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TEORIA DE INVENTARIOS Teoría - Practica Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones. INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACION 02/02/2010

INVESTIGACION

OPERATIVA

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Investigación Operativa II

TEORIA DE INVENTARIOS Teoría - Practica Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones. INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACION 02/02/2010

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PALACIN PALACIOS, DANIEL

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TEORIA DE INVENTARIOS. DEFINICIONES Y FUNCIONES. INVENTARIO: se puede definir inventarios de Materias Primas, Partes en Proceso y de Productos Terminados, ya que se encuentran en algún lugar y en un determinado tiempo dentro del Sistema de Producción. OBJETIVO DEL INVENTARIO: permitir y/o facilitar la producción entre dos unidades de producción o dos etapas de producción que están ubicadas secuencialmente.

Por lo tanto, el inventario cumple una función de capacitor entre ambas unidades, permitiendo por un lado, absorber las distintas capacidades y formas de producción, y por otro, las variaciones que experimenta cada unidad dentro del Proceso de Producción.

A continuación, presentaremos dos Sistemas de Producción, A y B, los cuales funcionan con distinta Tasa de Producción y en el que el sistema A alimenta al sistema B.

Sistema Productivo A Sistema Productivo B

De las figuras anteriores se pueden observar dos situaciones básicas:

a) En la medida que exista un Inventario, es posible "acoplar" dos Unidades Productivas con distinta "Capacidad de Producción" (entendiendo por Capacidad de Producción como la cantidad producida por unidad de tiempo).

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b) En la medida que el Tamaño del Inventario es mayor, es posible establecer mayor independencia entre ambas Unidades de Producción.

En caso contrario, cuando el Tamaño del Inventario es menor, mayor es la dependencia entre ambas unidades. Por lo tanto, el principal objetivo de analizar un Sistema de Inventario es encontrar respuestas a preguntas como las que se presentan a continuación:

¿Qué artículos deben mantenerse en inventario? ¿Qué cantidad de artículos debe ser ordenada o producida? ¿Cuándo deben generarse las Ordenes para que el costo total de manejo de inventarios sea

el mínimo posible? ¿Qué Sistema de Control de Inventario deberá utilizarse para cada caso?

La Gestión de Inventarios es la técnica que permite mantener una existencia de productos a un nivel adecuado, según sean las necesidades de las Unidades Productivas que están relacionadas, y en consecuencia de las Estrategias de Producción. Si miramos al Inventario del punto de vista de Análisis del Valor, este no adiciona valor al Sistema de Producción, por lo tanto, lo ideal es que el tamaño del inventario que manejemos sea lo más pequeño posible. Su tamaño, en este caso, es dependiente de consideraciones de variabilidad que se manejan dentro del Sistema Productivo y de los Niveles de Riesgo que sean aceptables para un determinado Sistema de Producción. Dentro de la filosofía de producción JIT, lo ideal es que no existieran inventarios, o que estos sean mínimos. Por lo tanto, la filosofía JIT trabaja desde la perspectiva de entregar y recibir la cantidad especificada en el instante preciso. Pero si analizamos con detenimiento lo que propone la filosofía JIT, podríamos decir que es demasiado idealista, ya que físicamente es imposible eliminar completamente la existencia del inventario, ya que su papel básico es permitir el acoplamiento entre dos unidades productivas de distinta capacidad, lo que no debemos obviar. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS PRODUCTIVOS SEGUN LA DEMANDA. Podemos destacar que desde el punto de vista de la demanda final sobre el producto, se puede inferir que existen dos esquemas básicos de administración de inventarios. Dependiendo del tipo de Demanda Final que tenga un producto, se puede decir que existen dos Esquemas Básicos de Administración de Inventarios: a) CON DEMANDA INDEPENDIENTE: cuando se tiene una demanda independiente, la cantidad

de productos en inventario no depende sólo de las decisiones internas del Sistema de Producción, sino que fundamentalmente de las condiciones del mercado. Estas condiciones del

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mercado se ven reflejadas como el consumo de un determinado bien en un determinado momento. Los Modelos que permiten dimensionar el Volumen del Inventario cuando se tiene una demanda independiente se llaman MODELOS DE TIPO REACTIVO, y se aplican para dimensionar el volumen de productos finales a fabricar y a dimensionar el stock de productos que tendremos en inventario. Los modelos de tipo reactivos también son usados, desde una perspectiva tradicional, para dimensionar los Lotes de Producción que deben ser manufacturados bajo condiciones de estructura de costos similares a las que se definen para el caso de compras y almacenamiento.

b) CON DEMANDA DEPENDIENTE: en este caso, como su nombre lo indica, la demanda que experimenta un determinado producto depende de las negociaciones y acuerdos que se tomen entre el cliente y la empresa, a nivel del Sistema de Planificación de la Producción. Los Modelos que permiten cuantificar el nivel de inventarios bajo este esquema son llamados MODELOS DE TIPO PROACTIVOS, o de Calculo de Necesidades. (MRP).

Al ver estos dos enfoque, podemos ver que existe una diferencia fundamental con relación a como se origina una decisión y cuales son las variables y/o parámetros considerados para tomar una decisión. Así en el caso de los Modelos de tipo Reactivo, la pregunta básica que se plantea es: ¿ QUÉ DEBO HACER CUANDO SE LLEGA A CIERTO NIVEL CRÍTICO, LLAMADO PUNTO DE REORDEN?. Es decir, un modelo de tipo reactivo nos lleva a definir un cierto punto de reorden, él nos avisa cuando tenemos que realizar un reaprovisionamiento. Este punto de reorden va a depender de la Política de Reposición que definamos (tema que tocaremos más adelante). En el caso de los Modelos de tipo Proactivos, el problema básico esta en definir que se va hacer en un determinado futuro, por lo tanto las preguntas básicas que se plantean son: ¿ QUÉ ES LA QUE SE NECESITARÁ A FUTURO? , ¿ QUÉ CANTIDAD Y EN QUÉ MOMENTO?. Es decir, un modelo de tipo proactivo me lleva a definir un Plan Maestro de Producción, de acuerdo a la demanda que se fija a nivel de Sistema de Planificación de la Producción. Ahora si hacemos un análisis desde una perspectiva histórica, podemos decir que en un principio las Empresas planificaban las existencias de materiales usando modelos de tipo Reactivo, lo que les traía las siguientes ventajas y desventajas:

1) Ventajas de la utilización de Sistemas de Tipo Reactivo: La facilidad de controlar los niveles de inventario.

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Se pueden llevar, de manera más sencilla, los Registros tanto de entrada o salida de productos.

2) Desventajas de la utilización de Sistemas de Tipo Reactivo:

El volumen de material almacenado es voluminoso. El problema (peligro) de obsolescencia de productos que se almacenan. El deterioro y pérdida de productos.

Posteriormente, surgieron los modelos de tipo proactivos o de Calculo de Necesidades, los cuales son aplicados a Sistemas de Manufactura y, específicamente, cuando existen productos de tipo Estandarizado o Semiestandarizado. 1) Ventajas de la utilización de Sistemas de Tipo Proactivo:

Permiten dimensionar los inventarios de acuerdo a las necesidades del sistema de

producción.

2) Desventajas de la utilización de Sistemas de Tipo Proactivo: Sólo se pueden implementar si en la empresa que utiliza este sistema existe una

infraestructura computacional adecuada.

En consecuencia, en este capítulo se analizará, preferentemente, lo relacionado con demanda independiente.

ESTRUCTURA DE COSTOS DE INVENTARIOS. Muchos problemas de decisión de inventarios pueden resolverse empleando Criterios Económicos. Sin embargo, uno de los prerequisitos más importantes para aplicar un criterio económico es tener una Estructura de Costos adecuada. Muchas de estas estructuras de costos involucran alguno o todos de los 4 tipos de costos siguientes: a) COSTO UNITARIO DEL ARTICULO (C): es el costo derivado de comprar o producir los artículos

individuales de inventarios. Su unidad de medida es ($/unidad). b) COSTOS DE ORDENAR O PEDIR (S): es el costo relacionado a la adquisición de un grupo o lote

de artículos, también se dice que es el costo de las acciones necesaria para realizar una nueva compra. Este costo de pedir no depende del número de artículos que tenga el lote respectivo, sino que esta asociado a las actividades de hacer el pedido si es desde el punto de vista de comprar, o de los costos de transformar el sistema (costos de set up) y adecuarlo a la fabricación de un nuevo lote o corrida de producción.Su unidad de medida es ($/orden).

