Teoria lajes maciças_00

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UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS DISPONÍVEIS SÃO PAULO 2008

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UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI

LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO

CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS

DISPONÍVEIS

SÃO PAULO 2008

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Orientador: Profº Msc. Engº Thomas Garcia Carmona

LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO

CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS

DISPONÍVEIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi

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Trabalho____________ em: ____ de_______________de 2008.

______________________________________________

Profº MSc. Engº Thomas Garcia Carmona

______________________________________________

Profº MSc. Engº Fernando Jose Relvas

SÃO PAULO 2008

LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO

CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS

DISPONÍVEIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para a obtenção do título de Graduação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi

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Dedico a Deus por tornar possível mais esta realização na minha vida a minha

família, em especial aos meus pais e minha avó que sempre me ajudaram e me

cobraram muito em relação aos estudos e a minha namorada pela paciência de ficar

inúmeros finais de semana estudando e pela ajuda na elaboração deste, a todos que

de alguma forma contribuíram para que eu pudesse concluir o curso de Engenharia.

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v

AGRADECIMENTOS

A todos os professores do curso, principalmente ao meu orientador Profº Thomas

Garcia Carmona pela atenção, pela amizade e pela ajuda na elaboração deste

trabalho, ao Profº Fernando José Relvas pela dedicação, pelo rigor e qualidade de

suas aulas e ao Profº Tiago Garcia Carmona principal responsável pelo tema

escolhido do trabalho e pela oportunidade de estagiar na área de estruturas.

Ao escritório de Exata Engenharia e Assessoria SS Ltda pela ajuda com o material

bibliográfico e pelos conhecimentos adquiridos, que sem eles seria impossível a

elaboração dos modelos de cálculo.

A Universidade Anhembi Morumbi pela bolsa de estudos, sem a qual não seria

possível concluir a graduação.

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RESUMO

Este trabalho apresenta um breve histórico do dimensionamento de lajes de

concreto armado, sua evolução ao longo do século XX e como as ferramentas

computacionais transformaram os cálculos, o dimensionamento e os projetos de

lajes em processos mais dinâmicos. Vários são os softwares disponíveis no mercado

para efetuar tais tarefas, neste trabalho foram analisados dois deles, o TQS e o

Strap, além do método tradicional da ruptura atualmente aceito pela NBR 6118;

finalmente os resultados obtidos foram comparados e discutidos.

Palavras Chave: Lajes, Cálculo, Dimensionamento, TQS, Strap, Método tradicional.

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ABSTRACT This study presents a brief historical of the design of slabs of reinforced concrete,

your evolution in the curse of century XX and how the computer tools changed the

calculation, the design and the slab’s projects in process more dynamics. Some

many are the software available in the market to make such tasks, this study have

been analysis two them, the TQS and the Strap, besides of the traditional method of

the rupture currently admitted for NBR 6118; finally the results acquired were been

compare and discussed.

Key Worlds: Slabs, Calculation, design, TQS, Strap, Traditional Method.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 5.1 - Exemplo de Laje (FUSCO, 1995) ............................................................. 6

Figura 5.2 - Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO,

2000) .................................................................................................................... 7

Figura 5.3 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes

(HENNRICHS, 2003)............................................................................................ 8

Figura 5.4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores

(HENNRICHS, 2003)............................................................................................ 9

Figura 5.5 - Equação de Lagrange (DUARTE, 1998) .................................................. 9

Figura 5.6 - Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995) ................................. 13

Figura 5.7 - Gráfico dos Domínios (NBR-6118) ......................................................... 14

Figura 5.8 - Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997) .................... 15

Figura 5.9 - Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000) ........ 20

Figura 5.10 - Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000) ................. 21

Figura 6.1 – Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008) ......................... 23

Figura 6.2 – Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008) ........................... 25

Figura 6.3 – Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS,

2007) .................................................................................................................. 25

Figura 6.4 - Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008) .................... 27

Figura 6.5 - Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008) ................ 27

Figura 6.6 - Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008) ..... 28

Figura 6.7 - Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008) ........ 29

Figura 6.8 - Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008) .............................. 31

Figura 6.9 – Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008) ................ 31

Figura 7.1– Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR,

2008) .................................................................................................................. 32

Figura 7.2 – Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura (

AUTOR, 2008) ................................................................................................... 33

Figura 7.3 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008) .... 33

Figura 7.4 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de

Grelhas ( AUTOR, 2008) ........................................................................ 34

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LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 – Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118) .......................................... 16

Tabela 5.2 – Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118) .................................. 16

Tabela 5.3 – Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007) ........ 18

Tabela 5.4 - Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120) .............................. 18

Tabela 8.1 – Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 0

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 2

Tabela 8.2 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 1

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 3

Tabela 8.3 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 2

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 4

Tabela 8.4 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 3

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 5

Tabela 8.5 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 4

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 6

Tabela 8.6 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 5

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 7

Tabela 8.7 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 6

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 8

Tabela 8.8 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 7

(RELVAS, 2007) ................................................................................................... 9

Tabela 8.9 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 8

(RELVAS, 2007) ................................................................................................. 10

Tabela 8.10 – Tabelas para Determinação das Armaduras (RELVAS, 2007) ........... 12

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xi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

M. E. F. Método dos Elementos Finitos

NBR Norma Brasileira

Strap Structural Analisys Programs

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LISTA DE SÍMBOLOS

cm unidade de comprimento em centímetros

d Altura útil

e espessura

Fck resistência característica a compressão do concreto

g0 peso próprio

γ peso específico

kN quilonewton

mm milímetro

MPa megapascal

Mx momento fletor na direção x

My momento fletor na direção y

V força cortante

σ tensão

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xiii

SUMÁRIO p.

