Tópico 2 Intervalo de Confiança

Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

INTERVALO DE CONFIANÇA


É a partir deste tópico que iremos dar início a estatística

inferencial.

Um exemplo, seria com o valor da média amostral de uma linha

de produção de carros de um certo fabricante de automóveis, o órgão

de regulação pode estimar o índice médio de economia de

combustível como sendo 31,1 milhas por galão para toda linha de

carros. Como essa estimativa representa um único número

representado por um ponto em uma linha de números, ele é chamado

de ESTIMATIVA PONTUAL. O problema de uma estimativa

pontual é que ela raramente se iguala ao parâmetro exato (média,

desvio padrão ou proporção) de uma população.

INTERVALO DE CONFIANÇAQuando temos o erro padrão podemos formar o intervalo de

confiança da seguinte forma:


Logo, a empresa pode estar 90% confiante de que o índice médio

de economia de combustível para toda linha de automóveis de

passeio está entre 28,1 e 34,1 milhas por galão.


Antes de verificarmos a ideia intuitiva do que seja um intervalo de

confiança, vamos verificar alguns importantes conceitos no que

tange a estimação.

Estimar o consumo médio de um automóvel, estimar o tempo

médio que um funcionário leva a aprender uma nova tarefa ou

estimar a percentagem (proporção) de pessoas que irão consumir um

produto que vai ser lançado no mercado, são exemplos de estimação.

A estimação pode ser feita por dois processos:

• Estimação Pontual

• Estimação Intervalar


A estimação intervalar (ou estimativa intervalar) consiste na

determinação de um intervalo onde, com uma certa confiança

(probabilidade), esteja o parâmetro θ desconhecido, tendo-se em

conta um seu estimador.

Assim, P(L1 < θ < L2) = significa que a probabilidade do

intervalo aleatório (L1, L2) conter o valor exato θ é .

O intervalo (L1, L2) é designado por INTERVALO DE

CONFIANÇA para o parâmetro θ, com um nível de confiança .

Depois de recolhida uma amostra aleatória, usam-se os valores

observados dessa amostra, para calcular os valores observados das

variáveis aleatórias L1 e L2, que se representam, respectivamente, por

l1 e l2.

(l1 e l2) é o intervalo de confiança concreto para aquela amostra.


Vantagem

É possível determinar o erro máximo cometido na estimação, com

uma certa confiança

Notas

Tem em conta as variações das estatísticas amostrais de amostra

para amostra.

Nunca podemos ter intervalos com 100% de confiança.


Suponha que estejamos interessados num parâmetro populacional

verdadeiro (mas desconhecido) . Podemos estimar o parâmetro

usando informação de nossa amostra. Chamamos o único número

que representa o valor mais plausível do parâmetro (baseado nos

dados amostrais) de uma ESTIMATIVA PONTUAL de .

Contudo, sabemos que o valor estimado na maior parte das vezes não

será exatamente igual ao valor verdadeiro. Então, também seria

interessante encontrar um intervalo de confiança que forneça um

intervalo de valores plausíveis para o parâmetro baseado nos dados

amostrais.

INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)

Portanto, um intervalo de confiança de 95% para um parâmetro

populacional fornece um intervalo no qual estaríamos 95%

confiantes de cobertura do verdadeiro valor do parâmetro.

Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de confiança que

construirmos conterão o verdadeiro valor do parâmetro (dado que

todas as suposições envolvidas estejam corretas). Então se

obtivermos um intervalo de confiança para o parâmetro para cada

uma dentre 100 amostras aleatórias da população, somente 5, em

média destes intervalos de confiança não conterão .

Esses intervalos podem ser obtidos para: médias, diferença de

médias; proporções; diferenças em proporções; etc.

Os valores mais comuns de intervalos envolvem 90, 95 e 99% de

representatividade, porém, o mais comum é o cálculo de 95%.

INTERVALO DE CONFIANÇA (IC): Exemplo

No caso do Facebook, a probabilidade de que a média

populacional seja exatamente 130,8 é praticamente zero. Portanto,

em vez de estimarmos como sendo exatamente 130,8 usando uma

estimativa pontual, poderemos supor que está em um intervalo.

Tratar a média dentro de um intervalo é conhecido como

ESTIMATIVA INTERVALAR. Suponha que a margem de erro seja

15,7, então a estimativa intervalar fica como abaixo:

INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)

INTERVALOS DE CONFIANÇA: Para média populacional

INTERVALO DE CONFIANÇA: R

Pesquisar e fazer os intervalos de confiança no R.


Quando o valor de é conhecido

IC: para média (amostras pequenas)

IC: para média (amostras pequenas)

Quando o valor de é desconhecido

IC: Qual distribuição usar?


Intervalo de confiança para uma proporção

INTERVALO DE CONFIANÇADeterminação do tamanho da amostra necessário para obter estimativa com desvio máximo prede_

terminado, a um certo nível de significância.


Prática

Agora veremos a prática no R

A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está

sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é

possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição

Normal com desvio padrão de 4,5 meses. Foram colocadas 25

baterias da mesma marca em teste e foi registrado a vida média de

cada uma delas medido em meses conforme abaixo;

x

29.65, 23.34, 25.89, 23.20, 24.50, 24.73, 22.64, 14.05, 22.97, 22.04,

23.67, 25.07, 20.61, 19.50, 25.54, 26.71, 25.86, 24.20, 19.07, 20.86,

21.80, 25.48, 18.85, 17.69, 23.67


Prática

Calcule o intervalo de confiança para coeficientes de confiança de

90%, 95% e 99%

.25

5,4645,122,8636;

25

5,4645,122,8636%)90,(IC

.4805,122,8636;4805,122,8636%)90,(IC

.3441,24;3831,21%)90,(IC

.25

5,496,122,8636;

25

5,496,122,8636%)95,(IC

.6276,24;0996,21%)95,(IC

.25

5,4575,222,8636;

25

5,4575,222,8636%)99,(IC

.1811,25;5461,20%)99,(IC


Prática

21,645 4,5

2 54,797 552

n

http://youtu.be/CLqPhy4S3bY


Prática

Agora tratemos de um exemplo cujo desvio padrão seja

desconhecido.

Exemplo: Deseja-se achar o intervalo de confiança para a média

populacional do consumo de oxigênio em cm3/min do rim, quando

atacado por uma certa moléstia. Os valores medidos em cinco

pacientes com a moléstia foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7; 13,5.

Considerando na tabela t o valor de erro para 10%, qual seria o

nosso intervalo de confiança?

No R teríamos

http://youtu.be/43kqT1ixA3I

INTERVALOS DE CONFIANÇA

(para variância e desvio padrão)

INTERVALOS DE CONFIANÇA

(para variância e desvio padrão)

Na tabela temos:

Logo, 95% da área sob a curva está situada entre 7,564 e 30,191

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