TÓPICO 2: EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM...
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TÓPICO 2: EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA
I. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA DE UM SOLUTO A;
II. EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE DE UM SOLUTO A EM TERMOS DA
LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO;
III. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR DE UM SOLUTO A;
IV. POSSÍVEIS SIMPLIFICAÇÕES DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE;
V. CONDIÇÕES DE CONTORNO;
VI. APLICAÇÕES.
BIBLIOGRAFIA:
CREMASCO, M.A. Fundamentos de Transferência de Massa. Ed. Unicamp.
I. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA:
ANÁLISE PONTUAL DO FENÔMENO DE T.M. POR INTERMÉDIO DOCONHECIMENTO DA DISTRIBUIÇÃO DE CONCENTRAÇÃO DE UMDETERMINADO SOLUTO NO TEMPO E NO ESPAÇO;
A PARTIR DO BALANÇO DE MASSA, ONDE A MATÉRIA FLUI ATRAVÉS DASFRONTEIRAS DE UM VOLUME DE CONTROLE, ELEITO NO MEIO CONTÍNUO:
massade
acúmulo
detaxa
massade
produção
detaxa
massade
saída
detaxa
massade
entrada
detaxa
x
y
z
y
z
xA xn
xxA xn
REAÇÃO QUÍMICA
x
y
z xA xn
xxA xn
zyxnentrada
detaxaxA
zyxnsaída
detaxaxxA
zyxrprodução
detaxaA
,,,
zyxtacúmulo
detaxaA
xxnx
xnxn xAxAxxA
DERIVADA PARCIAL
zyxxnX
zyxxnX
xnzyxnentrada
detaxa
entrada
detaxa
xA
xAXAxA
Em x:
x
y
z
y
zxynentrada
detaxayA
zxynsaída
detaxayyA
zyxrprodução
detaxaA
,,,
zyxtacúmulo
detaxaA
zxynyentrada
detaxa
entrada
detaxayA
Em Y:
yA yn yyA yn
x
y
z yxzn
entrada
detaxazA
yxznsaída
detaxazzA
zyxrprodução
detaxaA
,,,
zyxtacúmulo
detaxaA
yxznzentrada
detaxa
entrada
detaxazA
Em z:
zA zn
zzA zn
z
massade
acúmulo
detaxa
massade
produção
detaxa
massade
saída
detaxa
massade
entrada
detaxa
yxzznz
zxyyny
zyxxnx
zyxrzyxt
zAyA
xAAA
,,,
zyx
,,,,,,
A
zAyAxAA rz
n
y
n
x
n
t
,,,,,,
AAA
AAA rn
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t
,,,,,,
AAA
AAA RN
t
CRN
t
C
EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS RETANGULARES:
x
y
z
dy
dz
,,,,,,
A
zAyAxAA rz
n
y
n
x
n
t
,,,,,,
A
zAyAxAA Rz
N
y
N
x
N
t
C
EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:
rd
,,,,,, 11
A
zAArAA rz
nn
rsenr
rn
rt
,,,,,, 11
A
zAArAA Rz
NN
rsenr
rN
rt
C
EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS ESFÉRICAS:
,,,,,,
2
2
111A
AArAA rn
rsen
nsen
rsenr
