TOMOGRAFIA DE ATENUACÃO ATRAVÉS DA DECOMPOSICÃO EM … · pada em duas classes: tomogra a...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO
TOMOGRAFIA DE ATENUACÃO
ATRAVÉS DA DECOMPOSICÃO EM
VALORES SINGULARES
CAIO MANOEL LIRA DA COSTA FONTES
SALVADOR � BAHIA
FEVEREIRO � 2014
Tomogra�a de Atenuação através da Decomposição em Valores Singulares
por
Caio Manoel Lira da Costa Fontes
GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geofísica
do
Instituto de Geociências
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Amin Bassrei - Orientador
Dr. Carlos da Silva Vilar
Dr. Thierry Jacques Lemaire
Data da aprovação: 14/02/2014
O importante não é
vencer todos os dias,
mas lutar sempre.
RESUMO
Os problemas inversos da Geofísica geralmente são formulados como um sistema de
equações lineares. Tais problemas inversos são, na maioria dos casos, mal-postos, pois sua
solução pode não ser única, gerando ambiguidade, ou até mesmo a solução pode não existir.
Um método de imageamento originário da Medicina, bastante conhecido em outras
áreas, inclusive em Geofísica de Reservatórios é a tomogra�a. A tomogra�a pode ser agru-
pada em duas classes: tomogra�a cinemática, que utiliza como dado de entrada os tempos
de trânsito entre cada par fonte receptor, e tomogra�a dinâmica, que utiliza a forma de onda
registrada em cada receptor como dado de entrada.
Neste Trabalho de Graduação é utilizada a tomogra�a de atenuação e para o processo
inverso propriamente dito é utilizada a técnica de decomposição em valores singulares ou
SVD do inglês singular value decomposition.
No contexto deste Trabalho a tomogra�a de atenuação se encaixa como um problema
não-linear tal qual a maioria das aplicações de tomogra�a. Foi utilizada a abordagem linear
no processo inverso, onde a forma de onda é necessária para se calcular a distribuição do fator
de atenuação α, de modo que a tomogra�a de atenuação pode ser classi�cada no contexto
dinâmico. Na modelagem direta calcula-se a amplitude da onda que irá decair durante a
propagação, e para tanto é necessário o conhecimento da atenuação do meio.
Foram realizadas simulações em dois conjuntos de dados sintéticos. Com o propósito de
avaliar a robustez do método foi inserido ruído aleatório aos valores de atenuação observados
nos receptores. Também foi realizado um estudo para diferentes níveis de truncamento de
valores singulares na montagem da matriz inversa generalizada, uma vez os pequenos valores
singulares comprometem a qualidade da solução. As simulações realizadas com resultados
satisfatórios permitiram validar a metodologia em questão. O controle dos experimentos
numéricos foi através do cálculo do erro entre parâmetro de modelo verdadeiro e o parâmetro
de modelo estimado.
iii
ABSTRACT
Geophysical inverse problems are usually formulated as a system of linear equations.
Such inverse problems are ill-posed in most cases, since the solution can be non-unique,
creating ambiguity, or the solution may even not exist.
A well-known method now in other areas, including Reservoir Geophysics, tomography
was originally developed in Medicine. Tomography can be grouped into two classes: kine-
matic tomography, which uses as input data the transit times between each source receiver
pair, and dynamic tomography, which uses the waveform recorded in each receiving as input
data.
In this Graduation Work attenuation tomography is studied and the inverse process
itself is performed SVD or singular value decomposition.
In the context of this work attenuation tomography is de�ned as a nonlinear problem,
like most tomography applications. The linear approach in the inverse process was used,
where the waveform is required to calculate the distribution of attenuation factor α, so that
attenuation tomography can be classi�ed in the dynamic context. In the forward model-
ing one calculates the wave amplitude which will decay during propagation, so that the
knowledge of the medium attenuation is necessary.
There were performed simulations in two sets of synthetic data. In order to evaluate
the robustness of the method random noise was added to the attenuation data observed in
the receptors. Also it was made a study for di�erent levels of truncation of singular values
when building the generalized inverse matrix, since small singular values may compromise
the quality of the solution. The performed simulations with satisfactory results allowed
the validation of the proposed methodology. The control of the numerical experiments was
made by calculating the error between the true model parameter and the estimated model
parameter.
iv
ÍNDICE
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
ÍNDICE DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CAPÍTULO 1 Teoria da Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Formulação do Problema Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Estudo da Solução dos Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Problemas Inversos e as Questões de Condicionamento . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Solução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Método dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Método dos Mínimos Quadrados Amortecidos . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Decomposição de Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
CAPÍTULO 2 Geotomogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Tomogra�a Sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Tomogra�a de Tempos de Trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Tomogra�a de Atenuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Modelagem Tomográ�ca Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Traçado de Raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Discretização do Meio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Ligação entre fonte e receptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Modelagem Direta da Tomogra�a de Atenuação . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Modelagem Tomográ�ca Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
v
CAPÍTULO 3 Simulações e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.0.1 Critérios de Seleção de Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 β = 10−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 β = 10−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 β = 10−3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 β = 10−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
CAPÍTULO 4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Referências Bibliográ�cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vi
ÍNDICE DE TABELAS
3.1 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, sem a presença de ruído, no 'Modelo 1' . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−3, no 'Modelo 1' . . . . . . . . . 42
3.3 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−1, no 'Modelo 1' . . . . . . . . . 45
3.4 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, sem a presença de ruído, no 'Modelo 2' . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−3, no 'Modelo 2' . . . . . . . . . 54
3.6 Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−1, no 'Modelo 2' . . . . . . . . . 57
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
2.1 Campo discretizado e interpolação bilinear dos índices de refração, onde cada
cruzamento da retícula corresponde a um índice de refração das coordenadas
respectivas e P (∆x,∆z) representa o ponto interpolado (Terra, 2007) . . . . 18
2.2 Interpretação aproximada da in�uência da curvatura, d2r/dl2, do ângulo ins-
tantâneo, α, entre o vetor tangente, dr/dl, e o eixo horizontal, x, e do novo
passo, r(l + ∆l). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Exemplo de um modelo discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Esquema do método do canhoneio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Esquema do método do ligação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Fluxograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Vetor de dados, em (a) sem in�uência de ruído e em (b) sob in�uência de
ruído da ordem de β = 10−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 'Modelo 1' verdadeiro, sendo a escala em cores os valores do coe�ciente de
atenuação em m−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Grá�co (a) da amplitude e (b) da derivada do valor singular do 'Modelo 1',
em escala monolog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 103. A escala em
cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 100. A escala em
cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−3. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−6. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
viii
3.9 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−10. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 39
3.11 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 39
3.12 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 40
3.13 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 10−6. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 40
3.14 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 10−9. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 41
3.15 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor do
σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 43
3.16 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor do
σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 43
3.17 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor do
σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 44
3.18 'Modelo 2' verdadeiro, sendo a escala em cores os valores do coe�ciente de
atenuação em m−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ix
3.19 Grá�co (a) da amplitude e (b) da derivada do valor singular do 'Modelo 2',
em escala monolog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.20 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 103. A escala em
cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.21 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 100. A escala em
cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.22 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−3. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.23 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−6. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.24 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−9. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.25 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−11. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1. Em (a)
a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em (b) varia em
comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.26 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 52
3.27 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 52
3.28 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 53
x
3.29 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor do
σcorte = 10−6. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 53
3.30 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor do
σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 55
3.31 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor do
σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação
(α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro. . . . . . . . . . . . 56
xi
INTRODUÇÃO
A tomogra�a é um processo de imageamento de grande utilidade em diversas áreas da
ciência que relaciona os dados obtidos em campo e os parâmetros físicos da subsuperfície.
Ela é uma técnica consagrada na medicina e desde a década de 1980 vem sendo utilizada na
Geofísica, incorporada na sísmica como método de inversão de dados e conhecida pelo seu
alto poder de resolução, quando comparada com a sísmica convencional. A principal idéia da
tomogra�a é a determinação de características desconhecidas de um meio através do estudo
de sua resposta quando o mesmo é perturbado por algum tipo de energia com intensidade
conhecida. Nos útimos anos a geotomogra�a tem sido bastante utilizada na construção
das imagens em subsuperfícies, em particular na caracterização e no monitoramento de
reservatórios, isso se deve pelo fato da mesma tratar-se de uma ferramenta que não apresenta
restrições quanto a complexidade das estruturas geológicas.
A tomogra�a de atenuação, utilizada neste trabalho, emprega como dados de entrada os
coe�cientes de atenuação medidos entre fontes e receptores, e a saída da inversão é o campo
de atenuações do meio bi-dimensional discretizado.
Na inversão desses dados geofísicos recorremos a um processo de inversão matricial
que foi realizado utilizando a técnica da decomposição em valores singulares, ou SVD (do
inglês, singular value decomposition), sendo a matriz a ser invertida denominada de matriz
tomográ�ca. Contudo, os problemas inversos são mal-postos que é o equivalente a dizer que
a solução do problema não existe, não é única e/ou não depende continuamente dos dados
de entrada. O problema inverso se deve ao fato desta matriz ser mal-condicionada, pois as
soluções obtidas são sensíveis aos dados de entrada, ou seja, uma pequena perturbação nos
dados não implica necessariamente numa pequena perturbação do modelo, sendo assim o
problema é considerado mal-posto. Os problemas geofísicos não são lineares, ou seja, algum
parâmetro necessário para se realizar a inversão do problema é função de algum parâmetro
que se deseja determinar, logo, a relação entre os dados de entrada e os parâmetros a serem
estimados é não-linear. Torna-se, então, imprescindível linearizar o problema com o propósito
de tirar essa condição de não linearidade.
Para contornar este problema, utilizamos uma quantidade ótima de valores singulares
que elimina os valores de baixa amplitude a �m de se estimar um modelo o mais próximo
possível da realidade, pois valores singulares pequenos comprometem a solução do sistema.
O presente Trabalho de Graduação está organizado da seguinte forma:
1
2
No Capítulo 1 são apresentados os problemas inversos referentes à teoria da inverão.
No Capítulo 2 são apresentados os fundamentos teóricos da tomogra�a de atenuação,
é abordada a fundamentação da teoria do raio, descrevendo os tipos de traçado de raios
utilizados, bem como a descrição dos arranjos de fonte-receptor utilizados
No Capítulo 3 serão apresentados e discutidos os resultados e simulações desse Trabalho.