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1

2. OBJETIVOS ......................................................................................................... 2

2.1 Objetivo Geral ............................................................................................................. 2

2.2 Objetivo Específico ................................................................................................... 2

3. MÉTODO DE PESQUISA .................................................................................... 3

4 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 4

5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................ 5

5.1 O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores ..................................... 5

5.2 Lajes .............................................................................................................................. 5

5.3 Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa .................................... 7

5.4 Cálculo de Placas pelo Método Clássico .......................................................... 11

5.5 Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico ............................................... 12

5.6 O Método dos Elementos Finitos ........................................................................ 19

5.7 O Método de Analogia de Grelhas ...................................................................... 20

6 ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO ...................................................... 23

6.1 Método da Ruptura .................................................................................................. 24

6.2 Método dos Elementos Finitos ............................................................................ 26

6.3 Método das Grelhas ................................................................................................ 28

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7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS .................................. 32

8 CONCLUSÕES .................................................................................................. 36

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 38

ANEXO A – TABELAS PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES ... 1

ANEXO B – TABELAS KC E KS .............................................................................. 11

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1. INTRODUÇÃO

O pavimento de uma edificação, que é um elemento estrutural de superfície, pode

ser projetado com elementos pré-moldados ou moldados no local. O pavimento

moldado no local pode ser composto por uma única laje (maciça ou nervurada), sem

vigas, ou por um conjunto de lajes, maciças ou nervuradas, apoiadas em vigas. O

presente trabalho abordará apenas o segundo caso, ou seja, pavimento composto

por lajes maciças de concreto armado (placas de concreto) apoiadas em vigas em

seu contorno.

Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem suas reações em

todas as vigas de contorno. A partir disso, há melhor aproveitamento das vigas do

pavimento, pois todas elas, dependendo apenas dos vãos, podem ter cargas da

mesma ordem de grandeza. Uma vantagem em relação às pré-moldadas está na

facilidade em colocar, antes da concretagem, tubulações elétricas, hidráulicas, etc.

Em relação as desvantagens em comparação com as pré-moldadas está no quesito

de execução do elemento que inclui montagem da armação, escoramento,

concretagem e cura.

Os profissionais e universitários da engenharia civil, concordam que o avanço

tecnológico trouxe inúmeras facilidades, em especial o da computação, para o campo

da engenharia de estruturas. Um dos grandes desafios da engenharia moderna é

encontrar soluções para problemas que têm surgido a partir do uso de programas

computacionais e das construções com arquitetura mais complexa.

Entre os exemplos de estrutura em que o uso da computação tornou-se fundamental

podemos citar as placas de concreto armado, ou seja, as lajes. Anteriormente, o

cálculo dessas lajes era feito manualmente com o auxílio de tabelas através de

métodos aproximados, o que em estruturas de grande porte demandava enorme

quantidade de tempo. Entretanto, com o aprimoramento dos programas de cálculo e

análise, além dos próprios computadores, o projeto das estruturas em geral tornou-se

mais rápido e dinâmico nos escritórios especializados. (HENNRICHS, 2003)

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2

2. OBJETIVOS

O cálculo de lajes é uma etapa corrente no dimensionamento de estruturas civis, a

definição da ferramenta mais adequada e que gera resultados mais satisfatórios é

importantíssima para a escolha do método a ser utilizado pelo responsável pelo

projeto de estruturas.

2.1 Objetivo Geral

O objetivo deste trabalho é discutir os diversos métodos de cálculo de lajes, o

método elástico (com o auxílio de tabelas), o método da ruptura (também com o uso

de tabelas), o método dos elementos de placas (pelo software Strap) e o de grelhas

de barras (pelo software TQS).

2.2 Objetivo Específico

Identificar as potencialidades e limitações dos métodos disponíveis verificando se os

softwares atendem adequadamente as necessidades dos engenheiros de estruturas.

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3. MÉTODO DE PESQUISA

O processo de pesquisa do presente trabalho foi efetuado através de livros técnicos

sobre o assunto, de dissertações de mestrado, apostilas do curso de Concreto

Armado e com o auxílio de tabelas de cálculo.

Para uma análise prática do assunto foi apresentado o dimensionamento das lajes

de um pavimento por meio de três ferramentas diferentes e os resultados obtidos

foram comparados e discutidos.

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4

4 JUSTIFICATIVA

A evolução tecnológica transformou significativamente as maneiras de projetar

estruturas, os engenheiros estruturais que antes de existir softwares para estes fins,

calculavam e dimensionavam edifícios por métodos aproximados como o da ruptura;

nos dias atuais existem ferramentas poderosíssimas com este intuito, porém apenas

adquirir os programas de cálculo não é o suficiente.

O engenheiro responsável deve ter experiência e saber quais os casos em que

determinado software é mais recomendável ou menos recomendável e qual

ferramenta será mais útil para as tarefas cotidianas. Especificamente no caso de

projetos de lajes, a determinação de tais aspectos depende da geometria dos

elementos e também de qual o tipo de materiais empregados na execução do

elemento.

Face os motivos supra mencionados torna-se imprescindível o estudo, a

comparação e a determinação dos pontos fortes e fracos dos métodos mais

conhecidos para auxiliar os engenheiros que pretendem atuar na área de projeto de

estruturas.

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5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

5.1 O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores

Nos primórdios, as operações aritméticas eram desenvolvidas mediante o uso de

“tábuas de logarítmos” que facilitavam as multiplicações, divisões, potenciações e

radiciações. (VASCONSELOS, 1992). Ainda em 1924 eram muito usadas essas

táboas, tendo nessa data o Prof. TELEMACO VAN LANGENDONK, com a idade de

apenas 15 anos, publicado uma taboa de logaritmos dos números 1 a 10.000, com 5

decimais, usando técnicas próprias para a sistematização dos cálculos e controle da

precisão (Typografia do Centro, Porto Alegre, 1924).

Quem possuísse uma máquina de calcular de engrenagens, aperfeiçoamento da

máquina de Pascal (1642), poderia acelerar enormemente o trabalho numérico.

Eram comuns nas escolas de engenharia as famosas máquinas de manivela Ohner

e bem mais tarde as máquinas Curta, fabricadas no principado de Lichtenstein.

Estas, verdadeiras jóias da mecânica de precisão da época, possuíam a forma de

um pequeno cilindro negro que cabia na mão, podendo, com alguma habilidade, ser

manuseado com a mão esquerda, reservando a direita apenas para girar a

minúscula manivela e registrar no papel os resultados (VASCONSELOS, 1992).

A introdução das chamadas réguas de cálculo hoje totalmente esquecidas, constituiu

um grande passo no cálculo de estruturas. Seu uso no Brasil deve ter começado por

volta de 1910, tendo adquirido rapidamente as proporções de um verdadeiro vício.

Não era raro observar em obras, nos anos 40, engenheiros realizando verificações

expeditas, alterando armaduras, substituindo bitolas e às vezes até mesmo

calculando peças novas (VASCONSELOS, 1992).

