Teoria_Matrizes Apostila

7/22/2019 Teoria_Matrizes Apostila

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Teoria de Matrizes para Estatstica

Jose Carlos Fogo

Marco, 2008


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1 Conceitos Iniciais

1.1 Vetores

Definicao:

Na Fsica: e uma forma de se representar matematicamentegrandezas fsicas que pos-

suam mais de um aspecto para ser definida.

Exemplo: a forca, necessita da magnitude, direcao e sentido em que e aplicada;

Na Matematica: e uma tripla constituda de uma direcao, um sentido e um numeronao negatico (modulo), Venturini, J.J.

Obs: Usando a teoria de matrizes, pode-se definir um vetor como qalquer matriz coluna,

ou matriz linha.

Na Wikipedia: e um conceito caracterizado por uma magnitude (modulo) e uma ori-

entacao (direcao e sentido).

Notacao: v,x,a (letras minusculas).

Na disciplina, vamos adotar a notacao usual em publicacoes, ou seja, com letras mnus-

culas, em negrito: v, x, a.

x=

x1

x2...

xp

, e um vetor de dimensao p.

Exemplo:

x=

1

2

3

4

, e um vetor de dimensao 4.

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1.1.1 Representacao grafica no2

Exemplo: Sejam

x= 2

5

e y=

30.5

,

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

Representao grfica de vetores no plano

dim 1

dim2

x

y

Figura 1: Vetores no plano

1.1.2 Propriedades algebricas

i) u + v = v+ u;

ii) (u+ v) + w= u + (v+ w);

iii) c(u + v) =c v +c u, c = escalar;

iv) (c+d) u = c u + d u, c, d = escalares.

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1.1.3 Vetores especiais

i) vetor nulo:

0=

0

0...

0

;

ii) vetor de 1s:

1= 1

1...

1

;

iii) vetor transposto:

v =

v1, v2, , vp

.

1.1.4 Produto entre vetores

A multiplicacao de vetores pode ser feita basicamente de duas maneiras: o produto

vetorial, ou produto externo e o produto escalar, ou produto interno. De qualquer forma,

nos dois casos os vetores devem ter mesmas dimensoes.

Alem dos dois tipos de produtos acima, pode-se, ainda, realizar o produto elemento-a-

elemento entre dois vetores.

Nota: Na disciplina estaremos interessados apenas nos produtos interno e

elemento-a-elemento.

Considere os vetores

v=

v1

v2...

vp

e x=

x1

x2...

xp

.

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a) Produto elemento-a-elemento1:

x v= x1 v1x1 v2

...

xp vp

.

b) Produto interno:

x v= xv =pi=1

xi vi

Exemplo:

Sejam x=

251

e v= 32

3

,

de (a):

x v=

(2) (3)(5) (2)(1) (3)

= 610

3

;

de (b):

xv= (2) (3) + (5) (2) + (1) (3) = 1.

Nota: Existe, ainda, o produto Kronecker, ou produto direto, representado por xv, que

nao sera abordado por ora.

1Como nao temos uma notacao para um operador elemento-a-elemento, vamos utilizar o asterisco (*)

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1.1.5 Propriedades algebricas do produto interno entre vetores

i) uv = vu;

ii) (u + v)w= uw+ vw;

iii) (c v)u=c(vu) = v(c u), c= escalar;

iv) uu0 e, uu= 0u = 0.

1.1.6 Modulo ou comprimenro de um vetor

O comprimento, modulo ou norma de um vetor v e definido por

Lv= vv= v21+ v22+. . .+v2p.Exemplo: Dados os vetores v = (2, -5, -1), x = (3, 2, -3) e u = (0.8, 0.6), entao

Lv =

4 + 25 + 9 =

30;

Lx =

9 + 4 + 9 =

22;

Lu =

0.64 + 0.36 =

1 = 1.

O vetor u = (0.64, 0.36, tem comprimento 1, por ieeo e chamado de vetor unitario.

Outros resultados

i) Angulo entre vetores:

u

v

Figura 2: Angulo entre vetores.

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cos() = uvLuLv

= uvuu

vv

,

se = 90, cos() = 0, portanto: uv uv= 0.

ii) Projecao de um vetor sobre outro:

Considere os vetores u e v. Entao, a projecao de u sobre v e obtida por:

Pu/v=

uvvv

v=

uvL2v

v.

O modulo da projecao, por sua vez, e dado por:

Pu/v = uvvvvv= uvL2

v

Lv= uvLvLuLu

Pu/v = |cos()| Lu.Exemplo: Dados os vetores u = (1, 2), v = (2, 1), encontar a projecao de u sobre v e

calcular o seu modulo.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2

.5

dim1

dim2

u

v

Pu v

Figura 3: Projecao de um vetor u sobre um vetor v.

Calculos:

Lu=

11 + 22 =

5

Lv=Lu=

5

uv= 2 1 + 1 2 = 4

cos() = uvLuLv

= 45

5= 0.8 =36.9

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Projecao de usobre v:

Pu/v= uv

vvv= 45 2

1 = 1.6

0.8 .Comprimento da projecao:Pu/v= |cos()| Lu= 0.85 = 3.2De fato

Pu/v

2

=

1.6 0.8

1.6

0.8

= 3.2,

logo,Pu/v = 3.2.1.2 Matrizes

Definicao:

Matriz e uma colecao retangular n

pde valores reais, representada por

Anp =

a11 a12 a1pa21 a22 a2p

... ...

. . . ...

ap1 ap2 app

,

onde: n e o numero de linhas e p e o numero de colunas da matriz.

1.2.1 Casos Especiais

i) Matriz Transposta: denotada por A, e obtida trocando-se as linhas de A pelas

colunas.

Exemplo:

A23=

3 2 11 5 4

A32 =

3 15 24 1

.

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ii) Matriz Quadrada: ocorre quando o numero de linhas e igual ao de colunas.

Exemplo: A33 = a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

.iii) Matriz Diagonal: matriz quadrada na qual apenas os elementos da diagonal sao

diferentes de zero.

Exemplo: App =

a11 0

0

0 a22 0...

... . . .

...

0 0 app

.

Nota: A matriz identidade e um caso particular da matriz diagonal. Denotada por

Ipp, seus elementos da diagonal sao todos iguais a 1, ou seja,

a11 = a22=. . .= app= 1.

Exemplo: A33=

1 0 00 1 00 0 1

.iv) Matriz Simetrica: matriz quadrada em que A = A, ou seja, quando aij = aji,

i, j = 1, 2, . . . , p.

Exemplo: A33=

1 2 32 4 53 5 6

.1.2.2 Operacoes

i) Multiplicacao por um escalar:

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Exemplo:

c Anp= c a11 c a12 c a1pc a21 c a22 c a2p

... ...

. . . ...

c ap1 c ap2 c app

.

ii) Adicao de matrizes de mesmas dimensoes:

Exemplo:

Anp+ Bnp = a11+b11 a12+b12 a1p+b1pa21+b21 a22+b22

a2p+b2p

... ...

