Revisional conjuntos, teoria de conjuntos, intervalos reais e procentagens
Teoria de Conjuntos
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TEORIA DE CONJUNTOS
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Conteúdos
1. Teoria de Conjuntos
1.1. Revisão sobre noções
básicas:
Conjunto e elemento de
um conjunto;
Representação de
conjunto;
Relação de pertença;
Definição de conjuntos
por extensão e por
compreensão;
Conjunto vazio e
conjunto singular
1.2. Relações entre conjuntos 1.2.1. Subconjuntos. Relação de
inclusão (contém e está contido)
1.2.2. Igualdade de conjuntos
1.2.3. Conjunto universal.
1.3. Operações com conjuntos
1.3.1. Reunião de conjuntos
1.3.2. Intersecção de conjuntos
1.3.3. Diferença de conjuntos
1.3.4. Complementar de
conjunto
1.3.5. Propriedades das
operações de conjuntos
1.3.6. Resolução de problemas
concretos da vida real
Objectivos
Usar os símbolos para
relacionar conjuntos
entre si e seus
elementos;
Representar um
conjunto por extensão e
por compreensão,
através de diagramas de
venn, chavetas e/ou
intervalos e na recta
graduada;
Efectuar operações de
reunião, intersecção e
diferença de conjuntos;
Resolver problemas
concretos da vida real,
aplicando as
propriedades das
operações sobre
conjuntos.
Teoria de Conjuntos
1.1 Introdução
Uma boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Matemática foi influenciada
durante o século XX pela Teoria de Conjuntos, criada por Cantor . Georg Ferdinand Ludwig
Philipp Cantor (1845-1918) – Notável matemático russo que, antes dos 30 anos, publicou
seus trabalhos sobre a Teoria de Conjuntos.
Vamos introduzir o conceito de conjunto na linguagem do dia a dia.
Conceito de conjunto
Conjunto é uma colecção ou agrupamento não ordenado de pessoas, objectos, números,
letras, cidades, etc.
Um conjunto é bem definido quando se pode estabelecer com certeza, se um determinado
elemento pertence ou não ao conjunto.
Por exemplo, podemos dizer com toda a certeza que um determinado aluno é elemento do
conjunto “dos alunos da 10ª classe da Escola Secundaria de Tete”, e também que 3 é
elemento do conjunto “dos números impares” e que 6 não é.
Mas seria impossível definir, com toda a certeza, que um certo aluno pertence ao conjunto
“das pessoas altas” ou se um determinado problema de Matemática faz parte “dos problemas
fáceis”.
Exemplos
1. Os números naturais
2. As letras a,e,i,o,u
Alguns conjuntos padrão são nomeados para facilitar seu uso e referência, tais como:
= conjunto de todos os números os números inteiros não negativos (o zero também é
número natural)
= conjunto de todos os números inteiros
= conjunto de todos os números racionais
= conjunto de todos os números reais
Elemento
São elementos do conjunto, os objectos, números, letras, etc. que fazem parte da formação
de um conjunto. Nos exemplos anteriores os números naturais são elementos do conjunto
dos números naturais, e as letras a,e,i,o,u são elementos do conjunto das vogais.
Representação de conjuntos
Os conjuntos são designados por letras maiúsculas: A,B,...........L,M.......X,Z
E os elementos dos conjuntos por letras minúsculas: a, b,....., l,m,.........x,z, dentro de
chavetas e separados por vírgulas.
Exemplo
, , ,A a b c d
Relação de pertença
Quando, por exemplo um objecto é elemento de um conjunto, diz-se que ele pertence a esse
conjunto.
De um modo geral, se um elemento qualquer x faz parte de um conjunto A, diz-se que ele
pertence ao conjunto A e indica-se simbolicamente da seguinte maneira:
x A e lê-se “x pertence ao conjunto A”.
No caso do exemplo anterior, “b” pertence ao conjunto A.
Simbolicamente escreve-se da seguinte maneira: b A
Por outro lado a letra “e” não pertence ao conjunto A, ou “e” não é elemento do conjunto A
Simbolicamente escreve-se da seguinte maneira: e A.
Sendo o símbolo a negação de
Formas de designar os conjuntos
1. Extensão ou enumeração
Consiste em indicar todos os elementos do conjunto, em qualquer ordem, sem repetição
e dentro de chavetas.