nr
rt
,,,,,,
2
2
111A
AArAA RN
rsen
Nsen
rsenr
Nr
rt
C
II. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DE UM SOLUTO A EM TERMOS DA LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO:
MAS: vjn AAA
,,,
AAA
A rvjt
(2)
(2) EM (1):
,,,
AAA rnt
(1)
ABAA Dj ,FLUXO DIFUSIVO:
,,,
AAAA rjvt
,,,
AAABAA rDvt
ACÚMULOCONTRIBUIÇÃOCONVECTIVA
CONTRIBUIÇÃODIFUSIVA
GERAÇÃO
TEMOS UMA EXPRESSÃO SEMELHANTE PARA O COMPONENTE B:
,,,
BBABBB rDvt
Bn
,,,
BBB rnt
PARA UMA MISTURA BINÁRIA:
,,,,,,
BABABA rrnntt
III. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA:
,,,
AAA RN
t
C
,,,
BBB RNt
C
PARA UMA MISTURA BINÁRIA:
,,,,,,
BABABA RRNNCCt
,,,,,,
BA RRvCt
C
ABRINDO O DIVERGENTE:
,,,,,,
BA RRvCCvt
C
,,,,,,
BA RRvCDt
DC
EM TERMOS DA LEI ORDINÁRIA DA DIFUSÃO:
,,,
AAABAA RCDvC
t
C
ACÚMULOCONTRIBUIÇÃOCONVECTIVA
CONTRIBUIÇÃODIFUSIVA
GERAÇÃO
,,,
AAABAA RCDvC
t
C
QUANTIDADE DO COMPONENTE A MUITO BAIXA, DIFUNDINDO-SE NA ESPÉCIE B, ESTAGNADA:
0
EM REGIME ESTACIONÁRIO:
,,,
AAABAA RCDvC
t
C
0
EM UM PROCESSO ONDE NÃO OCORRA REAÇÃO QUÍMICA:
,,,
AAABAA RCDvC
t
C
0
IV. POSSÍVEIS SIMPLIFICAÇÕES:
EXEMPLO 1: A EFICÁCIA DE PRODUTOS FARMACÊUTICOS É REDUZIDA PELAEXPOSIÇÃO PROLONGADA A ALTAS TEMPERATURAS, À LUZ E À UMIDADE. PARAPRODUTOS CONSUMIDOS QUE SÃO SENSÍVEIS AO VAPOR D`ÁGUA E ENCONTRAM-SENA FORMA DE COMPRIMIDOS OU CÁPSULAS E SÃO GUARDADOS EM AMBIENTESÚMIDOS, EMBALAGENS BILSTER SÃO USADAS PARA LIMITAR A EXPOSIÇÃO DIRETADO MEDICAMENTO À CONDIÇÕES DE UMIDADE ATÉ O MOMENTO IMEDIATAMENTEANTERIOR A SEU USO.
CONSIDERE COMPRIMIDOS QUE ESTÃO CONTIDOS EM UMA EMBALAGEMBLISTER COMPOSTA POR UMA FOLHA DE COBERTURA PLANA E UMA SEGUNDA FOLHAMOLDADA, QUE POSSUI LOCAIS QUE ABRIGAM CADA COMPRIMIDO. A FOLHAMOLDADA TEM A ESPESSURA L=50m E É FABRICADA COM UM MATERIAPOLIMÉRICO. CADA LOCAL DE COMPRIMIDO POSSUI DIÂMETRO D=5 mm EPROFUNDIDADE h=3mm. A FOLHA DE COBERTURA É FEITA DE ALUMÍNIO. OCOEFICIENTE DE DIFUSÃO BINÁRIA É DAB=6.10-14 m2/s, ENQUANTO PODE-SE SUPORQUE O ALUMÍNIO SEJA IMPERMEÁVEL EM RELAÇÃO AO VAPOR D`ÁGUA. PARACONCENTRAÇÕES MOLARES DO VAPOR D`ÁGUA NAS SUPERFÍCIES EXTERNA EINTERNA DE CA,S1=0,0045Kmol/m3 E CA,S2=0,0005Kmol/m3, RESPECTIVAMENTE,DETERMINE A TAXA NA QUAL O VAPOR D`ÁGUA É TRANSFERIDO ATRAVÉS DAPAREDE DO COMPARTIMENTO PARFA O COMPRIMIDO.
CONSIDERAÇÕES:
- EM REGIME PERMANENTE;
- T.M. EM MEIO ESTACIONÁRIO.
