TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA … · O problema de fluxo neste tipo de completação foi...

APLICAÇÃO DE ALGORITMOS GENÉTICOS PARA A OTIMIZAÇÃO DA

PRODUÇÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO CANHONEADOS

Patrícia dos Santos Matta

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS

EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________________ Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Beatriz de Souza Leite Pires de Lima, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Webe João Mansur, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Paulo Batista Gonçalves, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Andrea Ferreira Borges, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2007

ii

MATTA, PATRÍCIA DOS SANTOS

Aplicação de Algoritmos Genéticos

para a Otimização da Produção em Poços

de Petróleo Canhoneados [Rio de Janeiro] 2007

XIV, 175 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,

Engenharia Civil, 2007)

Tese - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Algoritmo Genético

2. Canhoneio

3. Otimização

4. Elementos Finitos

5. Fluxo em Meio Poroso

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

iii

A Minha linda e companheira filha, Maria

Alice pelo apoio e carinho.

iv

AGRADECIMENTOS

A Deus, por tudo.

Eu agradeço, primeiramente, ao Professor Breno Jacob por ter me aceitado como

aluna orientada, pelo amplo apoio e por proporcionar ambiente propício para o

desenvolvimento da Tese.

Ao engenheiro e coordenador Sérgio Murilo dos Santos Freitas pelas discussões

e ensinamentos sobre a teoria de Canhoneio, um dos alicerces centrais desta Tese e por

proporcionar o meu trabalho no projeto de Canhoneio.

Ao professor Carl Horst Albrecht pelo apoio com os métodos evolutivos.

Agradeço a todos os amigos que conviveram comigo no Laboratório de Métodos

Computacionais em Sistemas Offshore (LAMCSO) da COPPE/UFRJ, pelo clima de

companheirismo e respeito mútuo, requisitos importantes na criação de condições de

trabalho adequadas. Dentre todos, gostaria de ressaltar, em especial, a secretária Mônica

de Biase.

Aos membros da Banca, Beatriz de Souza Leite Pires de Lima, Webe João

Mansur, Paulo Batista Gonçalves e Andrea Ferreira Borges, por aceitarem o convite

para compô-la.

À PETROBRAS, pela bolsa de estudo.

Aos meus pais Jahir e Alice, por além de serem o que são, sempre apoiaram os

meus estudos e deram todo o apoio necessário nos momentos mais difíceis.

Gostaria de agradecer, em especial, ao Maurício Lamego pelo carinho, amplo

apoio e dedicação proporcionadas não só nos momentos felizes, mas, principalmente,

nas dificuldades enfrentadas no término desta Tese. Sua Tranqüilidade, incentivo e o

ambiente familiar proporcionados foram fundamentais. Além disso, contribuiu

decisivamente na revisão e correção desta Tese.

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

ALGORITMOS GENÉTICOS NA OTIMIZAÇÃO DA PRODUÇÃO EM

POÇOS DE PETRÓLEO CANHONEADOS


Junho/2007

Orientador: Breno Pinheiro Jacob

Programa: Engenharia Civil

Este trabalho apresenta o desenvolvimento e aplicação de uma ferramenta

baseada em algoritmos genéticos para a otimização da produção de petróleo em poços

canhoneados. O problema de fluxo neste tipo de completação foi otimizado através da

aplicação integrada do programa de otimização implementado neste trabalho com o

aplicativo de geração automática de modelos de poços canhoneados desenvolvido pela

Petrobras e com o programa comercial MSC.Marc. Na otimização, foram utilizadas as

diversas variáveis que compõem o problema de fluxo, que descrevem a geometria dos

poços e as propriedades dos materiais, e custo das operações de canhoneio em poços de

terra e de mar. Os resultados obtidos mostram a eficiência das ferramentas

computacionais empregadas no que se refere às soluções dos problemas de fluxo e de

otimização.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

GENETIC ALGORITHMS FOR THE OPTIMIZATION OF OIL PRODUCTION IN

PERFORATED WELL


June/2007

Advisor: Breno Pinheiro Jacob

Department: Civil Engineering

This work presents the development and implementation of a computational

tool, based in genetic algorithms, for the optimization of oil production in perforated

wells. The computational tool integrates the developed optimization program with a

commercial finite element code for the analysis of the flow problem. The optimization

process considers several variables that comprises the flow problem, including the

geometry of the well and the properties of the materials, and also the cost of the

operations. The results obtained demonstrate the efficiency of the computational tools

regarding the analysis of the flow problem and the optimization process.

vii

INDICE

1 Introdução _______________________________________________________ 1

1.1 Motivação e Objetivos _______________________________________________ 1

1.2 Histórico e Revisão Bibliográfica ______________________________________ 8

1.3 Organização do Texto_______________________________________________ 12

2 Aspectos teóricos de Canhoneio _____________________________________ 14

2.1 Introdução ________________________________________________________ 14

2.2 Classificação ______________________________________________________ 15

2.2.1 Overbalance____________________________________________________________15

2.2.2 Underbalance___________________________________________________________16

2.2.3 Extreme Overbalance (EOB)_______________________________________________16

2.3 Cargas Explosivas__________________________________________________ 17

2.4 Processo __________________________________________________________ 18

2.5 Eficiência de Canhoneio _____________________________________________ 21

2.5.1 Limpeza dos Orifícios ____________________________________________________21

2.5.2 Fatores Geométricos do Canhoneio__________________________________________21

2.5.3 Efeitos de Película (Skin effect) _____________________________________________25

2.5.4 Evidências Empíricas ____________________________________________________26

2.6 Características da Formação que afetam o desempenho do Canhoneio ______ 28

2.7 Segurança ________________________________________________________ 29

3 Fluxo em meio poroso _____________________________________________ 31

3.1 Introdução ________________________________________________________ 31

3.2 Conceitos Sobre os Fluidos___________________________________________ 31

3.2.1 Petróleo _______________________________________________________________31

3.2.2 Óleo e Gás Natural ______________________________________________________32

3.2.3 Propriedades Básicas dos Fluidos ___________________________________________32

3.2.4 Propriedades das Misturas Líquidas de Hidrocarbonetos _________________________34

3.2.5 Comportamento de Fases__________________________________________________36

3.2.6 Tipos de Reservatórios de Petróleo __________________________________________36

3.3 Conceitos Sobre as Rochas___________________________________________ 39

3.3.1 Porosidade _____________________________________________________________39

3.3.2 Saturação de Fluidos _____________________________________________________41

viii

3.3.3 Permeabilidade _________________________________________________________42

3.3.4 Mobilidade_____________________________________________________________44

3.3.5 Compressibilidade _______________________________________________________44

3.3.6 Rochas-Reservatórios ____________________________________________________46

3.4 Fluxo de Líquidos em Meios Porosos __________________________________ 47

3.4.1 Equação da Difusividade Hidráulica _________________________________________47

3.4.2 Equação da Continuidade _________________________________________________49

3.4.3 Equação de Darcy _______________________________________________________51

3.4.4 Equação de Estado_______________________________________________________56

3.4.5 Fluxo Radial ___________________________________________________________57

3.4.6 Fluxo Radial Permanente__________________________________________________60

3.4.7 Pressupostos de Modelagem _______________________________________________61

3.4.8 Produtividade de Poços em Regimes Estabilizados de Fluxo ______________________63

4 Estudos Paramétricos _____________________________________________ 65

4.1 Introdução ________________________________________________________ 65

4.2 Procedimento de Solução ____________________________________________ 65

4.2.1 Características do Modelo Numérico ________________________________________68

4.3 Gradação da malha_________________________________________________ 73

4.4 Parâmetros Relevantes; Índice de Produtividade ________________________ 74

4.5 Generalização dos Estudos de Refinamento da Malha ____________________ 75

4.5.1 Introdução _____________________________________________________________75

4.5.2 Características Físicas do Problema _________________________________________76

4.5.3 Características Geométricas________________________________________________77

4.5.4 Malhas Geradas _________________________________________________________78

4.5.5 Resultados _____________________________________________________________85

4.5.6 Validação do Modelo de Fluxo _____________________________________________87

4.6 Resultados dos Estudos Paramétricos__________________________________ 87

4.6.1 Modelo Padrão__________________________________________________________88

4.6.2 Anisotropia ____________________________________________________________91

4.6.3 Variação da Profundidade do Túnel (Lp) _____________________________________95

4.6.4 Permeabilidade do Dano da Formação _______________________________________99

4.6.5 Relação entre o raio externo do reservatório e o raio interno do poço_______________103

5 Conceitos de Otimização por ALgoritmos Genéticos ____________________ 115

5.1 Introdução _______________________________________________________ 115

5.2 Otimização_______________________________________________________ 118

ix

5.2.1 Otimização Analítica e Otimização Numérica ________________________________122

5.2.2 Métodos Aleatórios _____________________________________________________123

5.3 Método de Algoritmos Genéticos_____________________________________ 123

5.3.1 Definições Básicas______________________________________________________124

5.3.2 Estrutura dos Algoritmos Genéticos ________________________________________125

5.3.3 Aspectos Principais dos Algoritmos Genéticos ________________________________127

5.3.4 Vantagens dos Algoritmos Genéticos _______________________________________136

6 Implementação Computacional ____________________________________ 137

6.1 Introdução _______________________________________________________ 137

6.2 Parâmetros de Acompanhamento da Evolução _________________________ 140

6.3 Síntese e Otimização de Canhoneio___________________________________ 142

6.3.1 Variáveis livres ________________________________________________________142

6.3.2 Função Objetivo e Restrição ______________________________________________144

6.3.3 Algoritmo de Otimização ________________________________________________146

7 Aplicações – Casos Estudados _____________________________________ 147

7.1 Introdução _______________________________________________________ 147

7.1.1 Estudo de Caso n° 1_____________________________________________________148

7.1.2 Estudo de Caso n° 2_____________________________________________________152

7.1.3 Estudo de Caso n° 3_____________________________________________________156

7.1.4 Estudo de Caso n° 4_____________________________________________________161

8 Conclusões _____________________________________________________ 165

8.1 Introdução _______________________________________________________ 165

8.2 Conclusões dos Estudos Paramétricos ________________________________ 165

8.3 Conclusões sobre o comportamento dos algoritmos genéticos no canhoneio _ 167

8.4 Sugestões para Trabalhos Futuros ___________________________________ 169

8.5 Referências Bibliográficas __________________________________________ 170

x

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Esquema de uma sonda rotativa. Fonte: THOMAS [63]. _____________2

Figura 2 – Métodos de completação: a) poço aberto, b) revestimento (liner) rasgado e c) revestimento canhoneado. Fonte: [64].___________________________3

Figura 3 – Poço sendo canhoneado. Fonte: [65].______________________________6

Figura 4 – Poço sendo canhoneado. Fonte: [64].______________________________6

Figura 5 – Detonação da carga de um perfurador e a formação de jato. Fonte: [66]. ___________________________________________________________19

Figura 6 – Carga de um perfurador. Fonte: [66].____________________________19

Figura 7 – Geometria típica de um poço canhoneado. Fonte: [66].______________23

Figura 8 – Efeito da densidade do canhoneio e da profundidade do túnel no índice de produtividade. Fonte: [66].______________________________________24

Figura 9 – Efeito do diâmetro e da profundidade do túnel no índice de produtividade. Fonte: [66]. ______________________________________________24

Figura 10 – Efeito da anisotropia de permeabilidade no índice de produtividade dos poços. Fonte: [66].______________________________________29

Figura 11 – Reservatório de óleo com capa de gás. Modificado de ROSA [26]. _________________________________________________________________37

Figura 12 – Reservatório de gás. Modificado de ROSA [26].___________________38

Figura 13 – Seção transversal de uma amostra de rocha. Fonte: ROSA [26]._____41

Figura 14 – Rocha-reservatório contendo três fluidos: água, óleo e gás. Fonte: ROSA [26]. _____________________________________________________42

Figura 15 –Efeito da compactação natural sobre a porosidade. Fonte: ROSA [26]. ___________________________________________________________45

Figura 16 – Esquema do experimento de Henry Darcy sobre fluxo de água através de filtro de areia. Modificado [26]._________________________________52

Figura 17 – Superfícies equipotenciais no fluxo radial. Modificado [26]._________57

Figura 18 –Fluxo Radial. Modificado [26]. _________________________________60

Figura 19 – Desenho esquemático da geometria de um cubo elementar e suas cargas. Fonte: ROSA [26].___________________________________________63

xi

Figura 20 – Desenho esquemático dos elementos hexaédricos de 8 e 20 nós_______68

Figura 21 –Desenho esquemático. Fonte: [3]._______________________________70

Figura 22 –Desenho esquemático do túnel do canhoneio. Fonte: [3]. ____________71

Figura 23 – Perspectiva da região central do modelo. Fonte: [3]. _______________71

Figura 24 – Matriz de Refinamento._______________________________________73

Figura 25 – Refinamento da malha do túnel em um poço canhoneado.__________74

Figura 26 –Desenho esquemático das propriedades dos materiais.______________77

Figura 27 – PC_ER_4spf_r1gd41._________________________________________80









Figura 36 – PC_ER_4spf_r10gd41.________________________________________84

Figura 37 – Gráfico Vazão versus Número de Nós.__________________________86

Figura 38 – Gráfico da anisotropia vs razão de produtividade._________________93

Figura 39 - Mapa de pressão para a carga de 1 spf: (a) kz/kxy igual a 0,1 e (b) kz/kxy igual a 1. ____________________________________________________94

Figura 40 – Gráfico Razão de Índices de Produtividade versus comprimento do túnel (Lp).______________________________________________97

Figura 41 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_LP3_r6gd1, 1spf, Lp = 3”, vista isométrica. _______________________________________________________98

Figura 42 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_LP80_r6gd1, 1spf, Lp = 80”, vista isométrica. ___________________________________________________98

Figura 43 – Gráfico Razão de Índices de Produtividade versus Variação da Permeabilidade do Dano da Formação (kf)._______________________________101

xii

Figura 44 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_K25_r6gd1, 1spf, kf = 25, vista isométrica. ______________________________________________________102

Figura 45 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_K1000_r6gd1, 1spf, kf = 1000, vista isométrica._________________________________________________102

Figura 46 - Razão de Produtividade (PR) vs razão do raio do reservatório por raio do poço.______________________________________________________110

Figura 47 – Distribuição em espiral das cargas na parede do poço.____________116

Figura 48 – Classificação dos métodos de otimização. _______________________121

Figura 49 – Pseudocódigo básico de um Algoritmo Genético._________________126

Figura 50 – Exemplos de representação de um cromossomo de genes binários._____________________________________________________________132

Figura 51 – Exemplos de representação de Pontos de Cruzamento.____________132

Figura 52 – Esquema gráfico de ocorrência de Mutação._____________________133

Figura 53 – Opções para seleção do Método de Otimização e parâmetros_______138

Figura 54 – Gráfico de acompanhamento da evolução.______________________141

Figura 55 – Legenda.__________________________________________________141

Figura 56 – Relatório de acompanhamento._______________________________141

Figura 57 – Desenho esquemático do túnel.________________________________144

Figura 58 – Variáveis livres.____________________________________________146

Figura 59 – Parâmetros do Algoritmo Genético do Caso n° 1. ________________148

Figura 60 – Histórico do Melhor Indivíduo do Caso n° 1. ____________________149

Figura 61 – Convergência do Algoritmo Genético Caso n° 1. _________________150

Figura 62 – Figura representativa de 6 SPF com Lp de 65”.__________________151



Figura 65 – Convergência do Algoritmo Genético caso n°2. __________________155



xiii

Figura 68 – Dados de entrada dos parâmetros de síntese de otimização Caso n° 3. ________________________________________________________________158

Figura 69 – Convergência Algoritmo Genético caso n°3._____________________159

Figura 70 – Esquema de um poço canhoneado com as configurações do melhor indivíduo. _____________________________________________________160


Figura 72 – Desenho Esquemático de um Poço.____________________________162


Figura 74 – Dados de entrada dos parâmetros de síntese de otimização Caso n° 4_________________________________________________________________164

Figura 75 – Convergência Algoritmo Genético caso n°4._____________________164

xiv

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Características geométricas do modelo _____________________________72

Tabela 2 – Propriedades do reservatório _____________________________________77

Tabela 3 – Características do refinamento das malhas___________________________79

Tabela 4 – Parâmetros geométricos do modelo padrão __________________________88

Tabela 5 – Propriedades do reservatório _____________________________________90

Tabela 6 – Valores de pressão aplicados no modelo padrão ______________________90

Tabela 7 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de anisotropia em in3/s__________________________________________________________________92

Tabela 8 – Razão de Produtividade para diferentes valores de anisotropia ___________93

Tabela 9 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de profundidade do túnel (in) ___________________________________________________________95

Tabela 10 – Valores de razão de índices de produtividade variando com a penetração para as cargas estudadas_________________________________________96

Tabela 11 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de permeabilidade do dano da formação________________________________________99

Tabela 12 – Valores de razão de índices de produtividade variando com a permeabilidade do dano da formação para as cargas estudadas___________________100

Tabela 13 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução analítica______________________________________________________________104

Tabela 14 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução

analítica para malhas com razão (rwre ) acima de 200 _________________________105

Tabela 15 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução analítica para malhas ___________________________________________________105

Tabela 16 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução

analítica para malhas com razão (rwre ) 500_________________________________106

Tabela 17 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução analítica______________________________________________________________107

Tabela 18 – Efeito da razão entre o raio do reservatório e raio do poço sobre a vazão para diferentes densidades de carga ___________________________________108

xv

Tabela 19 – Efeito da razão entre o raio do reservatório e raio do poço sobre a razão PR para diferentes densidades de carga ________________________________109

Tabela 20 – Características do refinamento das malhas para 1spf_________________112






Tabela 26 – Exemplo de Roleta – “Rank” hipotético de indivíduos _______________131

Tabela 27 – Variáveis livres (variáveis de projeto)____________________________143

Tabela 28 – Dados Invariáveis ____________________________________________144

Tabela 29 – Valores de permeabilidade _____________________________________153

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação e Objetivos

A perfuração de um poço de petróleo é realizada através de uma sonda. A

sonda de perfuração é o conjunto de equipamentos e acessórios que possibilitam a

perfuração do poço. Uma sonda é formada por diversos sistemas que permitem o

fornecimento de energia, a sustentação de cargas, a rotação de brocas, o bombeamento

de líquidos, a segurança do poço e o monitoramento constante de diversas condições no

processo de perfuração, conforme ilustrado na Figura 1. Na perfuração rotativa, as

rochas são perfuradas pela ação da rotação e peso aplicado a uma broca existente na

extremidade de uma coluna de perfuração, a qual consiste basicamente de comandos

(tubos de paredes espessas) e tubos de perfuração (tubos de paredes finas). Os

fragmentos da rocha são removidos continuamente através da circulação de um fluido

de perfuração ou lama. O fluido é injetado por bombas para o interior da coluna de

perfuração através da cabeça de injeção, ou swivel, e retorna à superfície através do

espaço anular formado pelas paredes do poço e a coluna. Ao atingir determinada

profundidade, a coluna de perfuração é retirada do poço e uma coluna de revestimento

de aço, de diâmetro inferior ao da broca, é descida no poço. O espaço anular entre os

tubos do revestimento e as paredes do poço é cimentado com a finalidade de isolar as

rochas atravessadas, permitindo então o avanço da perfuração com segurança. Após a

operação de cimentação, a coluna de perfuração é novamente descida no poço, tendo na

sua extremidade uma nova broca de diâmetro menor do que a do revestimento para o

prosseguimento da perfuração. Do exposto, percebe-se que um poço é perfurado em

diversas fases, caracterizadas pelos diferentes diâmetros das brocas.

2

Figura 1 – Esquema de uma sonda rotativa. Fonte: THOMAS [63].

Ao terminar a perfuração de um poço, é necessário deixá-lo em condições

de operar, de forma segura e econômica, durante toda a sua vida produtiva. Ao conjunto

de operações destinadas a equipar o poço para produzir óleo ou gás (ou ainda injetar

fluidos nos reservatórios) denomina-se completação.

Ao completar o poço para a produção, é preciso revesti-lo com tubos de aço.

Coloca-se em torno dele uma camada de cimento, para impedir a penetração de fluidos

indesejáveis e o desmoronamento de suas paredes. A operação seguinte é o canhoneio:

um canhão especial desce pelo interior do revestimento e, acionado da superfície,

provoca perfurações no aço e no cimento, abrindo furos nas zonas portadoras de óleo ou

gás, permitindo o escoamento desses fluidos para o interior do poço. Outra tubulação,

3

de menor diâmetro (coluna de produção), é introduzida no poço para conduzir os fluidos

até a superfície. Instala-se na boca do poço um conjunto de válvulas conhecido como

"árvore-de-natal", para controlar a produção.

Quanto aos aspectos técnico e operacional, deve-se buscar otimizar a vazão

de produção (ou injeção) e tornar a completação a mais permanente possível, ou seja,

aquela que minimize a necessidade de intervenções futuras para a manutenção do poço

(as chamadas operações de workover).

Considerando que a completação tem reflexos em toda a vida produtiva do

poço e envolve altos custos, faz-se necessário um planejamento criterioso das operações

e uma análise econômica cuidadosa.

As reservas petrolíferas brasileiras ficam localizadas em áreas terrestres e

marítimas. As reservas marítimas ocorrem em lâminas d’água rasas e profundas. Disto

resultam diferenças importantes na perfuração e completação dos poços.

Quanto ao revestimento de produção, a completação pode ser a poço aberto,

com revestimento canhoneado ou rasgado e com revestimento canhoneado (Figura 2).

Figura 2 – Métodos de completação: a) poço aberto, b) revestimento

(liner) rasgado e c) revestimento canhoneado. Fonte: [64].

4

a) A poço aberto

Quando a perfuração atinge o topo da zona produtora, uma tubulação de

revestimento é descida no poço e cimentada no espaço anular. Em seguida, conclui-se a

perfuração até a profundidade final, e o poço é colocado em produção com a(s) zona(s)

produtora(s) totalmente aberta(s) (Figura 2a). Se houver necessidade, um revestimento

de produção, ou liner, poderá ser descido posteriormente. A completação a poço aberto

somente é utilizada em formações muito bem consolidadas, com pouco risco de

desmoronamentos. Suas principais vantagens são a maior área aberta ao fluxo e a

redução dos custos do revestimento e do canhoneio. Em reservatórios naturalmente

fraturados ela deve ser utilizada para evitar o dano à formação (parágrafo 2.5.3) causado

pelo cimento. A principal desvantagem da completação a poço aberto é a falta de

seletividade, que impede futuras correções quando há produção de fluidos indesejáveis,

como, por exemplo, excessiva produção de gás ou água nos poços de óleo.

b) Com liner rasgado ou canhoneado

O liner (revestimento) pode ser descido previamente rasgado, posicionando

os tubos rasgados em frente às zonas produtoras (Figura 2b), ou então cimentado e

posteriormente canhoneado nas zonas de interesse (Figura 2c).

As principais vantagens e desvantagens da completação com revestimento

rasgado são similares às do poço aberto. Podem ser acrescidas as vantagens de sustentar

as paredes do poço em frente à zona produtora e a desvantagem do custo adicional.

Embora em desuso nos poços convencionais, pode encontrar uma boa aplicação em

poços horizontais.

No caso de revestimento canhoneado, as vantagens e desvantagens são

similares às do revestimento canhoneado. Podem ser acrescidos as vantagens do menor

custo com revestimento e a desvantagem da mudança de diâmetros dentro do poço,

gerando dificuldades para passagem de equipamentos.

c) Com revestimento canhoneado

É o tipo de completação mais utilizado atualmente. O poço é perfurado até a

profundidade final e, em seguida, é descido o revestimento de produção até o fundo do

poço, sendo posteriormente cimentado o espaço anular entre os tubos de revestimento e

5

a parede do poço. Finalmente, o revestimento é canhoneado criando condições para

passagem do fluido para o interior do revestimento. Uma destas condições é a criação

de túneis, com o uso de cargas explosivas, que atravessam o revestimento e a

cimentação e formam túneis ligando a rocha-reservatório ao interior do revestimento.

Estes túneis são gerados através de uma operação denominada de canhoneio, que

produz uma série de perfurações ao longo do revestimento, com diâmetro e

profundidade dependentes das características do reservatório (Figura 2c).

Para comunicar o interior do poço com a formação produtora, perfura-se o

revestimento utilizando-se cargas explosivas, especialmente moldadas para esta

finalidade. A explosão dessas cargas gera jatos de alta energia que atravessam o

revestimento, o cimento e ainda podem penetrar até cerca de um metro na formação,

criando os canais de fluxo da formação para o poço (ou vice-versa).

As cargas moldadas são descidas no poço dentro dos canhões, que são

cilindros de aço com furos nos quais se alojam as cargas. Estando o canhão posicionado

em frente do intervalo desejado, um mecanismo de disparo é acionado para detonar as

cargas. Os canhões podem ser descidos dentro do revestimento, através de um cabo

(Figuras 3 e 4).

6

Figura 3 – Poço sendo canhoneado. Fonte: [65].

Figura 4 – Poço sendo canhoneado. Fonte: [64].

7

As principais vantagens da completação a poço revestido estão na

seletividade da produção (ou injeção de fluidos) em diversos intervalos de interesse e na

maior facilidade das operações de restauração ou estimulação. O diâmetro único do

revestimento em todo o poço também evita alguns problemas operacionais. A principal

desvantagem é o custo adicional do revestimento e do canhoneio, além da possibilidade

de dano à formação que a operação de cimentação pode causar.

A tecnologia do canhoneio tem evoluído muito nas últimas duas décadas,

com impactos comprovados na produtividade. A bibliografia especializada mostra

investimentos feitos, tanto em projeto de novos canhões e nos tipos de carga, como

também na área de modelagem física e numérica, voltada para subsidiar o

dimensionamento das operações de canhoneio. Tradicionalmente no Brasil e na

Petrobras, as atividades de canhoneio sempre ficaram condicionadas às opções

oferecidas pelas companhias prestadoras de serviços, e nunca se desenvolveu

conhecimento próprio.

Pouco ou quase nenhum investimento de pesquisa foi realizado na área de

canhoneio, particularmente no que diz respeito à adequação e otimização dos

canhoneios, levando-se em conta às características das rochas e dos fluidos existentes

nos reservatórios brasileiros. Dentro desse contexto, considera-se importante o

desenvolvimento de pesquisa voltado para a tecnologia de canhoneio. Modelagens

realizadas com simuladores das companhias prestadoras de serviços indicam ganhos

potenciais de até 40% nas situações em que os canhoneios mostram-se adequados aos

tipos de reservatórios e fluidos.

Este trabalho tem por objetivo desenvolver um conjunto de ferramentas

numéricas para representar e otimizar o problema de fluxo em poços canhoneados,

levando-se em consideração a complexa distribuição em espiral das cargas na parede do

poço, a adoção de uma forma não cilíndrica para os túneis, a anisotropia de

permeabilidade e a consideração dos danos da formação e do canhoneio. As ferramentas

numéricas aqui apresentadas visam a adequação do canhoneio às formações e aos

poços, através da otimização das variáveis que compõem o problema de fluxo em poços

canhoneados verticais, assim como a produção máxima dos poços com custos

operacionais baixos.

8

1.2 Histórico e Revisão Bibliográfica

Os primeiros trabalhos publicados que envolvem o estudo de fluxo em

poços canhoneados, também conhecidos como completados, datam da década de 40,

quando começaram a surgir as primeiras cargas moldadas. Companhias prestadoras de

serviço de petróleo como Schlumberger e Halliburton desenvolveram os primeiros

canhões a partir de cargas com fins de uso militar, durante a segunda guerra mundial, e

a partir de então, ocorreram progressões contínuas no sentido de melhorar o

desempenho destas cargas, produzindo assim a grande maioria dos trabalhos

encontrados hoje na literatura. Outras companhias de serviço e universidades, na sua

maioria americanas, também contribuíram muito para o desenvolvimento da tecnologia

de canhoneio.

Os primeiros trabalhos numéricos nesta área datam da década de 1960,

quando programas e computadores passaram a ser ferramentas disponíveis. HARRIS

(1966) [6], através do método de diferenças finitas, determinou a produtividade de

poços canhoneados, simplificando a geometria das perfurações para uma forma de

cunha. HONG (1975) [7], aprimorando o processo de HARRIS, obteve resultados para

cargas com diversos ângulos de fase, inclusive considerando a região de dano ao redor

do poço. KLOTZ (1974) [8], implementando o método de elementos finitos, avaliou a

produtividade das perfurações considerando um dano causado pelo canhoneio. LOCKE

(1981) [9], realizou estudos considerando a geometria tridimensional do canhoneio,

dano na formação e do canhoneio. TARIQ (1987) [10], por meio de um estudo

paramétrico numa geometria tridimensional, elaborou soluções semi-analíticas para o

fluxo em poços canhoneados. ANSAH (2002) [2], utilizando elementos finitos, realizou

estudos paramétricos envolvendo túneis com geometria complexa e reservatórios de

grandes dimensões.