Este método é utilizado quando o número de elementos não é grande.
Exemplos. Ilustração do método
a) A, conjunto dos números ímpares menores que 12
1, 2 , 3 , 5 , 7 , 9 ,1 1A .
b) B, conjunto dos múltiplos de 3 menores que 10.
3, 6 , 9B
c) P, conjunto das províncias de Moçambique
, , , , , , , , , lg ,P M a p u to G a za In h a m b a n e S o fa la M a n ica T e te Z a m b e z ia N a m p u la N ia s sa C a b o D e a d o
2. Por compreensão ou por uma característica comum a todos os elementos do
conjunto
Consiste na definição do conjunto através da propriedade comum a todos os elementos
desse conjunto.
Não é sempre que se pode representar um conjunto como no caso anterior, por
Extensão. Por exemplo não se pode designar os nomes de todos os elementos do
conjunto dos números fraccionários entre 1 e 2. Então recorre-se à
representação simbólica do conjunto, através de uma propriedade que é comum a
todos os elementos do conjunto e que não é valida para os elementos doutros conjuntos.
Então, se considerarmos o conjunto A como sendo “dos números fraccionários entre 1 e 2”,
cada elemento de A deve ser um número fraccionário compreendido entre 1 e 2.
Para representar um elemento qualquer do conjunto A, usamos a variável, x, por exemplo.
Esta variável, pode ser substituída por qualquer elemento do conjunto. Portanto, A pode-se
representar da seguinte maneira:
Considerando , como conjunto dos números fraccionários e usando o símbolo “:” ou “|”
cujo significado é “ tal que” ter-se-á
Exemplos. Ilustração do método
a) A, conjunto dos meses cuja primeira letra é J.
JporcomeçaquemêsuméxxA :
b) B, conjunto dos números naturais maiores que 100.
: 1 0 0B x N x
c) C, Conjunto dos múltiplos de 2.
: 2C x x n n N
Exercícios
E1. Dado o conjunto , , , ,A a e i o u , indique quais das seguintes afirmações são
verdadeiras:
a) a A , b) c A , c) u A , d) h A , e) j A
E2. Represente pelo método de enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:
a) A, conjunto dos números primos menores que 12
b) B, conjunto dos pólos geográficos
c) C, conjunto dos divisores de 6
E3. Represente os seguintes conjuntos usando uma propriedade comum aos elementos
a) 1, 3 , 5 , 7A
b) 1, 2 , 4 , 8 ,1 6B
Conjunto vazio
Considere o seguinte conjunto:
M = {Cidadão moçambicano com 150 anos de vida}
Este conjunto não possui nenhum elemento.
Conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos.
Usa-se a notação {}ou para representar o conjunto vazio. Observe-se que o conjunto 0 é
um conjunto com um só elemento que é 0, e não um conjunto vazio.
Exemplos.
a) 1 0N u m ero s p r im o s d iv is iv e is p o r
b) 2
: 2 0x N x
Conjunto singular
É todo o conjunto que tem apenas um só elemento
Exemplos.
a) : 2 4 3A x x N x
b)
Exercícios
E4. Verifique se é singular ou vazio cada um dos seguintes conjuntos:
a) : 3 0A x x
b)
c)
Conjunto Universal ou Universo
O conjunto universal ou universo, é o conjunto que contém todos os elementos do contexto
no qual se está a trabalhar.
O conjunto universo é designado é representado pela letra “U”
Diagrama de Venn
Nem sempre interessa saber quais são os elementos que fazem parte do conjunto, mas sim as
suas características. Um conjunto pode representar-se por uma região do plano delimitada
por uma curva fechada. Essa figura chama-se Diagrama de Venn.
a A e b A
No diagrama de Venn, o conjunto universal “U”, representa-se por um rectângulo, o
conjunto pela curva fechada e o elemento por um ponto
Cardinal de um conjunto
O cardinal de um conjunto, é o número de elementos desse conjunto e designa-se pelo
símbolo n(A) ou , se o conjunto é A.
Exemplos
a) Se 0 ,1, 2 , 3 , 4A , então n(A) = 5
b) Se 1, 3 , 5 , 7 , 9 ,1 1, . . . . . . .B , então n(B) é infinito
1.2 Relações entre conjuntos
Subconjuntos
Consideremos os seguintes conjuntos:
Todos os elementos de B fazem parte de A, e no
diagrama de Venn, o conjunto B está no interior
do conjunto A. Diz-se que B está contido em A
ou B é subconjunto de A ou A contém B.
