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Teste Qui-Quadrado Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2012

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Teste Qui-Quadrado

Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2012

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Três tipos de testes Teste de aderência: quando desejamos verificar se uma amostra comporta-se de acordo com uma distribuição específica (normal, uniforme, etc.) Teste de homogeneidade: quando desejamos verificar se a distribuição de uma variável categória é a mesma em diferentes populações. Teste de independência entre variáveis: quando desejamos verificar se duas variáveis categóricas são independentes.

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Teste de Aderência

(segundo a distribuição teórica)

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Teste de Aderência H0: Os dados comportam-se de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade H1: Os dados não se comportam de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade

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Exemplo 1: Teste de Aderência

Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram:

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Exemplo 1: Teste de Aderência

H0: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana (distribuição uniforme)

H1: Pelo menos um dos dias tem número diferente dos demais

Seja pi o número de acidetnes no dia i, sendo i =1,2,3,4,5,6,7

H0: pi = 1/7 para todo dia i=1,2,3,4,5,6,7

H1: pi 1/7 em pelo menos um dia

Total de acidentes na semana = 140

Logo, sob H0 esperamos 20 acidentes por dia

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Exemplo 1: Teste de Aderência

20,27

20

2035

20

2020

20

2030

20

2015

20

2010

20

2010

20

2020

222

22227

1

22

i i

ii

E

EO

Estatística qui-quadrado

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Exemplo 1: Teste de Aderência

Valor calculado = 27,2 Valor crítico = INV.QUI(0,05;6) = 12,59 Valor P = DIST.QUI(27,2;6) = 0,00013 Rejeitamos H0 ao nível de significância de 5% e concluímos que o número de acidents não é o mesmo em todos os dias da semana.

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Teste de Homogeneidade

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Teste de Homogeneidade

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A tabela a seguir mostra os resultados de uma avaliação de satisfação com a compra de um novo modelo de automóvel de luxo.

Teste a hipótese de que o novo modelo está agradando igualmente os homens e as mulheres.

H0: Homens e mulheres estão igualmente satisfeitos

H1: Homens e mulheres não estão igualmente satisfeitos

Avaliação

Consumidores Muito Pouco Não satisfeito

Homens 30 20 15

Mulheres 25 5 5

Exemplo 2: Teste de Homogeneidade

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Totais marginais:

Frequências esperadas sob a hipótese de independência (H0)

Avaliação

Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Total

Homens 30 20 15 65

Mulheres 25 5 5 35

Total 55 25 20 100

65 x 55 /100 65 x 20 /100 65 x 25 /100

35 x 20 /100 35 x 25 /100 35 x 55 /100

Exemplo 2: Teste de Homogeneidade

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Cálculo da estatística qui-quadrado

Avaliação

Consumidores Muito Pouco Não satisfeito

Homens 0.925 0.865 0.308

Mulheres 1.718 1.607 0.571

Avaliação

Consumidores Muito Pouco Não satisfeito

Homens 35.75 16.25 13

Mulheres 19.25 8.75 7

Avaliação

Consumidores Muito Pouco Não satisfeito

Homens 30 20 15

Mulheres 25 5 5

Frequências observadas Oij

Frequências estimadas Eij

2

1

3

1

22 99,5

i j ij

ijij

E

EO

Exemplo 2: Teste de Homogeneidade

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Conclusão do teste

9915,505,022

Estatística teste = 5,99401 Valor crítico = INV.QUI(0,05;2) = Valor P = DIST.QUI(5,99401;2) = 0,0499 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%

Exemplo 2: Teste de Homogeneidade

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Exemplo 3: Teste de Homogeneidade

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Exemplo 3: Teste de Homogeneidade Frequências observadas Oij

Frequências estimadas Eij

2

1

5

1

22 186,32

i j ij

ijij

E

EO

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Exemplo 3: Teste de Homogeneidade

4877,905,024

Estatística teste = 32,186 2 linhas e 5 colunas, logo, (2-1)x(5—1) = 4 graus de libedade Valor crítico = INV.QUI(0,05;2) = Valor P = DIST.QUI(32,186;2) 0 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%

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Teste de Independência

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Teste de Independência

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Exemplo 4: Teste de Independência

Investigando a “fidelidade” de consumidores de um

produto, obteve-se uma amostra de 200 homens e 200

mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de

fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os ddos

fornecem evidência de possíveis diferenças de grau de

fidelidade entre os sexos?

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Exemplo 4: Teste de Independência Ho: pij = pi x pj

H1: pij pi x pj

Frequências observadas

Frequências esperadas

220 x 200 /400 180 x 200 /400

220 x 200 /400 180 x 200 /400

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Exemplo 4: Teste de Independência Cálculo da estatística Qui-Quadrado:

Número de graus de liberdade = (2-1)x(2-1) = 1

Estatística Qui-Quadrado

Valor crítico =INV.QUI(0.05;1) = 3,84, logo rejeitamos H0

2

1

5

1

22 04040,4

i j ij

ijij

E

EO

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Exemplo 5: Teste de Independência Na tabela a seguir são apresentadas as reações dos

eleitores a um projeto de um novo imposto sobre

propriedade, de acordo com a filiação partidária. A partir

destes dados, construa uma tabela das frequências

esperadas baseadas na premissa de que não há

relação entre filiação partidária e reação ao projeto do

novo imposto.

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Exemplo 5: Teste de Independência Tabela de frequências esperadas sob a premissa de

ausência de relação entre filiação partidiária e reação ao

projeto.

n

nnn

jiji

Cálculo da estatística qui-quadrado

13,55

30

3040

88

8812023

1

23

1

22

i j ij

ijij

E

EO

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Exemplo 5: Teste de Independência Graus de liberdade = (3 - 1) (3 – 1) = 4

Valor crítico =INV.QUI(0.05;4) = 9,49

Valor P = DIST.QUI(55.13;4) = 3, 05 E-11

Logo, rejeitamos a hipótese nula e concluímos de que

há relação entre filiação partidária e reação ao projeto

do novo imposto.