TIO_S5_S1_COLAS

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TOPICOS EN INVESTIGACION

OPERATIVA SEMANA 5 SESION 1

TEORIA DE COLAS

Programa Académico CPEL

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OBJETIVO DEL CURSO • Proporcionar una estructura básica para

la comprensión de los métodos cuantitativos (Investigación Operativa) que describa los conocimientos y las prácticas de su uso en el campo de la gestión empresarial.

Dr. (c ) Ricardo López Guevara

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TEORÍA DE COLAS

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas

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TEORÍA DE COLAS

Generalmente el administrador se encuentra en un dilema:

Asumir los costos derivados de prestar un buen servicio ?

Asumir los costos derivados de tener largas colas?

Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio

La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

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ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS

FUENTE DE ENTRADA

SISTEMA DE COLAS

MECANISMO DE SERVICIO COLA

CLIENTES CLIENTES

SERVIDOS

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TEORIA DE COLAS

Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO

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Aplicaciones de la teoría de colas Algunos ejemplos de colas: Facturación en aeropuertos. Cajeros automáticos. Restaurantes de comida rápida. Esperas en líneas de atención telefónica. Intersecciones de tráfico. Peajes. Aviones en espera para aterrizar. Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos. Estándares de calidad del servicio. Esperas de atención en emergencias de hospitales.

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FUENTE DE ENTRADA

Los clientes que entran al sistema se generan a través del tiempo en una fuente de entrada. Tamaño de la Población : Es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir el número total de clientes potenciales distintos (puede suponerse que el tamaño es infinito o finito). Forma de las llegadas: Corresponde a un Patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo.

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FUENTE DE ENTRADA- LLEGADA

La suposición normal es que los clientes se generan de acuerdo con un proceso POISSON .

Esto equivale a decir que el tiempo entre dos llegadas consecutivas tiene una distribución de probabilidad exponencial.

Cualquier otra suposición, como por ejemplo que un cliente desista de entrar a la cola por estar demasiado largo, debe especificarse en el modelo.

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CARACTERISTICAS DE ARRIBO

• DISTRIBUCION DE POISSON:

• P(x) = Probabilidad de x arribos • .x= número de arribos por unidad de tiempo • λ = TASA promedio de arribo o llegada .e = 2.71828

( ) ,...4,3,2,1,0_!

==−

xparax

exPxλλ

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Cola

Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que se pueden admitir.

Tamaño de la cola: Una cola puede ser finita o infinita . El estándar es infinita.

Disciplina de la cola: Se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio: ( FIFO, LIFO, Aleatoria, por prioridad ). El estándar es FIFO ( primero en entrar, primero en salir o ser servido).

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CARACTERISTICAS DE LLEGADA O ARRIBO: Tamaño de la Población:

Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o llegadas en un momento dado es una pequeña parte de las llegadas potenciales.

Para propósitos prácticos; poblaciones ilimitadas pueden considerarse: A los vehículos que se acercan a una caseta de peaje. Clientes en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME LLEGADA INFINITA. Población de llegada limitada o finita: cuando se tienen muy

pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio médico.

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ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS

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Mecanismo de Servicio El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio. Canal: Hace referencia al número de servidores que hay en el sistema.

Canales de Servicio

en serie

Canales de Servicio

en Paralelo

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Mecanismo de Servicio Tiempo de servicio : Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o deterministica (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).

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El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas: 1. La configuración del sistema de servicio. 2. El patrón de tiempos de servicio

CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO: Los sistemas para el servicio son clasificados en función del

numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio). Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.

Mecanismo de Servicio

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• Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

• Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Ej. Un restaurante de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase.

• Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera.


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SERVIDOR

COLA

SERVICIO FASE 2

COLA

LLEGADAS

SERVICIO FASE 1 SALIDAS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

UN SOLO CANAL, MULTIFASE

SALIDAS


LLEGADAS

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SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

LLEGADAS

COLA CANAL 1

CANAL 2

CANAL 3

SALIDAS


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SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

LLEGADAS

COLA FASE 2 CANAL 1

FASE 1 CANAL 2

FASE 2 CANAL 2

SALIDAS

FASE 1 CANAL 1

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• Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).