. . . ...

an1+bn1 an2+bn2 anp+bnp

.

Resultados

a) A+ B= B+ A e) (c d) A=c(dA)b) (A+ B) + C= A+ (B+ C) f) (A+ B) = A + B

c) c(A+ B) = c A+ c B g) (A B) = BA

d) (c+d) A=c A+ d A h) (c A) = c A

iii) Multiplicacao de matrizes:

Para a multiplicacao de matrizes o numero de colunas da primeira (A) deve ser igual

ao numero de linhas da segunda (B)

AnkBkp =A Bnp,

em que A B tem elementos formados pelo produto interno das linhas de A pelas colunas

de B.

Exemplo:

A23 =

3 1 21 5 4

B32=

2 17 09 3

,

A B=

(6 7 + 18) (3 6)(2 + 35 36) (1 + 12)

=

5 33 13

.

Nota: A matriz identidade e o elemento neutro da multiplicacao de matrizes, ou seja,

A I= A.

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Resultados

(as matrizes A, Be Csao de dimensoes tais que os produtos abaixo sejam definidos)

a) c(A B) = (c A) B

b) A (B+ C) = A B+ A C)c) A (B C) = (A B) C)

Notas:

1) Em geral nao vale a propriedade comutativa, ou seja, A B=B A,2) Se A B = 0, nao implica que A = 0 ou que B= 0.

1.2.3 A Matriz Inversa

Denotada por A1, e tal que: A A1 = I.

Caso especial: a inversa de uma matriz 22 e dada por

A=

a11 a12

a21 a22

, A1 =

1

|A|

a22 a11a11 a11

.

em que|A| e o determinante da matriz A.Exemplo:

A=

2 3

1 4

, A1 =

1

5

4 31 2

.

Resultados

(as matrizes A, Be Csao tais que as inversas existam e os produtos sejam definidos)

a) (A1) = (A)1

b) (A B)1 = A1 +B1

c) Se a inversa de uma matriz Aexiste, entao|

A|

= 0.

1.2.4 Matriz Nao Singular

Uma matriz quadrada Akk e nao singular se:

A x= 0 = x= 0.

Notas:

1) Note que A x= a1x1+a2x2+. . .+akxk, onde ai e a i-esima coluna de A,i= 1, 2, . . . , k. Portanto, uma matriz e nao singular se as suas colunas forem linearmente

independentes,

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2) Uma matriz quadrada e nao singular se o seu rank for igual ao seu numero de linhas (ou

colunas),

3) Se A e nao singular, entao existe uma unica matriz inversa A1.

1.2.5 Matriz Ortogonal

Uma matriz quadrada e dita ser ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores, sao

mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o que equivale a dizer que A A=I.

Exemplo:

A=

1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/2

, entaoA A = I.

Nota: Uma matriz A e ortogonal, se e somente se, A =A1.

1.2.6 Medidas Relacionadas

i) Determinante: Seja uma matriz quadrada A, entao, seu determinante e um escalar

denotado por|A| e e definido por:

|A| =k

j=1

(1)j+1 a1j|A1j| , k >1.

em que a1j e o j-esimo elemento da primeira linha de A e A1j e a matriz obtida

eliminando-se a primeira linha e a j-esima coluna de A.

O resultado tambem e valido quando exclumos qualquer uma das outras linhas, ou

seja

|A| =k

j=1

(1)j+1 aij|Aij| , k >1, i= 1, 2, . . . , k .

Exemplo: A=

2 1 3 0

1 1 2 22 0 3 3

4 1

1 2

.

12


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Eliminando-se a primeira linha:

|A| = (1)1+1

(2) 1 2 2

0 3 31 1 2

+ (1)1+2 (1) 1 2 2

2 3 34 1 2

+(1)1+3 (3)

1 1 2

2 0 34 1 2

+ (1)1+4 (0)

1 1 32 0 3

4 1 1

|A| = (1)2 (2) (9) + (1)3 (1) (21) + (1)4 (3) (23) + (1)5 (0) (17)

|A| = 18 21 69 = 108.

Eliminando-se a terceira linha:

|A| = (1)2 (2) (18) + (1)3 (0) (30) + (1)4 (3) (2) + (1)5 (3) (22)

|A| = 36 6 66 = 108.

Casos especiais:a) k = 2:

A =

a11 a12

a21 a22

, |A| =a11a22 a12a21.

Exemplo:

A=

1 3

6 4

, |A| = 1 4 3 6 = 14.

b) k = 3:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,|A| = a21a32a13+a11a22a33+a12a23a31 a12a21a33 a13a22a31 a11a23a32.

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Exemplo:

A = 3 1 6

7 4 52 7 1

,|A| = 10 + 12 294 7 48 + 105 = 222.

Resultados

(as matrizes A, Bsao tais que as inversas existam e os produtos sejam definidos)

a)|A|=|A|,b) Se os elementos de uma linha (ou coluna) sao iguais a zero, entao,|A| = 0,c) Se duas linhas (ou colunas) sao iguais, entao,|A| = 0,d) Se A e nao singular, entao|A|= 1/|A1|, isto e|A||A1 = 1,e)|A B| =|A| |B|,

f) c |A| = ck|A|,em que k e o numero de linhas (ou de colunas) de A,g)|I| = 1.

Observacao: Para uma matriz Akk os resultados a seguir sao equivalentes

i) A x= 0 x = 0,ii)|A| = 0,iii) Existe A1 tal que, A1A= I.

ii) Rank: O rank de uma matrizAkk e dado pelo numero maximo de linhas (ou colunas)

linearmente independentes (LI).

Exemplos:

A= 3 0 11 3 1

4 3 4

, rank(A) = 3,todas as colunas, ou linhas, de Asao LI.

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B= 4 1 3

1 4 5

2 2 0 , rank(B) = 2,a primeira coluna de B e combinacao linear das demais.

Notas:

1) Uma matriz quadrada Akk e dita ser de posto completo se o seu rank for igual ao

numero de colunas (nesse caso k),

2) Uma matriz quadrada e de posto completo se, e so se, ela e nao singular,

3) Nos exemplos acima, a matriz A e de posto completo, enquanto que, a matriz B

nao e de posto completo.

iii) Traco: Seja uma matriz quadrada Akk, entao o traco de A, denotado por tr(A), e

dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal

tr(A=k

i=1

aii.

Exemplos:

A =

3 0 11 3 14 3 4

, tr(A) = 3 + 3 + 4 = 10.

B = 4 1 3

1 4 5

2 2 0 , tr(B) = 8.Resultados

a) tr(c A) = c tr(A),

b) tr(A B) = tr(A)tr(B),c) tr(A B) = tr(B A),

d) tr(B1 A B) = tr(A)

e) tr(A A) =ki=1

kj=1a

2ij

15


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1.2.7 Autovalores e Autovetores

Considere a matriz A e os vetores u e v:

A= 3 2

1 0

u=

11

v=

21

Entao, as transformacoes operadas por Aresultam em

A u =

3 21 0

1

1

=

51

A v = 3 2

1 0 2

1 = 4

2 = 2 v

Representando as transformacoes graficamente temos:

5 1 2 4

x1

1

1

2

x2

uv

Au

Av

Figura 4: Transformacoes do tipo Ax.

