Teoria Das Filas

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Rev.: Out - 2013 Prof. Gil Pinheiro 1 DETEL Depto. de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações 1 Teoria de Filas e Sistemas de Comunicação Prof. Gil Pinheiro (revisão: Outubro/2013) Faculdade de Engenharia Departamento de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 1

    Teoria de Filas e Sistemas de

    Comunicao

    Prof. Gil Pinheiro

    (reviso: Outubro/2013)

    Faculdade de Engenharia

    Departamento de Engenharia Eletrnica

    e Telecomunicaes

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    Programa

    Reviso de Probabilidade e Estatstica

    Processos Estocsticos

    Teoria de Filas

    Os Sistemas de Filas M/M/1, M/M/m, M/M/m/B, M/M/m/m, M/M/1/B, M/M/, M/M/N/N/K, M/G/1

    Noes de Engenharia de Trfego

    Redes de Filas

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    Reviso de Probabilidade e

    Estatstica

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    Varivel Aleatria

    r um evento no Espao

    Amostral S, r S

    x a probabilidade associada ao

    evento r, onde x um nmero

    real (x R) e x [0 , 1]

    A Varivel Aleatria X mapeia os

    eventos de S em x, assim: X(r) = x

    Assim X tem uma distribuio de

    probabilidade na reta dos reais

    (x R)

    Espao Amostral

    S

    0 1

    x

    x

    r

    X(r)

    Funo de Distribuio de Probabilidade (FDP):

    A FDP de uma varivel aleatria X, tambm conhecida como Funo

    de Distribuio Cumulativa : F(x) = P[X x] = Prob[r : X(r) x ]

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    Clculo da Probabilidade

    Uma varivel aleatria contnua X descrita atravs de sua funo

    distribuio de probabilidade F(x) ou sua funo densidade de

    probabilidade f(x)

    Funo Distribuio de Probabilidade:

    Pr[X x] = F(x) , onde: F(-) = 0 e F() = 1

    Funo Densidade de Probabilidade:

    ento: Sendo: F(x) = f(y) dy

    x

    -

    f(y) dy = 1

    +

    - dx

    xdFxf

    )()(

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    Processos Estocsticos

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    Processo Estocstico

    Processo Estocstico: funo ou seqncia aleatria

    tempo-dependente

    Seja, por exemplo, n(t) a quantidade de pacotes trafegando

    em uma rede de computadores no instante t

    n(t) uma Varivel Aleatria

    n(t) pode ser descrita atravs de uma Funo Distribuio

    de Probabilidade

    O tempo de espera, w(t), em uma fila tambm uma

    Varivel Aleatria

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    Processos Contnuos e Discretos

    Processo de Estados Discretos Nmero de estados possveis de um sistema uma quantidade finita,

    ou contvel. Tambm conhecido como Cadeia Estocstica. Ex.:

    quantidade de pessoas numa fila, quantidade de celulares conectados

    a uma ERB

    Processo de Estados Contnuos Nmero de estados possveis de um sistema uma quantidade infinita,

    ou no contvel. Ex.: tempo de conexo de um aparelho telefnico,

    tempo de espera numa fila

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    Processos de Markov

    um Processo Estocstico onde: Os estados futuros do processo so independentes dos estados

    passados e dependentes apenas do presente

    Para analisar um Processo de Markov no necessrio conhecer toda a trajetria de estados passados, apenas o estado anterior (o sistema no possui memria)

    Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907 definiu e analisou esses processos

    Um Processo de Markov de estados discretos chamado Cadeia de Markov

    Aplicao: modelagem de Sistemas de Filas

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    Processos de Nascimento e Morte

    So Cadeias de Markov onde as transies de estado so

    restritas a estados vizinhos apenas

    possvel representar o estado atravs de um nmero

    inteiro

    Exemplo:

    Estado

    (pessoas

    na fila)

    nascimento ou chegada

    0

    morte ou partida

    1 2 n-1 n n+1

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    Teoria de Filas

    Ferramenta matemtica para tratar de eventos

    aleatrios

    o estudo da espera em filas

    Proporciona uma maneira de definir o

    ambiente de um sistema de filas

    matematicamente

    Permite prever respostas provveis e tempos de

    espera

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    Teoria de Filas (Objetivo)

    Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parmetros, exemplos:

    Tempo de espera mdio

    Probabilidade de formao de fila

    Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema

    Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo

    Nmero mdio de clientes na fila

    Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos

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    Anlise de Sistemas de Fila

    Os sistemas de filas diferem entre si de

    acordo com as hipteses que fazemos a

    respeito dos padres de chegada e das taxas

    de servio

    Na anlise, precisamos adotar hipteses

    sobre o comportamento do sistema. Caso

    contrrio, no se tem por onde comear

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    Hiptese: Sobre o Padro de

    Chegada dos Usurios

    Chegam a intervalos regulares?

    Chegam em grupo?

    Chega um de cada vez?

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    Caractersticas de um

    Sistema de Fila

    (Ex.: Usurios de computadores de uso compartilhado)

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    Caractersticas de um

    Sistema de Fila

    1. Processo de Chegada

    2. Distribuio de Tempo de Servio

    3. Quantidade de Servidores

    4. Tamanho do Sistema de Fila

    5. Populao de Clientes

    6. Disciplina de Atendimento

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    1. Processo de Chegada

    Se os clientes chegam em instantes t1, t2, ..., tj a varivel randmica j = tj - tj-1 chamada Tempo

    Interchegadas

    Assume-se que os j formam uma seqncia de variveis aleatrias independentes identicamente

    distribudas (v.a. IID)

    O processo de chegada mais comum o Processo de Poisson. Isto significa que os Tempos

    Interchegadas so exponencialmente distribudos

    Outras distribuies podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral

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    2. Distribuio de Tempo de

    Servio (Processo de Servio) O tempo gasto por cada cliente num computador

    chamado Tempo de Servio

    aceitvel supor que os Tempos de Servio de cada

    cliente sejam variveis aleatrias IID

    A distribuio mais utilizada para o Tempo de Servio a

    Distribuio Exponencial

    Outras distribuies podem ser utilizadas, tais como a

    Hiperexponencial, Erlang e Geral

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    3. Quantidade de Servidores

    Single Server atende a apenas um cliente de cada vez

    Multi-Server possui m servidores, podendo atender m clientes

    simultaneamente

    Infinite Server cada cliente que chega encontra sempre um servidor

    disponvel

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    3. Quantidade de Servidores

    Exemplo:

    Uma sala de computadores pode possuir um ou

    mais computadores idnticos (servidores) e

    todos fazendo parte de um sistema de fila nico.

    Se os computadores no forem idnticos, eles

    podem ser subdivididos em grupos de mesmo

    tipo, com filas separadas para cada um deles.

    Nesse caso, cada grupo um sistema de fila.

