Medidas de Posição

São medidas que sumarizam (resumem) certas características importantes da distribuição de frequência facilitando o trabalho do pesquisador. Medidas de tendência central (média, moda, mediana) – Assim denominadas em virtude da tendência dos dados observados se agruparem em torno desses valores. Média aritmética: Simples: Quociente entre a soma dos valores do conjunto e o nº total de valores: Ponderada: Quando o conjunto tiver pesos diferentes para os valores: Ex: Média aritmética simples Notas obtidas por um determinado aluno. Exercício: 1º 2º 3º 4º Nota: 8 6 6 8

74

86681 =+++

==∑=

nx

n

iix

Ex: Média aritmética ponderada Exercício: 1º 2º 3º 4º Nota: 8 6 6 8 Peso: 1 2 3 4

nx

n

iix∑

== 1

∑∑==ppxi

n

iii

xp 1

71070

10)]4)(8......[()]1)(8[(1 ==

+==

∑∑=

ppxi

n

iii

xp

Deve-se evitar o uso exclusivo da média, principalmente, quando os dados apresentarem grande dispersão (variação).

Moda: É o valor que aparece em um maior número de vezes, ou seja, apresenta maior frequência absoluta. 1) Determinação para valores não tabulados Ex: Calcular a moda dos seguintes conjuntos X= { 4, 5,5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 } Modal 6 Y= { 4, 4, 5, 5, 6, 6 } Amodal Z= { 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 } Bimodal 2 e 5 W= { 1, 2, 3, 4, 5 } Amodal 2) Determinação para valores agrupados em classes 2.1- MODA BRUTA ( Ponto médio da classe modal)

classes Fj (frequência absoluta) 10 I------------------- 20 3 20 I------------------- 30 5

30 I------------------- 40 7 classe modal 40 I------------------- 50 6 50I-------------------- 60 1

n = 22 A classe modal é a faixa que tiver maior frequência. 30 I----------'------------ 40 Mo = 35

2.2- PROCESSO DE KING (fórmula) Baseia-se na influência das frequências absolutas das classes anteriores e posteriores à classe modal no cálculo da moda.

classes fj (frequência absoluta) 10 I------------------- 20 2 20 I------------------- 30 4

30 I------------------- 40 8 40 I------------------- 50 5 50 I------------------- 60 1

N = 20 l= limite inferior da classe modal = 30 c= amplitude = 10 f post= freqüência absoluta da classe posterior à modal = S f ant= freqüência absoluta da classe anterior à modal = 4 Cálculo Mo = 30 + 10 5 4+5 Mo = 30 + 50 Mo = 30 + 5,556 = 35,556 9

Mo = l + c f post

fant + fpost

3) Método gráfico: Utilizando apenas o histograma referente ao cálculo da moda,deve-se projetar f post no limite inferior da classe modal, determinando o ponto A . o ponto B refere-se a projeção de f ant (rebatida) a partir do limite superior da classe modal. A moda corresponde ao ponto de intercessão da reta formada por A e B com os eixo das abscissas. Mediana (Md) Valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade do itens sejam iguais ou menores que ela. - Separatriz que divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. Ex1: Md = 6 x= {2, 4, 6, 8, 10} Ex2: y = {2, 4, 6, 8} Md = 4 + 6 = 5 2 1) Determinação da mediana para valores não tabulados. a) nº de observações é ímpar: Emd = n + 1 2 elemento mediano

Cálculo da moda pelo método de King

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

15 25 35 45 55

Classes ( ponto médio)

freq

uênc

ia a

bsol

uta

Mo = 35,556f ant

f post

A

B

Ex: calcular a mediana X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} Emd = n + 1 → Emd = 7 + 1 → Emd = 4 2 2 Resposta: A Mediana corresponde ao número que encontra-se na 4º posição. b) Nº de observações é par Emd = n indica a posição do 1º elemento utilizado no cálculo da mediana 2 Ex: Calcular a mediana y= {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20} Emd= n = 8 = 4 = (elementos da 4ª e 5ª posição para o do cálculo da Md) : Md= (12 + 14)/2 = 13 . 2) Determinação da mediana para valores tabulados não agrupados em classes Ex 1:

VALORES fj Fj 2 5 5 3 10 15 4 15 30 5 12 42 6 5 47 7 3 50

n=50 Fj = Frequência acumulada f j = Frequência absoluta Emd= n = → Emd= 50 Md = 25 2 2 Md = média aritmética 25º e 26º elementos S={.........;4;4;.......} Md = 4

