yV x y V x y

x y x y+ −

= − =+ +

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , )

2

x yV x y V x y V x y

x y x yx y x yx y x y x y x y

= +

+ + − + −= + = = + + + +

( , )( , ) arctan arctan

( , )y

x

V x y y xx yV x y y x

−φ = =

+

88



O uso de coordenadas cilíndricas implica na seguinte expressão para um campo vetorial:

6.8

Onde os versores (vetores de modulo unitário) eρ

e eϕ

são definidos como:

6.9

Quando fazemos uso de coordenadas esféricas devemos utilizar a base de vetores adequada

para tal escolha. Assim, em coordenadas esféricas escrevemos:

6.10

Um campo é dito radial se ele for da forma:

6.11

Um campo é dito azimutal se ele depender das coordenadas cilíndricas de acordo com a

seguinte expressão:

6.12

Por exemplo, o campo de velocidades do

fluido num furacão, descrito pela expressão 6.5,

pode ser escrito como:

6.13

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,zV z V z e V z e V z kρ ρ ϕ ϕρ ϕ = ρ ϕ + ρ ϕ + ρ ϕ

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 cos sen

1 sen cos

e xi yj i jx y

e yi xj i jx y

ρ

ϕ

= + = ϕ + ϕ+

= − + = − ϕ + ϕ+

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,r rV r V r e V r e V r eθ θ ϕ ϕθ ϕ = θ ϕ + θ ϕ + θ ϕ

( ) ( )r rV r V r e=

Figura 6.2: Campo de velocidade num fluido. / Fonte: NASA Earth Observatory (fotografia).

( ) ( ), ,V V eϕ ϕρ ϕ = ρ ϕ

( ) 1 1,V e eρ ϕρ ϕ = − +ρ ρ

http://earthobservatory.nasa.gov/NaturalHazards/view.php?id=12144

89



6.3 Representando Campos em 2-DÉ possível encontrar uma forma de visualizar campos elétricos e magnéticos em duas di-

mensões, isto é, numa página de um livro. Para tal, utilizamos algum tipo de dispositivo que nos

permita determinar linhas ao longo das quais o campo é constante ou linhas que indiquem a

direção dos campos em cada ponto.

O primeiro processo para representar a direção de um campo magnético foi descoberto por

Gilbert. O processo é simples e pode ser utilizado no caso de um imã como indica a Figura 6.3.

O versorium, utilizado para visualizar a direção do campo elétrico foi utilizado também por

Gilbert. A seguir indicaremos como podemos representar campos escalares e campos vetoriais.

6.4 Superfícies de valores constantes do Campo Escalar

É possível criar mais de uma forma de visualizar o campo numa determinada região do

espaço. O exemplo mais simples é aquele de representar num gráfico em duas dimensões a

topografia de uma área relativamente acidentada. A superfície do terreno será caracterizada

pela função que dá a elevação a partir da superfície do mar (a coordenada z) como função das

Figura 6.3: Visualizando Campos Magnéticos.

90



coordenadas do ponto do plano associado localmente à superfície da Terra. Tais pontos são

situados imediatamente abaixo do ponto em apreço. Escrevemos:

6.14

Uma superfície típica tem a forma da .

Podemos visualizar a topografia do terreno, especialmente olhando mapas, se traçarmos linhas

ao longo das quais todos os pontos estão à mesma altitude h. O lugar geométrico dos pontos

situados à mesma altura do solo está contido no plano:

6.15

Segue daí que tais pontos, de elevação constante, são representados por curvas, uma vez que

de 6.14 e 6.15 temos:

6.16

As curvas definidas

acima correspondem ao

lugar geométrico dos

pontos do espaço que são

a intersecção de um plano

com a superfície do relevo.

Tais linhas são conhecidas

como curvas de nível. A proximidade das linhas indica a existência de declives acentuados.

Quando as linhas não são tão próximas sabemos que a superfície é mais plana. O conceito de

curva de nível já foi apresentado no Tópico “Aplicações na geometria analítica”.

Um campo escalar de três variáveis, como a pressão, se escreve como:

6.17

( , )z z x y=

z = h = constante

Figura 6.4: Curvas de nível em três e duas dimensões.