No Capítulo 4 são apresentadas as principais conclusões obtidas com o Trabalho.
CAPÍTULO 1
Teoria da Inversão
A inversão é a técnica empregada que estima os parâmetros de um determinado modelo
utilizando os dados medidos com o dado de entrada.
A técnica da modelagem direta calcula os dados decorrentes de um determinado fenô-
meno modelado, conhecendo-se os parâmetros do modelo, ou seja, parte-se dos parâmetros
para a obtenção dos dados.
O problema inverso é relativamente mais complicado, uma vez que, em situações reais
podemos obter in�nitos modelos que se adequam aos mesmos dados. O objetivo do problema
inverso é determinar qualquer entrada ou o sistema que causa as medidas da saída.
Uma vez obtido os parâmetros do modelo (estimado), utilizamos os parâmetros de dados
para analisar as propriedades deste modelo e o que ele preserva do modelo real, tal como
erro e ruídos.
1.1 Formulação do Problema Inverso
Na analise de dados geofísico o ponto inicial é descreve-los, onde uma forma prática de
representar esses valores seria através de um vetor. O problema inverso pode ser representado
como:
d = Gm, (1.1)
sendo
d = [d1, d2, d3, d4, ..., dM ]T , (1.2)
e
m = [m1,m2,m3,m4, ...,mN ]T , (1.3)
onde d representa um vetor dos dados observados, m representa um vetor dos parâmetros
do modelo e G é uma matriz M×N de coe�cientes que relaciona os M dados observados aos
3
4
N parâmetros do modelo. G pode ser representada como:
G =
g11 g12 g13 g14 · · · g1N
g21 g22 g23 g24 · · · g2N...
......
.... . .
...
gM1 gM2 gM3 gM4 · · · gMN
. (1.4)
Na maior parte dos problemas geofísicos, o vetorm de parâmetros do modelo é estimado
a partir de dados observados e a matriz G é uma aproximação de um operador g que pode
ser não linear:
dcalc = g(mest), (1.5)
tal que dcalc é um vetor de dados calculados com parâmetros estimados. Supondo a matriz
G conhecida, pode-se resolver o sistema utilizando-se uma matriz inversa, ou seja, se:
d = Gm, (1.6)
então
m = G−1d. (1.7)
Deste modo, pode-se estimar os parâmetros de um modelo utilizando-se dados obser-
vados, realizando-se assim uma inversão de dados. No entanto, a matriz G só admite a
inversa G−1 se for quadrada e não-singular, ou seja, com posto completo. Como este caso é
muito raro e especí�co em problemas geofísicos reais, tornam-se necessários procedimentos
de resolução para matrizes não-quadradas ou com posto incompleto. Para o caso em que o
sistema tem mais equações do que incógnitas, utiliza-se o método dos mínimos quadrados,
obtendo-se a solução que minimiza o quadrado do erro. O método que será utilizado para a
resolução de problemas inversos é o da decomposição por valores singulares.
1.2 Sistemas Lineares
Na formulção do problema inverso, visto anteriormente, a equação explicita linear (1.6), na
notação matricial, pode ser reescrita como um sistema de equações lineares com M equações
e N incógnitas: g11m1 + g12m2 + · · · + g1NmN = d1
g21m1 + g22m2 + · · · + g2NmN = d2... +
... +. . . +
... =...
gM1m1 + gM2m2 + · · · + gMNmN = dM
(1.8)
Cujos elementos gij são os coe�cientes do sistema acima, podendo assumir valores complexos.
Resolver o sistema signi�ca encontrar os valores das incógnitas que satisfazem simultanea-
mente todas as equações, ou seja, um vetor representado por:
5
mest = [m1,m2, ...,mN ]T , (1.9)
que satisfaça o sistema acima. Tal vetor é chamado de solução do sistema linear.
1.2.1 Estudo da Solução dos Sistemas Lineares
A classi�cação do problema linear está baseado no fornecimento su�ciente de informação
para a determinação dos parâmetros do modelo, ou incógnitas do sistema. Sendo G a matriz
M ×N , o problema será:
• Subdeterminado - quando não prover informação su�ciente para determinar os pa-
râmetros do modelo, ou seja, os problemas indeterminados ocorrem quando existem
mais incógnitas do que dados, isto é M < N . Neste caso, existem várias soluções que
satisfazem o sistema;
• Determinado - quando existe informação su�ciente e exata, isto é M = N , temos,
então, única solução;
• Sobredeterminado - quando tem mais dados que incógnitas, isto é M > N .
No nosso caso particular, em se tratando de tomogra�a, é comum mais equações do que
incógnitas, o que nos leva a um sistema do tipo sobredeterminado, e estas as vezes ainda
serem incompatíveis devido a erros de arredondamentos inerentes a medição, tornando ainda
mais comum a aplicação de métodos como o Método dos Mínimos Quadrados ou de SVD.
1.3 Problemas Inversos e as Questões de Condicionamento
O problema inverso é considerado bem-posto se satisfaz as condições de existência, unici-
dade e estabilidade; e considerado mal-posto se alguma destas não seja satisfeita, ou seja, o
problema é considerado mal-posto se sua solução não existe, não é única e/ou não depende
continuamente dos dados de entrada.
1.3.1 Existência
O problema deve ter uma solução.
Essa condição pode ser violada por equações inconsistentes entre si, podendo ser aten-
dida através de uma reformulação do problema tal como Mínimos Quadrados ou SVD.
6
1.3.2 Unicidade
Deve existir apenas uma solução para o problema.
Essa condição é mais crítica, podendo também ser atendida utilizando uma reformulação
do problema, tipicamente incluindo requisitos adicionais ao problema, tal como buscar uma
solução de norma mínima. Se estes requesitos forem escolhidos adequadamente, obtém-se a
unicidade da solução.
1.3.3 Estabilidade
A solução deve variar continuamente com os dados.
Essa condição é mais difícil de ser atendida pela modi�cação de problemas originalmente
mal-postos, porque a violação da mesma implica no fato de que pequenas perturbações nos
dados podem produzir grandes perturbações nas soluções obtidas.
Para atender esta condição, faz-se necessário reformular o problema de modo a se obter
um novo problema que seja menos sensível às perturbações nos dados. Esta reformulação é
denominada condicionamento, estabilização ou regularização do problema e pode ser obtida,
por exemplo, através de requesitos adicionais de suavidade da solução. A regularização é
de grande relevância em problemas inversos, uma vez que os mesmos são frequentemente
mal-postos, requerendo regularização para que soluções realistas sejam obtidas.
Número de Condição de uma Matriz
Partindo da equação (1.6), ao tentar resolver problemas desse tipo, podemos ter problemas de
condicionamento e de instabilidade numérica. Os problemas de estabilidade numérica estão
relacionadas com o algoritmo que usamos para resolver o sistema. No entanto para problemas
mal condicionados, o sistema será sempre numericamente estável, então é interessante o fato
de identi�car quais sistemas poderão nos trazer problemas de condicionamento, ou seja, se
pegarmos a expressão anterior onde G e d são respectivamente uma matriz e um vetor, e m
o vetor solução do sistema, então aplicando o operador G−1 a esquerda e a direita, temos:
G−1d = G−1Gm, (1.10)
o que resultará em:
m = G−1d. (1.11)
Considerando que m+ δm representa a solução de um sistema perturbado, temos:
7
d + δd = G(m + δm). (1.12)
A partir de d = Gm e δm = G−1d, pode-se deduzir pela Desigualdade de Shwartz que:
||d|| ≤ ||G||||m||, (1.13)
e
||δm|| ≤ ||G−1||||δd||. (1.14)
Correlacionando as duas expressões, obtém-se que:
||δm|||m||
≤ ||G||||G−1|| ||δd|||d||
. (1.15)
O produto das normas matriciais da equação anterior trata da de�nição do número de condi-
ção. Além disso, temos que ||δd||/||d|| e ||δm||/||m|| tratam do erro relativo entre os dados
e os modelos respectivamente, logo podemos reescrever a equação anterior como:
Emodelo ≤ NC Edados, (1.16)
onde Emodelo e Edados são os erros relativos entre os parâmetros do modelo e dos dados,
respectivamente. Portanto o erro entre os parâmetros do modelo será controlado pelo valor
do NC considerado para o sistema e da qualidade dos dados de entrada.
Uma forma de se contornar este problema é encontrando um novo sistema em que as
soluções sejam menos sensíveis às perturbações nos dados, ou seja, um sistema em que o
valor de NC seja o menor possível.
1.4 Solução de Sistemas Lineares
A tomogra�a sísmica, frequentemente recai na solução de grandes sistemas lineares. Estes
sistemas podem exceder a memória do computador e requerem um elevado custo computa-
cional para serem resolvidos. Métodos para resolver estes problemas, que serão discutidos a
seguir, são de grande importância prática para a inversão tomográ�ca.
8
1.4.1 Método dos Mínimos Quadrados
O método clássico dos mínimos quadrados é aplicado normalmente a sistemas cujo número
de equações é maior do que o número de incognitas, sistemas portanto sobredeterminados.
Este método permite a obtenção da solução cujo somatório do quadrado dos erros é mínimo.
Partindo-se de um modelo linear:
d = Gm, (1.17)
o erro entre o dado medido d e o dado calculado Gm, pode ser escrito como:
e = d−Gm. (1.18)
Calculando o somatório do quadrado dos erros, tem-se:
S = eTe, (1.19)
que pode ser expressa como
S = (d−Gm)T (d−Gm), (1.20)
S = (dT −mTGT )(d−Gm), (1.21)
ou
S = dTd− dTGm−mTGTd + mTGTGm. (1.22)
Derivando S em relação a m e igualando a zero, com o intuito de se encontrar um erro
mínimo, temos:∂S
∂m= 0− dTG−GTd + 2GTGm = 0. (1.23)
Como,
dTG = GTd, (1.24)
então a solução para o problema dos mínimos quadrados é dado por um sistema de equações
denominadas normais, que é representada por:
GTGm = GTd. (1.25)
Como se trata de uma matriz G não singular, multiplicamos os dois lados por (GTG)−1,
logo:
m = (GTG)−1GTd, (1.26)
se a matriz G é não singular. Porem, podem ocorrer casos em que a matriz GTG é quadrada,
mas é singular, não podendo então ser obtida a inversa (GTG)−1. Nestes casos, utilizamos o
método dos mínimos quadrados amortecidos.
