Teste 04

Professora: Rosa Canelas 2008-2009 1

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A

TESTE Nº 4 Grupo I

.

1. Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de um a seis. Sabe-se que a soma

dos números saídos foi quatro.

Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número, em ambos os dados?

(A) 12

(B) 13

(C) 14

(D) 15

2. Se escolhermos ao acaso dois termos do desenvolvimento de ( )10x 1− , a probabilidade do

produto dos seus coeficientes ser positivo é:

(A) 94 (B)

21 (C)

125 (D)

115

3. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

xi 0 1

( )ip X x= 200899

2009100

CC 2009

100

aC

Indique o valor de a

(A) 200899C (B) 2008

100C (C) 200999C (D) 2009

100C

• As seis questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 7 pontos, cada resposta errada vale 0 (zero) pontos, cada pergunta não respondida,

ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


4. Seja h a função, de domínio IR, definida por:

( )( )xln e

h x2

= (ln designa logaritmo da base e)

Qual das seguintes expressões pode também definir h?

(A) x (B) x2

(C) x4

(D) x2

5. O valor do n

24lim 1n

−

é:

(A) 0 (B) 4e− (C) 1 (D) 4e

6. Na figura seguinte está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio IR e

contínua em { }IR \ 2− .

As rectas de equações x 2= − e y 1= são as únicas assímptotas de gráfico de g.

Seja ( )nx uma sucessão tal que ( )nnlim g x .→+∞

= +∞

Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão ( )nx ?

(A) 22n

− + (B) 12n

− − (C) 11n

+ (D) 11n

−

Grupo II

1. O Daniel, responsável por um programa musical, dispõe de dez opções de três géneros

musicais: cinco de música ligeira, três de rock e duas de música clássica.

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver

que efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.


1.1. Utilizando as dez opções, sem repetir, determine o número de alinhamentos diferentes

que o responsável do programa pode fazer se:

1.1.1. Não tiver qualquer restrição;

1.1.2. Começar o programa com rock e acabar com música clássica.

1.2. Escolhido, ao acaso, um dos alinhamentos, indique a probabilidade de não ter as três

opções de rock consecutivas.

1.3. No final, o Daniel, ao acaso, escolhe simultaneamente, quatro das dez opções para ouvir

em casa. Calcule a probabilidade de nas quatro opções haver, exactamente duas de

música rock.

2. Considere as funções reais de variável real assim definidas:

( )

+−=

3x1xlogxf 2 ( ) x34xg −−=

2.1. Determine o domínio de f.

2.2. Diga, justificando se a função f pode ser definida por ( ) ( ) ( )2 2h x log x-1 log x 3= − + .

2.3. Partindo do gráfico da função ( ) x3xj = descreva as transformações que permitem obter o

gráfico de g.

2.4. Caracterize a função inversa de g.

3. Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação

sanguínea, t horas após a sua ingestão, é dada por: t 2tC(t) 10(e e )− −= −

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a

arredondamentos, conserve três casas decimais.

3.1. Qual é a concentração, aproximada, do analgésico uma hora e trinta minutos após a sua

ingestão? Apresente o resultado arredondado às centésimas.

3.2. Sabe-se que o analgésico tem o efeito desejado quando a sua concentração é superior a

0,5 miligramas por litro. Considere que o analgésico foi ingerido às nove horas.

Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica, indique uma aproximação do intervalo

em que ele produz o efeito desejado.

Apresente os resultados em horas e minutos (com os minutos arredondados às unidades).

4. Prove que { }1 a

a

log x log x, x IR , a IR \ 1+ += − ∀ ∈ ∀ ∈

FIM



COTAÇÕES

Grupo I ............................................................................................. 42 Cada resposta certa .............................................................................. 7

Cada resposta errada, não respondida ou anulada............................... 0

Grupo II ............................................................................................................158

1. ......................................................................................................... 50 1.1.1. ................................................................ 10

1.1.2. ................................................................ 10

1.2. ........................................................................ 15

1.3. ........................................................................ 15

2. ......................................................................................................... 58 2.1. ........................................................................ 13

2.2. ........................................................................ 15

2.3. ........................................................................ 15

2.4. ........................................................................ 15

3. ......................................................................................................... 30 3.1. ........................................................................ 10

3.2. ........................................................................ 20

4. ......................................................................................................... 20

TOTAL ............................................................................................................ 200



TESTE Nº 4 – Proposta de correcção

TESTE Nº 4 Grupo I

.