( , )h z x y=

( ), ,P P x y z=

91



O lugar geométrico dos pontos do espaço tais que eles estão à mesma pressão são as super-

fícies isobáricas. Definimos tais superfícies pela equação:

6.18

Tais superfícies são definidas como superfícies de nível.

Considerando a intersecção da superfície acima com a superfície

associada à altura constante (que pode ser simplificada por um

plano) ou um plano perpendicular à superfície da Terra, obteremos

as linhas isobáricas, linhas de muito interesse na meteorologia.

A conclusão é que os valores constantes de um campo são

representados por linhas (campos escalares que dependem de duas

variáveis), ou superfícies (no caso de campos escalares que depen-

dem de três variáveis). Ambas são formas de visualizar campos

quando considerados a valores constantes.

6.5 Linhas de força de um Campo VetorialPodemos fazer uma representação, análoga à que fizemos anteriormente, para um campo

vetorial. No entanto, dada sua natureza, estabelecemos agora outra convenção. Para tal, intro-

duzimos o conceito de linhas de força. Elas são parecidas com as curvas de nível mas sua inter-

pretação é muito diferente uma vez que nesse caso estamos falando de uma grandeza vetorial.

Faraday foi o primeiro a introduzir a ideia de linhas de força (e provavelmente do próprio campo). Ele concebia a ideia do espaço preenchido com alguma coisa. O espaço estaria

preenchido pelas linhas de força do campo magnético.

A ideia de Faraday, que prevalece até hoje, é a de que podemos caracterizar o campo num

determinado ponto através de linhas. As linhas de força, nessa forma de visualizar o campo, são

tais que a direção do campo num determinado ponto é tangente à linha de força por aquele

Figura 6.5: Linhas Isobáricas na Superfície Terrestre.

( ) 0, ,P x y z P=

92



ponto. Por esse método de visualização não se pode determinar com precisão a intensidade (o

módulo) do campo vetorial. No entanto, convencionou-se que a intensidade do campo é tanto

maior quanto maior for a aglomeração das linhas de força. Se as linhas forem pouco espaçadas,

a intensidade do campo é alta naquela região. Se o adensamento for baixo, a intensidade do

campo é pequena nessas regiões.

6.6 Categorias de Campos EscalaresQuatro tipos (ou categorias) de campos escalares são de grande importância nas ciências.

1. Campos escalares associados à variação de grandezas físicas no espaço e no

tempo: nessa categoria estão os campos escalares que descrevem como certas grandezas

físicas (grandezas escalares) variam no espaço e no tempo. Podemos assim falar de um

campo de temperaturas e de pressão, por exemplo.

2. Campos escalares associados a densidades: nesse caso os campos são denominados

densidades. Nesse caso o campo escalar especifica o quanto de uma grandeza escalar

existe num determinado elemento de volume, ou de superfície, ou de comprimento.

Exemplos típicos de densidade são as densidades de massa e carga elétrica. No entanto,

podemos falar, por exemplo, de densidade de energia. Trata-se de outra forma de espe-

cificar a distribuição de grandezas físicas pelo espaço.

3. Campos escalares associados a potenciais: essa categoria de campos escalares tem a

ver com a dependência de uma forma de energia com os pontos do espaço e do tempo.

Tais campos serão denominados potenciais. Os mais importantes são os potenciais

elétrico e magnético.

4. Campos escalares derivados.

Figura 6.6: Exemplos de linhas de força.

93



6.7 Campos de Temperaturas e PressõesCom o intuito de exemplificar o conceito de campo como

associado à alteração das propriedades do espaço, imaginemos o

caso de uma chapa, de espessura desprezível, que é aquecida a partir

de uma das suas extremidades.

Como se sabe, a propagação do calor resultará no aquecimento

da chapa de tal forma a que sua temperatura não seja uniforme.

Perceberemos que a temperatura é função do ponto do espaço e do

tempo (quanto mais tempo ela for aquecida maior sua temperatura

final). Escrevemos assim que a temperatura pode ser descrita como

um campo de temperaturas:

6.19

O deslocamento de grandes massas de ar na atmosfera terrestre faz com que a temperatura

no globo terrestre seja diferente, com o decorrer do tempo, de ponto a ponto da mesma. Existe

ainda o efeito da altitude. Ou seja, tendo em vista as diferentes concentrações de moléculas na

atmosfera, da insolação e outros fatores, cada ponto do globo está, a rigor, a uma temperatura

diferente. Assim, podemos escrever a distribuição de temperatura na atmosfera do planeta Terra

como um campo escalar:

6.20

Tendo em vista que a temperatura

de um sistema físico é uma grandeza

escalar, trata-se, em ambos os casos, de

um campo escalar.

