TEORIA ELETROMAGNETICA I - FORMULÁRIO - dee.ufrj.br complementares/FORMULARIO... · Universidade...
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Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ
Departamento de Engenharia Elétrica
Formulário de Teoria Eletromagnética I
Prof. Antonio Lopes de Souza, Ph.D.
ANALISE VETORIAL
1- Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2):
2
12
2
12
2
12 )z-(z + )y-(y + )x-(x =d
2- Vetor dirigido do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2):
za)z-(z+a)y-(y+a)x-(xR 12y12x12
3- Vetor unitário e módulo de um vetor:
zzyyxx aRaRaRR
RaRR
R
RaR
z2
y2
x2 RRRR
4- Produto escalar entre dois vetores expressos em coordenadas cartesianas:
zzyyxx aAaAaAA
e zzyyxx aBaBaBB
zzyyxx BABABAcosBAB . A
onde é o ângulo entre os dois vetores
5- Produto vetorial entre dois vetores aN
zzyyxx aAaAaAA
e zzyyxx aBaBaBB
Na sinBABA
onde Na
é o vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores A e B cujo
sentido é dado pela regra do parafuso da mão direita (o sentido de movimento de um parafuso girado com a mão
direita).
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
6- Elementos diferenciais de volume
dv = dxdydz (cartesianas)
dv = dddz (cilíndricas)
dv = r2sindrdd (esféricas)
ELETROSTÁTICA
7- Lei de Coulomb
R2
0
21 aR4
QQF
(N), onde m/F10854,8 12
0
, R é a distância entre as cargas e aN é o vetor
unitário dirigido da carga provoca a força para a carga sobre a qual age a força. A lei de Coulomb descreve
forças de interação mútua, ou seja, a força que a primeira carga provoca sobre a segunda é igual e contrária
àquela que a segunda provoca sobre a primeira.
8- Campo elétrico da carga pontual
R2
0
aR4
QE
(V/m), onde Q é a carga fonte do campo elétrico e os outros elementos da equação se
encontram definidos na fórmula 7.
9- Campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais
Rm2
m0
N
1m
aR4
QE
(V/m), ou seja, o campo total é a soma dos campos provocados por cada carga
do sistema, agindo isoladamente.
10- Campo da linha infinita de cargas
R
0
L aR2
E
(V/m), onde L é a densidade linear de cargas na linha infinita, R é a menor distância
da linha ao ponto onde se quer E , e Ra é o vetor unitário atuando ao longo de R e apontando da linha para o
ponto onde se quer o campo elétrico.
11- Campo da folha infinita de cargas
N
0
S a2
E
(V/m), onde S C/m
2 é a densidade superficial de cargas presente na folha infinita e Na é o
vetor unitário normal à folha e apontando da folha para o ponto onde se quer o campo elétrico.
12- Distribuições de carga
dLQL
L (carga linear)
dSQS
S (carga superficial)
dvQv
v (carga volumétrica)
13- Equação das linhas de campo
dado yyxx aEaEE
dx
dy
E
E
x
y
14- Fluxo elétrico
dSDS
, (C), onde D é o vetor densidade de fluxo elétrico medido em C/m2. ED 0 , onde 0 é
a permissividade do vácuo ou espaço livre e dada por:
)m/F(1036
110854,8 912
0
15- Lei de Gauss: “o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida pela mesma
superfície”.
QdSDS
total
16- Divergente
z
D
y
D
x
DD zyx
(cartesianas)
z
DD1)D(1D z
(cilíndricas)
D
sinr
1)sinD(
sinr
1
r
)Dr(
r
1D r
2
2 (esféricas)
17- Primeira equação de Maxwell
vD onde v é a densidade volumétrica de cargas
18- Trabalho realizado para mover uma carga entre dois pontos dentro de um campo elétrico
dLEQWfinal
inicial
, onde dL é o vetor deslocamento elementar definido abaixo para os três sistemas de
coordenadas:
zyx adzadyadxdL (cartesianas)
zadzadaddL (cilíndricas)
adsinrardadrdL r (esféricas)
19- Diferença de potencial (ddp) entre dois pontos A e B
dLEVVVA
B
BAAB (V), ou seja, a diferença de potencial entre os pontos A e B é a medida do
trabalho realizado para mover uma carga unitária e positiva de B até A dentro do campo elétrico em questão.