9
1.4.2 Método dos Mínimos Quadrados Amortecidos
Uma alternativa para a solução de sistemas subdeterminados é a aplicaç
Para os casos nos quais a matriz GTG é singular, minimiza-se a seguinte função:
S = eTe + ε2mTm. (1.27)
A solução obtida dessa situação tem o quadrado de erro mínimo, embora a funçõ passe
a ter o termo adicional ε2mTm, além do termo eTe utilizado na expressão do método dos
mínimos quadrados convencional. Essa solução terá o erro mínimo se o fator escalar ε2
multiplicado pelo quadrado do modelo, não afete signi�cativamente a função, assim pode-se
adotar a solução obtida.
Minimizando S, obtemos a seguinte expressão:
GTd = (GTG+ ε2I)m. (1.28)
Pré-multiplicando ambos os lados por (GTG+ ε2I)−1 , obtemos:
m = (GTG+ ε2I)−1GTd, (1.29)
uma vez que ε pode ser tomado de tal modo que o termo (GTG + ε2I) da equação seja
não-singular, logo, inversível. Deste modo, pode-se resolver o sistema linear mesmo quando
GTG é singular.
A escolha do fator ε2 deve manter um compromisso entre um valor pequeno que não
afete de forma a comprometer a solução e um valor su�cientemente grande para que o sistema
possa ser resolvido.
1.4.3 Decomposição de Valores Singulares
A decomposição de valores singulares ou SVD, do inglês singular value decomposition, é uma
técnica empregada para a simpli�cação de matriz associada a uma transformação linear. As
matrizes que representam problemas geofísicos são, via de regra, retangulares, não existindo
portanto uma matriz inversa. Nessas condições pode-se determinar a pseudo-inversa de uma
determinada matriz G utilizando-se a SVD.
Seja G uma matriz real M × N . A matriz G+, de dimensões (N × M) será a sua
pseudo-inversa com as seguintes propriedades:
• GG+G = G,
10
• G+GG+ = G+,
• (GG+)T = GG+,
• (G+G)T = G+G.
Se essas propriedades forem satisfeitas, a pseudo-inversa G+ será única. Para calcular
a inversa a partir da matriz original G pode-se utilizar a SVD.
Supondo uma matriz retangular GM×N de posto k, sua SVD é da seguinte forma:
G = UΣV T , (1.30)
tal que: UM×M é a matriz que contém os autovetores ortonormalizados de GGT ; ΣM×N
é a matriz que contém as raízes quadradas dos autovalores de GTG, denominados valores
singulares, sendo estes colocados em ordem decrescente, ou seja, σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σk > 0;
VN×N é a matriz que contém os autovetores ortonormalizados de GTG
Então a pseudo-inversa, ou inversa generalizada, a inversa natural, é uma matriz N×M :
G+ = V Σ+UT , (1.31)
onde Σ+, de dimensão N ×M , é a matriz que contém os recíprocos dos valores singulares
não nulos de G da seguinte forma:
Σ+ =
[E 0
0 0
], (1.32)
onde E é a matriz diagonal k× k cujo i-ésimo elemento diagonal é eii = σ−1i para 1≤ i ≤ k:
E =
σ−11 0 · · · 0
0 σ−12 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · σ−1k
. (1.33)
Em se tratando de matrizes quadradas, de posto completo, a inversa clássica e a pseudo-
inversa são idênticas, sendo a pseudo-inversa uma generalização da inversa clássica, podendo
ser aplicada na inversão de dados em substituiçõ a inversa clássica. A pseudo-inversa G+ em
substituição direta a inversa clássica G−1, diferindo da notação adotada em Menke (1984) que
de�ne G+ = (GTG)−1GT para o caso de mínimos quadrados. Embora esta última notação
seja mais concisa, a substituiçõ explícita da inversa pela pseudo-inversa adotada a seguir
torna mais clara a similaridade entre expressões análogas.
11
Assim, partindo-se das expressões:
m = G−1d, (1.34)
e
m = (GTG)−1GTd, (1.35)
obtém-se as expressões análogas, utilizando-se pseudo-inversa, respectivas:
m = GTd, (1.36)
e
m = (GTG)+GTd. (1.37)
CAPÍTULO 2
Geotomogra�a
A tomogra�a é uma técnica de reconstrução de imagens através do mapeamento de uma
propriedade física, a partir da soma dos valores dessas propriedades em determinadas direções
(projeções). As projeções são as quantidades mensuráveis que são funções de propriedades
físicas de um objeto. Assim a reconstrução tomográ�ca é um tipo especial de problema
inverso que permite estimar uma função.
A tomogra�a clássica requer uma distribuição das fontes e dos receptores em torno do
objeto a ser imageado. Em técnicas de imageamento, tais como a tomogra�a médica de
raios-X, a fonte e o receptor giram em torno do objeto e a maioria das medidas de raios-X
e reconstrução de sistemas usam a energia transmitida (e não re�etida). Assume-se que
estes raios-X se propagam em feixes retos e possuem uma geometria dos raios relativamente
simples. Contrariamente, a tomogra�a sísmica, por utilizar geometrias de aquisição com
fontes e receptores dentro do poço, possui uma abertura angular limitada do objeto em
análise, e as ondas sísmicas, por facilmente se re�etirem, refratarem e difratarem, são muito
menos comportadas em vários sentidos, principalmente por possuirem uma geometria dos
raios mais esparsa e complexa.
2.1 Tomogra�a Sísmica
Em tomogra�a sísmica os dados utilizados são usualmente medidos dos tempos de trânsito,
amplitude da onda ou alguma estimativa da dispersão associada a um caminho que liga uma
fonte a um receptor. A tomogra�a sísmica pode fazer uso das ondas re�etidas, transmitidas,
refratadas e difratadas. A escolha depende da geometria de aquisição, da qualidade dos
dados e dos objetivos a serem atingidos.
Um raio é um �uxo de energia indo através do meio, medido entre a fonte e o receptor.
Para meios homogêneos e isotrópicos o caminho do raio é uma reta. Em geral, este caminho
depende do meio e portanto o raio é curvo.
A geometria de aquisição admite várias con�gurações possíveis. Se as fontes e os recep-
tores estão na superfície, e se considera apenas as ondas re�etidas, chama-se de tomogra�a
12
13
sísmica de re�exão. Se as fontes estão na superfície e os receptores num poço, ou ambos
conjuntos instalados em poços adjacentes, pode-se estudar o tempo de trânsito da onda
transmitida, e neste caso chama-se tomogra�a sísmica de transmissão. Para utilizar mais
informações e amenizar a presença de heterogeneidade, pode-se usar as ondas difratadas,
este tipo é chamado de tomogra�a sísmica de difração.
2.1.1 Tomogra�a de Tempos de Trânsito
A tomogra�a de tempos de trânsito, ou tomogra�a de raio, utiliza o tempo de trânsito en-
tre as fontes e os receptores como vetor, d, de dados observados na inversão; na forma da
onda são desconsiderados os parâmetros amplitude×tempo. A matriz G, utilizada n inver-
são da tomogra�a de tempos de trânsito, descreve a geometria dos raios em um problema
tomográ�co. Os parâmetros do modelo a serem estimados compõem o vetor m, e correspon-
dem a vagarosidade (inverso da velocidade). O tempo de trânsito é a integral de linha da
vagarosidade ao longo do raio:
t =
∫r
s(x, z)dl, (2.1)
onde t é o tempo de trânsito; r é o raio ao longo do qual é realizada a integração; dl é o
elemento de raio e s(x, z) é a vagarosidade do meio no ponto(x, z), onde x é a coordenada
horizontal e z é a coordenada vertical.
Como o caminho do raio depende da vagarosidade, a equação do tempo de trânsito é
não-linear. Para simpli�car a resolução do problema, reduz-se o mesmo a um modelo linear.
Podemos escrever o tempo t em função de uma variável g:
tr = g[s(x, z)], (2.2)
onde:
g[s(x, z)] =
∫r
s(x, z)dl. (2.3)
Os tempos de trânsito t, de M raios, podem ser representados pelo vetor t. Por seu
turno a distribuição de vagarosidade s(x, z) pode ser representada pelo vetor s.
Expandindo-a em série de Taylor em torno de uma vagarosidade de referência s0:
t = t0 +∂g
∂s
∣∣∣∣s=s
0
(s− s0) + · · · . (2.4)
Truncando a série na primeira derivada, obtém-se:
14
t− t0 =∂g
∂s
∣∣∣∣s=s
0
(s− s0), (2.5)
ou seja,
∆t = G∆s, (2.6)
onde o vetor ∆t corresponde as diferenças entre os tempos de trânsito calculados e os tempos
de trânsito observados para o modelo; o vetor ∆s corresponde as diferenças entre as vagaro-
sidades do modelo inicial e as vagarosidades estimadas; a matriz G contém os elementos gijque correspondem as distâncias que o i-ésimo raio percorre o j-ésimo bloco.
As equações que descrevem a tomogra�a de tempos de trânsito, aproximada na forma
de uma equação matricial, podem então ser formuladas como:
t1
t2...
tM
=
g11 g12 . . . g1N
g21 g22 . . . g2N...
.... . .
...
gM1 gM2 . . . gMN
s1
s2...
sN
. (2.7)
Podendo ser reescrita na forma de equação de um modelo linear como:
t = Gs, (2.8)
ou, utilizando a notação que vem sendo utilizada neste presente trabalho:
d = Gm, (2.9)
sendo o vetor m equivalente a vagarosidade, que é o recíproco da velocidade, isto é:
mi = si =1
vi, (2.10)
onde t é o vetor de tempos de trânsito, que correspondem ao vetor de dados observados
d; G é a matriz núcleo; s é o vetor vagarosidade (inverso da velocidade), que representa os
parâmetros do modelos a serem determinados na tomogra�a de tempos de trânsito.
O caminho a ser percorrido pelo raio que sai da fonte e vai em direção ao receptor é
dado pelos elementos da matriz G:
G =
g11 g12 . . . g1N
g21 g22 . . . g2N...