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    4. Tamanho do Sistema

    (Capacidade do Sistema)

    Capacidade do sistema = capacidade da fila de espera + quantidade de servidores (posies de servio)

    A capacidade mxima de clientes no sistema poder ser limitada por questes de espao, custo ou para evitar um tempo de espera muito longo

    Na maior parte dos sistemas, a capacidade da fila limitada (finita)

    Em sistemas com filas de capacidade infinita, todos os clientes sero atendidos

    Em sistemas sem capacidade de espera ou com capacidade limitada, pode ocorrer rejeio de clientes

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    5. Populao de Clientes

    a quantidade de usurios em potencial que pode, em algum momento, usar o sistema (ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefnica)

    Nos sistema reais a populao limitada (finita)

    Quando a populao finita, a taxa de chegada depender da populao

    Populao Infinita taxa de chegada constante

    Populao Finita taxa de chegada varivel

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    6. Disciplina de Servio

    De uma fila, o mtodo de escolha da seqncia de atendimento dos clientes na fila

    A disciplina mais utilizada a FCFS ou FIFO (primeiro a chegar o primeiro a sair da fila)

    Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR O atendimento pode ser priorizado em funo de:

    Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demorado primeiro

    Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maior primeiro, menor primeiro

    Maior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensveis primeiro Qualidade de servio (QoS)

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    Disciplina de Atendimento

    (de servio)

    Atendimento baseado em prioridade

    Disciplina de

    Servio

    Descrio

    FCFS/FIFO First Come First to be Served

    LIFS/LIFO Last In First to be Served

    SIRO

    RD

    GD

    Select In Random Order

    Distribuio genrica

    Ex: algumas centrais telefnicas utilizam SIRO, comutadores de rede

    utilizam FIFO

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    Classificao de Sistema de Fila

    Um sistema de fila classificado por suas caractersticas

    Utiliza-se a Notao de Kendall A/ S / m / B / K / DS

    Onde: A = Distribuio de tempo interchegada

    S = Distribuio de tempo de servio

    m = Nmero de canais de servio simultneo (servidores)

    B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistema

    K = Tamanho da populao

    DS = Disciplina de servio

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    Classificao de Sistemas de Fila -

    Distribuies

    As distribuies utilizadas para o tempo interchegada e tempo de servio so simbolizadas por uma letra, conforme a seguir:

    M = Exponencial Ek = Erlang, com parmetro K Hk = Hiperexponencial, com parmetro K D = Determinstico G = Distribuio Genrica

    A distribuio exponencial chamada memoryless (M)

    Uma distribuio determinstica (D) significa tempo de chegada e tempo de servio constante, ou sem varincia

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    Classificao de Sistemas de Fila -

    Exemplo 1

    M/M/3/20/1500/FCFS Tempo interchegada exponencialmente distribudo

    Tempo de servio exponencialmente distribudo

    Existem 3 servidores

    A fila possui um total de 20 posies de buffer. Consistindo em 3 buffers para cada servidor, 17 posies de espera compartilhados entre os tres servidores. Se a quantidade de clientes no sistema for 20, os clientes que chegam so perdidos at que a fila diminua

    H uma populao de 1500 clientes que podem ser atendidos

    A disciplina de servio FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido)

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    Classificao de Sistemas de Fila -

    Exemplo 2

    M/M/1

    Tempo interchegada exponencialmente distribudo ( = processo de chegada do tipo Poisson)

    Tempo de servio exponencialmente distribudo

    Existe 1 servidor

    A fila possui quantidade ilimitada de buffer (default)

    A populao de clientes infinita (default)

    A disciplina de servio FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) - (default)

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    Classificao de Sistema de Fila -

    outros exemplos

    no utilizados

    M/M/1 => M/M/1/ / / FCFS - Desprezar os trs ltimos smbolos quando:

    disciplina FCFS, populao infinita e tamanho da fila

    infinito

    M/M/1/B

    M/M/m

    M/M/m/B

    M/M/m/m

    M/M/

    M/G/1

    M/D/1

    M/M/m//k

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    Processos de Chegada -

    Processo de Poisson

    Hipteses

    Dois clientes nunca chegam simultaneamente

    O 1 cliente chega no instante t0, o 2 no instante t1 e assim por diante ( 0 < t0 < t1 ,, ... , < tn )

    Os tempos entre chegadas esto distribudos exponencialmente

    A taxa de chegada (1/) tambm ter distribuio exponencial

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    Processo de Poisson

    Se a taxa de chegada possui distribuio exponencial,

    a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T

    segundos pode ser modelada pela distribuio de

    Poisson:

    tc2 tc3

    1

    2

    3

    4

    tc4 Chegadas

    tc1 tempo

    Nm

    ero

    de

    Chegadas

    T

    k ek

    TTP

    !

    )( onde: > 0, k = 0,1,2, ...

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    Processo de Poisson

    Num sistema com = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrero 3,19959 chegadas aproximadamente. Em mdia: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas

    k Pk k.Pk

    0 0,04076 0,00000

    1 0,13044 0,13044

    2 0,20870 0,41740

    3 0,22262 0,66785

    4 0,17809 0,71237

    5 0,11398 0,56990

    6 0,06079 0,36473

    7 0,02779 0,19452

    8 0,01112 0,08893

    9 0,00395 0,03557

    10 0,00126 0,01265

    11 0,00037 0,00405

    12 0,00010 0,00118

    Soma = 0,99997 3,199590,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    0,25

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13k

    PkValor mdio

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    Propriedades dos Processos de

    Poisson 1

    2

    3

    = i

    p1

    p2

    p3

    1 = pi

    A juno de fluxos de Poisson resulta num fluxo de Poisson

    A partio de um fluxo de Poisson resulta em fluxos de Poisson

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    Propriedades dos Processos de

    Poisson

    Partidas de um sistema de fila M/M/1 um fluxo de Poisson

    Partidas de um sistema de fila M/M/m um fluxo de Poisson

    >

    i >

    1

    2

    3

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    Distribuio Exponencial

    Um mtodo alternativo para descrever a distribuio de chegadas de clientes atravs do tempo decorrido entre chegadas sucessivas de clientes. A distribuio de probabilidade F(t), em que o tempo interchegadas (ti) menor que t, para a distribuio discreta de Poisson de chegadas, dada por

    (Distribuio Exponencial):

    P(tempo interchegadas t) = F(t) = 1 et , > 0, t > 0

    Graficamente, a distribuio

    exponencial, de tempos

    interchegadas, mostrada ao

    lado

    Dado um tempo t no eixo

    horizontal, o eixo vertical do

    grfico indica a probabilidade

    de chegadas com ti < t

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    A Distribuio Exponencial

    importante no estudo das filas pois o tempo de servio pode ser

    modelado por uma distribuio exponencial. Exemplos:

    No trfego telefnico, a durao de uma ligao

    Numa rede de comutao de pacotes o tempo de transmisso de um

    pacote, que proporcional ao seu comprimento

    No existe um embasamento matemtico que justifique essa hiptese,

    porm, a prtica se aproxima bastante de uma distribuio exponencial

    Alm disso, essa hiptese simplifica o tratamento matemtico

    Do mesmo modo, a distribuio exponencial tambm pode ser

    utilizada com boa aproximao na modelagem do tempo interchegada

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    A Distribuio Exponencial

    Funo Densidade de Probabilidade: f(t) =

    Funo Probabilidade acumulada: F(t) =

    Probabilidade

    acumulada

    Densidade de

    probabilidade

    0 , se t < 0

    et , se t 0

    0 , se t < 0

    1 et , se t 0

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    Propriedades da Distribuio

    Exponencial

    Mdia: E[X] = X = = 1 /

    Varincia: V2[X] = = 1 / 2

    Desvio Padro: x = 1/ ( igual a Mdia!!! )

    Essa distribuio utilizada para modelar:

    O tempo de servio em uma central telefnica, o tempo em que um cliente

    fica conectado

    Numa rede de comunicao, o tempo de servio o tempo necessrio para

    transmisso de um pacote atravs de um link de rede

    y . f(y) dy

    -

    y2 . f(y) dy

    -

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    40

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 40

    Aplicao da Distribuio

    Exponencial

    Grficos do tamanho da fila para diferentes valores de desvio padro

    Quando: desvio/valor mdio = 1, temos a Distribuio Exponencial

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    .: O

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    41

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 41

    Aplicao da Distribuio

    Exponencial

    Tempo de residncia para diversas relaes de

    utilizao () e desvio padro ()

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    .: O

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    42

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    Notao de Modelos de Fila

    = Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadas sucessivas

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    Notao de Modelos de Fila

    m Quantidade de servidores idnticos.

    Taxa mdia de chegada, de clientes (=1/E[]). Em alguns sistemas, poder depender do estado do sistema (quantidade de clientes).

    s Tempo de servio (de atendimento) de um cliente.