5.2 Lajes

A classificação geral das peças estruturais denomina de placas, as estruturas

laminares com superfície média plana, onde as solicitações ocorrem de forma

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6

perpendicular ao seu plano médio. Nas estruturas de concreto, as placas recebem o

nome de lajes.

Figura 5.1 - Exemplo de Laje (FUSCO, 1995)

As placas podem diferenciar-se pela sua forma (de contorno poligonal ou circular,

maciças ou com espaços vazios); pela disposição de seus apoios (placas apoiadas

no seu contorno, placas em balanço, placas contínuas em uma ou duas direções);

pela forma do apoio (pontual ou lineares); pelo tipo de apoio (apoio simples ou

engastamento). Cada placa pode, além disso, estar submetida a diferentes tipos de

carga, como por exemplo, carga pontual, uniforme, triangular, etc.

O estudo das placas define um sistema de referência Oxyz, com o plano Oxy

coincidente com o plano médio da peça. A espessura h da placa é medida

perpendicularmente ao plano médio.

Para o cálculo dos esforços nas placas existem dois grupos de métodos. Os métodos

clássicos, fundamentados na teoria da elasticidade, supondo que o material é

homogêneo e isótropo e se comporta elasticamente, da mesma forma que se faz,

para o cálculo de esforços em outros tipos de elementos estruturais. Já métodos de

ruptura, fundamentados na teoria da plasticidade, supõem, que o material comporta-

se como um corpo rígido - perfeitamente plástico.

Através dos métodos clássicos obtêm-se, com aproximação, os esforços na situação

de serviço, a partir dos quais pode-se definir a distribuição das armaduras na placa,

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7

de modo que a mesma apresente um bom comportamento em serviço. Os métodos

de ruptura não proporcionam informação de qual a distribuição de armaduras

adequada, mas permitem a obtenção mais racional da carga última na situação de

esgotamento da placa. Ambos os sistemas são, portanto, de grande interesse,

devendo-se escolher, em cada caso, o mais adequado para o objetivo que se

pretende atingir.

Sob a ação de um carregamento uniformemente distribuído, a placa sofre

deformações e os seus pontos se deslocam.

Figura 5.2 - Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO, 2000)

5.3 Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa

A análise estrutural tem por objetivo determinar os efeitos das ações em uma

estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de

utilização, definições da NBR 6118. Através da análise estrutural, torna-se possível

estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e

deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. Deve ser realizada através de

um modelo estrutural que represente, da maneira mais adequada possível, o

comportamento da estrutura real, permitindo delinear assim o caminhamento das

tensões até os apoios da mesma. Em casos muito complexos, a interação solo-

estrutura também deve ser contemplada no modelo (DUARTE, 1998).

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8

As estruturas usuais de edifícios podem ser idealizadas, ao serem submetidas à

análise, como sendo uma composição de elementos estruturais básicos,

classificados de acordo com sua forma geométrica e sua função estrutural.

A análise linear dos elementos de placa é feita com base na teoria clássica de

Kirchhoff para placas delgadas. A hipótese básica de Kirchhoff para placas finas

estabelece que “pontos situados sobre retas originalmente normais à superfície

média indeformada, permanecem sobre retas normais à superfície média

deformada”. Admite-se, pois, que os pontos do plano médio da placa sofrem apenas

deslocamentos verticais, pequenos em relação à espessura da mesma,

desprezando-se os deslocamentos horizontais.

Na formulação matemática da teoria, é admitida uma carga p(x,y), normal ao plano

da placa, que pode ser distribuída por qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A

deformada da placa é definida por uma função w(x,y), que determina os

deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Os esforços

solicitantes que atuam sobre um elemento de placa são mostrados nas figuras a

seguir:

Figura 5.3 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes (HENNRICHS, 2003).

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9

Figura 5.4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores (HENNRICHS, 2003)

O desenvolvimento da formulação, encontrado em ampla bibliografia do assunto,

como por exemplo em TIMOSHENKO (1940) não será efetuado aqui. No entanto,

apresenta-se a seguir a equação diferencial das placas:

Figura 5.5 - Equação de Lagrange (DUARTE, 1998)

Onde

D = Eh3 / 12(1-v2) = rigidez à flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas,

Sendo:

E = módulo de deformação longitudinal,

h = espessura,

v = coeficiente de Poisson.

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10

As condições de contorno da equação diferencial expressa dependem dos diferentes

tipos de vinculação das bordas. Com isso, quando se trata, por exemplo, de uma

borda reta paralela ao eixo y, têm-se, em função do comportamento admitido para

essa borda, as seguintes condições de contorno possíveis:

borda engastada: o deslocamento vertical (w) e a rotação (∂w/∂x) são nulos;

borda simplesmente apoiada: o deslocamento vertical (w) e o momento fletor

(mx) são nulos;

borda livre: o momento fletor (mx) e a reação na borda (vx-∂mxy/∂y) são nulos.

Conforme expõe Duarte (1998), “o processo de busca de uma função w(x,y) que

satisfaça à equação diferencial das placas e atenda às condições de contorno para

uma laje submetida a um carregamento p(x,y), torna-se inviável devido as

complicações algébricas a que conduz. Em função dessas dificuldades, recorre-se

com freqüência a soluções aproximadas, obtendo-se w(x,y) como uma soma de

funções elementares que satisfaçam as condições de contorno. No entanto, o

processo de integração da equação de Lagrange mediante séries, apresenta o

inconveniente de ser aplicável a alguns poucos casos de forma de placas e

condições de apoio. Uma solução possível, favorecida pelo advento dos

computadores, é o uso da integração numérica pelo processo das diferenças finitas,

de aplicação mais geral e que conduz a resolução de um sistema de equações

lineares. Este tipo de cálculo é preferencialmente aplicado para a elaboração de

tabelas, através das quais obtêm-se facilmente os esforços em placas com formas e

carregamentos mais comuns. Ao se tratar de placas com formas mais complexas,

contendo aberturas, com regiões de diferentes espessuras, carregamentos não

uniformes ou variadas condições de contorno, as tabelas anteriormente citadas não

podem ser usadas. Deve-se então, nestes casos recorrer a outras alternativas mais

refinadas de cálculo”, como a técnica dos elementos finitos ou o método da analogia

de grelhas, estudados no transcorrer do presente trabalho.