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c) COSTOS DE MANTENER O POSEER INVENTARIOS (h): este costo está asociado a la permanencia del artículo durante un período de tiempo. Su valoración se determina en función del tiempo almacenado y del valor del bien involucrado. Por lo tanto, el costo de mantener, involucra aspectos tales como: Costo de capital. Costo de almacenamiento. Costo de obsolescencia y perdida.

d) COSTOS DE INEXISTENCIA (W): son los costos que reflejan las consecuencias de quedarse sin

material en un determinado momento. Entre estos costos podemos indicar: Falta de materia prima (debido a paro de la producción, mano de obra ociosa, etc...). Falta de productos terminados (perdida por no ventas, necesidad de subcontratación,

pérdida de prestigio frente a clientes, etc...). Falta de repuestos.

Su unidad de medida es ($/unidad).

NOMENCLATURA ASOCIADA A INVENTARIOS. Para establecer los diferentes modelos de costos asociado a cada sistema de inventario, es necesario en primer lugar definir una nomenclatura adecuada para entender las ecuaciones respectivas. Sean las siguientes definiciones: D = Demanda Anual. (unidades/año) C = Costo de Compra (si el artículo es comprado) o Costo Unitario Variable (si el artículo ha

sido producido). ($/unidad) Q = Cantidad Ordenada por Lote. (unidades / lote) Q* = Cantidad Lote Económico. (unidades/lote) r = Punto de Reorden. (unidades) tl = Tiempo de espera. (días) S = Costo de Preparación o Emisión de la Orden. ($/orden) P = Tasa de Producción. (unidades/año) dl = Demanda durante el Período de Espera.(unidades/día) CT = Costo total ($/año) h = Costo de mantener una unidad en términos % del valor de la unidad y por unidad de tiempo T = Longitud del periodo de análisis. (unidad de tiempo, días o años)

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DECISIONES SOBRE INVENTARIOS Las decisiones en inventarios son tomadas en función de como se espera que sea la demanda futura, la cual puede ser clasificada en los siguientes términos:

Dependiente.Cálculo de Necesidades

Estática

Dinámica

Determinística

Probabilística

Probabilística

Determinística

(conocida)

(aleatoria)

Independiente.

La figura anterior da origen a distintos Modelos de Inventarios, en función del tipo de demanda: a) Modelos de Inventarios con Demanda Determinística Estática: estos modelos se utilizan

cuando la demanda es conocida y constante para todos los períodos. b) Modelos de Inventarios con Demanda Probabilística Estática: estos modelos se utilizan

cuando demanda es aleatoria y tiene una distribución de probabilidades, pero es igual para todos los períodos.

c) Modelos de Inventarios con Demanda Determinística Dinámica: estos modelos se utilizan

cuando la demanda es conocida y constante, pero varía para cada período. d) Modelo de Inventarios con Demanda Probabilística Dinámica: estos modelos se utilizan

cuando la demanda es probabilística con una distribución de probabilidades, y es variable en cada período.

ANALISIS DE LA TASA DE DEMANDA Y TASA DE REPOSICIÓN. Desde el punto de vista de su comportamiento o variación en el tiempo (tasa de cambio), la demanda se puede clasificar en:

Demanda

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a) Demanda Infinita Uniforme. b) Demanda Fuente Uniforme. c) Demanda Exponencial. Las siguientes figuras nos ayudaran a visualizar de mejor forma lo anteriormente dicho: Cantidad de Inventario Q

Qo QoQo

n=1n=

n=1/2

Qo-X Qo-X Qo-X

T T T

t t t

t En general, el nivel del inventario en un momento determinado esta dado por la expresión:

Q(t) Qo X t Tn

Qo = Inventario Inicial en el tiempo 0. X = Tamaño de lo demando durante un período T t = tiempo considerado. n = Indice del exponente de la demanda. T = Longitud del Período. Para el caso de la Tasa de Reposición de Inventarios, se pueden postular diversos modelos de comportamiento: a) Tasa de Reposición Uniforme. b) Tasa de Reposición Exponencial. c) Tasa de Reposición infinita. d) Tasa de Reposición en Lotes. Las siguientes figuras nos ayudaran a visualizar de mejor forma lo anteriormente dicho:

en lotes infinita exponencial uniforme

t=0 T T T

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TIPOS DE DECISIONES SOBRE INVENTARIOS. Con relación a las decisiones que se deben tomar sobre la gestión de los inventarios, las podemos clasificar en base a lo siguiente: a) POLÍTICAS DE INVENTARIOS, para las cuales se definen diferentes Modelos de Análisis. b) DIMENSIONAMIENTO DE LAS CANTIDADES A ORDENAR, las cuales están en función de

las Políticas definidas. c) SISTEMAS DE CONTROL A IMPLEMENTAR. PARTE I: POLITICAS DE INVENTARIO. La Política de Inventario se refiere a la Revisión y Disciplina utilizada para ordenar y controlar los inventarios. La política de Inventario trata de responder a las siguientes interrogantes:

¿Cuándo debe ser emitida la orden? ¿Cuánto se debe comprare (tamaño del lote)?

Existen dos tipos de Políticas de Revisión de Inventarios: Política de Revisión Periódica y Política de Revisión Continua.

A) POLÍTICA DE REVISIÓN PERIÓDICA. Bajo esta política, los Niveles de Inventario son monitoreados a intervalos de tiempo T, donde T es la longitud de tiempo determinada según sea el criterio ordenado. La cantidad a ordenar está dada en función de como sean las decisiones de reposición.

A.1) Revisión periódica con reposición bajo un punto de quiebre (r). En este sistema, la reposición del inventario se realiza siempre que el nivel de existencia en el inventario sea menor que un punto mínimo aceptable o de quiebre (r).

Im a x

T1 T2 T3

It

Imax-It

nivel de reordenr

Nivel maximo de inventario

Así la cantidad ordenada es: 0 si It >r ; ó Imax- It si It < r

A.2) Revisión Periódica y Emisión de Orden de Compra. En este sistema, toda vez que se cumple el periodo T, se emite una orden igual a Imax-It , por lo tanto, la cantidad ordenada siempre es variable.

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B) POLÍTICA DE REVISIÓN CONTÍNUA.

Bajo esta política, el monitoreo del inventario es permanente y una vez que se alcanza el punto de reorden r es emitida una orden de compra. El punto r se determina en función de un nivel de seguridad aceptado y en función de la cantidad consumida durante el tiempo que demora en obtenerse la reposición

Q Q Q

Q

reposición instantanea

reposición no instantanea

r

La elección de un sistema de revisión dependerá de varios factores: 1. En el caso de Sistemas de Revisión Periódica, estos sistemas están asociados básicamente

a modelos de reaprovisionamiento. Como ventajas de estos sistemas de revisión periódicos se pueden mencionar:

fácil de llevar. Es bueno para coordinar ítems relacionados, ya que aprovecha mejor la

infraestructura de transporte. Es bueno en el caso de que se quiera manejar artículos baratos. Como desventajas de los sistemas de revisión periódicos se pueden mencionar: Es más caro, del punto de vista de que maneja una mayor cantidad de mercadería en

inventario. Es susceptible a que ocurran faltas cuando la demanda es variable.

2. En el caso de los Sistemas de Revisión Contínua, como ventajas tenemos que:

Optimiza los niveles de recursos involucrados. El nivel de servicio es mejor, ya que mejora la probabilidad de que el pedido sea

abastecido con el inventario existente. Es apropiado para artículo caros.

Pero el sistema de revisión continúa tiene los siguientes inconvenientes:

Tiene un alto costo por manejos de registro y requiere una constante atención en el producto.

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PARTE II: DIMENSIONAMIENTOS DE LAS CANTIDADES A ORDENAR.

A) MODELO DE UN UNICO PRODUCTO:

Para este caso, consideramos: Una tasa de Demanda D. Una tasa de Producción P (es decir, una unidad es adicionada al inventario 1 a la vez). Las Faltas son permitidas, de manera que no se sobrepase un máximo Zmáx.

El siguiente diagrama nos permita visualizar de mejor forma el modelo de dimensionamiento de inventario para un único producto:

I máx

Z máx

a

l

K

D

j

P-D

T3 T4

Tp

T1T2

T

Por definición Tp = Q/P y T = Q/D.

En este modelo, la producción parte en el punto a, y en ese momento, se inicia el llenado a una tasa de P-D que primero en un principio sirve para reponer las faltas y posteriormente para acumular inventario, hasta llegar a un nivel máximo en el punto k.

A partir de este punto, el nivel del inventario empieza a disminuir, llegando a un nivel 0 (cero) o al pto. J y un nivel de falta máximo en el punto a del ciclo siguiente.

