Teoria Das Filas
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 1
Teoria de Filas e Sistemas de
Comunicao
Prof. Gil Pinheiro
(reviso: Outubro/2013)
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Eletrnica
e Telecomunicaes
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 2
Programa
Reviso de Probabilidade e Estatstica
Processos Estocsticos
Teoria de Filas
Os Sistemas de Filas M/M/1, M/M/m, M/M/m/B, M/M/m/m, M/M/1/B, M/M/, M/M/N/N/K, M/G/1
Noes de Engenharia de Trfego
Redes de Filas
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Reviso de Probabilidade e
Estatstica
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Varivel Aleatria
r um evento no Espao
Amostral S, r S
x a probabilidade associada ao
evento r, onde x um nmero
real (x R) e x [0 , 1]
A Varivel Aleatria X mapeia os
eventos de S em x, assim: X(r) = x
Assim X tem uma distribuio de
probabilidade na reta dos reais
(x R)
Espao Amostral
S
0 1
x
x
r
X(r)
Funo de Distribuio de Probabilidade (FDP):
A FDP de uma varivel aleatria X, tambm conhecida como Funo
de Distribuio Cumulativa : F(x) = P[X x] = Prob[r : X(r) x ]
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Clculo da Probabilidade
Uma varivel aleatria contnua X descrita atravs de sua funo
distribuio de probabilidade F(x) ou sua funo densidade de
probabilidade f(x)
Funo Distribuio de Probabilidade:
Pr[X x] = F(x) , onde: F(-) = 0 e F() = 1
Funo Densidade de Probabilidade:
ento: Sendo: F(x) = f(y) dy
x
-
f(y) dy = 1
+
- dx
xdFxf
)()(
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Processos Estocsticos
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Processo Estocstico
Processo Estocstico: funo ou seqncia aleatria
tempo-dependente
Seja, por exemplo, n(t) a quantidade de pacotes trafegando
em uma rede de computadores no instante t
n(t) uma Varivel Aleatria
n(t) pode ser descrita atravs de uma Funo Distribuio
de Probabilidade
O tempo de espera, w(t), em uma fila tambm uma
Varivel Aleatria
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Processos Contnuos e Discretos
Processo de Estados Discretos Nmero de estados possveis de um sistema uma quantidade finita,
ou contvel. Tambm conhecido como Cadeia Estocstica. Ex.:
quantidade de pessoas numa fila, quantidade de celulares conectados
a uma ERB
Processo de Estados Contnuos Nmero de estados possveis de um sistema uma quantidade infinita,
ou no contvel. Ex.: tempo de conexo de um aparelho telefnico,
tempo de espera numa fila
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Processos de Markov
um Processo Estocstico onde: Os estados futuros do processo so independentes dos estados
passados e dependentes apenas do presente
Para analisar um Processo de Markov no necessrio conhecer toda a trajetria de estados passados, apenas o estado anterior (o sistema no possui memria)
Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907 definiu e analisou esses processos
Um Processo de Markov de estados discretos chamado Cadeia de Markov
Aplicao: modelagem de Sistemas de Filas
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Processos de Nascimento e Morte
So Cadeias de Markov onde as transies de estado so
restritas a estados vizinhos apenas
possvel representar o estado atravs de um nmero
inteiro
Exemplo:
Estado
(pessoas
na fila)
nascimento ou chegada
0
morte ou partida
1 2 n-1 n n+1
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Teoria de Filas
Ferramenta matemtica para tratar de eventos
aleatrios
o estudo da espera em filas
Proporciona uma maneira de definir o
ambiente de um sistema de filas
matematicamente
Permite prever respostas provveis e tempos de
espera
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Teoria de Filas (Objetivo)
Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parmetros, exemplos:
Tempo de espera mdio
Probabilidade de formao de fila
Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema
Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo
Nmero mdio de clientes na fila
Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos
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Anlise de Sistemas de Fila
Os sistemas de filas diferem entre si de
acordo com as hipteses que fazemos a
respeito dos padres de chegada e das taxas
de servio
Na anlise, precisamos adotar hipteses
sobre o comportamento do sistema. Caso
contrrio, no se tem por onde comear
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Hiptese: Sobre o Padro de
Chegada dos Usurios
Chegam a intervalos regulares?
Chegam em grupo?
Chega um de cada vez?