    Taxa mdia de servio por servidor (=1/E[s])). Para m servidores, a taxa mdia de servio m

    n Quantidade total de clientes no sistema, tambm chamada tamanho da fila. Inclui os clientes em espera por um servidor e os que esto sendo atendidos.

    nq Quantidade de clientes aguardando atendimento. sempre menor que n, pois no inclui os clientes em servio.

    ns Quantidade de clientes em servio.

    r Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residncia dos clientes dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento).

    w Tempo de espera para ser atendido. o tempo decorrido entre a chegada e o incio do atendimento (servio) do cliente.

    Todas as variveis, exceto e , so variveis aleatrias.

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    Notao de Modelos de Fila

    Utilizao do servidor (= / )

    B Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer)

    Tempo interchegadas (= 1/)

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    Estabilidade dos Sistemas de Filas

    Condio de Estabilidade: se a quantidade de clientes no sistema aumenta, tendendo a infinito, o sistema dito Instvel. Para haver estabilidade, a taxa mdia de chegada deve ser menor que a taxa mdia de servio ( < m). Esta regra no se aplica para populao finita e buffer finito (podem haver clientes rejeitados) sistema nunca fica instvel

    Utilizao de um servidor: = /

    < 1, para Sistema de Fila ser Estvel

    Populao no Sistema: n = nq + ns E[n] = E[nq]+ E[ns]

    Tempo no Sistema: r = w + s E[r] = E[w]+ E[s]

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    Equao de Little

    Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a:

    quantidade mdia = taxa de chegada x tempo mdio

    de resposta

    Esta relao se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila

    Baseia-se numa viso tipo Caixa Preta do Sistema de Fila

    Sistema de Fila

    (Caixa Preta)

    Partidas Chegada

    s

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    47

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 47

    Tempo

    Quantidade

    Equao de Little - Aplicao

    A equao de Little pode ser aplicada a um subsistema ou todo o sistema de Fila.

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    48

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    Equao de Little - Aplicao

    Aplicando a equao de Little num subsistema

    ou em todo o sistema de Fila:

    Na fila de espera: nq = . w

    No servidor: ns = . s = /

    No sistema inteiro: n = . r

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    49

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 49

    Equao de Little - Exemplo 1

    Se a taxa de chegada numa linha de transmisso,

    nq a quantidade mdia de pacotes esperando no

    buffer (no sendo transmitidos), e w o tempo

    mdio gasto por um pacote no buffer. Ento, pela

    equao de Little:

    nq = . w

    Buffer

    (partidas)

    (chegadas) Transmissor

    (partidas)

    Linha de Transmiss

    o

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 50

    Equao de Little Exemplo 2

    Numa sala de espera de um consultrio, h 15 clientes em mdia e taxa de chegada de 1 cliente a cada 30 segundos. Calcule o tempo mdio de espera dos clientes na sala. Os clientes so atendidos na ordem de chegada (FIFO).

    Temos que:

    nq =15 = 2 clientes/minuto

    Aplicando a equao de Little na fila: nq = . w

    Tempo de espera na fila: w = 15 / 2 = 7,5 minutos

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    51

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 51

    O Sistema de Fila M/M/1

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    52

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 52

    O Sistema de Fila M/M/1

    Sistema de fila com um servidor

    Exemplo: clientes na fila do caixa eletrnico

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    53

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 53

    Modelo do Sistema de Fila M/M/1

    Simbologia

    Modelo

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    54

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 54

    Caractersticas do Sistema de

    Fila M/M/1 Processo de chegada tipo Poisson (M)

    Tempo de servio - distribuio exponencial (M)

    Quantidade de servidores (= 1)

    Infinitas posies na fila de espera (clientes no so perdidos)

    Disciplina de servio do tipo FIFO

    Populao de clientes infinita (taxa de chegada constante)

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    55

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 55

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Diagrama de Transio de Estados

    Estado = quantidade total de clientes no sistema

    Para o sistema M/M/1, temos:

    n = (Cte), n = 0, 1, 2, .... (taxa de chegadas no sistema)

    n = (Cte), n = 1, 2, 3, .... (taxa de partidas do sistema)

    Estado: 0

    1

    0

    1

    2

    1

    2

    3

    2

    n1

    n

    n-1

    n

    n+1

    n

    n+1

    n+2

    n+1

    n-1

    n-2

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    56

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 56

    Estados do Sistema M/M/1

    Distribuio de

    Poison na chegada

    Tempo de servio exponencial

    com mdia 1

    Distribuio de

    Poison na chegada

    Tempo de servio exponencial

    com mdia 1

    Mudanas de estado

    possveis entre os

    instantes t e t + t

    n

    t t + t

    n+1

    n

    n-1

    t

    1 partida,

    0 chegadas

    0 partidas, 0 chegadas

    ou

    1 partida, 1 chegada

    0 partidas,

    1 chegada

    Estado

    Tempo

    n

    t t + t

    n+1

    n

    n-1

    tt

    1 partida,

    0 chegadas

    0 partidas, 0 chegadas

    ou

    1 partida, 1 chegada

    0 partidas,

    1 chegada

    Estado

    Tempo

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    57

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 57

    Estados do Sistema M/M/1

    Um sistema de fila M/M/1 ser estudado a seguir visando determinar seu equilbrio, ou seja, quando atinge a condio de regime permanente

    Nessas condies, o sistema pode ser identificado atravs de suas propriedades estatsticas (tempo de espera, tempo de residncia, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc)

    Esse estudo poder ser estendido para outros sistemas de fila (M/M/N, M/M/N/N, etc)

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    58

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 58

    Clculo do Estado do Sistema

    nn1 n+1

    .t

    .t

    .t

    .t

    nn1 n+1

    .t

    .t

    .t

    .t

    As 4 condies para haver n clientes no sistema em t + t: 1. Haviam n+1 pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e

    nenhuma chegada

    2. Haviam n-1 pacote no sistema em t, no intervalo t houve 1 chegada e

    nenhuma partida

    3. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t no houve partida e

    nem chegada

    4. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e 1

    chegada

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    59

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 59

    Transies de Estado (resumo)

    Estado Inicial

    (Instante t)

    Eventos Durante

    t

    Estado Final

    (t+t)

    n+1 clientes 1 partida + 0

    chegada n

    n-1 clientes 0 partida + 1

    chegada n

    n clientes 0 partida + 0

    chegada n

    n clientes 1 partida + 1

    chegada n

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 60

    Clculo do Estado do Sistema

    Relembrando que:

    Onde T = t , sendo t pequeno, logo:

    P( k = 1 e com T = t ) = t + 0(t )

    P( k = 0 e com T = t ) = 1 t + 0(t )

    P( k = 1 e com T = t ) = t + 0(t )

    P( k = 0 e com T = t ) = 1 t + 0(t )

    Ento, para o processo de chegada:

    P(1 partida em t ) = t + 0(t )

    P(0 partida em t ) = 1 t + 0(t )

    P(1 partida em t ) = t + 0(t )

    P(0 partida em t ) = 1 t + 0(t )

    O tempo de servio obedece a distribuio exponencial, assim as partidas

    tambm seguem um processo de Poisson, ento:

    (T)k e- t

    1!P(k=1) =

    (T)k e- t

    1!P(k=1) =

    ( t)k e- t

    1!P(k=1, T=t) =

    ( t)k e- t

    1!P(k=1, T=t) =

    = .t [ 1 - .t + 2!

    (.t)2+ .... ] = .t [ 1 - .t +

    2!

    (.t)2

    2!