20- Diferença de potencial no campo de uma carga pontual
)R
1
R
1(
4
QVV
BA0
BA
(V), onde Q é a carga fonte do campo potencial presente na região e RA e
RB são as menores distâncias entre a carga fonte Q e os pontos A e B, respectivamente.
21- Diferença de potencial no campo de uma linha infinita de cargas
A
B
0
LBA
R
Rln
2VV
(V), onde L é a densidade linear de cargas presente na linha infinita, RA e RB
são as menores distâncias entre a linha e os pontos A e B respectivamente, e onde “ln” indica logaritmo natural.
22- Campo potencial absoluto de uma carga pontual
CR
1
4
QV
0
(V), onde R é a menor distância entre a carga fonte Q e o ponto onde se quer o
potencial absoluto e C é uma constante cujo valor depende da localização do zero de referência para potencias.
Para o caso em que o zero de referência é localizado no infinito o valor de C é zero.
23- Gradiente
zyx az
Va
y
Va
x
V
=V (cartesianas)
zaz
Va
V1a
V
=V (cilíndricas)
a
V
sinr
1a
V
r
1a
r
Vr=V (esféricas)
24- Relação entre V e E
VE
25- Energia armazenada no campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais
N
1m
mmVQ2
1W (J)
26- Energia armazenada no campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas
dv)E . D(2
1VdvW
volvol
vE (J), onde é a densidade volumétrica de cargas presente no volume v.
27- Corrente
dS . JIS
(A), onde J é o vetor densidade de corrente, medido em Ampères por metro quadrado
(A/m2) e S a superfície através da qual se quer medir o fluxo de corrente.
28- Densidade de corrente de convecção
UJ , onde é uma densidade volumétrica de cargas movendo-se com vetor velocidade U .
29- Equação da continuidade
t
J .
30- Condutores metálicos
EJ onde J é a densidade de corrente de condução, é a condutividade e E é o campo elétrico
aplicado ao meio.
ee , onde e é a densidade volumétrica eletrônica e e é a mobilidade do elétron.
31- Resistência de objetos condutores
dS . E
dL . E
I
VR
S
A
BAB
( )
32- Condições de fronteira condutor espaço-livre
0ED tt
sn0n ED (caso a fronteira seja condutor-dielétrico basta substituir 0 por R0 )
0DE no interior do condutor.
33- Materiais dielétricos
EP e0 (C/m2)
1Re , onde P é o vetor polarização, e é a susceptibilidade elétrica do material e E é o campo
elétrico aplicado.
bP . , onde b é a densidade de cargas de polarização.
PED 0 ou ED , onde R0
34- Condições de fronteira dielétrico-dielétrico
2t1t EE
2n21n1 EE
2t11t2 DD
2n1n DD
35- Capacitância
0V
QC , onde Q é o módulo da carga em um dos condutores do sistema e V0 é a diferença de potencial
entre os condutores.
35- Equação de Laplace:
0V2 descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões livres de cargas (exceto as
cargas fontes do campo V).
36- Equação de Poisson:
V2V descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões com cargas ( V ) e
permissividade ( ).
37- Laplaciano
2
2
2
2
2
22
z
V
y
V
x
VV
(Cartesianas)
2
2
2
2
2
2
z
VV1)
V(
1V
(Cilíndricas)
2
2
222
2
2
2 V
sinr
1)
V(sin
sinr
1)
r
Vr(
rr
1V
(Esféricas)
MAGNETOSTÁTICA
12-9
0 10 x 854,81036
1
F/m -7
0 10 x 4 H/m)
38- Lei de Biot-Savart:
2
R
R4
adLIHd
, onde dLI é um elemento diferencial de corrente, R é distância do elemento diferencial de
corrente ao ponto onde se quer o campo magnético e Ra é o vetor unitário apontando do elemento diferencial de
corrente para o ponto onde se quer H .