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Caractersticas de um
Sistema de Fila
(Ex.: Usurios de computadores de uso compartilhado)
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Caractersticas de um
Sistema de Fila
1. Processo de Chegada
2. Distribuio de Tempo de Servio
3. Quantidade de Servidores
4. Tamanho do Sistema de Fila
5. Populao de Clientes
6. Disciplina de Atendimento
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1. Processo de Chegada
Se os clientes chegam em instantes t1, t2, ..., tj a varivel randmica j = tj - tj-1 chamada Tempo
Interchegadas
Assume-se que os j formam uma seqncia de variveis aleatrias independentes identicamente
distribudas (v.a. IID)
O processo de chegada mais comum o Processo de Poisson. Isto significa que os Tempos
Interchegadas so exponencialmente distribudos
Outras distribuies podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral
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2. Distribuio de Tempo de
Servio (Processo de Servio) O tempo gasto por cada cliente num computador
chamado Tempo de Servio
aceitvel supor que os Tempos de Servio de cada
cliente sejam variveis aleatrias IID
A distribuio mais utilizada para o Tempo de Servio a
Distribuio Exponencial
Outras distribuies podem ser utilizadas, tais como a
Hiperexponencial, Erlang e Geral
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3. Quantidade de Servidores
Single Server atende a apenas um cliente de cada vez
Multi-Server possui m servidores, podendo atender m clientes
simultaneamente
Infinite Server cada cliente que chega encontra sempre um servidor
disponvel
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3. Quantidade de Servidores
Exemplo:
Uma sala de computadores pode possuir um ou
mais computadores idnticos (servidores) e
todos fazendo parte de um sistema de fila nico.
Se os computadores no forem idnticos, eles
podem ser subdivididos em grupos de mesmo
tipo, com filas separadas para cada um deles.
Nesse caso, cada grupo um sistema de fila.
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4. Tamanho do Sistema
(Capacidade do Sistema)
Capacidade do sistema = capacidade da fila de espera + quantidade de servidores (posies de servio)
A capacidade mxima de clientes no sistema poder ser limitada por questes de espao, custo ou para evitar um tempo de espera muito longo
Na maior parte dos sistemas, a capacidade da fila limitada (finita)
Em sistemas com filas de capacidade infinita, todos os clientes sero atendidos
Em sistemas sem capacidade de espera ou com capacidade limitada, pode ocorrer rejeio de clientes
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5. Populao de Clientes
a quantidade de usurios em potencial que pode, em algum momento, usar o sistema (ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefnica)
Nos sistema reais a populao limitada (finita)
Quando a populao finita, a taxa de chegada depender da populao
Populao Infinita taxa de chegada constante
Populao Finita taxa de chegada varivel
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6. Disciplina de Servio
De uma fila, o mtodo de escolha da seqncia de atendimento dos clientes na fila
A disciplina mais utilizada a FCFS ou FIFO (primeiro a chegar o primeiro a sair da fila)
Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR O atendimento pode ser priorizado em funo de:
Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demorado primeiro
Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maior primeiro, menor primeiro
Maior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensveis primeiro Qualidade de servio (QoS)
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Disciplina de Atendimento
(de servio)
Atendimento baseado em prioridade
Disciplina de
Servio
Descrio
FCFS/FIFO First Come First to be Served
LIFS/LIFO Last In First to be Served
SIRO
RD
GD
Select In Random Order
Distribuio genrica
Ex: algumas centrais telefnicas utilizam SIRO, comutadores de rede
utilizam FIFO
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Classificao de Sistema de Fila
Um sistema de fila classificado por suas caractersticas
Utiliza-se a Notao de Kendall A/ S / m / B / K / DS
Onde: A = Distribuio de tempo interchegada
S = Distribuio de tempo de servio
m = Nmero de canais de servio simultneo (servidores)
B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistema
K = Tamanho da populao
DS = Disciplina de servio
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Classificao de Sistemas de Fila -
Distribuies
As distribuies utilizadas para o tempo interchegada e tempo de servio so simbolizadas por uma letra, conforme a seguir:
M = Exponencial Ek = Erlang, com parmetro K Hk = Hiperexponencial, com parmetro K D = Determinstico G = Distribuio Genrica
A distribuio exponencial chamada memoryless (M)
Uma distribuio determinstica (D) significa tempo de chegada e tempo de servio constante, ou sem varincia
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Classificao de Sistemas de Fila -
Exemplo 1
M/M/3/20/1500/FCFS Tempo interchegada exponencialmente distribudo
Tempo de servio exponencialmente distribudo
Existem 3 servidores
A fila possui um total de 20 posies de buffer. Consistindo em 3 buffers para cada servidor, 17 posies de espera compartilhados entre os tres servidores. Se a quantidade de clientes no sistema for 20, os clientes que chegam so perdidos at que a fila diminua
