Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 1

PROBLEMAS DE INVESTIGACION OPERATIVA. Hoja 5

1. Al supercomputador de un centro de calculo llegan usuarios segun un proceso de Poisson de tasa5 usuarios cada hora. Sabiendo que estos consumen un tiempo de computo aleatorio cuya distribu-cion puede suponerse exponencial de media 1

6de hora y que la disciplina de atencion es FIFO. Se

pide:

a) El numero medio de clientes en el sistema y el numero medio de usuarios que estan usandoel supercomputador.

b) Si en la sala de espera hay 4 sillas, ¿cual es la probabilidad de que un usuario que llega a lasala tenga que esperar de pie?

c) Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario.

Solucion. El proceso de computo del supercomputador se puede modelizar con una M/M/1. Losparametros del sistema son λ = 5 y µ = 6; por tanto, el factor de utilizacion es ρ = 5

6< 1 y el

sistema es estable.

a) El numero medio de clientes en el sistema es

N =ρ

1− ρ= 5 usuarios

y el numero medio de usuarios que estan usando el supercomputador es:

B =λ

µ=

5

6

b) Como en la sala de espera hay 4 sillas, para que un usuario que llegue tenga que esperar depie en el sistema tiene que haber 5 o mas usuarios, entonces la probabilidad que nos pidenes:

p{N ≥ 5} = 1− P{N ≤ 4} = 1−4∑

n=0

ρn(1− ρ) = 1− (1− ρ)(1− ρ5)

(1− ρ)= ρ5 ' 0.4

c) Aplicando la Ley de Little, el tiempo medio total de respuesta de un usuario es

S =N

λ=

5

5= 1 hora.

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 2

2. Considera una cola con tasa de llegadas λ, y 5 servidores identicos en paralelo, cada uno de loscuales tiene tasa de servicio µ. Sabemos que la proporcion media de servidores ocupados es 0.6,que el numero medio de clientes en espera (en cola) es 0.354 y que el tiempo medio de respuesta(espera en cola + servicio) es de 0.559. Se pide:

a) El numero medio de servidores ocupados y el factor de utilizacion del sistema.

b) La tasa de llegada y la tasa de servicio.

c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera y el numero medio de clientes en elsistema.

d) En el caso de que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen vari-ables aleatorias exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicion entre estados, yformula las ecuaciones de balance de flujo correspondientes.

Solucion.

a) La proporcion media de servidores ocupados es ρ = 0.6 y hay 5 servidores, entonces elnumero medio de servidores ocupados es 0.6 · 5 = 3 = B

b) Conocemos el tiempo medio de respuesta S = 0.559. Si conocieramos el numero medio declientes en el sistema N , entonces aplicando la Ley de Little, podrıamos obtener λ.

Para calcular N tenemos en cuenta que:

N = Q + B = 0.354 + 3 = 3.354

Como N = λS, entonces λ = NS

= 6.

La tasa de servicio µ = λ5ρ

= 63

= 2.

c) El tiempo medio que un cliente permanece en espera W = S − 1µ

= 0.559− 0.5 = 0.059 yel numero medio de clientes en el sistema es N = 3.354.

d) En ese caso se trata de una cola M/M/5 con tasa de llegadas λ = 6 y tasa de servicio µ = 2,entonces el diagrama de tasas de transicion es:

0 1 2 3 4

6 6 6 6

2 4 6 8

5 6

6 6

10 10

6

10

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 3

y la ecuaciones de balance de flujo son:

2p1 = 6p0

6p0 + 4p2 = 6p1 + 2p1

6p1 + 6p3 = 6p2 + 4p2

6p2 + 8p4 = 6p3 + 6p3

6p3 + 10p5 = 6p4 + 8p4

6p4 + 10p6 = 6p5 + 10p5

...6pn−1 + 10pn+1 = 6pn + 10pn, para todo n ≥ 5

3. En una fabrica existe una oficina de la Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durantelas horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla,ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a unespecialista para que determine el tiempo medio de espera de los obreros en la cola y la duracionmedia de la conversacion que cada uno mantiene con el empleado de la ventanilla. Este analistallega a la conclusion de que durante la primera y la ultima media hora de la jornada la afluencia esmuy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenomeno se puede considerarestacionario. Del analisis de 100 periodos de 5 minutos, sucesivos o no, pero situados en la faseestacionaria, se dedujo que el numero medio de obreros que acudıan a la ventanilla era de 1.25 porperiodo y que el tiempo entre llegadas seguıa una distribucion exponencial. Un estudio similar so-bre la duracion de las conversaciones, llevo a la conclusion de que se distribuıan exponencialmentecon duracion media de 3.33 minutos. Determina:

a) Numero medio de obreros en cola.

b) Tiempo medio de espera en la cola.

c) Compara el tiempo perdido por los obreros con el tiempo perdido por el oficinista. Calculael coste para la empresa, sin una hora de inactividad del oficinista vale 250 euros y una horadel obrero 400 euros. ¿Serıa rentable poner otra ventanilla?

Solucion. Sistema M/M/1 con λ = 0.25 y µ = 0.3.

a) Q = 4.166 obreros.

b) W = 16.66 minutos.

c) Durante cada hora hay, en media, Q = 4.166 clientes haciendo cola. Es decir, el coste horariopor obreros ociosos es de 4.166×400 = 1666.66 euro. Por otro lado, 1−ρ = 0.166, de forma

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que el coste del tiempo que el oficinista esta ocioso es de 250× 0.166 = 41.5 euros horarios,que es mucho inferior.

Si se pusiera otra ventanilla, el sistema serıa M/M/2. En ese caso, el numero medio declientes en servicio es de B = λ

µ= 0.83333. Por tanto, como hay 2 ventanillas, el tiempo de

oficinista que se perderıa cada hora serıa, en media, 2−B = 1.166 horas. Lo que supone uncoste de 291.5 euros cada hora. Por otro lado, cada hora habrıa, en media, Q = 1.01 obrerosen la cola. De forma que el tiempo perdido por los obreros tendrıa un coste de 400× 1.01 =

404 euros la hora.

La suma de los dos costes es mucho menor en este segundo caso, de forma que sı serıarentable poner otra ventanilla.

4. En un centro de salud con tres medicos, los pacientes llegan de forma aleatoria (tiempos de llegadaexponenciales) a razon de 12 por hora. Estos son atendidos en orden de llegada por el primermedico que este libre. Cada medico tarda una media de 13 minutos en atender a cada paciente(tiempos de atencion exponenciales).

a) Calcula la proporcion de tiempo que esta cada medico atendiendo a pacientes.

b) Calcula el numero medio de pacientes que estan en la sala de espera. Calcula el tiempo mediototal de espera de un paciente.

c) ¿Que ocurrirıa en el centro si uno de los 3 medicos se ausenta?

Solucion.

a) Es un modelo M/M/3 donde se sabe que la tasa de llegadas es λ = 12 pacientes por hora yla tasa de servicio es de µ = 60/13 = 4.62 pacientes por hora. Por tanto, la tasa de utilizaciondel centro es ρ = λ

3µ= 13/15 = 0.87.

b) Q = 4.93 pacientes, W = 0.41 horas y S = 0.63 horas.

c) En este caso ρ > 1 por lo que el sistema no es estacionario y la lınea de espera aumentaindefinidamente.

5. Un centro de atencion primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los ninos de unbarrio. El centro esta organizado de forma que los padres van llegando con los ninos, forman unacola, y se atienden 40 por hora, con una distribucion exponencial, por cualquiera de las enfermerasque estan de servicio. Este servicio de vacunacion se ofrece una vez a la semana, y en este dıalas llegadas se realizan con una tasa igual a 40 ninos por hora. El director del centro sabe quela mayorıa de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo

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total de administracion de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) ¿Cuantas enfermerastendra que usar el gerente?

