Teoria dos Grafos
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Teoria dos Grafos
Profª Loana Tito Nogueira
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Bibliografia
1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 19882. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications. Elsevier, 1976.
![Page 3: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/3.jpg)
Bibliografia
1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 19882. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications. Elsevier, 1976.
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Motivação
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Motivação Por que estudar grafos?
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
![Page 6: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/6.jpg)
Motivação Por que estudar grafos?
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
![Page 7: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/7.jpg)
Motivação Por que estudar grafos?
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
![Page 8: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/8.jpg)
Motivação Por que estudar grafos?
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
![Page 9: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/9.jpg)
Motivação Por que estudar grafos?
Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento
Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
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As pontes de Königsberg
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As pontes de Königsberg
Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região
existiam 7 pontes, como mostra a figura.
![Page 12: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/12.jpg)
As pontes de Königsberg
Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região
existiam 7 pontes, como mostra a figura.
![Page 13: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/13.jpg)
As pontes de Königsberg
É possível andar por toda a cidade de tal modo que cada ponte seja atravessada
exatamente uma vez?
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As pontes de Königsberg
Não é possível !!!!!
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As pontes de Königsberg
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Remodelando o problema
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Remodelando o problema
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Remodelando o problema
![Page 19: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/19.jpg)
Remodelando o problema
O problema agora consiste em percorrer todos os arcos, passando por cada um apenas uma vez, sem
levantar o lápis do papel.
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Teoria de Grafos
Na teoria de grafos, um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER
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Outro Exemplo:
Será que existe alguma trajetória de Euler para o gráfico ao lado? Se existir, como ela é?
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Ementa do Curso Grafos e Subgrafos Árvores Conectividade Ciclo Hamiltoniano e Caminho Euleriano Emparelhamento Coloração de Arestas Conjuntos Independentes e Cliques Coloração de Vértices Grafos Planares Grafos Direcionados
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Avaliação:
Listas de Exercícios 2 Avaliações: PR1 e PR2
Trabalho (Alunos de Doutorado)
PR1: 24/05
PR2: 17/07
Final: 19/07
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Grafos e Subgrafos
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Grafos e Subgrafos
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Grafos e Subgrafos
![Page 27: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/27.jpg)
Grafos e Subgrafos
![Page 28: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/28.jpg)
Grafos e Subgrafos
![Page 29: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/29.jpg)
Grafos e Subgrafos
![Page 30: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/30.jpg)
Grafos e Subgrafos
![Page 31: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/31.jpg)
Grafos e Subgrafos
![Page 32: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/32.jpg)
Definição
G=(V(G), E(G), G)
![Page 33: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/33.jpg)
Definição
G=(V(G), E(G), G)
Conjunto não vazio de vértices
![Page 34: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/34.jpg)
Definição
G=(V(G), E(G), G)
Conjunto não vazio de vértices
Conjunto disjunto de V(G),chamado arestas
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Definição
G=(V(G), E(G), G)
Conjunto não vazio de vértices
Conjunto disjunto de V(G),chamado arestas
Função que associacada aresta de G um par
de vértices de G
![Page 36: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/36.jpg)
Definição
G=(V(G), E(G), G)
Conjunto não vazio de vértices
Conjunto disjunto de V(G),chamado arestas
Função que associacada aresta de G um par
de vértices de G
Se e=(u,v) então dizemos que e une u e v (u e v são ditos extremos de e)
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Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
![Page 38: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 39: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 40: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 41: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 42: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 43: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/43.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 44: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/44.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 45: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/45.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 46: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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![Page 47: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/47.jpg)
Exemplo1:
G=(V(G), E(G), G), onde V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8} G :
G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3), G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4), G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5), G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)
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G
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Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
![Page 49: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/49.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
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Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
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![Page 51: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/51.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
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![Page 52: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/52.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 53: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/53.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 54: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/54.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 55: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/55.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 56: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/56.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 57: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/57.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
![Page 58: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/58.jpg)
Exemplo2:
H=(V(H), E(H), H), onde V(H) ={u, v, w, x, y} E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h} G :
G(a)= (u, v), G(b)= (u, u), G(c)= (v, w), G(d)= (w, x), G(e)= (v, x), G(f)= (w, x), G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)
u
vx
w
y
H
![Page 59: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/59.jpg)
Observações
![Page 60: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/60.jpg)
Observações Grafos são assim chamados por
poderem ser representados graficamente
![Page 61: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/61.jpg)
Observações Grafos são assim chamados por
poderem ser representados graficamente
Existe uma única maneira de desenhar um grafo?
![Page 62: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/62.jpg)
Observações Duas arestas num diagrama de um
grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice
![Page 63: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/63.jpg)
Observações Duas arestas num diagrama de um
grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice
Grafos que possuem uma representação em que as aresta se interceptem apenas em seus extremos
são chamados planares
![Page 64: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/64.jpg)
Definições e Conceitos
![Page 65: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/65.jpg)
Definições e Conceitos Os extremos de uma aresta são
ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.
![Page 66: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/66.jpg)
Definições e Conceitos Os extremos de uma aresta são
ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.
Ex.: u v
e
![Page 67: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/67.jpg)
Definições e Conceitos Os extremos de uma aresta são ditos
incidentes com a aresta, e vice-versa.