El nivel máximo del inventario es:

Imáx = Q (P-D) - Zmáx P

Imáx = Q(1-D) - Zmáx P

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Composición del costo para el ciclo dado: a) Costo de colocar una orden o (set up) este un costo fijo S. b) El costo de llevar el inventario durante un ciclo, este costo es efectivamente

incurrido donde existen materias T2 y T3. Así corresponde calcular el inventario medio durante el ciclo total.

Recordar que

T

tdtII

0)(

T

1 =

T2 = Imax , T3 = Imax P-D D

Así el I es el área b, k, j dividida por T

)........(*1

I*322

1 =Area =

TmaxTTI

Como Q/D = T y como se conoce T2 y T3, y de (*)

)/1(**2

2)/1(

PDQ

ZmaxPDQAreaI

y el costo promedio de mantener por un período es igual I * T * h, c) El costo de falta se debe a dos situaciones:

1) Por el hecho de deber material y se mide como Zmax * W, donde W representa el costo por falta independiente de la duración.($/unidad).

2) Costos por la falta promedio durante el período T.

Así: T1 = Zmax Tiempo para eliminar los atrasos.

P-D T4 = Zmax Tiempo en contruir los atrasos. D Utilizando el mismo procedimiento que en el caso anterior, se tiene que:

*)........(*)/1(**2

2

)/1(**2

2

*

1PDQ

maxZPDD

maxZT

Z

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Así el costo de falta promedio será: W1 * T * Z

donde W1 es el costo de falta por unidad/por unidad de tiempo.

d) El costo de compra finalmente es = C * Q por lo tanto, el Costo Total por Ciclo es el

siguiente: _ _

Ct= S + C*Q + h*T*I + W1*T*Z + W*Zmax

Como nuestro objetivo es el Costo Total Anual, tenemos que: a) El número de órdenes es D/Q = n° b) h = i * c, donde i: representa la tasa anual de costo de inventario

_ _ CT (Q;Zmax) = S*D + C*D + i*c*I + W*1Z + W* Zmax* D ................. de (*) y (**)

Q Q

Q

DmaxZW

PDQ

maxZW

PDQZmaxPDQ

CiDCQ

DSmaxZQCT

.**

)/1(**2

21

)/1(2)/1(*

****

),(2

Lo anterior es la ecuación general de costos en función de Q, Zmax.

ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN:

La situación es derivar con respecto a: Cantidad y a Zmax.:

1*

/1*****

*

1

1*)

1(**

2*

/1(**

**2*

0a igualar e Zmax..

CT.. ,

WCi

PDDWQCi

maxZ

W

WiC

WiCCi

DW

PDCi

DSQ

QCT

CASOS ESPECIALES EN QUE NO SE PERMITAN FALTAS.

Caso A: Tasa de Llenado del inventario es P-D.

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DP-D

CT = S*D + C*D + i*C*Q*(1-D/P) Q 2

)/(2* DPPiCDS

Q

Caso B: Tasa de llenado P= infinita.

D

CT = S*D + C*D + i*C.*Q Q 2

Q* = Ci

SD

*

**2

B) MODELOS CON TIEMPO DE ESPERA. Los modelos determinísticos pueden ser fácilmente ajustados cuando los tiempos de espera se conocen con certeza. Así, el punto de Reorden se calcula como:

r* = Existencia de seguridad + demanda durante el tiempo de espera.

Q

t

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Si las existencias de seguridad son iguales a 0, entonces: r* = 0 + tiempo de espera * dL = tL * dL

Con dl representando la demanda diaria del producto. Ejemplo: Una cadena de venta de hamburguesas consume anualmente 750 cajas vacías, el costo de pedir cajas al proveedor es de 15 US$ por orden y de manejo de las cajas en inventario, es de un 30%. Si el valor de cada caja es 12 U$ y se sabe que la entrega es en 5 días. ¿Cuál es la doctrina de operación que debemos seguir? El valor de cada caja es 12 US$

r*

Q

t

)(10365

730 * 5 = d * 5 = d*td=r*

días 365 operación = Supuesto

unidades 78 = 77,94= 12*3,0

15*730*2*

**2*

LL unidades

CiSD

Q

La Política Optima a seguir, es ordenar 78 unidades, cuando la existencia es 10 cajas ANALISIS DE SENSIBILIDAD. PROBLEMA 1: Una empresa fabricante de insignias tiene un contrato por 50.000 (unidades) de venta anual. La empresa tiene una política de ordenar lotes de 40.000 (unidades) con un costo de colocar la orden de 16.000 ($/pedido). Costo de manejo es del 20%. Costo del producto es 60 ($/unidad). La empresa desea mejorar el error que comete al seguir su actual política

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Solución: Tenemos los siguientes costos: Costos Relevantes = Costos de Mantención + Costos de Pedir.

000.2060 * 20,0

16000 * 150.000 *2

***2

Ci

SDQ

El CT según política actual, es el siguiente:

CT= 000.300$000.2406000020000602,0

000.40150000*16000

xxiCQQSD

El Costo total de la Política Optima:

C*T= 2

000.20*60*2,0

000.20000.150000.16

2**

xQ

iCDS

Q C*T= 120.000 + 120.000 = $ 240.000 A continuación, calcularemos el incremento en el Costo total que acarrea la política que actualmente utiliza la empresa: CT/CT* = 300.000 = 1,25 240.000 El costo total sufrió un incremento de 25%, por no seguir la política óptima Alternativamente, podríamos haber obtenido el mismo resultado haciendo el siguiente cálculo:

ic

SD

icQQSD

icQQSD

CTCT 2

= *Q como 2/**/

2//

*

25,125,02

1

000.20

000.40

000.40

000.20

2

1

*

*

21

*

Q

Q

Q

Q

CTCT

Lo importante es considerar los costos relevantes y sensibilizar. PROBLEMA 2: El restaurante “dulce rico” para su uso de venta de bebidas, enfrenta una demanda de 120 vasos diarios, y opera 360 días al año. Los vasos tienen un Costo de 40 ($/docena). Para enviar una orden de pedido, el restaurante tiene que pagar 2.000 ($/orden).

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El mantener inventario le significa un costo de mantención del orden del 50% debido a muchas pérdidas producidas por su operarios, que diariamente quebran muchos vasos o los trizan. ¿Determine el error que se comete debido a que hace pedidos una vez al mes.? Solución: D = (120 /12) * 360 = 3600 .(docenas de vasos/año) S = 2000.($/orden) i = 0,5 C = 40 ($/docena)

84953.848405,0

2000360022*

x

xx

iC

DSQ

(unidades/pedido) Como realiza pedidos anuales: 3600 = 300 12 CT = 2000 * 12 * 0,5 * 40 * 150 = 24000 + 3000 = 27000 ($) Con la política óptima el costo total es:

CT = 27000 = 1.59 CT* 16970 CANTIDADES DESCONTINUADAS. Lo anterior sucede cuando existen descuentos por volumen, es decir, el precio varía a medida que el volumen es mayor. Así si: Cantidad Ordenada Precio Unitario

0 < Q < q1 P1 q1 Q < q2 P2

16970849084802

849*40*5,0849

3600*2000 CT

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q2 Q < q3 P3 q3 Q < q4 P4

En este caso, el valor de CD es relevante, ya que según el volumen de compra existe un Cj. CT = S*D + C*j . D + i * Cj * Q Q 2 Para el caso anterior el supuesto que se tiene es una reposición intantanea, tasa infinita de reposición y una demanda constante. PROBLEMA 3: Suponga que un depósito de equipos electrónicos enfrenta una demanda de 250.000 unidades/año y el costo de hacer el pedido es de 100 $/orden. El costo anual es de 0.24% Las cantidades y precios son los siguientes:

Rango de Cantidades Precio unitario

0 Q < 5.000 $12

5.000 Q < 20.000 $11

20.000 Q < 40.000 $10

40.000 Q $9

¿Cuál es el tamaño de lote óptimo de equipos electrónicos que conviene comprar? CT (Qj,Cj) = S*D + Cj * D + i * Cj * Qj Qj 2 Solución: a) Un supuesto razonable es utilizar el mejor precio que en este caso de 9 $/U Cj = 9 ($/unidad)

)/.(48119*24,0

250000*100*22pedidounidades

x

iCj

SDQj

Esto quiere decir que si nos ofrecieran vendernos los equipos a 9 $/unidad, nos conviene pedir en lotes de 4811 (unidades/pedido). Como esta cantidad Qj = 4811 (unidades/ pedido), es mucho mayor que las 40.000 (unidades/pedido), el tamaño mínimo de lote por el que el proveedor está dispuesto a pedir un precio de 9 ($/unidad) es de 40.000 (unidades/pedido).