Md = 12

Ex 2: VALORES fj Fj

3 3 3 4 6 9 5 9 18 6 8 26 7 6 32 8 3 35

n = 35 Emd = n + 1 → Emd = 36 → Emd = 18 → 18º elemento → Md = 5 2 3) Determinação da mediana para valores tabulados agrupados em classses: a) Resolução por fórmulas: Emd = n Sempre !!!!! 2

CONSUMO (KWH) fj Fj 5 |---------- 25 4 4 25 |---------- 45 6 10

45 |---------- 65 14 24 65 |---------- 85 26 50

85 |---------- 105 14 64 105 |---------- 125 8 72 125 |---------- 145 6 78 145 |---------- 165 2 80

80 Fant = freqüência acumulada anterior = 24 fmd = freqüência absoluta de classe mediana = 26 l = limite inferior da classe mediana = 65 c = amplitude = 20 Emd= n = 80 → Emd = 40 2 2 Md = 65 + 20 . 40 – 24 → Md = 65 + 320 26 26 Md = 65 + 12,31 → Md = 77,31

Md = l + c Emd – Fant

b) Método por interpolação Até 65 acumulamos 24 elementos precisamos de mais 16 para atingir o Emd = (40), daí: 26 – 20 16 – x x = 12,31 Md = 65 + 12,31 Md = 77,31 c) Método gráfico (Orgiva Crescente)

- Traçar uma reta partindo do Emd (eixo do y), paralela ao “eixo dos x”, quando esta interceptar a Oxgiva crescente, traçar outra paralela ao “eixo dos y” e no ponto em que esta interceptar o “eixo dos x” estará localizada a mediana.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

15 35 55 75 95 115 135 155Classe

Acum

ulad

a (F

j)

Md=77,31

Emd

ASSIMETRIA: x → simbologia da média; Md → Mediana; Mo → Moda Assimétrica à esquerda Simétrica

Assimetria para a direita

INTERVALOS INTERQUARTÍLICOS (Medidas de Posição): - Quartis (Q) - Decis (D) - Centis ou percentis (C) * Quartis, Decis, Percentis são medidas de posição semelhantes na sua concepção à mediana, porém não são medidas de tendência central. - Quartis (Qi) → i = 1, 2, 3 Primeiro quartil (Q1): é a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 25% sejam menores que ela e 75% maiores; Segundo quartil (Q2): = Mediana → 50% menores e 50% maiores; Terceiro quartil (Q3) → 75% menores e 25% maiores; - Decis (Di) → Permitem dividir a distribuição em dez partes iguais quanto, ao número de elementos de cada uma. Di → i = 1, 2, 3, ..., 9 D1 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 10% sejam menores e 50% maiores que ela. D9 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes, tais que 90% sejam menores e 10% maiores que ela. -Percentis (ci) → Permitem dividir a distribuição em cem partes iguais quanto, ao número de elementos de cada uma. Ci → i = 1, 2, ..., 99 Ci → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 1% sejam menores e 99% maiores que ela. C99 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 99% sejam menores e 1% maiores que ela. Fórmulas: Quartis: (Qi)

Decis (Di)

Percentis (Ci)

Eqi = (in) / 4

Edi = (in) / 10 Eci = (in) / 100 ci = li + c [(Eci – Fant)] fci

Ex: Calcular o C30 da distribuição de freqüência (Consumo em kwh das residências de uma determinada rua )

CONSUMO (KWH) fj Fj 5 |---------- 25 4 4 25 |---------- 45 6 10

45 |---------- 65 14 24 65 |---------- 85 26 50

85 |---------- 105 14 64 105 |---------- 125 8 72 125 |---------- 145 6 78 145 |---------- 165 2 80

n = 80 1º) Ec30 = 30 . 80 → Ec30 = 24 Ec30 = 24 → 24º posição 100 *Como o elemento centílico coincide com o limite superior da terceira classe, podemos afirmar que Ec30 = 65 2º) Fórmula ci = li + c [(Eci – Fant)] fci C30 = 45 + 20 . 24 – 10 C30 = 45 + 20 → C30 = 65 14 DIAGRAMA EM CAIXA (BOX – PLOT) Os diagramas em caixas são utilizados para analisar tendências centrais, dispersão, distribuição dos dados e Outliers (valores extremos) * Construção: Q1 Q2 Q3 Q1 = primeiro quartil * *

Ex: Comparar o número de trocas de TUE entre os anos de 2004, 2005 e 2006. Trocas de TUE por ano

121212N =

TROCAS06TROCAS05TROCAS04

120

100

80

60

40

20

OBS: Após a redução significativa em 2005 o número de falhas do tipo troca voltou a subir em 2006. MEDIDAS DE VARIAÇÃO Variância: A variância é definida como o desvio quadrático médio em torno da média .