II. Si el tiempo de servicio es distribuido aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-µx para x ≥ 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson.

DISTRIBUCION DEL TIEMPO DE SERVICIO

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TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. – En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es

necesario. – En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata

personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

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COLAS MAS COMUNES

SITIO LLEGADAS A COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo Programas a ser corridos

Proceso de datos

Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga

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Medición del Rendimiento de las Colas • Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar

decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: 1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola 2. Longitud de cola promedio 3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema

(tiempo de espera + tiempo de servicio). 4. Número de clientes promedio en el sistema. 5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío 6. Factor de utilización del sistema 7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes

en el sistema.

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Notación de Kendall

• Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan.

Distribución de

Tiempo entre

Llegadas

Distribución de

Tiempos de Servicio

Número de

Servidores

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• Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.

• Una versión resumida de esta convención está basada en el siguiente formato:


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• Las distribuciones que utilizaremos son: • M: Distribución exponencial (markoviana) • D : Distribución degenerada (tiempos

constantes) • Ek: Distribución Erlang • G : Distribución general


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Modelo donde tanto los tiempos entre llegadas como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores.


Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

M M s

M G 1

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Variedad de Modelos de Colas

• Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema.

• Los 4 modelos de colas a estudiar asumen: o Arribos según la Distribución de Poisson o Disciplina PEPS(FIFO) o Una sola fase de servicio.

– Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales

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Variedad de Modelos de Colas – Modelo B: Multicanal – Modelo C: Tiempo de Servicio constante – Modelo D: Población Limitada

• Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos

que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1)

• Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estación.

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Modelo A: M/M/1 • Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.

3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su tasa promedio es conocida.

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Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S)

5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa.

6. La tasa de servicio es más rápida que la tasa de arribo.

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Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S)

• Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) • Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a

los clientes que arriban. • Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al

servidor que queda libre. • Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad

de Poisson y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente.

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Modelo B: (M/M/S)

• Los servicios se realizan de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma tasa.

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Modelo C: (M/D/1)

• Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)

• Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuidos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.

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Modelo D: Población limitada • Modelo D: Modelo de Población limitada.- • Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos

considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados.

• La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la tasa de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la tasa de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la tasa de llegada tiende a cero.

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RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

MODELO NOMBRE N

DE CANALES

N

DE FASES

PATRÓN DE

ARRIBO

PATRÓN DE SERVICIO

TAMAÑO DE LA

POBLACIÓN

DISCIPLINA DE COLA

A SIMPLE M/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

B MULTI- CANAL M/M/S

MULTI CANAL

UNA POISSON

EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTANTE

INFINITA PEPS

D POBLACION LIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA PEPS

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Terminología

• A menos que se establezca otra cosa, se utilizará la siguiente terminología estándar.

• Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. • Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. • N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t

>= 0). • Pn(t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el

sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero.

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Terminología

• s : Número de servidores en el sistema de colas. • λn: Tasa media de llegadas (número esperado de

llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.

• µn : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.

• Nota: µn representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus servicios.

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Terminología

nEn este caso s cuando n sµ µ= ≥

tan

tan 1

n

n

cuando es cons te para toda n

u cuando es cons te para toda n

λ λ

µ

→

→ ≥

1λ

Tiempo entre

Llegadas esperado

Tiempo entre

Llegadas esperado

1µ

RL


• Sea λ = 3 personas / hora. • 1 / λ = 1 hora / 3 = 20 minutos.