1. (B) 13

Lançaram-se dois dados, ambos com as faces numeradas de um a seis. Sabe-se que a

soma dos números saídos foi quatro. A soma é 4 quando sai ( ) ( ) ( )1,3 ; 2,2 e 3,1

Qual é a probabilidade de ter saído o mesmo número, em ambos os dados é por isso 1p3

=

2. (D) 115 . Se escolhermos ao acaso dois termos do desenvolvimento de ( )10x 1− , a

probabilidade do produto dos seus coeficientes ser positivo é dado por

6 5 5 4 50 5P11 10 110 11× + ×

= = =×

, porque o desenvolvimento tem 11 termos sendo 6 positivos e 5

negativos e o produto só é positivo se os dois termos escolhidos forem positivos ou se forem

ambos negativos.

3. (B) 2008

100C Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

xi 0 1

( )ip X x= 200899

2009100

CC 2009

100

aC

O valor de a resulta de 2008 2008

2008 200999 9999 1002009 2009 2009

100 100 100

C C aa 1 1 C a CC C C

++ = ⇔ = ⇔ + = traduzir

uma propriedade do Triângulo de Pascal, "a soma de dois elementos consecutivos de uma

linha é igual ao termo da linha seguinte situado entre os dois elementos considerados". Então 2008

100a C=

4. (C) x4

Seja h a função, de domínio IR, definida por:


( )( )xln e

h x2

= (ln designa logaritmo da base e)

A expressão pode também definir h resulta de ( )( )

x2x xln e lneln e x2h x

2 2 2 4

= = = =

5. (C) 1. O valor do nn n n

24 2 2 2 2lim 1 lim 1 1 lim 1 1

n n n nn

− = − + = − × + =

n n2 2 02 2lim 1 lim 1 e e e 1

n n− − × + = × = =

6. (B) 12n

− − . Na figura seguinte está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio

IR e contínua em { }IR \ 2− .

As rectas de equações x 2= − e y 1= são as únicas assímptotas de gráfico de g.

Seja ( )nx uma sucessão tal que ( )nnlim g x .→+∞

= +∞

Procuramos o termo geral da sucessão ( )nx que tenda para +∞ ou para 2 por valores

inferiores a 2− logo terá de ser n1x 2n

= − −

Grupo II

1. O Daniel, responsável por um programa musical, dispõe de dez opções de três géneros

musicais: cinco de música ligeira, três de rock e duas de música clássica.

1.1. Utilizando as dez opções, sem repetir, determinemos o número de alinhamentos

diferentes que o responsável do programa pode fazer.

1.1.1. Se não tiver qualquer restrição o número de alinhamentos é 10! 3628800=


1.1.2. Se começar o programa com rock e acabar com música clássica, vamos começar

por escolher uma das 3 músicas de rock e uma das duas músicas clássicas o que

faremos de 3 2 6× = maneiras diferentes e em seguida dispomos as restantes 8

músicas tendo em conta a ordem de 8! Maneiras diferentes. Finalmente o número de

alinhamentos diferentes que o responsável do programa pode fazer se começar o

programa com rock e acabar com música clássica será de 6 8! 241920× =

1.2. Escolhido, ao acaso, um dos alinhamentos, calculemos a probabilidade de não ter as três

opções de rock consecutivas, utilizando a probabilidade do acontecimento contrário "ter

as três opções de rock consecutivas"

Assim considerando que há 8 posições para colocar as 3 músicas rock juntas e essas 3

músicas podem alternar entre si de 3! maneiras e as restantes 7 músicas podem,

também, permutar entre si de 7 ! maneiras pelo que 8 3! 7! 14P 110! 15× ×

= − = .

1.3. No final, o Daniel, ao acaso, escolhe simultaneamente, quatro das dez opções para ouvir

em casa. Calculemos a probabilidade de nas quatro opções haver, exactamente duas de

música rock:

O número de casos possíveis é 104C 210= pois das 10 músicas o Daniel vai escolher 4

para levar (não interessa a ordem).

O número de casos favoráveis é 3 72 2C C 63× = pois das 3 músicas de rock o Daniel deve

escolher duas e das restantes 7 músicas escolher as outras duas de maneira a levar as 4

músicas que quer.

A probabilidade pedida é 63 3P210 10

= = .

2. Considere as funções reais de variável real assim definidas:

( )

+−=

3x1xlogxf 2 ( ) x34xg −−=

2.1. O domínio de f é ] [ ] [x 1D x IR : 0 x 3 0 , 3 1,x 3− = ∈ > ∧ + ≠ = −∞ − ∪ +∞ +

2.2. { } ] [hD x IR : x 1 0 x 3 0 1,= ∈ − > ∧ + > = +∞ . A função f não pode ser definida por

( ) ( ) ( )2 2h x log x-1 log x 3= − + porque apesar de ( ) ( ) ] [f x h x , x 1,= ∀ ∈ +∞ não têm o mesmo

domínio.

2.3. Partindo do gráfico da função ( ) x3xj = vamos descrever as transformações que permitem

obter o gráfico de g.