.... . .
...
gM1 gM2 . . . gMN
, (2.11)
onde M é o número total de raios, ou seja, o produto do número de fontes pelo número de
receptores; N representa o número total de blocos na qual a área de estudo foi dividida.
15
Portanto, cada linha de G corresponde ao caminho de um raio. A matriz G é esparsa
pois um dado raio intercepta apenas uma pequena parte do modelo.
2.1.2 Tomogra�a de Atenuação
Historicamente, as grandes descobertas de acumulações de hidrocarbonetos no Brasil, em
especial na Bacia de Campos, foram realizadas com base na análise de mapas de amplitudes
sísmica. Esses mapas reproduzem contrastes de impedância elástica entre camadas, como
também o nível de atenuação que as ondas elásticas sofrem os se propagar nas camadas ro-
chosas. Outra técnica de análise do dado sísmico, a técnica da amplitude versus afastamento
ou AVO (amplitude versus o�set), também é baseada no estudo da energia do sinal sísmico.
No Brasil, pouco se estudou a respeito dos coe�cientes de atenuação das rochas que ocorrem
nas nossas bacias sedimentares.
As rochas são materiais perfeitamente elásticos. À medida que se propagam pelas
rochas, as ondas têm suas amplitudes reduzidas pelo processo de atenuação e suas formas
alteradas, sendo suas velocidades dependentes da frequência devido ao processo de dispersão.
Estes fenômenos são interligados e seus efeitos combinados são chamados de absorção sísmica,
atribuída ao comportamento parcialmente elástico das rochas durante a propagação das
ondas sísmicas. Um efeito da absorção no domínio do tempo é a mudança da forma no sinal,
enquanto no domínio da frequência é a deformação dos espectros de amplitude e de fase.
Informações como litologia, estado físico, grau e tipo de saturação das rochas podem
ser estimadas a partir de suas propriedades de atenuação, tornando a atenuação importante
para muitas aplicações na indústria do petróleo.
Estudos petrofísicos nessa área ainda são escassos. Entretanto, Moreira (2009) em seu
trabalho fez a madição de diferentes litogias em testemunhos de sondagens. Com isso, ob-
teve o coe�ciente de atenuação para diferentes litogias. Quan et. al (1997) �zeram uma
abordagem multifrequencia sobre a tomogra�a de tempos de trânsito e tomogra�a de atenu-
ação poço a poço. Plessix (2006) também fez um estudo onde foi analisado a tomogra�a de
tempos de trânsito e a tomogra�a de atenuação.
Na tomogra�a de atenuação, a propriedade física a ser estudada é a atenuação. Comu-
mente, mede-se a atenuação pelo coe�ciente de atenuação α, que é a constante de decaimento
exponencial da amplitude de uma onda plana em um meio homogêneo, ou pelo fator de qua-
lidade Q (ou seu inverso 1/Q, o fator de dissipação), ou ainda pelo decremento logarítmico
δ. Tais grandezes relacionam-se segundo:
1
Q=αv
πf=δ
π, (2.12)
onde v é a velocidade (m/s) e f é a frequência (Hz). O coe�ciente de atenuação tem como
16
unidade de medida o inverso da distância (m−1) e o fator de qualidade é uma grandeza
adimensional.
Podemos escrever a amplitude de uma onda plana, em função do espaço e do tempo,
propagando-se em um meio elástico homogêneo, de coe�ciente de atenuação α, no caso
unidimensional, como:
A(x, t) = A(x)ei(kx−ωt), (2.13)
onde k é o número de onda (k = 2π/λ, onde λ é o comprimento de onda), ω é a frequência
angular (ω = 2πf , onde f é a frequência linear).
Nos casos em que a atenuação da onda não é considerada, temos que A(x) = A0. Para
os demais casos, tem-se que:
A(x) = A0e−αx, (2.14)
onde A0 é a amplitude inicial da onda e α é o coe�ciente de atenuação do meio.
Uma forma de obtermos o coe�ciente de atenuação é através de dois registros de am-
plitudes A(x1) e A(x2), em dois pontos consecutivos, x1 e x2 (sendo que x1 < x2). Com isso,
temos:
α =ln[A(x1)A(x2)
]x1 − x2
. (2.15)
A unidade de α é nepers por unidade de comprimento ou, apenas, o inverso do comprimento
(m−1).
Na tomogra�a de atenuação, a propriedade de atenuação da Terra é relatada através
da amplitude (ak) da onda. A tomogra�a é a inversão desta integral de linha obtendo a
atenuação:
ln
(A0
Ak
)=
∫Rk
αdl, (2.16)
onde dl é o elemento do caminho, Rk é o caminho do raio e k=1,...,M . Que seria uma
equação na qual podemos notar a relação entre ela e a equação (2.15).
2.2 Modelagem Tomográ�ca Direta
Uma maneira simples de parametrização de um meio seria dividir a região de estudo em
pequenas células, denominados pixels no caso bidimensional, e atribuir valores constantes a
17
propriedade física em estudo em cada célula.
A propagação de sinais sísmicos em ummeio pode ser representada de diversas maneiras,
tais como modelos analíticos, diferenças �nitas e traçcados de raios. A modelagem analí-
tica é bastante e�ciente computacionalmente, mas restringe-se a casos relativamente simples,
tornando-a limitada. Através das diferenças �nitas podemos modelar meios complexos, en-
tretanto o seu custo computacional é mais elevado. A modelagem utilizando traçados de
raios permite modelar meios com exatidão e e�ciência computacional.
Utilizou-se neste trabalho a modelagem 2-D e a teoria do traçado de raios como mode-
lagem da propagação da energia através do meio estudado.
2.2.1 Traçado de Raios
Um raio é o caminho percorrido pela energia que vai de uma fonte a um receptor. Para meios
homogêneos, o ângulo de transmissão do raio, ao atravessar as interfaces dos meio, pode se
considerado constante, concedendo assim uma aproximação por raios retos. Entretanto, o
meio geológico que é encontrado, raramente é simples, logo a idéia dos raios retos não se
aplica, já que a geometria dos raios é mais complexa. Então obtêm-se o comprimeto do arco
do raio percorrido percorrido em cada célula do meio, dando uma aproximação de propagação
por raios curvos. O traçado de raios, considerando a curvatura do raio, geralmente é utilizada
para métodos iterativos, onde a matriz é atualizada a cada iteração.
O traçado de raios curvos pode ser analisado pelo princípio de Fermat, que diz que
a energia se propaga ao longo de caminhos que torna o tempo de trânsito mínimo, sendo
este caminho denomidado como raio. Matematicamente, o tempo de trânsito de um raio,
viajando de um ponto p1 até um ponto p2, é dado por:
t =
∫ p2
p1
n(x, z)
cdl, (2.17)
onde t é o tempo de trânsito, n(x, z) = c/v(x, z) é a distribuição dos índices de refração
no meio bidimensional, sendo c a velocidade do som em um meio de referência e v(x, z) a
velocidade do som no ponto (x, z) e dl o diferencial do comprimento do arco ao longo do
raio.
Pelo princípio de Fermat, o caminho será aquele para o qual a integral acima, da equação
(2.17), assume um valor estacionário, logo:
I =
∫ p2
p1
n(x, z)dl, (2.18)
onde I é o caminho do raio; P1 e P2 são os dois pontos conectados por um determinado
raio, sendo usualmente esses pontos as posições respectivas da fonte e do receptor; n(x, z) =
18
c/v(x, z) é o índice de refração bi-dimensional correspondente à posição (x, z) do meio para
uma dada velocidade de referência c e uma determinada velocidade real v(x, z) obtida a
partir do campo de velocidades; e dl é o diferencial do comprimento de arco ao longo do raio.
O campo de índices de refração, obtido a partir do campo de velocidades do meio, é
discretizado em uma malha, a partir do qual interpola-se o índice de refração para obter
uma estimativa do mesmo em um ponto atravessado pelo raio, como mostra a Figura (2.2.1)
abaixo.
Figura 2.1: Campo discretizado e interpolação bilinear dos índices de refração, onde
cada cruzamento da retícula corresponde a um índice de refração das
coordenadas respectivas e P (∆x,∆z) representa o ponto interpolado
(Terra, 2007)
Para um dado ponto nas coordenadas (∆x,∆z), onde ∆x e ∆z são normalizados entre
0 e 1 na região de interesse, o indíce de refração interpolado é dado por:
P (∆x,∆z) = A(1−∆x)(1−∆z) +B∆x(1−∆z) + c(1−∆x)∆z +D∆x∆z. (2.19)
Deste modo, obtém-se uma estimativa doíndice de refração no ponto atual utilizando-se
os índices de refração conhecidos nos pontos A, B, C e D das células vizinhas, permitindo
19
calcular a trajetória do raio entre a fonte e receptor passando por diversos pontos em uma
mesma célula do campo de velocidades discretizado.
A equação de Euler é uma condição necessária para a existência de um valor extremo
da integral variacional para o cálculo do comprimento acústico, atendendo ao princípio de
Fermat. Utilizando-se esta equação pode-se obter uma equação diferencial para uma família
de raios em um meio homogêneo:
d
dl
(ndrdl
)= ∇n, (2.20)
onde n(x, z) é o campo de índices de refração; r é o vetor posição do raio; dr/dl é o vetor
unitário tangente ao raio em (x, z); dl é o elemento de comprimento da trajetória de raio;
∇n é o gradiente do campo de índices de refração.
Esta equação diferencial é denominada como equação do raio. Para uma certa vizi-
nhança regular, ou seja,em que o índice de refração varia suavemente, sua solução representa
para os raios de menor comprimento acústico. A especi�cação dos raios desejados é obtida
através da imposição de condições de contorno (Andersen e Kak, 1982), tais como a posição
da fonte e do receptor bem como o ângulo de partida do raio.