A aplicação de algoritmo genético para a otimização do problema de fluxo

em poços canhoneados é algo novo. Apesar dos grandes avanços no sentido de se

otimizar a produção dos poços, até o momento não se tem nenhum registro da aplicação

9

de ferramentas matemáticas de otimização para este fim. Os desenvolvimentos feitos

foram no sentido de melhorar o desempenho do canhoneio, otimizando

operacionalmente parâmetros como profundidade de penetração da carga e diâmetro de

entrada no revestimento, e por fim, estudando técnicas que reduzam o dano da

compactação da rocha ao redor dos túneis, ou seja, uma otimização através da melhoria

de parâmetros operacionais de forma individualizada.

A seguir, são apresentados os resumos de alguns trabalhos publicados.

Muitos destes forneceram exemplos e modelos que podem ser vistos nas aplicações, e

portanto, contribuíram com informações relevantes para a qualidade desta dissertação.

Em 2006, FREITAS et al. [3] apresentaram um artigo com um estudo

paramétrico com três das principais variáveis do problema de fluxo em poços

canhoneados: profundidade do túnel, dano do canhoneio e anisotropia da

permeabilidade. Este trabalho foi realizado com a aplicação de programas comerciais

baseados em elementos finitos e mostrou a eficiência das ferramentas computacionais

empregadas e do modelo 3D concebido.

Em 2004, FREITAS et al. [1] publicaram um relatório sobre a aplicação de

elementos finitos para o estudo do fluxo em poços canhoneados. Esse trabalho mostrou

o desenvolvimento de um modelo 3D envolvendo as principais características que

compõem o problema. Nesse trabalho, foi desenvolvido um aplicativo para geração

automática do modelo de elementos finitos, através da customização do pré e pós-

processador PATRAN [19]. A solução do problema foi obtida com o programa

comercial MSC.Marc [20]. A eficiência deste desenvolvimento foi comprovada através

da comparação com outros trabalhos reconhecidamente importantes e de um amplo

estudo paramétrico.

Em 2002, ANSAH et al. [2] apresentaram um modelo numérico 3D para o

tratamento do problema de fluxo em poços canhoneados. Nesse trabalho, mostrou-se

que o fluxo deste tipo de completação é influenciado por uma complexa interação de

fatores como comprimento dos túneis, diâmetro de entrada no revestimento, densidade

do canhão, ângulo de fase entre as cargas, e danos dentro e ao redor dos túneis

provocados pelo canhoneio. O modelo numérico apresentado contemplou todos estes

fatores, produzindo resultados com alta precisão. O modelo de túnel foi cuidadosamente

10

estudado, confrontando o modelo numérico com resultados experimentais. Os

resultados do modelo 3D foram validados através de comparações com outros autores.

Por fim, foi realizado um amplo estudo paramétrico envolvendo as principais variáveis

do problema de fluxo.

Em 2002, FOLSE et al. [14] apresentaram um panorama da tecnologia atual

de canhoneio, discutindo aspectos como penetração, desempenho, equipamentos de

operação, canhões e testes de fluxo em laboratório. Este trabalho apresenta resultados

experimentais de penetração de carga e fluxo em diversas condições de pressão para

avaliação dos índices de produtividade. Os testes foram realizados com amostras dos

arenitos Berea e Castlegate.

Em 1998, BROOKS et al. [15] publicaram um artigo relatando a influência

do tamanho dos grãos no desempenho do canhoneio. Usualmente o comprimento dos

túneis é função da resistência ao cisalhamento da rocha. Neste trabalho, foi verificado

que estes parâmetros têm influência na resistência da rocha. Foi realizada uma grande

quantidade de testes em corpos-de-prova de concreto e de areia, abrangendo uma larga

faixa de tamanho de grãos. Este estudo mostrou uma grande variação nos resultados. O

artigo é concluído com a discussão de uma aplicação prática destes resultados e seus

efeitos nos poços.

Em 1998, DOGULU [13] publicou um artigo propondo um modelo

numérico para estimar a produção em poços canhoneados. Neste trabalho foram

estudados parâmetros como profundidade dos túneis, ângulo de fase e anisotropia da

permeabilidade. Também foi feito um estudo de refinamento, procurando definir

quando os modelos deveriam ser refinados na proximidade do poço.

Em 1996, BEHRMANN [16] publicou um artigo discutindo critérios de

canhoneio sub-balanceado visando a minimização do skin (parágrafo 2.5.3). Ele propõe

que, a partir de uma simples equação de arrasto de forças viscosas aplicadas a dados

experimentais, obtidos em um laboratório de fluxo, pode-se obter uma relação entre skin

e uma condição sub-balanceada. Esta equação é aplicada a poços em rochas

consolidadas, não arenosas, e suas variáveis são: porosidade, permeabilidade e diâmetro

do túnel perfurado. Estas equações são dependentes da viscosidade e da

compressibilidade do fluido. A dependência do diâmetro do túnel sugere que as cargas

11

big hole (BH) causam mais dano que as cargas deep penetration. Estas equações podem

ser usadas para otimizar a operação de canhoneio sub-balanceada, causando menor

dano.

Em 1991, PUCKNELL e BEHRMANN [12] fizeram uma investigação

sobre o dano provocado pelo canhoneio. Estes autores fizeram uma série de

experimentos em condições sub-balanceado com rochas provenientes de reservatórios e

afloramentos. Após o disparo das cargas, as rochas foram submetidas a exame de

tomografia e a porosímetro de mercúrio. Foi também investigada a permeabilidade na

direção radial, com intuito de se verificar o alcance e a redução do volume poroso. Este

trabalho mostrou os efeitos do dano na produção de óleo.

HOLLAND [33] dedicou-se ao estudo de processos naturais adaptáveis,

tendo inventado os algoritmos genéticos em meados da década de 60. Ele desenvolveu

os algoritmos genéticos em conjunto com seus alunos e colegas da Universidade de

Michigan nos anos 60 e 70, com o objetivo de estudar formalmente o fenômeno da

adaptação como ocorre na natureza e desenvolver modelos em que os mecanismos da

adaptação natural pudessem ser importados para os sistemas computacionais. Como

resultado do seu trabalho, Holland edita Adaptation in Natural and Artificial Systems

[33] e, em 1989, David Goldberg edita Genetic Algorithms in Search, Optimization and

Machine Learning [37], hoje considerados os livros mais importantes sobre algoritmos

genéticos.

12

1.3 Organização do Texto

Este trabalho está dividido em oito capítulos, os quais mostram os aspectos

teóricos, aplicações e conclusões.

O capítulo 2 apresenta um breve resumo sobre os aspectos teóricos do

Canhoneio.

A seguir, no capítulo 3, são abordadas as soluções matemáticas para os

casos em que os reservatórios são produzidos através de poços verticais. Apesar do

crescente uso dos poços horizontais no desenvolvimento de campos de petróleo, os

poços verticais ainda são maioria, porque muitos dos campos de petróleo atualmente em

produção foram desenvolvidos antes do advento dos poços horizontais. Assim, neste

capítulo, serão apresentados conceitos sobre as propriedades e o comportamento das

rochas e dos fluidos em um meio poroso.

O capítulo 4 apresenta um estudo paramétrico, que não se trata de um estudo

de otimização, mas da determinação de como algumas características do poço e

propriedades da rocha-reservatório afetam a produção.

No capítulo 5, além da conceituação fundamental inerente a qualquer

problema de otimização, é apresentado também um breve resumo sobre as técnicas de

otimização mais comumente utilizadas. Sendo a técnica dos algoritmos genéticos eleita

como a ferramenta de otimização para o problema proposto, seus conceitos e definições

fundamentais são apresentados em um item deste capítulo separadamente.

No capítulo 6, mencionam-se aspectos da Implementação Computacional.

No capítulo 7, serão mostrados os casos estudados a partir do

desenvolvimento e aplicação de ferramentas numéricas para a otimização do fluxo em

poços canhoneados. O programa de otimização é baseado em algoritmo genético

integrado a um pré-processador customizados e a um solver de elementos finitos.

13

O capítulo 8 contém as conclusões referentes à aplicabilidade das

ferramentas numéricas desenvolvidas, com comentários acerca da sua robustez e

precisão. Além disso, são colocadas sugestões para continuação deste trabalho.

14

2 ASPECTOS TEÓRICOS DE CANHONEIO

2.1 Introdução

Depois de finalizada a fase de perfuração de um poço, é necessário deixá-lo

em condições de operar, de forma segura e econômica, durante toda a sua vida

produtiva. O conjunto de operações destinadas a equipar o poço para produzir óleo ou

gás (ou ainda injetar fluidos nos reservatórios) chama-se completação.

Quanto aos aspectos técnico e operacional, deve-se buscar otimizar a vazão

de produção (ou de injeção) e tornar a completação a mais permanente possível, ou seja,

aquela que minimize a necessidade de intervenções futuras para a manutenção do poço

(as chamadas operações de workover).

Considerando que a completação tem reflexos em toda a vida produtiva do

poço e envolve altos custos, faz-se necessário um planejamento criterioso das operações

e uma análise econômica cuidadosa. Normalmente, um poço de petróleo é revestido

com um tubo metálico e cimentado, criando assim um obstáculo ao fluxo de fluido da

rocha-reservatório em direção ao poço. Sendo assim, é necessário criar condições para

permitir a percolação do fluido. Uma forma de se criar esta condição é através da

perfuração de túneis com o uso de cargas explosivas, que atravessam o revestimento e a

cimentação ligando a rocha-reservatório ao poço.

Estes túneis são gerados através de uma operação denominada de

canhoneio, que produz uma série de perfurações ao longo do revestimento, geralmente

distribuídas em forma de espirais, com características geométricas e físicas dependentes

das características do reservatório. Esta operação geralmente é caracterizada também

por deixar danos na rocha que envolve os túneis. Este dano é prejudicial ao fluxo, pois

cria regiões de baixa permeabilidade devido à redução do volume poroso, resultante da

energia dispensada pelos jatos das cargas durante a abertura dos túneis. Este aspecto tem

grande influência na produção dos poços e será tratado em detalhe neste capítulo. O

15

método de canhoneio também apresenta inúmeras vantagens, dentre as mais conhecidas

destacam-se:

• Em poços que se encontram já revestidos, aumenta a viabilidade de produção de

fluido;

• Seletividade na produção, devido aos diversos níveis da formação onde ocorrem os

disparos do canhão.

2.2 Classificação

Quanto ao sistema de classificação do canhoneio, este se dá em função da

pressão exercida junto à formação. O processo pode ser caracterizado como sobre-

balanceado (Overbalance), sub-balanceado (Underbalance) ou ainda Extreme

Overbalance.

2.2.1 Overbalance

O processo de Overbalance acontece quando o fluido presente no poço

(fluido de completação) exerce uma diferença de pressão positiva no sentido do poço

para a formação. Devido a esse diferencial de pressão, logo após o poço ser canhoneado

ocorre uma invasão do fluido de completação dentro da área canhoneada. Neste tipo de

processo pode ocorrer um problema que é a compactação dos detritos da explosão nos

poros da formação. O fluxo que se inicia após o disparo acaba por empurrar os resíduos

dos explosivos, do cimento e do revestimento, assim como outras partículas existentes

na lama ou no fluido de completação, em direção aos poros da formação. Este fenômeno

é chamado tamponamento, e pode vir a dificultar o fluxo de fluido da formação em

direção ao poço, implicando em queda de produtividade.

No processo Overbalance, não é necessário usar as válvulas de fechamento

de emergência do poço (BOP) durante o canhoneio, tornando favorável que os disparos

ocorram antes que a completação do poço esteja totalmente finalizada, ou seja, os fluxos

dos fluidos são controlados de acordo com as seções do poço.

16

2.2.2 Underbalance

No processo de Underbalance, acontece o inverso do processo

Overbalance, ou seja, a diferença de pressão exercida é no sentido da formação para o

poço.

Uma vantagem deste método é que, se o fluxo tende a ser da formação para

o poço, então também não deve haver contaminação da formação pelo fluido do poço. O

diferencial oposto de pressão passa a ser, neste novo caso, favorável à limpeza dos

detritos do canhoneio, imediatamente após a explosão, prevenindo assim o

tamponamento.

A principal vantagem do processo Underbalance é ter capacidade de início

imediato à produção, devido à diferença de pressão negativa no poço em relação à

formação, indica que logo que os disparos ocorram, o poço dará início à produção do

fluido da formação. Neste caso, é necessário que o poço esteja totalmente completado

antes de se iniciar o processo.

Em geral a técnica de Underbalance é considerada a mais adequada para a

completação. Apesar de bastante conhecida, está técnica não pode ser tida como

totalmente dominada. Inúmeros problemas já foram constatados, envolvendo

deformação nos revestimentos, instabilidade e colapso dos furos canhoneados com

conseqüente produção de areia. Portanto deve-se estudar cautelosamente os impactos

deste tipo de canhoneio na formação. De um modo geral, o Underbalance é mais

utilizado, devido à limpeza dos detritos da explosão, o que desobstrui as vias para

escoamento do fluido da formação. Porém, algumas pesquisas indicam que, para

reservatórios de gás altamente pressurizados, o canhoneio com Overbalance pode obter

melhores resultados que aquele com Underbalance.

2.2.3 Extreme Overbalance (EOB)

No processo Extreme Overbalance acontece uma variação do Overbalance

que se baseia numa altíssima diferença de pressão no sentido do poço para a formação,

tendo como principal objetivo limpar os túneis canhoneados dos resíduos sólidos ou

depositados, resultantes do disparo das cargas, e criar fraturas de pequena penetração e

17

alta condutividade que ultrapassem a região danificada pelo fluido de perfuração e pelo

próprio canhoneio, ampliando o raio de drenagem do poço.

Em 1992, a Oryx registrou duas patentes [27], [28] e [29] também escreveu

sobre a utilização dessa técnica que, a partir daí, foi disseminada pelas diversas

companhias de serviços. Para a efetivação dessas técnicas, é necessário que haja a

combinação de dois processos, onde o primeiro é o grande excesso de pressão e a ação

do fluxo de fluido e gás pelos canhoneados que, no momento do disparo das cargas,

asseguram a completa remoção de quaisquer resíduos que possam bloquear a entrada

dos canhoneados, forçando-os para o fundo dos túneis, e o segundo processo é a alta

pressão no poço, que pode resultar em ruptura abrupta da formação, criando fraturas

radiais de pequena penetração, a partir do túnel canhoneado, cuja extensão ultrapassa a

zona danificada pelo fluido de perfuração e pelo próprio canhoneio do poço.

2.3 Cargas Explosivas

Existem dois tipos de cargas explosivas. Os primeiros canhoneios

utilizavam como carga balas de munição (gun perforation), e com o advento da

tecnologia empregada, apareceram os canhoneios a jato com cargas moldadas (jet

perforation), que foram objeto de estudo neste trabalho.

Em 1888, Munroe [32] observou que explosivos potentes (no caso, o

algodão explosivo), com recortes em formato de letras, deixavam impressas estas letras

quando detonado próximo a placas de metal. Experiências posteriores, com diferentes

recortes ou cavidades, permitiam penetrações maiores que a metade do diâmetro da

cavidade. O efeito de cavidade de Munroe não foi significante até meados dos anos

1930, quando então o suíço Mohaupt descobriu a enorme penetração em metais dos

explosivos com cavidade revestida por metal. Esta descoberta formou o embasamento

da moderna teoria de carga moldada.

As cargas moldadas foram inicialmente desenvolvidas e usadas na II guerra,

como arma antitanque. Depois da guerra, em 1948, a tecnologia de carga moldada foi

estendida para aplicação comercial no canhoneio de poços de petróleo. Muitas

melhorias foram feitas no projeto e fabricação das cargas moldadas, com o uso de

técnicas de fotografia de alta velocidade e mais recentemente de simulações de

18

computador. No entanto, os conceitos básicos sobre cargas moldadas, desenvolvidos por

Munroe/Mohaupt, permaneceram inalterados.

As cargas moldadas apresentam algumas vantagens em relação às cargas a

bala, como maior penetração e menor risco de destruição da formação. As suas

desvantagens são:

• Os túneis sofrem colmatação, sendo preenchidos por uma “cenoura”, formada por

resíduos sólidos da detonação do explosivo, restos do metal do liner (revestimento) e

outras partículas existentes na lama ou do fluido presente no poço, a partir do

disparo;

• Sofre plugueamento também a matriz da formação com partículas finas de resíduos

da detonação, partículas finas de areia quebradas e fluido de perfuração;

• Ocorre um esmagamento e compactação dos grãos de areia ao redor do túnel e

plugueamento do túnel com areia da formação.

2.4 Processo

O processo convencional de canhoneio é baseado fundamentalmente no

emprego de cargas explosivas instaladas em uma estrutura tubular de aço (canhões). O

canhão é então descido no poço, tensionado por um cabo elétrico que, por sua vez,

conduz um pulso acionador das cargas.

Bartusiak et al [4] descreveram o mecanismo destas cargas, que consistem

de um revestimento de metal, carga explosiva e um cone metálico pressionado contra a

carga explosiva. Durante a detonação, o explosivo impulsiona partículas do cone contra

a rocha, formando um jato de metal. O jato consiste em uma rajada de partículas de

metal deslocando-se a grande velocidade: a ponta deste jato atinge velocidades de

aproximadamente 7 Km/s, e a porção final algo em torno de 1 Km/s, atingindo uma

pressão de aproximadamente 20.000.000 psi na saída do jato. A Figura 5 mostrará

esquematicamente uma carga e o seu processo de detonação em 4 tempos.

19

Figura 5 – Detonação da carga de um perfurador e a formação de jato.

Fonte: [66].

Uma carga moldada para canhoneio à jato é constituída por um invólucro

externo (Case), uma carga principal de alto explosivo, uma carga iniciadora (Primer) e

um liner (revestimento). Como pode ser observado na Figura 6:

Figura 6 – Carga de um perfurador. Fonte: [66].

O invólucro externo é um vaso de contenção projetado para suportar as

forças de detonação da carga durante a formação do jato. Este invólucro é também

Tempo 1

Tempo 2

Tempo 3

Tempo 4

Cordão detonante Case Liner Primer Explosivo

Frente de detonação (30 GPa)

Tip (7 Km/s)

Tail (0.5 Km/s)

Jato

Partículas do tail

20

importante na prevenção de interferências com as cargas adjacentes, ao longo da

seqüência de disparos. Pode ser fabricado com aço, zinco ou alumínio e a precisão nas

tolerâncias de projeto e fabricação são parâmetros importantes no desempenho dos

disparos.

A carga principal de explosivo deve ser compatível com a temperatura da

operação. O explosivo é prensado mecanicamente no interior do invólucro externo pelo

cone metálico. Quanto mais homogênea a distribuição da mistura de explosivos sob o

cone metálico e mais uniforme sua espessura, melhor a formação do jato e maior a

penetração.

O iniciador realiza a ligação entre o cordão detonante e a carga principal de

explosivo. É geralmente composto do mesmo material explosivo da carga principal, mas

com maior sensibilidade ao menor tamanho da partícula.

O liner, revestimento cônico metálico, ou ainda simplesmente cone, é

colapsado sob a força de detonação da carga principal, contribuindo assim para a

formação do jato. Inicialmente, os liners eram fabricados de metal sólido. Estas cargas

produziam com sucesso, jatos de alta densidade, mas tendendo a tampar o túnel

canhoneado com grande quantidade de resíduos. Nas cargas mais modernas os liners

são fabricados com uma mistura de metais pulverizados, que produzem jatos com

densidade suficiente para uma grande penetração na formação, com uma razoável

redução na quantidade de resíduos. Liners de metal pulverizado são utilizados na

maioria das cargas, exceto nas do tipo big hole (BH). Neste tipo de carga, a

profundidade de penetração é menos importante do que o diâmetro de entrada e os

liners sólidos são utilizados, por produzirem furos com diâmetros maiores em

revestimentos e cimento. Os materiais que comumente compõem os liners podem ser

cobre, zinco, tungstênio, estanho e chumbo. Apartir de alguns estudos realizados, como

poderá ser visto no capítulo 5, foi observado que, quanto maior a penetração, maior a

produtividade do poço, sendo que a penetração depende diretamente da consolidação da

formação.

21

2.5 Eficiência de Canhoneio

As técnicas e equipamentos empregados na completação de poços têm como

objetivo principal maximizar a produtividade dos mesmos, como já foi mencionado

anteriormente, reduzindo ao mínimo as restrições ao fluxo entre o reservatório e o poço.

Diversos fatores durante a fase de perfuração e completação contribuem

para que haja restrição ao fluxo, sendo alguns relacionados ao canhoneio e às condições

em que o mesmo foi efetuado. Há três conjuntos de parâmetros que devem ser

controlados a fim de maximizar a vazão de um poço:

• Limpeza dos orifícios;

• Fatores geométricos do canhoneio;

• Efeito de película (“skin effect”).

2.5.1 Limpeza dos Orifícios

Independentemente do método de completação empregado, a desobstrução

dos orifícios produzidos pela carga do canhão é de vital importância. Nos canhoneios

em que o diferencial de pressão é positivo (pressão hidrostática no interior do poço

maior que a da formação), usando-se canhões, torna-se necessário induzir surgência no

poço através de uma operação de pistoneio. Ao se aliviar a pressão hidrostática, apenas

alguns orifícios serão desobstruídos, permanecendo outros tamponados.

2.5.2 Fatores Geométricos do Canhoneio

Várias formulações numéricas complexas foram feitas, representando uma

geometria ideal do canhoneio. Em termos de elementos finitos: Tariq [10], Klotz et al

[8] e Tariq et al [11], e utilizando diferenças finitas: Harris [6] e Hong [7]. A partir

dessas formulações, pode-se observar que os fatores geométricos mais relevantes para o

estudo da eficiência de canhoneio são:

Densidade efetiva dos furos (nº de furos por unidade de comprimento) - A vazão e a

queda da pressão através dos orifícios do canhoneio são profundamente afetadas pela

densidade de tiros. Estudos mostram que, ao aumentar-se a densidade de tiros por

unidade de comprimento, consegue-se um aumento da vazão do poço, desde que haja

22

um direcionamento adequado dos tiros, a fim de se evitarem efeitos de interferência de

fluxo. Devem-se levar em consideração os danos causados ao revestimento pela alta

densidade de tiros;

Profundidade do túnel na formação - A profundidade de penetração dos tiros é muito

importante pois, para que seja efetivo, o canhoneio necessita ultrapassar a zona

danificada ao redor do poço durante a perfuração. Experimentalmente, pode-se verificar

a ocorrência de um aumento significativo da produtividade quando o disparo ultrapassa

a zona danificada;

Defasagem entre os tiros (ângulo de fase) - A defasagem entre os tiros é causada pela

distribuição angular das cargas no canhão. Um mesmo número de tiros por pé, quando

disparados em diferentes direções, produz maior relação de profundidade. Assim, um

canhão com defasagem não nula deve ter diâmetro suficientemente grande para evitar

que algumas cargas fiquem muito distantes do revestimento;

Distância entre o canhão e o revestimento - A distância que separa o canhão do

revestimento deve ser a menor possível a fim de não comprometer a penetração do

disparo. No caso do canhão ser do tipo multidirecional, seu diâmetro deve ser o maior

possível, compatível com o do revestimento, para que o efeito contrário acima

relacionado seja desprezível e a técnica efetiva. Caso use um canhão de pequeno

diâmetro through tubing gun, o afastamento pode ser muito grande se os tiros forem

disparados ao acaso. Por isso, com este tipo de canhão, deve-se utilizar tiros em linha

(ou unidirecional). O canhão dispõe de um posicionador magnético alinhado com a

direção dos disparos que garante um perfeito posicionamento do canhão;

Diâmetro dos túneis - Em circunstâncias normais, o diâmetro do orifício de canhoneio

afeta muito pouco a vazão do poço. Entretanto, se um filtro de areia gravel pack for

utilizado, deve-se fazer uso do maior orifício de entrada possível, pois, quanto maior o

seu diâmetro, menor a perda de carga. O valor da perda de pressão através dos orifícios

do canhoneio deve ser minimizado para evitar-se a produção de areia em formações

pouco consolidadas, devendo-se optar por um grande diâmetro de orifício ou uma alta

densidade de jatos.

A seguir, a Figura 7 mostrará a geometria do canhoneado para uma

completação típica.

23

Figura 7 – Geometria típica de um poço canhoneado. Fonte: [66].

Os fatores geométricos influenciam no índice de produtividade de poços

canhoneados. Para reservatórios isotrópicos podemos citar alguns fatores:

1 – À medida que a densidade dos furos é incrementada, a produtividade aumenta

(Figura 8 e Figura 9);

2 - À medida que aumenta a profundidade do túnel, a produtividade cresce (Figura 8 e

Figura 9);

3 – O efeito do incremento de penetração é maior nas baixas penetrações do que nas

altas penetrações (Figura 8 e Figura 9);

4 – Ângulos de fase diferentes de 0° incrementam a produtividade, reduzindo a

interferência do poço no fluxo (Figura 8 e Figura 9).

24

Figura 8 – Efeito da densidade do canhoneio e da profundidade do

túnel no índice de produtividade. Fonte: [66].

Figura 9 – Efeito do diâmetro e da profundidade do túnel no índice de

produtividade. Fonte: [66].

25

2.5.3 Efeitos de Película (Skin effect)

O efeito de skin, inicialmente foi concebido como uma fina camada de

formação danificada no entorno do poço. Mais tarde, a zona de permeabilidade ao redor

do canhoneado foi considerada como um skin adicional. Em ambas as situações, o skin

descreve um fenômeno físico. Há trinta anos atrás, o skin começou a ser considerado no

tratamento matemático de queda de pressões anormais. Examinando os elementos de

skin, incluindo efeitos não-Darcianos de fluxo, penetração parcial de uma zona

produtiva e geometrias não-radiais, o conceito físico de skin perde um pouco de sentido.

Contudo, a representação matemática da queda de pressão por efeitos de skin é uma

ferramenta poderosa para a análise do poço. De fato, o conceito matemático é essencial

para adequar a análise e o projeto da completação. Evidências experimentais são, na sua

maioria, observações das quedas de pressão resultantes do poço, dano pelo canhoneio,

plugueamento dos túneis, fluxo não-radial, efeitos geométricos da completação,

características da formação, ambiente de canhoneio e outros.

Para projetar ou analisar a completação dos poços, deve ser feito um estudo

individual para cada caso e todas as informações possíveis deverão ser consideradas (ex:

testemunhos, perfis e teste de poços) para poder obter um bom resultado. Geralmente,

essas informações não estão disponíveis ou não apresentam dados suficientes. Quando

se dispõe dos dados necessários, as ferramentas matemáticas produzem bons resultados

nas estimativas da performance dos poços.

O efeito de película resulta da redução da permeabilidade da formação nas

vizinhanças do mesmo, causada pelas operações de perfuração, completação e produção

do poço. Essa restrição ao fluxo pode ser detectada em testes de formação pelo skin que,

na maioria dos casos, pode ser subdividido em três fatores relacionados à causa do

dano:

- Dano devido ao fluxo convergente: causado pelas mudanças de direção do fluxo,

quando os fluidos do reservatório atingem os furos do canhoneio; assume um papel

significativo nos casos de altas vazões;

26

- Dano da formação propriamente dito: causado na maioria das vezes pela invasão de

fluidos incompatíveis com a formação, presença de reboco e cimento, e expansão de

argilas;

- Dano devido à compactação: resultante da ação compressiva dos jatos durante o

canhoneio, originando uma zona de permeabilidade reduzida ao redor do furo; segundo

estudos de laboratório, esta zona tem uma espessura média de ½” e permeabilidade de

10 a 20% da original.

Mediante um correto planejamento da operação, é possível minimizar o

efeito de película, escolhendo de forma mais adequada os parâmetros geométricos, o

fluido do poço e promovendo uma efetiva limpeza dos orifícios. O ambiente e a

geometria do canhoneio podem ser controlados de diversas maneiras. Um fator que não

é tão bem controlável é o efeito negativo da região danificada pelo canhoneio. Este

efeito é significativo e necessita um cuidado muito grande no projeto de completação.

Nos capítulos 5 e 6 serão mostrados um estudo paramétrico e uma

implementação de um código de algoritmo genético escrito em linguagem de

programação orientada a objetos, que irá simular as variáveis que se referem às

propriedades da rocha original dos reservatórios e das rochas danificadas durante as

fases de perfuração e produção do poço e pelo canhoneio. Serão considerados os danos

do canhoneio e da formação.

2.5.4 Evidências Empíricas

Testes de laboratório e de campo mostram que existe uma zona danificada

ao redor dos canhoneados. Pesquisas de laboratório indicam que a permeabilidade na

zona danificada pode ser de 10 a 20% da permeabilidade da formação não-danificada,

mesmo em casos com operações sub-balanceadas.

O grau de dano, aparentemente, é influenciado pelas seguintes

características:

• Pressão diferencial: Canhoneio sub-balanceado facilita a remoção dos detritos

deixados pela carga, e em alguns casos, remove parte do dano proveniente da

compactação da rocha. Canhoneio sobre-balanceado pode reduzir, em alguns casos, a

27

produtividade do poço. O nível e o diferencial de pressão entre o poço e a formação têm

grande importância na eficiência do fluxo.

• Fluido de Completação: O uso de fluido limpo e compatível com a formação pode

gerar bons índices de produtividade, principalmente se for acoplado com adequados

níveis de sub-balanceamento. O uso de fluido de perfuração pode provocar o

plugueamento dos poros da rocha, principalmente em canhoneio sobre-balanceado,

reduzindo a produtividade.