Tomando como foco as transformacoes lineares do tipo

A x= x, com constante,

temos transformacoes nas quais o vetor xtem seu tamanho expandido ou diminuido.

Nota: Toda transformacao linear de Rn em Rm pode ser representada por uma matriz

m n.

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Por exemplo, A = 1 1

1 2

1 1 aplicada no vetor x= x1

x2 resulta em A x =

x1+x2

x1+ 2x2

x1 x2

Definicoes:

i) Autovetor: um autovetor de uma matriz Ak

k e um vetor x, nao nulo, tal que

A x= x, para algum escalar .

ii) Autovalor: um escalar e chamado de autovalor de A se existe solucao nao trivialx

paraA x= x.

Notas:

1) Os valorese x e sao chamados autovalor e autovetor asociado,

2) Normamente, os autovetores sao dados na forma padronizada e, tal que ee=1, em que

ee= x

|x| = x

xx .

Considere a transformacao A x= x, entao temos

A x x= (A I) x= 0.

Calculando o deteminante, temos

|A I| x= 0,

que equivale a

|A I| = 0.

Nota: A equacao polinomial|A x I| = 0 e chamada funcao caracterstica. Destaforma, devemos obter os valores de que sao razes da funcao caracterstica.

Resultado: Seja Akk uma matriz quadrada, entao existemk autovalores1, 2, . . . , k

que satisfazem a equacao polinomial|A x I| = 0. Assim sendo, existem k autovetorese1, e2, . . . , ek associados.

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Exemplos:

i) Seja a matriz:

A= 1 0

1 3

, entao

|A I| = (1 ) 01 (3 )

= (1 ) (3 ) = 03 4+2 = 0

1=4 +

16

12

2 = 3

2=4 16 12

2 = 1

Portanto, os autovalores de Asao 1 = 3 e 2= 1.

Para encontrar os autovetores associados devemos fazer:

Autovetor e1 associado ao autovalor 1 = 3:A x1 = 1x1

1 0

1 3

x11

x12

= 3

x11

x12

x11= 3x11

x11+ 3x12 = 3x12

Do sistema acima temos que x11 = 0 e x12 pode ser um valor arbitrario, o qual

sera considerado igual a 1. O primeiro autovetor e, portanto,x1= (0, 1).

Padronizando o autovetor x1 temos

e1= x1

x1x1=

0

1

.

18


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Autovetor e2 associado ao autovalor 2 = 1:

A x2=2x2

1 0

1 3

x21

x22

=

x21

x22

x21 = x21

x21+ 3x22 = x22

Da segunda equacao temosx21= 2x22. Tomandox22= 1, entao x21 fica igual ax21 = 2 e o segundo autovetor e, portanto, x 2= (2, 1).Padronizando o autovetor x2 temos

e2= x2

x2x2=

15

2

1

=

2/5

1/

5

.

ii) Outro exemplo:

A=

3 4

1 6

, entao

(3 ) 41 (6 )

= 14 9+2 = 0

1= 7

2= 2

Autovetor e1 associado ao autovalor 1 = 7: 3x11+ 4x12 = 7x11

x11+ 6x12 = 7x12

Do sistema acima temos que x11 = x12, portando, x1 = (1, 1) e,

e1 =

1/

2

1/

2

.

Autovetor e2 associado ao autovalor 2 = 2: 3x21+ 4x22 = 2x21

x21+ 6x22 = 2x22

19


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Do sistema acima temos que x21 = 4x22, portando, x2 = (1, 1/4) e,

e2= 4/

17

1/17 .1.2.8 Decomposicao Espectral

Seja a matriz Akk, simetrica, entao Apode escrita por:

A=k

i=1

ieiei.

Exemplo:

A=

2.2 0.4

0.4 2.8

, entao

1= 3, e1=

1

525

;

2= 2, e2=

2

515

.

Logo,

A = 3

1/

5

2/

5

1

5,

25

+ 2

2/

5

1/5

2

5, 1

5

=

=

3/5 6/5

6/5 12/5

+

8/5 4/54/5 1/5

=

2.2 0.4

0.4 2.8

.

Vamos definir uma matrizU, ortogonal, cujas colunas sao formadas pelos autovetorese1,

e2, . . ., ek e, da mesma forma, uma matriz ortogonal V, tal que V= V, ou seja

U =

e1| e2| . . .| ek

, e

V = U =

e1e2...

ek

.

20


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Definindo, ainda, uma matriz diagonal formada pelos autovalores 1, 2, . . ., k, ou seja,

= 1 0 00 2 0...

... . . .

...

0 0 k

,

podemos escrever

A= U V ou A= U U.

No caso 22, temos

U=

e1| e2

e =

1 0

0 2

.

Desta forma, uma matriz A22 pode ser representada por

A =

e1| e2 1 0

0 2

e1e2

= 1e1e1+2e2e

2.

Exemplo: No exemplo anterior temos

A=

2.2 0.4

0.4 2.8

, U=

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

e =

3 0

0 2

.

1.2.9 Matriz Definida Positiva

Considere o produtoxAx. Como temos apenas termos quadraticosx2i e termos cruzados

xixj, xA xrecebe o nome de forma quadratica.

Se uma matriz Akk, simetrica, e tal que

xA x> 0, x nao nulo,

entao, dizemos que A e uma matriz definida positiva.

Nota: Se uma matriz Akk e definida positiva, entao os seus autovalores sao todospositivos, isto e i > 0, i= 1, 2, . . . , k.

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Exemplo: Considere a forma quadratica 6x21+ 4x1x2+ 3x22, entao

xA x= x1 x2 6 22 3 x1x2 .Como 6x21+ 4x1x2+ 3x

22>0, x = 0, entao, A=

6 2

2 3

e definida positiva.

Notas:

1) Se xA x 0, x nao nulo, entao A e semi-definida positiva,2) Se xA x< 0, x nao nulo, entao A e definida negativa,

3) Se xA x 0, x nao nulo, entao A e semi-definida negativa.Casos especiais:

a) Matriz inversa: a inversa de uma matriz Akk, simetrica, pode ser obtida fazendo

A1 =k

i=1

1

ieie

i,

ou ainda,

A1 =U 1U.

b) Matriz raiz quadrada: a matriz raiz quadrada de uma matriz Akk, definida posi-

tiva, e uma matriz tal que A1/2A1/2 = A, podendo ser obtida de

A1/2 =k

i=1

ieie

i,

ou, equivalentemente,

A1/2 =U1/2U,

em que 1/2 e dada por

1/2 =

1 0 00

2 0

... ...

. . . ...

0 0 k

.