    (.t)2+ .... ]

    0(t ) / .t 0(t ) / .t

    (1 chegada)

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 61

    Clculo do Estado do Sistema

    Expresso

    A

    = pn(t).[1 .t 0(t)].[1 .t 0(t)]pn(t+t)

    + pn(t).[.t + 0(t)].[.t + 0(t)]

    + pn+1(t).[1 .t 0(t)].[.t + 0(t)]

    + pn-1(t).[.t + 0(t)].[1 .t 0(t)]

    t t + t

    n+1

    n

    n-1

    t

    1 partida,

    0 chegadas0 partidas, 0 chegadas

    ou

    1 partida, 1 chegada

    0 partidas,

    1 chegada

    Estado

    Tempot t + t

    n+1

    n

    n-1

    tt

    1 partida,

    0 chegadas0 partidas, 0 chegadas

    ou

    1 partida, 1 chegada

    0 partidas,

    1 chegada

    Estado

    Tempo

  • Rev

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    62

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 62

    Clculo do Estado do Sistema

    Expresso B

    = p 0 (t).[1 . t 0( t)].[1 . t 0( t)] p 0 (t+ t)

    + p 0 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]

    p 0 (t t) p 0 (t) t

    Lim t 0

    p 0 (t t) p 0 (t) t

    Lim t 0 = . p 0 (t) + . p 1 (t)

    Da expresso B:

    d p 0 (t)

    d t

    d p 0 (t)

    d t = . p 0 (t) + . p 1 (t)

    d p 0 (t)

    d t

    d p 0 (t)

    d t = 0

    Em regime permanente:

    . p 0 (t) + . p 1 (t) = 0

    Quando n=0:

    + p 1 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]

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    Clculo do Estado do Sistema

    Utilizao:

    Para n 1

    =

    =

    pn(t t) pn(t)

    tLimt0

    pn(t t) pn(t)

    tLimt0

    Ignorando os termos em t2

    e de ordem superior

    d pn(t)

    dt= .pn(t) .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)

    d pn(t)

    dt

    d pn(t)

    dt= .pn(t) .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)Teremos:

    Logo:

    p1

    p0=

    p1

    p0=

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    64

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    Clculo do Estado do Sistema

    d p n (t)

    d t = 0

    d p n (t)

    d t

    d p n (t)

    d t = 0 Em regime permanente:

    ( + ). p n = . p n - 1 + . p n+1 n 1

    . p 1 = . p 0 n = 0

    =

    =

    n (1 - )

    1 - n+1 p n =

    n (1 - )

    1 - n+1

    n (1 - )

    1 - n+1 p n =

    Para a fila M/M/1:

    Para: > 1 N Para n 1:

    p n = n (1 - )

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    65

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 65

    Clculo do Estado do Sistema

    Populao mdia no sistema em regime permanente:

    E[n] =

    n = 1

    n = 1

    n.pn = n.n .(1- )

    n = 1

    n.n .(1- )

    n = 1

    n = 1

    =

    1

    1

    Tempo de residncia no sistema, utilizando a Lei de Little:

    E[r] = E[n] / = = (1 )

    /

    (1 )

    /

    .(1 )

    1

    .(1 )

    1

    Tempo na fila de espera:

    E[w] = E[r] E[s] = =

    .(1 )

    1

    .(1 )

    11

    1

    1

    ( )

    ( )

    ( )

    1

    ( )

    1=

  • Rev

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 66

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Grfico de Chegadas e Partidas

    tc2 tc3

    1

    2

    3

    4

    5

    tc4 tc5 tc6 Chegadas

    Partidas tp1 tp2 tp3 tp4

    tc1

    6

    tempo

    r1

    r

    2

    r

    3

    r4

    C(t)

    P(t)

    n

    Nm

    ero

    de

    Chegadas/P

    artid

    as

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    67

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 67

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Quantidade de Clientes no Sistema

    tc2 tc3

    1

    2

    3

    4

    5

    tc4 tc5 tc6 Chegadas

    Partidas tp1 tp2 tp3 tp4

    tc1

    6

    tempo

    Clie

    nte

    s n

    o S

    iste

    ma

    Estado Mdio do Sistema (n)

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 68

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Tempo de Resposta do Sistema

    Tempo de Resposta Mdio (r)

    1 2 3 4 5

    Tem

    po d

    e R

    esposta

    6 Nmero da Chegada

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    69

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 69

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Clculo do Estado do Sistema

    1. Parmetros: = Taxa de chegada (por unidade de tempo)

    = Taxa de servio (por unidade de tempo)

    2. Utilizao do servidor (=intensidade de trfego): /

    3. Condio de Estabilidade: 1

    4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p0 = 1

    5. Probabilidade de n clientes no sistema:

    pn = P[N = n] = (1 )n , n = 0, 1, 2, ....

    6. Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema:

    pn+ = P[R > n] = n

    7. Quantidade mdia de clientes no sistema: n = /(1 )

    8. Quantidade mdia de clientes na fila: nq = 2/(1 )

    9. Tempo de residncia (tempo de resposta) mdio: r = 1 / [ (1 )]

    10. Probabilidade acumulada do tempo de residncia:

    P[ r t ]= 1 et(1)

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    70

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 70

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Clculo do Estado do Sistema

    11. q-Percentil do tempo de residncia: m(q) = r ln [ 100 / (100 q) ]

    m(q): o tempo mximo de residncia para q (%) de clientes

    12. Tempo mdio de espera na fila: w = nq / = (2 / ) / (1 - )

    P(r < t) a probabilidade do

    tempo de residncia ser menor

    do que t

    Do grfico, para t = 1.2 rmdio ,

    ento P(t) = 0.7, a

    probabilidade de um cliente ter

    seu tempo de residncia menor

    que 1.2 rmdio

    Sendo rmdio o tempo mdio de

    residncia = 1/(1)

  • Rev

    .: O

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    71

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 71

    Sistema de Fila M/M/1 -

    Exemplo 1 Um servidor de rede esta associado a 100 computadores atravs de uma

    rede (LAN). O servidor mantm um banco de dados para consultas dos

    computadores. O tempo mdio de resposta de uma consulta no servidor

    de 0,6 segundos e o desvio do tempo igual a mdia. No horrio de pico, a

    taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas/minuto. Responda as

    seguintes questes:

    (1) Qual o tempo de resposta mdio?

    (2) Se o tempo de resposta mximo aceitvel for 1,5 s (para 90% das

    consultas), qual o percentual de aumento de trfego?

    (3) Com um acrscimo de 20% de trfego, qual o aumento no tempo de

    resposta?

  • Rev

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    72

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    Sistema de Fila M/M/1 -

    Exemplo 1

    Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Os

    atrasos na rede (tempo de propagao) e as colises) so ignorados.

    (1) Tempo de Resposta Mdio:

    Taxa de chegada: = 20 / 60 = 1/3 clientes/segundo

    Taxa de atendimento: = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes/segundo

    Intensidade de trfego (=utilizao do servidor): / = 1/3 x 6/10

    = 0,2

    Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [(1 )] 0,6 / (1 0,2) = 0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor)

    c

    s

    ... c c c

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    Sistema de Fila M/M/1 -

    Exemplo 1 (2) Aumento de trfego:

    Acrscimo no Trfego quando r = 1,5 s para 90 % das requisies:

    1,5 = r x ln[100/(100 - 90)] ento: r = 0,65

    Como r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 ) 0,65

    Logo: 0,077

    Assim, a intensidade de trfego () deve cair de 0,2 para 0,077 para

    que o tempo de residncia (r) caia de 0,75 para 0,65

    (3) Acrscimo no tempo de resposta:

    A intensidade de trfego (utilizao) foi aumentada em 20%, ento:

    = 0,2 + 0,2 = 0,4

    Logo: r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 0,4) = 1,00 s

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    Sistema de Fila M/M/m

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    Sistema de Fila M/M/m

    Sistema com m servidores iguais

    Cada servidor possui uma taxa de servio igual a

    Sistema sem perdas - se todos os servidores estiverem ocupados, novos clientes aguardam na fila de espera

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    76

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    Sistema de Fila M/M/m -

    Diagrama de Transio de Estados

    Estado: 0

    1

    2.

    m1

    m.

    m

    m.

    m+1

    (m1).

    m.

    n. , n = 1, 2, 3, ..., m-1

    m., n = m, m+1, m+2, m+3, ..., n =

    n = , n = 0, 1, 2, ...,

    Para o sistema M/M/m:

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    Sistema de Fila M/M/m -

    Clculo do Estado do Sistema 1. Parmetros: = Taxa de chegada

    = Taxa de servio

    m = Quantidade de servidores

    )1(

    ..

    qPmn

    5. Tempo de residncia mdio:

    3. Condio de Estabilidade: 1

    2. Utilizao (intensidade de trfego) mdia de um servidor: (/m) /

    6. Quantidade mdia de clientes no sistema:

    4. Intensidade de trfego do sistema (dos m servidores): /

    )1(1

    1

    m

    Pr

    q

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    78

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 78

    Sistema de Fila M/M/m -

    Clculo do Estado do Sistema

    sm

    Pssrw

    q

    )1(1

    7. Tempo de espera mdio, sendo:

    Am

    sP

    m

    sPw

    qq

    )1( Logo:

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    79

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 79

    Sistema de Fila M/M/m -

    Clculo do Estado do Sistema

    Pq = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorre

    formao de fila). Onde: (.m)m P0

    m! (1) Pq =

    P0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por:

    (.m)m

    m! (1) P0 =

    n = 0

    m - 1 (.m)n

    n! +

    1

    A equao anterior conhecida como equao de Erlang-C. Tendo sido

    tabulada e bastante utilizada em sistemas de telefonia.