• Desvio do poço: Em alguns casos, a penetração da carga não ocorre

perpendicularmente à direção de fluxo da formação. Pode existir um ângulo entre o

plano normal à formação e o eixo do poço, ou o poço ser horizontal, por exemplo. Neste

caso, junto com as características da formação, existe um incremento de produtividade

devido à maior área exposta ao fluxo. Este incremento de produtividade resulta num

efeito skin negativo.

• Penetração parcial: Em alguns poços, apenas uma parte do intervalo produtor é

aberta ao fluxo. Por exemplo, se existe uma capa de gás, o intervalo aberto deve ficar

localizado abaixo do contato gás/óleo, para prevenir a entrada de gás no poço.

Obviamente uma completação não intencional deste tipo também pode existir. Nestes

casos, a produção fica limitada.

• Fluxo Turbulento: Simulações numéricas e experimentos mostraram a influência da

turbulência na eficiência do fluxo. Este efeito pode ser reduzido com uma maior área

exposta ao fluxo (aplicação de cargas de alta densidade, cargas de alta penetração).

28

2.6 Características da Formação que afetam o desempenho do

Canhoneio

O ambiente de canhoneio é o terceiro item mais importante na hora de se

avaliar a produtividade de um poço. Além dos fatores geométricos, características da

formação também devem ser consideradas. Alguns destes fatores são:

• Propriedades físicas;

• Permeabilidade;

• Fluido da formação;

• Anisotropia da permeabilidade;

• Laminação de folhelhos

• Fraturas naturais.

Propriedades Físicas - Tipo de formação, resistência ao cisalhamento e estado de

tensão in-situ influenciam na penetração das cargas, no dano (tanto na extensão quanto

no grau) e na característica de limpeza dos túneis.

Permeabilidade e Fluido da Formação - Este dois fatores determinam o nível de

diferencial de pressão requerido para uma limpeza eficiente dos túneis. Para poços de

gás, são requeridos diferenciais de pressões maiores que em poços de óleo. O efeito de

redução da permeabilidade nas paredes dos túneis é amplificado pela turbulência do

fluxo.

Anisotropia da Permeabilidade - A Figura 10 mostra o efeito da permeabilidade na

eficiência do canhoneio. Aumentos significativos no índice de produtividade acontecem

com o aumento da densidade da carga, principalmente quando a anisotropia diminui. O

efeito do comprimento do túnel não é tão significativo quanto o da densidade.

29

Figura 10 – Efeito da anisotropia de permeabilidade no índice de

produtividade dos poços. Fonte: [66].

Laminação de folhelhos - Os efeitos são similares ao da anisotropia da permeabilidade.

Fraturas Naturais - A rede de fraturas naturais é um eficiente meio de transporte dos

fluidos da formação. Em poços canhoneados, é fundamental a comunicação da rede de

fraturas com os túneis.

2.7 Segurança

A questão da segurança é crítica quando se trata de operações onde se

emprega o uso de explosivos, e o canhoneio é uma delas. Portanto, a atenção dispensada

a este item deve ser extrema e cumprida à risca.

Todos os procedimentos da legislação vigente na localidade devem ser

seguidos, no que se refere ao manuseio de explosivos. Além disso, cada companhia

operadora possui suas próprias normas internas de segurança.

Em relação ao poço, como o canhão é acionado por pulso elétrico em alguns

casos, são terminantemente proibidas as transmissões de rádio nas proximidades da

30

operação. Para aumentar a segurança na área, utiliza-se um BOP de cabo. É

imprescindível que se observe atentamente o comportamento do poço logo após o

disparo, para não correr riscos de manobras precipitadas de retirada do canhão. O

mesmo deve ser retirado lentamente para evitar pistoneio (caso ainda haja cargas

carregadas, existe certo risco de que elas sejam acidentalmente acionadas). Somente

com a total retirada do canhão do poço e a verificação de que todas as cargas foram

detonadas é seguro retomar as transmissões de rádio. Finalmente, é preciso assegurar-se

antes do disparo que há fluido de completação em quantidade suficiente para o

amortecimento do poço no pós-canhoneio.

31

3 FLUXO EM MEIO POROSO

3.1 Introdução

Neste capítulo será apresentada uma descrição resumida dos conceitos

referentes aos fluidos e as rochas existentes nos reservatórios de petróleo. Estes

conceitos apresentam importantes informações para o estudo do problema de fluxo em

poços canhoneados. Os profissionais que atuam na área de engenharia de petróleo

utilizam esses conceitos para poder inferir no comportamento futuro desses

reservatórios. Os técnicos buscam como objetivos principais identificar o potencial de

produção das rochas portadoras de petróleo e adaptar métodos que possam maximizar

os ganhos obtidos na exploração de campos petrolíferos. Neste capítulo, também será

apresentado um conceito da teoria fundamental do fluxo de fluidos em meios porosos,

que é essencial para a compreensão e utilização das técnicas atualmente disponíveis

para estimar reservas e prever o comportamento de reservatórios de petróleo.

3.2 Conceitos Sobre os Fluidos

3.2.1 Petróleo

O Petróleo é o nome dado às misturas de hidrocarbonetos que, dependendo

da pressão e temperatura em que estejam submetidas, podem ser encontradas em três

estados distintos: sólido, líquido ou gasoso.

Outro ponto importante é que as condições de pressão variam com a posição

dentro do reservatório, ou seja, em uma mesma acumulação de petróleo, as

características dos fluidos variam de ponto a ponto.

A análise química completa dos hidrocarbonetos envolve técnicas caras e

complexas. Costuma-se usar o artifício da análise composicional resumida, que nada

32

mais é que juntar em um mesmo grupo os compostos que contém o mesmo número de

átomos de carbono. As propriedades físico-químicas dependem de sua composição, que

pode ser determinada por análises.

3.2.2 Óleo e Gás Natural

Quando predominam nas misturas os hidrocarbonetos mais leves da série

das parafinas, ou seja, o metano em abundância, a mistura de hidrocarbonetos se

apresenta em forma gasosa, recebendo o nome de gás ou gás natural e, quando

apresentado em forma líquida, o petróleo é chamado de óleo cru ou óleo.

De acordo com [26] óleo e gás natural são definidos da seguinte maneira:

Óleo – é a parte que permanece no estado líquido quando uma mistura

líquida de hidrocarbonetos é levada das condições de reservatório para as condições de

superfície.

Gás natural – é o nome dado às misturas de hidrocarbonetos que, quando

estão nas condições de superfície, se apresentam na forma gasosa. No reservatório, estas

misturas podem se apresentar tanto na forma gasosa como dissolvida no óleo.

3.2.3 Propriedades Básicas dos Fluidos

Nesta seção serão apresentadas algumas propriedades básicas dos fluidos

em geral, enquanto que nas próximas serão abordados casos específicos.

Massa específica - A massa específica de uma mistura líquida ou de uma substância é

definida pela equação 1 como a relação entre a sua massa e o seu volume:

V

m=ρ ( 1)

O volume específico é a relação entre o volume e a massa:

m

V=ν ( 2)

Ou seja, a massa específica é o inverso do volume específico:

33

νρ 1= ( 3)

Densidade - A densidade é definida como a razão entre a massa específica de uma

substância e a massa específica de uma outra usada como referência (a água é

geralmente empregada como referência), ambas medidas na mesma condição de pressão

e em condições de temperatura preestabelecidas. No caso dos gases, para definir a

densidade utiliza-se como massa específica de referência o ar.

Quando aumenta a temperatura de um determinado fragmento de matéria,

ocorre um aumento do volume fixo desta, pois haverá a dilatação ocasionada pela

separação dos átomos e moléculas. Ao contrário, ao se diminuir a temperatura, haverá

uma diminuição deste volume fixo. A quantidade de massa existente num dado volume

é chamada de massa volumétrica.

Quando a matéria se expande, sua massa volumétrica diminui e, quando a

matéria se contrai, sua massa volumétrica aumenta. No caso dos gases, sua massa

volumétrica difere da dos líquidos e dos sólidos. Nos gases, suas moléculas estão

separadas devido à temperatura que está acima da temperatura de ebulição do líquido

correspondente. Microscopicamente, isto corresponde dizer que, nos gases, a atração

entre as moléculas e/ou átomos que os compõem não são suficientemente intensas frente

à energia cinética desses mesmos constituintes para mantê-los próximos. Nos líquidos e

nos sólidos, contudo, as moléculas e átomos estão muitíssimo próximos.

A densidade é a razão entre a massa específica da substância e a massa

específica de referência. Por exemplo, a densidade do óleo é dada por:

w

odρρ= ( 4)

Onde oρ e wρ são as massas específicas, respectivamente, do óleo e da água a 4°C e a

pressão em atm.

Compressibilidade isotérmica - É definida como a variação fracional de volume do

fluido por variação unitária de pressão, onde se admite que a temperatura do fluido seja

constante. A equação 5 é geral e aplica-se a qualquer fluido, exceto a um gás ideal ou a

um gás real, pois estes permitem a obtenção de expressões específicas para o cálculo da

34

compressibilidade isotérmica. Esta equação vai ser utilizada no desenvolvimento da

equação de estado, que será determinada nos próximos itens.

pc

∂∂= ρ

ρ1

( 5)

Grau API - Grau API do American Petroleum Institute (ºAPI) é a forma de expressar a

densidade relativa de um óleo ou derivado. A escala API, medida em graus, varia

inversamente à densidade relativa, isto é, quanto maior a densidade relativa, menor o

grau API. O grau API é maior quando o petróleo é mais leve. Petróleos com grau API

maior que 30 são considerados leves; entre 22 e 30 graus API, são médios; abaixo de 22

graus API, são pesados; com grau API igual ou inferior a 10, são petróleos extra

pesados. Quanto maior o grau API, maior o valor do petróleo no mercado.

5,1315,141 −=°

dAPI ( 6)

3.2.4 Propriedades das Misturas Líquidas de Hidrocarbonetos

No interior da rocha reservatório ocorrem diversas misturas de

hidrocarbonetos, devido às diferentes condições de temperatura e pressão. Estas oscilam

de forma que acarretam algumas mudanças como: estado físico de uma parte da mistura,

variações de viscosidade, variações de densidade, alteração na composição. Os fluidos,

ao serem produzidos, são submetidos ao longo do seu trajeto, que começa no interior do

reservatório e finaliza na cabeça do poço, a diferentes condições de pressão e

temperatura. Tanto os fluidos produzidos durante os processos produtivos quanto os

fluidos que permanecem no reservatório sofrem alterações. À medida que vão escoando

os fluidos do interior do reservatório, a pressão do mesmo vai caindo.

3.2.4.1 Razão de solubilidade

É o volume de gás dissolvido na fase óleo, medido nas condições padrão,

dividido pelo volume de óleo, medido também nas condições padrão. O parâmetro que

representa a quantidade de gás presente no líquido é a razão de solubilidade (sR ) ou

comumente chamado de solubilidade de uma mistura líquida de hidrocarbonetos em

35

certa condição de pressão e temperatura. Esta razão pode ser representada pela seguinte

equação:

( )( )Padrãocondiçõestanquenoóleodevolume

PadrãocondiçõesdissolvidogásdevolumeRs −

−= ( 7)

3.2.4.2 Viscosidade

A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de

coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade

dos gases cresce com o aumento da temperatura, nos líquidos ocorre o oposto. Com o

aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui (em

média) o intervalo de tempo que as moléculas passam umas junto das outras, e menos

efetivas se tornam as forças intermoleculares e menor a viscosidade.

Para entender a natureza da viscosidade nos líquidos, considera-se que ela é

afetada pelas variações de temperatura e de pressão, ou seja, a viscosidade decresce com

a temperatura e cresce com a pressão. No caso dos hidrocarbonetos líquidos, a

viscosidade também decresce com o aumento da quantidade de gás em solução.

A viscosidade de uma mistura pode ser estimada pela expressão da equação

( 8), onde se admite uma solução ideal, ou seja, onde o comportamento da viscosidade

das misturas líquida varia com a pressão, com a temperatura e com a sua própria

composição.

∑=

=0

1

n

iiix µµ

( 8)

Onde ix e iµ são a fração molar e a viscosidade do componente i, respectivamente.

36

3.2.5 Comportamento de Fases

As formas em que uma substância podem-se apresentar chamam-se estados

físicos ou fases. A variação de pressão e temperatura em que a substância está

submetida influencia diretamente nas mudanças de fases. Ao estudo das mudanças de

fases das substâncias dá-se o nome de comportamento das fases.

Na produção de um reservatório de petróleo, existem mudanças de fases

durante todo o tempo. Devido ao processo produtivo, as acumulações de petróleo

sofrem variações de pressão e temperatura, o que acarreta na mudança de fases. Tanto

no material retirado do interior da jazida e trazido para a superfície como no material

retido no interior da rocha ocorrem mudanças de fases. Daí a importância do estudo do

comportamento de fases.

3.2.6 Tipos de Reservatórios de Petróleo

A classificação dos reservatórios se baseia no tipo de fluido que é produzido

na superfície, ou seja, um fluido que se encontra no estado líquido em condições de

reservatório geralmente produz óleo na superfície e só em condições especiais isso não

ocorre. Assim, as formações portadoras de misturas líquidas são conhecidas como

reservatório de óleo e as formações portadoras de misturas gasosas são conhecidas

como reservatórios de gás, que podem produzir uma certa quantidade de líquido na

superfície, porém a produção maior é de gás.

Também podem ocorrer na natureza acumulações de petróleo numa forma

mista, ou seja, parte da mistura de hidrocarbonetos se encontra numa fase líquida e outra

parte numa fase gasosa, sendo que as duas partes no início ficam em equilíbrio entre si.

Visto que o gás é muito menos denso que o líquido, o gás ocupa a parte superior da

formação enquanto o líquido fica na parte inferior. É importante ressaltar que o

reservatório, além do gás da capa que é conhecido como gás livre, tem também certa

quantidade de gás dissolvido no óleo. A Figura 11 mostra esquematicamente um

reservatório em forma mista.

37

Figura 11 – Reservatório de óleo com capa de gás. Modificado de ROSA [26].

Quando existe uma pequena quantidade de hidrocarbonetos líquidos no

reservatório que resulta numa produção de óleo pequena, a quantidade de gás será muito

maior que a de líquido, ou seja, o interesse econômico principal será a explotação de

gás. Esse reservatório não poderá mais ser classificado como reservatório de óleo e

deverá ser classificado como reservatório de gás. A Figura 12 apresenta o esquema de

um reservatório de gás.

38

Figura 12 – Reservatório de gás. Modificado de ROSA [26].

39

3.3 Conceitos Sobre as Rochas

O tipo de rocha onde o óleo ou gás são gerados é determinado pelo tipo de

matéria orgânica depositada junto com os sedimentos há milhões de anos atrás. O óleo

gerado e migrado é depositado em uma rocha reservatório. Esta rocha pode ser de

qualquer natureza, desde que apresente espaços vazios no seu interior (porosidade), e

que existam entre os poros, espaços para o fluido percolar, conferindo-lhes as

características de permeabilidade.

As rochas reservatórios têm geralmente dois ou mais fluidos. Os volumes dos

fluidos contidos nas rochas, a percolação dos fluidos através delas e outras

propriedades, serão o objeto de estudo neste tópico.

3.3.1 Porosidade

Uma das características que a rocha possui é a porosidade, pelo fato de

armazenar fluidos em seus espaços interiores, chamados poros. A rocha é descontínua,

Isso quer dizer que existem espaços (poros) entre as partículas que a formam. Esses

espaços podem ser maiores ou menores, tornando a rocha mais ou menos densa.

Porosidade pode ser contrastada com permeabilidade: nem sempre uma rocha que

contém fluidos em seu interior vai permitir que o mesmo se desloque.

A porosidade tem como definição a relação entre o volume de vazios de

uma rocha e o volume total da mesma, ou seja:

t

st

t

p

V

VV

V

V −==φ

( 9)

onde:

φ → porosidade da rocha;

40

pV → volume poroso;

sV → volume de sólidos;

tV → volume total da rocha.

O volume de vazios é geralmente conhecido como volume poroso da rocha

e determinado pelo símbolo pV . Existem dois tipos distintos de porosidade: porosidade

absoluta e porosidade efetiva.

A Figura 13 apresenta um exemplo de seção transversal de uma amostra de

rocha, onde se observam dois tipos de poros: interconectados e isolados. A soma dos

volumes porosos interconectados com os volumes porosos isolados representa o volume

total de poros, utilizado na definição da porosidade absoluta da rocha. O volume poroso

interconectado define a porosidade efetiva.

Para a engenharia de reservatórios, o parâmetro realmente importante é a

porosidade efetiva, pois representa o volume máximo de fluido que pode ser extraído da

rocha.

Para se medir a porosidade nas bacias sedimentares brasileiras, geralmente

são utilizados perfis elétricos (medem a porosidade absoluta) executados nos poços ou

ensaios de laboratório (medem a porosidade efetiva) em amostras da rocha.

41

Figura 13 – Seção transversal de uma amostra de rocha. Fonte: ROSA [26].

3.3.2 Saturação de Fluidos

Além de hidrocarbonetos, os poros de uma rocha-reservatório contêm água.

Assim sendo, o conhecimento do volume poroso não é suficiente para se estabelecer as

quantidades de óleo e/ou gás contido nas formações. Para que essas quantidades sejam

estimadas, é necessário se estabelecer que percentual do volume poroso é ocupado por

cada fluido. Esses percentuais recebem o nome de Saturação.

A saturação de um determinado fluido em um meio poroso é definida como

sendo a fração ou a porcentagem do volume de poros ocupada pelo fluido.

p

ff V

VS = ( 10)

onde:

fS → é a saturação do fluido;

fV → o volume do fluido;

pV → o volume poroso.

42

Os poros de uma rocha-reservatório podem estar parcialmente

preenchidos por um determinado líquido e os espaços remanescentes por um gás. Ou

ainda, dois ou três líquidos imiscíveis podem preencher todo o espaço vazio. A seguir, a

Figura 14 ilustra uma situação em que os poros da rocha-reservatório estão saturados

com três fluidos: água, óleo e gás.

Figura 14 – Rocha-reservatório contendo três fluidos: água, óleo e gás. Fonte:

ROSA [26].

3.3.3 Permeabilidade

A permeabilidade de um meio poroso é determinada pela medida de sua

capacidade em permitir ser atravessada por fluidos, ou seja, representa o inverso da

resistência que o material apresenta ao fluxo de fluidos.

Mesmo que uma rocha contenha uma quantidade apreciável de poros e

dentro desses poros existam hidrocarbonetos em uma quantidade razoável, não há a

garantia de que eles possam ser extraídos. Para que isto ocorra, é necessário que a rocha

permita o fluxo de fluidos através dela.

43

A medida da capacidade de uma rocha permitir o fluxo de fluidos é

chamada permeabilidade (K). Quando existe apenas um único fluido saturando a rocha,

esta propriedade recebe o nome de “permeabilidade absoluta”.

Uma rocha reservatório contém sempre dois ou mais fluidos, de modo que a

permeabilidade absoluta não é suficiente para se medir a facilidade com que

determinado fluido se move no meio poroso. No caso da existência de mais de um

fluido, a facilidade com que cada um se move é chamada “permeabilidade efetiva” ao

fluido considerado. Por exemplo, se em um meio poroso estão fluindo água e óleo, tem-

se permeabilidade efetiva da água e permeabilidade efetiva do óleo.

O símbolo da permeabilidade efetiva é a letra “K” com um subscrito

correspondente ao fluido em questão. Assim, as permeabilidades efetivas ao óleo, ao

gás e à água têm por símbolos oK , gK e wK , respectivamente. As permeabilidades

efetivas dependem das saturações de cada um dos fluidos no meio poroso. A cada valor

de saturação de um fluido corresponde um valor de permeabilidade efetiva àquele

fluido.

Nos estudos de reservatórios, costuma-se utilizar os valores de

permeabilidade após submetê-los a um processo de normalização (nada mais é do que

dividir todos os valores de permeabilidade efetiva por um mesmo valor de

permeabilidade escolhido como base). Ao resultado da normalização dá-se o nome de

“permeabilidade relativa”. O valor de permeabilidade mais utilizado como base é a

permeabilidade absoluta. Assim, pode-se definir:

- Permeabilidade relativa ao óleo: K

KK o

ro =

- Permeabilidade relativa ao gás: K

KK g

rg =

- Permeabilidade relativa à água: K

KK w

rw =

44

3.3.4 Mobilidade

Define-se mobilidade de um fluido como sendo a relação entre a sua

permeabilidade efetiva e a sua viscosidade. Por exemplo, a mobilidade do óleo (fluido

deslocado) é dada por o

oo

K

µλ = e a água (fluido injetado) por

w

ww

K

µλ = . Assim como

as permeabilidades efetivas, as mobilidades também dependem das saturações.

A razão de mobilidades é definida pela razão o

w

λλ

. Observe que quanto

maior for a razão de mobilidades, menor será a eficiência de deslocamento de óleo, uma

vez que, devido à sua maior mobilidade, o fluido injetado tenderá a “furar” o banco de

óleo criando caminhos preferenciais entre os poços injetores e os produtores.

3.3.5 Compressibilidade

De acordo com a arrumação dos grãos e a profundidade em que se

encontram, podemos analisar a sua compressibilidade, ou seja, a porosidade das rochas

sedimentares é função do grau de compactação das mesmas, e as forças de compactação

são funções da máxima profundidade em que a rocha já se encontrou. Os sedimentos

que já estiveram a grandes profundidades apresentam menores valores de porosidade

que aqueles que nunca foram tão profundamente enterrados. A Figura 15 mostra o efeito

da compactação natural sobre a porosidade.

45

Figura 15 –Efeito da compactação natural sobre a porosidade. Fonte: ROSA [26].

A extração de fluidos de uma rocha-reservatório faz com que exista uma

variação da pressão interna da rocha. Com isso, ela fica sujeita a tensões resultantes

diferentes. Essa variação de tensões provoca deformações nos grãos, nos poros e no

volume total da rocha.

A variação do volume poroso ocorre devida à conhecida compressibilidade

efetiva da formação ou dos poros, definida como:

p

V

Vc p

pf ∂

∂= 1

( 11)

onde:

→pV é o volume poroso da rocha;

→p é a pressão interna.

46

3.3.6 Rochas-Reservatórios

Existem diversos tipos de rocha-reservatório. Geralmente os depósitos

comerciais de petróleo ocorrem em reservatórios formados por rochas sedimentares.

Nas bacias sedimentares brasileiras produtoras de petróleo, os reservatórios

são de arenitos e calcarenitos. Portanto, existem exemplos de acumulações de

hidrocarbonetos em rochas tanto sedimentares quanto ígneas e metamórficas não

convencionais, como os folhelhos fraturados na Bacia do Recôncavo, BA, os basaltos

na Bacia de Campos, RJ, e metamórficas fraturadas na Bacia Sergipe-Alagoas. A seguir,

serão apresentados alguns tipos de rochas que apresentam porosidades distintas e que

são encontradas nos reservatórios Brasileiros.

a) Arenitos

Os arenitos são os tipos de rocha-reservatório mais encontrados,

normalmente atingem várias centenas de metros de espessura, e possuem grande

continuidade lateral. As dimensões de um corpo de arenito dependem das condições de

sua sedimentação. A maioria se apresenta em forma lenticular.

b) Rochas carbonatadas

As rochas carbonatadas podem ter seus poros muito maiores que os de

arenitos, proporcionando-os uma grande permeabilidade. Como exemplos deste tipo de

rocha, temos os calcários, as dolomitas e as intermediárias entre as duas.

A porosidade das rochas carbonatadas difere das rochas de arenitos, sendo a

porosidade localizada, tanto lateral como verticalmente, dentro de cada camada.

c) Outras rochas

Encontramos vários outros tipos de rochas com porosidade significativas

para tornarem localmente reservatórios de Petróleo, por possuírem porosidade

intersticial ou presença de fissuras. Como rochas-reservatórios, encontramos:

conglomerados e brechas, folhelhos fraturados, siltes, arcósios e rochas ígneas ou

metamórficas fraturadas.

47

3.4 Fluxo de Líquidos em Meios Porosos

A área da engenharia de reservatórios que estuda a maneira como os fluidos

se movimentam em um meio poroso recebe o nome de Fluxo de Fluidos em Meios

Porosos. Estudos nesta área são desenvolvidos através de modelos matemáticos, a partir

de equações básicas do estudo do fluxo em meios porosos, tendo como objetivo obter

dados relacionados com o aspecto físico do reservatório.

O grau de complexidade dos modelos depende dos diversos aspectos que se

deseja considerar no estudo do fluxo e do grau que se deseja simplificar o modelo. Para

as diversas situações em que os reservatórios se encontram são desenvolvidas soluções

que se baseiam em uma equação conhecida como equação da difusividade hidráulica ou

simplesmente equação da difusividade. A equação da difusividade hidráulica é obtida a

partir da associação de três equações básicas: a equação da continuidade, que é uma

equação de conservação de massa, a lei de Darcy, que é uma equação de transporte de

massa, e uma equação de estado, que tanto pode ser uma lei dos gases como a equação

da compressibilidade para o caso de líquidos.

Será considerado o caso particular em que se admite que o fluido seja

incompressível.

3.4.1 Equação da Difusividade Hidráulica

Para o desenvolvimento da equação da difusividade hidráulica são

consideradas as seguintes hipóteses:

• Meio poroso homogêneo e isotrópico;

• Fluxo estritamente horizontal isotérmico;

• Poço penetrando totalmente a formação;

• Permeabilidade constante;

• Pequenos gradientes de pressão;

• Fluido com compressibilidade pequena e constante e viscosidade constante;

48

• Rocha com compressibilidade pequena e constante;

• Forças gravitacionais desprezíveis;

• Fluidos e rochas não reagentes entre si.

Primeiro será mostrada a equação da continuidade, na qual será inserida a

equação de Darcy. Em seguida, serão mostradas as equações de estados apropriadas.

49

3.4.2 Equação da Continuidade

A equação da continuidade, na Hidrodinâmica, representa o princípio de

conservação da massa, ou seja, quando em um meio poroso há movimentação de

fluidos, consideramos que há entrada e saída de fluido em suas faces. A equação da

continuidade descreve a variação de massa dentro do meio poroso devida a esse fluxo.

A variação de massa dentro do elemento de meio poroso é a diferença entre a massa

existente no meio poroso no final do intervalo de tempo e a massa existente no começo

do intervalo, está diferença resulta na massa acumulada durante o intervalo de tempo

t∆ .

O caso mais geral é aquele em que ocorre a movimentação do fluido nas três

direções, x, y e z. O fluido penetra em um volume elementar no meio poroso através de

uma face perpendicular a cada uma das direções e sai pela face oposta.

As vazões de entrada e de saída nas três direções são representadas por qx,

qy e qz acompanhada dos subscritos, que indicam respectivamente, as posições de

entrada e de saída do fluido. O primeiro subscrito indica a direção considerada.

Como q representa a vazão volumétrica, isto é, volume por unidade de

tempo, deve ser multiplicada pela massa específica, “ρ”, para se obter a vazão expressa

em termos de massa, uma vez que se deseja trabalhar com conservação de massa.

Como o fluxo está ocorrendo nas três direções, a massa total acumulada é

igual à soma das três parcelas, onde cada parcela representa a diferença entre a massa

que entrou e a massa que saiu nessa direção. Dessa maneira, como pode ser observado

na equação ( 12) a massa total acumulada é igual à:

Massa total acumulada = ( ) ( ) ][ xxxxx qqt ∆+−∆ ρρ + ( ) ( ) ][yyyyy qqt

∆+−∆ ρρ +

( ) ( ) ][ zzzzz qqt ∆+−∆ ρρ

( 12)

A variação de massa dentro do elemento de meio poroso pode ser obtida

também por meio de um balanço de materiais, e quaisquer que sejam os caminhos

escolhidos para o cálculo da massa acumulada, os resultados obtidos devem ser iguais.

50

Considerando-se que o início do intervalo de tempo seja um instante t qualquer, o final

do intervalo será (t+∆t).

O quociente entre a vazão “q” e a área através da qual o fluxo está

ocorrendo, por definição, é chamada de velocidade aparente do fluido.

Utilizando-se a definição de derivada, obtém-se finalmente a chamada

equação da continuidade:

( ) ( ) ( ) ( )ρφρρρt

vz

vy

vx zyx ∂

∂−=∂∂+

∂∂+

∂∂

( 13)

A Equação ( 13), apesar da sua aparente sofisticação, é apenas um balanço

de massa que pode ser expresso em palavras do seguinte modo: “A diferença entre a

massa que entra e a massa que sai nas três direções de fluxo é igual à variação de massa

dentro do meio poroso”.

51

3.4.3 Equação de Darcy

A lei de Darcy que será mostrada resumidamente a seguir, é a lei que rege o

transporte no meio poroso. A etapa seguinte na dedução da equação da difusividade é a

associação da equação da continuidade com a lei de Darcy.

Em 1856, em Dijon, França, Henry Darcy a partir de uma das suas

experiências apresentou uma relação matemática que se tornou a base para a

compreensão do fenômeno do escoamento de fluidos através de meios porosos. Darcy

investigou o fluxo de água através de filtros de areia com a finalidade de purificá-la. O

seu aparelho experimental é mostrado esquematicamente na Figura 16 e todo o

desenvolvimento das equações matemáticas estão muito bem demonstradas em Rosa

[26], onde foi observado que os resultados da experiência seguiam a equação ( 14).