Existem outras formas de cálculo refinadas, não analisadas aqui, o processo das

faixas finitas e o método dos elementos de contorno. O processo das faixas finitas se

aplica principalmente as estruturas com apoios simples nos extremos, com a

presença ou não de apoios intermediários, tendo ênfase para a aplicação em

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tabuleiros de pontes. Em relação ao método dos elementos de contorno, constata-se

que o mesmo constitui, ao lado do método dos elementos finitos, mais um tipo de

aplicação de métodos numéricos em engenharia, como alternativa para solução

analítica de problemas complexos. Seu procedimento consiste em discretizar o

contorno de uma determinada região, dividindo-a em elementos e estabelecendo

relações entre incógnitas do problema em pontos do contorno. Busca a solução da

equação diferencial que rege o domínio da região analisada através da solução de

um sistema de equações integrais no contorno da mesma. Conhecendo-se as

incógnitas no contorno, pode-se determinar, em função das próprias, o

comportamento em qualquer parte do domínio em estudo.

5.4 Cálculo de Placas pelo Método Clássico

O método elástico, ou clássico, pode ser definido pela teoria das placas delgadas, o

qual se baseia nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e

nas relações de compatibilidade das deformações.

Para a utilização correta do método clássico deve-se fazer algumas considerações

sobre os materiais componentes do elemento, por exemplo considera-se que as

placas são constituídas de material homogêneo, elástico, isótopo, linear fisicamente

e têm pequenos deslocamentos. O concreto armado não é um material homogêneo,

face sua composição ser de aço e concreto.

A propriedade que denomina a teoria, refere-se ao fato de que o elemento quando

solicitado por uma carga, sofre uma deformação e ao retirar-se essa carga, a

deformação cessa-se.

Material isótropo é aquele que tem as mesmas propriedades qualquer que seja a

direção observada, ao contrário do material ortótropo, que tem propriedades

diferentes em duas direções ortogonais.

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Linearidade física é quando a relação entre tensões e deformações se mantêm

linear, ou seja, obedece a Lei de Hooke, desprezando-se portanto a fissuração do

concreto.

Linearidade geométrica significa que os esforços e as tensões, não são afetados

pelo estado de deformação da estrutura.

Para facilitar o emprego das condições de contorno na resolução do problema de

determinação de esforços, faz-se, na maioria das vezes, outras considerações, tais

como:

a ação das placas nas vigas de contorno se faz somente por meio de forças

verticais, não havendo transmissão de momentos de torção para as vigas;

as ações das placas nas vigas são uniformemente distribuídas e não há

transmissão de carga diretamente para os pilares; a carga nas placas é

transferida para as vigas e daí para os pilares;

as vigas de contorno são indeslocáveis na direção vertical;

a rotação das placas no contorno é livre (apoio simples) ou totalmente

impedida (esgastada).

5.5 Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico

A teoria das charneiras plásticas teve sua primeira publicação em dinamarquês, por

INGERSLEV (1921), sendo que sua teoria não era aplicável a muitos casos de lajes

por não levar em conta os esforços corantes ao longo das linhas de plastificação.

Um compatriota seu, JOHANSEN (1931), melhorou significativamente a nascente

teoria, deduzindo fórmulas para cálculo dos momentos de plastificação em diversos

tipos de laje, formulação essa aceita ainda hoje.

Segundo Duarte (1998), apesar de aceita nos meios técnicos, a teoria das

charneiras plásticas ainda é deixada de lado ou pelo menos relegada a um segundo

plano entre as opções de análise de lajes. Duarte explica que, isso se deve ao fato

de que a mesma constitui uma aplicação do teorema cinemático, que conduz a

resultados com possibilidades de serem “contra” a segurança, face estabelecer um

limite superior para a carga de ruína. Esta insegurança teórica, entretanto, não se

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13

verifica na prática, uma vez que os resultados experimentais demonstram que o

valor da carga última ou de ruína é em geral superior à fornecida pela teoria das

charneiras plásticas, sendo que esta reserva de resistência decorre, principalmente,

dos efeitos de arqueamento e de membrana que surgem na laje quando de sua

solicitação sob altos níveis de carga.

O cálculo das placas de concreto armado pela teoria das charneiras plásticas (ou

método da ruptura) é feito admitindo-se que a ruína somente ocorra com a formação

de um conjunto de linhas de plastificação, as quais transformam a laje em um

sistema hipostático.

As linhas de plastificação assim consideradas são na verdade zonas de plastificação

delineadas por seções planas ou cilíndricas, normais ao plano médio da laje, nas

quais foi atingido o momento de plastificação. Essas linhas são designadas por

charneiras plásticas e correspondem, nas lajes reais de concreto armado, a zonas

de intensa fissuração da face tracionada.

Figura 5.6 - Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995)

Nas aplicações da teoria das charneiras plásticas são consideradas apenas as

cargas proporcionais. Elas são as que se mantém proporcionais entre si, ou seja,

variando de zero até os seus valores máximos. Admite-se sempre como satisfatória

a capacidade de rotação das charneiras plásticas, até o colapso final da laje.

Para a determinação da carga de ruína, ao longo das charneiras plásticas são

consideradas apenas os momentos fletores de plastificação e consequentemente

desprezando-se todos os outros possíveis esforços atuantes.

Page 28: Teoria lajes maciças_00

14

A atual norma de concreto Armado nacional a NBR 6118 determina que o cálculo de

lajes no regime rígido-plástico é permitido desde que as cargas atuem sempre no

mesmo sentido e que as deformações das seções da laje estejam nos domínios 2 ou

3, no gráfico das deformações.

Figura 5.7 - Gráfico dos Domínios (NBR-6118)

Os fatores que influenciam as configurações das charneiras de uma laje são as

condições de apoio da mesma, a natureza e a distribuição das cargas e a disposição

das armaduras.

Todas as configurações geometricamente possíveis são denominadas configurações

possíveis. A cada posicionamento das charneiras, corresponde uma determinada

intensidade de carga que fornece a energia consumida na formação e no

desenvolvimento das linhas de plastificação. A configuração de ruína é aquela que

corresponde à menor carga entre as configurações possíveis, ou ainda ao maior

momento de plastificação.