Definição: Um conjunto A está contido no conjunto B, se e somente se, todos os elementos
do conjunto A são elementos do conjunto B.
Diz-se que A está contido em B ou que A é subconjunto de B.
Notação: A B , onde “ “ é o símbolo de inclusão, e lê-se A está contido em
B.
Ou, alternativamente que B contém A.
Notação: B A , e lê-se B contém A.
Havendo pelo menos um elemento do conjunto A que não pertence ao conjunto B,
diz-se que A B
Exemplos
a) Dados os conjuntos:
1, 0 ,1 2 , 1, 0 ,1, 2A e B , então A B ou B A
b) A n u m ero s p r im o s e B n u m ero s im p a re s , então A não é subconjunto de B, ou
A B uma vez que 2 é um número primo mas não é um número ímpar, isto é;
2 2A m a s B .
O símbolo de pertença “ “ é usado para relacionar elemento e conjunto e o símbolo de
inclusão “ “ é usado para relacionar dois conjuntos.
Exemplos
a) 2 2 , 4 2 2 , 4 , 2 2 , 4e n ã o m a s .
b) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, pois se não estivesse contido em
qualquer conjunto A, existiria pelo menos um elemento do conjunto vazio que não estaria
contido em A, o que é absurdo, uma vez que o conjunto vazio não contém nenhum elemento.
Igualdade de conjuntos
Os conjuntos A e B são iguais, se e somente se, possuem exactamente os mesmos elementos,
isto é se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A.
Notação A = B
Exercícios
E5. Determine o valor de x de modo que os conjuntos abaixo sejam iguais
a) 1, 2 , 5 1, 1 2 , 5x , b) 2 , 4 , 8 , 1 6 2 , 4 , 8 , 2x
E6. Dado o conjunto , , ,A a b c d , assinala as afirmações correctas:
a) a A , b) b A , c) c A , d) d A
E7. Das afirmações que se seguem, assinala as que estão correctas
a) 0 ,1, 2 2 ,1, 0 , b) 3, 5 1, 3 , 5 , 7 , c) 2 2 , 4 , 6 , d) 2 , 6 , 8
1.3 Operações com conjuntos
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A ou ao conjunto B, ou a ambos.
Designação: :A B x x A o u x B
Do ponto de vista gráfico, a reunião de dois conjuntos A e B pode ser vista como:
Exemplos
a) Se , , , , , , , , , , , ,A a e i o u e B b c en ta o A B a b c e i o u
No diagrama de venn
b) Se 0 ,1, 3 0 ,1 0 ,1, 3S e A e B e n tã o A B
No diagrama de venn
Intersecção de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e ao conjunto B
Designação: :A B x x A e x B
Graficamente, a intersecção entre dois conjuntos A e B , é dado por:
Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, diz-se que os conjuntos
são disjuntos.
Exemplos
a) Se , , , , , , , , ,A a e i o u e B c i n u e n ta o A B i u
No diagrama de venn
b) 2 , 4 , 6 , 8 ,1 0 1, 3 , 5 ,A e B e n ta o A B
No diagrama de venn
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Designação: \ :A B x x A e x B
Do ponto de vista gráfico, a diferença entre dois conjuntos A e B pode ser vista como:
Exemplo:
2 , 4 , 6 , 8 ,1 0 4 , 6 \ 2 , 8 ,1 0S e A e B en tã o A B
Complementar de um conjunto
O complementar de um conjunto A contido no Universo, é o conjunto dos elementos do
Universo, que não pertencem ao conjunto A.
Designação: :A x x U e x A
Graficamente, o complementar do conjunto A , é dado por:
Exemplo
1, 3, 5,7 , 9 ,1 1 5,1 1 , 1, 3, 7 , 9Se U e A en tão A
1.4 Propriedades das operações de conjuntos 1. Reflexiva
Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A A e A A A
2. Inclusão
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
, , ,A A B B A B A B A A B B
3. Inclusão relacionada
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B eq u iva le a A B B
A B eq u iva le a A B A
4. Associativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
( ) ( )A B C A B C
( ) ( )A B C A B C
5. Comutativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B B A
A B B A
6. Elemento neutro para a reunião: O conjunto é o elemento neutro para a reunião de
conjuntos, tal para todos conjunto A, se tem:
A A
7. Elemento nulo para a intersecção: A intersecção do conjunto vazio com qualquer outro
conjunto A, é o próprio conjunto vazio.