22


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Outras relacoes envolvendo a matriz raiz quadrada sao apresentadas a seguir:

A1/2 = (A1/2)1 =U1/2U;

A1/2A1/2 =A1.

Exemplo: Considere a matriz A=

2.2 0.4

0.4 2.8

,

entao, U=

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

e =

3 0

0 2

.

Desta forma, fazendo 1/2

=

3 0

0 2 , temosA1/2 =

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

3 0

0

2

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

A1/2 =

(3+4

2)

5(2322)5

(2322)5

(43+

2)

5

.

A matriz A1/2 e a matriz raiz quadrada de Asendo que, de fato

A1/2 A1/2 =

(3+4

2)

5(2322)5

(2322)5

(43+

2)

5

(3+4

2)

5(2322)5

(2322)5

(43+

2)

5

=

2.2 0.4

0.4 2.8

= A.

Agora, fazendo 1/2 =

1/

3 0

0 1/

2

, temos

A1/2 =

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

1/

3 0

0 1/

2

1/

5 2/

5

2/

5 1/5

A1/2 =

153 + 452 253 252 253 2

52

453

+ 152

,sendo assim, teremos

A1/2 A1/2 =16 2.8 0.20.2 2.2 = A1.

23


24/53


1.2.10 Decomposicao em Valores Singulares

Seja a matriz Amk uma matriz de valores reais. Existem matrizes Umm e Vkk,

ortogonais, tais que

A= UV,

em que e uma matriz do tipo

=

Drr 0

0 0

mk

, comr = posto de A,

e D e uma matriz diagonal com os r valores singulares de A.

A decomposicao em valores singulares pode ser expressa numa relacao matricial que

depende do rankda matriz.

Considerando m > k, entao, existem r constantes positivas, 1, 2, . . . , r, rautovetores

u1, u2, . . . , ur, de dimensao m 1 e rautovetores v1, v2, . . . , vr, de dimensao k 1, tal que

A=k

i=1

iuie

i = UrrV

r,

em que Ur = [u1

|u2

| |ur] e Vr = [v1

|v2

| |vr], sao matrizes ortogonais e r e

uma matriz diagonal do tipo

r =

1 0 00

2 0

... ...

. . . ...

0 0 r

.

Nessa situacao, 1, 2, . . . , r e u1, u2, . . . , ur, sao pares de autovalores e autovetores de

A A, obtidos de

A Aui=iui,

em que 1 > 2 > . . . > r >0, sao valores estritamente positivos.

Os vetores vi, por sua vez, estao relacionados aos autovetores ui, i = 1, 2, . . . , r, pela

relacao

vi= 1

iAiui.

Alternativamente,vi, i= 1, 2, . . . , r, sao autovetores associados aos mesmos autovalores

positivos 1 > 2 > . . . > r >0 de AA.

24


25/53


Desta forma, a decomposicao em valores singulares pode ser escrita pela expressao

A= U V,

com U, Ve dadas pelas relacoes acima.

Exemplo: Seja A=

4 8 8

3 6 9

, entao, A A e dada por

A A =

4 8 8

3 6 9

4 3

8 6

8 9

=

144 1212 126

.

Os autovalores de A A sao 1 = 150 e 2= 120 com autovetores associados,

u1=

2/5

1/

5

e u2=

1/

5

2/

5

,

respectivamente.

Os vetores v1 e v2, por sua vez, sao obtidos de

v1 = 1150

4 38 68 9

2/51/

5= 1/

30

2/305/30

v2= 1

120

4 38 68 9

1/52/

5

=

1/

6

2/

6

1/6

.

Assim sendo, a matriz Apode ser escrita como

A = U V, ou seja,

=

2/5 1/5

1/

5 2/

5

150 0

0

120

1/30 2/30 5/30

1/

6 2/

6 1/6

.

= 4 8 8

3 6 9

25


26/53


2 Vetores aleatorios

Aplicacoes das tecnicas multivariadas

Alguns exemplos em Johnson & Wichern, 3a ed. medicina e saude; meio ambiente; sociologia; meteorologia; economia e negocios; geologia; educacao; psicologia; biologia; esportes.

2.1 Vetores aleatorios

Definicao:

Um vetor X, dado por:

X=

X1

X2..

.Xp

,

e um vetor aleatorio se X1, X2, . . . , X p forem variaveis aleatorias (vas).

Nota: Da mesma maneira, uma matriz aleatoria e uma matriz cujos elementos sao

variaveis aleatorias.

Como um vetor aleatorio X e uma representacao generalizada para uma variavel aleatoria,

aqui tambem iremos representa-lo por va.

2.2 Valor esperado de um vetor aleatorio

O valor esperado de um vetor aleatorio e dado por:

E(X) =

E(X1)

E(X2)...

E(Xp)

,

em que E(Xi), i= 1, 2, . . . , p, e o valor esperado da i -esima va.

26


27/53


Propriedades:

i) Sejam um va X e a um vetor de coeficientes lineares, entao a combinacao linear aX

tem valor esparado

E(aX) =aE(X).

Se temos k combinacoes lineares com coeficientes dados pelas linhas da matriz Akp,

entao:

E(AX) =AE(X).

Exemplos:a) Sejam X=(X1, X2, X3) e E(X)=(2, -1, 1). Se a=(4, 3, 3), entao

E(aX) =

4, 3, 3 21

1

= 8 3 + 3 = 8.b) Se temos k = 4 combinacoes lineares com coeficientes dados pela matriz

A=

2 1 1

0.5 0 1

1 2 1

1 1 2

entao E(AX) =

2 1 10.5 0 1

1 2 1

1 1 2

2

11

=

4 + 1 + 1

1 + 0 + 1

2 2 + 12 1 + 2

=

6

2

1

1

.

ii) Se Xe Ysao vetores alatorios com mesmas dimensoes, entao

E(X + Y) =E(X) +E(Y).

Ainda, seae bsao vetores de coeficientes lineares, entao a combinacao linearaX+bY

tem valor esparado

E(aX + bY) =aE(X) + bE(Y).

27


28/53


Nota: Normalmente o vetor de medias e denotado por , isto e,

= E(X1)

E(X2)...

E(Xp)

= 1

2...

p

,em que

i=

xi

xifi(xi)dxi, sexi e contnua,

xi

xipi(xi), sexi e discreta,

i= 1, 2, . . . , p.

2.3 Matriz de variancias e covariancias de um va

Pela definicao a matriz de variancias e covariancias de um va X, e dada por

= Cov(X) =E[(X )(X )] =

= E

(X1

1)

(X2 2)...

(Xp p)

(X1 1), (X2 2), , (Xp p) =

= E

(X1 1)2 (X1 1)(X2 2) (X1 1)(Xp p)(X2 2)(X1 1) (X2 2)2 (X2 2)(Xp p)

... ...

. . . ...

(Xp p)(X1 1) (Xp p)(X2 2) (Xp p)2

.