Page 29: Teoria lajes maciças_00

15

Figura 5.8 - Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997)

Na análise plástica, admite-se que o concreto armado trabalha na iminência de

ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento correspondente a uma fase

posterior à da análise não-linear de seu diagrama de tensão-deformação,

caracterizada por escoamento de armaduras e pelo progresso de linhas de

plastificação ao longo da sua estrutura. Admite-se, pois, neste tipo de análise, um

comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito para concreto

armado, permitindo uma determinação adequada do valor da carga máxima que ele

pode ser submetido numa solicitação, carga esta conhecida como carga de ruína ou

carga última ( DUARTE, 1998).

A partir dessas considerações iniciais pode-se iniciar o processo de cálculo o qual

possui as seguintes etapas de dimensionamento:

Determinar os apoios da laje, se ela poderá ser apoiada nos quatro lados, ou

apenas em dois lados paralelos, ou apenas em um lado, quando a mesma

estará em balanço.

Deve-se determinar se a laje é armada em uma ou duas direções. A partir dos

lados apoiados e do coeficiente λ, que é a relação entre os lados maiores e

menores da laje, ou seja L>/L<. Caso o valor seja superior a 2, a laje será

armada em uma direção e a armação será no lado menor; se o valor for igual

Page 30: Teoria lajes maciças_00

16

5 cm7 cm

10 cm12 cm15 cm

Lajes que suportem veículos de peso total < 30 KNLajes que suportem veículos de peso total >30 KN Lajes com protensão

Lajes de piso ou de cobertura em balançoLajes de cobertura não em balanço

Cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45

IVMUITO FORTE

Risco de deterioração da estrutura

RURAL /SUBMERSA URBANA MARINHA /

INDUSTRIAL

CLASSIFICAÇÃO GERAL DO TIPO DE AMBIENTE PARA

EFEITO DE PROJETO

Classe de Agressividade ambiental

IFRACA

IIMODERA

DA

IIIFORTE

INDUSTRIAL /RESPINGOS

DE MADÉ

Insignificante Pequeno Grande Elevado

ou inferior a dois, ela será armada em duas direções, desde que também seja

apoiada nos quatro lados.

Verificar a situação das lajes, se as mesmas são isoladas ou contínuas.

As lajes serão isoladas se elas não possuírem lajes no seu entorno e também

se as lajes estiverem em níveis diferentes das outras lajes ao redor.

As lajes serão contínuas caso as lajes ao seu entorno estejam no mesmo

nível.

A Norma anteriormente citada determina as espessuras mínimas para as placas de

concreto armado:

Tabela 5.1 – Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118)

Além da espessura, fixa também que qualquer barra da armadura, inclusive de

distribuição, de montagem e estribos, deve ter cobrimento de concreto pelo menos

igual ao seu diâmetro, mas não menor que:

Tabela 5.2 – Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118)

Para o pré-dimensionamento das lajes retangulares maciças, sem carregamento

direto de alvenaria, a altura útil mínima, “d”, é obtida pela seguinte expressão:

Page 31: Teoria lajes maciças_00

17

Determinado a altura útil, pode-se calcular a altura total h:

h = d + (φ/2) + c

Adotando φb = 10 mm temos:

h = d + 0,5 + c (cm)

Determinada altura deve-se calcular o g0, o grev, o gacid definido de acordo com o tipo

de uso (ver tabela 5.3) e a partir da soma desses fatores, saber qual a carga total a

qual a laje estará submetida, após calcula-se a altura útil da laje e as armaduras com

o auxílio das tabelas kc e ks.

Para o calculo do g0, a expressão é:

Adotando peso especifico:

Do concreto simples: γc = 24,0 (kN/m3)

Do concreto armado: γc = 25,0 (kN/m3)

go = h * γc (kN/m3)

Page 32: Teoria lajes maciças_00

18

rev

1 21,002 19,003 12,504 18,005 28,006 10,007 30,00

Argamassa de cimento e areiaArgamassa de cal, cimento e areiaArgamassa de gessoLajotas de cerâmicaMármore ou granitoTacos de madeiraBasalto

Tipo de revestimento

Carga (kN/m2)4,00

2,504,00

6,00

2 - Balcões

4 - Bibliotecas

A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentaisconforme o indicado em 2.2.1.3 -

Com acesso ao públicoSem acesso ao público

3,002,00

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,00

7,503,004,002,00

Sala de refeições e de assembléia com assentos fixosSala de assembléia com assentos móveisSalão de danças e salão de esportesSala de bilhar e banheiro

3,004,005,002,00

Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiroDespensa, área de serviço e lavanderia

Anfiteatro com assentos fixosCorredor e sala de aulaOutras salas

1,502,00

Com acesso ao públicoSem acesso ao público (ver 2.2.1.7) 3,00

2,50

9 - Cozinhas não residenciais

10 - Depósitos

13 - Escolas

12 - Escadas

11 - Edifícios residenciais

7 - Clubes

8 - Corredores

Local1 - Arquibancadas

Sala de leituraSala para depósito de livrosSala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2por metro de altura observado, porém o valor mínimo de

5 - Casas de maquinas

(incluindo o peso das máquinas) a ser determinadaem cada caso, porém com o valor mínimo de

6 - CinemasPlatéia com assentos fixosEstúdio e platéia com assentos móveisBanheiro

-

2,001,50

Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as previstas em 2.2.1.5

3 - Bancos Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência

3,002,00

Além do g0, calcula-se a carga grev de acordo com o tipo de revestimento em que a

laje está solicitada a partir da expressão:

grev = e1 * γ1 + e2 * γ2 + ....en * γn

sendo “e” a espessura do revestimento e γrev, o peso especifico do revestimento e a

sobrecarga de uso determinado pelas tabelas a seguir:

Tabela 5.3 – Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007)

Tabela 5.4 - Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120)

γ

Page 33: Teoria lajes maciças_00

19

2,000,503,003,00

3,004,003,00

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimoA ser determinada em cada caso, porém com o mínimo

18 - Garagens estacionamentos

Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de25 kN por veículo. Valores de Φ indicados em 2.2.1.6

17 - Galerias de lojas

15 - Forros16 - Galerias de arte

14 - Escritórios Salas de uso geral e banheiroSem acesso a pessoas

26 - Terraços

5,00-

22 - Lavanderias23 - Lojas24 - Restaurantes

3,00

5,00

2,003,00

21 - Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinado em cada caso,porém com o mínimo 3,00

20 - HospitaisDormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia,sala de raio X e banheiroCorredor

19 - Ginásios de esportes

Incluindo equipamentos

25 - Teatros PalcosDemais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemasSem acesso ao públicoCom acesso ao públicoInacessível a pessoasDestinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas peloórgão competente do Ministério da Aeronáutica

2,003,000,50

-

27 - Vestíbulos Sem acesso ao públicoCom acesso ao público

1,503,00

5.6 O Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) consiste em dividir o domínio de

integração do problema contínuo em um número discreto de regiões pequenas de

dimensões finitas denominadas elementos finitos (LA ROVERE, 2001). Ao conjunto

de regiões se dá o nome de malha de elementos finitos.

