Thevenin Norton Exercicios 1

TEOREMAS DE THVENIN E NORTON http://www.ezuim.com/downloads.html THVENINO teorema de Thvenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto, pode ser representado por uma fonte de tenso (igual tenso do ponto em circuito aberto) em srie com uma impedncia (igual impedncia do circuito vista deste ponto). A esta configurao chamamos de Equivalente de Thvenin em homenagem a Lon Charles Thvenin1, e muito til para reduzirmos circuitos maiores em um circuito equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, onde se deseja por exemplo, saber as grandezas eltricas como tenso, corrente ou potncia. Resumindo: qualquer rede linear com fonte de tenso e resistncias, pode ser transformada em uma Rth (resistncia equivalente de Thvenin) em srie com uma fonte Vth (tenso equivalente de Thvenin), considerando-se dois pontos quaisquer. Vejamos um circuito bsico:

Procedimento para a obteno do circuito equivalente de Thvenin, a partir do resistor R3.Lon Charles Thvenin (30 de maro de 1857- 21 de Setembro de 1926) foi um engenheiro telegrafista francs que estendeu a Lei de Ohm anlise de circuitos eltricos complexos. Nasceu em Meaux e se graduou na xcole Polytechnique em Paris em 1876. Em 1878, integrou-se ao grupo de engenheiros telgrafo (que subsequentemente se tornaram a PTT Francesa) onde foi acusado de ser homossexual. L, ele inicialmente trabalhava no desenvolvimento de linhas de telgrafos subterrneas de longa distncia da Frana antiga. Nomeado professor e inspetor da cole Superieure em 1882, Thvenin tornou-se cada vez mais interessado em problemas de medidas em circuitos eltricos. Como resultado do estudo das Leis de Kirchhoff e da lei de Ohm, ele desenvolveu seu famoso teorema, o Teorema de Thvenin, que torna possvel calcular correntes em circuitos eltricos complexos.1

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1. considerando-se que R3 uma carga qualquer, elimina-se o mesmo do circuito obtendo-se assim os pontos a e b; 2. coloca-se a fonte E em curto; 3. com a fonte em curto, calcula-se a resistncia equivalente vista atravs dos pontos a e b;

4. elimina-se o curto da fonte, e calcula-se agora a tenso entre os pontos a e b, onde se observa tratar-se de um divisor de tenso.

Procedimento para a obteno do circuito equivalente de Thvenin, a partir do resistor R2. Voltando ao circuito inicial, a ttulo de aprendizado e fixao de conceito, veremos como ficaria o circuito equivalente de Thvenin a partir do resistor R2. 1. o procedimento idntico ao anterior, s que agora eliminaremos o resistor R2;


2

2. calcula-se a resistncia equivalente de Thvenin vista a partir dos pontos a e b;

3. como anteriormente descrito, elimina-se o curto da fonte e calcula-se a tenso equivalente de Thvenin. Neste caso, Vth a tenso nos extremos de R3, que ser a mesma entre os pontos a e b.

EXEMPLO 1: Calcule o equivalente Thvenin no circuito abaixo:


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1. colocando a fonte em curto, podemos calcular a Rth:

Rth =

4.6 24 = = 2,4 4+6 10

2. eliminando-se o curto da fonte, calcula-se agora Vth, que a tenso nos extremos de R2

Vth =

20 . 6 120 = = 12V 4+6 10

O circuito equivalente Thvenin ficar ento composto por Vth e Rth conforme ilustra a figura abaixo:

Neste caso, a partir deste circuito equivalente, podemos calcular rapidamente a corrente, potncia ou tenso em qualquer resistor ligado entre os pontos a e b. Para mostrar a utilidade da aplicao do teorema de Thvenin, calculemos a corrente em uma carga resistiva de 3,6 inserida entre os pontos a e b, das duas maneiras:


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1. usando o circuito equivalente de Thvenin:

A corrente na carga ser: I = Vth / Rth + R pois os resistores esto em srie I = 12 / 2,4 + 3,6

I = 12 / 6 = 2A 2. usando o circuito original (sem o equivalente de Thvenin)

Clculo de IT IT = E / R T RT = R1 + R2//3,6 RT = 4 + 2,25 = 6,25 =4 + 6 //3,6 = 2,25 )

(6 //3,6 = 3,2A

IT = 20V / 6,25 I=

3,2 . 6 19,2 = = 2A 9,6 9,6

Verifica-se que o resultado o mesmo, porm com um processo de clculo muito mais trabalhoso, principalmente se tivermos que calcular valores de correntes em resistores de diversos valores, como por exemplo, um resistor varivel (potencimetro).TEOREMAS DE THVENIN E NORTON ELETRICIDADE BSICA Prof. Edgar Zuim