Desenvolvendo a equação do raio, obtém-se:
dn
dl
drdl
+ nd2rdl2
= ∇n. (2.21)
Fazendo a seguinte substituição:
dn
dl=dn
dr· drdl
= ∇n · drdl, (2.22)
então: (∇n · dr
dl
)drdl
+ nd2rdl2
= ∇n. (2.23)
Expandindo o vetor posição em série de Taylor no ponto (l+∆l), onde ∆l é o incremento
do raio, e truncando a série na segunda derivada, obtém-se:
r(l + ∆l) ≈ r(l) +drdl
∆l +1
2
d2rdl2
∆l2. (2.24)
Isolando o vetor curvatura, d2r/dl2, da equação (2.23) e substituindo na equação (2.24),
obtém-se a seguinte aproximação:
r(l + ∆l) ≈ r(l) +drdl
∆l +1
2n
[∇n−
(∇n.dr
dl
)drdl
]∆l2. (2.25)
20
Esta expressão permite estimar a nova posição do raio a partir do conhecimento de
sua posição atual r(l), do vetor tangente dr/dl e do gradiente da distribução dos índices de
refração, ∇n, naquela posição, constituindo assim numa expressão para a implementação
dos algoritmos do traçado de raio. A partir desta expressão, pode ser derivada uma outra
expressão utilizando o ângulo instantâneo (α) entre a tangente do raio e o eixo x, como pode
ser visualizado na Figura (2.2).
Figura 2.2: Interpretação aproximada da in�uência da curvatura, d2r/dl2, do ângulo
instantâneo, α, entre o vetor tangente, dr/dl, e o eixo horizontal, x, e
do novo passo, r(l + ∆l).
Considerando o vetor unitário na direção de propagação do raio para a k-ésima iteração
como:
drdl
= (cosαk) i+ (senαk) j, (2.26)
onde αk é o ângulo entre a tangente do raio e o eixo x para a iteração k do algoritmo de
traçado de raios.
Para um dado ângulo instantâneo αk do raio, se obtém a seguinte aproximação entre
as iterações k − 1 e k:
21
senαk =zk − zk−1
∆l, (2.27)
e
cosαk =xk − xk−1
∆l. (2.28)
O gradiente do índice de refração é de�nido por:
∇n =
(∂n
∂x
)i +
(∂n
∂z
)j. (2.29)
O produto interno da equação (2.25) e que será denominado de d, pode ser reescrito
em função das equações (2.26) e (2.29), como:
d = ∇n.drdl
= nxcosα + nzsenα (2.30)
onde:
nx =∂n
∂x, (2.31)
e
nz =∂n
∂z. (2.32)
As derivadas direcionais do meio discretizado são aproximadas utilizando-se diferenças
�nitas:
nx(i, j) =n(i+ 1, j)− n(i− 1, j)
2∆x, (2.33)
e
nz(i, j) =n(i, j + 1)− n(i, j − 1)
2∆z. (2.34)
O ponto seguinte do raio é estimado pelas equações:
xk+1 = xk + cosαk∆l +1
2nk(nk,x − dkcosαk)∆l2, (2.35)
e
zk+1 = zk + senαk∆l +1
2nk(nk,z − dksenαk)∆l2, (2.36)
onde para um dado ponto (xk, zk) pertencente ao raio, na k-ésima iteração: nk é o índice de
refração; nk,x é a derivada do índice de refração na direção x; nk,z é a derivada do índice de
refração na direção z; ∆l é constante e de�ne o deslocamento na trajetória do raio em cada
iteração do algoritmo; e dk é a derivada direcional.
Considera-se a equação:
22
nk =c
vk= csk, (2.37)
onde sk é a vagarosidade correspondente à velocidade vk. Substituindo esta equação nas
equações (2.35) e (2.36), obtém-se:
xk+1 = xk + cosαk∆l +1
2sk(sk,x − dkcosαk)∆l2, (2.38)
e
zk+1 = zk + senαk∆l +1
2sk(sk,z − dksenαk)∆l2. (2.39)
Onde dk foi de�nido como:
dk = sk,xcosαk + sk,zsenαk. (2.40)
Portanto, de forma iterativa, partindo-se de um determinado ponto inicial (x0, z0) cor-
respondente à posição da fonte e de um ângulo inicial (α0), obtém-se sucessivamente os
pontos seguintes do raio a partir das expressões que estimam o ponto seguinte do raio. Vale
salientar que o ângulo αk não precisa ser calculado explicitamente, uma vez que apenas os
valores do seno e do cosseno do ângulo αk são utilizados, podendo ser calculado diretamente,
conforme as equações (2.27) e (2.28).
Em muitas aplicações práticas, a discretização em malha da distribuição de índices de
refração e os erros relacionados ao cálculo das derivadas parciais ∂n/∂x e ∂n/∂z impõem
algumas limitações para este método iterativo de traçado de raios (Andersen e Kak, 1982).
Então, como a posição do ponto seguinte é calculada a partir do ponto atual e do índice
de refração corrente e suas respectivas derivadas parciais, erros causados pela discretização
ou transições bruscas de velocidade podem se tornar cumulativos. Para minimizar este
problema, deve-se adotar uma malha com resolução su�ciente para que o meio seja amostrado
adequadamente, resultando em transições mais suaves de velocidade. Também podem ser
utilizadas suavização do campo de velocidades e interpolação bilinear dos índices de refração
e de suas derivadas parciais respectivas, segundo Andersen e Kak (1982), resultando em uma
exatidão maior, pois o raio pode percorrer diversos pontos diferentes em uma mesma célula.
Depois de �xadas as posições das fontes e dos receptores, resta ainda predizer o ângulo
inicial do raio para que uma determinada fonte seja atingida pelo mesmo.
2.2.2 Discretização do Meio
Para uma abordagem tomográ�ca necessitamos discretizar o meio, ou seja, dividi-lo para
que este possa ser tratado computacionalmente. No caso 2D, o procedimento consiste em
dividir o meio em blocos quadrados de dimensões δx e δz, como mostrado na Figura (2.3).
23
A partir desta divisão, podemos determinar com a equação do raio, a distância que
cada raio percorre em cada bloco e, desta forma, montar a matriz tomográ�ca, ou seja,
dividiremos o meio em células.
Figura 2.3: Exemplo de um modelo discretizado
Apesar, da frente de onda percorrer todo o meio, os raios não o farão, visto que este
é apenas um ente matemático que indica o caminho que a onda percorre. Logo, torna-se
necessário uma boa disposição de fontes e receptores e uma boa discretização do meio, a �m
de que não ocorra uma má iluminação do meio.
2.2.3 Ligação entre fonte e receptor
O maior problema do traçado de raios é o de encontrar as coordenadas em que o receptor se
encontra através do raio que partiu da fonte. Considerando um meio homogêneo, a ligação
entre fonte e receptor é tida como um raio reto, tornando em um problema rápido e fácil
de ser resolvido. Porém, considerando um meio heterogêneo deve-se considerar a curvatura
agregada ao raio. Nesta situação, o problema condiz em predizer o ângulo de lançamento do
raio que parte da fonte para que ele alcance um determinado receptor.
O processo de ligação entre a fonte e o receptor é denominado de ray linking. Esse
problema pode ser resolvidos por alguns métodos, como exemplo temos:
24
Método de canhoneio (shooting method)
Dados um ângulo inicial e outro ângulo �nal, sendo um valor máximo (θmax) e o outro o
valor mínimo (θmin), traçam-se os raios compreendidos entre essa região, limitada por esses
dois extremos, com um incremento angular ∆θ, tal que o ângulo de emissão não saia desse
região delimitada. O ângulo de lançamento a ser adotado, será aquele para o qual o raio
esteja mais próximo do receptor desejado. Sendo:
θi = θmin + i∆θ, para i = 0, 1, 2, ..., n, (2.41)
sendo n um número inteiro de valor máximo em que θi = θmax. A Figura (2.4) faz uma
representaçãode como o método funciona.
Figura 2.4: Esquema do método do canhoneio.
Percebe-se que o custo computacional desse método é elevado a depender do incremento
∆θ tomado.
Método de encurvamento (bending method)
Neste método são �xados os dois extremos do raio (a fonte e o receptor), há uma juste da
curvatura do raio até minimizar o tempo de trânsito total ao longo do trajeto.
25
Método de ligação (linking method)
Esse método de conexão é baseado no traçado de três raios a partir de um raio inicial, com
um ângulo inicial de lançamento θ2 e um incremento angular ∆θ, tal que os dois rais traçados
posterior a esse primeiro terão os ângulos de lançamentos dados por:
θ1 = θ2 −∆θ (2.42)
e
θ3 = θ1 + ∆θ, (2.43)
sendo o ângulo de partida (θ2) formado entre a linha reta que liga a fonte e o receptor e a
horizontal.
Depois de traçados esses três raios, podemos aplicar o re�namento de Newton-Raphson,
e então é encontrada uma estimativa para o próximo ângulo de lançamento (θ′2), do raio 2,
que estará mais próximo ao receptor, sendo dado por:
θ′
2 = θ2 ±2d2rd13
∆θ, (2.44)
onde d2r é a distância entre as coordenadas �nais do raio 2 com o ângulo inicial θ2 e as
coordenadas do receptor; d13 é a distância entre as coordenadas �nais do raio 1 e 3; o sinal ±depende da direçãodo crescimento angular e das coordenadas do raio 2 e do receptor (o sinal
escolhido para a equação (2.44) será positivo caso encaminhe o novo ângulo, θ′2, no sentido
do receptor e negativo caso contrário), como mostrado na Figura (2.5).
2.2.4 Modelagem Direta da Tomogra�a de Atenuação
A modelagem direta pode ser descrita, a partir da equação (2.16), matematicamente, na
forma matricial, como:
dobs = Gαver, (2.45)
onde dobs é o vetor de dados observados na qual tem os valorer do logaritmo neperiano da
razão entre as amplitudes inicial e �nal que chega no receptor; G é a matriz tomográ�ca das
distâncias, a qual foi calculada pelo traçado de raio, e αver ó vetor que representa o modelo
verdadeiro do campo de atenuações do meio geológico em estudo.
Uma outra forma de representar a modelagem direta é partindo da equação (2.14),
tendo a equação na seguinte forma:
Aj = A0e−
∑Ni=1αigji , (2.46)
26
Figura 2.5: Esquema do método do ligação.
onde Aj é a amplitude no j-ésimo receptor; A0 é a amplitude inicial; αi é o coe�ciente de
atenuação no i-ésimo bloco e gji é o elemento da matriz G distância percorrida entre um
ponto e outro.