Como podemos ver, cada termo de e da forma

ij =E[(Xi i)(Xj j)] , i, j = 1, 2, . . . , p ,

em que, ij =C ov(Xi, Xj) e, ii=V ar(Xi), logo,

=

11 12 1p21 22

2p

... ... . . . ...

p1 p2 pp

.

28


29/53


Exemplo: Considere doisvasX1e X2 com a funcao de probabilidade conjunta represen-

tada pela tabela (Johnson & Wichern, 3a ed., p. 71)

x2x1 0 1 p1(x1)-1 0.24 0.06 0.300 0.16 0.14 0.301 0.40 0.00 0.40

p2(x2) 0.80 0.20 1.00

Calculando dos valores esperados:

1 = x1

x1p1(x1) = (1)(0.30) + (0)(0.30) + (1)(0.40) = 0.10

2 =x2

x2p2(x2) = (0)(0.80) + (1)(0.20) = 0.20

Calculando as variancias e covariancias:

11 = E

(X1 1)2

=x1

(x1 0.1)2 p1(x1) =

= (1 0.1)2(0.30) + (0 0.1)2(0.30) + (1 0.1)2(0.40) = 0.69

22 = E

(X2 2)2

=x2

(x2 0.2)2 p2(x2) =

= (0 0.2)2(0.80) + (1 0.2)2(0.20) = 0.16

12 = E[(X1 1)(X2 2)] =x1,x2

(x1 0.1)(x2 0.2)p12(x12) =

= (1 0.1)(0 0.2)(0.24) + (0 0.1)(0 0.2)(0.16) + (1 0.1)(0 0.2)(0.40) ++(1 0.1)(1 0.2)(0.06) + (0 0.1)(1 0.2)(0.14) + (1 0.1)(1 0.2)(0.00)

= 0.08

21 = E[(X2 2)(X1 1)] =12

Desta forma, temos:

= 0.10

0.20 , = 0.69 0.08

0.08 0.16 .

29


30/53


2.4 Matriz de correlacoes de um va

A correlacao entre duas vas Xi e Xj, i, j = 1, 2, . . . , p, e definida por

Corr(Xi, Xj) =ij = ij

ii

jj.

Assim sendo, a matriz de correlacoes do va e, portanto,

=

1 12 1p21 1 2p

... ...

. . . ...

p1 p2 1

.

Fazendo

V= diag() =

11 0 0

0 22 0...

... . . .

...

0 0 pp

,

entao,

V1/2 =

11 0 0

0

22 0...

... . . .

...

0 0 pp

.

Desta forma, podemos escrever:

= (V1/2)1 (V1/2)1,

ou ainda,

= V1/2 V1/2.

A matriz de covariancias, portanto, e dada pela seguinte relacao:

= V1/2 V1/2.

30


31/53


Exemplos:

a) Considerando o exemplo anterior, temos que

V= diag() = 0.69 00 0.16

,e, portanto, a matriz de correlacao e dada por

=

1/

0.69 0

0 1/

0.16

0.69 0.080.08 0.16

1/

0.69 0

0 1/

0.16

= 1 0.2408

0.2408 1

b) Considere um vetor aleatorio com matriz de covariancias

=

4 1 21 9 32 3 25

.A matriz de variancias diagonal e dada por

V= 4 0 00 9 0

0 0 25

,e a matriz de correlacao, obtida de

=

1/2 0 00 1/3 00 0 1/5

4 1 21 9 3

2 3 25

1/2 0 00 1/3 0

0 0 1/5

= 1 1/6 1/51/6 1 1/5

1/5 1/5 1

.Propriedades:

a) Seja um vaXp1, com matriz de covariancias ppe sejaap1 um vetor de coeficientes

lineares, entao a combinacao linear aXtem variancia dada por

V ar(aX) = aCov(X)a

= aa.

31


32/53


Se temos k combinacoes lineares com coeficientes dados pelas linhas da matriz Akp,

entao, a matriz de covariancias dessas combinacoes lineares e calculada por

Cov(AX) = ACov(X)A

= AA.

Exemplos:

c) Conforme exemplo anterior, seja X=(X1, X2, X3) com

Cov(X) =

4 1 2

1 9 32

3 25

.

Se a=(4, 3, 3), entao

Cov(aX) =

4, 3, 3 4 1 21 9 3

2 3 25

43

3

= 388.d) Se temosk= 4 combinacoes lineares com coeficientes dados pela matriz

A=

2 1 1

0.5 0 1

1 2 1

1 1 2

entao:

Cov(AX) =

2 1 10.5 0 1

1 2 11 1 2

4 1 2

1 9 32 3 25 2 0.5 1 1

1 0 2 11 1 1 2

Cov(AX) =

60.0 36.5 21.0 45.0

36.5 28.0 25.0 45.5

21.0 25.0 61.0 50.0

45.0 45.5 50.0 91.0

.

32


33/53


Nesse caso, a matriz de correlacoes e dada por

= 1.000 0.891 0.347 0.609

0.891 1.000 0.605 0.9010.347 0.605 1.000 0.671

0.609 0.901 0.671 1.000

.

Nota: Seja o va Xp1 e um vetor de constantes bp1, entao,

Cov(X + b) =C ov(X) = .

Ainda, se A e uma matriz de coeficientes k

p e b um vetores de constantes k

1,

entao, as combinacoes lineares AX + b tem matriz de covariancias

Cov(AX + b) =ACov(X)A=AA.

2.4.1 Particionando um va

O vetor aleatorio X pode ser particionado em grupos de variaveis de acordo com as suas

naturezas. Por exemplo:

i) Estudo do efeito da estrutura organizacional sobre a satisfacao no trabalho.

X=

X(1)

X(2)

=

X(1)1X

(1)2

X(1)3

X(1)4X

(1)5

X(2)1X

(2)2

X(2)

3

X(2)4X

(2)5

X(2)6X

(2)7

=

feedback/retorno

siginificancia das tarefas

variedades das tarefas

identificacao com as tarefas

autonomia

satisfacao com a supervisao

satisfacao com o futuro da carreira

satisfacao financeirasatisfacao com a carga de trabalho

identificacao com a companhia

satisfacao com o tipo de trabalho

satisfacao geral

No exemplo acima, sao dois os grupos de variaveis: X(1): caractersticas do trabalho e

X(2): medidas da satisfacao do funcionario.

33


34/53


ii) Medidas de ossos de frangos num estudo antropometrico das aves.

X=

X(1)

X(2)

X(3)

=

X1 = X(1)1

X2 = X(1)2X3 = X

(2)1

X4 = X(2)2

X5 = X(3)1

X6 = X(3)2

=

extensao do cranio

largura do craniocomprimento do femur

comprimento da tbia

comprimento do umero

comprimento da ulna

Nesse outro exemplo, temos tres grupos de variaveis: X(1): medidas da cabeca; X(2):

medidas das patas; X(3): medidas das asas.