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    80

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 80

    Exemplo: Sistema M/M/2

    1/

    (12) r = 1. Tempo de residncia mdio:

    2. Quantidade mdia de clientes no sistema: 2

    12 n =

    3. Probabilidade de formao de fila: 22

    1 Pq =

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    81

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 81

    Sistema de Fila M/M/

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    82

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 82

    Sistema de Fila M/M/

    Sistema com quantidade infinita de servidores

    Todo o cliente que chega ao sistema encontra um servidor livre e imediatamente atendido

    Taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial

    No existe fila de espera, o comprimento da fila e o tempo de espera so nulos

    um sistema que introduz apenas um atraso equivalente ao tempo de servio

    Utiliza as equaes do sistema M/M/m na situao limite, quando m =

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    83

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 83

    Sistema de Fila M/M/

    Probabilidade de sistema vazio:

    Probabilidade de n clientes no sistema:

    Quantidade de clientes no sistema:

    Tempo mdio de residncia:

    ep0

    !n

    ep

    n

    n

    Para n > 0

    n

    1r

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    84

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 84

    Sistema de Fila M/M/m/B

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    85

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 85

    Sistema de Fila M/M/m/B

    Distribuio do tempo entre chegadas: Exponencial

    Distribuio do tempo de servio: Exponencial

    Quantidade de Servidor(es): m

    Capacidade do Sistema: B

    Trata-se de um sistema com m servidores e B buffers, onde B m (cada servidor possui uma posio de buffer)

    Se as B posies estiverem ocupadas, os clientes subseqentes so perdidos

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    86

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 86

    Sistema de Fila M/M/m/B -

    Diagrama de Transio de Estados

    Estado = quantidade de clientes no sistema

    Para o sistema M/M/m/B , onde B m

    n = , n = 0, 1, 2, ..., B-1 e n = 0, para n B

    n = n. , n = 1, 2, 3, ..., m e n

    = m., para n > B

    Estado: 0

    1

    0

    1

    2

    1

    m1

    m

    m-1

    m

    m+1

    m

    m+1

    m-1

    m-2

    m+2

    m+1

    b

    k-1

    B

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    87

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    Sistema de Fila M/M/m/B -

    Diagrama de Transio de Estados

    Estado = quantidade de clientes no sistema

    Sistema M/M/m/B , onde: B(buffers) m(servers)

    Estado: 0

    1

    2.

    m1

    m.

    m

    m.

    m+1

    (m1).

    m.

    m.

    B

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 88

    Sistema de Fila M/M/m/B

    Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado:

    ( )( )( )

    ( )1

    1

    1

    1

    0!1!

    11

    m

    n

    nmmB

    n

    m

    m

    mp

    ( )0

    !p

    n

    mp

    n

    n

    0!

    pm

    mp

    nm

    n

    Probabilidade de haverem n clientes no sistema:

    Para n < m:

    Para m n B:

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    89

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 89

    Sistema de Fila M/M/m/B

    Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado:

    ( )( )( )

    ( )1

    1

    1

    1

    0!1!

    11

    m

    n

    nmmB

    n

    m

    m

    mp

    ( )0

    !p

    n

    mp

    n

    n

    0!

    pm

    mp

    nm

    n

    Probabilidade de haverem n clientes no sistema:

    Para n < m:

    Para m n B:

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    90

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 90

    Sistema de Fila M/M/m/B

    Quantidade de clientes na fila:

    Tempo de espera na fila:

    B

    mn

    nq pmnn1

    )(

    '

    qnw

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    91

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 91

    Casos Particulares

    do Sistema M/M/m/B

    O sistema M/M/m/B pode originar dois tipos de sistemas de fila:

    Sistema M/M/m/m, onde m=B, que aplicvel a sistemas de capacidade m e quantidade de

    servidores m, sem espao de espera. Cada um dos

    m servidores comporta um cliente

    Sistema M/M/1/B, onde m=1, que aplicvel a sistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou seja, B-

    1 posies de espera

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    92

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 92

    Sistema de Fila M/M/m/m

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    93

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 93

    Sistema de Fila M/M/m/m

    Distribuio do tempo entre chegadas: Exponencial

    Distribuio do tempo de servio: Exponencial

    Quantidade de Servidor(es): m

    Capacidade do Sistema: m

    Trata-se de um sistema com m servidores e de capacidade m (1 posio por servidor), sem espao de

    espera

    Se os m servidores estiverem ocupados, os clientes subseqentes so perdidos (ocorre bloqueio do

    sistema)

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 94

    Sistema de Fila M/M/m/m

    1. Sistema M/M/m/m, sem espao de espera

    2. Nmero de posies em servio =

    nmero de servidores (no h fila de espera)

    3. Chamadas que chegam:

    4. Chamadas bloqueadas: .Pb

    5. Chamadas no bloqueadas: .(1Pb)

    6. Pb = probabilidade dos m servidores

    (linhas) estarem bloqueados (ocupadas)

    1

    2

    3

    m .Pb (Bloqueio)

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    95

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 95

    Sistema de Fila M/M/m/m

    ( )1

    0

    0!

    m

    n

    n

    n

    mp

    ( )0

    !p

    n

    mp

    n

    n

    ( )

    ( )

    m

    n

    n

    m

    b

    n

    m

    m

    m

    p

    0 !

    !

    Probabilidade de nenhum cliente no sistema:

    Probabilidade de n clientes no sistema:

    Probabilidade de bloqueio do sistema P[n=m]:

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 96

    Sistema de Fila M/M/m/m

    m

    n

    nnpn1

    sn

    r '

    Nmero mdio de clientes no sistema:

    Taxa de chegada efetiva (clientes no rejeitados):

    Tempo de residncia:

    ( )bm

    n

    n

    m

    n

    n ppp

    1'1

    0

    1

    0

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    97

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    Sistema de Fila M/M/m/m

    Quando n=m, todas as linhas esto ocupadas, as prximas requisies sero bloqueadas

    A probabilidade de bloqueio ser:

    Pb = m

    i = 0

    (m)i / i!

    (m)m / m! onde: = /

    A equao anterior tambm conhecida como distribuio Erlang-B de bloqueio, distribuio

    de Erlang ou equao de perdas de Erlang do tipo B

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    98

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 98

    Sistema de Fila M/M/1/B

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    99

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 99

    Sistema de Fila M/M/1/B

    Sistema com 1 servidor e B-1 posies de espera

    Caso particular do sistema M/M/m/B, onde m=1

    Fila de espera possui tamanho finito, ento podem haver clientes perdidos, ou rejeitados (bloqueio do sistema)

    Como todo o sistema com capacidade de fila limitada, sempre estvel (

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    100

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    Sistema de Fila M/M/1/B

    Probabilidade de sistema vazio:

    Probabilidade de n clientes no sistema:

    Probabilidade de bloqueio:

    para 1 10 1

    1

    Bp

    1

    10

    Bp para = 1

    n

    B

    n

    n pp

    10 1

    1

    para 0 n B

    ] BB

    B

    b pBPp

    10 1

    1

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    101

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 101

    Sistema de Fila M/M/1/B

    Nmero de clientes no sistema:

    1

    1

    1

    )1(

    1

    B

    BBn

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    102

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 102

    Sistema de Fila M/M/N/N/K

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    103

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 103

    Sistema de Fila M/M/N/N/K Sistema representado esquematicamente conforme a

    figura:

    1

    2

    K

    1

    2

    N

    T n.