Que pode ser reescrita na seguinte forma:
AjA0
= e−∑N
i=1αigji . (2.47)
Sendo simpli�cada por:
ln
(A0
Aj
)=
N∑i=1
αigji. (2.48)
Na modelagem direta os dados de entrada do modelo serão o vetor (αver) que contém
os valores do coe�ciente de atenuação em cada bloco e a matriz G das distâncias que os
raios percorrem entre fonte-receptor; o dado observado (dobs) será o logaritmo neperiano da
razão entre o amplitude inicial (A0), que é aquela lida na fonte, e a amplitude registrada na
j-ésima fonte.
Sendo que o vetor de dados será composto pelos valores de cada dado lido, estes que
são representados matematicamente como:
dj = ln
(A0
Aj
). (2.49)
27
2.3 Modelagem Tomográ�ca Inversa
A tomogra�a inversa ou, simplesmente, inversão consiste em estimar, a partir dos dados me-
didos (dobs), no caso desse trabalho a amplitude inicial e a amplitude registrada no receptor,
o valor do campo de atenuações do meio bi-dimensional. Esse modelo 2-D é rasterizado em
um vetor 1-D que consiste em varrer linha por linha os elementos do modelo 2-D e armazená-
los sequencialmente no vetor α, ou seja, o último elemento de cada linha do modelo 2-D
passa a ser adjacente ao primeiro elemento do linha seguinte.
A solução de αver é obtida através da inversão de matrizes utilizando-se a técnica
já descrita anteriormente no item 1.4.3, a chamada SVD. A equação (1.37) descreve essa
inversão, que no caso da atenuação descrevemos como:
αest = (GTG)+GTdobs, (2.50)
onde αest será o vetor estimado que conterá os valores das atenuações; G é a matriz que
corresponde ao caminho percorrido por um raio; dobs é o vetor de dados observados, como
já visto anteriormente; e (GTG)+ é a pseudo-inversa da matriz GTG.
CAPÍTULO 3
Simulações e Resultados
Neste cap�'tulo serão apresentados e analisados as simulações obtidas com a tomogra�a
de atenuação. Os estudos foram feitos partindo de duas simulações. No primeiro modelo,
para testar e validar o método, foi feito em um modelo simples, onde existe um meio com
atenuação praticamente nula e apenas uma camada com atenuação considerável. Um segundo
modelo foi feito baseado em um dos modelos de Oliveira (2010), onde o modelo é faz uma
simulação de um meio geológico que representa um anticlinal.
Inicialmente o modelo verdadeiro é criado com informações a priori que são os valores
dos coe�cientes de atenuação do meio e a sua respectiva posição. O vetor de dados calcu-
lados (dobs) são obtidos a partir da equação (2.49). Partindo da dimensão do modelo que é
trabalhado, é montada a matriz G, que é representada pela equação (2.11). Para ser feita
a modelagem inversa é necessário obtermos a inversão da matriz G, que neste trabalho foi
realizada pela decomposição de valores singulares, mostrada no item (1.4.3) deste trabalho.
Com isso, pela equação (2.50) é obtido o modelo estimado de atenuação do meio.
A forma de resolução do problema foi esquematizada na �gura (3.1) em que é apresen-
tado esquematicamente como foi realizado esse trabalho.
Inserção de Ruído
Para testarmos a solução de uma maneira um pouco mais real, inserimos um ruído gaussiano
no vetor de dados. Esse vetor de ruído aleatório pode ser representado como:
d∗j = dj + βrjdj, (3.1)
onde d∗j é o vetor de dados contaminado com ruído; dj é o vetor de dados sem ruído; β é o
fator de amplitude do ruído e rj é a sequência de números aleatórios que variam se encontram
no conjunto de valores de (-0,5 ; 0,5).
A exemplo, a �gura (3.2) mostra o vetor de dados sem in�uência de ruído (a), e sob a
in�uência de ruído (b).
28
29
Inicializa o vetor atenuação 𝛂ver = [α1, α2, … , αN]
T
a partir de informações a priori.
Calcula a matriz G, utilizando traçado de raios.
Calcula o vetor dado observado:
dj = ln(A0
Aj),
e coloca em forma de vetor:
𝐝𝐜𝐚𝐥𝐜 = [d1, d2, … , dM]T.
Realiza a inversão da matriz G pela decomposição em valores singulares, achando a matriz pseudo-
inversa da matriz G, que é a matriz 𝐆+.
Seleciona a quantidade de valores singulares convenientes.
Calcula o modelo de atenuação estimado: 𝛂est = 𝐆+𝐝𝐜𝐚𝐥𝐜
A imagem do tomograma é satisfatória?
S
N
Calcula o erro entre 𝛂ver e 𝛂est
O erro é satisfatório?
N
S
FIM
Figura 3.1: Fluxograma
Os critérios de seleção dos valores singulares são discutidas na seção seguinte desse
capítulo.
30
(a) (b)
Figura 3.2: Vetor de dados, em (a) sem in�uência de ruído e em (b) sob in�uência
de ruído da ordem de β = 10−1
3.0.1 Critérios de Seleção de Valores Singulares
O critério de seleção de corte utilizado nesse trabalho foram baseados em alguns dos critérios
utilizados por Silva (2009). Serão utilizados apenas o critério de amplitude do valor singular
e a derivada do valor singular.
Para ser feita uma comparação e segurança na escolha do ponto de corte ótimo, utili-
zamos também o erro RMS entre os modelos verdadeiro e estimado. Entretanto, este não
pode ser considerado como um critério, já que, em um caso real, o modelo verdadeiro não é
conhecido, logo não é possível determinar tal função.
No capítulo 1 deste trabalho houve uma abordagem dos problemas inversos mal-postos
e foi visto que a estabilidade do problema diminui com o aumento de uma grandeza escalar
conhecida como número de condição (NC), esta é de�nida como a razão entre o maior e o
menor valor singular utilizados na composição da matriz referente ao sistema linear. Logo,
valores singulares muito pequenos comprometerão a condição de estabilidade do problema.
Então, devemos eliminá-los para se obter um sistema estável. Contudo, se tirarmos todos
os valores singulares pequenos, a ponto de encontrar um número de condição muito próximo
da unidade, com a �nalidade de aumentar a estabilidade do problema, não conseguiremos
encotrar uma matriz pseudo-inversa muito boa, pois ao diminuirmos a quantidade de valores
singulares, diminuimos, também, a quantidade de autoimagens quer irão compor a matriz
inversa generalizada e, desta forma, reduzimos a informação contida no sistema. Então
torna-se necessário encontrar uma quantidade ótima de valores singulares que nos forneça
uma boa pseudo-inversa e que também amenize o mal-condicionamento do problema, ou
seja, encontrar um ponto intermediário que forneça a melhor solução factível.
31
Amplitude do valor singular
Nesse método, o interesse é gerar uma curva davariação da amplitude do valor singular em
função do índice destes valores, com o propósito de se analisar o decaimento dos valores
singulares e encontrar um ponto de corte ótimo que, quando aplicado à inversão, possa
fornecer uma solução satisfatória.
Nesta curva, a variação da amplitude dos valores singulares se dá em uma escala mo-
nologarítmica, para que desta forma possamos encontrar uma região anômala que poderá
sugerir o ponto de corte ótimo. Esta regi¿o pode ser determinada por, relativamente, uma
alta variação na amplitude dos valores singulares, sugerindo assim uma grande mudança no
comportamento destes.
Derivada do valor singular
Este é um critério que consiste em determinar a derivada de todos os valores singulares e,
posteriormente, se gerar uma curva desta em função do índice do valor singular. A derivada
para cada ponto i é:
f′(xi) = lim
xi→xi+1
f(xi+1) − f(xi)xi+1 − xi
, (3.2)
onde f(xi) representa a amplitude do valor singular e xi o índice do valor singular, sendo,
portanto, valores inteiros. Além disso, a variação do índice do valor singular é da ordem da
unidade, logo, a equação anterior pode ser reescrita como:
f′(xi) = f(xi+1) − f(xi). (3.3)
Contudo, a amplitude dos valores singulares decresce com a quantidade de valores.
Logo, podemos perceber que os valores da derivada serão negativos. No trabalho foi utilizado
o módulo dos valores da derivada do valor singular, como o propósito de se trabalhar com
valores positivos.
O objetivo de se utilizar a derivada do valor singular como critério de seleção é o
mesmo da amplitude, de se encontrar um ponto onde a curva tem uma mudança brusca
de direção indicando que os valores singulares alteram seu comportamento. Logo, o ponto
dein�exão poderá mostrar o número z'otimo, pois indica que os valores singulares aumentam
consideravelmete a instabilidade.
É importante ressaltar que a utilização dos critérios da amplitude e derivada do valor
singular, são in�uenciados apenas pelo valor singular e ao com a quantidade de valores
utilizadas na inversão, ou seja, um aumento no erro entre os parâmetros de dados pode
modi�car a quantidade de valores singulares que deve ser utilizada para se obter um modelo
32
compatível e variações no erro não podem ser vista nestes critérios, tornando seu uso um
pouco mais limitado. Essa mudança na quantidade de valores singulares a ser utilizada pode
ser explicada a partir da relação entre os erros dos parâmetros de dados e de modelo e o
valor do número de condição, conforme pode ser visto na equação (1.16).
Erro RMS dos parâmetros de dados
A partir dos dados calculados com o modelo estimado e dos dados observados, podemos
determinar o erro RMS relativo, escrita em porcentagem, entre os dados, para a tomogra�a
de atenuação escrita como:
Ed =
√∑Mi=1
(dobsi − dcalci
)2√∑Mi=1
(dobsi)2 × 100 (3.4)
ondeM é o número de raios que percorre o meio, dobsi e dcalci são os vetores de dados observados
e calculados, respectivamente, que o raio i leva para percorrer a distância fonte-receptor.
Erro RMS dos parâmetros do modelo
A partir dos resultados da inversão tomográ�ca, é necessário ponderar o erro entre os parâ-
metros de modelo verdadeiros e os parâmetros do modelo estimado (no caso de um modelo
sintético). Contudo, como dito anteriormente, se este fosse considerado como um critério
de seleção não teria grande signi�cado, pois o modelo verdadeiro não é conhecido em um
caso real. Portanto, esta função é utilizada apenas para �ns de validação das metodologias
empregadas.