As isotermas na superfície terrestre

são superfícies associadas a pontos dota-

dos da mesma temperatura.

Figura 6.7: Distribuição de temperaturas num objeto aquecido.

( ), ,T T x y t=

Figura 6.8: Isotermas do globo terrestre.

( ), , ,T T x y z t=

94



6.8 Campos Escalares: DensidadesA densidade é um campo de fundamental importância em todas as áreas científicas.

Quando o número de objetos portadores de uma determinada grandeza física for muito

grande, preferimos tratar a distribuição como se fosse uma distribuição contínua.

Nesse caso, a função de distribuição nos dá o quanto de uma determinada grandeza física

está contido num elemento de volume infinitesimal. Assim a função de distribuição é uma que

função que estabelece a densidade da grandeza física.

Na realidade podemos falar de três tipos de densidades: Volumétrica, Superficial e Linear.

No caso de uma distribuição volumétrica, a função de distribuição dá o quanto de uma

grandeza física está contida numa determinada unidade de volume. Representamos uma den-

sidade volumétrica pela letra ρ.

→ ρ(r): representa uma distribuição volumétrica de cargas elétricas.

Observe-se que, e de acordo com a expressão acima, a densidade pode variar de ponto

a ponto no espaço. Por isso indicamos que a distribuição depende do ponto cuja posição é

indicada pelo vetor r.A seguir consideraremos a distribuição de massa de um corpo.

Para efeito prático, recorremos a um processo de discretização. Isto significa que, ao lidarmos

com uma distribuição contínua, subdividimos o espaço em pequenos elementos de volume

(vide Figura 6.9). Consideremos o i-ésimo desses volumes, designado por dVi. Tal volume

ocupa a posição associada ao vetor de posição ir

. Nesse ponto podemos tomar, se o volume for

muito pequeno, a densidade como sendo aproximadamente constante; assim escrevemos:

6.21

Assim, a quantidade de massa (em geral, a quantidade da grandeza física considerada) contida

naquele pequeno volume será dada por:

6.22

A expressão 6.22 define a densidade de massa, por exemplo, em cada ponto do espaço.

( )i irρ = ρ

( )i i i i idm r dV dV= ρ = ρ

95



Dada uma distribuição contínua, a quantidade

total dessa grandeza, será dada pela soma das

contribuições de cada volume infinitesimal. A

soma será efetuada sobre todo o volume no qual

a distribuição está confinada.

6.23

No caso contínuo substituímos a expressão 6.23 por:

6.24

Onde o símbolo ∫∫∫ acima representa a soma sobre o volume da região contento as cargas. É

o análogo do somatório no caso discreto.

Uma grandeza física pode ser distribuída ainda numa superfície ou ao longo de uma linha.

Assim, representamos:

→ σ(r): representa uma distribuição superficial da grandeza escalar considerada (massa,

por exemplo).

→ λ(r): representa uma distribuição linear da grandeza escalar (massa, por exemplo).

6.9 Campos Escalares associados a Potenciais e Energias Potenciais

Quando um corpo interage com outro, ou com outros, ele é dotado de energia. Essa forma

de energia, inteiramente relacionada com as várias interações, depende da distância entre os

objetos que interagem e recebe o nome de energia potencial. Assim, essa forma de energia

depende da posição do objeto. Ela será representada pela letra U. Escrevemos:

6.25

A energia potencial é uma função escalar.

Figura 6.9: Ilustrando o conceito de densidade.

Figura 6.10: Pode-se distribuir cargas elétricas em superfícies, como num condutor ou ao longo de fios finos.

i i ii i

Q V F= ρ δ = δ∑ ∑

( ), ,Q x y z dxdydz= ρ∫∫∫

( )PE U r=

96



Para entendermos a energia potencial, consideremos uma partícula puntiforme dotada de

um atributo. Para efeito de ilustração consideremos apenas dois tipos de atributos: a carga

elétrica e a massa.