Particao do vetor de medias:

Seja o vetor aleatorio particionado em dois grupos X(1) e X(2) com qe (p q) variaveis,respectivamente

X=

X(1)

X(2)

Entao, o vetor de medias deve acompanhar a particao,

E(X) = E(X(1))

E(X(2))

=

(1)

(2)

,

em que,

(1) =

(1)1

(1)2...

(1)q

e (2) =

(2)1

(2)2...

(2)pq

.

Particao da matriz de covariancias:

Considere, ainda, a mesma particao X(1) e X(2) do vetor aleatorio X, entao a matriz de

covariancias pode ser escrita na forma

=

11 12

21 22

34


35/53


em que ij = (X(i) (i))(X(j) (j)), i, j = 1, 2.

Notas: Assim sendo, temos

i) 11 = cov(X(1));

ii) 22 = cov(X(2));

iii) 12 = cov(X(1), X(2)), e a matriz de covariancias entre os componentes de X(1) e X(2),

sendo que 12 nao e necessariamente simetrica, nem quadrada;

iv) 21 = 21.

De fato, pode ser calculada por:

= E[(X )(X )] =

= E

(X(1) (1))(X(2) (2))

(X(1) (1)) (X(2) (2))

=

= E (X(1) (1))(X(1) (1)) (X(1) (1))(X(2) (2))(X(2) (2))(X(1) (1)) (X(2) (2))(X(2) (2))

.

Calculando a matriz de correlacoes:

A matriz decorrelacoes deve ser calculada da mesma forma como no caso anterior levando

em conta, agora, a particao de X.

Definindo:

V11 = diag(11)

e

V22 = diag(22)

temos que a matriz variancias-diagonal e particionada por

V=

V11 0

0 V22

.

35


36/53


As correlacoes dos grupos X(1) e X(2) sao calculadas pelas expressoes

11 = V1/211 11V

1/211

22 = V1/222 22V

1/222 .

A correlacao entre os grupos, dada pela matriz 12, por sua vez, e dada por

12 = V1/211 12V

1/222 .

Essas expressoes podem obtidas diretamente do produto das matrizes e V particiona-

das, isto e,

= V1/2 V1/2 = V1/211 00 V

1/222

11 1221 22

V1/211 00 V

1/222

=

V

1/211 11 V

1/211 12

V1/222 21 V

1/222 22

V

1/211 0

0 V1/211

= V1/211 11V

1/211 V

1/211 12V

1/222

V1/222 21V1/211 V1/222 22V1/222 =

11 12

21 22

Exemplo: Sejam as vasX1, X2, X3, X4, X5 tal que

X(1)

= X1

X2X3

e X(2) = X4X5 .Conhecendo

=

25 1 2 4 11 9 3 2 02 3 4 1 14 2 1 9 6

1 0

1 6 16

,

36


37/53


temos que as matrizes de covariancias sao

11 = 25 1 2

1 9 32 3 4

, 22= 9 66 16 e 12 = 4 1

2 01 1

.

Desta forma, as matrizes de correlacoes dos grupos e entre grupos sao

11 =

1/5 0 0

0 1/3 0

0 0 1/2

25 1 2

1 9 3

2 3 4

1/5 0 0

0 1/3 0

0 0 1/2

=

1 1/15 2/10

1/15 1 1/2

2/10 1/2 1

,

22 =

1/3 0

0 1/4

9 6

6 16

1/3 0

0 1/4

=

1 1/2

1/2 1

,

12 =

1/5 0 0

0 1/3 0

0 0 1/2

4 1

2 01 1

1/3 0

0 1/4

=

4/15 1/202/9 0

1/6 1/16

.

A matriz de correlacoes global, e, portanto, dada por:

=

1 1/15 1/5 4/15 1/201/15 1 1/2 1/9 0

1/5 1/2 1 1/12 1/16

4/15 1/9 1/12 1 1/2

1/20 0 1/16 1/2 1

.

37


38/53


3 Distribuicoes Multivariadas

3.1 Distribuicao Exponencial Bivariada (ACBVE)

Definicao:

Um vetor X = (X1, X2) tem distribuicao exponencial bivariada absolutamente contnua

(ACBVE) de Block & Basu (1974), se sua densidade conjunta for:

f(x1, x2) =

1(2+12)

1+2exp {1x1 (2+12)x2} , 0< x1 < x2,

2(1+12)1+2

exp {(1+12)x1 2x2} , x1 > x2>0,

em que = 1+2+12.

Notacao: (X1, X2) ACBV E(1, 2, 12).Considerando =

1 0

12 2 , x= x1

x2 e 1= 1

1 , temosx 1=

x1 x2

1 012 2

1

1

= 1x1+ (2+12)x2 e

x1 = (1+12)x1+2x2.

Logo, na notacao matricial,

f(x1, x2) =

1(2+12)

1+2exp {x 1} , x1 < x2,

2(1+12)

1+2exp {x1} , x1 > x2,

38


39/53


Notas:

1) Existem expressoes paraE(X1), E(X2), V ar(X1), V ar(X2) eCov(X1, X2). Por exemplo

E(X1) = 1(1+12)

+ 212(1+2) (1+12)

,

Cov(X1, X2) = (11+

22)12+12

212

2 (1+2) (1+12) (2+12).

2) min(X1, X2) Exponencial(), com = 1+2+12.Exemplo: Assumindo que 1 = 1/2, 2 = 1/4 e 12 = 1/20, temos

f(x1, x2) =

425

exp1

2x1 310x2

, 0< x1< x2,

1175

exp11

20x1 14x2

, x1> x2>0.

Ainda, E(X1) =245

132= 1.856 e Cov(X1, X2) =

1025

6336= 0.1618.

3.2 Distribuicao Normal Multivariada

Caso univariado:

f(x) = 1

2exp

(x )

2

22

, < x < , < < e >0.

em que, e a media da distribuicao e 2 a sua variancia.

Notacao: X N(, 2).Algumas probabilidades associadas com o modelo normal univariado:

P( X +) = 0.68,P( 2 X + 2) = 0.95.

Podemos escrever o expoente

x

2da seguinte forma

x

2 = (x )(2)1(x ).39


40/53


Se Xp1 e um va, esse termo pode ser generalizado pela notacao matricial

(x )1 (x ),

em que x e o vetor de observacoes multivariado, e o vetor de medias e e a matriz de

covariancias.

Figura 5: Grafico da normal univariada com media e desvio padrao .

Assim sendo, a fdp de um va Xcom distribuicao normal multivariada e dada por

f(x) = 1

(2)p/2 ||1/2 exp

1

2(x )1 (x )

, < xi< , i= 1, 2, . . . , p .

Notacao: X Np(, ).Exemplo: Normal bivariada X N2(, ),

=

1

2

=

11 12

12 22

.

40


41/53


Desta forma, temos

|

|=1122

212 e

1 = 1

(1122 212) 22 1212 11 .

Como = 12= 12

1122, entao, 12 =

1122, logo

1 = 1

1122(1 2)

22 1122

1122 11

.

