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Teste de hipóteses

Tiago M. Magalhães

XLVII Programa de Verão - IME-USP

São Paulo, 23 de janeiro de 2018

Tiago M. Magalhães (IME-USP) Teste de hipóteses 23 de janeiro de 2018 1 / 43

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses

Hipótese estatística

É uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatísticaÉ uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quantoa natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses

H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa

Teste de hipótesesÉ uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses H0 : hipótese de nulidadeH1 : hipótese alternativa

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseado nosdados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erroErro do tipo I (α).

Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.

Teste de hipóteses

Tipos de erroErro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H0 quando H0 éverdadeira.

Teste de hipóteses

Erro do tipo II (β).

Probabilidade de aceitarmos H0 quando H0 é falsa.

Teste de hipóteses

DecisãoRejeitar H0 Aceitar H0

H0 verdade Erro do tipo I Decisão corretaH0 falsa Decisão correta Erro do tipo II

Teste de hipóteses

DecisãoRejeitar H0 Aceitar H0

H0 verdade Erro do tipo I Decisão corretaH0 falsa Decisão correta Erro do tipo II

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada

ao teste (normal, t, F, χ2).3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-

pótese alternativa e no nível de significância.4 Calcular a estatística do teste

(Z = X̄−µ

σ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitar H0, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associadaao teste (normal, t, F, χ2).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste(

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses1 Enunciar as hipóteses H0 e H1.2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada

ao teste (normal, t, F, χ2).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H0, baseados na hi-pótese alternativa e no nível de significância.

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Teste de hipóteses

pótese alternativa e no nível de significância.

Z = X̄−µσ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Teste de hipóteses

(Z = X̄−µ

σ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Teste de hipóteses

(Z = X̄−µ

σ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Teste de hipóteses

(Z = X̄−µ

σ/√

n ; t = X̄−µS/√

n ; F = S2max

Roteiro

2 Valor-p

Valor-p

Definição

O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.

Valor-p

DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.

Valor-p

DefiniçãoO valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatísticade teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, soba hipótese nula.

Valor-p

Seja S uma estatística do teste qualquer e s o valor obtido com a amostra,o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥ s|H0) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤ s|H0) para testes unilaterais à esquerda.

2×min {P(S ≤ s|H0), P(S ≥ s|H0)} para testes bilaterais.

Valor-p

Interpretação

Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.

Valor-p

InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.

Valor-p

InterpretaçãoUm valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor daestatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim àrejeição da hipótese nula.

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses para média µ

1o caso.

A variância populacional é conhecida.

H0 : µ = µ0

(a) H1 : µ 6= µ0 (bilateral)(b) H1 : µ > µ0 (unilateral à direita)(c) H1 : µ < µ0 (unilateral à esquerda)

2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.

1o caso. A variância populacional é conhecida.

H0 : µ = µ0

Figura 1: Região crítica para H1 (a), bilateral

Figura 2: Região crítica para H1 (b), unilateral à direita

Figura 3: Região crítica para H1 (c), unilateral à esquerda

4. Calcular a estatística do teste:

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:

(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.

(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .

Zc = X̄ − µ0σ/√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc < Zα/2.(b) aceitaremos H0 se Zc < Zα/2.

(c) aceitaremos H0 se −Zα/2 < Zc .

Zc = X̄ − µ0σ/√

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal.

Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm.

Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrãode 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

2o caso.

A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:

tc = X̄ − µ0S/√

A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade. Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

2o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤ 30. Neste caso, aestatística do teste é dada por:

tc = X̄ − µ0S/√

A distribuição associada é a t-Student com n− 1 graus de liberdade.

Dessaforma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

tc = X̄ − µ0S/√

Teste de hipóteses para a proporção

H0 : p = p0

(a) H1 : p 6= p0 (bilateral)(b) H1 : p > p0 (unilateral à direita)(c) H1 : p < p0 (unilateral à esquerda)

2 Fixar α, com distribuição associada normal padrão.3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

H0 : p = p0

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

H0 : p = p0

Zc = f − p0√p0(1−p0)

5. Conclusão:

Zc = f − p0√p0(1−p0)

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia.

Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas.

A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricanteé legítima?

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1o caso.

As variâncias populacionais são conhecidas.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(a) H1 : µ1 − µ2 6= δ (bilateral)(b) H1 : µ1 − µ2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : µ1 − µ2 < δ (unilateral à esquerda)

1o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

H0 : µ1 − µ2 = δ

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

5. Conclusão:

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Zc = (X̄1 − X̄2)− δ√σ2

+ σ22

Exercício

Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para oseguinte resultado amostral:

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

Exercício

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

Exercício

Amostra 1: n1 = 60; X̄1 = 5, 71; σ21 = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X̄2 = 4, 12; σ22 = 28.