    Sistema com N servidores, populao K finita (onde: K N). Sem espao de espera

    A taxa de servio possui distribuio exponencial Em dado instante, existiro n clientes (onde: 0 n N)

    e cada um ser atendido por um nico servidor

    Se n > N, pode haver rejeio de clientes (bloqueio)

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    104

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 104

    Sistema de Fila M/M/N/N/K

    Pode ser utilizado para modelar:

    Uma central telefnica com K assinantes entradas e N troncos de sada

    Uma ERB com K usurios e N freqncias de RF (canais)

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    105

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 105

    Sistema de Fila M/G/1

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    106

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 106

    Sistema de Fila M/G/1

    Sistema de fila onde a taxa de servio atende a distribuio Geral

    Pode ser utilizado, por exemplo, para modelar o trfego em:

    Sistemas com prioridade no preemptivos

    Sistemas onde o tempo de servio est dividido em classes conhecidas

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    107

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 107

    Sistema de Fila M/G/1

    Quantidade de clientes no sistema:

    Tempo de residncia no sistema:

    Tempo de espera na fila:

    Um caso particular do sistema M/G/1 o M/D/1 (sistema determinstico), onde: =0

    ( )

    221

    21

    1

    1

    nr

    ( )

    221

    21

    1

    n

    srw

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    108

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 108

    Noes de Engenharia

    de Trfego

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    109

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 109

    Comutao de Circuitos

    Numa central de comutao de circuitos podem haver M circuitos de entrada e N circuitos de sada

    Cada circuito pode ser um canal do tipo full-duplex

    Cada circuito de entrada estar conectado a uma sada durante um certo tempo (tempo de conexo)

    Se M>N, uma entrada poder no ter uma sada disponvel, num determinado instante de tempo, se os N circuitos de sada estiverem ocupados, ocorrendo um bloqueio

    1

    2

    M

    1

    2

    N

    Central de

    Comutao

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    110

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 110

    Uma central telefnica tpica utiliza uma central de comutao de circuitos

    Possui M assinantes e N linhas tronco (trunk), onde: M >> N

    No h espera por linha livre, ento a central pode ser modelada por um sistema de fila do tipo M/M/m/m, onde m = N

    A taxa de chegada de chamadas para as N linhas tronco : N.

    A intensidade de trfego total, oferecida para as N linhas tronco, dada pela letra A

    A probabilidade de perdas (ligaes rejeitadas) calculada utilizando a equao de perdas do tipo B de Erlang

    Central Telefnica

    Pb = N

    i = 0

    Ai / i!

    AN / N!

    Onde: A = (N.) / = N.

    1

    2

    M

    1

    2

    N

    Central

    Telefnica

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    111

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 111

    A equao de perdas Erlang-B pode ser usada para dimensionar sistemas telefnicos. Fornecendo uma estimativa da probabilidade de ocupao (bloqueio) dos troncos (linhas), a partir da demanda (trfego) e da quantidade de linhas (troncos).

    Erlang uma unidade de trfego telefnico, definida como a quantidade de tempo, em horas (ou minutos), gasta para atender todas as ligaes que entram num sistema durante uma hora (ou um minuto) de funcionamento.

    EXEMPLO: Numa central telefnica com 100 linhas, qual a demanda produzida

    se cada linha recebe, em mdia, 2 chamadas / hora e essas tm durao mdia de 3 minutos? Soluo: chegam central 100 x 2 = 200 chamadas por hora, que ocupam 200 x 3 = 600 minutos = 10 horas. Conseqentemente, o trfego de 10 horas por hora, ou seja: 10 erlang.

    Trfego Telefnico

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    .: O

    ut

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    112

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    A central telefnica possui N linhas, que podem operar simultaneamente

    Cada linha possui uma ocupao mdia de s unidades de tempo (segundos, minutos, ... ), que a durao mdia de uma chamada

    A demanda da central telefnica de N. chamadas por unidade de tempo

    Cada linha possui uma intensidade de trfego igual a , onde: Durao mdia de uma ligao: s Taxa de servio por linha: = 1/s Intensidade mdia de trfego por linha: = /

    A intensidade de trfego total simbolizada pela letra A e o trfego total (de todas as linhas) oferecido central ser:

    A = N. = N./

    Trfego Telefnico

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    113

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 113

    Quando aumenta-se a quantidade de linhas da central, o trfego por linha diminui

    Resultando na diminuio da probabilidade de bloqueio

    Quando a quantidade de linhas maior que a intensidade de trfego (N > A), resulta < 1, ocorrendo uma quede brusca na probabilidade de bloqueio

    O grfico ao lado mostra que Pb cai bruscamente quando A/N = < 1

    Trfego Telefnico

    0 2 4 6 8 10 12 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    A/N

    Pb

    = P

    rob

    ab

    ilid

    ad

    e d

    e B

    loq

    ueio

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    114

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 114

    Dimensionamento de Centrais

    Telefnicas Dada uma certa intensidade de trfego (em

    Erlangs)

    Avalia-se a probabilidade de bloqueio (ou de perda) para diferentes quantidades de troncos da central

    Ver grfico Probabilidade de Bloqueio x Quantidade de Troncos (linhas)

    O grfico obtido a partir da equao de perdas de Erlang-B

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    115

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    Probabilidade de Bloqueio

    x Quantidade de Linhas

    0 5 10 15 20 25 30 35 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    A=5 10 15

    30 25

    20

    Quantidade de Linhas (N)

    Pro

    ba

    bil

    idad

    e d

    e B

    loq

    ueio

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    116

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 116

    Exemplo - 1

    0 5 10 15 20 25 30 35 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    A=10

    Quantidade de Linhas (N)

    Pro

    ba

    bil

    idad

    e d

    e B

    loq

    ueio

    Dada uma intensidade de trfego mxima de 10 erlangs, avalia-se

    a quantidade de troncos

    necessria para uma

    probabilidade de bloqueio

    No grfico, verifica-se a quantidade de linhas necessrias

    para uma probabilidade de

    bloqueio (ou perda) esperada

    Para o clculo tambm se utiliza: calculadora programvel, tabela

    de Erlang, programa de

    microcomputador

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    117

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 117

    Tabela de Erlang do tipo B

    Exemplo: Sistema do tipo M/M/N/N com A=2.158 Erlangs, N=7 linhas. Probabilidade

    de bloqueio: Pb=0,005 (B= 0,5%)

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    118

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 118

    Exemplo - 2

    Determinar a quantidade de linhas de sada de uma central onde:

    Probabilidade de perdas: 0,5 %

    Quantidade de chamadas (m.): 31 por minuto

    Durao mdia das chamadas: 3 minutos

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    119

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 119

    Exemplo - 2

    Trfego oferecido: A (m./) = 31x3 = 93 erlangs

    Achar N, tal que: Pb (A,N) < 0,005

    Calculando iterativamente: Pb(93,115)=0,0034

    Pb(93,114)=0,0042

    Pb(93,113)=0,0051

    N=114

    A central deve possuir 114 troncos de sada

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    120

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 120

    Verificar o Dimensionamento

    de uma Central Telefnica

    Avaliar o desempenho de uma central telefnica com N troncos

    Um parmetro de desempenho de uma central telefnica a probabilidade de

    bloqueio para diversas intensidades de

    trfego (A)

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    121

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 121

    0 10 20 30 40 50 60 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Intensidade de Trfego (A - Erlangs)

    Pro

    ba

    bil

    idad

    e d

    e B

    loq

    ueio

    N=5

    10

    15

    20 25

    30

    Probabilidade de Bloqueio

    x Trfego

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    122

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    Avaliao de uma Central

    Dada uma central com N=100 linhas

    s = 5 minutos / ligao

    Pb < 0,4 %

    Determinar Mxima intensidade de trfego admissvel

    A mxima taxa de chegada de ligaes para no ocorrer bloqueio

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    123

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 123

    Avaliao de uma Central

    Trfego oferecido: A = ?