Resultado:

O produto xA x, com Asimetrica, e conhecido como forma quadratica. No caso 2 2temos

xA x =

x1 x2

a bb c

x1

x2

= (a x1+b x2) (b x1+c x2) x1

x2 = a x21+ 2b x1x2+c x

22.

Desta forma

(x )1 (x ) =

= (x1 1) (x2 2) 1

x1 1x2 2

= 22(x1 1)2 +11(x2 2)2 21122(x1 1)(x2 2)

1122(1 2)

= 1

(1 2)

x1 1

11

2+

x2 2

22

2 2

x1 1

11

x2 2

22

.

41


42/53


Portanto, a densidade normal bivariada conjunta de X1 e X2 e dada por

f(x1, x2) = 1

(2)1122(1 2) exp 1

2(1 2) x1 111

2

+ x2 222 2

2

x1 111

x2 2

22

.

Se X1 e X2 foram independentes, entao = 0 e

f(x1, x2) = 1

(2)

1122exp

1

2

x1 1

11

2+

x2 2

22

2.

Exemplo: Considere uma distribuicao normal bivariada centrada no 0= (0,0) e com

=

2 1

1 8

, entao = 1/4,|| = 15 e

f(x1, x2) = 1

(2)

15exp

1

2(15/16)

x1

2

2+

x2

8

2 21

4

x1

2

x2

8

f(x1, x2) = 1

(2)

15exp

815

x212

+x22

8 x1x2

8

.

Ainda, se X1 e X2 foram independentes, com =

2 0

0 8

, entao = 0 e a densidade

conjunta e dada por

f(x1, x2) =

1

(8) expx214 x2216f(x1, x2) =

12

2

exp

x

21

4

12

8

exp

x

22

16

f(x1, x2) = f(x1)f(x2).

Como podemos perceber, X1

N(0, 2) e X2

N(0, 8).

42


43/53


3.2.1 Contornos da Normal Bivariada

Considere a densidade normal bivariada

f(x) = 1

(2)||1/2 exp1

2(x )1 (x ) , < xi< , i= 1, 2, . . . , p .

Fazendo f(x) constante igual a h, temos que

2 ||1/2 h = exp

12

(x )1 (x )

,

2log(2 ||1/2 h) = (x )1 (x ).

Com c2 = 2 log(2 ||1/2 h), entao

(x )1 (x ) =c2,

ou seja, os contornos dados por f(x) =h, sao elipses.

Exemplo: Seja o vetor (X, Y) com distribuicao normal bivariada com vetor de medias

= 5

2 e matriz de covariancias = 2.5 2.0

2.0 3.2 .

Figura 6: fdp

conjunta de X e Y, na presenca de correlacao

Entao,|| = 2.5 3.2 (2.0)2 = 4 e a correlacao entreX e Y e = 22.5 3.2 =

0.5.

43


44/53


Portanto, a f dpconjnunta de X e Y e da forma

f(x, y) =

1

4 exp(x 5)22.5 (y 2)23.2 +(x 5)(y 2)2 Considerando, agora, a situacao de independencia, a matriz de covariancias e dada por

=

2.5 0

0 3.2

. Desta forma, = 0,|| = 8 e a f(x, y) e dada por

f(x, y) = 1

4

2exp

(x 5)

2

5 (y 2)

2

6.4

A seguir apresentamos os contornos nas duas situacoes, nas quais podemos verificar a

diferenca de comportamento dasf dps. No primeiro caso, com uma alta correlacao, verifica-

mos uma inclinacao dos eixos das elipses em relacao aos eixos das coordenadas. No segundo

caso, entretanto, os eixos das elipses sao paralelos aos eixos das coordenadas.

Figura 7: Contornos da distribuicao normal bivariada para = 0.5 e = 0, respectiva-mente

Notas:

1) Os valores de xtais que (x )1 (x ) =c2 sao elipsoidescentrados em ;2) Os eixos dos elipsoides estao nas direcoes dos autovetores de 1 e os seus

comprimentos sao proporcionais aos autovalores de 1;

3) Os elipsoides podem, ainda, serem determinados pela decomposicao espectral de : se

e definida positiva, 1

existe e

e= e = 1e= 1

e,

44


45/53


ou seja, o par (,e) de autovalor e autovetor de , corresponde ao par (1/,e) de 1.

Exemplo: No exemplo acima, com =

2.5 2.0

2.0 3.2

, tem-se:

1= 4.880, e1 = (0.6432, 0.7656) e 2= 0.819, e2 = (-0.7656, 0.6432).

Desta forma, assumindo c2 = 1, o eixo principal da elipse formada tem comprimento

c

1 = 2.209 e o eixo secundario tem comprimento c

2 = 0.905.

Figura 8: Contorno da normal bivariada

45


46/53


3.2.2 Propriedades

Seja Xum v.a. com distribuicao normal Np(; ), entao

i) combinacoes lineares de Xsao normalmente distribudos;

ii) subconjuntos de componentes deXtem distribuicoes marginais normais, multivariadas

quando for o caso;

iii) as distribuicoes condicionais dos componentes de Xsao normais, multivariadas quando

for o caso;

iv) se a covariancias de componentes de Xfor igual a zero, entao, os componentes corres-

pondentes sao independentes.

Exemplo: Considere a combinacao linear Y = a X = a1X1+ a2X2+ . . .+apXp. Como

E(Y) = aE(X) e V ar(Y) =aV ar(X) a, entao

Y N(a ; a a).Se a= (1, 0, 0, ..., 0), entao

Y =aX=

1 0 0

X1X2

...

Xp

=X1,

desta forma, temos que

E(Y) = a = 1 0 0

1

2

...p

=1,

V ar(Y) = aa =

1 0 0

11 12 1p12 22 2p

... ...

. . . ...

1p 2p pp

1

0...

0

=

= 11 12 1p 1

0...

0

=11.46


47/53


Do resultado acima, segue-se que as distribuicoes marginais de Xi, i = 1, 2, . . . , p, sao

normais, ou seja

Xi N(i;ii).No caso em que se temk combinacoes lineares dadas pelas linhas da matriz Akp, entao

Y= A Xtem distribuicao normal

Y Nk(A ; A A).Notas:

1) Y= A X+ c, entao Y

Nk(A + c; A A

);

2) As marginais de Ytambem sao normais.

Exemplos:

a) Seja X N3(; ) e seja a matriz de combinacoes lineares A, dada porA =

1 1 00 1 1

,

Y = A X=

X1 X2X2

X3

.

O valor esperado e a matriz de covariancias de Ysao

E(Y) =

1 22 3

e

V ar(Y) =

11+22 212 12+23 22 1312+23 22 13 22+33 223

.

b) Considere a particao de X

X=

X

(1)q1

X(2)(pq)1

, com =

1

2

e =

11 12

21 22

.

Entao:

X(1)

Nq(1; 11) e

X(2) N(pq)(2; 22)No 1 grupo, fazendo A= Iqq 0q(pq) qp

, da o resultado segue direto.