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CT = 100 * 250.000 + 9 * 250.000 + 0,24 * 9 * 40.000 40.000 2 Costo total de la alternativa para esta situación es: (Q*=40.000, C=9) = $2.293.825 b) Si Cj = 10 ($/unidad) el lote optimo en esta nuevas condiciones es:

Q* = 35,564.4

1024,0

100000.25022

x

xx

iCj

DS

4.565 (unidades/pedido) En este caso el lote más cercano en esta condición es 20.000 (unidades/pedido) CT = 100 * 250.000 + 10 * 250.000 + 0,24 * 10 * 20.000 = 2.525.250 20.000 2 c) Para C = 11 ($/unidad)

En consecuencia el lote esta fuera del rango considerado. Q* = 4352 < 5000 (unidades/pedido) Costo total de la alternativa: CT (C=11, Q = 5000) = $ 2.761.600 $2.525.250 d) Para C = 12 ($/unidad)

Q* = 4166 < 5000 (unidades/pedido) En este caso el Lote esta dentro del rango considerado. Costo total de la alternativa:

11*24,0*

.4352100*250000*2**2*

Cji

UnidSDQ

416612*24,0

100*250000*2* Q

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CT (Q* =4166, C = 12) = $ 3.012.000 Así se tiene que: Q*(unidades/pedi

do) Cj ($/unidad) CT ($)

40.000 9 2.493.825 -> la mejor política 20.000 10 2.525.250 5.000 11 2.761.600 4.166 12 3.012.000 SITUACIONES CON MÚLTIPLES INVENTARIOS. Existen casos donde existen:

Varios tipos de productos. Varios lotes económicos óptimos (uno para cada producto a considerar). Varias restricciones, ya sea de capital para comprar, espacio para almacenar o

transportes, presupuesto, peso, etc... Cada producto tiene una demanda independiente.

Para el caso anterior, se pueden plantear las dos Políticas de Inventario antes analizadas:

Lote económico. Período económico.

2493.8

2761.6

2525.2

2493.8

X103

CT

12 11 10 9

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PROBLEMA 4: Sea una fábrica que produce tres tipos de lámparas que presentan demandas distintas. Para conceptos de fabricación, la fábrica dispone de un presupuesto de $16.000. El costo de mantener una unidad de inventario es de 0,18 (18%). En la siguiente tabla, presentamos la demanda, costos de fabricación y costos de set-up (costos de echar a andar) para esta fábrica: Lampara

tipo 1 Lampara tipo 2

Lampara tipo 3

Demanda Dj (unidades/año)

1.500 1.500 2.500

Costo de Fabricación ($/unidad)

60 30 80

Costo de set-up ($/orden) 60 60 60 Solución: Como los tres tipos de lámparas son unidades independientes, podemos calcular el lote económico para cada una de ellas por separado, entonces:

)/(1448018,0

6025002

3

)/(1833018,0

6015002

2

)/(1296018,0

1500602

1

loteunidadesx

xx

jQ

loteunidadesx

xx

jQ

loteunidadesx

xx

jQ

Los anteriores son los lotes económicos óptimos a fabricar, pero si calculamos el costo total de fabricación en que incurriríamos al seguir esta política, tendríamos: Costo de Fabricación totales = (60 * 129) + (30 * 183) + (80 * 144) = 24759 $ > $16000. Si observamos, al fabricar los lotes económicos anteriores, estaríamos sobrepasando el presupuesto límite del que disponemos. Por esto debemos disminuir de alguna forma los lotes económicos de cada una de las lámparas, lo que se logra al calcular el llamado COEFICIENTE DE LAGRANGE (Le). Desarrollo: Se debe tomar como supuesto base, el que no existen desfases entre los pedidos de los productos considerados.

23

Investigación Operativa II

2

**

jQ

j D*

jS

+j

Dj

C n

1=j = )

nQ ... ,

2Q ,

1(Q

jQ

jCi

TC

Para optimizar = MIN CT =

n

j

n

j

jQ

jCi

jQ

jD

jS

jQ

TC

1 1 2**

*

)(

Sujeto a: Cj*Q* j < B Donde B son restricciones de presupuesto en este caso. Se calcula Qj* y se reemplaza en Cj * Qj < B Si no se cumple lo anterior se plantea el Lagrangiano:

1 1

***2

*

),(j

n

jB

jQC

jQ

jC

i

jQ

jD

jS

jQLE

Derivando con respecto a Q y , y finalmente reordenando la ecuación es posible establecer que: Q*Lj =B/E * Q*j B: Es de parametro dado por la restricción. E: Es el valor del parametro de la restricción en condiciones optimas. Q*jL = Es el valor optimo del item considerando la restricción de Lagranjiano.

E =

n

jjQ

jC

1

**

Para nuestro ejemplo E = 24750 Q*1L = 16000 x 129 = 83 (unidades) 24750 Q*2L = 16000 x 183 = 118 (unidades) 24750 Q*3L = 16000 x 144 = 93 (unidades) 24750 Considerando que T: Q se puede evaluar los Ti.

24

Investigación Operativa II

D T1 = 83 = 20 días T2= 118 = 28 días y T3 = 93 = 13 días 1500 1500 2000 Nota: El problema se produce al inicio del análisis, es decir al efectuar en primera compra o el primer traslado, etc. CALCULO DEL PERIODO OPTIMO. Para la situación anterior puede plantearse el cálculo de un tiempo de ciclo fijo para todos los items sujeto a la restricción de presupuesto. Sabiendo que

n

i

Tj

Dj

Ci

jD

jC

T

jS

TotalT

C

n

iT

jD

jQ

QjCi

jD

jC

jQ

jD

jS

TotalC

12

***

*)(

1*

jD

jQ

=Ty 2

***

*

Derivando con respecto a T y minimizando 0

)1 1

*/()*2(*

n

i

n

i jD

jCi

jST

Debido a que existen restricciones de presupuesto y puede existir un T0 que es distinto, entonces nos interesa: Maximizar T0 , tanto como sea posible. Por resolución del Lagrangiano, similar al del caso anterior, puede calcularse un T0 de la siguiente forma:

j D*

jC =

j donde

1

2

1*2

1.2

n

j

n

j jj

n

j jB

To

y el desfase óptimo entre las órdenes está dado por:

25

Investigación Operativa II

n ... 1,2,3,=j

1

)(*

n

jj

jTo

jt

Por lo tanto el T óptimo es aquel que minimiza CT que es función de: CT que es función de: CT (T*c To) Si aplicamos esto en el ejemplo anterior, tendríamos que:

)(28)(07726,0))250080150030150060(*18,0/(1802*

)*/()*2(*

díasañosxxxxT

jD

jCi

jST

El período To con restricciones, sería:

2...150030150060,....2150060

250080150030150060160002

1

2

1

2

x 2B

xxx

xxxxxTo

j j jj

jTo

= 0,0660 años = 24 días Por lo tanto, el min. T{24, 28} = 24 días, y las cantidades ordenadas Qj = Dj*T = Q1 = 1500 x 0,0660 = 99 (unidades) Q2 = 1500 x 0,0660 = 99 (unidades) Q3 = 2500 x 0,0660 = 165 (unidades)

t1 t2 t3

t

26

Investigación Operativa II

días 32,14335000

24x2500x80 =

3t

días 2,3335000

24x1500x30 =

2t

días 44,6335000

15006024

250080150030150060

15006024

1

)(

1

xx

xx

xxn

jj

jTo

t

PROBLEMA 5: Una maestranza atiende varios centros comerciales en una serie de productos industriales, entre los que se encuentra la fabricación de tornillos de banco. La demanda total de este producto es de 30.000 (unidades/año). La capacidad de producción de la maestranza en este producto es de 45000 (u/año). El costo de elaboración de una unidad es de $4.000. - y el mantener stock involucra un monto del 15%. El costo de ajuste de máquinas es del orden de $30.000. Se desea saber una doctrina de operación óptima. El tiempo en preparar las máquinas toma cinco días. a) A qué nivel de Inventario es necesario empezar a preparar la máquina b) Qué cantidad se debe fabricar. c) Que cantidad se acumula como máximo. Solución: a) El nivel r = dxT = 30.000 (u/año) x 5/365 = 410 unidades

b) Q*=)(3464

000.30000.40

000.40*

000.4*

000.30*000.30*2*

2u

iDP

P

iC

DS

6.44 14,32

0 6,44 9,64 24

3,2

c)

27

Investigación Operativa II

MODELOS CON DEMANDA PROBABILÍSTICA En los modelos de inventario se asumió lo siguiente:

- Demanda conocida y estable - Tiempo de espera constante

La realidad práctica no es así, ya que si pueden ocurrir ambas situaciones como lo indica la figura siguiente:

Q

r

s

tL1 tL2 tL3 En este caso tenemos que:

a) Existe una demanda variable b) Existe un tiempo de espera variable

Por lo tanto, la solución de ese problema es bastante complejo y puede ser logrado en función de un procedimiento de prueba y error de manera dirigido para obtener convergencia, asumiendo un valor de demanda constante se calcula un punto de reorden, y con este valor se recalcula un nuevo Q para otra demanda y nuevamente otro r, finalmente convergen a valores en el tiempo de Q y r. MODELO SIMPLE: Asumir que tL= contante, es decir, el tiempo de espera conocido no así la demanda la cual varía. En este modelo se desea encontrar la doctrina de operación que tome en cuenta la posibilidad de falta de existencias. Así, se desea establecer existencias de seguridad adecuadas que permitan proporcionar un nivel especificado de protección para dar servicio a los clientes cuando se desconoce la demanda.