Ex.:
u e v são incidentes a e
u v
e
![Page 68: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/68.jpg)
Definições e Conceitos Os extremos de uma aresta são ditos
incidentes com a aresta, e vice-versa.
Ex.:
u e v são incidentes a e(e é incidente a u e a v)
u v
e
![Page 69: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/69.jpg)
Definições e Conceitos Dois vértices que são incidentes a
uma mesma aresta são ditos adjacentes.
![Page 70: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/70.jpg)
Definições e Conceitos Dois vértices que são incidentes a
uma mesma aresta são ditos adjacentes.
Ex.: u v
e
![Page 71: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/71.jpg)
Definições e Conceitos Dois vértices que são incidentes a uma
mesma aresta são ditos adjacentes.
Ex.:
u e v são adjacentes
u v
e
![Page 72: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/72.jpg)
Definições e Conceitos Dois vértices que são incidentes a uma
mesma aresta são ditos adjacentes.
Ex.:
u e v são adjacentes e e e´são
adjacentes
u v
e
ue
e´
![Page 73: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/73.jpg)
Definições e Conceitos Loop: uma aresta com extremos
idênticos
u
![Page 74: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/74.jpg)
Definições e Conceitos Loop: uma aresta com extremos
idênticos
Link: aresta com extremos diferentes
u
u v
e
![Page 75: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/75.jpg)
Definições e Conceitos
Aresta Múltipla: links com mesmos extremos
u v
e
e´
![Page 76: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/76.jpg)
Definições e Conceitos Um grafo é finito se V(G) e E(G) são
finitos
![Page 77: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/77.jpg)
Definições e Conceitos Um grafo é finito se V(G) e E(G) são
finitos Estudaremos apenas grafos finitos.
![Page 78: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/78.jpg)
Definições e Conceitos Um grafo é finito se V(G) e E(G) são
finitos Estudaremos apenas grafos finitos.
Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.
![Page 79: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/79.jpg)
Definições e Conceitos Um grafo é finito se V(G) e E(G) são
finitos Estudaremos apenas grafos finitos.
Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.
Um grafo é simples se não possuir loops e arestas múltiplas.
![Page 80: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/80.jpg)
Notação G: Grafo com conjunto de vértices
V(G) e conjunto de arestas E(G).
n: número de vértices de G m: número de arestas de G
![Page 81: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/81.jpg)
Exercício:
1. Mostre que se G é um grafo simples, então
m ( )n2
![Page 82: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/82.jpg)
Isomorfismo entre Grafos
![Page 83: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/83.jpg)
Isomorfismo entre Grafos Dois grafos G e H são idênticos se
V(G)=V(H); E(G)=E(H); G = H
![Page 84: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/84.jpg)
Isomorfismo entre Grafos Dois grafos G e H são idênticos se
V(G)=V(H); E(G)=E(H); G = H
Grafos idênticos podem ser representados por um mesmo diagrama
![Page 85: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/85.jpg)
Isomorfismo entre Grafos Um isomorfismo entre dois grafos é
uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que
![Page 86: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/86.jpg)
Isomorfismo entre Grafos Um isomorfismo entre dois grafos é
uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que
(u,v) V(G) (f(u),f(v)) V(H)
![Page 87: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/87.jpg)
Isomorfismo entre Grafos Um isomorfismo entre dois grafos é
uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que
(u,v) V(G) (f(u),f(v)) V(H)
É possível alterar o nome dos vértices de um deles de forma que fiquem iguais.
![Page 88: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/88.jpg)
Exemplo: G H ?
v1
v2
v3
v4 v5
u
vx
w
y
G H
![Page 89: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/89.jpg)
Exemplo: G H ?
v1
v2
v3
v4 v5
u
vx
w
y
G H
Para mostrar que dois grafos são isomorfos, devemos indicar um isomorfismo entre eles.
![Page 90: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/90.jpg)
Classes especiais de grafos
![Page 91: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/91.jpg)
Classes especiais de grafos Grafo Completo: grafo simples em
que cada par de vértices distintos possui um aresta.
![Page 92: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/92.jpg)
Classes especiais de grafos Grafo Completo: grafo simples em
que cada par de vértices distintos possui um aresta.
A menos de isomorfismo, existe apenas um grafo completo com n vértices, denotado por Kn
![Page 93: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/93.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Vazio: é um grafo sem arestas.
![Page 94: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/94.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser
particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo
em X e um em Y.
![Page 95: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/95.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser
particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo
em X e um em Y.X Y
![Page 96: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/96.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser
particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo
em X e um em Y.X Y
![Page 97: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/97.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser
particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo
em X e um em Y.X Y
![Page 98: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/98.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser
particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo
em X e um em Y.X Y
(X, Y) é um bipartiçãodo grafo
![Page 99: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/99.jpg)
Classes especiais de grafos
Grafo Bipartido Completo: é um grafo bipartido com bipartição (X, Y) em que cada vértice de X é adjacente a cada
vértice de Y.
Se |X|=m e |Y|=n, então denotamos tal grafo por Km,n
![Page 100: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/100.jpg)
Exercícios
1. Mostre que os seguintes grafos não são isomorfos:
G H
![Page 101: Teoria dos Grafos](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062321/568134e0550346895d9c152b/html5/thumbnails/101.jpg)
Exercícios
2. Mostre que m(Km,n) = mn.
3. Se G é simples e bipartido, então m n2/4 (m: #arestas,
n: #vértices)