L

∆hKAq=

( 14)

52

Figura 16 – Esquema do experimento de Henry Darcy sobre fluxo de água através

de filtro de areia. Modificado [26].

Onde q é a vazão volumétrica através do leito poroso, K é uma constante de

proporcionalidade que depende do meio poroso e também leva em consideração a

viscosidade µ e o peso específico γ do fluido utilizado, sendo conhecida como

condutividade hidráulica ou coeficiente de permeabilidade do meio, A é a área

transversal do meio poroso, L é o comprimento do leito poroso e ∆h = ( 21 hh − ) é a

diferença de carga d’água associada à vazão obtida (perda de carga do fluxo).

A Lei de Darcy é válida apenas para escoamentos laminares, onde se

verifica uma relação linear entre a velocidade de Darcy e o gradiente hidráulico. Para

verificar se os escoamentos são laminares ou turbulentos, utilizam-se limites definidos

pelo número de Reynolds.

No âmbito da Mecânica dos Solos, interessa apenas o escoamento laminar,

no qual as partículas do fluido se movem em camadas segundo trajetórias retas e

paralelas. O escoamento laminar fica determinado por uma velocidade crítica, abaixo da

qual toda a tendência à turbulência é absorvida pela viscosidade do fluido.

53

A equação ( 14) de Darcy foi determinada de acordo com as seguintes

condições:

• Fluxo isotérmico, “laminar” e permanente.

• Fluido incompressível, homogêneo e de viscosidade invariável com a

pressão.

• Meio poroso homogêneo, que não reage com o fluido.

Na engenharia de petróleo, a lei de Darcy generalizada tem sido muito

utilizada, obtendo resultados satisfatórios. De modo geral, pode-se escrever a equação

como:

dl

dAKq

φµ

γ=

( 15)

De modo que, A é a área total da seção transversal e não a área real aberta

ao fluxo. Devido ao fato de o fluxo ser no sentido de potenciais decrescentes, o que faz

com que a velocidade aparente e o gradiente de potencial

dl

dφ tenham sinais opostos,

a equação passa a ter o sinal negativo.

O potencial de um fluido é definido pela seguinte expressão:

( )0

0

zzdp

p

p

−+= ∫ γφ ( 16)

onde z e 0z são alturas em relação a um nível de referência arbitrário, e p

e 0p são pressões atuantes nos níveis z e 0z . Para um fluido estático, não existe

diferença de potencial entre os vários pontos desse fluido.

54

A trajetória do fluxo deve ser orientada. Quando se deseja que a vazão seja

positiva, deve-se orientar a trajetória do escoamento no mesmo sentido da velocidade

aparente do fluido. Observou-se que a gravidade auxilia o escoamento.

A lei de Darcy, representada pela equação ( 14), pode ser escrita em termos

de potencial como:

LA

Kq

φγµ

∆= ( 17)

onde:

21 φφφ −=∆ ( 18)

os índices 1 e 2 representam a entrada e a saída do meio poroso,

respectivamente. É importante observar que o potencial na entrada do meio poroso é

maior que o potencial na saída do mesmo, ou seja, o fluxo se processa no sentido de

potenciais decrescentes.

Através da equação ( 19), que relaciona a velocidade aparente do fluido com

os gradientes de potencial, serão introduzidas as expressões das velocidades na equação

da continuidade.

s

Kv s

s ∂∂−= φ

µγ

( 19)

Onde o índice “s” é uma trajetória de fluxo qualquer, sK a permeabilidade

do meio poroso na direção do fluxo, γ o peso específico do fluido, µ a viscosidade do

fluido e φ o potencial de fluxo, que é o agente responsável e propulsor do deslocamento

do fluido no meio poroso. Utilizando-se a equação ( 19), foram desenvolvidas as

velocidades aparentes nas três direções de fluxo. Ao se introduzir as expressões das

55

velocidades na equação da continuidade, Equação ( 13), obtém-se uma nova forma para

a equação diferencial do escoamento que será mostrada a seguir:

( )ρφφµ

γρφµ

γρφ

µγρ

tz

k

zy

k

yx

k

xzyx

∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

( 20)

A Equação ( 20) está apresentada de forma geral, onde é necessário a

introdução de simplificações e condições de contorno para reproduzir as diferentes

situações em que os reservatórios brasileiros se encontram.

56

3.4.4 Equação de Estado

Na equação diferencial do escoamento, são introduzidas as equações de

estado, que são as equações que representam as compressibilidades dos fluidos e da

rocha. Para o caso de fluxo de líquidos, pode-se usar a equação geral da

compressibilidade dos fluidos, definida de acordo com Rosa [26], na Equação ( 5).

A Equação ( 5) pode ser escrita em função de x, y, z e t para poder ser

inserida na Equação ( 20). Como é comum se medirem as pressões dos fluidos no

reservatório em vez da sua massa específica, é conveniente escrever a equação em

termos da pressão. Tanto a compressibilidade do líquido como os gradientes de

elevação são, em geral, valores muito pequenos, de modo que, quando elevados ao

quadrado, resultam em termos muito menores ainda e, portanto, desprezíveis quando

comparados com os outros termos da equação, o que está de acordo com o

desenvolvimento deste trabalho, onde se considera o fluido incompressível. Assim, a

equação da difusividade hidráulica pode ser escrita de forma mais compacta como:

t

P

z

P

y

P

x

P

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

η1

2

2

2

2

2

2

( 21)

A Equação ( 21) é conhecida como equação da difusividade hidráulica. O

termo η é chamado de constante de difusividade hidráulica e P é a pressão do fluido.

Para poder obter a solução da equação da difusividade, para os diversos

tipos de sistemas lineares e radiais, em meios porosos horizontais, sujeitos aos regimes

de fluxo permanentes, pseudopermanente e transiente, deve-se adequar a Equação ( 21)

para cada caso.

57

3.4.5 Fluxo Radial

Nesta geometria de fluxo radial, a velocidade aparente do fluido em um

ponto qualquer do meio poroso pode ser determinada como:

dr

dkv

φµγ−=

( 22)

adotando-se a vazão como número positivo,

dr

dk

A

q φµγ=

( 23)

No caso de fluxo radial, A é a área transversal aberta ao fluxo que varia com

a posição no meio poroso. Logo, para um sistema radial homogêneo e isotrópico,

considera-se que as linhas de fluxo convergem para o eixo central do poço, gerando

superfícies equipotenciais concêntricas, como é mostrado na Figura 17 a seguir:

Figura 17 – Superfícies equipotenciais no fluxo radial. Modificado [26].

58

Para uma dada superfície equipotencial, a área transversal aberta ao fluxo é:

hrA θ= ( 24)

onde θ é o ângulo (radiano) formado pelos limites laterais do meio poroso,

“r” a distância da superfície ao centro do poço e “h” é a espessura (uniforme) do meio.

Sendo assim, a equação genérica para fluxo radial incompressível torna-se:

dr

dr

hkq

φγµ

θ= ( 25)

A definição de potencial é:

dr

dz

dr

dp

dr

d +=γ

φ 1 ( 26)

Então a equação genérica para o fluxo passa a ser:

+=dr

dz

dr

dpr

hkq γ

µθ

( 27)

Para um reservatório radial ( πθ 2= ), de raio interno “wr ” e raio externo

“ er ”, a equação de fluido incompressível pode ser integrada de acordo com a equação a

seguir:

∫ ∫∫ +=e

w

e

w

e

w

p

p

z

z

r

r

dzdpr

dr

kh

q γπµ

2 ( 28)

resultando:

59

( )wewew

e zzppr

r

hk

q −+−=

γ

πµ

ln2

( 29)

onde:

( ) ( )[ ]wewewe

zzpprr

hkq −+−= γ

µπ

/ln

2 ( 30)

Para o caso de fluxo horizontal, a expressão da vazão se reduz a:

( )( )we

we

rr

pphkq

/ln

2

µπ −

= ( 31)

Os conceitos apresentados anteriormente também podem ser utilizados para

outras geometrias de fluxo, como por exemplo, o fluxo esférico.

60

3.4.6 Fluxo Radial Permanente

Para representar o fluxo dos fluidos do reservatório para dentro do poço,

utiliza-se uma equação de fluxo radial. A Figura 18 mostra esquematicamente as

características do problema.

Figura 18 –Fluxo Radial. Modificado [26].

De acordo com a Figura 18:

wr → raio do poço;

er → raio externo ou raio da formação;

wp → pressões no poço;

ep → pressões no raio externo;

h → altura do sistema.

Para um fluido incompressível, considerando uma coroa de raio “r” e

espessura “dr”, a lei de Darcy em coordenadas cilíndricas pode ser escrita como:

61

dr

dpK

A

qVr µ

−==

( 32)

onde:

→rV é o que se chama de velocidade aparente na direção radial; A é igual a hrπ2 e,

integrando entre os limites, obtém-se:

( )( )we

we

rr

pphKq

/ln

2

µπ −

−= ( 33)

Normalmente, trabalha-se com valores positivos da vazão de produção. O

sinal negativo expressa que o fluxo ocorre no sentido contrário do crescimento do valor

da coordenada r.

3.4.7 Pressupostos de Modelagem

Para se resolver uma equação diferencial, é necessário se traduzir para a

linguagem matemática as diversas imposições associadas a cada problema físico

específico. Estas restrições são denominadas condições de contorno e permitem a

determinação dos limites de integração da equação diferencial.

O número de condições de contorno necessárias para a resolução de uma

equação diferencial depende da quantidade de variáveis independentes envolvidas,

sendo que, para cada uma destas variáveis independentes, são necessárias tantas

condições de contorno quanto for o maior grau da derivada em relação a esta variável.

Portanto, a solução da equação da difusividade para o fluxo radial exige uma condição

de contorno em relação ao tempo, denominada condição inicial, e duas condições de

contorno em relação à distância radial, condições de contorno interna e externa

respectivamente.

A percolação de fluidos em um meio poroso obedece basicamente à equação

do balanço de massa e a uma “lei constitutiva” do fluido, representada, aqui, pela Lei de

Darcy. Considerando estas duas equações, pode-se obter a taxa de volume de fluido

62

produzido por um poço e, conseqüentemente, seu desempenho para diversas situações.

A equação diferencial parcial, Equação ( 34), rege o problema de fluxo em um meio

poroso.

t

Pc

z

PK

zy

PK

yx

PK

x tzzyyxx ∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ φ

( 34)

Os termos na Equação ( 34), têm o seguinte significado:

x, y e z – coordenadas espaciais;

t – tempo;

xxK , yyK e zzK – permeabilidade nas direções x, y e z;

P – poro-pressão;

φ – porosidade;

ct – compressibilidade do reservatório;

A Equação ( 34), análoga ao processo de difusão térmica, permite que a

equação de difusividade térmica seja aplicada na representação do problema.

Admite-se, neste trabalho, que o escoamento 3D segue a equação ( 34),

conforme mostrado na Figura 19.

63

Figura 19 – Desenho esquemático da geometria de um cubo elementar e suas

cargas. Fonte: ROSA [26].

As condições de contorno do problema são dadas por uma pressão interna

no túnel e uma pressão externa, igual à pressão estática, aplicada em um raio

suficientemente distante do eixo do poço, no caso 100 vezes o raio externo do poço, de

tal forma que a esta distância a pressão no reservatório não seja perturbada pelo

escoamento linear incompressível.

3.4.8 Produtividade de Poços em Regimes Estabilizados de Fluxo

Existem dois tipos de regimes estabilizados de fluxo, o permanente e o

pseudopermanente. Geralmente, encontra-se uma equação para o cálculo da vazão em

função das pressões estática e de fluxo em um determinado momento da vida produtiva

do poço. Essa equação permite a estimativa da produtividade do poço em um regime

estabilizado de fluxo, como será mostrado em ( 35). Neste trabalho, o simulador atende

ao estudo do poço canhoneado, que considera o fluxo de fluido em regime permanente.

Quando chega à superfície, o fluido produzido passa por equipamentos

reguladores de fluxo, que podem ser fixos ou ajustáveis. As vazões e as pressões na

cabeça do poço são controladas pela restrição imposta ao fluxo. Portanto, por si só, não

64

caracteriza a capacidade de fluxo do poço, que é caracterizada pelo índice de

produtividade (IP), definido por:

we

w

PP

qIP

−=

( 35)

Onde “ wq ” é a vazão do poço, eP a pressão estática do reservatório e wP é a

pressão de fluxo no poço. O índice de produtividade pode ser utilizado para estimar a

vazão do poço para diferentes pressões de fluxo, correspondentes a diferentes aberturas

nos reguladores de fluxo.

A vazão de produção que aparece na equação está relacionada às condições

de pressão e temperatura do reservatório. No caso de fluxo permanente, a pressão

estática, isto é, aquela que o reservatório atingiria se mantido o poço fechado por um

tempo muito grande, difere da pressão média no instante do fechamento.

65

4 ESTUDOS PARAMÉTRICOS

4.1 Introdução

A busca da obtenção do máximo de eficiência de um sistema, quer seja uma

máquina ou uma estrutura, utilizando a menor quantidade possível de recursos, sempre

foi um objetivo da engenharia.

Na produção de poços de petróleo, este tema tem sido muito debatido nas

últimas décadas. Em especial, a definição de quais fatores poderiam ser manipulados de

forma a alcançar uma maior produção de poços canhoneados.

Neste contexto, vale ressaltar que, neste capítulo, será apresentado um

estudo paramétrico, que não se trata de um estudo de otimização, mas da determinação

de como algumas características do poço e propriedades da rocha-reservatório afetam a

produção.

4.2 Procedimento de Solução

Procedimentos de solução numérica têm sido propostos para modelar o problema

de fluxo em poços canhoneados. Os primeiros trabalhos envolvendo modelagem

numérica foram publicados na década de 80. Autores como Locke [9] e Tariq [10]

foram os pioneiros na aplicação de elementos finitos. Tariq [11], a partir de várias

simulações, estudou a influência de diversos parâmetros relacionados a geometria do

canhoneio e da rocha reservatório sobre a produção dos poços. Procedimentos baseados

no MEF (método dos elementos finitos) são também descritos em Tariq [10], Klotz et

al.[8]; aqueles baseados no Método das Diferenças Finitas são descritos em Harris [6] e

Hong [7].

Recentemente, Ansah [2] deu uma importante contribuição na construção

geométrica de poços canhoneados. Por meio de elementos finitos, reproduziu com

66

maior fidelidade a geometria do poço canhoneado, como por exemplo, a distribuição

espiral e a forma cônica dos túneis.

Dada à existência da analogia mencionada no Capítulo 3, e considerando a

ampla capacidade dos programas comerciais em simularem o problema de transferência

de calor, selecionou-se o programa comercial MSC.Marc, como especificado em [20].

A geração das malhas feita no pré-processador MSC.Patran [19] em conjunto com o

aplicativo Acumen [25], permitiu a rápida construção de modelos com diferentes

cenários de produção.

MSC.Patran

O MSC.Patran [19] é um programa CAE, Computer Aided Engineering, que

permite, de uma forma interativa, a modelagem tridimensional e a visualização de

resultados de aplicações em elementos finitos. Através de uma interface de fácil

interpretação, o programa disponibiliza várias ferramentas CAD e de customização.

O MSC.Patran possui, como parte integral, a linguagem PCL, PATRAN

Command Language. Esta linguagem permite escrever aplicações, criar comandos

específicos, executar modelagens parametrizadas e integrar programas comerciais ou

desenvolvidos pelo próprio usuário ao pré-processador. O PCL é uma linguagem

estruturada de alto nível com muitas características semelhantes a programas

tradicionais. Essas características incluem:

- operadores aritméticos e relacionais, expressões string;

- funções intrínsecas de matemática e string;

- alocação dinâmica de strings e arrays;

- estruturas de controle e condição lógica;

Baseado nestas características, foi construído o aplicativo ACUMEN para

geração automática de malhas em poços canhoneados, introduzindo no MSC.Patran a

parametrização da geometria do canhoneio. Após definir as funções dentro da

linguagem PCL, que comandam forma, dimensão e propriedades do material de poço

67

canhoneado, uma interface html foi desenhada para que o usuário visualizasse e

fornecesse os parâmetros necessários à construção do modelo.

MSC.Marc

Segundo a documentação da MSC.Software, o solver MSC.Marc [20] pode

ser utilizado em análises mecânicas lineares e não-lineares em regime estático ou

dinâmico, transferência de calor e eletromagnetismo.

O sistema de equações algébricas, criado a partir das equações diferenciais

que regem o fenômeno, é solucionado para casos lineares através dos métodos de Gauss

e Newton-Raphson. Para o caso não-linear, além do Newton-Raphson, existem o

Newton-Raphson Modificado e o método Iterativo. Este último é apontado como o mais

eficiente para alguns casos, devido à rápida solução do sistema de equações.

No que se refere à transferência de calor, o MSC.Marc possui um sólido

arcabouço na simulação de problemas lineares e não-lineares, em regime transiente e

permanente, para uma, duas ou três dimensões. A não-linearidade no problema térmico

inclui considerações como propriedade de material dependente da temperatura, efeito do

calor latente (mudança de fase) e condições de contorno não lineares (convecção e

radiação). Estas características do simulador atendem ao estudo do poço canhoneado,

que considera o fluxo de fluido em um regime permanente. Isto é importante porque o

programa resolve a equação da difusividade hidráulica como a equação da difusividade

térmica.

68

Tipos de Elementos

O MSC.Marc dispõe de elementos hexaédricos com 8 e 20 nós (Figura 20) que

podem ser utilizados para a solução de fluxo. Os trabalhos realizados pela Petrobras [1]

indicaram que o elemento de 8 nós, apesar de utilizar interpolação linear, é mais

adequado para o tipo de problema. A aplicação de elementos de 20 nós eleva o custo

computacional sem ganhos significativos na solução.

Figura 20 – Desenho esquemático dos elementos hexaédricos de 8 e 20 nós

4.2.1 Características do Modelo Numérico

Para a geração das malhas de elementos finitos que representam o modelo

do poço vertical canhoneado, foram consideradas as seguintes regiões:

- O túnel da perfuração;

- A zona danificada pelo canhoneio;

- A zona invadida pelo fluido de perfuração e

- O reservatório.

A separação do modelo em regiões simplificou a sua construção e

visualização, dando maior liberdade ao processo de refinamento da malha empregando

o aplicativo de geração. Em resumo, cada região é construída através de segmentos de

reta e arco, gerando, assim, o contorno de um corpo sólido. Para cada segmento ou arco,

é possível definir o número de elementos empregados para a discretização, através do

arquivo geometric_data.pcl.

O arquivo geometric_data.pcl funciona como input para que o MSC.Patran,

através da linguagem PCL, construa a malha do poço canhoneado. Escrito em um

69

formato .txt, o arquivo contém informações de quais procedimentos o MSC.Patran deve

seguir para construir a geometria do modelo, discretizar a malha de elementos finitos,

definir condições de contorno, propriedades e grupos (labels).

Os segmentos básicos que constituem o modelo numérico são ilustrados na

Figura 21 e Figura 22. Estas figuras representam a vista frontal e lateral dos túneis,

abrangendo também a região do poço próxima ao túnel. Os segmentos estão numerados

de 1 a 13, em uma seqüência que será empregada mais adiante na definição do

procedimento de gradação da malha.

A Figura 21 ilustra os segmentos que constituem o túnel em vista frontal e

em perfil longitudinal. Como pode ser observado, o túnel é representado pelos

segmentos 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10 e 11. Em detalhe, a linha pontilhada na Figura 21c indica a

posição do dano na formação, sendo a sua extensão representada pelo segmento 9.

O desenho esquemático da Figura 22 ilustra os parâmetros que definem as

características geométricas do modelo. Os valores considerados para estas

características estão apresentados na Tabela 1.

Na Figura 23, é apresentada uma perspectiva da malha na região central do

modelo, ilustrando as quatro partes do modelo. O túnel da perfuração está representado

pela cor verde, o reservatório pela cor cinza escuro, os danos provocados pelo

canhoneio e pela perfuração são representados respectivamente pelas cores vermelha e

amarela. Esta figura mostra também como a malha construída obedece à definição de

segmentos colocada na Figura 21 e na Figura 22 .

70

Figura 21 –Desenho esquemático. Fonte: [3].

(a) representação dos segmentos da face interna do poço,

(b) detalhe dos segmentos no túnel e

(c) detalhe do túnel na direção radial do poço

7

8

9 10 11 13

(c)

1 1

1

2 2

2 5

5

4

2

2 2

2

2 2

4

4

3

3

3

(a)

(b)

71

Figura 22 –Desenho esquemático do túnel do canhoneio. Fonte: [3].

Figura 23 – Perspectiva da região central do modelo. Fonte: [3].

Lp

Dehr ec

Deh

Lf

Dehf

rf

re

h

rw

72

Tabela 1 – Características geométricas do modelo

rw = raio interno do poço 4,250 in

re = raio externo com condição de contorno 425,0 in

rf = raio do dano da formação 8,250 in

Lp ( )98 tt + = profundidade do túnel do canhoneio 15,000in

ec ( )4t = espessura do dano do canhoneio 0,500 in

Deh ( )1t = diâmetro de entrada no revestimento 0,500 in

Dehr ( )2t = diâmetro do túnel na interface

cimentação/reservatório

1,000 in

Dehf ( )3t = diâmetro final do túnel 0,500 in

Lf ( )9t = comprimento da ponta do túnel 0,500 in

ecs ( )6t = espessura do revestimento 0,375 in

ecm ( )7t = espessura da cimentação 0,375 in

h = altura do reservatório 1,000 ft

Obs.: a nomenclatura nt é referente ao aplicativo de geração automática de

malhas;

73

4.3 Gradação da malha

O arquivo geometric_data.pcl, mencionado no item anterior, contém uma

matriz de refinamento que permite definir um padrão de construção de malhas para

diversas simulações. Nesta matriz, cada linha (numerada de 1 a 13) representa um

segmento de reta ou arco do modelo (como descrito no item anterior), e cada coluna

corresponde a um nível de refinamento. Portanto, cada elemento da matriz fornece o

número de elementos para um dado segmento em um determinado grau de refinamento.

Para exemplificar o uso da matriz de refinamento, ilustraremos a construção

de uma malha com um nível de refinamento 5 empregando a matriz apresentada na

Figura 19. O resultado é a malha da Figura 25 onde a discretização do túnel sem a ponta

cônica, representado pelos segmentos 9 e 10 na Figura 21c, apresenta quatro elementos,

obedecendo a soma dos valores indicados nas linhas 9 e 10, coluna 5 da matriz de

refinamento da Figura 24.

É válido lembrar que a numeração de linhas e colunas na matriz de

refinamento segue a convenção da Álgebra Linear, ou seja, linhas numeradas em ordem

crescente de cima para baixo e colunas em ordem crescente da esquerda para a direita.

1 [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]@ 2 [2,2,2,2,3,2,2,2,2,2]@ 3 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 4 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 5 [3,6,9,12,13,18,21,24,27,30]@ 6 [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]@ 7 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 8 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 9 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 10 [2,2,2,3,3,3,3,3,3,3]@ 11 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 12 [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]@ 13 [5,10,15,20,30,30,35,40,45,50]]

Figura 24 – Matriz de Refinamento.

74

Figura 25 – Refinamento da malha do túnel em um poço canhoneado.

4.4 Parâmetros Relevantes; Índice de Produtividade

Definidos o pré-processador e o solver, a produção de poços canhoneados

será estudada variando parâmetros geométricos do poço e propriedades físicas da rocha-

reservatório.

Dentre os parâmetros que mais influenciam na eficiência da completação,

mencionam-se: densidade efetiva dos furos (número de furos por pé), profundidade do

túnel na formação, ângulo de fase e diâmetro dos túneis.

Considerando estes parâmetros na simulação, será feita a análise da

influência de cada um no índice de produtividade, permitindo o conhecimento de quais

cargas proporcionam melhores resultados. A razão de índices de produtividade (PR) que

será apresentada nos resultados deste trabalho é calculada de acordo com a Equação á

seguir:

tw

e

w

e

idealabertopoço

canhoneadopoço

sr

r

r

r

J

JPR

+

==ln

ln

( 36)

onde:

J poço canhoneado – índice de produtividade do poço canhoneado;

J poço aberto ideal – índice de produtividade do poço aberto;

rw – raio do poço;

75

re – raio do reservatório;

s t – skin total.

O índice de produtividade do poço aberto foi calculado de acordo de acordo

com a seguinte Equação, a lei de Darcy aplicada a fluxo radial.

=∆

=

w

eidealabertopoço

rr

hk

P

qJ

ln

2

µ

π ( 37)

onde:

q – vazão do poço;

∆P – diferencial de pressão (diferença de pressão entre as bordas interna e

externa da malha);

k – permeabilidade da rocha;

h – altura do intervalo produtor;

µ – viscosidade do fluido.

4.5 Generalização dos Estudos de Refinamento da Malha

4.5.1 Introdução

Nesta Seção, apresentam-se resultados de estudos de refinamento, gradação

da malha de elementos finitos que representa o problema do fluxo em poços

canhoneados. Considera-se que o primeiro passo para modelagem numérica utilizando

elementos finitos é o estudo de refinamento da malha. Este estudo define o nível de

precisão que se deseja alcançar na solução. Como regra geral, modelos mais refinados

produzem resultados mais precisos, porém aumentam o custo computacional. Como no

problema de canhoneio mesmo os modelos mais simples são relativamente grandes, é

preciso definir malhas que produzam bons resultados com custo computacional baixo.

76

O estudo de refinamento de malhas do poço canhoneado baseou-se em

problemas de poço aberto. Neste tipo de problema, a malha na direção radial, definida

como uma semi-reta, sentido formação-poço, apresenta uma concentração de elementos

de pequeno tamanho na região de poço, tornando-se maiores à medida que se afastam

do poço. Esta concentração de elementos busca capturar a rápida variação do gradiente

de poro-pressão na vizinhança do poço.

O estudo de refinamento apresentado a seguir tomou como ponto de partida

o efetuado em [1]. Naquele projeto, realizou-se um estudo de gradação de malha

específico para uma configuração de carga de 6 spf, a qual foi utilizada exclusivamente

para mostrar o potencial do modelo numérico que foi desenvolvido. O estudo

paramétrico então realizado teve como objetivo medir o potencial do modelo numérico

desenvolvido, através do estudo de 4 parâmetros, utilizando uma carga com 6 spf.

No presente trabalho, realiza-se um estudo paramétrico muito mais amplo,

abrangendo seis configurações de carga, desde 1 spf até 6 spf. Baseado no modelo

anterior, a partir de uma carga com 4 spf, definem-se as quantidades de elementos nas

direções radiais e circunferências e na região dos túneis para aplicação em modelos com

qualquer densidade de carga.

Com estes modelos, na próxima seção apresentam-se resultados de estudos

envolvendo quatro parâmetros (variação da profundidade do túnel, permeabilidade do

dano da formação, anisotropia da rocha reservatório e relação entre o raio externo do

reservatório e o raio interno do poço) e seis configurações de cargas comerciais (1, 2, 3,

4, 5 e 6 spf).

4.5.2 Características Físicas do Problema

Foram considerados problemas caracterizados por parâmetros próximos da

realidade de campos de petróleo brasileiros. A Tabela 2 mostra as propriedades dos

materiais que são considerados no estudo desta seção e a Figura 26 mostra um desenho

esquemático das propriedades dos materiais. O valor atribuído à permeabilidade do

túnel representa uma região vazia. As permeabilidades nas regiões danificadas pelo

canhoneio e pela perfuração foram consideradas idênticas às da rocha intacta.

77

Tabela 2 – Propriedades do reservatório

Permeabilidade da rocha, k 1.000 mD

Permeabilidade do túnel 1.000.000 mD

Permeabilidade da zona

danificada pelo canhoneio, kc

1000 mD

(kc/k=1)

Permeabilidade da zona

danificada pela perfuração, kf

1.000 mD

(kf/k=1)

Anisotropia (kz / kxy) 1,0

dano da perfuraçãocimentorevestimento

dano do canhoneio

Figura 26 –Desenho esquemático das propriedades dos materiais.

4.5.3 Características Geométricas

Observa-se, nos dados apresentados na Tabela 1, que o estudo de

refinamento é realizado em modelos com relação entre o raio interno e raio externo

igual a 1/100. Esta relação, segundo Ansah [2], produz bons resultados devido ao

afastamento da borda externa do modelo da região perturbada pelo canhoneio, região

próxima à parte interna do poço.

78

4.5.4 Malhas Geradas

Para encontrar um conjunto de malhas de elementos finitos que represente

um poço canhoneado com fidelidade e o menor tamanho possível, procura-se

determinar como os elementos devem ser distribuídos no modelo e, partindo disto, criar

um padrão de construção de malhas para diversas simulações. Este padrão é definido

como uma matriz de refinamento escrita no arquivo geometric_data.pcl.

O estudo de gradação efetuado estabelece uma configuração de dez malhas para

cada carga simulada, o que define uma matriz de refinamento para cada carga,

semelhante à ilustrada na Figura 24.

Baseado no estudo de refinamento apresentado em [1], o primeiro conjunto

de malhas, quatro tiros por pé, estabeleceu um padrão inicial, limitando a quantidade

mínima de elementos a ser designada em certas regiões do modelo. Uma destas

limitações é quanto ao número de elementos utilizados no segmento 5, onde o excesso

de elementos afeta significativamente o tamanho do modelo gerado e a alocação de

memória necessária para simular o exemplo.