A presença de uma partícula puntiforme, ou de um conjunto delas, dotada de qualquer

um desses atributos gera uma alteração nas propriedades do espaço ao seu redor. Dizemos que

a partícula dá origem a um potencial. Assim, o potencial pode ser pensado como sendo uma

consequência tangível da presença de objetos dotados desse atributo. O potencial gerado, repre-

sentado pela letra V, é função da distanciar até onde se encontra a partícula. Escrevemos assim:

6.26

O potencial é o campo escalar gerado por uma, ou mais partículas. Como regra geral,

podemos escrever que ele tende a zero no limite em que a distância é muito grande. Isto é:

6.27

Ou seja, o efeito do atributo se reduz à medida em que nos afastamos das partículas que

geram o potencial.

Mais geralmente, escrevemos o potencial produzido no ponto cujo vetor posição é r devido

à existência de uma partícula localizada no ponto cujo vetor posição é r′ como:

6.28

Uma vez que a distância entre as duas partículas é dada por:

6.29

O potencial elétrico no ponto de coordenadas (x, y, z), devido à existência de uma carga Q

puntiforme, localizada no ponto de coordenadas (x´, y´, z´) como função das coordenadas

desses dois pontos. Ele pode ser escrita assim:

6.30

( )V V r=

( )( )lim 0r

V r→∞

→

( ) ( )V r V r r′= −

d r r′= −

( )( ) ( ) ( )2 2 2

0

1, .4

QV x y zx x y y z z

=πε ′ ′ ′− + − + −

97



O princípio da superposição assegura que o Potencial eletrostático quer seja de uma dis-

tribuição discreta ou contínua de cargas é pela soma dos potenciais produzidos pelas partes.

Assim, o potencial produzido por N cargas, cujos valores são Q1, Q2, Q3, .... QN localizadas em

1 2 3, , , Nr r r r⋅ ⋅ ⋅ ⋅

é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas elétricas individuais:

6.31

A consequência do fato de que uma partícula dotada de massa ou carga produzir ao seu

redor um potencial, é que outra partícula dotada do mesmo atributo adquire uma energia. Ou

seja, ela se energiza. Essa energia é conhecida como energia potencial. A energia potencial de

uma partícula (representada por U(r) é o produto do seu atributo vezes o potencial gerado pela

outra, ou pelas outras. Assim, a energia potencial é dada pelo produto:

6.32

Sejam (x, y, z) as coordenadas de uma partícula pontual. Assim, pelo que foi dito acima, se

ela interage com outras, haverá uma energia, a energia potencial EP, que depende da sua posição

(em geral a posição relativa às demais) a qual escrevemos como:

6.33

À função do ponto U, que estabelece a energia devido à interação da partícula naquele ponto de

coordenadas (x, y, z), denominamos função energia potencial, ou simplesmente energia potencial.

6.10 Tipos de Campos VetoriaisComo no caso dos campos escalares, podemos dividí-los em categorias. Nesse caso, considera-

remos cinco tipos (ou categorias) de campos vetoriais. Todos eles são de importância nas ciências.

1. Campos associados a forças, ou interações: Originalmente, os campos vetoriais

foram concebidos como uma forma de dar conta do conceito de força a distância. Assim,

( )( ) ( ) ( )( )

12 2 21 0 2

1, ,4

Ni

ii i i

QV x y zx x y y z z=

=πε

− + − + −∑

( ) ( )atributoPE U r V r= =

( ) ( ), ,PE U x y z U r= =

98



às interações eletromagnéticas e gravitacionais devemos associar três campos: o campo

elétrico, o campo magnético, e o campo gravitacional.

2. Campos Vetoriais associados a densidades: Nesse caso os campos vetoriais são de-

nominados densidades. O campo vetorial especifica o quanto de uma grandeza vetorial

existe num determinado elemento de volume, ou de superfície, ou de comprimento.

Exemplos típicos de campos vetoriais associados a densidades são o campo denominado

magnetização e o campo denominado polarização. Trata-se de outra forma de especifi-

car a distribuição de grandezas físicas pelo espaço.

3. Campos associados à variação de grandezas vetoriais: Nessa categoria estão

os campos vetoriais que descrevem como certas grandezas físicas (grandezas vetoriais)

variam no espaço e no tempo. O exemplo mais importante, nesse caso, é o campo de

velocidades de um fluido.