- A FOLHA DO POLÍMERO É MUITO FINA, EM RELAÇÃO ÀSDIMENSÕES DO COMPARTIMENTO DO COMPRIMIDO(UNIDIRECIONAL);
DADOS:
3
1, 0045,0 mKmolC ZV
3
2, 0005,0 mKmolC ZV
mL 6105
mD 005,0
mh 003,0
t
CR
z
CD
z
CD
rr
CrD
rr
V
V
V
VA
V
VA
V
VA
,,,
2
11
- EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS:REGIME
ESTACIONÁRIO
T.M. UNIDIMENSIONAL (Z)
z
0 vVAPOR- AR ESTAGNADO:
SEMREAÇÃO QUÍMICA
ctesmD ARVAPOR
214106
- T.M. UNIDIMENSIONAL (Z);
V. CONDIÇÕES DE CONTORNO:
V.1 CONDIÇÃO INICIAL:
00 AAt
00 AA CCt
00 AA XXt
00 AA WWt
V.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO: EM POSIÇÕES ESPECÍFICAS NO
VOLUME DE CONTROLE OU NAS FRONTEIRAS DESSE VOLUME.BASICAMENTE AS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA SÃO:
V.2.1 CONCENTRAÇÃO OU FRAÇÃO DO SOLUTO ESPECIFICADA NUMADETERMINADA FASE;
V.2.2 CONDIÇÕES DE FLUXO;
V.2.3 REAÇÃO QUÍMICA CONHECIDA.
ASA
ASA CC
ASA WW
ASA XX
ASA YY
V.2.1 CONCENTRAÇÃO OU FRAÇÃO DO SOLUTO ESPECIFICADANUMA DETERMINADA FASE:
FLUXO FLUXO
VOLUME DE CONTROLE
FRONTEIRA SINICIAL
FRONTEIRA SFINAL
- NA FASE GASOSA IDEAL:
ASA XX
ASA YY LEI DE DALTON: PyP SASA ,,
LEI DE RAOULT:VAP
SASA PxP ,,
- NA FASE LÍQUIDA, PARA UMA SOLUÇÃO IDEAL:
EQ. DE ANTOINE:
GT
FEPVAP
ln
ESPÉCIES E F G
ÁGUA 18,3036 3618,44 -46,13
BENZENO 15,9008 2788,51 -64,38
TOLUENO 16,0137 3096,52 -53,67
METANOL 18,5875 3626,55 -34,29
ETANOL 19,9119 3803,98 -41,68
KT
mmHgPVAP
- NA HIPÓTESE DO EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO NA FRONTEIRA “S” OUINTERFACE ENTRE AS FASES LÍQUIDA E GASOSA, CONSIDERANDO-ASIDEAIS:
PyPx SA
VAP
SA ,,EQUAÇÃO DE RAOULT-DALTON
- SE A FASE LÍQUIDA FOR CONSTITUÍDA SOMENTE DA ESPÉCIE “A”:
P
Py
VAP
SA ,
- SE A SOLUÇÃO FOR DILUÍDA:
HxP SASA ,, CONSTSANTE
DEHENRY
TABELA DOS VALORES DE H PARA GASES EM ÁGUA: (Hx10-4), (PRESSÃO EMatm):
T(C) H2 N2 O2 CO CO2
0 5,79 5,29 2,55 3,52 0,0728
10 6,36 6,68 3,27 4,42 0,1040
20 6,83 8,04 4,01 5,36 0,1420
30 7,29 9,24 4,75 6,20 0,1860
- NA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO LÍQUIDO-VAPOR NAFRONTEIRA OU NA INTERFACE “S” E ADMITINDO FASES IDEAIS:
- NA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO LÍQUIDO-VAPOR NAFRONTEIRA OU NA INTERFACE “S” E ADMITINDO FASES IDEAIS:
SASA mxy ,, OU
ONDE:P
Hm
C
Hm *
SASA CmP ,
*
,
TAIS RELAÇÕES DE EQUILÍBRIO SÃO UTILIZADAS EM FENÔMENOS DEDESSORÇÃO E ABSORÇÃO; NESTES FENÔMENOS O SOLUTO A ESTÁCONTIDO NAS FASES GASOSA E LÍQUIDA. NA VENTURA DE ESTARDISTRIBUÍDO E DILUÍDO NAS FASES SÓLIDO-LÍQUIDO,A RELAÇÃO DEEQUILÍBRIO É ESCRITA ANALOGAMENTE À LEI DE HENRY SEGUNDO:
SAPSA CKC 2,1,
COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO
SAPSA CKC 2,1,