Solucion El proceso de vacunacion se puede modelizar con una M/M/s, donde s es el numero deenfermeras. Los parametros del sistema son λ = 40 y µ = 40; por tanto, el factor de utilizacion esρ = 40

40s= 1

s.

Para que el sistema tenga estado estacionario y este sea independiente del estado inicial es nece-sario que ρ < 1; por tanto, s > 2. (No puede haber una unica enfermera).

Cuanto mayor sea el numero de enfermeras, menor sera el tiempo medio en el sistema; por tanto,calcularemos los tiempos medios de administracion de la vacuna para valores crecientes de s

(desde s = 2) hasta que este quede debajo de 15′.

Para s = 2,

p0 =1

1 + 1 + 12!0.5

=1

3,

entonces

Q =11

312

2(0.5)2=

1

3.

Por tanto, por las leyes de Little, se tiene que W = Qλ

= 1120

. Como el tiempo de respuestaS = W + 1

µ, entonces

S =1

120+

1

40=

1

30horas;

es decir S = 2 minutos. Por tanto, 2 enfermeras seran suficientes para conseguir los propositos deldirector del centro.

6. (septiembre, 2007) Consideremos un sistema informatico que se representa como un sistema decolas con 10 procesadores identicos en paralelo, cada uno de los cuales procesa una cierta tarea en3 segundos. Los usuarios del sistema le envıan ordenes para realizar esa tarea cada cierto tiempo.Se observa que el tiempo medio de respuesta, desde que se envıa una orden para realizar la tareahasta que esta se completa es de 10 segundos. Ademas, se observa que la utilizacion del sistemaes de un 90 %.

(a, 5 puntos) ¿Cual es el numero medio de procesadores ocupados? ¿Puedes afirmar que el sis-tema es estable?

(b, 5 puntos) ¿Cual es la tasa media a la que se envıan ordenes al sistema para realizar la tarea?

(c, 5 puntos) ¿Cual es el numero medio de tareas en espera o en proceso en el sistema? ¿Y elnumero medio de tareas en espera? ¿Y el tiempo medio en espera por tarea?

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 6

(d, 10 puntos) Supongamos que los tiempos entre envıos de tareas son variables aleatorias (v.a.)con funcion de distribucion

F (x) =

0 si x ≤ 0

x2

2si 0 < x ≤ 1

1− (2− x)2

2si 1 < x ≤ 2

1 si x > 2.

Nos proponemos realizar una simulacion del sistema, para lo cual necesitamos generar v.a.X con la distribucion dada. Indica como generar una v.a. X con tal distribucion a partir deuna v.a. U ∼ Uniforme[0, 1], aplicando el metodo de la transformada inversa.

Solucion

(a) Se trata de un sistema de colas con K = 10 servidores (procesadores) en paralelo. Nos indicanque µ = 1/3 segs. S = 10 segs. y ρ = 0.9. Por tanto, el numero medio de procesadores ocupadoses

B = Kρ = 10× 0.9 = 9.

(b) La tasa media a la que se envıan ordenes al sistema para realizar la tarea es

λ = Bµ = 9× 1/3 = 3 tareas/seg.

(c) El numero medio de tareas en espera o en proceso en el sistema es

N = λS = 3× 10 = 30.

El numero medio de tareas en espera es

Q = L−B = 30− 9 = 21.

El tiempo medio en espera por tarea es

W = S − 1

µ= 10− 3 = 7 segs.

(d) Dada U ∼ U [0, 1], resolvemos la ecuacion en U

F (X) = U.

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 7

Para 0 ≤ X ≤ 1, la ecuacion es

X2

2= U =⇒ X =

√2U.

Observamos que

0 ≤√

2U ≤ 1 ⇐⇒ 0 ≤ U ≤ 1

2.