A Tabela 3 apresenta o código, o número de nós e a vazão das 10 malhas

estudadas. As Figura 27 a Figura 36 apresentam as malhas estudadas, permitindo

diferenciar os níveis de refinamento nas direções radial e circunferencial.

Foram gerados nove conjuntos de malhas de acordo com o padrão da Tabela

3, representando as configurações de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 e 12 tiros por pé. Cada

conjunto contém um total de 10 malhas com diferentes refinamentos, os quais são

especificados através do arquivo geometric_data.pcl que controla a quantidade de

elementos a serem designados sobre determinadas regiões do modelo.

A divisão do poço canhoneado em diferentes regiões facilitou a construção

tanto da geometria quanto da malha do modelo. Estas regiões representam o túnel da

perfuração, zona danificada pelo canhoneio, zona danificada pela perfuração do poço e

o reservatório. A cada região associou-se um label, semelhante ao AutoCAD, o que

permitiu a visualização individual ou conjunta das regiões no pré e pós-processador.

79

Tabela 3 – Características do refinamento das malhas

Malha Número de Nós Vazão

PC_ER_4spf_r1gd41 62001 2.097,8215

PC_ER_4spf_r2gd41 67637 2.097,170

PC_ER_4spf_r3gd41 73273 2.096,721

PC_ER_4spf_r4gd41 78909 2.096,398

PC_ER_4spf_r5gd41 84509 2.096,158

PC_ER_4spf_r6gd41 90181 2.095,975

PC_ER_4spf_r7gd41 95817 2.095,833

PC_ER_4spf_r8gd41 101453 2.095,719

PC_ER_4spf_r9gd41 107089 2.095,627

PC_ER_4spf_r10gd41 112722 2.095,552

80

Figura 27 – PC_ER_4spf_r1gd41.


81



82



83



84



85

4.5.5 Resultados

Um conjunto de dez malhas para oito densidades de carga foi criado para

avaliar o refinamento das malhas. A vazão (parâmetro de interesse neste estudo) e o

número de nós são as variáveis utilizadas para determinar que malha proporcionará o

melhor resultado com o menor custo computacional. Tomando os conjuntos de malhas

gerados com diferentes níveis de refinamento, são efetuadas análises cujos resultados

são apresentados em um gráfico relacionando vazão por número de nós no modelo,

permitindo a avaliação do desempenho de cada malha.

Uma primeira idéia de como seriam as malhas a serem usadas no estudo de

refinamento foi obtida com a carga de quatro tiros por pé. Baseado no estudo anterior

[1] foram elaboradas duas matrizes de refinamento. Na primeira matriz, designada por

A, cada coluna possui no mínimo dois elementos diferentes das nove colunas restantes.

A segunda matriz, designada por B, foi construída utilizando um nível de refinamento

da matriz A. A diferença da matriz B é que esta possui apenas um elemento diferente

entre cada coluna.

A Figura 37 compara os valores de vazão para dois conjuntos de malha que

representam a carga de quatro tiros por pé. A primeira, em cor vermelho, mostra o

resultado obtido por uma matriz de refinamento, designada por matriz A, onde todos os

níveis de refinamento são diferentes entre si. A segunda, em azul, mostra o resultado

obtido por uma matriz de refinamento onde todos os segmentos permanecem com o

mesmo número de elementos, independente do nível de refinamento, exceto para o

segmento 5. Esta matriz, designada por matriz B, utilizou como referência o nível de

refinamento 6 da matriz A.

86

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

12000 32000 52000 72000 92000 112000 132000 152000 172000

Número de Nós

VA

ZÃ

O in

/dia

PC_ER_4spf_r *_gd4

PC_ER_4spf_r6gd41

Figura 37 – Gráfico Vazão versus Número de Nós.

Observando-se o gráfico, foi escolhida a malha que apresentou o menor

número de nós com uma diferença mínima no valor da vazão em relação a malhas com

refinamentos melhores, esta diferença está em torno de 0,05%. Este resultado foi

encontrado depois de ter feito aproximadamente novecentas análises como teste. A

partir dos resultados, adotou-se o nível de refinamento 6, malha PC_ER_4spf_r6gd41,

como padrão para os próximos estudos, devido ao bom resultado apresentado em

relação ao custo computacional.

Complementando este trabalho, foi realizado um estudo adicional de

refinamento ao longo do comprimento do túnel. Este estudo mostrou que o modelo já

estava bem discretizado nesta direção.

87

4.5.6 Validação do Modelo de Fluxo

No relatório [1], foi realizada a validação do modelo que está sendo

utilizado neste trabalho, através da comparação com as soluções de Tariq [10] e Ansah

[2].

Comparando os resultados obtidos, verificou-se que as soluções

aproximavam-se e a concordância entre os resultados é boa.

Tanto para o modelo de Ansah [2] quanto para o de Tariq [10], as curvas

obtidas apresentaram maiores incrementos na razão de índices de produtividade à

medida que aumentava a profundidade dos túneis. Alguns detalhes que não foram bem

definidos na geometria dos modelos de referência de Ansah [2] e Tariq [10] podem ter

contribuído para este comportamento. Além disso, características particulares dos

solvers Marc e Ansys também podem introduzir alguma variação nos valores

calculados.

4.6 Resultados dos Estudos Paramétricos

A seguir apresentam-se resultados de estudos paramétricos que

complementam a validação do modelo apresentada na seção anterior, e mostram o

potencial da ferramenta numérica para o estudo do problema de fluxo em poços

canhoneados.Levando em conta este aspecto, os parâmetros abordados consideraram:

� Variação da Profundidade do Túnel (Lp),

� O dano na formação causado pela perfuração do poço,

� A anisotropia da rocha-reservatório e

� A Relação entre o raio externo do reservatório e o raio interno do poço.

O próximo item desta seção descreve o “modelo padrão” tomado como

referência; os itens seguintes descrevem os estudos acerca de cada um destes

parâmetros.

Vale lembrar que, como mencionado na seção anterior, a validação ou

comparação da resposta obtida pelo simulador numérico com soluções encontradas na

88

literatura (que é um requisito prévio à execução de estudos paramétricos como os aqui

efetuados) já foram realizados em [3].

4.6.1 Modelo Padrão

Para a elaboração do estudo paramétrico, foi utilizado um modelo de poço

vertical canhoneado, o qual será designado como “modelo padrão”.

Excetuando o parâmetro geométrico em estudo, indicado no título do

respectivo item que será apresentado mais adiante neste capítulo, todas as dimensões do

modelo padrão seguem as os valores indicados na Tabela 4.

Tabela 4 – Parâmetros geométricos do modelo padrão

rw 4,250 in

re 425,000 in

Lp 14,500 in

Deh 0,500 in

Dehr 0,750 in

Dehf 0,500 in

Lf 0,500 in

h 3,000 ft

ef 5,000 in

Além destes parâmetros geométricos, a construção do modelo padrão segue parte

das hipóteses lançadas para a solução analítica do poço aberto ideal, quais sejam:

1) Reservatório representado por um cilindro com faces paralelas, topo e base, como

indicado na Figura 22(b);

89

2) Raio da borda externa do reservatório muito maior que o raio do poço para

garantir fluxo radial;

3) Condição de contorno de poro-pressão no reservatório, ou pressão estática,

aplicada na distância “re” ao longo de toda a altura “h” do reservatório como

definido na Figura 22(b);

4) Fluido do reservatório é incompressível.

Na hipótese 2, o raio da borda externa do reservatório foi adotado como 100

vezes o raio do poço, conforme estudos de Freitas et al [1] e Ansah [2]. A hipótese 3

diferencia-se da hipótese de poço aberto por estabelecer apenas na borda externa a poro-

pressão ao longo da altura “h”. No poço canhoneado, a pressão de poço é colocada na

ponta dos túneis e não ao longo da altura “h” na parede do poço. Neste estudo, a altura

“h” assume o valor de 3ft.

Outra característica do modelo padrão diferente da solução do poço aberto é

a natureza do meio poroso no poço canhoneado, que se apresenta como um material

heterogêneo e anisotrópico. Os parâmetros de material adotados no estudo paramétrico

estão listados na Tabela 5. Conforme é visto nesta tabela, adotou-se uma permeabilidade

no túnel significativamente maior que a permeabilidade da rocha intacta, com o objetivo

de garantir que não exista nenhuma perda de carga neste local.

90

Tabela 5 – Propriedades do reservatório

Permeabilidade da rocha, K 1.000 mD

Permeabilidade do túnel, Kp 1.000.000 mD

Permeabilidade da zona danificada pelo

canhoneio, Kc

100 mD

(kc/k=0,100)

Permeabilidade da zona danificada pela

perfuração, Kf

1.000 mD

(kf/k=1)

Anisotropia (Kz / Kxy) 0,100

Obedecendo estas hipóteses, o poço canhoneado é submetido a um gradiente de

pressão da ordem de 50 Kgf/cm2 em um regime de fluxo permanente. Os valores da

pressão estática e da pressão no poço estão indicados na Tabela 6.

Tabela 6 – Valores de pressão aplicados no modelo padrão

Pressão estática (Kgf/cm2) 100,000

Pressão no poço (Kgf/cm2) 50,000

As malhas de elementos finitos utilizadas nas simulações deste tópico seguem o

padrão definido no item anterior, reproduzindo o comportamento de um poço

canhoneado para várias densidades de carga. Todavia, o aumento do número de túneis

sempre ocasionou na malha um aumento expressivo no número de graus de liberdade,

levando, por vezes, o solver MSC.Marc a abortar a simulação por problemas de

alocação de memória. Dada esta dificuldade, para alguns parâmetros do estudo, o

número de cargas simuladas será menor do que o indicado no estudo de refinamento, o

que será identificado na respectiva seção.

91

4.6.2 Anisotropia

A facilidade com que um fluido percola através da rocha-reservatório está

relacionada diretamente com a permeabilidade, não somente pelo seu valor absoluto,

mas, também, pela sua orientação, lembrando que a permeabilidade é uma propriedade

que varia espacialmente nas três direções.

A anisotropia é definida, neste estudo, como a relação entre a

permeabilidade vertical pela permeabilidade horizontal assumindo valores de 0,1 a 1. O

efeito da anisotropia na razão de produtividade foi avaliado para cargas de 1 a 6 spf.

Para a faixa de valores de anisotropia limitada no estudo, o gráfico da Figura

38 mostra que a razão de produtividade aumenta suavemente de modo que a

permeabilidade vertical se aproxima do valor da permeabilidade horizontal para as seis

densidades de carga. Pela variável (%)∆ da Tabela 8, definida como a diferença relativa

entre a PR de uma carga com anisotropia qualquer pela PR da mesma carga com

anisotropia igual a 0,1, observa-se que mais da metade do aumento de PR foi devido a

diminuição da anisotropia, que ocorre até o valor de 0,4. Ainda de acordo com esta

tabela, cargas com menores densidades são as que apresentam maiores crescimentos de

PR, com a diminuição da anisotropia. Os valores de PR da Tabela 8 foram obtidos

através da Tabela 7, que apresenta os valores de vazão em pol3/s.

Observando ainda o gráfico da Figura 38, valores de Kz/Kxy acima de 0,4

praticamente não provocam mudanças significativas na taxa de crescimento da razão de

produtividade das seis densidades de carga, quase desaparecendo à medida que a rocha-

reservatório intacta se torna mais isotrópica.

Como pode-se observar na Figura 38, aumentando a densidade de carga, a

taxa de crescimento da razão de produtividade entre diferentes cargas diminui, para um

mesmo valor de anisotropia. Porém, mesmo variando a anisotropia, a forma com que as

curvas de razão de produtividade de diferentes cargas se aproximam uma das outras não

muda, evidenciando que a anisotropia não exerce efeito algum para esta situação.

É válido ressaltar que, para as condições impostas no poço canhoneado, em

nenhum momento, qualquer densidade de carga obteve um desempenho igual ou

superior ao poço aberto, como observado na Figura 38. Constata-se que todas as

densidades de carga tiveram valores de PR abaixo de 1.

92

Tabela 7 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de anisotropia em in3/s

Densidade de tiros por pé (spf) Anisotropia

1 2 3 4 5 6

0,1 1800,270 2989,290 3726,970 4245,210 4624,650 4913,310

0,2 1844,710 3046,460 3792,820 4313,52 4693,70 4982,990

0,3 1870,190 3079,690 3830,60 4352,280 4732,430 5021,570

0,4 1887,510 3102,480 3856,330 4378,530 4758,480 5047,330

0,5 1900,340 3119,490 3875,450 4397,960 4777,680 5066,230

0,6 1910,370 3132,850 3890,430 4413,150 4792,650 5080,900

0,7 1918,500 3143,730 3902,610 4425,470 4804,760 5092,750

0,8 1925,260 3152,830 3912,770 4435,730 4814,840 5102,590

0,9 1931,000 3160,580 3921,430 4444,470 4823,400 5110,930

1,0 1935,960 3167,300 3928,920 4452,020 4825,030 5118,130

93

Tabela 8 – Razão de Produtividade para diferentes valores de anisotropia

Densidade de tiros por pé (spf)

1 2 3 4 5 6 Anisotropia

(Kz/Kxy) PR ∆∆∆∆(%) PR ∆∆∆∆(%) PR ∆∆∆∆(%) PR ∆∆∆∆(%) PR ∆∆∆∆(%) PR ∆∆∆∆(%)

0,10 0,339 0,000 0,564 0,000 0,703 0,000 0,800 0,000 0,872 0,000 0,926 0,000

0,20 0,348 2,446 0,574 1,917 0,715 1,779 0,813 1,612 0,885 1,491 0,939 1,414

0,30 0,353 3,860 0,581 3,017 0,722 2,790 0,820 2,524 0,892 2,329 0,947 2,203

0,40 0,356 4,832 0,585 3,780 0,727 3,473 0,825 3,149 0,897 2,891 0,951 2,721

0,50 0,358 5,539 0,588 4,348 0,731 3,986 0,829 3,599 0,901 3,304 0,955 3,110

0,60 0,360 6,099 0,591 4,792 0,733 4,399 0,832 3,962 0,903 3,625 0,958 3,412

0,70 0,362 6,541 0,593 5,164 0,736 4,712 0,834 4,249 0,906 3,889 0,960 3,649

0,80 0,363 6,924 0,594 5,466 0,738 4,996 0,836 4,486 0,908 4,106 0,962 3,844

0,90 0,364 7,248 0,596 5,732 0,739 5,224 0,838 4,699 0,909 4,290 0,963 4,016

1,00 0,365 7,513 0,597 5,945 0,741 5,424 0,839 4,874 0,910 4,324 0,965 4,168

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Anisotropia (kz/kxy)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Razã

o de

Índice

s de

Pro

dutiv

idad

e

1 spf2 spf3 spf4 spf

5 spf6 spf

Figura 38 – Gráfico da anisotropia vs razão de produtividade.

A Figura 39 mostra o mapa de pressão para a carga de 1spf.

94

(a)

(b)

Figura 39 - Mapa de pressão para a carga de 1 spf: (a) kz/kxy igual a 0,1 e (b)

kz/kxy igual a 1.

95

4.6.3 Variação da Profundidade do Túnel (Lp)

Este estudo foi realizado variando a profundidade do túnel (Lp) entre 3 e 80 in,

para as cargas com densidade entre 1 e 6 spf como apresentado na Tabela 9. A faixa de

profundidade estudada abrange a realidade dos reservatórios brasileiros, que em geral

apresentam altos valores de Lp nos reservatórios pouco profundos e com baixa

resistência ao cisalhamento, e baixos valores de Lp no caso oposto [62].

Tabela 9 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de profundidade do túnel (in)

Densidade de tiros por pé (spf) LP

1 2 3 4 5 6

3 543,459 1.021,859 1.410,549 1.742,696 2.027,817 2.272,657

6 907,805 1.640,485 2.177,445 2.602,336 2.943,607 3.219,433

9 1.211,376 2.123,759 2.748,174 3.217,841 3.580,589 3.863,927

15 1.721,975 2.889,390 3.619,474 4.135,082 4.517,160 4.805,460

21 2.154,239 3.506,432 4.305,017 4.848,200 5.243,173 5.536,546

27 2.535,144 4.035,800 4.888,347 5.453,933 5.861,596 6.161,964

36 3.039,616 4.725,804 5.648,694 6.246,041 6.674,961 6.989,071

45 3.485,146 5.331,794 6.321,247 6.953,643 7.405,378 7.736,484

55 3.933,095 5.942,445 7.006,187 7.680,015 8.161,692 8.514,967

65 4.344,508 6.507,363 7.648,008 8.377,909 8.882,810 9.261,441

80 4.912,399 7.296,777 8.560,047 9.368,835 9.928,861 10.351,181

Os valores de PR da Tabela 10 foram obtidos através da Tabela 9, que

apresenta os valores de vazão em pol3/s.

96

Tabela 10 – Valores de razão de índices de produtividade variando com a penetração para as cargas estudadas

Densidade de tiros por pé Lp

1 2 3 4 5 6

3 0,102 0,193 0,266 0,328 0,382 0,428

6 0,171 0,309 0,410 0,491 0,555 0,607

9 0,228 0,400 0,518 0,607 0,675 0,728

15 0,325 0,545 0,682 0,779 0,851 0,906

21 0,406 0,661 0,811 0,914 0,988 1,044

27 0,478 0,761 0,921 1,028 1,105 1,161

36 0,573 0,891 1,065 1,177 1,258 1,317

45 0,657 1,005 1,192 1,311 1,396 1,458

55 0,741 1,120 1,321 1,448 1,538 1,605

65 0,819 1,227 1,442 1,579 1,674 1,746

80 0,926 1,375 1,614 1,766 1,872 1,951

O gráfico da Figura 40 mostra a relação entre a razão de índices de produtividade

e o comprimento de perfuração. Nota-se que, aumentando o comprimento da

perfuração, o índice de produtividade aumenta com o mesmo, o que está de acordo com

os resultados encontrados na literatura. Outro ponto observado é que os maiores

incrementos de produtividade ocorrem nas baixas penetrações. Este gráfico também

mostra uma curva obtida para cada densidade de carga; comparando as seis curvas,

verifica-se que há aproximação das curvas de razão de produtividade com o aumento da

densidade de carga. A taxa de crescimento da razão de produtividade entre diferentes

cargas diminui na proporção em que a densidade de carga aumenta. Este fato pode

indicar que o uso de cargas com altas densidades, necessariamente, não produz

aumentos significativos na razão de produtividade.

Outro fato importante observado é que, a partir de 4spf, o valor do índice de

produtividade cresce pouco, enquanto o modelo apresenta um valor muito significativo

do aumento da produtividade entre 1spf e 2spf.

97

0 20 40 60 80Profundidade do Túnel, Lp (in)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2R

azão

de

Índi

ces

de P

rodu

tivid

ade

1 spf2 spf3 spf4 spf5 spf6 spf

Figura 40 – Gráfico Razão de Índices de Produtividade versus comprimento do

túnel (Lp).

As Figuras 42 e 42 mostram os mapas de pressão na proximidade do poço.

Observando-se estas figuras, verifica-se que os resultados são influenciados

significativamente pela gradação da malha, tanto pela vista de topo, como pela

isométrica. Nota-se que há variação na distribuição de pressão ao redor do poço para um

mesmo valor de densidade de carga com o aumento da profundidade do túnel. Este fato

reflete o comportamento observado no gráfico da Figura 40, pois como há variação

significativa na PR para uma mesma densidade de carga, há uma variação expressiva na

pressão, mantidas as propriedades de material e geometria do poço. As Figuras 41 e 42

ilustram este comportamento para a carga de 1spf para dois reservatórios, o primeiro

com comprimento de túnel de 3in e segundo com comprimento de túnel de 80in.

Contudo, observa-se nos mapas de pressão o crescimento de uma região

próxima ao poço, indicado pelas cores verde e azul, com valores de pressão próxima aos

valores impostos nos túneis à medida que a densidade de carga aumenta.

98

Figura 41 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_LP3_r6gd1, 1spf, Lp = 3”, vista

isométrica.

Figura 42 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_LP80_r6gd1, 1spf, Lp = 80”, vista

isométrica.

99

4.6.4 Permeabilidade do Dano da Formação

Neste trabalho, foram considerados valores para permeabilidade do dano da

formação próximos da realidade de campos de petróleo brasileiros.

Neste item, foi feito um conjunto de análises onde será estudada a variação

da permeabilidade da região danificada pelo canhoneio. Foram avaliados 11 níveis de

permeabilidade entre 25 e 1000 mD (permeabilidade original da rocha), de acordo com

a Tabela 11.

Tabela 11 – Vazão do poço canhoneado para diferentes valores de permeabilidade do dano da formação

Densidade de tiros por pé Kf

1 2 3 4 5 6

25 1.314,103 2.341,524 3.042,042 3.575,244 3.985,691 4.308,172

50 1.372,896 2.428,656 3.136,807 3.669,221 4.075,024 4.391,479

100 1.457,188 2.549,833 3.268,482 3.799,562 4.199,210 4.507,972

200 1.559,609 2.691,046 3.420,700 3.949,584 4.342,549 4.643,543

300 1.622,602 2.774,220 3.508,969 4.035,984 4.425,216 4.722,277

400 1.668,093 2.832,228 3.569,516 4.094,831 4.481,496 4.776,078

500 1.701,642 2.873,739 3.612,161 4.135,996 4.520,813 4.813,738

600 1.728,527 2.906,139 3.644,973 4.167,472 4.550,825 4.842,512

700 1.750,814 2.932,366 3.671,190 4.192,477 4.574,622 4.865,337

800 1.769,746 2.954,168 3.692,730 4.212,913 4.594,034 4.883,957

1000 1.800,506 2.988,604 3.726,243 4.244,496 4.623,956 4.912,650

Os resultados obtidos podem ser vistos na Tabela 12, em termos de razão de

índice de produtividade variando com a permeabilidade do dano da formação para as

cargas adotadas.

100

Tabela 12 – Valores de razão de índices de produtividade variando com a permeabilidade do dano da formação para as cargas estudadas

Densidade de tiros por pé Kf

1 2 3 4 5 6

25 0,248 0,441 0,573 0,674 0,751 0,812

50 0,259 0,458 0,591 0,692 0,768 0,828

100 0,275 0,481 0,616 0,716 0,792 0,850

200 0,294 0,507 0,645 0,744 0,819 0,875

300 0,306 0,523 0,661 0,761 0,834 0,890

400 0,314 0,534 0,673 0,772 0,845 0,900

500 0,321 0,542 0,681 0,780 0,852 0,907

600 0,326 0,548 0,687 0,786 0,858 0,913

700 0,330 0,553 0,692 0,790 0,862 0,917

800 0,334 0,557 0,696 0,794 0,866 0,921

1000 0,339 0,563 0,702 0,800 0,872 0,926

O gráfico da Figura 43 mostra a relação entre a razão de índices de

produtividade e a permeabilidade da região danificada pelo canhoneio. Como pode ser

visto, a variação da produtividade com a permeabilidade é significativa.

Este gráfico também mostra seis curvas obtidas para densidade de carga

entre 1 e 6 spf. Nas seis curvas verificam-se maiores ganhos de produtividade para

baixas permeabilidades, compreendidas entre 25 e 300 mD, aproximadamente. A partir

de 400mD, observa-se, para as densidades de carga estudadas, que a razão de índice de

produtividade apresenta um pequeno crescimento tendendo a um valor constante para

permeabilidades próximas de 1000mD.

De acordo com a Figura 43, aumentando a densidade de carga, a taxa de

crescimento da razão de produtividade entre diferentes cargas diminui para um mesmo

valor de permeabilidade. Porém, mesmo variando a permeabilidade, a forma com que as

curvas de razão de produtividade de diferentes cargas se aproximam uma das outras não

muda, evidenciando que a permeabilidade não exerce efeito algum para esta situação.

101

Observou-se que, para as condições impostas no poço canhoneado, em

nenhum momento, qualquer densidade de carga obteve um desempenho igual ou

superior ao poço aberto, como observado na Figura 43. Constata-se que todas as

densidades de carga tiveram valores de PR abaixo de 1.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Permeabilidade, K (mD)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Raz

ão d

e Ín

dice

s de

Pro

dutiv

idad

e

1 spf

2 spf3 spf

4 spf

5 spf

6 spf

Figura 43 – Gráfico Razão de Índices de Produtividade versus Variação da

Permeabilidade do Dano da Formação (kf).

As Figuras 44 e 45 mostram os mapas de pressão na proximidade do poço.

Observando-se estas figuras, verifica-se que os resultados são influenciados

significativamente pela gradação da malha, a partir da malha PC_EP_1spf_K25_r6gd1

não se observam diferenças significativas. Nestes casos, verificam-se apenas pequenas

diferenças no contorno das curvas de isopressão. Na Figura 45 observa-se bem definida

a resolução da definição do contorno das curvas de isopressão, visto que a

permeabilidade da região danificada pelo canhoneio é maior para o mesmo refino.

102

Figura 44 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_K25_r6gd1, 1spf, kf = 25, vista

isométrica.

Figura 45 - Mapa de pressão, caso PC_EP_1spf_K1000_r6gd1, 1spf, kf = 1000,

vista isométrica.

103

4.6.5 Relação entre o raio externo do reservatório e o raio interno do poço

Diferentes modelos são considerados no estudo da produção de poços, entre

os quais citam-se os que levam em consideração o tempo (regime transiente,

permanente ou pseudo-permanente) e o tamanho do reservatório (finito ou infinito).

Este item do estudo paramétrico investiga a influência do tamanho do

reservatório na produção do poço canhoneado. Esta influência será examinada através

dos valores de razão de produtividade obtidos por simulação para diferentes relações

entre o raio do reservatório e o raio do poço.

A mudança no tamanho do raio do reservatório tem como conseqüência a

alteração na quantidade e tamanho dos elementos utilizados na malha do modelo

padrão. Visando manter a confiabilidade do resultado obtido para este item do estudo

paramétrico, a primeira etapa deste trabalho consiste em verificar o refinamento das

malhas.

Esta verificação do refinamento definirá o nível de precisão a ser alcançado

na solução do problema. Como ponto de partida para esta verificação será adotada a

malha de refinamento nível 6 para a carga de 4 spf definida em [1].

Em resumo, a distribuição de elementos na malha do poço canhoneado é

definida basicamente pelo refinamento nas direções radial e circunferencial. Como

relatado em [2], o refinamento na direção radial interfere fortemente na resposta de

vazão, enquanto que a circunferencial interfere no tamanho do modelo.

O primeiro grupo de simulações considerou a distribuição de elementos na

direção radial fixa, com 30 elementos. Este grau de refinamento na direção radial foi

definido a partir dos estudos apresentados em [1] e [3], e corresponde ao “nível de

refinamento 6” definido em [1] como padrão para os próximos estudos. Na direção

circunferencial, o refinamento é variável.

A Tabela 13 faz um comparativo entre a vazão obtida pela simulação deste

grupo de malhas e a solução analítica do poço aberto para diferentes relações entre raio

do reservatório e raio do poço. Esta comparação do resultado da simulação com a

solução analítica é obtida transformando o poço canhoneado em um poço aberto através

da alteração dos valores de permeabilidade.

104

Admitindo um erro máximo de 1%, observa-se que o refinamento da malha

foi aceitável até a razão raio do reservatório por raio do poço ( rwre ) igual a 200. Isto

sugeriu que uma nova definição de refinamento fosse feita para malhas acima desta

razão.

Tabela 13 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução analítica

Malhas

Vazão do poço

aberto

Analítico

(in/dia)

Vazão do

poço aberto

Numérica

(in/dia)

Erro relativo

(%)

PC_EP_D1-D3-50-6-30 6.245,25 6.221,71 0,38

PC_EP_D1-D3-100-6-30 5.305,25 5.302,69 0,05

PC_EP_D1-D3-200-6-30 4.611,19 4.649,90 0,84

PC_EP_D1-D3-300-6-30 4.283,39 4.363,54 1,87

PC_EP_D1-D3-400-6-30 4.077,73 4.197,26 2,93

PC_EP_D1-D3-500-6-30 3.931,31 4.087,43 3,97

PC_EP_D1-D3-600-6-30 3.819,26 4.009,11 4,97

Considerando o erro na resposta da vazão, um novo conjunto de malhas foi

construído para modelos com razão (rwre ) acima de 200. Dado que a direção radial

influencia fortemente a resposta de vazão, o novo refinamento é iniciado pela alteração

da quantidade de elementos nesta direção de 30 para 35.

A Tabela 14 mostra os resultados obtidos para este novo refinamento. Como

observado, todas as respostas de vazão para as outras relações entre raio do poço e raio

externo do reservatório apresentam um erro maior que 1% quando comparadas com a

solução analítica.