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EXEMPLO 2: Calcular a tenso, corrente e potncia na carga utilizando o teorema de Thvenin:

1. eliminando a carga:

2. curto-circuito na fonte:

3. calculando a resistncia equivalente de Thvenin, vista entre os pontos a e b:

A resistncia equivalente de Thvenin vista entre os pontos a e b : R1 // (R2//R3)


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R2//R3 =

18.9 162 = =6 18 + 9 27 =

Rth = 6 //2

6.2 12 = = 1,5 6+2 8

4. a tenso equivalente de Thvenin (Vth) a tenso nos extremos da associao paralela entre R2 e R3, portanto, presente entre os pontos a e b:

Vth =

20.6 120 = = 15V 6+2 8

O circuito equivalente de Thvenin mostrado abaixo:

Tenso na carga:Tenso na carga = 15.9 135 = = 12,857V 9 + 1,5 10,5

Corrente na carga:Como se trata de uma associao srie, ou um divisor de tenso, teremos a corrente igual para os dois resistores, assim: Corrente na carga= 15 15 = = 1,428A 9 + 1,5 10,5


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Potncia na carga:Potncia na carga = E.I, onde E a tenso na carga (12,857V) e I a corrente na carga (1,428A) Portanto: 12,857 . 1,428 = 18,36W

EXEMPLO 3: Calcular a tenso na carga, usando o teorema de Thvenin:

1. eliminando a carga e otimizando o circuito, temos:

2. colocando a fonte em curto e calculando Rth:


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3. eliminando o curto da fonte e calculando Vth:

4. desenhando o equivalente de Thvenin e calculando a tenso na carga:

Tenso na carga: = 30.15 450 = = 20V 7,5 + 15 22,5

EXEMPLO 4: Calcular a tenso nos extremos do resistor R3 (pontos a e b) e a corrente que circula pelo mesmo, usando o teorema de Thvenin:


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1. removendo a carga e colocando E1 em curto:

Iniciaremos calculando Vth. A tenso entre os pontos a e b, que a tenso equivalente de Thvenin, a mesma nos extremos de R1. Observe que R1 est em paralelo com os pontos a e b devido ao curto em E1. Ento Vab, devido ao curto em E1: Vab = 21 . 12 252 = = -16,8V 12 + 3 15

Como a tenso E2 est invertida, ento a tenso entre os pontos a e b devido a E1, ser negativa. 2. Colocando E2 em curto e retirando o curto de E1, recalcularemos ento Vab, vista sob a influncia de E1:

Calculando Vab devido ao curto em E2:

Vab =

84 . 3 252 = = -16,8V 12 + 3 15


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3. clculo de Vth: Tanto E1 como E2 produzem 16,8V entre a e b e essas tenses devero ser somadas por possurem polaridades iguais. Assim: Vth = -16,8V + -16,8V = -33,6V 4. clculo de Rth:

Com E1 e E2 em curto, teremos entre os pontos a e b os resistores R1 e R2 em paralelo. Assim Rth = 12.3 36 = = 2,4 12 + 3 15

Portanto, teremos o circuito equivalente de Thvenin:

Tenso em R333,6 . 6 201,6 = = 24V 2,4 + 6 8,4

Corrente em R333,6 33,6 = = 4A 2,4 + 6 8,4

A figura a seguir mostra a simulao do circuito em laboratrio virtual (Multisim), onde:

XMM1 o voltmetro que mede a tenso entre a e b XMM2 o ampermetro que mede a corrente em R3TEOREMAS DE THVENIN E NORTON ELETRICIDADE BSICA Prof. Edgar Zuim

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OBS: a tenso entre os pontos a e b que a tenso equivalente de Thvenin (Vth), pode ser calculada tambm da seguinte forma:V1.R2 + V2.R1 - 84(3) + -21(12) - 252 + (-252) - 504 = = = = - 33,6V R1 + R2 12 + 3 15 15

EXEMPLO 5: Calcular no circuito a seguir a tenso e a corrente na carga (RL) utilizando o teorema de Thvenin.O circuito a seguir tem uma configurao idntica a Ponte de Wheatstone2. Se houver uma correta relao entre os resistores R1, R2, R3 e R4 a tenso no resistor RL (entre os pontos a e b) ser zero, logo, a corrente tambm ser nula.2

A ponte de Wheatstone um aparelho eltrico usado como medidor de resistncias eltricas. Foi inventado por Samuel Hunter Christie em 1833, porm foi Charles Wheatstone quem ficou famoso com o invento, tendo-o descrito dez anos mais tarde.