)(866)3000040000(000.40

3464)(Im unxDP

P

Qax

28

Investigación Operativa II

Definición de NIVEL DE SERVICIO: Es el porcentaje de demanda del comprador que se satisface con material proveniente del inventario, así un nivel de 100% representa la satisfacción de todos los requerimientos de comprador con material existente en “bodega”. El porcentaje de inexistencia es igual a 100% - el nivel de servicio. Importante existen definiciones diversas de nivel de servicio y que dan valores distintos de puntos de reorden.

Probabilidad de Nivel

de Servicio

Probabilidad de

Inexistencias

m

s r

a) Cálculo de Inventario de seguridad para la POLÍTICA DE REVISIÓN CONTINUA:

Variables : m = consumo efectuado durante el tiempo de espera. Z = factor de seguridad. s = inventario de seguridad. tL = desviación estándar de la demanda durante el tiempo de espera. dL = demanda diaria promedio. diario= desviación estándar diaria de la demanda. tL = tiempo de espera.

Por lo tanto

nsi

ndonde

Ztlxdsmr

tL

tLL

..............321

......321

*

22222

2

22

*

LtL

LtL

t

xt

29

Investigación Operativa II

Resumiendo:

Ci

SDQ

*

**2*

PROBLEMA 6 : La demanda diaria de “camotes” se encuentra distribuida normalmente con una media d = 50 (unidades/día) una desviación de diario =5(unidades/día). El abastecimiento tiene un tiempo de espera de 6 (días). El costo de solicitud la orden es de 8 (US$/orden), el costo unitario de cada camote es de 1.2 (US$/unidad) y los costos de manejo son del 20% del precio unitario. Se desea dar un nivel de servicio de 95%. ¿Cuál sería la Política Optima? Solución: Supuesto: 365 días al año. D = d x 365 = 50 x 365 = 18250 S = 8 $/orden i = 0,2 % C= 1.2

)(11032,1*2.0

8*365*50*2

*

**2* unidades

Ci

SDQ

De la distribución normal con un 95%, obtenemos que el area bajo la curva es 0,5 + 0,45. Con este último valor se entra a tabla de Z y u = 0. El valor de Z es 4.645. Luego: r = (d* tL)+( z * tL) r = (50 x 6) + 1,645 * tL Pero, como conocemos la diario =5(unidades/día), tenemos que: tL2= tL*2diario = 6 * (5)2 = 150 tL= 12.2 (unidades) por el período de 5 días. r* = 300 + 1,645 * 12,2 = 300 + 20 = 320 (unidades) Resultado:

a) La política es ordenar lotes de 1103 unidades

30

Investigación Operativa II

b) El punto de orden es de 320 unidades. c) El Inv. Seguridad = 20 Unidad.

Lote Q* = 1103 Unid.

6 días

r=320

m= 300 unidades

s = 20 unidades

C) CALCULO DE INVENTARIO DE SEGURIDAD EN POLÍTICA DE REVISIÓN PERIÓDICA: A diferencia del modelo EOQ este sistema funciona diferente debido a que:

No tiene un punto de reorden sino un objetivo de inventario No tiene una cantidad económica del pedido sino que la cantidad varía de acuerdo a la

demanda. El sistema periódico (T) el intervalo de compra es fijo y no la cantidad.

TT

Q1

Q2

Q2tL

tL

I

Q1

Q2

Sustituyendo T = Q en la fórmula de EOQ, tenemos que: D

iC

DS

Ci

SDQDT

2

D

1=T

*

**2*

Esta ecuación proporciona un intervalo de revisión T aproximadamente óptimo. El nivel de inventario objetivo I, puede establecerse de acuerdo a un nivel de servicio especificado.

31

Investigación Operativa II

Así el inventario objetivo se fija lo suficientemente alto para cubrir la demanda durante el tiempo de entrega más, el período de revisión. Este tiempo es el que condiciona el nivel máximo. Se requiere este tiempo previsión, debido a que el material en almacén no será restablecido sino hasta el siguiente período de revisión, más el tiempo que tamará esa segunda entrega. Así, el tiempo total tLT= T + tL

I = m’ + s’ Desde P = nivel de inventario objetivo m’ = demanda promedio durante el tiempo de T + tL s’ = Inventario de seguridad s’ = z * tL tL+t = La desviación estándar durante T + tL Z = Factor de seguridad PROBLEMA 7: Sea una demanda d = 200 (cajas/día) tL = 4 (días) diario= 150 (cajas/día) s = 20 i = 20% c = 10($/caja) Suponga que el almacén abre 5 días a la semana, 50 semanas, 250 días al año. Solucion: I) Política de Revisión Permanente:

(cajas) 1000100,2 x 10

200*250*200*2 6 Q

m = 200 x 4 = 800 (unidades) tL2= tL+ t*2diario

tL2 = 4 x(150)2 = 90.000 tL = 300 (cajas/durante tL) Nivel de servicio 95% Z = 1,645

32

Investigación Operativa II

Inventario de Seguridad: s = z * tL = 495 (unidades) Pto. de Reorden: r = (d* tLT)+( z * tL)=200 x 4 + 1,65x300 = 800 + 495 = 1295 (unidades) II) Para la política Revisión Periódica, tenemos que T = Q = 1000 = 5 (días) D 200 I= m’ + s’ I = m’ + Z tL+T m’ = d * tL+T = 200 x 9 = 1800 (unidades) = 9 * 1502 = 202.500

2Lt+T = (tL+T)* 2d= 202500 Lt+T = 450 (unidades) Inventario de seguridad s’: s’ = 1.65 * 450 = 742 (unidades) Por lo tanto: I = m’ + s’ = 1800 + 742 = 2542 (unidades) La regla de revisión períodica es ordenar para lograr un nivel objetivo de I= 2542 unidades y hacer revisión cada 5 días. Si comparamos los inventarios de seguridad para cada una de las políticas, tenemos: Política de Revisión Contínua: s = 495 (unidades) Política de Revisión Períodica: s’ = 742 (unidades) ¿ Porqué se produce tal diferencia? En el Sistema de Revisión Periódica el Inventario de Seguridad sirve para cubrir un período de tiempo (T + tL ), mientras que en el Sistema de Revisión Permanente el Inventario de Seguridad cubre un período tL

33

Investigación Operativa II

RESUMEN FINAL DE INVENTARIOS. Los modelos básicos de inventario son:

Orden o lote económico

Q/r

Orden para lograr un nivel

máximo I bajo revisión

periódica

Da origen

Sistema Revisión

Permanente

Sistema de revisión

periódica

o En el caso de sistema periódico, es más fácil de llevar ya que sólo se verifica una vez

cada período, se pide un máximo que es variable. o El sistema Q/r debe ser revisado permanentemente y hacer registros cada vez que se

hace un egreso, requiere de mayor esfuerzo. o El sistema periódico requiere de más existencia de seguridad, ya que esta se dimensiona

para un tiempo tL = T + tL. o El Sistema de Revisión Periódica puede dar como resultado más falta, ya que puede

trabajar con una demanda normalmente alta, puede haber falta. o En el sistema Q, r la cosa es diferente, ya que existe un monitoreo permanente y se

puede reaccionar más rápido.

ENFOQUE JAPONÉS.

La filosofía rápida es producir lo que el cliente desea. Hacer la cantidad exacta, en el tiempo exacto y en las condiciones solicitadas. Elaborar el producto con la frecuencia que se pide. Producir con calidad perfecta (especificaciones dadas). Fabricación con tiempo de espera mínimo. Lote económico EOQ = 1 (teorico) Producción sin desperdicio de mano de obra, material, equipo, etc.., de forma que por

ningún motivo exista material o inventario ocioso.

Por lo tanto, como resultado final de esta filosofía, tenemos una drástica caída de inventarios con el consiguiente aumento de rotación.

34

Investigación Operativa II

El enfoque JIT nace como una filosofía de administración o gestión de la producción y, con su técnica de Kanban, como herramienta de CONTROL de la producción.