105


para malhas com razão ( rwre ) acima de 200

Malhas

Vazão do poço

aberto

Analítico

(in/dia)

Vazão do

poço aberto

Numérica

(in/dia)

Erro relativo

(%)

PC_EP_D1-D3-300-6-35 4.283,39 4.342,10 1,37

PC_EP_D1-D3-500-6-35 3.931,31 4.054,91 3,14

PC_EP_D1-D3-600-6-35 3.819,26 3.972,41 4,01

Pela Tabela 14, observa-se que o erro para malhas com razão ( rwre ) acima

de 200 diminui em relação ao primeiro refinamento (Tabela 13), mas ainda é maior que

1% e também pode-se observar que a malha 400 não foi gerada, o programa Patran

informou problemas com elementos distorcidos. Uma nova distribuição de elementos na

direção radial é feita, atribuindo 55 elementos nesta direção. A Tabela 15 mostra o

resultado obtido.

Tabela 15 – Comparativo entre resposta da simulação numérica e solução analítica para malhas

Malhas

Vazão do poço

aberto

Analítico

(in/dia)

Vazão do

poço aberto

Numérica

(in/dia) Erro (%)

PC_EP_D1-D3-300-6-55 4.283,39 4.362,97 1,86

PC_EP_D1-D3-500-6-55 3.931,31 3.987,21 1,42

Neste novo grupo de malhas, nota-se que o refinamento ainda não diminuiu

a margem de erro. Observando a limitação da memória e o erro da simulação em relação

à solução analítica, a distribuição de elementos será alterada tanto na direção

circunferencial como na radial. Para reduzir o número de simulações e definir a

quantidade de elementos a ser usada no refinamento sem causar problemas de alocação

de memória, foi simulada apenas a razão (rwre ) 500. Os números de elementos na

direção circunferencial e radial podem ser compreendidos a partir do nome das malhas

106

da Tabela 16. Por exemplo, a primeira malha tem 10 elementos na direção

circunferencial e 50 na direção radial. Esses valores foram arbitrados com base em

resultados de estudos anteriores.


para malhas com razão ( rwre ) 500

Malhas

Vazão do poço

aberto

Analítico

(in/dia)

Vazão do

poço aberto

Numérica

(in/dia)

Erro relativo

(%)

PC_EP_D1-D3-500-10-50 3.931,31 4.003,18 1,83

PC_EP_D1-D3-500-20-50 3.931,31 4.000,53 1,76

PC_EP_D1-D3-500-6-65 3.931,31 3.981,34 1,27

PC_EP_D1-D3-500-6-85 3.931,31 3.955,09 0,60

PC_EP_D1-D3-500-6-100 3.931,31 3.952,52 0,54

PC_EP_D1-D3-500-6-120 3.931,31 3.945,60 0,36

PC_EP_D1-D3-500-6-160 3.931,31 3.937,82 0,17

Como pode ser observado para a razão (rwre ) igual a 500, o resultado

aceitável foi obtido quando o número de elementos na direção circunferencial foi igual a

6 e na radial 85. Fixando esta quantidade de elementos, novas malhas foram

determinadas para todas as outras razões. O resultado destas simulações será mostrado

na Tabela 17.

107


Malhas

Vazão do poço

aberto

Analítico

(in/dia)

Vazão do

poço aberto

Numérica

(in/dia)

Erro relativo

(%)

PC_EP_D1-D3-300-6-85 4.283,39 4.287,01 0,08

PC_EP_D1-D3-400-6-85 4.077,73 4.091,20 0,33

PC_EP_D1-D3-500-6-85 3.931,31 3.955,09 0,60

PC_EP_D1-D3-600-6-85 3.819,26 3.853,59 0,90

Pela Tabela 17, observa-se que todos os valores de erro foram menores que

1%, ou seja, a distribuição de 85 elementos na direção radial é aceitável para todas as

razões ( rwre ) propostas.

Verificado o refinamento das malhas e usando o refinamento com 6

elementos na direção circunferencial e 85 na radial para malhas com razão (rwre )

superior a 200, prosseguiu-se o estudo paramétrico. A Tabela 18 apresenta os resultados

obtidos em termos de vazão para seis densidades de cargas e diferentes valores de

tamanho de reservatório.

108

Tabela 18 – Efeito da razão entre o raio do reservatório e raio do poço sobre a vazão para diferentes densidades de carga

Densidade de tiros por pé (spf) D1/D3

1 2 3 4 5 6

1/50 1.804,17 3.133,83 4.015,36 4.662,93 5.155,96 5.534,61

1/100 1.723,44 2.889,39 3.619,47 4.135,08 4.517,16 4.804,06

1/200 1.658,05 2.694,85 3.314,46 3.738,51 4.046,52 4.273,98

1/300 1.599,19 2.558,59 3.114,53 3.491,61 *** ***

1/400 1.574,44 2.490,97 3.013,40 3.364,16 *** ***

1/500 1.556,80 2.442,82 2.941,90 3.274,57 *** ***

1/600 1.543,41 2.406,27 2.887,93 3.207,22 *** ***

Observa-se que, para as densidades de carga de 5 e 6 spf, devido ao tamanho

excessivo do modelo e às limitações do hardware disponível, não se obteve uma

resposta do simulador. Com as vazões listadas na Tabela 18, foi calculada a razão PR

correspondente para cada densidade de carga. O resultado expresso em termos de razão

PR está na Tabela 19 e o gráfico correspondente na Figura 46.

109

Tabela 19 – Efeito da razão entre o raio do reservatório e raio do poço sobre a razão PR para diferentes densidades de carga

Densidade de tiros por pé (spf) D1/D3

1 2 3 4 5 6

1/50 0,29 0,50 0,64 0,75 0,83 0,89

1/100 0,32 0,54 0,68 0,78 0,85 0,91

1/200 0,36 0,58 0,72 0,81 0,88 0,93

1/300 0,37 0,60 0,73 0,82 *** ***

1/400 0,38 0,61 0,74 0,83 *** ***

1/500 0,39 0,62 0,75 0,83 *** ***

1/600 0,40 0,63 0,76 0,84 *** ***

110

100 200 300 400 500 600

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 spf2 spf3 spf4 spf5 spf

6 spf

Figura 46 - Razão de Produtividade (PR) vs razão do raio do reservatório por raio

do poço.

A Figura 46 permite observar que, quanto maior o tamanho do modelo do

reservatório, mais a razão PR tende a se aproximar de um valor constante, independente

da carga considerada. A razão para isto é que o poço tem um raio de influência, ou seja,

ele influencia no comportamento do reservatório nas suas proximidades mas, em regiões

muito distantes, sua influência é desprezível. Este limite é o raio de influência. A

condição de contorno correspondente ao limite externo do reservatório tem que ser

colocada fora da região de influência do poço. Se o raio externo do reservatório for

menor que o raio de influência do poço, o resultado vai ser influenciado; se o raio

externo for maior, não vai influenciar (que é o desejado), independentemente de ser um

pouco maior ou muito maior, ou seja, o raio do reservatório deixa de influenciar o

resultado quando passa a ser maior que o raio de influência do poço.

A observação de que a curva PR tende a estabilizar em um valor constante

para razões re/rw maiores do que 100 não invalida, ao contrário esta observação faz

parte dos estudos paramétricos e atesta a validade de se usar re/rw igual a 100, os

111

estudos paramétricos feitos com o modelo padrão, onde adotou-se uma razão igual a

100, porque a razão adotada foi baseada no estudo feito por Ansah [2], onde o gráfico

analisado era a razão do raio externo do reservatório pelo raio interno do poço em

relação ao skin. Neste trabalho, a relação é pelo índice de produtividade.

Nesse sentido, o primeiro ponto que deve ser lembrado é que o objetivo do

estudo paramétrico não é determinar a produção exata de um determinado reservatório,

mas investigar a influência de parâmetros geométricos e físicos de poços canhoneados

na vazão de óleo em um poço. Outro ponto importante, que garante a confiabilidade do

estudo paramétrico com o modelo padrão, é que estabelecendo a resposta da simulação

em termos de razão de produtividade (PR), elimina-se a influência do tamanho do

modelo sobre o parâmetro de canhoneio que está sendo avaliado. Basta lembrar que a

razão PR envolve a divisão da vazão do poço canhoneado pela vazão do poço aberto,

com o mesmo tamanho de reservatório. Portanto, a diferença de comportamento na

vazão entre o poço canhoneado e o aberto mostrado pela razão PR apresenta apenas a

influência do canhoneio na vazão do poço.

Deve-se levar em conta também os resultados apresentados em [1], no item

Validação de Resultados, onde se verifica que a resposta fornecida pelo modelo padrão

é muito próxima das fornecidas pelos modelos de Tariq [10] e Ansah [2]. Observa-se

que, no modelo de Ansah, segundo este estudo paramétrico, o valor da PR

provavelmente se estabilizou. Como apontado em [1], as pequenas diferenças que

surgiram provavelmente foram devido a detalhes geométricos e a pequenas

características existentes nos solvers Marc e Ansys que podem ter introduzido alguma

variação na resposta.

Este valor de 100 vezes o raio, conforme visto, está dentro dos valores

citados na literatura para a garantia do fluxo radial.

Retornando à interpretação do resultado das simulações, apresenta-se a

seguir os resultados de vazão para cada densidade de carga e os respectivos números de

elementos, (Tabela 20 a Tabela 25). Ao todo são 42 malhas ou modelos construídos,

onde a razão ( rwre ) assumiu os valores 50, 100, 200, 300, 400, 500 e 600.

112

Tabela 20 – Características do refinamento das malhas para 1spf

Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_1spf_D1-D3-50gd1 92.352 1.804,17

PC_EP_1spf_D1-D3-100gd1 92.352 1.723,44

PC_EP_1spf_D1-D3-200gd1 92.352 1.658,05

PC_EP_1spf_D1-D3-300gd3-6-85 301.152 1.599,19

PC_EP_1spf_D1-D3-400gd3-6-85 301.152 1.574,44

PC_EP_1spf_D1-D3-500gd3-6-85 301.152 1.556,80

PC_EP_1spf_D1-D3-600gd3-6-85 301.152 1.543,41


Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_2spf_D1-D3-50gd2 77.184 3.133,83

PC_EP_2spf_D1-D3-100gd2 77.184 2.889,39

PC_EP_2spf_D1-D3-200gd2 77.184 2.694,85

PC_EP_2spf_D1-D3-300gd2-6-85 182.784 2.558,59

PC_EP_2spf_D1-D3-400gd2-6-85 182.784 2.490,97

PC_EP_2spf_D1-D3-500gd2-6-85 182.784 2.442,82

PC_EP_2spf_D1-D3-600gd2-6-85 182.784 2.406,27

113


Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_3spf_D1-D3-50gd3 127.296 4.015,36

PC_EP_3spf_D1-D3-100gd3 127.296 3.619,47

PC_EP_3spf_D1-D3-200gd3 127.296 3.314,46

PC_EP_3spf_D1-D3-300gd3-6-85 301.536 3.114,53

PC_EP_3spf_D1-D3-400gd3-6-85 301.536 3.013,40

PC_EP_3spf_D1-D3-500gd3-6-85 301.536 2.941,90

PC_EP_3spf_D1-D3-600gd3-6-85 301.536 2.887,93


Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_4spf_D1-D3-50gd4 246.528 4.662,93

PC_EP_4spf_D1-D3-100gd4 246.528 4.135,08

PC_EP_4spf_D1-D3-200gd4 246.528 3.738,51

PC_EP_4spf_D1-D3-300gd4-6-85 365.568 3.491,61

PC_EP_4spf_D1-D3-400gd4-6-85 365.568 3.364,16

PC_EP_4spf_D1-D3-500gd4-6-85 365.568 3.274,57

PC_EP_4spf_D1-D3-600gd4-6-85 365.568 3.207,22

114


Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_5spf_D1-D3-50gd5 231.360 5.155,96

PC_EP_5spf_D1-D3-100gd5 231.360 4.517,16

PC_EP_5spf_D1-D3-200gd5 231.360 4.046,52

PC_EP_5spf_D1-D3-300gd5-6-85 548.160 ***

PC_EP_5spf_D1-D3-400gd5-6-85 548.160 ***

PC_EP_5spf_D1-D3-500gd5-6-85 548.160 ***

PC_EP_5spf_D1-D3-600gd5-6-85 548.160 ***


Malha Número de

Elementos

Vazão

PC_EP_6spf_D1-D3-50gd6 323.712 5.534,61

PC_EP_6spf_D1-D3-100gd6 323.712 4.804,06

PC_EP_6spf_D1-D3-200gd6 323.712 4.273,98

PC_EP_6spf_D1-D3-300gd6-6-85 767.232 ***

PC_EP_6spf_D1-D3-400gd6-6-85 767.232 ***

PC_EP_6spf_D1-D3-500gd6-6-85 767.232 ***

PC_EP_6spf_D1-D3-600gd6-6-85 767232 ***

Observa-se que, a partir da densidade de carga de 5 spf (Tabela 24), para a

malha com 85 elementos na direção radial, o solver MSC.Marc apresenta dificuldades

na simulação. Isto permite observar que modelos de poços canhoneados devem possuir

um tamanho próximo de 365.000 elementos para serem simulados. Ressalta-se neste

trabalho que não foi utilizado um cluster, o que permite um pequeno avanço do

programa.

115

5 CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO POR

ALGORITMOS GENÉTICOS

5.1 Introdução

A principal tarefa da engenharia de reservatórios é o desenvolvimento e

gerenciamento de reservatórios de petróleo, a fim de determinar a melhor estratégia de

produção e recuperação de óleo e gás. Dependendo do caso, procura-se buscar a

maximização da produção de hidrocarbonetos e de indicadores econômicos, ou realizar

uma comparação entre projetos para que se trabalhe com os de maior retorno, ou mesmo

realizar a explotação de campos com menores riscos envolvidos. Determinar a estratégia

de produção é um processo que requer muito tempo e esforço. A complexidade das

análises deve-se, basicamente, ao grande número de variáveis envolvidas no processo

de cálculo do índice de produtividade do poço analisado.

A determinação da estratégia ótima para canhonear um poço também requer

muito tempo e esforço, pois envolve um grande número de combinações de variáveis,

como propriedades físicas, propriedades geométricas, condições operacionais do

canhoneio e cenário econômico. Pode-se dizer que a completação dos poços é a etapa

mais importante na definição de uma estratégia, pois a partir dela o reservatório

apresentará um determinado comportamento que influenciará nas decisões estratégicas

futuras, e também a mais difícil, por depender do modelo construído através de

variáveis geológicas, consideradas incertas.

Uma ferramenta útil para auxiliar na determinação do valor ótimo de

densidades de carga por pé (spf), acompanhadas por inúmeras variáveis físicas e

geométricas do poço e do canhoneio, é a técnica de busca aleatória direcionada,

conhecida como Algoritmo Genético (AG), desenvolvida por Holland (1975), capaz de

obter a solução ótima num espaço de busca complexo. O AG é baseado na evolução das

espécies, usando operadores inspirados no processo de evolução natural.

Este trabalho visa desenvolver um sistema inteligente que correlacione

parâmetros geométricos e físicos do poço com uma possível produção a ser obtida. A

teoria de AG mostrou-se mais recomendável para compor o sistema. Um simulador

116

comercial é utilizado para simular o fluxo de fluido no poço. Este método será utilizado

pela primeira vez na análise de fluxo de fluidos em poços canhoneados; na literatura não

consta nenhum trabalho que utilize a técnica baseada em Algoritmos Genéticos em tais

problemas, levando-se em consideração a complexa distribuição em espiral das cargas

na parede do poço. Desta forma, considera-se esta área do estudo de otimização carente

de pesquisas, e sendo assim admite um grande leque de possibilidades de abordagem.

Na Figura 47 pode-se observar a complexa distribuição em espiral das cargas na parede

do poço e uma superfície que representa o dano do canhoneio.

Figura 47 – Distribuição em espiral das cargas na parede do poço.

A plena aceitação de um canhoneamento requer um exaustivo número de

análises, e uma definição equivocada pode levar um componente do sistema a alcançar

ou exceder limites de viabilidade técnica e econômica, mesmo depois de gastos tempo e

recursos com centenas de análises. Visto isto, justifica-se que seja tratada a definição

dos principais parâmetros das configurações de poços canhoneados sob a ótica da

otimização e síntese de soluções viáveis. Independente da abordagem proposta, o

projeto de fluxo de fluidos em poços canhoneados se mostra como um problema

bastante complexo de otimização, incluindo, por exemplo, várias etapas de análise,

diversas possibilidades de canhoneamento, e como foi dito anteriormente, inúmeras

variáveis geométricas e físicas. Para que não se tenha a obrigação de incluir inúmeras

simplificações em suas formulações, seja por limitações da técnica escolhida ou pelo

esforço computacional proibitivo que se traduz em uma formulação bastante completa,

117

há de se eleger para esta tarefa um algoritmo que seja robusto o bastante para se adaptar

a um espaço de busca com tamanha complexidade e que ainda permita uma modelagem

numérica refinada do problema físico representado.

118

5.2 Otimização

Neste item é apresentada uma abordagem geral, rápida e objetiva, dando um

enfoque para alguns dos principais métodos empregados em problemas de otimização.

Na engenharia, otimização é o processo de escolher, dentre as diversas

opções de projeto, a que melhor se adequa aos objetivos pré-definidos, de acordo com o

processo modelado. Ou seja, a forma pela qual os diversos fatores do processo de

projeto se inter-relacionam. O mais utilizado quando se fala em otimização na

engenharia é a otimização matemática, onde o objeto de projeto é descrito através de

uma função matemática com variáveis livres, variáveis dependentes e um valor de

mérito ou custo [50].

A Programação Matemática tem por finalidade a resolução de problemas de

otimização, que compreendem a extremização de uma dada função: minimização ou

maximização, que represente o problema em questão. Para simplificar, neste trabalho, a

otimização será considerada como um problema de maximização [43] e [44]. Os

problemas de otimização apresentam certos conceitos e definições amplamente

empregados pela literatura e de conhecimento imprescindível, deste modo, tais

definições serão apresentadas na seqüência da forma do problema de otimização.

Variável de Projeto – as variáveis de projeto são aquelas que se alteram durante o

processo de otimização. Elas podem ser contínuas (reais), inteiras ou discretas (valores

compreendidos dentro de certo conjunto fixo).

De um ponto de vista físico, as variáveis de projeto podem representar as

seguintes informações sobre a estrutura: propriedades mecânicas ou físicas do material;

a topologia da estrutura; a configuração ou a forma geométrica da estrutura; dimensões

de seções transversais ou comprimento dos elementos.

119

Restrições e Penalidades – as restrições são funções de igualdade ou desigualdade que

descrevem situações indesejáveis de projeto, que podem ou não existir. As restrições de

igualdade são bastante raras nos problemas de otimização em engenharia, sendo as de

desigualdade o caso mais comum. Podem ser divididas em dois grupos:

• Restrições Laterais – efetuadas diretamente sobre as variáveis de projeto,

limitando seus valores;

• Restrições de Comportamento – condições desejáveis de limites de tensões,

deslocamentos, freqüências naturais de vibração, etc.

Uma forma de tratar as restrições é a utilização de funções penalidade. Estas

funções são construídas com as variáveis livres do problema e são somadas ou

subtraídas da função objetivo fazendo com que nas regiões restritas a função seja

penalizada. Estas funções funcionam com barreira para o método de otimização,

podendo mesmo impedir que pontos da região restrita sejam avaliados. Mas o mais

comum é utilizar funções polinomiais ou exponenciais que alterem sensivelmente o

valor da função objetivo.

A escolha adequada das funções penalidades é uma tarefa de grande

importância na modelagem do problema de otimização [50].

Espaço de Busca ou Região Viável – É o conjunto, espaço ou região que compreende

as soluções possíveis ou viáveis do problema a ser otimizado. Deve ser caracterizado

pelas funções de restrição, que definem as soluções de forma viável ao problema a ser

resolvido.

Função Objetivo ou de Avaliação – É a função que se quer otimizar, ou seja, a função

que representa o processo de projeto. Ela pode ser de uma ou mais variáveis, sendo

estas duas opções classificadas como otimização unidimensional e multidimensional,

respectivamente. Um dos maiores problemas no âmbito da otimização é escolher

adequadamente a função que representará o problema de projeto. Ela contém a

informação numérica do desempenho de cada ponto. A otimização consiste em

determinar o ponto X tal que:

( ) ( )( )xFMaxXF = ( 38)

120

Onde nxxx ,...,, 21 são as variáveis que o algoritmo procura determinar

para otimizar. Esta função objetivo é em princípio, calculada para cada ponto.

Ponto Ótimo – É o ponto no domínio de uma função, no qual a função atinge seu valor

máximo, quando se fala de maximização, ou mínimo, no caso de minimização.

Valor Ótimo – É o valor da função objetivo no ponto ótimo.

Solução Ótima – É o par (de solução) formado pelo ponto ótimo e valor ótimo,

podendo ainda ser:

• Local – quando o valor ótimo é localizado (vizinhança);

• Global – quando o valor ótimo é global na região viável;

• Restringida – quando atende todas as restrições;

• Não-restringida – quando não atende a alguma das restrições.

Todos os métodos matemáticos usualmente apresentam teoremas provando

a sua convergência. Entretanto, nenhum deles garante uma solução ótima global,

podendo, eventualmente, até ser a solução encontrada a ótima global. Este fato

dependerá normalmente do ponto de partida fornecido para o método utilizado.

121

Esta característica dos métodos clássicos ou matemáticos é uma das suas

fraquezas que há muito se tem procurado superar, ainda sem muito sucesso. A seguir

será mostrada a seqüência do problema clássico de otimização:

Inúmeros são os métodos criados para tratamento de problemas de

otimização, bem como inúmeras são as classificações realizadas pelos autores destes

métodos existentes. Em [47] poderá ser visto uma possível classificação geral de uma

vasta gama de métodos existentes. Como o número de métodos desenvolvidos para

problemas de otimização é vasto, seria desgastante e impróprio uma abordagem

específica de todos os existentes. Deste modo, este trabalho apresenta apenas

informações gerais das classes de problemas mais comuns, bem como comentários ou

enfoque no método utilizado. A Figura 48 mostra um esquema classificatório dos

métodos de otimização.

Figura 48 – Classificação dos métodos de otimização.

Otimizaçã o

Analítica

Numérica

Linear

Não-Linear

Métodos Diretos

Métodos

Probabilísticos

Puramente Aleatórios

Evolutivos

Máx. ou Mín. f ( nxxx ...,,, 21 ) (função objetivo)

Sujeito a:

( )xg j ≥ 0 j = 1, 2,..., j (restrições de comportamento)

( )xhk = 0 k = 1, 2,..., k

)(Lix ≤ ix ≤ )(U

ix i = 1,2,..., N (restrições laterais nas variáveis de projeto ix )

122

5.2.1 Otimização Analítica e Otimização Numérica

Na engenharia, diz-se que a otimização é analítica quando é possível

resolver o problema de busca do ponto ótimo através de uma função matemática que

descreva o fenômeno por meio de uma equação contínua e diferencial, calculando-se o

ponto no qual as condições de derivada igual a zero são satisfeitas. No entanto, na

maioria dos casos práticos, a função a ser otimizada não tem solução analítica, não é

contínua nem diferenciavel; geralmente, a função a ser otimizada é o resultado de

diversas simulações. Nestes casos, só é possível a otimização numérica.

De acordo com as características da função objetivo e das restrições,

classificam-se os problemas de otimização nas seguintes sub-áreas da Programação

Matemática:

• Programação Linear – quando a função objetivo e as restrições são funções

lineares das variáveis de projeto. Dentre os métodos de maior êxito para a

solução destes problemas está o Método Simplex [48] e [49];

• Programação Não-Linear – quando a função objetivo ou, pelo menos, uma

das restrições é função não-linear das variáveis de projeto. Na maioria dos

problemas de engenharia, o modelo é uma função não linear, que exige

geralmente uma abordagem mais complexa. Dentre os métodos de maior

sucesso podem ser citados o Método de Newton, para problemas

unidimensionais, e o Método dos Gradientes Conjugados, usado para

problemas multidimensionais.

Todas as técnicas até então citadas, são baseadas no método de subida de

encosta (Hill Climbing), ou seja, investigam os pontos adjacentes do espaço de busca e

movem-se no sentido em que o valor da função objetivo aumenta, em casos de

maximização, ou diminui, em casos de minimização. Por isso, esta classe de técnicas

tende a ter dificuldades se a função objetivo tem muitos máximos e mínimos locais,

podendo, assim, convergir para um valor ótimo local; contudo, são geralmente bastante

rápidos.

123

5.2.2 Métodos Aleatórios

Os métodos ditos aleatórios, ou probabilísticos, utilizam uma abordagem

baseada na probabilidade e na aleatoriedade para variar os parâmetros de busca. Estes

métodos podem ser divididos em dois grupos: os métodos puramente aleatórios, dentre

os métodos mais conhecidos podem-se citar “Monte Carlo”, “ Pure Random

Search”[55], “Simulated Annealing” e o “Exploratory Random Search”[48] (em

problemas muito complexos, estes métodos não apresentaram eficiência na solução) e o

segundo grupo, que são os baseados na evolução de uma população em busca do ponto

ótimo. A forma como cada método executa esta evolução é que os difere. Uma

abordagem mais ampla sobre esses métodos pode ser vista em [56]. O Algoritmo

Genético (AG) é um dos métodos evolutivos mais conhecidos e, junto com a Estratégia

Evolutiva, o mais antigo.

5.3 Método de Algoritmos Genéticos

Dentro deste contexto, surgiu, em meados do século XIX, um dos mais

importantes princípios no campo da evolução da vida, a teoria da Seleção Natural de

Darwin [35], que defendia a idéia de que, na natureza, os seres vivos com melhores

características, ou seja, os mais adaptados, tendem a sobreviver frente aos demais.

Baseadas nestes princípios, foram formuladas técnicas de busca, chamadas

de Algoritmos Genéticos (AG), para utilização em processos de otimização e resolução

de problemas. Estas novas técnicas têm uma vasta aplicabilidade em problemas de

engenharia.

Da primeira tentativa de representação, por meio de um modelo matemático,

da teoria de Darwin, surgiu com o livro The Genetic Theory of Natural Selection [36]. A

evolução era tal como a aprendizagem, uma forma de adaptação, diferindo apenas na

escala de tempo. A evolução, em vez de ser o processo de uma vida, era o processo de

gerações. Como era feita em paralelo por um conjunto de organismos, tornava-se mais

poderosa que a aprendizagem.

Os algoritmos genéticos são técnicas de busca que utilizam procedimentos

iterativos que simulam o processo de evolução de uma população de possíveis soluções

de um determinado problema. O processo de evolução é pseudo aleatório, porque ele é

124

também guiado por um mecanismo de seleção baseado na adaptação de estruturas

individuais. A cada iteração do algoritmo (uma geração), um novo conjunto de

estruturas é criado através da troca de informações (bits ou blocos) entre estruturas bem

adaptadas selecionadas da geração anterior. Novas estruturas são geradas aleatoriamente

com uma dada probabilidade e incluídas na população. O resultado tende a ser um

aumento da adaptação de indivíduos ao meio, podendo acarretar também em um

aumento global da aptidão da população a cada nova geração. Neste caso, a população

evolui a cada geração se aproximando de uma solução ótima [38]. Propõe-se, neste

trabalho, a utilização de algoritmos genéticos por serem estes reconhecidos

notoriamente como uma ferramenta de robustez elevada, capaz de solucionar problemas

de síntese e otimização de alto grau de complexidade.

5.3.1 Definições Básicas

Para a perfeita compreensão do método, serão apresentadas algumas das

terminologias encontradas fartamente na literatura, como se segue:

Cromossomo - cadeia de caracteres representando informações relativas às variáveis do

problema. Cada cromossomo representa, deste modo, uma solução do problema;

Gen ou Gene - é a unidade básica do cromossomo. Cada cromossomo tem um certo

número de gens, cada um descrevendo uma certa variável do problema;

Alelo - representa uma das alternativas que um gen pode carregar, um valor que pode

ser assumido por uma certa variável;

Genótipo - representa toda a informação contida no cromossomo;

Fenótipo - é a estrutura construída a partir do genótipo, ou seja, a decodificação do

genótipo, as características do indivíduo;

Operações Genéticas - operações que o algoritmo Genético realiza sobre cada um dos

cromossomos;

Seleção - é a operação genética que tem por objetivo escolher os indivíduos que

servirão como pais no processo de reprodução;

Cruzamento (Crossover) - é o operador genético responsável pela geração de novos

cromossomos a partir da combinação aleatória dos genes de outros cromossomos;

125

Mutação - é o operador genético, aplicado depois dos processos de seleção e crossover

(cruzamento), responsável pela diversidade entre os indivíduos, através de modificações

na estrutura genética de alguns poucos cromossomos;

Função Aptidão - representa uma medida da capacidade de sobrevivência de um

cromossomo no processo de evolução, e conseqüentemente a probabilidade dele se

reproduzir com mais freqüência. É o valor, para um indivíduo, da função a ser

otimizada. Também representa uma composição da função objetivo, com funções de

penalidade estabelecidas a partir das restrições do problema;

Indivíduo - é um simples membro da população, formado por um cromossomo e sua

aptidão;

População - Conjunto de cromossomos ou soluções;

Geração - O número da iteração que o Algoritmo Genético executa.

5.3.2 Estrutura dos Algoritmos Genéticos

Um algoritmo genético é estruturado de forma que as informações referentes

a um determinado sistema possam ser codificadas de maneira análoga aos cromossomos

biológicos. Desta forma, o algoritmo assimila-se muito ao processo evolutivo natural. O

algoritmo genético básico envolve seis passos: codificação das variáveis, criação da

população inicial, avaliação da resposta, cruzamento, mutação e seleção dos mais aptos.