O erro RMS relativo, escrito em porcentagem, entre os modelos, pode ser escrita como:
Em =
√∑Ni=1 (mver
i −mesti )2√∑N
i=1 (mveri )2
× 100, (3.5)
onde N é o número de blocos da malha, mveri e mest
i são as propriedades físicas, que neste
trabalho representa o coe�ciente de atenuacdao (α), verdadeira e estimada, respectivamente,
do bloco i.
33
3.1 Modelo 1
O primeiro modelo trata-se de um modelo relativamente simples, onde o meio tem atenuação
muito baixa, porém ele contém uma camada com uma atenuação de 0.25m−1 que pode ser
um possível reservatório alvo. Esse modelo é utilizado para testar a validade do método de
inversão. O meio do modelo, representado na �gura (3.3) foi discretizado em uma malha 20
× 20, ou seja, ele foi dividido em 400 células. A geometria de aquisição dos dados é do tipo
poço a poço, sendo colocado 20 fontes em um poç e 20 receptores em outro, totalizando um
total de 400 raios descritos. Os elementos da matriz G representam a distância em que o
j-ésimo raio percorre o i-ésimo bloco, sendo obtida pela técnica de traçado de raios (descrita
no item 2.2.1), sendo de ordem 400 × 400, consequentemente a sua matriz pseudo-inversa
G+ também será da mesma ordem.
Figura 3.3: 'Modelo 1' verdadeiro, sendo a escala em cores os valores do coe�ciente
de atenuação em m−1.
Depois de realizado o processo da inversão, o grá�co da amplitude do valor singular
e da derivada do valor singular foram obtidas com o intuito de ter uma noção dos valores
singulares e, a partir disso, fazer uma seleção dos valores singulares que entrarão na solução
do problema.
Para analisar a qualidade da inversão, foi feita a inversão do modelo verdadeiro com
diferentes valores de corte de valores singulares (σcorte), que variaram de 10−13 até 105 com
um incremento de 101, em diferentes níveis de ruído variando a sua amplitude (β). Com isso
foi feita a tabela (3.1) que contém os valores de σcorte, de amplitude β do ruído e o erro RMS
dos parâmetros de dados e o erro dos parâmetros do modelo.
34
(a)
(b)
Figura 3.4: Grá�co (a) da amplitude e (b) da derivada do valor singular do 'Modelo
1', em escala monolog.
Foram recuperados alguns modelos em diferentes níveis de ruído (β), variando o valor
do corte de valores singulares (σcorte).
35
3.1.1 β = 0
Os modelos recuperados, sem a adição de ruído no vetor de dados, foram:
(a) (b)
Figura 3.5: 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 103. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.6: 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 100. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
36
(a) (b)
Figura 3.7: 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−3. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.8: 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−6. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
37
(a) (b)
Figura 3.9: 'Modelo 1' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−10. A
escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em
m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado e
em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
Como bem visto nas �guras (3.5), (3.6), (3.7), (3.8) e (3.9), e con�rmado pela tabela
(3.1), para os modelos invertidos sem ruído, podemos perceber que os modelos recuperados
foram satisfatórios visualmente, mesmo com os erros dos parâmetros do modelo nos valores
de 43,70%, 34,29%, 28,04%, 28,03% e 18,33%, respectivamente. O valor de corte que teve
o erro mínimo foi o σcorte = 10−10, onde entraram na solução 357 valores singulares, como
comprovação disso, a imagem (3.9), de todos os modelos recuperados, visualmente é o que
mais se aproxima do modelo verdadeiro, �gura (3.3).
A partir do valor de σcorte = 10−12, onde foram incluídos 372 valores singulares, a
recuperação do modelo já não foi mais satisfatórias e o erro dos parâmetros do modelo au-
mentaram signi�cativamente, e isso pode ser notado na �gura (3.4(a)) onde a amplitude do
valor singular após esse valor atrapalharam a solução. A solução ideal para esse método
proposto, admitiria 355 valores singulares na solução. Entretanto, conseguiria recuperar mo-
delos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros do modelo, qualquer
modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 10−11, ou seja, admitisse na solução de
100 a 362 valores singulares.
38
Tabela 3.1: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, sem a presença de ruído, no 'Modelo 1'
3.1.2 β = 10−3
Agora, recuperando os modelos com a adição de ruído de nível baixo (com amplitude β =
10−3) no vetor de dados, foram obtidos os seguintes modelos:
Como bem visto nas �guras (3.10), (3.11), (3.12) e (3.13), e con�rmado pela tabela (3.2),
para os modelos invertidos com amplitude de ruí da ordem de 10−3, podemos perceber que
os modelos recuperados foram satisfatórios visualmente, mesmo com os erros dos parâmetros
do modelo nos valores de 43,70%, 34,30%, 28,52% e 42,49%, respectivamente. Entretanto,
na �gura (3.14) já foi possível notar que não houve uma recuperação satisfatória do modelo,
con�rmado pelo erro dos parâmetros do modelo que foi de 333,34%. O valor de corte que
teve o erro mínimo foi o σcorte = 10−3, onde entraram na solução 351 valores singulares,
como comprovação disso, a imagem (3.13), de todos os modelos recuperados, visualmente é
o que mais se aproxima do modelo verdadeiro, �gura (3.3).
39
(a) (b)
Figura 3.10: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.11: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
A presença do ruído, mesmo que em baixo nível, in�uência na recuperação do modelo
e no aumento do erro dos parâmetros do modelo. A partir do valor de σcorte = 10−7, onde
foram incluídos 354 valores singulares, a recuperação do modelo já não foi mais satisfatórias
e o erro dos parâmetros do modelo aumentaram signi�cativamente. A solução ideal para
40
(a) (b)
Figura 3.12: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.13: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 10−6. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
41
(a) (b)
Figura 3.14: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 10−9. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
esse método proposto, admitiria 354 valores singulares na solução. Entretanto, é possivel
recuperar modelos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros do
modelo, qualquer modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 10−6, ou seja, admitisse
na solução de 100 a 352 valores singulares.
42
Tabela 3.2: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−3, no 'Modelo 1'
3.1.3 β = 10−1
Recuperando os modelos com a adição de ruído de nível médio a alto (com amplitude β =
10−1) no vetor de dados, foram obtidos os seguintes modelos:
Como bem visto nas �guras (3.15) e (3.16), e con�rmado pela tabela (3.3), para os
modelos invertidos com amplitude de ruí da ordem de 10−1, podemos perceber que os modelos
recuperados foram satisfatórios visualmente, mesmo com os erros dos parâmetros do modelo
nos valores de 43,87% e 71,28%, respectivamente. Entretanto, na �gura (3.17) já foi possível
notar que não houve uma recuperação satisfatória do modelo, con�rmado pelo erro dos
parâmetros do modelo que foi de 521,03%. O valor de corte que teve o erro mínimo foi o
σcorte = 102, onde entraram na solução 259 valores singulares.
A presença do ruído, mesmo que de médio a alto nível, in�uência na recuperação do
modelo e no aumento do erro dos parâmetros do modelo. A partir do valor de σcorte =
43
(a) (b)
Figura 3.15: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor
do σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.16: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor
do σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
10−1, onde foram incluídos 344 valores singulares, a recuperação do modelo já não foi mais
satisfatórias e o erro dos parâmetros do modelo aumentaram signi�cativamente. A solução
ideal para esse método proposto, admitiria 259 valores singulares na solução. Entretanto, é
possivel recuperar modelos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros
44
(a) (b)
Figura 3.17: 'Modelo 1' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor
do σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
do modelo, qualquer modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 100, ou seja, admitisse
na solução de 100 a 337 valores singulares.
45
Tabela 3.3: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−1, no 'Modelo 1'
3.2 Modelo 2
Esse modelo foi adaptado de Oliveira (2010), representado na �gura (3.18) é estruturalmente
descrito por um anticlinal assimétrico de origem tectônica que pode ter sofrido mecanismos
de deformação anti e pós-deposicional, não obstante o objetivo da inversão é recuperar bem
as estruturas sem realizar interpretação geológica. Tais situações geolólicas são de rele para
exploração de petróleo por gerar trapas, mais precisamente trapas estruturais dominadas por
dobras. As trapas são arranjos geométricos de rochas que permitem signi�cante acumulação
de hidrocarbonetos em subsuperfície. A trapa muitas vezes inclui a rocha reservatório que
armazena o hidrocarboneto e a rocha selante que impede a migração para fora do reservatório
(Biddle e Wielchowsky, 1994). Neste modelo, a nossa rocha reservatório está representada
pela camada de arenito poroso e permeável, apresentando possível acumulação de hidrocar-
boneto e a rocha selante representada pelo folhelho impermeável. Os valores dos coe�cientes
46
de atenuação foram: 2, 4 × 10−3m−1 para as camadas de folhelho; 3, 0 × 10−3m−1 para ca-
madas de arenito; 3, 3× 10−3m−1 para camadas de arenito reservatório; 2, 4× 10−3m−1 para
camada de folhelho com caráter selante; 1, 5×10−3m−1 para camadas de arenito reservatório
que contém hidrocarboneto nos seu espaço poroso e 2, 6×10−3m−1 para a camada de folhelho
gerador.
O modelo é limitado lateralmente por poços com 30 fontes num poço e 30 receptores
no outro poco, de modo a se ter 900 raios ou 900 equaçoes, consequentemente o problema
é dito sobredeterminado. A discretização se deu com 800 blocos quadrados com coe�cientes
de atenuação constante em cada bloco o quais possuem formato quadrado de dimensão 20
m, sendo 20 blocos na horizontal e 40 blocos na vertical constituindo um modelo com 800 m
na vertical e 400 m na horizontal.
Figura 3.18: 'Modelo 2' verdadeiro, sendo a escala em cores os valores do coe�ciente
de atenuação em m−1.
Depois de realizado o processo da inversão, o grá�co da amplitude do valor singular e
da derivada do valor singular foram obtidas, assim como no Modelo 1, com o intuito de ter
uma noção dos valores singulares e, a partir disso, fazer uma seleção dos valores singulares
que entrarão na solução do problema.
Assim como no Modelo 1, para analisar a qualidade da inversão, foi feita a inversão do
modelo verdadeiro com diferentes valores de corte de seleção de valores singulares (σcorte), que
variaram de 10−15 até 105 com um incremento de 101, em diferentes níveis de ruído variando
a sua amplitude (β). Com isso foi feita a tabela (3.2) que contém os valores de σcorte, de
amplitude β do ruído e o erro RMS dos parâmetros de dados e o erro dos parâmetros do
modelo.
