teste1.2004
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8/18/2019 teste1.2004 http://slidepdf.com/reader/full/teste12004 1/1 Primeira Prova de Sele¸c˜ ao XIV Olimp´ ıada De Matem´ atica do Cone Sul 06 de mar¸co de 2004 PROBLEMA 1 ´ E poss´ ıvel, para algum inteiro positivo n, escrever os n´ umeros n, n 2 e n 3 utilizando apenas uma vez cada um dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? PROBLEMA 2 No quadril´ atero convexo ABCD com lados AD e BC n˜ ao paralelos, sejam M e P sobre os lados AB e CD, respectivamente, tais que MA MB = PD PC e seja Q um ponto qualquer sobre o lado AD. A paralela a MP por Q corta as paralelas a BC por A e D nos pontos X e Y , respectivamente. Prove que MX , PY e BC s˜ ao concorrentes. PROBLEMA 3 Encontre todas as ternas de n´ umeros reais (x,y,z ) tais que 2x y − 1 + 2 y √ z − 1 + 2 z √ x − 1 ≥ xy + yz + zx. PROBLEMA 4 Sejam m e n inteiros positivos maiores que 1. Considere o arranjo retangular m × n de pontos no plano. Exatamente k desses pontos s˜ ao coloridos de vermelho, de forma que nenhum triˆ angulo retˆ angulo com os dois catetos paralelos aos lados do arranjo retangular possui todos os 3 v´ ertices pintados de vermelho. Determine o maior valor poss´ ıvel para k. 1
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8/18/2019 teste1.2004
http://slidepdf.com/reader/full/teste12004 1/1
Primeira Prova de Selecao
XIV Olimpıada De Matematica do Cone Sul
06 de marco de 2004
PROBLEMA 1 ´ E possıvel, para algum inteiro positivo n, escrever os n´ umeros
n, n2 e n3 utilizando apenas uma vez cada um dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9?
PROBLEMA 2 No quadril´ atero convexo ABCD com lados AD e BC n˜ ao
paralelos, sejam M e P sobre os lados AB e CD, respectivamente, tais que
MAMB
= PDPC
e seja Q um ponto qualquer sobre o lado AD. A paralela a MP por Q corta
as paralelas a BC por A e D nos pontos X e Y , respectivamente. Prove que
MX , PY e BC s˜ ao concorrentes.
PROBLEMA 3 Encontre todas as ternas de n´ umeros reais (x,y,z ) tais
que
2x y − 1 + 2y
√ z − 1 + 2z
√ x− 1 ≥ xy + yz + zx.
PROBLEMA 4 Sejam m e n inteiros positivos maiores que 1. Considere o arranjo retangular m× n de pontos no plano. Exatamente k desses pontos
s˜ ao coloridos de vermelho, de forma que nenhum triˆ angulo ret angulo com
os dois catetos paralelos aos lados do arranjo retangular possui todos os 3vertices pintados de vermelho. Determine o maior valor possıvel para k.
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