No método, a placa é substituída por uma série de elementos de forma quadrilátera

ou triangular, podendo variar as dimensões e características elásticas de um

elemento para outro. São tomadas como incógnitas os deslocamentos ω e os

esforços m, e suas derivadas nos vértices dos elementos. Supõe-se que os

deslocamentos ω dentro de cada elemento são dados por uma função simples (um

polinômio, por exemplo), cujos coeficientes numéricos são fixados, uma vez

conhecidos os valores da função ω e de suas derivadas nos vértices dos elementos.

Dessa forma, sendo distintas as funções ω e m e suas derivadas de um elemento

para outro, se garante a compatibilidade de deformações entre elementos contínuos

ao se igualar seus valores nos vértices.

As condições de equilíbrio de forças da estrutura proporcionam um sistema de

equações lineares, que uma vez resolvido, fornece deslocamentos e permite o

Page 34: Teoria lajes maciças_00

20

cálculo imediato dos esforços na placa. A figura abaixo representa uma laje plana

modelada em elementos finitos.

Figura 5.9 - Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000)

Calavera (1999) relata que o método dos elementos finitos pode abordar o cálculo de

praticamente qualquer forma de placa, submetida a quaisquer tipos de carga e

qualquer tipo de condições de contorno. Ainda segundo Calavera, face esse método

se basear em métodos de cálculo em regimes elásticos, pode-se calcular as flexas

das placas em condições de serviço com razoável aproximação.

Por se tratar de um método numérico, geralmente processado por computadores, é

de fundamental importância que o projetista que aplique o método tenha pleno

conhecimento dos elementos, configurações e condições a serem aplicadas, caso

contrário os resultados fornecidos podem onerar o custo da estrutura, e ainda pior,

colocar em risco a segurança de seus usuários. “Embora o método dos elementos

finitos possa tornar um bom engenheiro ainda melhor, ele pode tornar um mau

engenheiro muito perigoso” (COOK,1989).

5.7 O Método de Analogia de Grelhas

O método de resolução numérica por elementos finitos de barras (Analogia de

Grelha) consiste em substituir a placa por uma malha, formando uma grelha, a qual é

Page 35: Teoria lajes maciças_00

21

composta por barras (vigas) ortogonais entre si, sendo essas barras paralelas e

transversais aos eixos principais da placa.

Todas as barras e nós da grelha situam-se no mesmo plano, o que facilita a análise

e processamento do método. A cada viga se atribui uma inércia à flexão e uma

inércia à torção.

Mais recentemente, a técnica vem sendo utilizada como uma opção na análise das

lajes usuais de edifícios, de acordo com BARBOSA (1992), no processo de aplicação

da técnica, deve-se garantir que as rigidezes das barras sejam tais que, ao

submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento, elas se deformem de

maneira idêntica e que os esforços solicitantes em qualquer barra de grelha sejam

iguais as resultantes das tensões na seção transversal da parte da laje que a barra

representa.

Figura 5.10 - Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000)

A resolução do problema é feita através de análise matricial, sendo, portanto, um

método de fácil elaboração e resolução rápida, principalmente quando auxiliado por

computador. Os efeitos de flexão são os mais importantes para a análise da grelha,

entretanto, os efeitos de torção também devem ser considerados.

O método consiste em definir a matriz de rigidez da grelha, em função das

propriedades das barras, aplicar as cargas nos nós ou transformar os carregamentos

nos elementos em cargas nodais equivalentes, e então por análise matricial são

Page 36: Teoria lajes maciças_00

22

obtidos os deslocamentos da grelha. Em função dos deslocamentos obtidos são

calculados, também matricialmente, os esforços, momentos fletores, momentos

torsores e esforços cortantes, nas extremidades das barras da grelha.

Page 37: Teoria lajes maciças_00

23

6 ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO

A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende,

de modo geral, do nível de dificuldades e particularidades que a forma do pavimento

apresente. Formas estruturais mais simples podem ser calculadas através de

modelos simplificados, porém, formas mais complexas requerem modelos mais

refinados de análise. É importante ressaltar que mesmo para análise de formas

simples é necessária muita atenção por parte do engenheiro projetista, pois modelos

que não contemplem a rigidez relativa entre elementos estruturais podem conduzir a

resultados que além de serem imprecisos, sejam inseguros.

O presente capítulo apresenta o roteiro de cálculo de um conjunto de lajes de um

pavimento tipo de um edifício residencial, o qual contém desde o método

simplificado com a utilização de tabelas, até um dos mais refinados atualmente como

é o caso dos elementos finitos, que considera de maneira mais precisa a interação

entre os elementos estruturais que compõe o pavimento, como também a atuação

dos carregamentos. É efetuada ainda a análise através da técnica da analogia de

grelha, que apesar de tratar as lajes como barras de uma grelha equivalente,

possibilita as mesmas considerações já citadas para o método dos elementos finitos.

As análises dos momentos fletores, foram efetuadas considerando-se apenas na

direção horizontal para simplicidade de comparação.

Figura 6.1 – Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008)

Page 38: Teoria lajes maciças_00

24

6.1 Método da Ruptura

O cálculo de lajes segue os procedimentos descritos a seguir:

1º verificar os apoios: as duas lajes possuem os quatro lados apoiados.

2º determinar se as lajes serão apoiadas em uma ou duas direções:

Lx = 4,00 m e Ly = 5,00 m das duas lajes

Portanto λ = 1,25, lajes armadas em duas direções.

3º verificar a situação: as lajes possuem um dos lados menores (Lx) engastados, os

outros lados são isolados.

Pré-dimensionamento da altura útil:

d = 0,671*5,0*(0,028-0,006*4/18)

d = 9,00 cm.