Ejemplo

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Terminología

Factor de utilización para la instalación de servicio (fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados). ρ

sλρµ

=También puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas

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FÓRMULAS PARA COLAS MODELO : SISTEMA SIMPLE O M/M/1

Número promedio de arribos por período de tiempo Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo número de unidades en el sistema

Número promedio de unidades (clientes) en el S

n

L

λµ===

= sistema

Factor de utilización del sistema

Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema (tiempo de espera tiempo de servicio)

1

S

S

S

L

W

W

λµ λ

λρµ

µ λ

=−

= =

= =+

=−

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( )

( )

( )

2

Número promedio de unidades en la cola

Tiempo promedio que una unidad espera en la cola

Probabilidad de que "n" clientes estén en el sistema

1 1

q S

q S

nn

n

L L

W W

P

P

λ ρµ µ λ

λ ρµ µ λ

λ λ ρµ µ

= = = ∗−

= = = ∗−

= =

= − ∗ = −

( )

1

Probabilidad de cero unidades en el sistema (la unidad de servicio está vacía)

1 1

Probabilidad de que más de "k" unidades estén en el sistema

n

o

o

n k

k

n k

P

P

P

P

ρ

λ ρµ

λµ

⟩

+

⟩

∗

= =

= − = −

= =

=

FÓRMULAS PARA COLAS MODELO : SISTEMA SIMPLE O M/M/1

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MODELO : SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

( ) ( ) µλ

λµµ

λλµ

λµ

λµµ

µλ

µλ

µλ

+−−

=

=

⟩

−

+

=

=====

∑−=

=

PoMM

L

L

M

MM

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistema elen unidades o personas de promedio número

para

! 1

! 1

1 sistema elen unidades o personas CEROexistan que de adProbabilid

canal cadaen servicio de promedio tasaarribo de promedio tasa

abiertos canales de número

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MODELO : SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

( ) ( )

λµ

ρµλ

λµλµµ

λµ

qSq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPoMM

W

W

=−=

=

=

−=−=

=

=

=+−−

=

==

1 servicio por esperando cola la en da tar

se unidad o persona una que promedio Tiempo

servicio de esperaen

cola, o línea laen unidades o personas de promedio Número

1 ! 1

)(atendida) servida siendoy cola la(en sistema, el en permanece unidad una que promedio Tiempo

2

RL


MODELO : SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1

( )

( )

2

Longitud promedio de la cola, 2

Tiempo promedio de espera en la cola, 2

Número promedio de clientes en el sistema,

Tiempo promedio de espera en el siste

q

q

S q

L

W

L L

λµ µ λ

λµ µ λ

λµ

=−

=−

= +

1ma, S qW Wµ

= +

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MODELO: POBLACIÓN LIMITADA NOTACIÓN:

P r o b a b i l i d a d de que una u n i d a d t e n g a que esperar en la cola Factor de eficiencia Número promedio de unidades siendo servidas

Número promedio de unidade

D

FHJ

=

=== s que no están en cola o en el sector de servicio

Número promedio de unidades esperando el servicio Número de canales de servicio Número de clientes potenciales Tiempo de serv

LMNT

==== icio promedio

Tiempo de servicio entre requerimientos de atención a la unidad Tiempo promedio que una unidad espera en la cola Factor de servicio

UWX

===

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MODELO : POBLACIÓN LIMITADA

( )( ) ( )

( )

HLJNFNXH

XNFJXF

FTLNUTLW

FNLUT

TX

++==

−=

−=

−+

=

−=+

=

............. Población la de Cuantía servido siendo promedio Número

1 entofuncionamien promedio Número

1 ........ espera de promedio Tiempo

1 ........ esperaen promedio Número

....................... Servicio deFactor

:FÓRMULAS

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Ejemplo 1

• M/M/1/∞ Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de 10 (diez) clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco.

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Ejemplo 1

33.237

7107

==−

=−

=λµ

λLs 63.1)710(10

7)(

22

=−

=−

=λµµ

λLq

33.031

71011

==−

=−

=λµ

Ws 233.0)710(10

7)(

=−

=−

=λµµ

λWq

Solución: µ=10 clientes/hora λ=7 clientes/hora S=1 ρ=λ/µ=7/10=0.7 Po=1-0.7=0.3

Según los datos obtenidos el sistema esta ocupado el 70% del tiempo, vacio el 30% en promedio hay 2.33 unidades en el sistema y 1.63 en la cola con un tiempo en el sistema de 1/3 hora = 20 minutos y un tiempo en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.