A
8. Elemento neutro para a intersecção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a
intersecção de conjuntos, tal que para todo o conjunto A, se tem:
A U A
9. Distributiva: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
10. Leis de Morgan: Dados os conjuntos A, B e o universo U, tem-se que:
BABA
BABA
Exercícios
E8. Dados os conjuntos 1, 2 , 3 , 9 1, 2 , 4 , 5A e B , determine:
a) \A B , b) A B , c) A B
E9. Dados os conjuntos
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1, 3 , 5 , 7 , 9 , 2 , 4 , 6 , 8 1, 2 , 3 , 4 , 5U A B e C , determine:
a) A B , b) B C , c) \C A , d) A , e) \A B , f) A B , g) A C , h) ( \ )A B C
1.5 Aplicações de conjuntos
A teoria de conjuntos pode ser usada para a resolução de certo tipo de problemas. Vejamos o
seguinte exemplo:
Dos 40 alunos da 10ª classe, turma A, duma Escola Secundária, 24 alunos praticam futebol
de onze e 18 basquetebol. Se 12 praticam futebol e basquetebol, quantos alunos não praticam
nenhuma das duas modalidades?
Resolução:
1 0 ªU a lu n o s d a c la s s e
F a lu n o s q u e p ra tic a m fu te b o l
B a lu n o s q u e p ra tic a m b a sq u e te b o l
a..........alunos que só praticam futebol
b.........alunos que só praticam basquetebol
c..........alunos que não praticam nenhuma das duas modalidades
( ) 2 4 1 2 2 4 1 2 1 2
( ) 1 8 1 2 1 8 1 2 6
( ) 4 0 1 2 4 0 1 2 6 1 2 4 0 3 0 1 0
n F a a
n B b b
n U a b c c c
Resposta: 10 alunos não praticam nenhuma das modalidades
Exercícios Propostos P1 Enumere os elementos de cada um dos seguintes conjuntos:
a) A, conjunto dos números pares, positivos, menores que 16
b) B, conjunto dos múltiplos de 3,
c) C, conjunto das capitais provinciais de Moçambique
d) D, conjunto das vogais do alfabeto português
e) : 4 1 2E x N x e x
f) 2
: 2 1 5 0F x N x x
g) 6G N ú m ero s p r im o s d iv is ív e is p o r
P2 Escreva os seguintes conjuntos usando o método da propriedade característica
a) A, conjunto dos números fraccionários entre1 e 2
b) B, conjunto dos números naturais maiores que 500
c) C, conjunto dos múltiplos de 2
P3 Dado o conjunto 1, 3 , 5 , 7 , 9 ,1 1,1 3A , diga se as proposições abaixo indicadas são
verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) 3 A b) 1 1 A c) 9 A d) 7 A e) A f) 1 5 A
P4 Considerando os diagramas onde A, B e C são conjuntos não vazios:
Indique as afirmações verdadeiras:
a) B C
b) A B
c) C A
d) B C
P5 Sendo 3, 4 , 5 , 6 , 7 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . . . .A e B , determine:
a) A B b) A B c) \A B
P6 Observe o diagrama e indique os elementos dos seguintes conjuntos:
a) A
b) B
c) C
d) A B C
P7 Seja 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1, 2 5 , 6U A B e C , determine os
seguintes conjuntos:
a) B C , b) A C , c) A B C , d) A , e) \A B
P8 Dados os conjuntos 0 ,1 , 0 ,1, 2 , 2 , 3A B C e o conjunto universo 0 ,1, 2 , 3U ,
determine os seguintes conjuntos:
a) ( ) ( )A B B C f) ( )A B C
b) ( ) ( )A B B C g) A B C
c) ( ) ( )A B B C h) \A C
d) ( ) ( )A B B C i) B C
e) A B C j) C B
P9 Uma escola com 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam francês e 52 estudam
ambas as línguas. Quantos alunos não estudam nenhuma das duas línguas?