ESSA RELAÇÃO É ÚTIL NAS OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM ASFASES SÓLIDO / FLUIDO QUANDO SE DESEJA ESPECIFICARUMA RELAÇÃO DE EQUILÍBRIO ENTRE A CONCENTRAÇÃO DOSOLUTO PRESENTE NO INTERIOR DO SÓLIDO E AQUELA NOSEIO DA FASE FLUIDA, OU SEJA:
2,
*
1, APA CKC
EXEMPLO 2: CALCULAR OS DADOS DE EQUILÍBRIO SOB A FORMA yVERSUS x PARA O SISTEMA m-XILENO/o-XILENO À PRESSÃO TOTAL DE 0,4atm (XA e YA SÃO AS FRAÇÕES MOLARES DE m-XILENO NAS FASES LÍQUIDAE VAPOR, RESPECTIVAMENTE). SÃO DADAS AS PRESSÕES DE VAPOR DOSCOMPONENTES EM atm NA TABELA A SEGUIR:
EXEMPLO 3: ESCREVA A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR DE A NAFORMA JÁ SIMPLIFICADA E AS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA ASEGUINTE SITUAÇÃO:
UM CERTO GÁS DIFUNDE POR UMA PELÍCULA ESTAGNADA DE AR DE0,5 cm DE PROFUNDIDADE EM UM CAPILAR QUE CONTÉM CERTO ÁCIDO. AOATINGI-LO, O GÁS É ABSORVIDO INSTANTANEAMENTE. A CONCENTRAÇÃODO GÁS NA BOCA DO RECIPIENTE É 0,25% EM MOLS.
l
SOH 42
z=0
z=0,5 cm
0025,01Ay
02Ay
z
ZAN ,
ZBN ,
V.2.2 CONDIÇÕES DE FLUXO:
EM SITUAÇÕES ONDE O SOLUTO FLUI DE UMA FASE A OUTRA,PRESSUPONDO QUE A INTERFACE NÃO OFEREÇA RESISTÊNCIA AOTRANSPROTE DO SOLUTO CONTINUIDADE DE FLUXO
NA FASE 1: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À DIFUSÃO;
NA FASE 2: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À CONVECÇÃO MÁSSICA.
NA FASE 1: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À DIFUSÃO;
NA FASE 2: O FLUXO DO SOLUTO SERÁ DEVIDO À CONVECÇÃO MÁSSICA.
dz
dCDN
A
efSZZA1
1,
dz
dDn
A
efSZZA1
1,
222, AAmZA CCkN
S
222, AAmZA
S
kn
ADMITINDO QUE A INTERFACE NÃO OFEREÇA RESISTÊNCIA À MOBILIDADEDO SOLUTO CONTINUIDADE DO FLUXO DE MATÉRIA NA FRONTEIRACONSIDERADA IGUALDADE DOS FLUXOS:
222
1
1 AAm
SZ
A
ef CCkdz
dCD
S
A CONCENTRAÇÃO DE A NA FASE 2 E CONTIDA NA INTERFACE ESTÁ EMEQUILÍBRIO TERMODINÂMICO COM A CONCENTRAÇÃO DE A NA FASE 1 ECONTIDA NA INTERFACE “S”, POR INTERMÉDIO DA SEGUINTE RELAÇÃO:
SAPSA CKC 2,1,
21
21
12
1
2
1
1 APA
P
m
SZ
A
efA
P
A
m
SZ
A
ef CKCK
k
dz
dCDC
K
Ck
dz
dCD
S
S
MAS:*
1,2, AAP CCK
S
AA
Pef
m
SZ
ACC
KD
k
dz
dC
11
1
21 *
S*
S
AA
Pef
m
SZ
ACC
KD
sk
dz
sdC
11
1
21 *
BiM
EXEMPLO 4: UM PELLET CILINDRICO GELATINOSO DE 2 mm DE DIÂMETROE 20 mm DE COMPRIMENTO, CONTENDO INICIALMENTE 50 (g DESACAROSE)/(l DE GEL) É POSTO SUBITAMENTE EM UM TANQUE NO QUAL HÁUMA SOLUÇÃO AQUOSA QUE APRESENTA 8 (g DE ACAROSE)/(L DESOLUÇÃO). NO TANQUE HÁ ALIMENTAÇÃO E RETIRADA LENTA E CONTÍNUADA SOLUÇÃO. ADMITINDO QUE NÃO HOUVE TEMPO SUFICIENTE PARA OESTABELECIMENTO DA DIFUSÃO DA SACAROSE NO GEL EM REGIMEPERMANENTE, ASSIM COMO SUPONDO A INFLUÊCIA DA CONVECÇÃOMÁSSICA EXTERNA NA DIFUSÃO DA SACAROSE NO INTERIOR DO GEL,PEDE-SE A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MÁSSICA DA SACAROSE JÁSIMPLIFICADA QUE DESCREVE A DISTRIBUIÇÃO DE CONCENTRAÇÃO NOGEL.