H uma populao de 1500 clientes que podem ser atendidos
A disciplina de servio FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido)
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Classificao de Sistemas de Fila -
Exemplo 2
M/M/1
Tempo interchegada exponencialmente distribudo ( = processo de chegada do tipo Poisson)
Tempo de servio exponencialmente distribudo
Existe 1 servidor
A fila possui quantidade ilimitada de buffer (default)
A populao de clientes infinita (default)
A disciplina de servio FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) - (default)
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Classificao de Sistema de Fila -
outros exemplos
no utilizados
M/M/1 => M/M/1/ / / FCFS - Desprezar os trs ltimos smbolos quando:
disciplina FCFS, populao infinita e tamanho da fila
infinito
M/M/1/B
M/M/m
M/M/m/B
M/M/m/m
M/M/
M/G/1
M/D/1
M/M/m//k
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Processos de Chegada -
Processo de Poisson
Hipteses
Dois clientes nunca chegam simultaneamente
O 1 cliente chega no instante t0, o 2 no instante t1 e assim por diante ( 0 < t0 < t1 ,, ... , < tn )
Os tempos entre chegadas esto distribudos exponencialmente
A taxa de chegada (1/) tambm ter distribuio exponencial
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Processo de Poisson
Se a taxa de chegada possui distribuio exponencial,
a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T
segundos pode ser modelada pela distribuio de
Poisson:
tc2 tc3
1
2
3
4
tc4 Chegadas
tc1 tempo
Nm
ero
de
Chegadas
T
k ek
TTP
!
)( onde: > 0, k = 0,1,2, ...
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Processo de Poisson
Num sistema com = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrero 3,19959 chegadas aproximadamente. Em mdia: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas
k Pk k.Pk
0 0,04076 0,00000
1 0,13044 0,13044
2 0,20870 0,41740
3 0,22262 0,66785
4 0,17809 0,71237
5 0,11398 0,56990
6 0,06079 0,36473
7 0,02779 0,19452
8 0,01112 0,08893
9 0,00395 0,03557
10 0,00126 0,01265
11 0,00037 0,00405
12 0,00010 0,00118
Soma = 0,99997 3,199590,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13k
PkValor mdio
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Propriedades dos Processos de
Poisson 1
2
3
= i
p1
p2
p3
1 = pi
A juno de fluxos de Poisson resulta num fluxo de Poisson
A partio de um fluxo de Poisson resulta em fluxos de Poisson
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Propriedades dos Processos de
Poisson
Partidas de um sistema de fila M/M/1 um fluxo de Poisson
Partidas de um sistema de fila M/M/m um fluxo de Poisson
>
i >
1
2
3
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Distribuio Exponencial
Um mtodo alternativo para descrever a distribuio de chegadas de clientes atravs do tempo decorrido entre chegadas sucessivas de clientes. A distribuio de probabilidade F(t), em que o tempo interchegadas (ti) menor que t, para a distribuio discreta de Poisson de chegadas, dada por
(Distribuio Exponencial):
P(tempo interchegadas t) = F(t) = 1 et , > 0, t > 0
Graficamente, a distribuio
exponencial, de tempos
interchegadas, mostrada ao
lado
Dado um tempo t no eixo
horizontal, o eixo vertical do
grfico indica a probabilidade
de chegadas com ti < t
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A Distribuio Exponencial
importante no estudo das filas pois o tempo de servio pode ser
modelado por uma distribuio exponencial. Exemplos:
No trfego telefnico, a durao de uma ligao
Numa rede de comutao de pacotes o tempo de transmisso de um
pacote, que proporcional ao seu comprimento
No existe um embasamento matemtico que justifique essa hiptese,
porm, a prtica se aproxima bastante de uma distribuio exponencial
Alm disso, essa hiptese simplifica o tratamento matemtico
Do mesmo modo, a distribuio exponencial tambm pode ser
utilizada com boa aproximao na modelagem do tempo interchegada
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A Distribuio Exponencial
Funo Densidade de Probabilidade: f(t) =
Funo Probabilidade acumulada: F(t) =
Probabilidade
acumulada
Densidade de
probabilidade
0 , se t < 0
et , se t 0
0 , se t < 0
1 et , se t 0
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Propriedades da Distribuio
Exponencial
Mdia: E[X] = X = = 1 /
Varincia: V2[X] = = 1 / 2
Desvio Padro: x = 1/ ( igual a Mdia!!! )
Essa distribuio utilizada para modelar:
O tempo de servio em uma central telefnica, o tempo em que um cliente
fica conectado
Numa rede de comunicao, o tempo de servio o tempo necessrio para
transmisso de um pacote atravs de um link de rede
y . f(y) dy
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y2 . f(y) dy
-
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Aplicao da Distribuio
Exponencial
Grficos do tamanho da fila para diferentes valores de desvio padro
Quando: desvio/valor mdio = 1, temos a Distribuio Exponencial
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Aplicao da Distribuio
Exponencial
Tempo de residncia para diversas relaes de
utilizao () e desvio padro ()
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Notao de Modelos de Fila
= Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadas sucessivas
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Notao de Modelos de Fila
m Quantidade de servidores idnticos.