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Ejemplo 2 • Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora

a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un trabajador que gana S/. 5 hora y que tarda como media 5 min. en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller S/. 10 Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del trabajador, pagado con S/.4 /hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min.

• Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades.

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Ejemplo 2 • Tenemos dos opciones:

– Sin ayudante: 1/µ1 = 5 min = 1/12 h – Con ayudante: 1/µ2 = 4 min = 1/15 h

• En ambos casos, λ = 10 clientes/h • Opción 1 (sin ayudante):

mecánicos5

12101

1210

1;

1210

1

111 =

−=

−==

ρρρ L

Por tanto, perdemos 5x(10 S/. h) = 50 S/. h

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• Opción 2 (con ayudante):

mecánicos2

15101

1510

1;

1510

1

112 =

−=

−==

ρρρ L

Por tanto, perdemos 2x(S/.10/ h) = S/.20/ h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos S/.4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son S/.24/ h

En la opción 1 perdemos S/.50 /h y en la opción 2 perdemos S/.24 /h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2,

Ejemplo 2

RL

NOTAS

• L = número esperado de clientes en el sistema, incluye a quienes están en el servicio (el símbolo L proviene de longitud).

• Lq = número esperado de cola, que excluye a los clientes que están en el servicio.

• W = tiempo de espera esperado en el sistema (incluye el tiempo de servicio) para un cliente individual (el símbolo W proviene de tiempo de espera)

• Wq = tiempo de espera esperado en la cola (excluye el tiempo de servicio) para un cliente individual.


RL

NOTAS • La única diferencia entre W y Wq es que W incluye el tiempo esperado de • servicio y Wq no. Así 1/μ es el símbolo de tiempo esperado de servicio, • W = Wq + 1/ μ, donde • μ = tasa media de servicio. • Quizá la fórmula más importante en la teoría de las colas proporciona una • relación directa entre L y W. Esta fórmula es L = λ W, donde • λ = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas. • La fórmula anterior (L = λ W), también se aplica a la relación entre Lq y Wq. Por • lo tanto, otra versión de esta fórmula es: Lq = λ Wq • Al combinar las relaciones anteriores también se obtiene la siguiente relación • directa entre L y Lq, L = λ W = λ (Wq + 1/ μ) • = Lq + λ /μ


RL

NOTAS • Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de • llegadas y de salidas son: • M = Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo • que es igual, distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de • servicio) • D = Tiempo constante (determinístico) • Ek = Distribución Erlang o gamma de tiempo (o bien, la suma de distribuciones • exponenciales independientes) • GI = Distribución general del tiempo entre llegadas • G = Distribución general del tiempo de servicio • Entre la notación de disciplinas de cola están: • PLPS = Primero en llegar, primero en ser servido • ULPS = Último en llegar, primero en ser servido • SEOA = Servicio de orden aleatorio • DG = Disciplina en general (es decir, cualquier tipo de disciplina)


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EJERCICIO • Ejemplo 1 • A un cajero automático sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. • Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los

tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

• 1.- ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? Se considera que un vehículo que está ocupado en el cajero automático, no está esperando en la cola.

• 2.- Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo de servicio?

• 3.- En promedio, ¿cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? • 4.- ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío?)


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EJERCICIO • Para responder la interrogante anterior es necesario plantear el siguiente modelo de

probabilidad para el sistema de colas con un servidor: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n

= 0, 1, 2, …) • Si ρ = λ / μ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado de colas con un servidor se

reduce a: Pn = ρn P0. • Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + ρ + ρ2 + …) = 1 • Suponiendo que ρ < 1, la serie geométrica tiene la suma finita (1/(1- ρ)), y entonces P0 = 1-

ρ, siendo que ρ < 1. • La fórmula general de Pn es entonces la de la siguiente distribución geométrica: Pn = (1 – ρ) ρn, n = 1, 2, … (ρ <1)


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NOTAS


TIO_S5_S1_COLAS

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