Para 1 < X ≤ 2, la ecuacion es

1− (2−X)2

2= U =⇒ (2−X)2 = 2(1−U) =⇒ 2−X =

√2(1− U) =⇒ X = 2−

√2(1− U).

Observamos que

1 < 2−√

2(1− U) ≤ 2 ⇐⇒ 0 ≤√

2(1− U) < 1 ⇐⇒ 0 ≤ 1− U <1

2⇐⇒ 1

2< U ≤ 1.

Por tanto, generamos X como sigue:

X =

√2U si U ≤ 1/2

2−√

2(1− U) si U > 1/2.

7. (enero 2009) Considera un sistema de multiproceso en el que cada trabajo requiere una media de100 milisegundos de ejecucion, con una tasa de llegadas de 60 trabajos por segundo. Responde alas siguientes preguntas:

a, 5 puntos ¿Cual es el mınimo numero de procesadores que se requieren para atender la demandasin que el sistema se sature? Si se instalan precisamente ese numero de procesadores, ¿cuales el factor de utilizacion del sistema y que indica su valor es este sistema?

b,10 puntos Sabiendo que para ese sistema se ha obtenido que el numero medio de trabajos encola es 3’683, calcula: (1) el numero medio de procesadores ocupados, (2) el numero mediode trabajos en el sistema, (3) el tiempo medio de espera, y (4) el tiempo medio de respuesta.

c,10 puntos En el caso de que los tiempos entre llegadas de trabajos y los tiempos de ejecucionfuesen variables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicionentre estados.

Sabiendo que la probabilidad de que el sistema este vacıo es de 0’00158, calcula la probabil-idad de que haya mas de 4 procesadores ociosos. Pare ello formula y resuelve las ecuacionesde balance de flujo que necesites.

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 8

Solucion Tomando como unidad de tiempo el segundo, la informacion que nos han proporcionadoes: i) la tasa de llegadas: λ = 60, ii) el tiempo medio de servicio: X = 1

µ= 100

103 segundos. Nospiden

a) El mınimo numero de procesadores que se requieren para atender la demanda sin que el sistemase sature:

ρ =λ

mµ=

60

m10< 1 ⇒ m = 7

Con 6 procesadores ρ es exactamente 1.

Instalando 7 procesadores, el factor de utilizacion del sistema es:

ρ =60

70= 0.857,

lo que nos indica que se emplea el 85’7 % de la capacidad de procesamiento del sistema. Tam-bien, nos indica de que, en promedio, el 85’7 % de los procesadores estan trabajando.

b) Nos dicen que el numero medio de trabajos en cola, Q = 3′683, para obtener el resto de medidases suficiente con ir aplicando las leyes de Little. Por ejemplo, el tiempo medio de espera es

W =Q

λ=

3′683

60= 0′0614

El tiempo medio de respuesta se obtiene sumando al anterior el tiempo medio de ejecucion deun trabajo, entonces

S = W + X = 0′0614 + 0′1 = 0′1614,

De donde, aplicando las leyes de Little, obtenemos el numero medio de trabajos en el sistema:

N = λS = 60 · 0′1614 = 9′684

Ası, el numero medio de servidores ocupados es:

B = N −Q = 9′684− 3′683 = 6′001.

Nos habrıa dado 6, si no hubiera sido por los redondeos. De hecho

B = λX = 60 · 0′1 = 6

Tambien se podrıa haber obtenido B primero, y luego

N = Q + B = 9′683

c) El diagrama de tasas de transicion entre estados es:

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 9

Nos proporcionan p0 = 0′00158 y tenemos que calcular la probabilidad de que haya mas de 4procesadores ociosos, es decir, que el numero de trabajos en el sistema sea de 2 a lo sumo:

P{N ≤ 2} = p0 + p1 + p2

Luego, necesitamos calcular p1 y p2. Para ello, planteamos las ecuaciones de balance de flujocorrespondientes a los estados 0 y 1:

p110 = p060 ⇒ p1 = 6p0 = 0′00948

p220 + p060 = p110 + p160 ⇒ como p110 = p060, entonces p2 = 3p1 = 0′02844

Ası,P{N ≤ 2} = 0′00158 + 0′00948 + 0′02844 = 0.0395

8. (febrero 2007) Una companıa aerea ha montando un sistema de reservas por telefono, atendido por4 agentes, en el que las llamadas que llegan cuando los agentes estan ocupados, quedan en espera yson despues atendidas en estricto orden de llegada. Se sabe que las llamadas son aleatorias y que,en promedio, reciben 20 llamadas por hora. Tambien se sabe que el tiempo medio de respuesta(que una llamada permanece en el sistema) es de 6.51 minutos y que el numero medio de llamadasen espera es de 0.17. Con esta informacion, contesta a las siguientes preguntas que se plantea laempresa:

(a, 5 puntos) ¿Cual es el tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por unode los agentes?

(b, 5 puntos) ¿Cual es el nivel de uso del sistema?, ¿que ocurrirıa si despidieran a 2 agentes?

(c, 5 puntos) Si la companıa ha valorado la hora de inactividad de cada agente en 300 euros, ¿aque cantidad asciende la perdida media por hora debida a la inactividad de los agentes?

(d, 10 puntos) En el caso de que los tiempos entre llamadas y los tiempos de atencion fuesenvariables aleatorias (v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transicion entreestados.

Sabiendo que la probabilidad de que el sistema este vacıo es de 323

, calcula la probabilidad deque una llamada quede en espera. Pare ello formula y resuelve las ecuaciones de balance deflujo que necesites.

Solucion La informacion que nos han proporcionado es: i) la tasa de llegadas: λ = 20, ii) el tiempomedio de respuesta: S = 6.51

60= 0.1085, y iii) el numero medio de clientes en cola: Q = 0.17. Nos

piden

Teorıa de Colas / Investigacion Operativa 10

a) El tiempo medio de espera en cola, W , que aplicando las leyes de Little es: W = Qλ

= 0.1720

=

0.0085

b) El nivel de uso del sistema es ρ = λ4µ

Como acabamos de obtener el tiempo medio de espera y nos daban el tiempo medio de re-spuesta, entonces podemos obtener la tasa de servicio, µ, como:

tiempo medio de servicio =1

µ= S −W = 0.1085− 0.0085 = 0.1 ⇒ µ =

1

0.1= 10

Por tanto, ρ = 2040

= 12. Si despiden a 2 agentes el sistema se vuelve inestable.

c) El numero medio de agentes ocupados es B = λµ

= 2. Entonces, en media el numero de agentesociosos es de 4− 2 = 2, y ası, la perdida media por hora debida a la inactividad de los agentesasciende a 600 euros.

d) El diagrama de tasas de transicion entre estados es:

0 1 2 3 4

20 20 20 20

10 20 30 40

5 6

20 20

40 40

20

40

Nos proporcionan p0 = 323

y tenemos que calcular la probabilidad de que una llamada quedeen espera, es decir, que cuando llegue todos los agentes esten ocupados:

P{N ≥ 4} = 1− P{N ≤ 3} = 1− p0 − p1 − p2 − p3

Luego, necesitamos calcular p1, p2 y p3. Para ello, planteamos las ecuaciones de balance deflujo correspondientes a los estados 0,1 y 2:

p110 = p020 ⇒ p1 = 2010

p0 = 2 323

= 623

p220 + p020 = p110 + p120 ⇒ como p110 = p020, entonces p220 = p120 y p2 = p1 = 623

p330 + p120 = p220 + p220 ⇒ como p120 = p220, entonces p330 = p220 y p3 = 2030

p2 = 423

Ası,

P{N ≥ 4} = 1− 3

23− 2

6

23− 4

23= 1− 19

23=

4

23