TEORIA DOS NÚMEROS

Embora existam diversos tipos de números na Matemática (reais, complexos, etc.), o nome "Teoria dos Números" é tradicionalmente reservado para o estudo dos Números Inteiros, isto é: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...Também é usado o nome "Aritmética", proveniente de arithmós, que em grego significa "número". Tanto a Aritmética quanto a Álgebra pertencem ao Cálculo. A Aritmética opera sobre os valores enquanto que a Álgebra se ocupa das funções.

PROPRIEDADESAs propriedades mais cruciais dos números inteiros, e que não têm similares nos reais ou nos complexos, são o Princípio da Boa Ordenação, segundo o qual qualquer conjunto não vazio de inteiros, limitado inferiormente, possui um elemento mínimo; e o Princípio da Indução, segundo o qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n=a, e a veracidade de P(n) acarretar a veracidade de P(n+1), então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior ou igual a a.

A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação < e do Princípio da Boa Ordenação (ou do da Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda a Teoria dos Números. Um de seus resultados mais importantes é o Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e –1) pode ser escrito de modo único como um produto de fatores primos.

A DIVISIBILIDADEUm conceito chave em Teoria dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros é diferente. Um inteiro a só é divisível pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a=bc. Nesse caso, diz-se também que b é um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a é múltiplo de b.

Por exemplo, 8 é divisível por 2, mas não é por 3. Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se sempre encontrar, de modo único, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a=bc+r, com 0 < r < b.

NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

• NÚMEROS PRIMOS

• Todo inteiro a é divisível por 1, -1, a e -a. Estes são os divisores triviais de a. Um inteiro é dito primo quando só possui os divisores triviais, ou seja, só é divisível por 1 e por ele próprio.

NÚMERO COMPOSTO

• Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que não seja primo (isto é, possua divisores não triviais) é dito composto.

• Por exemplo: São primos: 2, -2, 3, -3, 17, .... São compostos 6=2x3, -8=(-2)x4, ... Os números 0, 1 e –1 não são primos nem compostos.

• Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos.

Por exemplo:

• São primos: 2, -2, 3, -3, 17, .... • São compostos 6=2x3, -8=(-2)x4, ...• Os números 0, 1 e –1 não são primos nem

compostos. • Euclides foi o primeiro a demonstrar que

existe uma infinidade de números primos.

• É possível escrever os 1000 primeiros Números Primos.

• Estes números têm uma enorme importância na criptologia. Por este motivo, existe uma página especial dedicada aos Números Primos.

MÁXIMO DIVISOR COMUMO máximo divisor comum dos inteiros não

nulos a e b tem a propriedade de ser múltiplo de qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o máximo divisor comum de a e b for 1, então seus únicos divisores comuns são 1 e –1. Nesse caso, a e b são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si.

CARACTERÍSTICAS DA TEORIA DOS NÚMEROS

• Uma das características da Teoria dos Números é que ela inclui problemas extremamente simples de enunciar e ao mesmo tempo incrivelmente difíceis de resolver. Um exemplo é a conjectura de Feuerbach: "todo número par é a soma de dois números primos"; ninguém até hoje conseguiu decidir se isto é verdadeiro ou falso.

Outro exemplo é o famoso Último Teorema de Fermat: Dado um inteiro n maior que 2, é impossível encontrar inteiros não nulos x, y, z tais que Este teorema, enunciado no século XVII por Fermat, só foi demonstrado em 1995, por Wiles (ver livro “O último teorema de Fermat, escrito por Simon Singh)

Xn + yn = zn