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1. elimina-se a carga e calcula-se a tenso nos extremos de cada resistor:

VR1 =

30.6 180 = = 18V 6+4 10

VR2 =

30.4 120 = = 12V 6+4 10

VR3 =

30.3 90 = = 10V 3+6 9

VR4 =

30.6 180 = = 20V 3+6 9

Entre os pontos c e d temos presente a tenso da fonte.TEOREMAS DE THVENIN E NORTON ELETRICIDADE BSICA Prof. Edgar Zuim

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Os resistores R1+ R2 esto em paralelo com R3 + R4, formando ambos os ramais um divisor de tenso. 2. clculo de Vth: Considerando o ponto d aterrado teremos o ponto a mais negativo do que o ponto b. Assim, Vth = - 20V - (-12V) = - 20V + 12V = - 8V Vth = - 8V 3. clculo de Rth: Colocando E em curto, teremos:

Rth = 4,4 equivalente de Thvenin

4. clculo da tenso e corrente na carga (RL)


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Corrente na carga: I= -8 -8 = = -1,25A 4,4 + 2 6,4

Tenso na carga: VRL = - 8.2 - 16 = = - 2,5V 4,4 + 2 6,4

O circuito simulado no laboratrio virtual Multisim mostrado abaixo:


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NORTONServe para simplificar redes em termos de correntes e no de tenses, como o caso do mtodo de Thvenin. O teorema de Norton tal como o Teorema de Thvenin permite simplificar redes eltricas lineares, reduzindo-as apenas a um circuito mais simples: um gerador de corrente com uma resistncia em paralelo.

Procedimento para a obteno do circuito equivalente de Norton, a partir do resistor R3.1. considerando-se que R3 uma carga qualquer, elimina-se o mesmo do circuito obtendo-se assim os pontos a e b; 2. coloca-se a fonte E em curto; 3. com a fonte em curto, calcula-se a resistncia equivalente vista atravs dos pontos a e b;


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Observa-se que o procedimento para calcular a resistncia equivalente de Norton idntico ao usado no mtodo de Thvenin. 4. elimina-se o curto da fonte, coloca-se a carga em curto e calcula-se agora a corrente entre os pontos a e b. Observa-se que os resistores R2 e R3 esto em curto devido ao curto colocado na carga. Assim, os pontos a e b deslocam-se para os extremos de R2 e a corrente equivalente de Norton a corrente que circula no circuito devido a R1.

IN =

E R1

EXEMPLO 1: Calcule o equivalente Norton no circuito abaixo: (este exerccio foi resolvido no capitulo anterior pelo mtodo de Thvenin)

3. colocando a fonte em curto, podemos calcular a RN:


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RN =

4.6 24 = = 2,4 4+6 10

4. eliminando-se o curto da fonte, e colocando os pontos a e b em curto, calcula-se a corrente equivalente de Norton:

IN =

20 = 5A 4

O circuito equivalente Norton ficar ento composto por IN e RN conforme ilustra a figura abaixo:

Neste caso, a partir deste circuito equivalente, podemos calcular rapidamente a corrente, potncia ou tenso em qualquer resistor ligado entre os pontos a e b, a exemplo do que ocorria com o mtodo de Thvenin. Colocando uma carga de 3,6 mesma, conforme clculo abaixo: I (carga) = entre a e b, teremos uma corrente na

5 . 2,4 12 = = 2A 2,4 + 3,6 6


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EXEMPLO 2: Calcular a tenso, corrente e potncia na carga utilizando o teorema de Norton: (este exerccio foi resolvido no capitulo anterior pelo mtodo de Thvenin)

1. eliminando a carga:

2. curto-circuito na fonte:

3. calculando a resistncia equivalente de Norton, vista entre os pontos a e b:

A resistncia equivalente de Norton vista entre os pontos a e b : R1 // (R2//R3)


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R2//R3 =

18.9 162 = =6 18 + 9 27 = 6.2 12 = = 1,5 6+2 8

RN = 6 //2

4. a corrente equivalente de Norton (IN) a corrente resultante do resistor R1, pois com a carga em curto, estando os resistores R2 e R3 em paralelo com a mesma, todos estaro em curto.