39- Lei de Biot-Savart:
a) campo magnético de distribuições filamentares de corrente: 2
R
R4
adLIH
(A/m)
b) campo magnético de distribuições superficiais de corrente: 2
R
SR4
dS)aK(H
(A/m)
c) campo magnético de distribuições volumétricas de correntes: 2
R
volR4
dv)aJ(H
(A/m)
onde dLI = dSK
= dvJ onde I é a intensidade de corrente, K
é o vetor densidade superficial de corrente (corrente
em superfícies), medido em A/m, e J
é o vetor densidade de corrente (corrente em volumes), medido em A/m2.
40- Campo magnético do filamento infinito de corrente:
HaR2
IH
(A/m), onde I é a corrente convencional fluindo no filamento e R é a menor distância do
ponto onde se quer o campo magnético até filamento. O unitário do campo, Ha
, é normal ao plano formado por
I e R e tem o sentido determinado pela regra da mão direita (o dedo polegar da mão direita aponta no sentido do
fluxo da corrente convencional e os quatro dedos restantes enlaçam o condutor indicando o sentido do campo
magnético, como na figura abaixo).
(regra da mão direita para o sentido do campo magnético)
41- Campo magnético do filamento finito
H12 a )sin(sinR4
IH
, onde R é a menor distância entre a reta que contém o filamento finito (a
reta suporte) e o ponto onde se quer o campo magnético. O ângulo 1 é formado entre R e a reta que une o
ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente entra no filamento. O ângulo 2 é
formado entre R e a reta que une o ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente sai do
filamento.
O sinal do ângulo é positivo quando o sentido de crescimento dele (ele cresce sempre a partir de R) coincidir
com o da corrente. Na figura acima 1 é negativo e 2 é positivo. A direção de H é normal ao plano formado
entre R e I. O sentido é obtido pela regra da mão direita (o dedo polegar apontando o sentido da corrente e as
I 1
2
R
Ponto P
Filamento finito
Reta suporte do filamento
extremidades dos outros dedos quatro tocando o ponto onde se quer H, o ponto P). Na figura acima H seria
normal do plano do papel e apontaria para baixo, entrando no plano do papel no ponto P.
42- Lei Circuital de Ampère
IdL.H
, ou seja, a circulação do campo magnético é igual à corrente contínua envolvida no percurso
da mesma circulação. O vetor Ld
é tomado sobre o percurso de integração. O sentido da circulação é orientado
positivamente com o sentido da corrente através da regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido
positivo da corrente convencional e os quatro dedos restantes indicam o sentido positivo da circulação).
43- Campo magnético do cabo coaxial
43.1) para <a 2a2
IH
43.2) para a<<b
2
IH
43.3) para b<<c )bc(2
)c(IH
22
22
43.4) para >c 0H
44- Campo magnético da folha infinita percorrida por uma densidade de corrente )m/A( K
Na x K2
1H
, onde K
é o vetor densidade superficial de corrente e Na
é o vetor unitário normal à folha
e dirigido dela para o ponto onde se quer calcular o campo magnético.
44 – Campo de um solenoide infinitamente longo, com seção reta circular de raio “a”, com eixo de simetria
coincidindo com o eixo “z” e percorrido por uma densidade superficial de corrente uniforme na direção
azimutal aKK a
44.1 – Solenoide ideal: ar para aKH za
e ar para 0H
44.2 – solenoide de N espiras com comprimento “d”: Zad
NIH
para pontos próximos ao eixo de
simetria e distantes das extremidades.
45 – Rotacional
45.1 - Definição geral da componente do rotacional na direção N
N0S
NS
dL . Hlim)xH(
N
x x
a b c
x
Corrente I entrando no plano do papel
Corrente I saindo do plano do papel
y
45.2- Rotacional em cartesianas
zxy
yzx
x
yz a)y
H
x
H(a)
x
H
z
H(a)
z
H
y
H( H x
45.3- Rotacional em cilíndricas
zz
rz a)
H1)H(1(a)
H
z
H(a)
z
HH1( H x
Onde é a coordenada radial em cilíndricas, ou seja, a menor distância do eixo z a um ponto do espaço.