Foram recuperados alguns modelos em diferentes níveis de ruído (β), variando o valor
do corte de valores singulares (σcorte).
47
(a)
(b)
Figura 3.19: Grá�co (a) da amplitude e (b) da derivada do valor singular do 'Modelo
2', em escala monolog.
3.2.1 β = 0
Os modelos recuperados, sem a adição de ruído no vetor de dados, foram:
Como bem visto nas �guras (3.20), (3.21), (3.22), (3.23), (3.24) e (3.25), e con�rmado
pela tabela (3.4), para os modelos invertidos sem ruído, podemos perceber que os modelos
recuperados foram satisfatórios visualmente, com os erros dos parâmetros do modelo nos
valores de 11,57%, 7,84%, 5,00%, 3,12%, 1,95% e 2,16%, respectivamente. O valor de corte
que teve o erro mínimo foi o σcorte = 10−10, onde entraram na solução 749 valores singulares.
A partir do valor de σcorte = 10−12, onde foram incluídos 782 valores singulares, a
recuperação do modelo já não foi mais satisfatórias e o erro dos parâmetros do modelo au-
mentaram signi�cativamente, e isso pode ser notado na �gura (3.19(a)) onde a amplitude
do valor singular após esse valor atrapalharam a solução. A solução ideal para esse método
48
(a) (b)
Figura 3.20: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 103. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.21: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 100. A escala
em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em m−1.
Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado e em
(b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
proposto, admitiria 749 valores singulares na solução. Entretanto, conseguiria recuperar mo-
delos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros do modelo, qualquer
modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 10−11, ou seja, admitisse na solução de
49
(a) (b)
Figura 3.22: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−3. A
escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em
m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.23: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−6. A
escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em
m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
255 a 750 valores singulares.
50
(a) (b)
Figura 3.24: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−9. A
escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em
m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.25: 'Modelo 2' recuperado sem ruído onde o valor do σcorte = 10−11. A
escala em cores representa o valor do coe�ciente de atenuação (α) em
m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com o modelo recuperado
e em (b) varia em comparação com o modelo verdadeiro.
51
Tabela 3.4: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, sem a presença de ruído, no 'Modelo 2'
3.2.2 β = 10−3
Os modelos recuperados, com a adição de ruído (com amplitude β = 10−3) no vetor de
dados, foram:
Como bem visto nas �guras (3.26), (3.27) e (3.28), e con�rmado pela tabela (3.5), para
os modelos invertidos com amplitude de ruí da ordem de 10−3, podemos perceber que os
modelos recuperados foram satisfatórios visualmente, mesmo com os erros dos parâmetros
do modelo nos valores de 11,57%, 7,93% e 14,77%, respectivamente. Entretanto, na �gura
(3.29) já foi possível notar que não houve uma recuperação satisfatória do modelo, con�rmado
pelo erro dos parâmetros do modelo que foi de 178,82%. O valor de corte que teve o erro
mínimo foi o σcorte = 10−1, onde entraram na solução 707 valores singulares.
52
(a) (b)
Figura 3.26: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.27: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
53
(a) (b)
Figura 3.28: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 10−3. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
(a) (b)
Figura 3.29: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−3, onde o valor
do σcorte = 10−6. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa dos α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
54
Tabela 3.5: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−3, no 'Modelo 2'
A presença do ruído, mesmo que em baixo nível, in�uência na recuperação do modelo
e no aumento do erro dos parâmetros do modelo. A partir do valor de σcorte = 10−4, onde
foram incluídos 735 valores singulares, a recuperação do modelo já não foi mais satisfatórias
e o erro dos parâmetros do modelo aumentaram signi�cativamente. A solução ideal para
esse método proposto, admitiria 707 valores singulares na solução. Entretanto, é possivel
recuperar modelos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros do
modelo, qualquer modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 10−3, ou seja, admitisse
na solução de 255 a 733 valores singulares.
55
3.2.3 β = 10−1
Os modelos recuperados, com a adição de ruído (com amplitude β = 10−3) no vetor de
dados, foram:
(a) (b)
Figura 3.30: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor
do σcorte = 103. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
Como bem visto na �gura (3.30), e con�rmado pela tabela (3.6), para o modelo inver-
tido com amplitude de ruí da ordem de 10−1, podemos perceber que o modelo recuperado
foi satisfatório visualmente, com os erros dos parâmetros do modelo no valor de 13,22%.
Entretanto, na �gura (3.31) já foi possível notar que não houve uma recuperação satisfatória
do modelo, con�rmado pelo erro dos parâmetros do modelo que foi de 118,71%. O valor
de corte que teve o erro mínimo foi o σcorte = 103, onde entraram na solução 475 valores
singulares, como comprovação disso, a imagem (3.30), visualmente, se aproxima do modelo
verdadeiro, �gura (3.18).
A presença do ruído, mesmo que de médio a alto nível, in�uência na recuperação do
modelo e no aumento do erro dos parâmetros do modelo. A partir do valor de σcorte =
10−1, onde foram incluídos 707 valores singulares, a recuperação do modelo já não foi mais
satisfatórias e o erro dos parâmetros do modelo aumentaram signi�cativamente. A solução
ideal para esse método proposto, admitiria 475 valores singulares na solução. Entretanto, é
possivel recuperar modelos de modo satisfatório, através da análise dos erros dos parâmetros
do modelo, qualquer modelo que admitisse entre σcorte = 104 e σcorte = 101, ou seja, admitisse
na solução de 255 a 632 valores singulares.
56
(a) (b)
Figura 3.31: 'Modelo 2' recuperado, com ruído de amplitude β = 10−1, onde o valor
do σcorte = 100. A escala em cores representa o valor do coe�ciente
de atenuação (α) em m−1. Em (a) a faixa de α varia de acordo com
o modelo recuperado e em (b) varia em comparação com o modelo
verdadeiro.
57
Tabela 3.6: Tabela de erro RMS dos parâmetros do dado e do modelo para diferentes
niveis de corte, com o nível de ruído β = 10−1, no 'Modelo 2'
CAPÍTULO 4
Conclusões
A tomogra�a de atenuação é um problema inverso considerado mal posto. Para ameni-
zar este mal-condicionamento e obter uma solução satisfatória foi utilizado uma metodologia
em que se variava o número de corte dos valores singulares, assim, geralmente,cortando os
pequenos valores singulares.
As simulações numéricas efetuadas para os dois modelos, com diferentes níveis de ruiído
, realizadas com a �nalidade de comparação, permitiram validar as metodologias que foram
empregadas neste trabalho, que se baseiam em uma extração visual (grá�co da amplitude e
grá�co da derivada dos valores singulares) e numérica (calculando o erro RMS dos parâmetros
do modelo) do ponto de corte dos valores singulares com o intuito de minimizar, na medida
do possível, o erro do modelo. Os critérios se mostraram coerentes e tem com uma relação
entre eles.
O método de corte de valores singulares foi satisfatório, mas ele não é extremamente
preciso, pois ele seleciona uma faixa de valores para ser feito o corte, e não o valor exato
do número de valores singulares que devem entrar na solução do sistema. Dessa maneira,
é sugerido em trabalhos futuros que seja feito uma seleção do número de valores singulares
com o intuito de ter uma técnica mais precisa na inversão pelo método da decomposição em
valores singulares na tomogra�a de atenuação.
Os resultados das simulações numéricas para o 'Modelo 1' puderam validar o método
para situações com dados ruidosos, assim como livre de ruídos. O 'Modelo 2' foi a tentativa
de simular um meio geológico um pouco mais complexo. Em ambos os casos, foram obtidos
resultados satisfatórios, entretanto quanto mais ruído era adicionado, menor era o número
de valores singulares que entravam na solução, com isso, comprometendo a qualidade da
recuperação do modelo estimado. Isso �cou claro nas imagens em que a recuperação não era
coerente com o modelo verdadeiro para o mesmo valor de corte de valores singulares para
diferentes tipos de ruído.
A função de erro entre os parâmetros do modelo não pode ser considerada como critério
devido àfalta de conhecimento do campo verdadeiro de fatores de atenuação. Contudo,
mostrou ser importante para que pudéssemos validar a metodologia empregada.
58
59
A inversão por meio da decomposição em valores singulares foi validada para a tomo-
gra�a de atenuação de modo satisfatório.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer aos meus pais, Julio Cesar Rocha Fontes e Ivete Helena Lira da
Costa Fontes, por terem me dado todo o apoio em minhas escolhas e o suporte necessário
em vários aspectos.
Aos meus irmãos, Julio Filho e Paloma Helena, pelo companheirismo e cumplicidade.
A toda minha família.
A minha namorada e parceira, Michelle, por todo seu apoio não só durante o curso,
mas ao longo desse caminho que começamos a trilhar juntos. A minha sogra, e grande amiga
Virginia, pelo suporte e todos os conselhos.
A Amin pela oportunidade, atenção, conhecimentos transmitidos e por toda a disponi-
bilidade durante esses anos.
Ao professores Thierry e Vilar por terem aceitado prontamente o convite para participar
da banca deste trabalho.
Aos meus amigos de curso, Rodrigo (Routo), Paulo Augusto (Curió), Leonardo (Mo-
cita), Daniel (Cavanha) e Wilker (Duz¿o) que percorreram esse árduo caminho ao longo
desses 4 anos, por inumeras noites perdidas de estudos e resenhas. E a Rafael Manenti, por
todo o apoio na parte computacional, inumeras caronas, dicas e estudos.
A todos os professores que contribuiram nessa minha graduação.
Aos funcionários, que sempre nos propiciaram um bom ambiente de estudos e trabalho.
A Rede CT-PETRO de Geofísica de Exploração - Fase 3 - Imageamento Sísmico
sob Quebra de Plataforma Continental - Projeto Complementar pela bolsa (de 11/2011
a 07/2012).
A FAPESB/PIBIC/UFBA pela bolsa de iniciação cientí�ca (de 08/2012 a 02/2014) no
projeto de Imageamento Tomográ�co aplicado ao Armazenamento Geológico de CO2.
60
Referências Bibliográ�cas
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