1)(

2

2

−=

−ni xxS (amostra) e ;

Ni xx )(

2

2 −=σ (População)

Desvio padrão: A raiz quadrada positiva da variância, é uma medida de dispersão que está

na mesma escala dos dados.

1)(

2

−=

−ni xxS (amostra) e ;

Ni xx )(

2

−=σ (População)

Ex: Analisando a amostra referente às notas obtidas por dois alunos em um semestre, qual deles você selecionaria para uma bolsa de mestrado?

Exercício 1º 2º 3º 4º 5º Estudante A 40 50 60 70 80 Estudante B 20 40 60 80 100

60=xA 60=xB

* Quanto mais o aluno se desvia da média, maior será o seu desvio padrão. Utilizando as fórmulas:

1052504

10001-5

60)² - (80 60)² - (70 60)² - (60 60)² - (50 60)² - (401n

i )xx(2

SA ===++++

=−

=−

101010004

40001-5

60)² - (100 60)² -(80 60)² -(60 60)² -(40 60)² - (201n

i )xx(2

SB ===++++

=−

=−

Obs. O desvio padrão de “A” é a metade do desvio de “B” logo: deve-se escolher o aluno A.

Evolução das Notas

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5Exercício

Nota

s

Aluno A Aluno B

Média

DESVIO PADRÃO PARA DADOS BRUTOS Ex: Calcular o desvio padrão A= { 10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}

xi xxi − )xx i2( − xi²

10 -12,714 161,646 100 12 -10,714 114,790 144 13 -9,714 90,362 169 20 -2,714 7,366 400 25 2,286 5,226 625 34 11,286 127,374 1156 45 22,286 496,666 2025

159xi =∑ ∑ )xx i2( − = 1007,430 ∑ xi² = 4619

x = 22,71 Fórmula original

958,12905,1671n

)xx( 2SA

i ==−

=−

Fórmula desenvolvida

[ ] 958,127

461917

1n1n

1 )159( 2)x( 2x2

iSi =

−

−=−

−=

∑∑

Desvio padrão para dados tabulados k S = ∑ (xj – x )² fj j=1 FÓRMULA ORIGINAL n – 1

k k S = 1 [ ∑ xj² fj - ( ∑ xj fj )² ] FÓRMULA DESENVOLVIDA n n x = ( ∑ xi fi ) k = número de classes n xi = ponto médio da classe COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON Fórmula: Cvp = S S = desvio padrão x x = média Ex: Uma empresa de pneus desenvolveu um novo produto utilizando o cordel que proporciona maior resistência à flexões repetidas. Considerando os resultados dos testes, através do cálculo do coeficiente de variação de Pearson, podemos confiar na afirmação do fabricante?

S x

Novo cordel 15 min 139 min Produto antigo 14 min 88 min

Novo cordel Cvp = 15 Cvp = 0,108 Cvp = 10,8% 139 Produto antigo Cvp = 14 Cvp = 0,159 Cvp = 15,9% 88 Resposta: Sim, pois o novo produto apresenta menor Cvp, logo maior estabilidade. Outro Exemplo:

Veículo A 10 11 12 13 14 Veículo B 9 11 13 15 17

SA = ( 10 – 12)² + ( 11 – 12 )² + (12 – 12)² + ( 13 – 12)² + (14 – 12 )² 4

x A = 12

x B = 13

SA = 10 SA = 1,58 4 SB = ( 9 – 13 )² + ( 11 – 13 )² + (13 – 13 )² + ( 15 – 13 )² + (17 – 13 )² 4 SB = 40 = SB = 3,16 4 Cvp(A) = SA = 1,58 = 0,132 = 13,2 % x A 12 Cvp(B) = SB = 3,16 = 0,243 = 24,3 % x B 13 Assim podemos concluir que o veículo A é o melhor. Prática com dados de TUE