47


48/53


Portanto, podemos selecionar componentes de X, ou combinacoes lineares de compo-

nentes, escolhendo convenientemente a matriz de coeficientes A.

Se X N5(; ) e se X(1) = (X2, X4), entao:X(1) N2 24

;

22 24

24 44

.

Nesse caso, a matriz de coeficientes A e da forma

A=

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

.

Considere um vetor aleatorio X com distribuicao normal multivariada. Os resultados

a seguir definem as condicoes, segundo as quais, variaveis com correlacao nula equivale a

independencia estatstica.

i) Se os vetores (X1)q11 e (X2)q21 sao independentes, entao Cov(X1, X2) = 0q1q2;

ii) Se

X1

X2

Nq1+q2

X1

X2

;

11 12

12 22

,

entao X1 e X2 sao independentes se, e somente se, 12 = 0.

iii) Se X1 e X2 sao independentes e normalmente distribudos, com densidades conjuntas

X1 Nq1(1; 11) e X2 Nq2(2; 22), entao X1

X2

Nq1+q2

X1

X2

;

11 0

0 22

.

Exemplos:

a) Seja X N3(; ) com = 4 1 01 3 0

0 0 2

.De conclui-se que:

- X1 e X2 nao sao independentes;

- X1 = X1

X2 e X3 sao independentes, pois 12 = 0

0 , o que implica que X3e independente de X1 e tambem de X2;

48


49/53


b) Seja X

N3(; ) com =

3

11

e =

3 1 1

1 1 01 0 2

.

i) Sea = (1, 1, 1), a combinacao linearY =aX= X1+X2+X3tem media e variancia

a= 3 e a a= 6, ou seja, Y N(3; 6).ii) As variaveisX2 e X3 sao independentes.

iii) Se A=

1 1 10 1 10 1/2 1/2

, entao

A = 310

, A A= 6 3 3/23 3 1/23/2 1/2 3/4

eA X N(A ; A A).

c) Seja X= (X1, X2, X3, X4, X5), com matriz de covariancias

=

2 1 0 0 4

1 9 0 0 10 0 4 2 00 0 2 8 0

4 1 0 0 3

, indicar quais os grupos de variaveis independentes:

i) Reordenando a 5a coluna de imediatamente apos a 2a, temos

=

2 1 4 0 0

1 9 1 0 00 0 0 4 2

0 0 0 2 8

4 1 3 0 0

,

ii) Fazendo o mesmo com a 5a linha, o resultado final e

=

2 1 4 0 0

1 9 1 0 04 1 3 0 00 0 0 4 2

0 0 0 2 8

.

Desta forma, verifica-se que os grupos de variaveisX1 = (X1, X2, X5) e X2= (X3, X4)

sao independentes.

49


50/53


3.2.3 Distribuicao normal condicional

Seja X

Np(; ), em que

=

1

2

e =

11 12

21 22

, com |22| >0,

entao, a distribuicao condicional de X1|X2 = x2 e normal com vetor de medias e matriz decovariancias dados por

E(X1|X2) = 1|2 = 1+ 12122 (x2 2) ,

V ar (X1|X2) = 11|2 = 11 12122 21.

O caso bivariado:

X=

X1

X2

N2(; ) em que = 12

e =

11 12

21 22

,

entao: X1|X2=x2

N(1|2 ; 11|2), em que

1|2=1+ 12

22(x2 2) e 11|2 = 11 212

22.

Prova: Da teoria de probabilidades, temos que a densidade condicional de X1|X2 e dadapor f(x1|x2) =f(x1, x2)/f(x2), nesse caso, temos que

f(x1|x2) =(2)1 ||1/2 exp

1

2(12)(x )1 (x )

(2)1/2 (22)1/2 exp12

x2222

2

=

(2)1/2 ||1/2 exp

12(12)

x11

11

2+

x2222

2 2

x11

11

x22

22

(22)1/2 exp

1

2

x22

22

2

50


51/53


= (2)1/2 ||1/2

(22)1/2 exp

1

2(1 2)

x1 1

11

2+

x2 2

22

2

2

x1 111

x2 2

22

+

1

2

x2 2

22

2

Completando o quadrado dex1 1

11

2 2

x1 1

11

x2 2

22

com 2

x2 222

2, temos

(x1 1)

11 (x2 2)

22

2 2

x2 2

22

2=

=

1

11 x1 1 1122 (x2 2)2

2x2 222

2

.

Como = 12

1122, entao

1122

=1222

, que, substitudo na expressao anterior resulta

1

11

x1

1+

1222

(x2 2)2

2

x2 222

2,

e, segundo a notacao adotada, a expressao acima pode ser escrita por

1

11

x1 1|2

2 2x2 222

2.

Retornando ao exponente da expressao inicial, temos que

12(1 2)

x1 1|2

211

2

x2 222

2+

x2 2

22

2+

1

2

x2 2

22

2=

51


52/53


= 12(1 2)

x1 1|2

211

+

1 2x2 222

2+

1

2

x2 2

22

2

= 12

x1 1|2

2(1 2)11 .

E facil verificar-se que (1 2) 11 = 11 212

22=1|2, logo, a expressao inicial e escrita por

f(x1|x2) = 1

(2)||1/2 (22)1/2

exp

x1 1|22

21|2

.

Mostra-se, finalmente, que||1/2 (22)1/2 = (1122 212)1/2 (22)1/2 = 11 21222

,

portanto

f(x1|x2) = 1(2)

1|2

exp

x1 1|22

21|2

,

o que conclui a prova.

Exemplos:

i) Seja o vetor aleatorio X = (X1, X2, X3, X4), particionado por X1 = (X1, X2) e

X2 = (X3, X4), com distribuicao normal

X

N4

1

11

1

;

4 2 1 1

2 9 0 4

1 0 3 2

1 4 2 4

.

Encontrar a distribuicao de X1|X2 =

1

1

.

Temos que 22=

3 2

2 4

, logo 122 =

1/2 1/41/4 3/8

, assim

1|2= 11 + 1 10 4 1/2 1/41/4 3/8 11 11

52


53/53


1|2 =

1

1

+

1/2

2

2

0

=

1.5

3.0

11|2 =

4 2

2 9

1 1

0 4

1/2 1/41/4 3/8

1 0

1 4

=

4 2

2 9

3/8 1/2

1/2 6

=

3.625 1.5

1.5 3.0

PortantoX1|X2=

1

1

N2 1.53.0

;

3.625 1.5

1.5 3.0

.

ii) Seja X=

X1

X2

N2

1

1

;

4 2

2 6

,

encontrar as distribuicoes de X1|X2= 2 e X2|X1 = 0.

a) 1|2= 1 +2

6(2 + 1) = 2,

11|2 = 4 22

6 =

10

3,

logo, X1|X2= 2 N[ 2 ; 10/3 ]b) 2|1= 1 +

2

4(0 1) =1

2,

22|1 = 6 22

4 = 5,

logo, X2|X1= 0 N[ 0.5 ; 5 ]

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