4. Campos Vetoriais associados a potenciais: Essa categoria de campos vetoriais é

menos utilizada em cursos elementares. O exemplo mais importante, vem do eletromag-

netismo no qual introduzimos um campo fundamental denominado potencial vetor, e

o representamos pela letra A

. Temos assim que o potencial vetor depende do ponto do

espaço e do tempo. Escrevemos:

6.34

tem a ver com a dependência de uma forma de energia com os pontos do espaço e do

tempo. Tais campos serão denominados potenciais. Os mais importantes são os poten-

ciais elétrico e magnético.

5. Campos vetoriais derivados: Nessa categoria temos campos definidos como pro-

dutos vetoriais ou como produtos de campos escalares e campos vetoriais.

6.10.1 Campos Vetoriais associados a Forças

Um dos conceitos mais importantes da ciência do eletromagnetismo é o conceito de campo.

Os campos estão associados à forma com que objetos dotados de carga elétrica interagem entre

si. Assim, não há outra forma de descrever as interações eletromagnéticas. O conceito de campo

está intimamente ligado ao conceito de interação a distância. Um objeto produz um campo e

( ), , ,A A x y z t=

99



outros objetos interagem com esse através do campo produzido. O conceito de campo é, no

entanto um conceito abstrato. Apesar disso, a ideia do que seja um campo é simples.

Quando localizada num ponto cujo vetor de posição é dado pelo vetor r, experimenta a ação

de uma força, pode-se argumentar que a partícula se move numa região que tem características

especiais. A força, nessa visão, seria uma propriedade da região do espaço e essa propriedade é

independente da existência das partículas que se movam nela.

A esse algo de especial existente em cada ponto do espaço, e que dá origem à força sobre

uma partícula num determinado ponto do espaço, é o que denominamos de Campo. Nessa

forma de encarar os fenômenos, o agente que é responsável pelo surgimento de uma força

sobre as partículas é o campo.

Se uma partícula, ao se mover numa dada região do espaço, experimentar a ação de uma

força elétrica, diz-se que a partícula interagiu com o campo elétrico existente naquela região.

Nessa forma bastante moderna de encarar as interações, o campo desempenha um papel

essencial. Para entendermos isso, consideremos o exemplo mais simples possível. Ou seja, a

interação de apenas duas partículas. A força entre elas é pensada, nessa nova forma de encarar os

fenômenos, da seguinte forma: uma partícula produz um campo (elétrico, por exemplo). Esse

campo permeia todo o espaço. A outra partícula ao atravessar o espaço interage com o campo

produzido pela primeira.

A definição de alguns campos envolve o conceito de força. Na realidade, são definidos a

partir dela. No caso de algumas forças a relação entre força e campo é bem simples. Em outros

casos a relação é bem mais sutil.

O campo elétrico (E

) é definido a partir da força elétrica experimentada por uma partícula

através da expressão:

6.35

onde q é a carga da partícula que está na posição dada pelo vetor de posição r.A relação entre campo gravitacional (g ) e a força gravitacional F

experimentada por uma

partícula de massa m no ponto determinado pelo vetor de posição r é:

6.36

( ) ( )1E r F rq

=

( ) ( )1g r F rm

=

100



Nem sempre a relação entre o campo e à força a qual uma partícula está sujeita quando sob a

ação do campo é tão simples quanto as expressões acima. De fato, no caso do campo magnético,

a relação entre a força magnética e o campo magnético é:

6.37

6.10.2 Campos Vetoriais associados a Densidades

Grandezas vetoriais podem, como no caso das densidades escalares, estar distribuídas no

espaço e essa distribuição pode depender do tempo.

Assim, se uma grandeza vetorial se distribui no espaço de tal forma que em cada ponto seu

módulo, direção ou sentido (ou uma combinação dos três atributos ) é preferível falar de uma

densidade vetorial da grandeza. Assim, se p é uma grandeza física que varia ponto a ponto no

espaço, subdividimos o espaço em pequenos elementos de volume (vide Figura 6.9). Seja um

desses volumes, o i-ésimo volume, designado por dVi. Tal volume ocupa a posição associada ao

vetor de posição ir

. Nesse ponto podemos tomar, se o volume for muito pequeno, a densidade

P

dessa grandeza física vetorial, como, por exemplo, o momento de dipolo elétrico de um

átomo ou molécula, como sendo aproximadamente constante, assim escrevemos:

6.38

Assim, a quantidade da grandeza momento de dipolo elétrico contida naquele pequeno

volume será dada por:

6.39

Mais geralmente, dizemos que dado o vetor de Polarização em

cada ponto do espaço, ponto esse determinado pelo raio vetor de

posição r, um elemento de volume infinitesimal localizado nesse

ponto tem um momento de dipolo dado por:

6.40

A expressão 6.40 define a densidade do momento de dipolo elétrico em cada ponto do espaço.