2o caso.

As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.

H0 : µ1 − µ2 = δ

2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com n1 + n2 − 2 grausde liberdade.

2o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais en1 + n2 ≤ 30.

H0 : µ1 − µ2 = δ

3. Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3, mas com adistribuição t.

tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√

5. Conclusão:

(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.

(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.

(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δSp√

3o caso.

As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.

H0 : µ1 − µ2 = δ

2 Fixar α, com distribuição associada t-Student com graus de liberdadedados por

(S21/n1 + S2

2/n2)2

(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2

2/n2)2/(n2 + 1)− 2.

3o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, desiguais en1 + n2 ≤ 30.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(S21/n1 + S2

2/n2)2

(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2

2/n2)2/(n2 + 1)− 2.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(S21/n1 + S2

2/n2)2

(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2

2/n2)2/(n2 + 1)− 2.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(S21/n1 + S2

2/n2)2

(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2

2/n2)2/(n2 + 1)− 2.

H0 : µ1 − µ2 = δ

(S21/n1 + S2

2/n2)2

(S21/n1)2/(n1 + 1) + (S2

2/n2)2/(n2 + 1)− 2.

tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2

5. Conclusão:

(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.

(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2

5. Conclusão:(a) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc < tα/2.(b) aceitaremos H0 se tc < tα/2.

(c) aceitaremos H0 se −tα/2 < tc .

tc = (X̄1 − X̄2)− δ√S2

Teste de hipóteses para a diferença entre as proporções

H0 : p1 − p2 = δ

(a) H1 : p1 − p2 6= δ (bilateral)(b) H1 : p1 − p2 > δ (unilateral à direita)(c) H1 : p1 − p2 < δ (unilateral à esquerda)

H0 : p1 − p2 = δ

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

5. Conclusão:

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Zc = (f1 − f2)− δ√f1(1−f1)

n1+ f2(1−f2)

Roteiro

2 Valor-p

Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Tabelas de contingência

São tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas oumais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.

Tabelas de contingênciaSão tabelas utilizadas para registrar observações independentes de duas oumais variáveis aleatórias, normalmente qualitativas.

Exemplo 1Número de alunos nos cursos de Enfermagem e Estatística por sexo.

Tabela 1: Distribuição dos alunos por sexo e curso escolhido.

CursoSexo

TotalMasculino Feminino

Enfermagem 15 85 100Estatística 90 10 100

Total 105 95 200

CursoSexo

Total 105 95 200

CursoSexo

Total 105 95 200

Exemplo 2Número de alunos aprovados e reprovados por três professores.

Tabela 2: Distribuição dos aprovados por professores.

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Aprovado 50 55 60 165Reprovado 10 10 15 35

Total 60 65 75 200

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Total 60 65 75 200

SituaçãoProfessor

TotalA B C

Total 60 65 75 200

Situação 1O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar a existênciade associação (dependência) entre duas variáveis qualitativas

1 H0 : Existe independência (não existe associação)H1 : Não existe independência (existe associação)

2 Fixar α, com distribuição qui-quadrado com l − 1 e c − 1 graus deliberdade, em que l é o número de linhas e c é o número de colunasda tabela de contingência.

3 Região crítica:

Figura 4: Região crítica para o teste χ2.

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

em que Oij e Eij são, respectivamente, as frequências observadas eesperadas na tabela de contingência e

Eij = total da linha i × total da coluna jtotal geral .

5. Conclusão: aceitaremos H0 se χ2c < χ2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

5. Conclusão:

aceitaremos H0 se χ2c < χ2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

χ2c =

n∑i=1

m∑j=1

(Oij − Eij)2

[α;(l−1)(c−1)].

Situação 2O teste do qui-quadrado é utilizado quando queremos verificar se a distri-buição de duas ou mais variáveis aleatórias são iguais, isto é, homogêneas.

As hipóteses neste teste são: H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade

Os passos seguintes são exatamente os mesmos do teste para independência.

As hipóteses neste teste são:

H0 : Existe homogeneidadeH1 : Não existe homogeneidade

Exercício 1

Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.

Exercício 2Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.

Exercício 1Para os dados da Tabela 1, verificar ao nível de significância de 5%, aexistência de associação entre as variáveis sexo e curso escolhido.

Exercício 2

Para os dados da Tabela 2, testar a um nível de 5%, a hipótese de que asproporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais.

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Sala 136-B

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