O pseudocódigo de um algoritmo genético básico é mostrado na Figura 49.

Nele podemos ver que os algoritmos genéticos começam com uma população P de N

estruturas geradas aleatoriamente (indivíduos), onde cada estrutura codifica uma

solução do problema. O desempenho de cada indivíduo é avaliado com base em uma

função de avaliação de aptidão. Os melhores tenderão a ser os progenitores da geração

seguinte, possibilitando que as suas características sejam transmitidas para as próximas

gerações [39].

126

Figura 49 – Pseudocódigo básico de um Algoritmo Genético.

Algoritmo AG

{ t:=0 //contador

Inicia_população (P ,t); // iniciar uma população de n indivíduos

Avaliação (P, t); // avaliar aptidão dos indivíduos da população

Repita até (t = d) // testar critérios (tempo, aptidão, etc.)

{ t:= t + 1; ); // incrementar o contador de gerações

Seleção_dos_ pais (P, t); // selecionar os pares para cruzamento

Cruzamento (P, t); // realizar cruzamento dos pares selecionados

Mutação (P, t); // pertubar o grupo gerado pelo cruzamento

Avaliação (P, t); // avaliar as novas aptidões

Sobrevivem (P, t) // selecionar os sobreviventes

}

}

onde:

t – geração atual;

d – critério para finalizar o algoritmo;

P – população

127

5.3.3 Aspectos Principais dos Algoritmos Genéticos

5.3.3.1 População

O tamanho da população indica o número de cromossomos em cada

população, ou seja, é o conjunto das soluções encontradas. Uma grande população

apresentará uma maior diversidade de soluções, contudo, computacionalmente será

dispendioso realizar tantas avaliações de funções de aptidão. Assim, as principais

influências deste parâmetro estão relacionados com o desempenho global e a eficiência

dos AGs.

Com uma população pequena, o desempenho pode cair, pois, deste modo, a

população fornece uma pequena cobertura do espaço de busca do problema. Por outro

lado, uma grande população geralmente fornece uma cobertura representativa do

domínio do problema, além de prevenir convergências prematuras para soluções locais

ao invés de globais. No entanto, para se trabalhar com grandes populações, são

necessários maiores recursos computacionais, ou que o algoritmo trabalhe por um

período de tempo muito maior.

No algoritmo genético original [37], o tamanho da população é constante

durante todo o processo evolutivo. Mas alguns autores propõem que a população deve

variar de tamanho durante a otimização, imitando o que ocorre na natureza [50] e [57].

Normalmente, a iniciação da população é feita de forma aleatória, podendo

ou não conter pontos já conhecidos do espaço solução (“seeding”) [50].

5.3.3.2 Codificação Binária

A forma mais tradicional de codificação de um algoritmo genético é através

de um código binário (0 e 1), que é armazenado num vetor de forma a relacionar um

código às variáveis do problema. Cada ponto do espaço solução é representado por um

cromossomo, que nada mais é do que uma seqüência binária com a codificação das

variáveis daquele ponto.

128

5.3.3.3 Avaliação da População (função aptidão)

Avaliação da população é realizada pela função de aptidão, que deve indicar

a “qualidade” de cada indivíduo na população, ou seja, quais indivíduos irão reproduzir

e quais irão morrer. Para problemas de otimização, ela está intimamente ligada à função

objetivo que se deseja extremizar. É preciso lembrar, entretanto, que a escolha da

função de aptidão é, para a maioria das aplicações, a etapa crítica do processo, já que ela

deverá ser avaliada para cada cromossomo, de cada população, dentro do processo

evolutivo.

De acordo com [50], como medida da aptidão do indivíduo, a primeira idéia

é utilizar a solução da própria função objetivo do indivíduo. Desse modo, a

probabilidade de um indivíduo ser selecionado seria a razão entre o seu valor de aptidão

e o somatório de todas as aptidões da população:

∑=

f

fPSelec i

i ( 39)

Onde iPSelec é a probabilidade do indivíduo i ser selecionado; if , é o valor

da aptidão deste indivíduo e ∑ f é a soma das aptidões da população.

Para evitar que exista uma convergência prematura, devido a um provável

aparecimento de um “super-indivíduo”, ou seja, um indivíduo com uma aptidão muito

alta, sendo capaz de sobreviver durante muitas gerações com alta probabilidade de ser

selecionado. Este indivíduo espalharia rapidamente seus gens por toda a população,

enquanto outros gens desapareceriam. Como conseqüência, o algoritmo converge para

um máximo local. Caso apareça um “super-indivíduo”, costuma-se utilizar um

mapeamento da função de aptidão.

De acordo com [50] e [58], existem dois tipos de mapeamento mais

utilizados: o mapeamento linear, que pode ser visto em [58] e o “ranking”. Neste

trabalho, utilizou-se o método “ranking”, onde a aptidão pode ser calculada como:

129

( ) ( )( )1−

−×−+=N

iNMinMaxMinFi

( 40)

Em que i é a posição do indivíduo dentro de “rank”, N é o número total de

indivíduos, Max é o valor do melhor indivíduo e Min é o valor do pior indivíduo.

Neste método, os indivíduos são agrupados de acordo com o valor da

“fitness” de cada um, ou seja, os piores indivíduos recebem uma nota mínima (Min) e

os melhores recebem uma nota arbitrária (máx). As notas dos demais são interpoladas

entre o melhor e o pior, de acordo com as suas posições dentro do “rank”, como pode

ser visto na equação ( 40). Dessa maneira, o segundo melhor terá uma nota um pouco

pior do que o primeiro, proporcionando uma probabilidade maior para o melhor

indivíduo.

5.3.3.4 Operadores Genéticos

São os operadores genéticos que transformam a população através de

sucessivas gerações, estendendo a busca até chegar a um resultado satisfatório. Um

algoritmo genético padrão evolui, em suas sucessivas gerações, mediante o uso de três

operadores básicos [40].

• Seleção

• Cruzamento

• Mutação

Seleção - A seleção dos indivíduos da população baseia-se no princípio da

“sobrevivência dos melhores indivíduos”, onde os cromossomos com mais alta

probabilidade de sobrevivência são copiados de forma semi-randômica uma ou mais

vezes para um novo conjunto que formará a próxima geração, denominada população

temporária. Em contrapartida, os indivíduos com baixa aptidão serão descartados da

população. Existem várias maneiras de continuar o processo de seleção, mas duas se

130

tornaram mais usuais pela eficiência e simplicidade: A seleção por Torneio e a seleção

na “Roda da Roleta”.

No torneio, de acordo com [58], cada cromossomo é selecionado para a

população intermediária da seguinte maneira: são escolhidos aleatoriamente N

indivíduos da população e o melhor dentre estes é selecionado. O valor N = 2 é usual. A

seleção por torneio não precisa de “ranking”.

Neste trabalho utilizou-se o método da roleta, que é baseado em uma roda

de roleta tradicional de cassino. Neste método, a população é embaralhada em um

gráfico do tipo “roleta”, que é modificado de tal maneira que cada número corresponda

a uma área proporcional à aptidão do indivíduo que ela representa. Em volta da parte

externa da roleta é colocado um ponteiro e, como a probabilidade do ponteiro parar em

um número é proporcional ao tamanho da casa, a probabilidade do indivíduo ser

escolhido será proporcional à sua aptidão.

De acordo com [58], este método pode ser implementado de uma maneira

simples e fácil de entender. Depois de ordenada a população de acordo com a sua

aptidão original (“rank”), é atribuída a cada indivíduo uma aptidão acumulada [50] que

é a soma das aptidões de todos os indivíduos melhores do que ele. O valor da aptidão de

cada indivíduo é determinado de acordo com a equação ( 40) e a aptidão acumulada é

calculada a partir do melhor indivíduo até N, que representa o tamanho total da

população.

Na Tabela 26, podemos observar um exemplo hipotético de indivíduos [50],

utilizando a seleção pelo método “roda da roleta”. Nesse método é sorteado

aleatoriamente um número no intervalo de 2 a N, sendo que o primeiro indivíduo que

possuir a aptidão acumulada maior do que o número sorteado será o escolhido. Por

exemplo, se sortearmos o número 12.45, o indivíduo será o 8.

Se compararmos o exemplo da Tabela 26 com a roleta de um cassino,

iremos observar que o melhor indivíduo terá maior probabilidade de ser sorteado pois, o

seu valor de aptidão é o maior, ou seja, ele será selecionado se for sorteado qualquer

número entre 0 e 2. Sendo assim, o último indivíduo, que é o pior, nunca será sorteado.

Isto ocorre porque o tamanho da área do melhor varia de 0 a 2 na roleta para ser

131

selecionado, o tamanho da área do pior é igual a zero e os demais indivíduos têm as suas

respectivas áreas do tamanho variando linearmente do maior para o menor.

Tabela 26 – Exemplo de Roleta – “Rank” hipotético de indivíduos

Fitness Aptidão Aptidão acumulada

01 0.479253 2.000 2.000

02 0.470458 1.895 3.895

03 0.462846 1.789 5.684

04 0.451415 1.684 7.368

05 0.448733 1.579 8.947

06 0.447486 1.474 10.421

07 0.435981 1.368 11.789

08 0.432302 1.263 13.053

09 0.430734 1.158 14.211

10 0.430599 1.053 15.263

11 0.429802 0.947 16.211

12 0.429455 0.842 17.053

13 0.426868 0.737 17.789

14 0.425598 0.632 18.421

15 0.425478 0.526 18.947

16 0.424361 0.421 19.368

17 0.000000 0.316 19.684

18 0.000000 0.211 19.895

19 0.000000 0.105 20.000

20 0.000000 0.000 20.000

Cruzamento - Na prática, nós podemos implementar facilmente um algoritmo genético

com o simples uso de strings de bits ou caracteres para representar os cromossomos e,

com simples operações de manipulação de bits, podemos implementar cruzamento,

mutação e outros operadores genéticos. Na Figura 50, podemos observar a

representação de um cromossomo composto por seis genes através de caracteres de

valores binários.

132

Figura 50 – Exemplos de representação de um cromossomo de genes binários.

Uma das principais características dos algoritmos genéticos que os distinguem

das demais técnicas de busca é o operador cruzamento [41]. Cruzamento é a troca de

segmentos entre “casais” de cromossomos selecionados, com a finalidade de originar

novos indivíduos que poderão ser incluídos na próxima geração. A idéia central do

cruzamento é a propagação das características dos indivíduos mais aptos da população.

O operador cruzamento é utilizado após o de seleção. As formas mais comuns de

reprodução em algoritmos genéticos são de um ponto de cruzamento, de dois pontos de

cruzamento e cruzamento uniforme.

Na reprodução baseada em um ponto de cruzamento (single-point

crossover), o ponto de quebra do cromossomo é escolhido de forma aleatória sobre a

longitude da string que o representa e a partir desse ponto se realiza a troca de material

cromossômico entre os dois indivíduos. Na Figura 51 temos um esquema da

representação desse tipo de cruzamento, na qual foi escolhido o ponto de cruzamento 3.

Figura 51 – Exemplos de representação de Pontos de Cruzamento.

Na reprodução baseada em dois pontos de cruzamento (two-point

crossover), procede-se de maneira similar ao cruzamento de um ponto, mas a troca de

segmentos é realizada a partir de dois pontos.

133

Na reprodução baseada em cruzamento uniforme (uniform crossover), cada

gene do descendente é criado através da cópia de um gene dos pais, escolhido de acordo

com uma máscara de cruzamento gerada aleatoriamente. Onde houver 1 na máscara de

cruzamento, o gene correspondente será copiado do primeiro pai e onde houver 0 será

copiado do segundo. O processo é repetido com os pais trocados para produzir o

segundo descendente. Uma nova máscara de cruzamento é criada para cada par de pais.

Mutação – A mutação é vista como o operador responsável pela introdução e

manutenção da diversidade genética na população. Ela trabalha alterando

arbitrariamente, logo após o cruzamento, um ou mais componentes de uma estrutura

escolhida entre a descendência, fornecendo, dessa forma, meios para a introdução de

novos elementos na população. O operador de mutação é aplicado aos indivíduos com

uma probabilidade dada por uma taxa de mutação mP . A Figura 52 ilustra o processo de

mutação em um indivíduo [33].

Figura 52 – Esquema gráfico de ocorrência de Mutação.

Taxa ou Probabilidade de Mutação ( mP ) – A taxa de mutação indica a probabilidade

ou taxa em que haverá a mutação de cromossomos nas populações ao longo da

evolução.

A mutação é empregada para fornecer novas informações dentro das

populações, prevenindo que as mesmas se tornem saturadas com cromossomos

similares à medida em que aumenta a diversidade populacional, possibilitando ainda

uma maior varredura do espaço de busca.

Há de se tomar cuidado, pois com uma taxa muito alta a busca pode se

tornar essencialmente aleatória.

134

Alguns pesquisadores recomendam a escolha da taxa de mutação com base

no tamanho dos cromossomos e das populações.

De Jong [52] sugere que a taxa de mutação deve ser inversamente

proporcional ao tamanho da população.

Hesser e Manner [53] sugerem que uma taxa ótima de mutação pode ser

calculada, encontrada pela expressão a seguir:

1

2

1 −

= LNPm ( 41)

Sendo N o tamanho da população e L o comprimento dos cromossomos.

Como os demais parâmetros, a taxa de mutação ideal dependerá da

aplicação a ser resolvida; todavia, a maioria das taxas utilizadas variam entre 0.001 e

0.1. Thomas Bäck, em suas últimas pesquisas, constatou que o desempenho do AG

tende a decair em populações de tamanho relativamente grande (n > 200) usando grande

probabilidade de mutação (mP > 0,05), e em populações de pequeno tamanho (n < 200)

combinadas com pequena probabilidade de mutação (mP < 0,02) [42].

5.3.3.5 Sobrevivência

Depois de gerada a população filha, é necessário escolher quem prossegue

na evolução e quem morre. Vários métodos foram desenvolvidos, mas três métodos são

os mais utilizados para gerar a nova população: Método Geracional, Elitismo e “Steady-

State”.

Método Geracional – A idéia básica deste modelo é permitir a

sobrevivência dos “pais” de boa qualidade. Este é considerado o método mais simples.

Primeiro a população atual é copiada, e uma outra população temporária é gerada

através de recombinação e mutação, ou seja, toda a população de pais é substituída pela

população filha. A partir de uma população atual de N indivíduos, um total de 2N

indivíduos são assim gerados. Finalmente, N indivíduos são selecionados a partir dos

2N. Este método pode acarretar perda de bons indivíduos que, pelo caráter aleatório do

135

AG, não tenham sido selecionados para reprodução ou o seu material genético tenha

sido modificado no cruzamento.

Estratégias Elitistas – Neste modelo, amplamente utilizado, garante-se que

os melhores indivíduos de uma geração sempre aparecerão na geração seguinte. Ou seja,

se a elite da população corrente não estiver presente na próxima população em

decorrência de alguma operação genética, então os elementos ausentes são inseridos

artificialmente no lugar dos piores indivíduos. O método mais comum de elitismo

supervisiona apenas o melhor indivíduo da população, mas para grandes populações

pode ser interessante garantir que, digamos, os dez melhores indivíduos sempre estejam

presentes na próxima geração [59].

Reprodução de Estado Estável – Ao invés de substituir toda a população

de uma vez, este modelo pressupõe que somente alguns indivíduos devam ser trocados a

cada geração [60]. No caso mais simples, insere-se apenas um indivíduo por vez no

lugar do pior indivíduo da população atual [59].

5.3.3.6 Critérios de Parada

Depois de gerada uma nova população pai, o processo se repete até que um

critério de parada seja atingido.

Como estamos tratando de problemas de otimização, o ideal seria que o

algoritmo terminasse assim que o ponto ótimo fosse descoberto. Já no caso de funções

multimodais, um ponto ótimo pode ser o suficiente, mas pode haver situações onde

todos ou o maior número possível de pontos ótimos sejam desejados. Um problema

prático é que, na maioria dos casos de interesse, não se pode afirmar com certeza se um

dado ponto ótimo corresponde a um ótimo global. Como conseqüência, normalmente

usa-se o critério do número máximo de gerações ou um tempo limite de processamento

para parar um AG. Outro critério plausível é parar o algoritmo usando a idéia de

estagnação, ou seja, quando não se observa melhoria da população depois de várias

gerações consecutivas.

Pode-se ainda estipular critérios de convergência. Interrompe-se o processo

quando uma ou mais das seguintes condições forem satisfeitas:

136

• Não houver mudança no melhor indivíduo, por um dado número de gerações;

• A média da população se aproximar do valor do melhor indivíduo;

• A variedade genética for menor que um limite mínimo.

Normalmente, usa-se uma combinação destes critérios para garantir que o

processo não seja interrompido antes que um valor razoável seja atingido, ou então que

o processo se arraste por gerações que não evoluem.

5.3.4 Vantagens dos Algoritmos Genéticos

• São robustos e aplicáveis a uma grande variedade de problemas;

• Não requerem conhecimentos ou informações dos gradientes da superfície

definida pela função objetivo;

• Descontinuidades ou complexidades presentes na superfície acarretam

pouco ou nenhum efeito no desempenho da busca;

• São mais resistentes a se prenderem a ótimos locais;

• Apresentam um bom desempenho para uma grande escala de problemas;

• São de implementação fácil e proporcionam maior flexibilidade no

tratamento do problema a ser resolvido.

137

6 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

6.1 Introdução

O código do algoritmo genético foi escrito em linguagem de programação

baseada em objetos, criando, além da solução numérica, também um ambiente gráfico

amigável de pré e pós processamento dos dados do algoritmo genético [49]. A interface

relativa ao algoritmo genético está integrada a um programa, destinado a construir o

modelo do poço canhoneado, no aplicativo Acumen [25], que permite uma rápida

construção dos modelos com diferentes cenários de produção. A geração das malhas é

feita no pré-processador MSC.Patran [19]. Este programa possui várias ferramentas,

sendo que duas são especialmente apropriadas para este problema: a designação de

labels a entidades geométricas e a automatização de geração de malhas. A associação

entre label e entidade geométrica permitiu a divisão do modelo do poço vertical em

partes, possibilitando um refinamento da malha mais detalhada em regiões críticas do

modelo. A análise do modelo, com as definidas malhas geradas, é realizada no

MSC.Marc, que tem a função de fazer o cálculo da vazão do modelo construído, que,

por sua vez, envia o resultado para o algoritmo genético, que considera aquele valor

como um indivíduo, analisa, gera outros indivíduos e retorna ao processo. Caso este seja

um valor ótimo, é encerrado o programa de algoritmo genético.

Nesta interface, é possível selecionar e controlar os parâmetros do método,

assim como definir os limites superior e inferior para cada dimensão do problema e

também definir a sua precisão.

A Figura 53 mostra um recorte da tela da interface, onde aparecem as

opções para seleção do método e os controles dos diversos parâmetros.

138

Figura 53 – Opções para seleção do Método de Otimização e parâmetros.

O modelo utilizado neste trabalho foi o de Algoritmo Genético clássico (GA

Clássico). Como pode ser visto na Figura 53, o módulo oferece várias opções, que são:

• Tamanho da população - Número total de indivíduos para todos os métodos;

• Probabilidade de Cruzamento – Valor utilizado para decidir se um par de

cromossomo irá sofrer cruzamento. Se um valor sorteado for menor do que este

valor, o par sofrerá a operação de cruzamento;

• Probabilidade de Mutação – Valor utilizado para decidir se um cromossomo irá

sofrer mutação. Se um valor sorteado for menor do que este valor, o cromossomo

sofrerá mutação;

• Cruzamento Uniforme/ Cruzamento de 1 ponto – Determina o tipo de operador de

cruzamento que será utilizado: uniforme ou de um ponto;

139

• Geração/Steady State (Estado Estável)/Elitismo – Seleciona o tipo de

sobrevivência que será utilizado. No caso do Elitismo, é possível definir quantos

indivíduos passarão para a próxima geração (Elite);

• Seleção por Torneio – Se estiver marcado este item, o torneio será uma forma de

seleção para os indivíduos que irão participar do cruzamento e mutação. Nesta

implementação o torneio é sempre entre dois indivíduos escolhidos aleatoriamente da

população. Se não estiver marcada a forma de seleção escolhida, será a roda da roleta

com “ranking” e será utilizada a equação ( 40);

• Save/Restart – Serve para salvar o estado de uma otimização e recomeçar o

processo mais tarde (ainda não operacional);

• Binário/Real – Define a forma de codificação do indivíduo. No caso de estar

selecionada a codificação real, o cruzamento será do tipo média aritmética

ponderada;

• Usar Semente Fixa – Esta opção serve para utilizar sempre a mesma semente no

algoritmo de geração de números aleatórios. Com isso, garante-se a repetição dos

valores entre duas otimizações, para efeito de verificação;

• Relatório Detalhado – Esta opção serve para imprimir, a cada geração, informações

detalhadas de cada indivíduo como: valor da função, coordenadas e velocidade,

cromossomo e outras observações;

• Critérios de parada: Existem vários, basta selecionar o que considera o mais

indicado para a análise.

� Número Máximo de Gerações – É considerado o critério mais simples. O

processo é interrompido quando um número N de gerações é atingido;

� Valor Limite para a função objetivo – Também conhecido como valor de

satisfação. Pode ser utilizado quando se conhece um valor da função

objetivo que satisfaça algum critério subjetivo. Além deste valor, a melhoria

do sistema não terá significado prático;

140

� Média x Melhor – O processo de otimização será interrompido quando o

valor da média for maior que K, K=[0,1], vezes o valor do melhor

indivíduo, durante n gerações. O número de gerações n é expresso em

função de N, o número máximo de gerações;

� Média – O processo de otimização será interrompido quando a variação do

valor da média não for maior do que K, K=[0,1], durante n gerações. Ou

seja, a média está estacionária;

� Duplo (média) – Nesta opção, os dois critérios anteriores são aplicados

simultaneamente, ou seja, o valor da média deve se manter próximo do valor

do melhor indivíduo durante n gerações e a média não deve variar além do

limite K durante estas n gerações.

As opções apresentadas acima podem ser combinadas para se obterem

variações do algoritmo básico, ou seja, codificação binária ou real, cruzamento de um

ponto ou uniforme, etc.

6.2 Parâmetros de Acompanhamento da Evolução

Durante a execução do processo de otimização, algumas quantidades

relativas ao desenvolvimento da população podem ser acompanhadas num gráfico como

o apresentado na Figura 54, onde os valores da fitness do melhor indivíduo são

mostradas em azul e do pior indivíduo em cinza. Os valores da média e do desvio

padrão da fitness da população são mostrados, respectivamente, em vermelho e rosa. E a

margem k, do critério de parada, em amarelo.

Além do gráfico, um relatório de acompanhamento da evolução é impresso,

como o da Figura 56, podendo mostrar detalhes da população ou não. Ao fim da

otimização, é impresso um resumo com o tempo total, número de indivíduos com

problemas de convergência e número de indivíduos penalizados, além dos dados do

melhor indivíduo.

141

Figura 54 – Gráfico de acompanhamento da evolução.

Figura 55 – Legenda.

Figura 56 – Relatório de acompanhamento.

142

6.3 Síntese e Otimização de Canhoneio

As principais características desejadas para um algoritmo de otimização em

engenharia são precisão e robustez. Precisão em encontrar o ponto ótimo, e robustez

para lidar com as funções que descrevem os problemas de engenharia.

No entanto, no caso de otimização de canhoneio, o custo computacional de

uma avaliação da função objetivo é muito alto e uma característica adicional deve ser

observada no algoritmo de otimização: a eficiência computacional. Ou seja, procura-se

obter um bom resultado com o menor número de avaliações da função objetivo.

Algumas execuções de um algoritmo de síntese foram feitas em [50], como

a complexidade é similar ao problema tratado nesta tese, os dados sugeridos serão os

mesmos de [50]. Será considerado um número baixo de indivíduos, pelo fato que o

objetivo é validar o programa de algoritmo genético em canhoneio, se utilizar um

número maior de indivíduos irá melhorar a precisão do resultado, porém aumentará

consideravelmente o tempo de análise.

� Tamanho da população: 20 indivíduos

� Número máximo de avaliações da função: 200

� Critério de parada: 4 gerações consecutivas com o valor da média

maior ou igual a 99% do valor do melhor indivíduo.

� Taxa de cruzamento: 0,8

� Taxa de mutação: 0,05

� Sobrevivência por elitismo: 1 (um) indivíduo.

� Seleção por “Roda da Roleta” (Rank).

6.3.1 Variáveis livres

Um modelo de canhoneio possui diversas variáveis que podem funcionar

como variáveis livres num problema de otimização. Para simplificar o problema, foram

escolhidas algumas delas, como pode ser visto na Tabela 27, com as suas respectivas

representações.

143

Tabela 27 – Variáveis livres (variáveis de projeto)

Códigos Nomes

d1 Diâmetro Externo do Reservatório

d2 Espessura da Parede de Rocha

d3 Diametro do Poço

h Altura do Passo (altura)

SPF Número de Furos por Pé

t1 Diâmetro de entrada no revestimento (Deh)

t2 Diâmetro do túnel na interface cimentação/reservatório (Dehr)

t3 Diâmetro final do túnel (Dehf)

t4 Espessura do dano do canhoneio (ec)

t6 Espessura do revestimento (ef)

t7 Espessura da cimentação

M2 Permeabilidade do dano da formação

M3 Permeabilidade do dano do canhoneio

t8 Comprimento do túnel

t9 Comprimento da ponta do túnel(tip) (Lf)

A Figura 57 mostra um desenho esquemático do túnel, com algumas das

suas respectivas representações das variáveis.

144

Figura 57 – Desenho esquemático do túnel.

Neste trabalho, como se pode observar na Tabela 28, as permeabilidades da

rocha, da formação, do canhoneio, e do túnel, a anisotropia, a pressão interna, a pressão

externa e o grau de refinamento foram todos mantidos invariáveis.

Tabela 28 – Dados Invariáveis

M1 Permeabilidade da rocha

M4 Permeabilidade do túnel

Kz Anisotropia

P1 Pressão interna

P2 Pressão externa

Refinamento Grau de refinamento

6.3.2 Função Objetivo e Restrição

O presente trabalho objetiva o estudo da sensibilidade do comportamento de

poços canhoneados, permitindo um maior conhecimento sobre alguns fatores que

influenciam na produção de óleo de uma formação. O algoritmo genético desenvolvido,

empregando o aplicativo de geração automática de malhas em conjunto com um

programa de elementos finitos, contemplam diferentes geometrias de canhoneio.

O ambiente de canhoneio é um item importante para a avaliação da

produtividade de um poço. Para o estudo do problema de fluxo em poços canhoneados,

é relevante o conhecimento a respeito dos principais parâmetros que governam o fluxo

145

na proximidade do poço. Neste contexto, será feito um estudo de otimização, com o

intuito de determinar as características ótimas do poço e propriedades da rocha-

reservatório.

Utilizou-se a seguinte expressão para a função objetivo:

i

N

iipoçoobj VKVazãoF ∑−= ( 42)

Onde:

objF - representa a função objetivo;

poçoVazão - o valor da vazão no poço para aquele indivíduo;

i

N

ii VK∑ - representa o somatório total do custo (iK ) de cada operação, que

é fornecido pelo cliente, multiplicado pelo valor da variável otimizada da operação.

Esta função nos permite determinar o valor para cada variável com o seu

determinado custo, que proporcione uma produção com maior vazão e menor custo

total. Ou seja, dado um indivíduo que chamaremos hipoteticamente de “A” com um

índice de produtividade “X” e um outro indivíduo distinto que chamaremos de “B” com

um índice de produtividade também igual a “X”, se ambos possuem a mesma vazão, a

função objetivo, vai proporcionar a escolha do indivíduo que será mais econômico, já

que a produção será a mesma.

146

6.3.3 Algoritmo de Otimização

O algoritmo utilizado foi o Algoritmo Genético, que tem como modelo

básico de canhoneio, o descrito no item 4.6.1. A partir deste modelo padrão serão

gerados os indivíduos, sendo utilizados como variáveis livres as descritas na Tabela 27.

Os limites superior e inferior de cada variável livre são fornecidos pelo

usuário, conforme visto na Figura 58, que apresenta um recorte da tela do módulo onde

aparecem as opções para seleção da variável com seus respectivos valores de limites.

Figura 58 – Variáveis livres.

Estes parâmetros foram escolhidos depois de alguns testes e avaliações

feitos em [50], o que não descarta a hipótese de uma convergência precoce neste

trabalho. Alguns parâmetros foram mantidos constantes como, por exemplo:

� Tamanho da população – 20 indivíduos

� Número Máximo de Gerações – 200

� Critério de parada – 4 gerações consecutivas com o valor da média

maior ou igual a 99% do valor do melhor indivíduo.

147

7 APLICAÇÕES – CASOS ESTUDADOS

7.1 Introdução

Como mencionado anteriormente, este trabalho trata do desenvolvimento e

aplicação de ferramentas numéricas para a otimização do fluxo em poços canhoneados.

Para validação do algoritmo desenvolvido, foram estudados alguns casos

práticos, cujos dados básicos e resultados obtidos serão apresentados a seguir. Os dados

foram criteriosamente escolhidos de forma a representarem corretamente condições

factíveis de projeto.