O gráfico de j transforma-se, por uma simetria em relação a Oy, no de xy 3−= e este por

uma simetria em relação a Ox transforma-se no gráfico de xy 3−= − . Fazendo finalmente


uma translação deste último gráfico associada ao vector de coordenadas ( )0,4 obtemos o

gráfico de g.

2.4. Caracterizemos a função inversa de g:

• gD IR=

• ( ) ( )x3 3

xy 4 3 3 4 y x log 4 y x log 4 y−−= − ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ = − −

• ( ) ( )13g x log 4 x− = − −

• ] [1gD ,4− = −∞

A caracterização de 1g−

] [( ) ( )

1

13

g : IR ,4

x g x log 4 x

−

−

→ −∞

= − −

3. Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na circulação

sanguínea, t horas após a sua ingestão, é dada por: t 2tC(t) 10(e e )− −= −

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios, proceder a

arredondamentos, conserve três casas decimais.

3.1. Sabendo que um hora e tinta minutos é 1,5 h temos: ( ) ( )1,5 3C 1,5 10 e e 1,73mg/ l− −= − =

A concentração é, aproximadamente, 1,73 miligramas por litro.

3.2. Sabe-se que o analgésico tem o efeito desejado quando a sua concentração é superior a

0,5 miligramas por litro. Consideremos que o analgésico foi ingerido às nove horas.

Teremos de ver durante quanto tempo a concentração é superior a 0,5 miligramas por litro

ou seja resolver a inequação: t 2t10(e e ) 0,5− −− >

Assim, o medicamento começa a fazer efeito 0,05x60 = 3 minutos depois de ser tomado e

deixa de fazer efeito 2,94h depois de ser tomado ou seja 2h e 53 minutos.

Como foi tomado às 9h00, vai começar a fazer efeito às 9h e 3m e deixa de fazer efeito às

11h e 56m.


4. Provemos que { }1 a

a

log x log x, x IR , a IR \ 1+ += − ∀ ∈ ∀ ∈

Podemos demonstrar este resultado de diferentes formas:

Demonstração 1: Por aplicação da definição de logaritmo:

yy

1 a aa

1log x y x x a y log x y log xa

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

Como queríamos demonstrar.

Demonstração 2: Podemos alterar a base do logaritmo transformando a expressão inicial em:

a a a1 a1

aaa

log x log x log xlog x log x1 1log aloga

−= = = = −−

Como queríamos demonstrar.



Critérios de Correcção do teste nº 4

Grupo I ............................................................................................................. 42 Cada resposta certa .......................................................................... 7

Cada resposta errada, não respondida ou anulada........................... 0

1 2 3 4 5 6

B D B C C B

Grupo II ............................................................................................................158 1. …………………………………………………………………………… 50 1.1.1. 10! 3628800=

1.1.2. 6 8! 241920× =

10 10

1.2. 8 3! 7! 14P 110! 15× ×

= − = 15

1.3.

3 72 210

4

C C 63 3P210 10C

×= = =

15

2. …………………………………………………………………………… 58

2.1. ] [ ] [x 1D x IR : 0 x 3 0 , 3 1,x 3− = ∈ > ∧ + ≠ = −∞ − ∪ +∞ +

13

2.2.

• Cálculo de { } ] [hD x IR : x 1 0 x 3 0 1,= ∈ − > ∧ + > = +∞ • Justificação de que as funções são diferentes por terem

domínios diferentes

15 5 10

2.3.

• uma simetria em relação a Oy

• uma simetria em relação a Ox

• uma translação associada ao vector de coordenadas

( )0,4

15 5 5 5

2.4.

• ( )3xy 4 3 x log 4 y−= − ⇔ = − −

• Domínio de 1g−

15 9

3


• ] [

( ) ( )

1

13

g : ,4 IR

x g x log 4 x

−

−

−∞ →

= − −

3 3. …………………………………………………………………………… 30

3.1. • um hora e tinta minutos é 1,5 h • ( ) ( )1,5 3C 1,5 10 e e 1,73mg/ l− −= − =

10 5 5

3.2. 20 • t 2t10(e e ) 0,5− −− >

• gráficos

5 5

• 0,05x60=3 minutos

• 2,94h = 2h e 53 minutos.

• começa a fazer efeito às 9h e 3m e deixa de fazer efeito

às 11h e 56m.

3 3 4

4. …………………………………………………………………………… 20 • 1

a

log x y=

• y

1a

1log x y xa

= ⇔ =

• y

y1x x aa

− = ⇔ =

• yax a y log x−= ⇔ − =

• a ay log x y log x− = ⇔ = −

5 5 3

5 2

Total …………………………………………………………………………… 200

Teste 04

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