    Probabilidade de perda: Pb(A,100) < 0,004

    Calculando iterativamente:

    Pb(79,100) = 0,003074

    Pb(80,100) = 0,003992

    Pb(81,100) = 0,00511

    Amax = 80 erlangs

    Sendo: A = m. = m./ = m..s

    Logo: max = 80/(100x5) = 0,16 chamadas/min.

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    124

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    Anlise de um Concentrador

    10 terminais esto conectados a um concentrador de terminais

    Cada terminal gera um pacote a cada 8 segundos Pacotes tm 960 bits de comprimento em mdia Linha de sada com capacidade de 2400 b/s Tamanho do pacote e tempo entre chegadas de

    pacotes com distribuio exponencial

    Determinar: Ocupao mdia do buffer Atraso mdio no sistema Tempo mdio de espera na fila

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    125

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    Sistema com Espera

    Quando as requisies podem esperar uma linha livre, haver fila de espera.

    Se a capacidade da fila for muito grande, no haver rejeio de clientes.

    O modelo M/M/m (sem perdas) pode ser utilizado

    Central PABX com espera m = 8 linhas de sada.

    A = 4,5 Erlangs

    Calcular a probabilidade de espera

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    126

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 126

    Sistema com Espera

    Os sistemas com espera e capacidade infinita (muito elevada) so modelados

    pelo sistema M/M/m

    Sendo a intensidade de trfego A=(m.)/

    A probabilidade de espera (fila) ser dada pela equao de Erlang-C:

    Am P0 m! (1A/m)

    Pq = Am

    m! (1) P0 =

    n = 0

    m - 1 An

    n! +

    1

    Onde:

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    127

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 127

    Sistema com Espera PBX

    Capacidade 40 ramais

    Cada ramal realiza diariamente, em mdia, 54 ligaes

    A durao de cada ligao , em mdia, 3 minutos

    Qual o nmero de troncos de sada necessrios para uma probabilidade 5% de espera?

    Qual o tempo de espera?

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    128

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 128

    Sistemas com Prioridade

    Em sistemas com prioridade, os clientes so atendidos pelo servidor conforme a prioridade

    Num sistema com prioridade, cada classe de prioridade alocada em uma fila. Existiro tantas filas quanto as classes pr-definidas.

    Normalmente, o servidor alocado fila de menor prioridade, passando a atender outra fila ao chegar um cliente de maior prioridade

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    129

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    QoS Qualidade de Servio

    A qualidade de servio necessria para adequar o desempenho da rede ao atraso admissvel para uma determinada aplicao

    Um dos problemas do trfego de redes a latncia, que decorrente da espera em filas de switches (FIFOs), do desempenho aleatrio do trfego da rede, etc.

    Aplicaes de multimdia requerem baixa latncia, da ordem de dezenas de milissegundos

    So definidas classes para os fluxos de dados, ao passarem pelos switches, os fluxos de maior prioridade so enviados primeiro num segmento de rede. Para isso, so criadas filas de sada por classe de trfego, para cada segmento de rede.

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    130

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 130

    Arquitetura de um Switch

    Ethernet Filas de

    sada

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    131

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 131

    Tipo de Servio e Prioridade

    - Exemplos

    Prioridade do Quadro

    (VLAN)

    Prioridade do

    Datagrama IP

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    132

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 132

    QoS - Classes de Prioridade

    (Conforme a IEEE 802.1D)

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    133

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    Comparao dos Sistemas STDM

    x TDM Determinsticos e no

    Determinsticos

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    134

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 134

    Comparao dos Sistemas

    TDM e STDM Sero avaliados os sistemas de transmisso do tipo

    TDM (Time Division Multiplexing) e STDM (Statistical Time Division Multiplexing) no determinsticos ou com algum grau de determinismo

    O determinismo geralmente utilizado em sistemas onde o Jitter elevado um fator restritivo no projeto do sistema de transmisso, por exemplo, em sistemas de voz ou vdeo em tempo real

    Na transmisso de dados, onde os atrasos no so crticos, os sistemas no determinsticos so mais eficientes

    O determinismo ser considerado em dois aspectos, na taxa de chegada e na taxa de servio da informao a ser transmitida

    Para simplificar a anlise, sero avaliados sistemas com apenas dois fluxos de informao

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    135

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 135

    Sistemas TDM e STDM no

    determinsticos

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    136

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 136

    Sistema TDM

    O sistema TDM reserva o uso do canal de maneira determinstica. Ou seja, para cada fluxo de

    informao h uma frao exata da capacidade do

    canal

    Porm, o TDM deixa de ser eficiente quando aloca um canal a um fluxo que no possui informao para

    transmitir (a informao no chegou ao MUX,

    multiplexador) ou no chegou totalmente durante a

    reserva do canal)

    Os pacotes de informao de cada fluxo possuem taxas de chegadas e de atendimento com distribuio

    exponencial

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    137

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    Sistema TDM

    A capacidade disponvel no canal () dividida entre os 2 fluxos de informao no domnio do tempo

    Teremos ento, dois canais dedicados com capacidade (/2) cada um

    Se cada fluxo possui taxa de chegada /2

    Como as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, cada fluxo um sistema tipo M/M/1 com tempo de resposta:

    )1(

    22

    22

    11

    s

    r

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    138

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    Sistema STDM

    Diferente do TDM, que reserva parte do canal, haja ou no informao disponvel

    O sistema STDM reserva o uso do canal de maneira no determinstica, alocando toda a

    capacidade do canal ao fluxo que estiver

    pronto para ser enviado

    Considerando que os pacotes de informao da cada fluxo cheguem com uma taxa

    distribuio exponencial

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    139

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    Sistema STDM

    A capacidade disponvel no canal () alocada totalmente, sob demanda, a cada fluxo

    Teremos ento um canal de alta capacidade () alocado a cada fluxo

    Se todos os fluxos associados possuem taxa de chegada

    Como as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, o canal todo um sistema tipo M/M/1 com tempo de resposta:

    )1(

    12

    sr

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    140

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 140

    Comparao TDM x STDM

    Comparando os tempos de residncia:

    Indicando que o STDM 2 vezes mais eficiente

    O sistema STDM reserva o uso do canal de maneira no determinstica, alocando toda a capacidade do canal ao fluxo que estiver pronto para ser enviado

    A comparao s valida se os pacotes de informao da cada fluxo chegarem com uma taxa distribuio exponencial e as taxa de servios forem tambm exponenciais

    Esta situao ocorre em sistemas orientados a pacotes (transmisso de dados), onde o tempo de atraso varivel (Jitter) no crtico

    21 .2 rr

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    141

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    Sistemas TDM e STDM com

    Determinismo

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    142

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 142

    Sistemas com Determinismo

    Os sistemas de transmisso analisados at aqui assumiram modelos do tipo M/M/1, sem nenhum determinismo

    No caso de haver determinismo, ou desvio padro nulo, os seguintes sistemas so possveis:

    M/D/1

    D/M/1

    D/D/1

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    143

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 143

    Sistema TDM tipo M/D/1 Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de

    chegada possui distribuio exponencial

    A capacidade disponvel no canal () dividida entre os 2 fluxos de informao no domnio do tempo

    Teremos ento, dois canais dedicados com capacidade (/2) cada um

    Se cada fluxo possui taxa de chegada /2

    Como apenas as taxas de chegada possuem distribuio exponencial, cada fluxo um sistema tipo