Foram escolhidos quatro casos para estudo e verificação do processo

desenvolvido. Os dados e características de cada caso são apresentados detalhadamente

nos próximos itens deste capítulo.

Para todos os casos de estudo foi utilizada uma função custo igual a um, só

para efeito de estudo, pois o valor real será fornecido pelo cliente. Por este fato os

resultados apresentados serviram para ilustrar a aplicação da metodologia, mas não

necessariamente são representativos de situações reais, já que não se conhecem os

índices de custo associados a cada variável livre.

Os limites de busca utilizados e os parâmetros de ajuste do algoritmo

genético são mostrados junto à descrição de cada caso analisado.

148

7.1.1 Estudo de Caso n° 1

Neste estudo foram consideradas como variáveis livres somente o número

de tiros por pé (SPF) e o comprimento do túnel (Lp). Como se pode ver na Figura 59,

que apresenta um recorte da tela do módulo onde aparecem os parâmetros de busca do

Algoritmo Genético. O SPF variou de 2 a 6 e o comprimento do túnel variou de 3” a

65”. Esta primeira análise teve como objetivo testar a eficiência do programa, visto que

o resultado do problema já é conhecido através de [2] e do estudo paramétrico realizado

no item 4.6.3 desta tese.

Figura 59 – Parâmetros do Algoritmo Genético do Caso n° 1.

149

A Figura 60 mostra também um recorte da tela do módulo apresentada no

término da análise, ou seja, um histórico do melhor indivíduo. Pode-se observar que 1x

representa o resultado da primeira variável livre, que é o número de tiros por pé,

enquanto a segunda variável, 2x , representa o resultado do comprimento do túnel.

Figura 60 – Histórico do Melhor Indivíduo do Caso n° 1.

7.1.1.1 Análise dos resultados

A convergência do algoritmo foi estabelecida segundo o critério de

proximidade entre a média da aptidão dos indivíduos e a aptidão do melhor indivíduo.

Desta forma, foi estabelecida a interrupção da evolução do algoritmo quando a

diferença entre média e melhor permanecer menor ou igual a 99% durante no mínimo 4

gerações, e será utilizada a probabilidade de mutação sugerida por [52], que diz que a

taxa de mutação deve ser inversamente proporcional ao tamanho da população, ou seja,

será utilizado o valor de 0,05.

Observando a Figura 60, verifica-se que o resultado era o esperado: o valor

do maior número de tiros por pé e o valor também do maior comprimento de túnel, visto

que ambos possibilitam um maior índice de produtividade no poço canhoneado.

150

O critério de convergência exposto acima pode ser observado para o caso

n°1, na Figura 61 a seguir:

Controle de Convergência - Caso n°1

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Geração

Apt

idão

Melhor Média

Figura 61 – Convergência do Algoritmo Genético Caso n° 1.

Como se pode observar no gráfico da Figura 61, a partir da oitava geração, o

valor da média começa ficar muito próximo do valor do melhor.

A partir de alguns estudos realizados foi observado que, quanto maior a

penetração, maior a produtividade do poço. A faixa de profundidade estudada abrange a

realidade dos reservatórios brasileiros que, em geral, apresentam altos valores de Lp nos

reservatórios pouco profundos e com baixa resistência ao cisalhamento, e baixos valores

de Lp no caso oposto, como foi dito nos capítulos anteriores. Portanto, há a validação

para o algoritmo neste caso, visto que os valores determinados coincidiram com os já

existentes na literatura.

A Figura 62, a seguir, ilustra as configurações obtidas, caracterizadas pelo

resultado, ou seja, o maior valor de índice de produtividade para um poço com maior n°

de tiros por pé, que, no exemplo, foi 6, por um maior comprimento de túnel, que foi de

65”.

151

Figura 62 – Figura representativa de 6 SPF com Lp de 65”.

Nos próximos casos, serão consideradas combinações com resultados

imprevistos. Vale a pena comentar que o resultado poderá ser diferente, se o usuário

fornecer valores distintos de um.

152


Neste item as variáveis otimizadas foram: o número de tiros por pé (SPF), o

comprimento do túnel (Lp) e a variação da permeabilidade do dano da formação. O SPF

variou de 2 a 6, o comprimento do túnel variou de 3” a 80” e a permeabilidade entre 25

e 1000 mD (permeabilidade original da rocha de acordo com a Tabela 5).

Como se pode observar na Figura 63, a variação da permeabilidade do dano

da formação está entre os limites de 0,009 e 0,341. O aplicativo ACUMEN [25] não faz

conversão de unidades, portanto, todos os valores devem ser inseridos num sistema

compatível.


153

A Tabela 29 mostra a conversão de alguns valores de permeabilidade, para

facilitar ao leitor uma melhor compreensão.

Tabela 29 – Valores de permeabilidade

K

(mD) µK

141 −− Ninday

1000 0.341

800 0.273

700 0.239

600 0.205

500 0.171

400 0.137

300 0.102

200 0.068

100 0.034

50 0.017

25 0.0085

A Figura 64 mostra um recorte do histórico do melhor indivíduo, que é

fornecido no término da análise. Estes valores já eram também esperados, ou seja, um

maior número de tiros por pé para o maior valor de comprimento do túnel.

154



Neste trabalho, foram considerados valores para a permeabilidade do dano

da formação próximos da realidade de campos de petróleo brasileiros.

O critério de convergência do algoritmo foi o mesmo utilizado no estudo de

caso n° 1 e o valor da taxa de mutação também foi o mesmo de 0,05. O gráfico de

convergência do algoritmo genético pode-se visto na Figura 65.

A contribuição que o algoritmo forneceu neste exemplo foi encontrar o

valor ótimo de permeabilidade do dano da formação para essas condições geométricas,

que foi determinado em aproximadamente 328 mD.

155


1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

2900

3100

3300

3500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Geração

Apt

idão

Melhor Média

Figura 65 – Convergência do Algoritmo Genético caso n°2.

A Figura 65 mostra o gráfico do controle de convergência. Observa-se que o

valor da média se igualou ao valor do melhor na décima quinta geração, ou seja, a

presença de mais uma variável gerou mais tempo de análise.

156


Para este estudo de caso, as variáveis otimizadas foram: o número de tiros

por pé (SPF), o comprimento do túnel (t8), diâmetro de entrada no revestimento (t1),

diâmetro do túnel na interface cimentação/reservatório (t2), diâmetro final do túnel (t3)

e espessura do dano do canhoneio (t4).

O desenho esquemático de algumas variáveis de projeto pode ser

visualizado na Figura 57, para melhor compreensão do problema. A Figura 66 mostra

um recorte da tela do módulo, onde foram inseridos os valores máximos e mínimos para

cada variável a ser otimizada.


157

A Figura 67 mostra um histórico do melhor indivíduo, com as seis variáveis

otimizadas.



De acordo com a Figura 67, o melhor indivíduo é o que apresenta:

- Número de tiros por pé (SPF) = 6

- Comprimento do túnel (t8) = 46,05”

- Diâmetro de entrada no revestimento (t1) = 0,21”

- Diâmetro do túnel na interface cimentação/reservatório (t2) = 0,86”

- Diâmetro final do túnel (t3) = 0,21”

- Espessura do dano do canhoneio (t4) = 0,22”

De acordo com esses valores encontrados, observamos que há coerência,

pois um poço com maior número de tiros por pé, geralmente, apresenta um alto índice

158

de produtividade quando o valor da espessura do dano do canhoneio se apresenta

pequeno, como foi determinado nesta rodada.

A convergência do algoritmo foi também estabelecida segundo o critério de

proximidade entre a média da aptidão dos indivíduos e a aptidão do melhor indivíduo,


Figura 68 – Dados de entrada dos parâmetros de síntese de otimização Caso n° 3.

159

A Figura 69 mostra o gráfico de convergência do Algoritmo Genético.


-300

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Geração

Apt

idão

Melhor Média

Figura 69 – Convergência Algoritmo Genético caso n°3.

Observa-se no gráfico da Figura 69 que a convergência do algoritmo

genético ocorreu na décima sexta geração, mostrando que, quando o número de

variáveis livres é acrescido, conseqüentemente aumenta-se o número de gerações.

A Figura a seguir mostra a configuração da geometria do poço canhoneado

caracterizado pelo resultado da execução do algoritmo genético.

160

Figura 70 – Esquema de um poço canhoneado com as configurações do melhor

indivíduo.

161


A tecnologia do canhoneio tem evoluído, com impactos comprovados na

produtividade. A bibliografia especializada mostra investimentos feitos, tanto em

projeto de novos canhões e nos tipos de carga, como também na área de modelagem

física e numérica, voltada para subsidiar o dimensionamento das operações de

canhoneio, como já foi mencionado neste trabalho.

No que diz respeito à adequação e otimização dos canhoneios, pouco ou

quase nenhum dado de poços canhoneados existe em bibliografias no Brasil, levando-se

em conta as características das rochas e dos fluidos existentes nos reservatórios

brasileiros. Dentro desse contexto, considera-se importante o desenvolvimento de

pesquisa voltada para a tecnologia de canhoneio. Modelagens realizadas com

simuladores das companhias prestadoras de serviços indicam ganhos potenciais de até

40% nas situações em que os canhoneios mostram-se adequados aos tipos de

reservatórios e fluidos.

Neste estudo de Caso n° 4, que tem como objetivo otimizar o poço, será

feito um estudo do melhor indivíduo para um poço canhoneado com os valores de poços

de realidade brasileira. A Figura 71 mostra um recorte da tela do módulo, onde foram

inseridos os valores máximos e mínimos para cada variável a ser otimizada.

162


A Figura 72, a seguir, mostra um desenho esquemático de um corte

transversal de um poço, para que o leitor possa visualizar melhor as variáveis utilizadas

neste estudo de caso.

Figura 72 – Desenho Esquemático de um Poço.

163

A Figura 73 mostra um histórico do melhor indivíduo, com as cinco

variáveis otimizadas.



De acordo com a Figura 73, o melhor indivíduo é o que apresenta:

- Espessura da Parede de Rocha (d2) = 19”

- Diâmetro do Poço (d3) = 5”

- Número de tiros por pé (SPF) = 5”

- Espessura do revestimento (t6) = 0,52”

- Espessura da cimentação (t7) = 0,16”

A convergência do algoritmo foi também estabelecida segundo o critério de

proximidade entre a média da aptidão dos indivíduos e a aptidão do melhor indivíduo,


164

Figura 74 – Dados de entrada dos parâmetros de síntese de otimização Caso n° 4.


1500

1800

2100

2400

2700

3000

3300

3600

3900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Geração

Apt

idão

Melhor Média

Figura 75 – Convergência Algoritmo Genético caso n°4.

Observa-se no gráfico da Figura 75 que a convergência do Algoritmo

Genético ocorreu na décima quinta geração.

165

8 CONCLUSÕES

8.1 Introdução

Este capítulo descreve as conclusões dos resultados dos estudos

paramétricos realizados neste trabalho e as conclusões sobre o comportamento dos

Algoritmos Genéticos no canhoneio. Em seguida apresenta algumas sugestões para

trabalhos futuros e as referências bibliográficas.

8.2 Conclusões dos Estudos Paramétricos

Este trabalho apresentou estudos paramétricos utilizando uma ferramenta

numérica 3D, com elementos finitos, para o tratamento do problema de fluxo em poços

canhoneados verticais. Nesta linha de trabalho, foram realizados estudos que abrangem

a gradação ou refinamento da malha, a validação do modelo e, por fim, estudos de

sensibilidade a parâmetros importantes que definem o problema.

Os estudos de sensibilidade consideraram a variação de quatro parâmetros

(profundidade de penetração da carga, permeabilidade do dano da formação, anisotropia

de permeabilidade do reservatório e relação entre o raio externo do reservatório e o raio

interno do poço) e seis configurações de cargas comerciais (1, 2, 3, 4, 5 e 6 spf). Cargas

com maior densidade, chegando até 27 SPF, poderão ser consideradas posteriormente,

quando se dispuser de mais recursos computacionais em termos de hardware,

(principalmente memória RAM), e de software (como capacidade de alocação de

memória e disponibilidade de solvers mais robustos).

Os resultados obtidos permitem lançar as seguintes conclusões sobre os

fatores que afetam a produção de poços canhoneados:

� O comprimento do túnel, como era esperado pelos resultados de campo e de

literatura, apresentou influência significativa na razão de produtividade,

166

demonstrando que ele deve ser um parâmetro a ser sempre considerado em

canhoneamento de poços.

� O dano da formação exerce um relevante efeito na produção de um poço

canhoneado, reduzindo sensivelmente a razão de produtividade. A redução da

produtividade com o aumento da espessura do dano da formação é grande,

principalmente quando abrange toda a região canhoneada.

� A anisotropia, para a faixa de valores estudada nas análises paramétricas,

mostrou pouca influência na razão de produtividade. A produção para um poço

vertical, cujo eixo é paralelo a um dois eixos que definem o tensor de

permeabilidades, mostra que a permeabilidade que exerce maior influência é a

do plano perpendicular ao eixo do poço.

� Quanto à relação entre o raio externo do reservatório e o raio interno do poço,

para as relações estudadas, foi observado que, quanto maior o tamanho do

modelo do reservatório, mais a razão de produtividade tende a se aproximar de

um valor constante, independente da carga considerada. A razão para isto é

que o poço tem um raio de influência, ou seja, ele influencia no

comportamento do reservatório nas suas proximidades mas, em regiões muito

distantes, sua influência é desprezível. Este limite é o raio de influência. A

condição de contorno correspondente ao limite externo do reservatório tem

que ser colocada fora da região de influência do poço. Se o raio externo do

reservatório for menor que o raio de influência do poço, o resultado vai ser

influenciado; se o raio externo for maior, não vai influenciar (que é o

desejado), independentemente de ser um pouco maior ou muito maior, ou seja,

o raio do reservatório deixa de influenciar o resultado quando passa a ser

maior que o raio de influência do poço.

167

8.3 Conclusões sobre o comportamento dos algoritmos genéticos no

canhoneio

Com os resultados obtidos pela aplicação da ferramenta de síntese em

algoritmos genéticos, chega-se à conclusão de que os métodos de otimização baseados

em algoritmos evolutivos, em especial o método de algoritmo genético, são altamente

recomendados para a utilização em otimização de poços canhoneados, conseguindo

analisar dados geométricos e físicos com um menor tempo de análise global e mais

praticidade.

Considerando o desempenho geral do algoritmo, podemos observar, através

dos gráficos de controle de convergência, que não existe dificuldade em atingir a

convergência de acordo com o critério adotado. Em todos os casos, a convergência foi

atingida em um número de gerações nunca superior a vinte.

Vale ressaltar que os indivíduos que são replicados na população por

conseqüência dos processos de seleção e mutação não são reavaliados, ou seja, o

algoritmo reconhece que aquele indivíduo é uma cópia de outro já avaliado

anteriormente e simplesmente repete o valor de avaliação calculado para aquele. Este

procedimento reduz bastante o número de avaliações à medida que a convergência vai

sendo atingida.

O maior problema da otimização de poços canhoneados é o alto custo

computacional para efetuar as análises pois, à medida que vai aumentando o número de

tiros por pé, o tempo de análises também vai aumentando simultaneamente, o que limita

o uso de análises mais precisas. No entanto, com o rápido desenvolvimento do poder de

processamento dos computadores, em muito breve será viável a utilização deste tipo de

análise, bem como a utilização de populações maiores, melhorando sensivelmente a

qualidade dos resultados.

Nos exemplos deste trabalho foi utilizado um computador com processador,

512 Mb RAM, e os tempos de execução foram altos, onde uma resposta rápida é

altamente desejável. Por isso devem-se buscar meios de reduzir o tempo de

processamento total. Várias soluções podem ser adotadas, dentre as quais explorar o

168

processamento paralelo. Também existem técnicas de implementação de algoritmos

evolutivos que exploram o processamento paralelo, com a população sendo distribuída

entre os processadores ou cada processador executando a análise de um indivíduo.

Outra limitação do programa é que, quando falta energia o programa para e

não salva os dados anteriores já gerados, iniciando-se na primeira geração. Caso o

programa salvasse os dados da última geração, retornaria a partir desse ponto, o que iria

converter num ganho significativo de tempo computacional.

È importante ressaltar que quando forem acrescentados os custos às

variáveis livres otimizadas, os resultados vão ser diferentes.

169

8.4 Sugestões para Trabalhos Futuros

Apesar dos esforços no sentido de procurar a maior abrangência possível no

que se refere a análise de problemas, desenvolvimentos e implementações, algumas

pendências podem ser identificadas, as quais devem ser resolvidas em trabalhos

posteriores. A seguir são apresentadas as principais pendências identificadas e que, se

resolvidas, podem contribuir muito para a aplicação eficiente do algoritmo genético:

� Agrupar os resultados efetuados em um banco de dados, para comparações

em campo e subsídio para novas pesquisas;

� Para os próximos anos, um maior número de alternativas “mistas” da idéia

genética com outras estratégias, que lhe agreguem novas capacidades, podem

ser desenvolvidas, aprimoradas e difundidas no meio técnico, aumentando o

leque de aplicações e trazendo novos benefícios na resolução dos problemas

já tratados.

� Outras sofisticações têm sido desenvolvidas e incorporadas aos algoritmos

genéticos para aumentar suas potencialidades, tais como: adaptação e

distribuição uniforme da população inicial.

� A adaptação usualmente é estática, ou seja, são escolhidos parâmetros,

funções e/ou operadores no início do algoritmo e levados até o fim da

execução. Entretanto, recentemente uma maior atenção vem sendo dada à

adaptação dinâmica, isto é, dentro do processo evolutivo, o próprio algoritmo

seleciona os parâmetros de configuração e/ou os operadores genéticos a

serem utilizados, e possivelmente, até mesmo a função objetivo,

principalmente em casos de aplicação de penalidades [54].

� Para os problemas de otimização, as vantagens da utilização dos Algoritmos

Genéticos são consideráveis, principalmente pela sua versatilidade na

obtenção de soluções ótimas globais, enquanto que suas desvantagens serão

sanadas por uma maior consolidação da técnica e pelo desenvolvimento de

maiores capacidades computacionais.

170

8.5 Referências Bibliográficas

[1] FREITAS, S. M. S., SOARES, A.C, SILVESTRE, J. R., JACOB, B. P., BORGES,

A. F., MENEZES, A. P. (setembro de 2004). Relatório Técnico 601178 – Adequação

dos Canhoneios às Formações. CENPES/Petrobras.

[2] ANSAH, J, PROETT, M. A., SOLIMAN M. Y. (February 2002.). Advances in Well

Completion Design: A New 3D Finite-Element Wellbore Inflow Model for Optimizing

Performance of Perforated Completions. SPE 73760.

[3] FREITAS, S. M. S., SILVESTRE, J. R., SOARES, A. C., SANTOS, J. A. C. M.,

BORGES, A. B., JACOB, B. P., MATTA P. S. , SILVA K. F., Análise Numérica 3D de

Canhoneio pelo Método dos Elementos Finitos, Cobramseg – Congresso Brasileiro de

Mecânica das Rochas e Engenharia Geotécnica, agosto de 2006.

[4] BARTUSIAK, R., BEHRMANN, L.A. and HALLECK, P.M. – Experimental

investigation of surge flow velocity and volume needed to obtain perforation cleanup.

Journal of Petroleum Science and Engineering, vol.17, pp. 19-28.

[5] Recommended Practices for Evaluation of Well Perforators, API recommended

practice 43, first edition, September 28, 2002.

[6] HARRIS, M. H. (April 1966). The Effect of Perforating on Well Productivity, JPT,

Trans, AIME 237, p518-528.

[7] HONG, K. C. (August 1975). Productivity of Perforated Completions in Formations

With or Without Damage, JPT, Trans., AIME 259, p 1027-1038.

[8] KLOTZ, J. A., KRUEGER, R. F., PYE, D. S. (November 1974). Effect of

Perforation Damage on Well Productivity. JPT, Trans., AIME 257, p.1303-1314.

[9] LOCKE, S. (December 1981). An Advanced Method for Predicting the Productivity

Ratio of a Perforated Well. JPT, p. 2481-2488.

[10] TARIQ, S. M. – Evaluation of Flow Characteristics of Perforations Including

Nonlinear Effects With the Finite Element Method, SPE (May 1987) 104-12.

171

[11] TARIQ, S. M., Ichara, M. J., M. J., and Ayestaran, L. – Performance of Perforated

Completions in the Presence of Anisotropy, Laminations, or natural Fractures, SPE

(Nov. 1989) 376-84.

[12] J. K, PUCKNELL, L. A. BEHRMANN, An Investigation of the Damaged Zone

Created by Perforating, SPE 22811, 1991

[13] Y. S. DOGULU, Modeling of Well Productivity in Perforated Completions, SPE

51048, 1998

[14] FOLSE, K., ALLIN M., CHOW, C., HARDESTY, J. – Perforating System

Selection for Optimum Well Inflow Performance, SPE 73762, 2002.

[15] BROOKS, J. E., YANG, W., BEHRMANN, L. A. – Effect of Sand-Grain Size on

Perforator Performance.

[16] BEHRMANN, L. A. – Underbalance or Extreme Overbalance, SPE 31083, 1996.

[17] PETERS, A. D. AND HENSON, S. W. – New Well Completion Stimulation

Techniques Using Liquid Jet Cutting Technology, SPE 26583.

[18] SOUTO FILHO, J. D., ESTELITA, L. O. E ARAÚJO R. – Avaliação da

Performance de Canhoneios Não-Convencionais no Âmbito da E&P-RNCE, relatório

do projeto 8.4, E&P-RNCE/PROTEC, novembro de 1999.

[19] PATRAN – MSC.Patran Release Guide, Version 2003.

[20] MARC – MSC.Marc Release Guide, Version 2003.

[21] LOCKE S. – An Advanced Method for Predictingthe ProductivityRatio of a

Perforated Well. Journal of Petroleum Tecnology (December, 1981), 2481 – 2488.

[22] TARIQ, S. M. – Evaluation of Flow Characteristics of Perforations Including

Nonlinear Effects With the Finite Element Method, SPE (May 1987) 104-12.

[23] TARIQ S. M., KARAKAS M. – Semianalytical Productivity Models for Perforated

Completions, paper SPE 18247, February 1991.

172

[24] Recommended Practices for Evaluation of Well Perforators, API recommended

practice 19B, first edition, November 2000, errata, September 28, 2001.

[25] ACUMEN – MSC.Acumen MSC.Marc Release Guide, Version 2003.

[26] ROSA, A. J., CARVALHO, R. S., XAVIER, J. A. D., (2006). Engenharia de

Reservatórios de Petróleo – Editora Interciência.

[27] Dees, J. M.; Handen, P. J. and Jupp, T.B. – “Overbalance Perforating and

Stimulation Method for Wells”; US Patent n°5,131,472; July 21, 1992.

[28] Dees, J. M.; - “Method of Sand Consolidaton with Resin”; US Patent N°5,178,218;

1992.

[29] BIANCO, L. C. B., Técnicas de canhoneio em Poços de Petróleo, Curso de

Completação de poços para profissionais de Perfuração, CAPRO - 65, Macaé, Outubro

de 1995.

[30] ASADI, M. e PRESTON, F. W. (June 1994). Characterization of the Jet

Perforation Crushed Zone by SEM and Image Analysis, SPEFE, p.135-139.

[31] LEMONGE, A. C. de Castro, Aplicação de Algoritmos Genéticos em Otimização

Estrutural, Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 1999.

[32] MUNROE, C. E., Amer F. Sci., pág 35, 48, 1888.

[33] J.H. HOLLAND. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann

Arbor:University of Michigan Press, 1975.

[34]J.H. HOLLAND and J.S. Reitman. Cognitive systems based on adaptive

algorithms. In D.A. Waterman and F. Hayes-Roth, editors, Pattern-Directed

Inference Systems. New York: Academic, 1978.

[35] DARWIN, C. “Sobre a Origem das Espécies por Meio da Seleção Natural”. 1859.

[36] FISHER, R.A. “The Genetic Theory of Natural Selection”, 1960.

[37]GOLDBERG, D. E. “Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine

Learning”. Massachusets: Addison-Wesley Co, 1989.

173

[38]SOBRINHO, A.C. “Uma análise dos algoritmos genéticos e suas aplicações em

sistemas de acesso à informação”. Monografia de conclusão de curso, CGCC,

Universidade Federal do Maranhão, 2003.

[39]PALAZZO, L.A.M. “Algoritmos para Computação Evolutiva”. – Relatório Técnico

– Pelotas: Grupo de Pesquisa em Inteligência Artificial – Universidade Católica de

Pelotas.

[40]SHAPIRO, J. “Genetic Algorithms in Machine Learning”, taught at the Advanced

Summer School on Machine Learning and Applications, 1999.

[41]MITCHELL, M. An Introduction to Genetic Algorithms. Massachusets: MIT Press,

1996.

[42]BACK, T. “Evolutionary Algorithms in Theory and Practice: Evolution Strategies,

Evolutionary Programming, Genetic Algorithms”. New York: Oxford University

Press, 1996.

[43]BAZARAA, M. S. and Shetty, C. M., Nonlinear Programming – Theory and

Algorithms. John Wiley & Sons, New York, 1979.

[44]KIRSCH, U., Optimum Structural Design. McGraw-Hill, 1981.

[45]IGNIZIO, J. P., Goal Programming and Extensions. Lexington Books, London,

Massachusetts, 1976.

[46] IGNIZIO, J. P., Linear Programming for Decision Analysis. Averbach Publishers,

Philadelphia, 1982.

[47]NEVES, F. A., Programação com Multi-Objetivos Aplicada à Otimização do

Projeto de Pontes Estaiadas. Tese de Doutorado na COPPE / UFRJ, Rio de Janeiro,

1997.

[48]SIDDAL, J. N.; 1982, Optimal Engineering Design: Principles and Applications,

Marcel Drekker, inc., New York.

[49]VIEIRA, L. T.; 2004, Projeto Ótimo de Risers via Algoritmos Genéticos, Exame de

Qualificação ao Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.

174

[50]ALBRECHT, C. H. ; 2005, Algoritmos Evolutivos Aplicados à síntese e otimização

de Sistemas de Ancoragem, Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.

[51]CANTÚ-PAZ, E., A Summary of Research on Parallel Genetic Algorithms. Illigal

Report No.95007, July 1995.

[52]DE JONG, K. A., An Analysis of the Behavior of a class of Genetic Adaptive

System. Phd. Thesis, University of Michigan, ANN Arbor, MI., 1975.

[53]SHAFFER, R., Practical Guide to Genetic Algorithms. Naval Research Laboratory.

Chemistry Division. http://Chem1.nrl.navy.mil/~shaffer/practga.html.

[54]MEDEIROS, A. e Barbosa, H. J. C., Adaptação das Probabilidades dos Operadores

Genéticos: Um Problema de Decisão. V Seminário sobre Elementos Finitos e

Métodos Numéricos em Engenharia da UFJF, Juiz de Fora, 1998.

[55]SCHWEFEL, H.P.; 1995, Evolution and Optimun Seeking, John Wiley & Sons,

Inc., New York.

[56]BÄCK, T.; HAMMEL, U.; SCHWEFEL, H.P.; 1997, “Evolutionary Computation:

Comments on the History and Current State”, IEEE Transaction on Evolutionary

Computation, Vol 1, Nr 1, April 1997, pp3-17.

[57]MICHALEWICZ, Z. ;1999, Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution

Programs, rd3 Edition, Springer Verlag, Berlin Heidelberg.

[58]LACERDA, E.G.M.; DE CARVALHO, A.C.P.L.F.; 1999, “ Introdução aos

Algoritmos Genéticos”, Anais do XIX Congresso Nacional da Sociedade Brasileira

de Computação, Vol II, pp 52-125.

[59]TANOMARU, JULIO, Motivação, Fundamentos e Aplicações de Algoritmos

Genéticos, Universidade de Tokushima, Tokushima 770 japão, II Congresso

Brasileiro de Redes Neurais, III Escola de Redes Neurais, Curitiba, 1995.

[60]D. WHITLEY, “The Genitor Algorithm and Selection Pressure: Why Rank-Based

Allocation of Reproductive Trials is Best”, Proc. Third Int. Conf. Genetic

Algorithms, pp. 116-121 (1989).

175

[61]JACOB, B.P, “Programa PROSIM: Simulação Numérica do Comportamento de

Unidades Flutuantes Ancoradas, Versão 2.a2 - Manual de Entrada de Dados”,

COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 2004.

[62]SILVA, K. F. ; 2007, Simulação Numérica pelo Método dos Elementos Finitos de

Procedimentos de Canhoneio em Poços de Petróleo, Dissertação de Mestrado,

COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.

[63] THOMAS, E. J., (2001). Fundamentos de Engenharia de Petróleo – Editora

Interciência.

[64] Site http://www.maxwell.lambda.ele.puc-rio.br

[65] http://acd.ufrj.br/multimin/mmp/textos/Cap9p/ex_de_campo.htm

[66] TARIQ, S. M., Sukup, R. A. and Bell, W. T.. – Perforating, First printing, Henry L.

Doherty Memorial Fund of AIME, Society of Petroleum Engineers Inc., Richardson,

SPE (1995).

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA … · O problema de fluxo neste tipo de completação foi...

Documents

Transcript of TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA … · O problema de fluxo neste tipo de completação foi...