Ejemplo de un análisis de producción:

Plantas Disponibilidades días de Inventario

Rotación Anual

Toyota 1980 Japón 4 62 Kaeasaki 1981 Japón 3,2 78 Kawasaki (USA) 1982 5,0 50 Compañías Americanas 1982 10-41 6-25

Rotación es igual = 250 días de disponibilidad

SISTEMA DE COSTEO ABC. Este sistema se basa en la propuesta de PARETO (1906), donde observa que unos cuantos artículos en cualquier grupo, controlarían una proporción significativa del grupo entero. Así se observo que: - Unos pocos individuos parecen obtener la mayoría de los ingresos. - Unos pocos productos parecen obtener la mayoría de los ingresos y así por adelante. En inventario sucede algo parecido. Un ejemplo que aclara la situacion, donde un total de 10 artículos de los cuales 2 representan el 73,2% del costo o uso.

Clase Nº de Artículos Porcentaje Porcentaje del uso total en

A 3,6 20 73,2 % B 2,4,9 30 16,3 % C 1,5,7,8,10 50 10,5 % 100 %

35

Investigación Operativa II

10,5

16,3

89,5

73,2

73,2%

0 A 20 B 50 C 100

100%

En resumen: este concepto se fundamenta en los pocos significativos en los muchos significativos, lo básico es que me permite orientar mis esfuerzos. Consideraciones adicionales Otros aspectos a considerar en manejo de inventarios es que no son costos son:

Lead time Obsolescencia Disponibilidad Sustitutibilidad Criticidad

Así se deben considerar aspectos de:

“no” producir por falta. rapidez de la compra. cuando un sustituto está disponible. descuentos según fecha de compra.

Estos aspectos pueden tener un mayor impacto que lo determinado económicamente, en determinados casos.

PARTE III: SISTEMAS DE CONTROL DE INVENTARIOS Hasta este punto la atención se ha centrado en las reglas de decisión que pueden usarse para determinar ¿Cuándo y Cuánto Ordenar?. En las operaciones, estas reglas deben enmarcarse dentro de un sistema de control de inventarios, de la forma como se registra la información (transacciones). Un sistema de control de inventarios puede ser manual o computarizado o una combinación de ambos. Sin embargo, hoy en día la gran mayoría de los sistemas de control son computarizados, exceptuándose aquellos que tienen un numero pequeño de artículos, donde su costo no justifica que se implemente un sistema sofisticado.

36

Investigación Operativa II

Independiente de si un sistema de control es o no computarizado, deben ejecutarse las siguientes funciones: Conteo de las transacciones. Todo sistema de inventario requiere de un método de registro de las operaciones de entrada y salidas del sistema con el fin de dar apoyo a las funciones contables y de administración de inventarios. Estos registros pueden mantenerse en forma perpetua o solo por un periodo de tiempo. Pronósticos. Las decisiones de inventario deben basarse en pronósticos de demanda. En todo sistema es necesario considerar técnicas cuantitativas que apoyen lo juicios subjetivos, esto ultimo con el fin de modificar los pronósticos cuantitativos en caso de que ocurran eventos poco probables. Informes a la alta administración. Un sistema de control de inventarios debe generar informes para la alta administración, así como para los gerentes de inventarios. Estos informes deben medir el funcionamiento global del inventario y deben ayudar en la formulación de políticas generales para lo inventarios. Tales informes deben incluir el nivel de servicio que se proporciona, los costos de operación del inventario, los niveles comparados con otros periodos. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL Son muchos los tipos de sistemas de control de inventarios que actualmente están en uso, sin embargo los 4 de mayor uso son los siguientes:

a) SISTEMA DE UN SOLO DISPOSITIVO: Es un sistema de un solo dispositivo el caja o estante se llena en forma periódica (por ejemplo los estantes de las tiendas minoristas, los cajones para partes pequeñas en las fabricas, etc.) . Este sistema donde el tamaño es la meta. y el inventario se ajusta a esta medida en forma periódica, No se mantienen registros de cada una de las entradas y salidas.

b) SISTEMAS DE DOS DEPÓSITOS. La idea básica es que existen dos compartimentos, el

primero es de donde se saca el material y el segundo es una cantidad tal que es igual al punto de reorden. Una vez que el primero se ha agotado se inicia el segundo, emitiéndose una orden por una nueva cantidad igual al lote Q a ordenar determinado en función de un modelo respectivo.

c) SISTEMA DE CARDEX. Con este sistema, se lleva un cardex, en el que generalmente se

tiene una tarjeta para cada artículo del inventario. Conforme se venden los artículos, se localizan las correspondientes tarjetas y se actualizan. Similarmente. las tarjetas son actualizadas cuando llega material nuevo.

d) SISTEMA COMPUTARIZADO. Se conserva un registro para cada artículo en una memoria

de almacenamiento de lectura computarizada. las transacciones se asientan contra este registro conforme los artículos son despachados o recibidos. Un buen ejemplo de la

37

Investigación Operativa II

actualidad son los supermercados con sus registros de códigos de barras pueden automáticamente saber la cantidad vendida de un determinado producto, su rotación, pérdidas, etc.

SECUENCA DE EJERCICIOS SOBRE INVENTARIOS PROBLEMA 8: Suponga que la demanda de un producto es 30 unidades al mes y que lo artículos se retiran a una tasa constante , el costo de preparación en cada corrida de producción para restablecer el inventario es $ 15 y el costo de producción es $ 1 por articulo y el costo de mantener un inventario es $ 0.30 por articulo por mes.

a) Suponga que no se permite faltantes determine cada cuando conviene hacer una

corrida de producción y de qué tamaño debe ser.

b) Si el costo por faltantes de 3 $ por artículo mes, determine cada cuando resulta

preferible hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser.

Solución:

a) S=15 h=30 d= 30

.83.130/**

77.5430.0

15*30*2*

mesesQt

Q

b)

.91.1/**

45.5730.03

3*

30.0

15*30*2*

45.573

30.03*

30.0

15*30*2*3.

mesesdQt

s

Qp

38

Investigación Operativa II

PROBLEMA 9:

La demanda de producción es de 600 unidades a ala semana y los artículos se retirarán uniformemente. Los artículos se ordenan y el costo de preparación de 25 $. El costo unitario de cada artículo es de 3 $ y el costo de mantener el inventario es de 0.05 $ por artículo por semana.

a) Suponga que no se permite faltantes. Determine cuánto y con qué frecuencia debe ordenarse.

b) Si el costo por faltante es de 2 $ por artículo por semana, determine qué tan seguido debe ordenarse y de qué tamaño debe ser la orden.

Solución:

b) S=25 h=0.05 d= 600

.29.1/**

60.77405.0

25*600*2*

semanasdQt

Q

c)

semanasdQt

s

Qp

31.1/**

09.76505.02

2*

05.0

15*30*2*

22.7842

05.02*

05.0

15*30*2*2

PROBLEMA 10: Una Empresa comercializa artículos del hogar, con una demanda anual de 1.000 unidades, si el costo para colocar un pedido es de 10 dólares, el costo de almacenamiento unitario anual de cada artículo es de 2.50 dólares, la empresa opera 365 días al año, siete días a la semana, con un costo de venta del artículo de 15 dólares, determinar la política de inventario óptima de la Empresa.

39

Investigación Operativa II

Solución:

PROBLEMA 11: Una compañía de taxis consume gasolina a una tasa de 8500 galones/mes. La gasolina cuesta 1.05$/galón y tiene un coste de emisión de pedido de 1000$/pedido. El coste de mantener el inventario es 1 centavo/galón/mes. a) Determine cuándo y cuánto se debe ordenar, si desea minimizar el coste total. b) Suponga que se permiten roturas de stock, y que éste asciende a 50 centavos/galón/mes. c) Suponga que el coste de la gasolina baja a 1$/galón si compran, al menos, 50000 galones. d) Suponga que el coste de la gasolina es 1.20$/galón si el tamaño del pedido es menor de

20000galones, 1.10$/galón si a2=40000 galones, y 1.00$/galón si Q es, como mínimo, 40000 galones.

e) ¿Es necesario el dato de para resolver este problema? Solución: a) Q*= 41231 galones. Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,21; Frecuencia (nº de pedidos al año): 2,47 T* (meses)= 4,85; T* (días) = 146 b) Q* = 41641 galones Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,20; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,45 T* (meses)= 4,90; T* (días) = 147 c) Q1* = 41231 galones Q2* = 42249 galones CT(Q1*) = 9337 $

40

Investigación Operativa II

CT(a) = 8908 $ Q*= a = 50000 galones Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,17 ; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,04 T* (meses): 5,88 ; T* (días): 176 d) Q1* = 38568 galones Q2* = 40283 galones Q3* = 42249 galones SITUACIÓN: a1<Q1*<a2<Q2*<Q3* Q*=Q3*=42249 galones Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,20 ; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,41 T* (meses)= 4,97 ; T* (días) = 149

PROBLEMA 12

Cada año la Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 14 dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares.