Determinação da altura total h:

h = d + 1 + c

h = 9 + 1 + 2

h = 12,0 cm

Para o cálculo do g0, utiliza-se a expressão:

go = h * γc (kN/m2)

go = 0,12 * 25 (kN/m2)

go = 3,00 kN/m2

Em seguida determina-se o grev, adotado como 1,20 kN/m2

Sendo um edifício residencial, o qac é 1,50 kN/m2

Portanto a carga total é a soma dos itens anteriores, ou seja,

P = go + grev + qac

Page 39: Teoria lajes maciças_00

25

P = 5,7 kN/m2

Com esses dados, é possível calcular os momentos máximos, positivos e negativos.

adotando X/M = 1

Figura 6.2 – Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008)

Para o cálculo dos momentos utiliza-se as tabelas constantes no anexo A e as

equações abaixo:

Figura 6.3 – Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS, 2007)

Sendo o menor lado considerado engastado, define-se que as duas lajes são, de

acordo com as tabelas de momentos, do tipo 1.

Para a utilização das tabelas além do tipo de laje, é necessário o índice λ, que é a

relação dos lados da laje, ou seja, Ly/Lx.

Page 40: Teoria lajes maciças_00

26

λ = 5/4

λ = 1,25 ;

Tem-se portanto

mx = 0,052

my = 0,033

xy = 0,033

Das expressões anteriores defini-se:

mx = 4,70 kN.m

my = 3,00 kN.m

xy = 3,00 kN.m

6.2 Método dos Elementos Finitos

As duas características principais do método são a subdivisão da estrutura em

partes finitas (elementos), interligando-as entre si através de um número discreto de

pontos em sua periferia (nós) e a escolha da função que descreve o comportamento

interno dessas pequenas partes ou elementos. Esta última constitui a mais

fundamental das características, uma vez que o bom ou mau comportamento do

elemento é que vai viabilizar ou não o uso do método.

O comportamento do elemento é então descrito por uma função ou um conjunto de

funções especialmente escolhidas, que permitem analisar como se comportam as

tensões e os deslocamentos dentro daquele elemento, quando o mesmo é

submetido a determinado tipo de ação. São estas funções que vão indicar a maneira

específica de se deformar de cada elemento.

Em função do tipo de comportamento assumido sobre cada elemento e das diversas

possibilidades que podem ser utilizadas, existem várias alternativas para a

formulação de elementos. Essas formulações são normalmente chamadas modelos

de elementos finitos.

Page 41: Teoria lajes maciças_00

27

Figura 6.4 - Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008)

A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado através do

método dos elementos finitos através do “software” STRAP. Foi processado um

modelo com elementos de placa com malha da ordem de 0,50 m x 0,50 m. As

propriedades dos materiais utilizada foi concreto com fck de 25 MPa, os

carregamentos considerados foram os mesmos apresentados no cálculo pelo

método de ruptura no início deste capítulo.

Figura 6.5 - Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008)

Page 42: Teoria lajes maciças_00

28

Figura 6.6 - Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008)

6.3 Método das Grelhas

Diante da variabilidade de formas das lajes e dos diferentes tipos de carregamento,

é difícil estabelecer-se ou definir-se uma malha como sendo genericamente a ideal

para cada caso. A partir dessa premissa, visando melhores esclarecimentos sobre o

uso da técnica, apresentam-se a seguir, algumas considerações para sua correta

aplicação neste trabalho.

De acordo com indicações de HAMBLY (1976), apresentadas em DUARTE (1998),

são válidos os seguintes critérios para lajes retangulares, que devem ser adequados

a cada tipo de laje que se deseja modelar:

a) As barras da grelha devem estar localizadas em posições pré-determinadas pelo

projeto, tais como linhas de apoio ao longo das vigas de extremidade, bem como de

outras se existirem, que contenham uma ação específica;

b) Em lajes ortótropas, cada barra deve ter no máximo uma largura igual a 1/4 do

vão transversal ao seu eixo;

Page 43: Teoria lajes maciças_00

29

c) Numa laje ortótropa, na direção de menor inércia, deve-se considerar a largura

das barras igual a 40% do vão transversal ao seu eixo. Caso haja dúvidas quanto à

isotropia ou ortotropia da laje, deve-se adotar o critério anterior;

d) Quanto mais densa a malha, melhores serão os resultados obtidos. No entanto,

essa melhora deixa de acontecer quando a largura das barras for menor que duas

ou três vezes a espessura da laje;

e) No caso de existência de balanços na laje, é necessário colocar-se pelo menos

duas barras transversais ao vão em balanço;

f) Deve-se colocar uma linha de barras no contorno livre da laje, cuja largura para o

cálculo do momento de inércia à torção deve ser diminuída de 0,3 h, por se tratar do

ponto por onde passa a resultante das tensões de cisalhamento devidas à torção;

g) Nas regiões de grande concentração de esforços, tais como apoios ou cargas

concentradas, recomenda-se dispor uma malha cuja largura das barras não seja

superior a três ou quatro vezes a espessura da laje;

h) Não devem ser considerados os orifícios na laje desde que sua maior dimensão

não exceda 3h, sendo h a espessura da laje, a não ser que estejam localizados

muito próximos dos pilares. Existindo aberturas maiores, devem ser aplicados os

mesmos critérios válidos para as bordas livres.

Figura 6.7 - Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008)

Page 44: Teoria lajes maciças_00

30

b/c 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333

O momento de inércia à flexão das barras longitudinais e transversais da grelha é

calculado considerando que cada barra representa uma largura b de laje igual a

distância entre os centros dos vãos adjacentes à barra, com valor dado pela

respectiva equação estabelecida pela resistência dos materiais para as seções

retangulares (I = b . h3 / 12). Para o momento de inércia à torção (IT) é admitido o

valor correspondente àquele indicado pela teoria de Saint Venant, de acordo com a

fórmula apresentada abaixo, encontrada em TIMOSHENKO (1981).

IT = β . b . c3

sendo b o maior lado da seção, c o menor lado e com β variando em função de uma

relação entre os mesmos, de acordo com as indicações abaixo:

Outro aspecto importante que merece destaque na aplicação da técnica da analogia

de grelha, é a consideração da vinculação dos pilares na grelha equivalente, de

modo a avaliar a influência de suas rigidezes no comportamento do pavimento em

análise.

A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado pelo

método dos elementos finitos de barras através do software TQS e foi adotado

deformação plástica do elemento estrutural. Foi processado um modelo com

espaçamento entre as barras de 0,50 x 0,50 e os carregamentos e propriedades

considerados foram os mesmos das análises anteriores.