45.4- Rotacional em esféricas
a)
H
r
)rH((r
1a)
r
)rH(H
sin
1(r
1a)
H)sinH((
rsin
1 H x rr
r
onde r é a coordenada radial em esféricas, ou seja, a menor distância da origem a um ponto no espaço.
46 – Teorema de Stokes
S
dS).H x (dL . H
, onde a integral de superfície é tomada sobre a superfície limitada pelo
percurso da circulação.
47- Densidade de Fluxo Magnético
HB
(Wb/m2), onde R0
)m/Henry( 10.4 7
0
é a permeabilidade do espaço livre e R é a permeabilidade relativa do meio. Se o
meio for o espaço livre 0
48- Fluxo Magnético
S
dS . B
(Wb)
49- Lei de Gauss do magnetismo
0dS . BS
(o fluxo magnético total através de uma superfície fechado é nulo)
50- Equações de Maxwell para campos estacionários na forma pontual
0E x
(a circulação do campo eletrostático é nula)
J H x
(lei de Ampère na forma pontual)
D .
(lei de Gauss na forma pontual – note que representa densidade de carga)
0B .
(forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo)
51- Equações de Maxwell para campos estacionários na forma integral
0dL . E
IdL . H
vol
v
S
dvQdS . D
, onde v representa densidade volumétrica de cargas.
0dS . BS
52- Potencial Escalar Magnético Vm
mV- H
, 0J
, ou seja, essa relação somente é válida em regiões onde não exista fluxo de corrente. O
potencial magnético é medido em Ampère.
dL . HVmA
B
AB
(onde o percurso não pode fechar em torno de correntes)
É possível definir uma “diferença de potencial magnético” VmAB entre dois pontos A e B desde que o percurso
de integração não seja fechado em torno de correntes. Se o percurso AB fechar em torno de correntes a função
potencial magnético escalar passa a ser multi-avaliada.
53- Potencial Vetor Magnético
A x B
, onde A
é o potencial vetor magnético medido em (Wb/m). O Potencial Vetor Magnético
aponta sempre no sentido da corrente que cria o campo.
A partir da Lei de Biot-Savart e da definição de potencial vetor é possível mostrar que:
R4
dLIA 0
para correntes filamentares
S
0
R4
dSKA
para correntes superficiais
vol
0
R4
dvJA
para correntes volumétricas
O potencial vetor magnético pode ser visualizado como uma fotografia fora de foco das distribuições de
corrente.
54- Força sobre uma carga Q em movimento dentro de um campo elétrico E
.
E QF
55- Força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U
dentro de um campo magnético B
.
)B x U(QF
56- Equação de Lorentz: força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U
dentro de um campo
elétrico E
e magnéticoB
)B x UE(QF
57- Força provocada por um campo magnético estacionário B
sobre um fluxo filamentar de corrente de
intensidade I (A)
B x dLIF
58- Força provocada por um campo magnético estacionário B
sobre um fluxo superficial de corrente K
(A/m)
dS)B x K(FS
59- Força provocada por um campo magnético estacionário B
sobre um fluxo volumétrico de corrente J
(A/m2)
dv)B x J(Fvol
60- Força e torque sobre percursos fechados de corrente
A força total exercida por um campo magnético uniforme B
sobre um circuito fechado de corrente é nula. O
torque não é nulo e é dado por:
B x mT
, onde SIm
é o vetor momento de dipolo magnético. Ele representa uma pequena espira na qual
flui corrente convencional de intensidade I (A). O vetor S
tem módulo igual à área da espira e aponta orientado
com o fluxo da corrente convencional de acordo com a regra da mão direita como mostra a figura a seguir.
O torque tem como finalidade o alinhamento entre os campos magnético do dipolo e o aplicado externamente.
61-Magnetização
vn
1i
i0v
mv
1limM
(A/m)
bIdL . M
, onde bI representa correntes de magnetização.