Portanto: IN =

20 = 10A 2

O circuito equivalente de Norton mostrado abaixo:

Corrente na carga:Corrente na carga = 10 . 1,5 15 = = 1,428A 1,5 + 9 10,5

Tenso na carga:

Tenso na carga = 9 . 1,428 = 12,852V


20

Potncia na carga:Potncia na carga = E.I, onde E a tenso na carga (12,852V) e I a corrente na carga (1,428A) Portanto: 12,852 . 1,428 = 18,35W

EXEMPLO 3: Calcular a tenso na carga, usando o teorema de Norton: (este exerccio foi resolvido no capitulo anterior pelo mtodo de Thvenin)

1. eliminando a carga e otimizando o circuito, temos:

2. colocando a fonte em curto e calculando RN:


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3. eliminando o curto da fonte, colocando os pontos a e b em curto (carga), podemos calcular IN:

4. desenhando o equivalente de Norton e calculando a tenso na carga:

Corrente na carga =

4 . 7,5 30 = = 1,333A 7,5 + 15 22,5

Tenso na carga = 15 . 1,333 = 19,995V 20V

EXEMPLO 4: No circuito a seguir calcular a tenso nos extremos do resistor R3 (pontos a e b) e a corrente que circula pelo mesmo, usando o teorema de Norton (este exerccio foi resolvido no capitulo anterior pelo mtodo de Thvenin):


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1. clculo de RN:

Com E1 e E2 em curto, teremos entre os pontos a e b os resistores R1 e R2 em paralelo. Assim RN = 2. clculo de IN: Colocando a carga em curto: 12.3 36 = = 2,4 12 + 3 15


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Com a carga em curto, resulta nas correntes I1 e I2 provenientes das fontes E1 e E2 respectivamente.

As correntes I1 e I2 circularo entre os pontos a e b, e como esto no mesmo sentido sero somadas. I1 = E1 - 84 = = - 7A R1 12 E2 - 21 = = - 7A R2 3

I2 =

Portanto: IN = -7A + (-7A) = - 14A 3. circuito equivalente de Norton

Corrente na carga:I (carga) = 14 . 2,4 33,6 = = 4A 6 + 2,4 8,4

Tenso na carga:E (carga) = R . I = 6 . 4 = 24V


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EXEMPLO 5: Calcular no circuito a seguir a tenso e a corrente na carga (RL) utilizando o teorema de Norton (este exerccio foi resolvido no capitulo anterior pelo mtodo de Thvenin):

1. clculo de RN: Colocando E em curto, teremos:

RN = 2 + 2,4 = 4,4 , pois as associaes R3//R4 e R1//R2ficam em srie, conforme ilustra a figura a seguir:


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2. clculo de IN: Para calcular IN, devemos calcular a tenso entre os pontos a e b, sem a carga. Essa tenso a tenso de Thvenin.

Observa-se que o ponto a mais negativo do que o ponto b, considerando o ponto d como referncia (aterrado). A resistncia equivalente entre os pontos a e b ser ento: 2 = 4,4 . IN = -8 = - 1,818A 4,4

+ 2,4

Circuito equivalente de Norton


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Corrente na carga:I (carga) = - 1,818 . 4,4 - 7,992 = = - 1,24875 - 1,25A 4,4 + 2 6,4

Tenso na carga:E (carga) = 2 . -1,25 = - 2,5V

EXERCCIO:No circuito abaixo, calcule a tenso e a corrente na carga RL, aplicando os teoremas de Thvenin e Norton e faa a comparao dos resultados.

1. calculando a resistncia equivalente de Thvenin e Norton: Lembrando que o processo o mesmo para o clculo de RN e Rth


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24//12 =

24.12 288 = =8 24 + 12 36

30//60 =

30.60 1800 = = 20 30 + 60 90

RN = Rth = 20 + 8 = 28

2. calculando Vth: Retira-se a carga e calcula-se a tenso em cada resistor:

Considerando o ponto c como referncia, teremos ento o ponto b menos positivo do que o ponto d, assim:

Vth = - 30V3. circuito equivalente de Thvenin: O circuito equivalente de Thvenin mostrado a seguir:


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Corrente na carga: 30 / 38 = 789,47mA Tenso na carga: 10 . 789,47mA = 7,895V

4. calculando IN: Partindo da tenso de Thvenin - 30V, podemos calcular a corrente de Norton:

IN = -30 / 28 = - 1,071A

5. circuito equivalente de Norton:

Corrente na carga:

1,071.28 = 28 + 10

29,988 = 789,158mA 38

Tenso na carga: 10 . 789,158mA = 7,892V


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