AULAS 7 A 9MÉDIAS

Para n números reais positivos dados a1, a2, ..., an, temos as seguintes definições:

• Média Aritmética é a enésima parte da soma dos números: mA = .

• Média Ponderada com pesos p1, p2, ..., pn, é o quociente da soma dos produtos ak . pk pela soma dos pesos:

mP =

• Média Geométrica é a raiz enésima do produto dos números: mG = .

• Média Harmônica é o inverso de média aritmética dos inversos dos números: mH =

Com a . 0 e b . 0, temos, na figura, uma semicircunferência de diâmetro a + b:

MA(a, b) é o raio da circunferência, MG(a, b) é a medida do segmento RT e MH(a, b) é a medida do segmento RS(projeção de RT sobre RO)

LOGARITMO

Dados os números a e b, com a . 0, b . 0 e b ≠ 1, existe um único número real x, tal que bx = a. Nessascondições, dizemos que x é o logaritmo de a na base b e usamos a denotação: x = logba

Teoremas: a) Se a > 0 e b > 0, então MA > MG. (a igualdade ocorre somente com a = b)

b) Se a . 0 e b . 0, então MG > MH. (a igualdade ocorre somente com a = b)

R

P Q

MHMG

MAS

T O

a b

1 1

1

1

n akk

n

=

−

∑

∏=k

n

kn a

1

( )a p

p

kk

n

k

kk

n=

=

∑

∑

1

1

1

1nak

k

n

=∑

RelacionadosConceitos

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática22000099

www.cursoanglo.com.br22000099

NN •• ÍÍ •• VV •• EE •• LL 33

TTrreeiinnaammeennttoo ppaarraaOOlliimmppííaaddaass ddee

MMaatteemmááttiiccaa

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

1. Se (a1, a2, a3, ..., a2006) é uma sequência de termos positivos, então a metade do valor mínimo do produto

(a1 + a1–1) (a2 + a2

–1) (a3 + a3–1) ... (a2006 + a2006

–1) é:

a) 1003 d) 22005

b) 2006 e) 22006

c) 21003

2. (OBM/2005-1ª- fase) Sejam A = 10(log102005)2, B = 20053 e C = . Então:a) A , B , C d) B , C , Ab) A , C , B e) C , A , Bc) B , A , C

3. (OBM/2004-1ª- fase) Esmeralda, a digitadora, queria digitar um número N de dois algarismos que é quadrado per-feito, mas se enganou, trocando cada algarismo pelo seu sucessor (afinal, as teclas são vizinhas!). Por umagrande coincidência, o número digitado também é quadrado perfeito! Qual é a soma dos algarismos de N?a) 4 d) 7b) 5 e) 8c) 6

4. (OBM/2004-1ª- fase) Com três algarismos distintos a, b e c, é possível formar 6 números de dois algarismosdistintos. Quantos conjuntos {a, b, c} são tais que a soma dos 6 números formados é 484?a) Um d) Quatrob) Dois e) Mais que quatroc) Três

5. (OBM/2005-1ª- fase) Os termos an de uma sequência de inteiros positivos satisfazem a relação an + 3 = an + 2(an + 1 + an) para n = 1, 2, 3…

Se a5 = 35, quanto é a4?

a) 1 d) 7b) 3 e) 9c) 5

6. (OBM/2004-1ª- fase) Sejam

e

Qual é o inteiro mais próximo de a – b?a) 500 d) 1000b) 501 e) 1001c) 999

1. Se a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0 e a – 4b + 16c = 0, então uma das raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a) 4 d)

b) e)

c)

a ba+ 4

4ca

4a ba+

– 4ca

CasaEm

b = + + +… +1

325

37

10012003

2 2 2 2.

a = + + +… +1

123

35

10012001

2 2 2 2

22005

ClasseEm

22000099

2. Se r e s são números distintos, tais que r2 = br + c e s2 = bs + c, em que b e c são constantes, temos:a) r + s = –bb) rs = cc) r2 + s2 = b2 + 2cd) r2 + s2 = b2 + ce) r2 – s2 = b2 + 2c

3. Na figura, AEFD é um quadrado de lado 2 e BC = 3 .

Podemos afirmar que x2 + y2 é igual a:a) 5 d) 17b) 12 e) 25c) 15

4. A solução real da equação é:

a) d)

b) e)

c)

5. (OBM/2004-1ª- fase) O conjunto das raízes reais da equação é:

a) {1} d) ]1, 2[b) {1, 2} e) {2}c) [1, 2]

