Teoria dos Grafos – Aula 2 Profª.: Loana T. Nogueira.

Teoria dos Grafos – Aula 2

Profª.: Loana T. Nogueira

Matriz de Incidência (v x e)

Matriz de Incidência (v x e) MG=[mij]

mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes



e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4



e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1

v2

v3

v4

MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej

são incidentes

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1

v2

v3

v4

1 1 0 0 1 0 1



são incidentes

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1

v2

v3

v4

1 1 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 0



são incidentes

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1

v2

v3

v4

1 1 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 1



são incidentes

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1

v2

v3

v4

1 1 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 2 0


Matriz de Adjacência (v x v)

AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e

vj



vj

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3

v4



vj

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3

v4


0 2 1 1


vj

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3

v4


0 2 1 12 0 1 0


vj

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3

v4


0 2 1 12 0 1 01 1 0 1


vj

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

v1 v2

v3v4

v1 v2 v3 v4

v1

v2

v3

v4


0 2 1 12 0 1 01 1 0 11 0 1 1

Subgrafos

Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H

G) se V(H) V(G) e E(H) E(G)


G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H

G e dizemos que H é subgrafo próprio de G




Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H




Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H

Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

Subgrafo Induzido

Subgrafo Induzido Seja V´ um subconjunto não vazio

de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’.

Subgrafo Induzido Seja V´ um subconjunto não vazio de

V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’.

G[V’]: é um subgrafo induzido de G.

G[v\v´], denotado por G-V’ É o subgrafo obtido a partir de G

pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes

Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

Subgrafo induzido (por aresta) Seja E´um subconjunto não vazio

de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

Subgrafo induzido (por aresta)

G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´

Subgrafo induzido (por aresta)

G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´

G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E

Exemplo

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

Exemplo

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

Um subgrafo gerador de G

Exemplo

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

Um subgrafo gerador de G

u

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wx

e

b

c

d

g v

Exemplo

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

G – {u,w}

Exemplo

G – {u,w}

wx

b

c

d

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h

y v

u

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e a

b

c

d

f

g

h

Exemplo

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

G – {u,w}

d

f

g

h

y

x

v

Exemplo

G-{a, b, f}

u

y

x

e a

c

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f

g

h

v

w

Exemplo

G-{a, b, f}

y

x

e

c

d

f

g

h

v

w

u

Exemplo

G-{a, b, f}

y

x

e

c

d

g

h

v

w

u

Exemplo

O subgrafo induzido G[u, v, x]

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

Exemplo

O subgrafo induzido G[u, v, x]

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

u

v

x

Exemplo

O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

Exemplo

O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta

u

vy

wx

e a

b

c

d

f

g

h

u

y

e a

d

g

x

v

Subgrafos Disjuntos

Sejam G1, G2 G

Subgrafos Disjuntos

Sejam G1, G2 G

G1e G2 são disjutos se V(G1)V(G2) =

Subgrafos Disjuntos em aresta


Sejam G1, G2 G


Sejam G1, G2 G

G1e G2 são disjutos em aresta se E(G1)E(G2) =

União de Grafos

União de Grafos G1 G2: é o subgrafo com conjunto

de vértice V(G1) V(G2) e conjunto de aresta E(G1) E(G2)

União de Grafos G1 G2: é o subgrafo com conjunto

de vértice V(G1) V(G2) e conjunto de aresta E(G1) E(G2)

G1+ G2 se G1e G2 são disjuntos

Interseção Similar, mas neste casa G1e G2

devem ter ao menos um vértice em comum

Grau dos vértices

Grau dos vértices O grau dG(v) de um vértice v em G

é o número de arestas de G incidentes a v

Cada loop conta como duas arestas

Grau dos vértices O grau dG(v) de um vértice v em G

é o número de arestas de G incidentes a v

Cada loop conta como duas arestas

(G): grau mínimo de G (G): grau máximo de G

Teorema: d(v) =2mv V

Teorema: d(v) =2mv V

Prova por indução em n!!!

Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par.


V1: conjunto do vértices de G com grau par

V2: conjunto dos vértices de G com grau ímpar


V1: conjunto do vértices de G com grau par

V2: conjunto dos vértices de G com grau ímpar

d(v) + d(v) = d(v) v V1 v V2 v V

Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k, v V

Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k, v V

Um grafo G é regular se é k-regular para algum k.

Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-

nula W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de ei são vi-1 e vi.



W é um passeio de v0 a vk.



W é um passeio de v0 a vk. v0 : início do passeio vk : término do passeio

Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula

W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1 i k, os extremos de ei são vi-1 e vi.

W é um passeio de v0 a vk. v0 : início do passeio vk : término do passeio K: comprimento do caminho

Trilha Não pode repetir arestas

Caminho Não pode repetir vértices (nem

arestas)

Grafo Conexo u e v são ditos conectados se

existir um caminho entre u e v em G. Notação: caminho-(u,v)


existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v)

G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G


existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v)

G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de GRelação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

Reflexiva

Equivalência

Caminho-(u, u)

Equivalência

Caminho-(u, u) Simétrica

Equivalência

Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então

existe caminho-(v,u)

Equivalência


existe caminho-(v,u) Transitiva

Equivalência


existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e –

(v,w) então existe caminho-(u,w)

Equivalência

Componentes Conexas

Componentes Conexas É possível particionar G em classes

de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi

Componentes Conexas É possível particionar G em classes

de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi

Os subgrafos G[V1], ..., G[Vp] são chamados de componentes conexas de G.

Maximal (Minimal)

G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G’’ G´tal que G” tem a propriedade .

Maximal (Minimal)

G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G’’ G´tal que G” tem a propriedade .

Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

Exemplo

G

Exemplo

G é Conexo

G

Exemplo

G

G é Conexo

H

Exemplo

G

G é Conexo

H

H é desconexo

Exemplo

G

G é Conexo

H

H é desconexo

(G)= número de componentes conexas de G

Ciclo Uma sequência v1, v2, ..., vp, v1 é

um ciclo em G se v1, v2, ..., vp é um caminho em G.



k-ciclo : um ciclo de tamanho k



k-ciclo : um ciclo de tamanho k 3-ciclo: triângulo

Teorema: Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

()

u

v

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