( ) ( )F r qV B r= ∧

( )i iP r P=

Figura 6.11: Distribuição uniforme de dipolos elétricos.

( )i i i i idp P r dV PdV= =

( )dp P r dV=

101



Além do Vetor de Polarização, relevante na eletricidade dos materiais, podemos citar ainda o

vetor Magnetização, representado por H(r). Assim, conhecida a distribuição de dipolos magné-

ticos, o momento de dipolo magnético de um volume infinitesimal dV do material, localizado

num ponto cujo raio vetor de posição é r, é dado por:

6.41

E essa expressão define a densidade do momento de dipolo magnético em cada ponto do espaço.

6.10.3 Variação de Grandezas Vetoriais: Velocidades

Num fluido em movimento a velocidade de cada porção diminuta do mesmo, varia de

ponto a ponto.

Na atmosfera terrestre, por exemplo, ocorrem grandes deslocamentos de ar. Como para

todo fluido, o deslocamento do mesmo é descrito por meio da associação de um campo de

velocidades existente no espaço que contém o fluido.

Tendo em vista que a velocidade é uma grandeza vetorial, tal campo tem o mesmo caráter.

Assim, a velocidade de deslocamento dos constituintes num fluido é função do ponto no qual

ela é observada e do tempo. Para esse campo, o campo de velocidades, escrevemos:

6.42

As linhas de força do campo de velocidades têm

uma interpretação bastante simples. Elas indicam, em

cada ponto, a direção e o sentido da velocidade do

fluido no ponto em apreço.

( )d H r dVµ =

( ),V V r t=

Figura 6.12: Campos de velocidades de um fluido.

102



Quando existe uma fonte de um líquido, ou quando existir um sorvedouro as linhas de força

são dadas, de forma aproximada, pelas Figuras 6.13 e 6.14.

6.10.4 Potenciais Vetoriais

São conhecidas doze grandezas físicas fundamentais cuja representação clássica requer o uso

desse conceito. Por exemplo, nas interações fortes, oito campos vetoriais desempenham um

papel essencial. No eletromagnetismo, um dos campos vetoriais é o potencial vetor A

(r, t).

6.10.5 Funções Vetoriais Derivadas: A Densidade de corrente

Muitas vezes o produto de uma distribuição por outra, leva a uma nova distribuição. Esse é

o caso da densidade de corrente. Definimos a densidade de corrente J

(r, t) como o produto

da distribuição de velocidades, caracterizada pelo campo de velocidades dos transportadores

de uma grandeza (massa ou carga elétrica, por exemplo), V

(r, t)), pela densidade volumétrica

dessa mesma grandeza:

6.43

Esse produto recebe o nome de densidades de corrente. É um exemplo de grandeza derivada

de outras duas conhecidas.

Figura 6.13: Campos de velocidade associados a sorvedouros (como numa pia) ou fontes.

Figura 6.14: Campos de velocidades de um fluido que gira em círculos, como num furacão.

( ) ( ) ( ), , ,J r t r t V r t= ρ

103



Outro exemplo de campo vetorial derivado é o vetor de Poynting (S, (r, t)). Ele é definido

como, para ondas eletromagnéticas que se propagam como ondas dos campos E

(r, t) e B

(r, t), como uma constante multiplicada pelo produto vetorial do campo elétrico (E

(r, t)) pelo

campo magnético (B

(r, t)):

6.44

onde μ0 é uma constante magnética (a permeabilidade do vácuo).

O vetor densidade de corrente está relacionado ao fluxo de cargas elétricas, enquanto que o

vetor de Poynting se relaciona com o fluxo de energia transportado pelas ondas eletromagnéticas.

( ) ( ) ( )0

1, , ,S r t E r t B r t≡ ×µ

TÓPICO Fundamentos da Matemática II · Mais geralmente, o campo depende das coordenadas do ponto...

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