6. (OBM/2005-1ª- fase) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação

Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7

7. (OBM/2004-1ª- fase) Numa prova para uma sala com 30 alunos, a média aritmética das 10 piores notas é 3 e amédia aritmética das 10 melhores notas é 9. O menor valor possível e o maior valor possível para a média dasala são, respectivamente:a) 6 e 7 d) 3 e 9b) 5 e 7 e) 4 e 8c) 4 e 6

x y x y+ − − =1

212

1.

x x x x+ − + − − =2 1 2 1 2

–1 5+

5

5 12+

1 5+

5 12−

2 2− + =x x

A Ey

B

F2D

C

x

3 5=++

 

5

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática22000099

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

8. Sendo x um número real positivo, qual é o valor mínimo de ?

a) d) 3

b) e)

c)

9. (OBM/2005-1ª- fase) Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formadospor dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é:a) 10 d) 22b) 13 e) 25c) 18

10. (OBM/2004-1ª- fase) Esmeralda escreveu (corretamente!) todos os números de 1 a 999, um atrás do outro:12345678910111213… 997998999. Quantas vezes aparece o agrupamento “21”, nesta ordem?a) 11 d) 41b) 21 e) 51c) 31

11. (OBM/2004-1ª- fase) Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1kg, umpeso de 3kg e um peso de 10kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem)n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele podecolocar pesos nos dois pratos?a) 7 d) 13b) 10 e) 14c) 12

12. (OBM/2004-1ª- fase) Qual é o menor inteiro positivo n para o qual qualquer subconjunto de n elementos de{1, 2, 3,…, 20} contém dois números cuja diferença é 8?a) 2 d) 13b) 8 e) 15c) 12

13. (OBM/2004-1ª- fase) Para quantos inteiros positivos m o número é um inteiro positivo?

a) um d) quatrob) dois e) mais que quatroc) três

14. (OBM/2004-1ª- fase) Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) o produto de todos os inteiros posi-tivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6. Se n! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, então n é igual aa) 13 d) 16b) 14 e) 17c) 15

15. (OBM/2005-1ª- fase) Entre treze reais não nulos há mais números positivos do que negativos. Dentre os

produtos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números dentre os treze números

dados são negativos?a) 2b) 7c) 8d) 9e) 10

13 122

78× =

2004

22m –

263

283 253

2 33

x

x

x3

2

1+ +

22000099

16. (OBM/2005-1ª- fase) Sendo a, b e c números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação àadição, é verdade que a × (b + c) = (a × b) + (a × c). A distributiva da adição em relação à multiplicação a + (b × c) = (a + b) × (a + c) não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente se,

a) a = b = c = ou a = 0

b) a = b = cc) A igualdade nunca ocorred) a + b + c = 1 ou a = 0e) a = b = c = 0

17. (OBM/2005-1ª- fase) O número é:

a) inteiro ímpar d) irracional positivob) inteiro par e) irracional negativoc) racional não inteiro

18. (OBM/2004-1ª- fase) A função real f, definida nos inteiros, satisfaz f(n) – (n + 1)f(2 – n) = (n + 3)2, para todo ninteiro. Quanto vale f(0)?a) –17 d) 2b) 0 e) 9c) 1

19. (OBM/2004-1ª- fase) A função f é dada pela tabela a seguir.

Por exemplo, f(2) = 1. Quanto vale f(f(...(f(f(4))...))?

a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

20. (OBM/2004-1ª- fase) Dois cubos têm faces pintadas de ocre ou magenta. O primeiro cubo tem cinco faces ocrese uma face magenta. Quando os dois cubos são lançados, a probabilidade de as faces viradas para cima dos doiscubos serem da mesma cor (sim, ocre e magenta são cores!) é 1/2. Quantas faces ocres tem o segundo cubo?a) 1 d) 4b) 2 e) 5c) 3

2 2 3 2 2 2 3 2

3 4 3 4+( ) ( ) + ( ) +( )– –

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SISTEMA ANGLO DE ENSINO – Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão deConvênios: Helena Serebrinic; Nível 3: Antonio Carlos ROSSO Junior, GLENN Albert Jacques Van Amson, Luís Antonio PONCE Alonso, ROBERTOMiguel El Jamal; Projeto Gráfico, Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda;

x 1 2 3 4 5

f(x) 4 1 3 5 2

2004 vezes14243