P10 Numa festa estão presentes 60 membros de uma organização juvenil e 40 mulheres não
pertencem a esta organização. Um quinto dos membros desta organização juvenil presentes é
estudantes. Se 63 não estudam, quantos estudantes não são membros desta organização?
Auto- avaliação
Tenta resolver as questões a seguir formuladas para controlares tu próprio, se já és capaz de
resolver o seguinte teste sem fazer alguma consulta com a finalidade de avaliar o seu
desempenho.
TESTE
T1 Dado conjunto A = {a, b, c, d} então:
A. {a} A B. a A C. {a} A D. A {a, b, c, e}
T2 Qual das seguintes afirmações são verdadeiras:
A. B. C. D.
T3 é igual a:
A. B. C. D.
T4 Se A = {1, 3, 5, 7, 19} e B = { x | x -5 = 2} e C = { x | 5<x <8} então (AC)B
é igual a:
A. {6, 7} B. {7} C. {3, 5, 7} D. {3, 7}
T5 Considere os conjuntos: A={1, 2, 3, 4, 5, 6} e B ={4, 5}, tal que BA. O complementar de B e dado
por:
A. {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10} B. {1, 2, 3, 6} C. {1, 2, 3, 4, 5, 6} D. {1, 2, 3, }
T6 Se U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = { 2, 5, 8}, então BA é igual a:
A. {3, 9} B. {1, 3, 4} C. {1, 3, 9} D. {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}
T7 Uma Escola ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em
pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma turma, 13 resolveram estudar tanto inglês como
francês; em francês, matricularam-se 22 alunos e em inglês:
A. 9 alunos B. 22 alunos C. 32 alunos D. 36 alunos
T8 Num teste de Matemática saíram apenas duas questões e:
100 alunos acertaram as duas questões;
170 alunos acertaram a 1ª questão;
100 alunos acertaram apenas uma questão;
95 alunos erraram as duas questões.
Quantos alunos fizeram a prova?
A 465 B C D
Soluções
Exercícios
E1. a) e e)
E2. a) 2 , 3 , 5 , 7 ,1 1A , b) ,B p ó lo n o r te p ó lo su l , c) 1, 2 , 3 , 6C
E3. a) : 9A x x é u m n ú m ero ím p a r m en o r q u e , b) : 1 6B x x é d iv is o r d e
E4. a) singular, b) vazio, c) singular
E5. a) x = 14, b) x = 16
E6. a) e d)
E7. a), b) e d)
E8. a) 3, 9 , b) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 9 e c) 1, 2
E9. a) 1, 3, 5 , b) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , c) 2 , 4 , d) 2 , 4 , 6 , 8
e) 2 , 4 , 6 , 8 , f) , g) 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , h) 1, 3, 5
Propostos
P1- a) 2 , 4 , 6 , 8 ,1 0 ,1 2 ,1 4A , b) 0 , 3, 6 , 9 ,1 2 ,1 5 , .. .B ,
c), , , , ,
, lim , , ,
M apu to X a i X a i Inham bane B eira C h im o ioC
T ete Q ue ane N am pu la P em ba L ich inga
; d) , , , ,D a e i o u ; e) E
P2- a) : 1 2A x x Q e x , b) : 5 0 0B x x N e x , c) : 2C x x n e n N
P3- a) V, b) F, c) V, d) F, e) V, f) F,
P4- b) e c)
P5- a) 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . . . b) 5 , 6 , 7 , c) 3, 4
P6- a) 0 ,1, 2 , 3 , 4A b) 2 , 3, 5 , 6 , 7B , c) 2 , 4 , 5 , 8 , 9C d) 2
P7 a) 1, 2 , 5 , 6 , b) 5 , c) , d) P8 a) 0 ,1, 2 ; b) 2 c) 0 ,1 ; d) ; e)
0 ,1, 2 , 3 ; f) 2 ; g) h) 2 , 3 ; i) 0 ,1, 3 ; j) 3
P9 83 P10 25
Teste
T1 B T2 D T3 C T4 B T5 B T6 D T7 D T8 C
Caro amigo estudante após a comparação dos teus resultados:
Se os teus resultados conferem em absoluto com estes, os nossos parabéns.
Se não conferem, mas acertaste mais de 7 questões, continuas de parabéns.
Se o resultado não foi tão bom, então talvez tenhas que praticar um pouco mais. Crê que um
pequeno esforço diário e o apoio do teu professor ou colegas trará bons resultados.