    M/D/1 com tempo de resposta:

    )1(

    )2(

    )1(2

    2

    21

    sr

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    144

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 144

    Sistema STDM tipo M/D/1

    Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de chegada possui distribuio exponencial

    A capacidade disponvel no canal () alocada totalmente, sob demanda, a cada fluxo

    Teremos ento um canal de alta capacidade () alocado a cada fluxo

    Se todos os fluxos associados possuem taxa de chegada

    Como apenas as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, o canal todo um sistema tipo M/D/1 com tempo de resposta:

    )1(

    )2/)(2(

    )1(2

    22

    sr

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    145

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 145

    Sistemas Totalmente

    Determinsticos - D/D/1

    Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de chegada fixa

    Como um sistema estvel, logo: / fixo e menor do que 1 Ento: <

    um sistema sem espera e sem perdas Como no h espera, o tempo de residncia

    o prprio tempo de servio: sr 2

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    146

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    Resumo - Tempos de Residncia

    Sistema TDM Sistema STDM

    No

    determinsticos

    (M/M/1)

    Determinsticos

    (M/D/1)

    )1(

    2

    s

    )1(

    s

    )1(

    )2(

    s

    )1(

    )2/)(2(

    s

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    147

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 147

    Tempo de Residncia

    com Baixo Trfego

    Sistema TDM Sistema STDM

    No

    determinsticos

    (M/M/1)

    Determinsticos

    (M/D/1)

    s2 s

    quase nulo

    s2 s

    Melhor Pior

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    148

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 148

    Tempo de Residncia

    com Trfego Intenso

    Sistema TDM Sistema STDM

    No

    determinsticos

    (M/M/1)

    Determinsticos

    (M/D/1)

    )1(

    2

    s

    )1(

    s

    )1(

    s

    )1(

    )2/(

    s

    quase unitrio

    Melhor Pior

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    149

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 149

    Comparao Grfica

    0,000

    2,000

    4,000

    6,000

    8,000

    10,000

    12,000

    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

    TDM

    (D/D/1)

    STDM

    (M/D/1)

    TDM

    (M/D/1)

    STDM

    (M/M/1)

    TDM

    (M/M/1)

    Intensidade de Trfego

    Te

    mp

    o d

    e R

    esp

    osta

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    Concluso

    A incluso do determinismo no tempo de servio permitiu quadruplicar o desempenho em relao ao sistema TDM no determinstico

    O sistema de multiplexao estatstica teve sempre melhor desempenho que o no estatstico

    Para baixas intensidades de trfego, o sistema determinstico D/D/1 menos eficiente que o M/D/1

    O sistema D/D/1 possui desempenho constante, sendo o mais eficiente para intensidades de trfego elevadas (> 67%)

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    Redes de Filas

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    Redes de Filas

    Rede em srie com re-alimentao

    Rede Paralela

    A existncia de re-alimentao anula a caracterstica

    de distribuio de Poisson na rede.

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    Redes de Filas -

    Propriedades Importantes

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    Teorema de Jackson

    utilizado para analisar redes de Filas. O Teorema de Jackson estabelece o seguinte:

    1. Uma rede de filas possui m ns, cada n fornece

    um servio independente com distribuio

    exponencial

    2. Todos os itens que entram na rede de filas (de

    fora) possuem distribuio de Poisson

    3. Qualquer item que sai de um n, vai

    imediatamente para o prximo n, com uma

    probabilidade k, ou sai do sistema

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    155

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 155

    Redes de Filas

    Teorema de Jackson

    N 1

    N 5

    s1

    s2

    d4

    d2

    N 4

    N 2

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    .: O

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    156

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 156

    Redes de Filas -

    Modelo de Rede de Fila

    Terminal

    de Origem

    Terminal

    de Origem

    Servidor

    Servidor

    1

    5

    2

    3

    4

    Rede de Comutao

    de Pacotes (roteadores)

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    157

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    Redes de Filas -

    Modelo de Rede de Fila

    1

    3

    5

    s1

    s2

    d4

    d2

    4

    2

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    158

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 158

    Redes de Filas -

    Modelo de Rede de Fila

    1

    link 1

    link 2

    link 3

    sistema M/M/1

    p1

    p1.

    p2.

    p3.

    p2

    p3

    Probabilidades de Roteamento: pi = 1

    Balano de Fluxo: ki pi = 0

    Anlise do N (Roteador) 1:

    Tempo de Residncia (pacote percorre

    M ns roteadores):

    Entrada Link 1 :

    E[r] = 1

    i i

    M

    i=1

    = M

    i=1

    1 / i

    1 i

    E[r] = 1

    1 p1

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    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 159

    Redes de Filas -

    Exemplo: Rede de 5 Ns

    T1,3 (Tempo de resposta entre ns 1 e 3, rota 1-2-3) = ?

    T1,4 (Tempo de resposta entre ns 1 e 4, rota 1-5-4) = ?

    T1,4 (Tempo de resposta entre ns 1 e 4, rota 1-5-2-4) = ?

    1

    5

    2

    3

    4 1/2

    1/4

    3/4

    5 = 2

    1 = 2

    2 = 2

    1/2 2/3

    1/3

    ?

    ?

    Probabilidade

    de Roteamento

    Capacidade de Transmisso de cada link = 3 pacotes/s

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    160

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 160

    Redes de Filas -

    Exemplo: Rede de 5 Ns

    1

    5

    2

    3

    4 1/2

    (7/4)

    1/4

    (1/2)

    (3/2) 3/4

    5 = 2

    1 = 2

    2 = 2

    1/2 2/3

    1/3

    (17/12)

    (17/6)

    17/12

    55/12

    Valores associados a cada link Fora do parnteses: probabilidades

    Entre parnteses: fluxo de informao

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    161

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 161

    Redes de Filas -

    Exemplo: Rede de 5 Ns

    Tempos de Resposta:

    T1,4 (rota 1-5-4) = 1

    3 3/2

    1

    3 7/4

    + = 1,467 s

    T1,3 (rota 1-2-3) = 1

    3 1/2

    1

    3 17/12

    + = 1,031 s

    T1,4 (rota 1-5-2-4) = 1

    3 3/2

    1

    3 7/4 +

    1

    3 17/6

    + = 7,467 s

  • Rev

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    162

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 162

    Calculando o Estado da Rede

    Populao mdia no sistema em regime permanente:

    =

    E[n] =

    n = 1

    n.pn = n.n .(1- )

    n = 1

    =

    1

    Onde:

    Tempo de residncia no sistema, utilizando a Equao de Little:

    E[r] = E[n] / = = (1 )

    /

    .(1 )

    1

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    163

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 163

    Redes Abertas e Fechadas

    Uma rede aberta possui chegadas e sadas para o meio externo

    Uma rede fechada no possui chegadas ou partidas para o meio externo

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    164

    DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 164

    Referncias Bibliogrficas

    [1] Bertsekas, D., Gallager, R. - Data Networks, Prentice Hall, 1992.

    [2] Giozza, W.F. (et al.) - Redes Locais de Computadores: Protocolos de Alto Nvel e Avaliao de Desempenho, McGraw-Hill / Embratel, 1986.

    [3] Jain, Raj - The Art of Computer Systems Performance Analysis, John Wiley & Sons, 1991.

    [4] Kleinrock, Leonard - Queueing Systems - Volume I, John Wiley & Sons, 1975.

    [5] Rappaport, Theodore S. Wireless Communications, Prentice Hall, 2nd. Edition

    [6] Schwartz, Mischa - Telecommunication Networks, Addison-Wesley, 1988.

    [7] Stallings, William - Data and Computer Communications, Maxwell Macmillan, 1991.

    [8] Stallings, William - Queueing Analysis, Apostila, 2000 (http://www.WilliamStallings.com/DCC6e.html).

    [9] Teoria do Trfego Telefnico, SIEMENS A.G., 1975

    [10] http://athena.mat.ufrgs.br/~portos/erlang.html