V.2.3 REAÇÃO QUÍMICA CONHECIDA:
REAÇÕES QUÍMICAS:
HOMOGÊNEA;
HETEROGÊNEA.
REAÇÃO HOMOGÊNEA: OCORRE EM TODOS OS PONTOS DO VOLUME DECONTOLE; NESTE CASO, A DESCRIÇÃO DA REAÇÃO QUÍMICA APARECEDIRETAMENTE COMO TERMO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (MOLAR OUMÁSSICA);
,,,
AAA RN
t
C
,,,
AAA rnt
REAÇÃO HETEROGÊNEA: OCORRE NA SUPERFÍCIE DE UMA PARTÍCULA, AQUAL É CONSIDERADA COMO UMA FORNTEIRA À REGIÃO ONDE HÁ OTRANSPORTE DO SOLUTO; NESTE CASO, O TERMO REACIONAL APARECERÁCOMO CONDIÇÃO DE CONTORNO E NÃO NA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUEREGE O PROCESSO DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA.
PARA z=:
CykCkNR ASASZZAA ,
,,
Ck
Ny
S
ZZA
A
,
A TAXA DE PRODUÇÃO (OU DESAPARECIMENTO) DE UMA DETERMINADAESPÉCIE QUÍMICA, PRESENTE NA SOLUÇÃO, ESTÁ ASSOCIADA COM AREAÇÃO QUE PODE OCORRER DURANTE O TRANSPORTE DO SOLUTO. POREXEMPLO, SE A ESPÉCIE “A” FOR GERADA POR UMA REAÇÃO DE PRIMEIRAORDEM E ESTIVER ORIENTADA NO SENTIDO DO FLUXO DA MATÉRIA, SEUFLUXO DE PRODUÇÃO SERÁ:
SASSZZAA CKNR2,
,,
CONSIDERANDO QUE A REAÇÃO QUÍMICA OCORRA NA SUPERFÍCIE OU EMÁREAS RESTRITAS DE UM SÓLIDO POROSO E QUE, DEVIDO ÀCONTINUIDADE DO FLUXO DE MATÉRIA, O SOLUTO DIFUNDA PELA MATRIZ,NA FRONTEIRA S, TEREMOS A IGUALDADE ENTRE OS FLUXOS, DA SEGUNTEMANEIRA:
SAS
Sz
A
ef Ckdz
dCD
2
1
SA
Pef
S
Sz
AC
KD
k
dz
dC
1
1
EXEMPLO 5: A QUEIMA DO GRAFITE (CARBONO PURO) NO AR PODE SERDESCRITA POR MEIO DAS SEGUINTES ETAPAS:1. O OXIGÊNIO DIFUNDE ATRAVÉS DE UMA PELÍCULA DE AR QUE ENVOLVE
A PARTÍCULA DE GRAFITE ATÉ ATINGIR A SUPERFÍCIE DO SÓLIDO;2. HÁ O CONTATO DO O2 COM A SUPERFÍCIE DO GRAFITE,
PORPORCIINANDO A SEGUINTE EQUAÇÃO:
QUE É DESCRITA PELA REAÇÃO IRREVERSÍVEL DE PRIMEIRA ORDEM:
3. DIFUSÃO DO CO2, COMO PRODUTO DA REAÇÃO, DA SUPERFÍCIE DOGRAFITE PARA A PELÍCULA DE AR.
ADMITINDO QUE A PARTÍCULA DE GRAFITE TENHA A FORMA ESFÉRICA,DESEJA-SE OBTER A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE MOLAR QUEDESCREVE A DISTRIBUIÇÃO DA FRAÇÃO MOLAR DO O2 NO AR, ASSIMCOMO AS CONDIÇÕES DE CONTORNO.
gNgCOgNgOsC 2222
22
,,
OSO CykR