Page 45: Teoria lajes maciças_00

31

Figura 6.8 - Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008)

Figura 6.9 – Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008)

Page 46: Teoria lajes maciças_00

32

7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS

O cálculo com auxílio de tabelas pelo método da ruptura apresentou os menores

valores dentre todas as outras análises. Essas diferenças significativas se devem

além das simplificações que este modelo admite em sua análise, a saber, da

indeformabilidade das vigas de apoio das lajes, dos painéis de laje isolados uns dos

outros com aproximações de suas condições de vinculação, porém o motivo

principal de tal diferença está no fato de o método da ruptura e o programa TQS

considerarem possíveis e corriqueiros erros na execução (verificar figura abaixo) das

armaduras negativas o qual desloca para baixo o gráfico dos momentos, os valores

máximos dos momentos negativos (ou seja diminuindo-os) e os positivos também

deslocados para baixo são aumentados.

Figura 7.1– Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR, 2008)

Os modelos analisados através da técnica da analogia de grelha e do método dos

elementos finitos apresentaram resultados um pouco parecidos. Para os momentos

fletores negativos, a técnica da analogia de grelha apresentou resultado bastante

superior ao do método dos elementos finitos e para os momentos fletores positivos

resultados apesar de maiores, da mesma ordem de grandeza. Diante dos resultados

Page 47: Teoria lajes maciças_00

33

obtidos dos modelos em análise linear, pôde-se constatar que a técnica da analogia

de grelha e o método dos elementos finitos foram os que conduziram a resultados a

favor da segurança para as lajes analisadas e que outras formas de pavimentos com

características semelhantes às do estudado, dependendo do tipo de carregamento e

da forma das estruturas, inviabilizam o uso do cálculo simplificado com tabelas do

método da ruptura.

Para melhor visualização, seguem abaixo os gráficos correspondentes ao valores

obtidos a partir de cada método de cálculo proposto, e dois gráficos comparativos:

Figura 7.2 – Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura ( AUTOR, 2008)

Figura 7.3 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008)

Page 48: Teoria lajes maciças_00

34

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

(kN.m/m)

Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha

Momentos Fletores Negativos

Figura 7.4 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de Grelhas ( AUTOR, 2008)

Figura 7.2- Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Negativos

Page 49: Teoria lajes maciças_00

35

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

(kN.m/m)

Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha

Momentos Fletores Positivos

Figura 7.3 - Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Positivos

Page 50: Teoria lajes maciças_00

36

8 CONCLUSÕES

A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende,

principalmente, do grau de dificuldades que se tenha diante da forma estrutural

prevista para uma dada concepção arquitetônica. Formas mais simples podem ser

dimensionadas, de modo geral, com análises através de modelos simplificados, ao

passo que formas mais complexas, com geometrias mais diversas das tradicionais

retangulares, exigem modelos mais refinados de análise. Entretanto, mesmo para

formas estruturais relativamente simples, modelos simplificados de análise podem

conduzir a resultados muito imprecisos, em função da maneira como são

considerados os carregamentos atuantes e da consideração ou não da rigidez

relativa entre os elementos estruturais.

O pavimento tipo do Edifício residencial, tomado como exemplo nas análises

realizadas no trabalho, apresenta uma forma estrutural basicamente simples, com

todas as lajes retangulares. Os resultados fornecidos, entretanto, pelos modelos

estruturais propostos, foram muito diferentes.

Estas diferenças observadas nos três tipos de análise ocorreram devido às

considerações simplificadas que alguns admitem, que as vigas são apoios

indeslocáveis para as lajes e o cálculo dos painéis de lajes como placas isoladas;

porém o grande responsável pelos elevados valores de momentos fletores obtidos

pelo software TQS em relação as outras ferramentas foi a redução da inércia à

torção das vigas, sendo que ao se considerarmos a inércia a torção normal, os

valores resultantes da modelação pelo TQS se assemelharam muito ao do M.E.F.

A modelagem das lajes com elementos de placa através do método dos elementos

finitos possibilita a apresentação dos resultados através de envoltórias de esforços

que permitem uma avaliação mais clara da estrutura do pavimento como um todo.

Através dessas envoltórias, é possível perceber mais diretamente possíveis falhas

nas rigidezes de algum elemento estrutural.

Page 51: Teoria lajes maciças_00

37

Diante dos resultados obtidos dos modelos em análise, pôde-se constatar que a

técnica da analogia de grelha é a ferramenta mais indicada para projetos de

estruturas de concreto armado, o método dos elementos finitos é excelente para

análises estruturais, ou seja, determinação de esforços (momentos fletores, forças

cortantes, tensões de cisalhamento, etc) e outras formas de pavimentos com

características distintas às do estudado, dependendo do tipo de carregamento e da

forma das estruturas, inviabilizam o uso do cálculo simplificado com tabelas pelo

método da ruptura, pois levam a processos de resolução muito trabalhosos e

consequentemente despendem de tempos elevados para a conclusão dos trabalhos.

Cabe ressaltar que estes cálculos são importantíssimos e indispensáveis para os

engenheiros projetistas de estruturas, face a sua rapidez e facilidade de aplicação,

principalmente quando o engenheiro encontra-se em trabalho no “campo” e não

pode recorrer a computadores; além disso, os cálculos do método da ruptura

proporcionam parâmetros de comparação para verificar os resultados obtidos pelos

programas de cálculo, sendo caracterizados como valiosas ferramentas de validação

de resultados.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Científica, 1972, p. 29 a 110.

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ANEXO A – TABELAS PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES

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2

Tabela 8.1 – Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 0 (RELVAS, 2007)

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3

Tabela 8.2 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 1 (RELVAS, 2007)

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4

Tabela 8.3 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 2 (RELVAS, 2007)

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5

Tabela 8.4 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 3 (RELVAS, 2007)

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6

Tabela 8.5 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 4 (RELVAS, 2007)

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7

Tabela 8.6 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 5 (RELVAS, 2007)

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8

Tabela 8.7 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 6 (RELVAS, 2007)

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9

Tabela 8.8 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 7 (RELVAS, 2007)

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10

Tabela 8.9 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 8 (RELVAS, 2007)

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ANEXO B – TABELAS KC E KS

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Tabela 8.10 – Tabelas para Determinação das Armaduras (RELVAS, 2007)

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