La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse y que el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valor del inventario. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará? ¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará?

Solución:

Paso 1: Identifico Modelo

Tamaño Económico de lote reabastecimiento instantáneo con faltantes permitidos (modelo con escasez)

Paso 2: Determino los costos

Precio del inventario = $15 por armazón

C3=$50 por pedido

C2=$15 unidad/año

C1=$0.30 por dólar del valor del inventario

Entonces el costo 1 corresponde A

41

Investigación Operativa II

$30 --------- $1

x ----------- $15

$0.30/$1 * $15 = $4.50 o simplemente

C1=0.30 * valor del inventario = 0.30 (15) = $4.50

Por lo tanto C1=$4.50

La demanda es de r=10,000 armazones al año.

Paso 3: Introducir datos en las formulas

Para Q* (cantidad optima de pedido)

¿Cuál es el nivel máximo de inventario?

¿Cuál es la escasez máxima que se presentara?

Esto se puede resolver de 2 formas

Forma 1:

Carencia máxima = Q* - S* = 573.48 – 413.45 = 124.03 armazones

O bien

Forma 2:

Paso 4: Conclusión

Entonces la carencia máxima que se presentará será 124.03 armazones y cada pedido debe ser 537 o 538 armazones. Se tendrá un nivel máximo de existencias de 413.45 armazones.

42

Investigación Operativa II

PROBLEMA 13

Compra de disquetes. Una empresa local de contaduría en Guatemala pide cajas de 10 disquetes a un almacén en la Ciudad. El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa de contadores utiliza 10,000 disquetes por año. El costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que se supone 20% por año. P1=50 dólares, P2=40 dólares, P3=48.50 dólares

Número de cajas pedidas (q) Precio por caja (dólares)

0£ q<100 50.00

100£ q<300 49.00

q³ 300 48.50

Cada vez que se hace un pedido de disquetes ¿Cuántas cajas se deben pedir? ¿Cuántos pedidos se hacen al año? ¿Cuál es el costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de contadores?

Solución:

Demanda = 10,000 disquetes por año, pero los precios son por caja y sabemos que 10 disquetes trae una caja por lo tanto la demanda es de 1,000 cajas por año.

r=1,000 cajas/año

Costo de ordenar =C3=$100

Costo de almacenamiento = C1 = 0.20 del valor del inventario

C1=0.20Px: Px=P1, P2, P3...Pn

Por lo regular el costo de almacenar en este modelo se da en porcentaje del inventario ya que el precio varía de acuerdo a la cantidad pedida.

43

Investigación Operativa II

Teniendo estos Q* óptimos miro si se encuentran en el rango de la tabla

Q1*=141.42 0£ q<100 X No cumple

Q2*=142.86 100£ q<300 / Si cumple

Q3*=143.59 q³ 300 / Si cumple y Nuevo Q*3=300

¿Por qué si cumple Q*3 y No Q*1?

En Q*1 no puedo menos de lo que necesito por ejemplo no puedo pedir 100 ya que faltarían 42, al contrario de Q*3 donde si puedo pedir mas de 143 y pido 300 ya que es el mínimo que me permite ese precio y el nuevo Q*3 seria 300.

Encuentro los Costo Totales:

El costo 1 se valuó dado que el Q* no cumple.

Conclusión:

Se incurre en menor costo anual el hacer un pedido optimo de 300 cajas, con un costo de $50,288.33/año ordenando 1,000/300=3.33 » 4 veces al año para satisfacer la demanda.

PROBLEMA 14

Un gran productor de medicina para los nervios produce sus provisiones en remesas, el costo de preparación para cada remese es de $750. De la producción se obtiene 48 galones diarios del producto y cuesta $0.05 cada uno para conservarlos en existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes. Suponga 12 meses, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad óptima de producción, el tiempo de ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración en días de cada remesa de producción y el costo total óptimo.

Solución:

Tamaño económico de lote, ciclo productivo, sin faltantes permitidos.

C3= Costo de producción = $750

C1= Costo de almacenamiento = $0.05 /mes

K= tasa de producción = 48 gal/día x 25 días = 1,200 galones / mes

44

Investigación Operativa II

r = demanda = 600 gal /mes

Se podría trabajar en días / meses / años / semanas etc. y Q* siempre tiene que dar los mismo, siempre y cuando se utilicen las mismas unidades.

Busco Existencia máxima

Producción Q*/K = 6,000gal/1,200 gal/mes =5 meses

Tciclo= Q*/r =6,000ga/600 gal/mes= 10 meses

Produce=5/10=0.5 del tiempo 0.5 (300)=150 días/año

Se puede utilizar cualquiera de las 2 formulas y da lo mismo para Q*

PROBLEMA 15

Una empresa de limpieza industrial ha estimado una demanda anual de 50,000 guantes, se estima que existe un costo de ruptura o escasez de Q0.30 unidad/mes se debe analizar la forma de programar lotes de producción si se desean utilizar los recursos minimizando los costos. El costo de mantener el inventario es de Q0.20 unidad/mes, el costo de emitir un lote es de Q150.00. Cual debería de ser la política de la siguiente empresa y la carencia máxima que se le presentara.

Solución:

Tamaño económico de los lotes reabastecimiento instantáneo faltantes permitidos.

r= demanda = 50,000/año

C2= costo de escasez Q0.30 unidad/mes x 12 meses = Q3.60 unidad /año

C1= costo de inventario = Q0.20 unidad/mes x 12 meses = Q2.40 unidad/año

45

Investigación Operativa II

C3= costo de ordenar = Q150.00

Nótese que el costo de almacenar (C1) se dan directamente como un valor fijo. (en este problema)

D*=Q*-S* : D*= carencia máxima

Conclusión: La empresa debería pedir 3,227 o 3,228 unidades cada vez que haga un pedido. Su carencia máxima será de 1,291 unidades.

PROBLEMA 16

Una constructora debe abastecerse de 150 sacas de cemento por día, la capacidad de producción de la máquina en la empresa es de 250 sacos al día, se incurre en un costo de $400.00 cada vez que se realiza una corrida de producción, el costo de almacenamiento es de $0.5 unidad por día, y cuando hace falta materia prima existe una pérdida de $0.7 unidad por día. a) Cuál sería la cantidad optima a pedir. b) La escasez máxima que se presenta.

Solución:

Tamaño económico de lote, ciclo productivo, faltantes permitidos.

r = 150 sacos/día

k = 250 sacos/día

C3=$400

C1=$0.5 /día

C2=$0.7 /día

46

Investigación Operativa II

a)

b)

Conclusión: La cantidad optima a producir seria de 1,014 o 1,015 sacos por corrida presentándose una escasez máxima de 169 sacos.

PROBLEMA 17

Una empresa de informática se dedica a la venta de computadoras, trata de determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas de video para las computadoras, cada vez que se hace un pedido se incurre en un costo de $20. El precio por tarjeta de video depende del número de tarjetas pedidas según la siguiente tabla

No. de tarjetas pedidas de video Precio por tarjetas de video

Q<300 $10

300£ q<500 $9.80

Q³ 500 $9.70

El costo anual de almacenamiento es el 20% del valor del inventario. Cada mes la empresa de consultaría emplea 80 tarjetas de video.

POR OTRA PARTE la empresa de informática está pensando producir las tarjetas de video como otros componentes que ya fábrica. Ocupa a un empleado que trabaja 4 horas y gana $3/hora y a una secretaria para realizar las llamadas la cual trabaja 1 hora y gana $3/hora más un tiempo muerto de la máquina que se valora en $20.

El costo por almacenar la tarjetas es de $1.95/año, la empresa puede producir a un ritmo de 100 tarjetas de video al mes y el precio de cada tarjeta producida sale en $9.85.

Se le contrata a usted como Ingeniero para que determine cuál es la mejor decisión que minimice los costos para la empresa. ¿Debería la empresa comprar las tarjetas o producirlas?

47

Investigación Operativa II

Solución:

Analizando descuentos por volumen

C3=$20 (costo por ordenar)

C1=0.20*valor del inventario = 0.20p /año p: precio

r = 80 tarjetas/año = 960 tarjetas / año

Miro que Q* si estan en el rango y si son validos o no.