HM m
, onde m é a susceptibilidade magnética do material.
mR 1
bJM x
, onde bJ
é a densidade de correntes de magnetização.
S
bb dS . JI
62- Relações gerais entre B e H
HB
, onde R0
)MH(B 0
e HM m
63- Condições de Fronteiras Magnéticas
Componentes Normais : 1N2N BB , 1N
2
12N HH
, 1N
2 m1
12m1N
2
12m2N M
HM
Componentes Tangenciais: KHH 2t1t
onde K é o módulo do vetor densidade de corrente que poderia
existir na fronteira entre os dois meios. Caso não exista corrente na fronteira as componentes tangenciais de H
são contínuas.
Uma relação vetorial mais geral para o caso da existência de correntes nas fronteiras seria:
Ka x )HH( N1221
, onde 12Na
é o vetor unitário normal à fronteira e dirigido do meio 1 para o meio 2.
KBB
2
2t
1
1t
vD e KMM 2m1t
1m
2m2t
Mão Direita
m
Corrente convencional I
Área S
Vetor momento de dipolo
magnético
64- Circuitos Magnéticos
S
L
(Ae/Wb), – Relutância de um material linear, homogêneo e isotrópico de comprimento L, área
de seção reta S e permeabilidade .
mV , onde é o fluxo magnético fluindo no circuito magnético. Essa fórmula somente pode ser
aplicada para calcular “quedas” de potencial magnético em meios lineares, homogêneos e isotrópicos, nos quais
R é constante.
Em materiais não lineares mV é calculada a partir da equação: B
A
mAB dL . HV
, que, para casos em que
supomos o campo magnético uniforme na seção reta do circuito magnético, pode ser calculada como HLVm ,
onde L é o comprimento da seção e H deve ser obtido a partir da curva de magnetização (curva B-H) do
material.
A fonte que alimenta um circuito magnético (o conjunto de N espiras percorrido por corrente I) pode ser
representada como: NIV fonte m
65- Energia potencial armazenada em um campo magnético estacionário em que B
está linearmente relacionado
com H
dv H . B2
1W
vol
H
66 – Indutância e Indutância Mútua
Auto Indutância: I
NL
(Henry/m), onde o produto N é o enlace de fluxo e I a corrente que gera o enlace de
fluxo.
Indutância mútua entre os circuitos 1 e 2: 1
1222 1
I
NM
, onde 12 é o fluxo produzido por I1 que envolve o
caminho da corrente filamentar I2 e N2 é o número de espiras do circuito 2
21M12 MM
CAMPOS VARIANTES NO TEMPO
12-9
0 10 x 854,81036
1
F/m -7
0 10 x 4 H/m)
67- Lei de Faraday
dt
dNfem
(volts)
68- Força eletromotriz
dL . Efem
, onde E
é um campo não conservativo, ou seja, não é um campo elétrico originário de
separação de cargas eletrostáticas.
69- Força eletromotriz “Transformadora”
Sd . )t
B(dL . EfemS
(V), onde B
é um campo magnético variando no tempo enlaçando um
percurso condutor estacionário.
70- Força eletromotriz “Geradora”
dL . )B x U(dL . Efem
(V), onde U
é a velocidade com que um percurso condutor se move
dentro do campo magnético uniforme B
.
71 – Densidade de Corrente de Deslocamento
t
DJd
(A/m2), onde D
é uma densidade de fluxo elétrico variando com o tempo.
Sd . JIS
dd
(A)
72 – Equações de Maxwell na forma Integral
t
B -E x
(forma pontual da Lei de Faraday)
t
DJ H x
(lei de Ampère par campos dinâmicos)
vD .
(lei de Gauss na forma pontual onde v representa densidade volumétrica de carga variando
no tempo).
0B .
(forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo)
73 – Equações de Maxwell para campos dinâmicos na forma Integral
Sd . )t
B(dL . ES
t
DIdL . H
S
volS
dvQdS . D
, onde representa densidade volumétrica de cargas variando no tempo
0dS . BS