Q*1= 138.56 < 300 SI Q1*=138.56

Q*2= 300 £ 139.97 < 500 NO pero cumplo con los 139.97 no importando que sobre y Q2*=300 (nuevo)

Q*3= 140.69 ³ 500 NO también se cumple lo requerido y el Nuevo Q*3=500

Por lo tanto los tres Q* son validos de las siguiente manera

Q*1=138.56 Q*2=300 Q*3=500

Obtengo costos totales

Por lo tanto para la parte de descuento por volumen conviene pedir 300 tarjetas cada vez

Que se le pide al proveedor con un costo anual de $9,766

48

Investigación Operativa II

Análisis para la parte de producir

C1=$1.95 /año (costo de almacenar)

r = 960/año (demanda)

k = 100/ mes =1200 /año (tasa de producción)

C3= costo de ordenar en este caso costo de producir

4 horas 1 empleado y gana $3/hora = $12

1 hora 1 secretaria $3/hora = $3

Tiempo muerto = $20

Total $35

Costo de producir = C3 = $35 por corrida

p= $9.85 (precio de tarjeta)

Conclusión:

Al producir el producto la empresa incurrirá en un gasto menor. Lo gastado en descuentos por volumen seria $9,766/año y al producir seria $9,617.89 y existiría una reducción en $148.11/año. Por lo tanto esta empresa debería producir las tarjetas de video.

PROBLEMA 18

Una compañía se abastece actualmente de cierto producto solicitando una cantidad suficiente para satisfacer la demanda de un mes. La demanda anual del artículo es de 1500 unidades. Se estima que cada vez que hace un pedido se incurre en un costo de $20. El costo de almacenamiento por inventario unitario por mes es de $2 y no se admite escasez.

a. Determinar la cantidad de pedido optima y el tiempo entre pedidos b. Determinar la diferencia de costos de inventarios anuales entre la política optima y la

política actual, de solicitar un abastecimiento de un mes 12 veces al año.

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Investigación Operativa II

Solución:

r = 1500 unidades/año

C3 =$20

C1 =$2 unidad/mes = $24 unidad/año

T=Q*/r = 50/1500 = 1/30 año x 360 días/año = 12 días

Política Actual se le agota cada mes o sea 1/12 año

1/12=Q*/1500 Q*=125 (política actual)

Política Optima

Q*= 50

Diferencia de $540 por lo tanto es ahora más cuando existe la política optima.

PROBLEMA 19

Una ferretería tiene que abastecer a sus clientes con 30 sacas de cemento a sus clientes con 30 sacaos de cemento diarios siendo esta una demanda conocida. Si la ferretería falla en la entrega del producto pierde definitivamente el negocio, para que esto no suceda se asume que no existirá escasez. El costo de almacenamiento por unidad de tiempo es de Q0.35 unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de Q55.00 a) Cuál es la cantidad optima a pedir b). El periodo de agotamiento (asumir 1 mes = 30 días, 1 año = 360 días)

Solución:

r = 30 sacos / día C1= 0.35 unidad / mes

r = 900 sacos / mes C3= Q55

50

Investigación Operativa II

ó T=531.84/30 = 17.73días

PROBLEMA 20

Un agente de Mercedes Benz debe pagar $20,000 por cada automóvil que compra. El costo anual de almacenamiento se calcula en 25% del valor del inventario. El agente vende un promedio de 500 automóviles al año. Cree que la demanda se acumula, pero calcula que si carece de un automóvil durante un año, perderá ganancias futuras por $20,000. Cada vez que coloca un pedido de automóviles, sus costos suman $10,000. a) Determine la política óptima de pedidos del agente b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?

Solución

p = $20,000 p: precio

C1=0.25xvalor del inventario = 0.25p C1=0.25 (20,000)=$5,000

C2=$20,000 / año

C3=$10,000

r = 500 / año

Carencia máxima

(Nivel máximo de inventario)

# pedidos = 500/50 = 10 pedidos al año.

CT= Costo de almacenar + Costo de ordenar + Costo de escasez

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Investigación Operativa II

PROBLEMA 21.

Un distribuidor de artículos marinos compra tanques de gas a un fabricante, el fabricante ofrece 5% de descuento en ordenes de 15 o más y un 10% de descuento en ordenes de 100 o más. El distribuidor estima sus costos de ordenar en $5 por orden y los de conservación en un 10% del precio del producto, el distribuidor compra 300 tanques por año, determine cuál es el volumen de compra que minimiza el costo total, el precio unitario de cada tanque es de $12.

Solución:

Precio Unitario Cantidad

12 0<q<15

11.40 15£ q<100

10.80 q³ 100

C3= $5

C1=0.10p unidades/año

C2= no existe

X no valido

/ Aceptable

/ Aceptable pero con nuevo Q*3=100

3CT1= X no admisible

el mejor es el 3 porque tiene menor costo Q* = 100 artículos marinos CT=3,309 /año.

52

Investigación Operativa II

PROBLEMA 22.

Si se realizara una comparación entre 2 modelos el anterior y uno que produce 450 al año a un costo de $6 por cada corrida y el costo de almacenar fuera $1.15/año, el precio de $11.70 por cada unidad y la misma demanda que el anterior. ¿Qué opción sería mejor producir o comprar?

Solución:

C3=$6 precio = $11.70 K = 450/año

C1=$1.15 /año r = 300/año

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INVENTARIOS 1.- Una fábrica de insignias tiene un contrato de 150.000 unidades de venta anuales, la empresa tiene una política de ordenar lotes de 40.000 unidades con un costo de emitir la orden de $160.000. por pedido. El conto de manejo es de 20% y el costo del producto de $60 por unidad. ¿Cuál es el error que comete la empresa? 2.- Un productor fabrica un ítem en lotes para inventario, la demanda es de 120.000 al año, la producción de 600.000 al año, el costo de preparación de máquinas y equipos es de $800. El costo de capital propio es del 1% mensual el porcentaje de deterioro es de un 0.5% mensual. El costo del ítem es variable y depende del tamaño del lote según la siguiente tabla:

LOTE PRECIO

0 Q < 10.000 6

10.000 Q < 30.000 5.8

30.000 Q 5.7

Determinar la cantidad óptima de pedir de acuerdo al mínimo costo.

53

Investigación Operativa II

3.- Un fabricante de zapatos utiliza grandes cantidades de cuero para la confección de sus zapatos, él necesita comprar una cantidad constante de lotes de cuero, pero de ninguna forma acepta que existan faltas de inventario. Los siguientes datos son los relevantes para determinar el lote óptima a comprar. La demanda anual es de 300.000 pies de cuero, requerida uniformemente en el año. El costo fijo de colocar una orden de compra por parte del fabricante es de $80. Los costos anuales de intereses, seguros y tasas adicionales en promedio alcanzan un 20% del

nivel de inventario. El costo de almacenamiento es de 10 centavos por cada mes y por cada unidad promedio

almacenada. El vendedor por cada orden de compra que recibe asigna un cargo fijo que alcanza un monto

de $40 por orden, si la cantidad ordenada llega hasta un lote de 30.000 uniddes y de $20 para pedidos superiores.

El costo unitario o pie de cuero está de acuerdo a la siguiente tabla:

LOTE PRECIO UNITARIO

0 < 10.000 $1

10.000 Q < 30.000 $0.98

30.000 Q < 50.000 $0.96

50.000 Q $0.94

Determine el lote óptimo a comprar. 4.- Para los siguientes productos se tienen los siguientes datos:

A B C Demanda anual 7200 5400 5650 Costo item 17 12 14 Costo setup 175 123 97 Espacio (m2) 2.2 3.3 1.9

El costo de mantener es del 15% anual, el máximo de inversión es de $34.000, se dispone de un espacio 7.500 m2 Determinar la cantidad óptima de cada producto considerando las restricciones impuestas

por la cantidad de recursos disponibles (espacio y dinero). Determine lo pedido en la parte anterior, pero sabiendo que la disponibilidad de espacio se

redujo a 4.800 m2

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Investigación Operativa II

5.- Una tienda de aparatos distribuye una cierta marca de T.V. que tiene las siguientes características: Demanda anual= 2.000 unid. Costo de pedir = $25/orden Costo del capital prestamo = 25% anual Costo del artículo = $400 Tiempo de entrega = 4 días Desviación estándar diaria = 1,2 unid. Días de trabajo al año = 250 días. a) Determinar la cantidad óptima a pedir. b) Calcule el punto de reorden para un nivel de servicio del 95% (suponga que la demanda se

distribuye normal) c) Estudie el efecto sobre el punto de reorden al aumentar en un 5% la desviación estándar de la

demanda. d) Determinar los costos totales. REFERENCIAS:

- Investigación de Operaciones - Séptima edición – Hiller – Liberman. - Investigación de Operaciones 7.a Edición Hamdy A. Taha.

- Investigación de Operaciones Cuarta Edición Wayne Winston

www.palacinp.es.tl