Taxa mdia de chegada, de clientes (=1/E[]). Em alguns sistemas, poder depender do estado do sistema (quantidade de clientes).
s Tempo de servio (de atendimento) de um cliente.
Taxa mdia de servio por servidor (=1/E[s])). Para m servidores, a taxa mdia de servio m
n Quantidade total de clientes no sistema, tambm chamada tamanho da fila. Inclui os clientes em espera por um servidor e os que esto sendo atendidos.
nq Quantidade de clientes aguardando atendimento. sempre menor que n, pois no inclui os clientes em servio.
ns Quantidade de clientes em servio.
r Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residncia dos clientes dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento).
w Tempo de espera para ser atendido. o tempo decorrido entre a chegada e o incio do atendimento (servio) do cliente.
Todas as variveis, exceto e , so variveis aleatrias.
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Notao de Modelos de Fila
Utilizao do servidor (= / )
B Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer)
Tempo interchegadas (= 1/)
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Estabilidade dos Sistemas de Filas
Condio de Estabilidade: se a quantidade de clientes no sistema aumenta, tendendo a infinito, o sistema dito Instvel. Para haver estabilidade, a taxa mdia de chegada deve ser menor que a taxa mdia de servio ( < m). Esta regra no se aplica para populao finita e buffer finito (podem haver clientes rejeitados) sistema nunca fica instvel
Utilizao de um servidor: = /
< 1, para Sistema de Fila ser Estvel
Populao no Sistema: n = nq + ns E[n] = E[nq]+ E[ns]
Tempo no Sistema: r = w + s E[r] = E[w]+ E[s]
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Equao de Little
Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a:
quantidade mdia = taxa de chegada x tempo mdio
de resposta
Esta relao se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila
Baseia-se numa viso tipo Caixa Preta do Sistema de Fila
Sistema de Fila
(Caixa Preta)
Partidas Chegada
s
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Tempo
Quantidade
Equao de Little - Aplicao
A equao de Little pode ser aplicada a um subsistema ou todo o sistema de Fila.
-
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Equao de Little - Aplicao
Aplicando a equao de Little num subsistema
ou em todo o sistema de Fila:
Na fila de espera: nq = . w
No servidor: ns = . s = /
No sistema inteiro: n = . r
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Equao de Little - Exemplo 1
Se a taxa de chegada numa linha de transmisso,
nq a quantidade mdia de pacotes esperando no
buffer (no sendo transmitidos), e w o tempo
mdio gasto por um pacote no buffer. Ento, pela
equao de Little:
nq = . w
Buffer
(partidas)
(chegadas) Transmissor
(partidas)
Linha de Transmiss
o
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Equao de Little Exemplo 2
Numa sala de espera de um consultrio, h 15 clientes em mdia e taxa de chegada de 1 cliente a cada 30 segundos. Calcule o tempo mdio de espera dos clientes na sala. Os clientes so atendidos na ordem de chegada (FIFO).
Temos que:
nq =15 = 2 clientes/minuto
Aplicando a equao de Little na fila: nq = . w
Tempo de espera na fila: w = 15 / 2 = 7,5 minutos
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O Sistema de Fila M/M/1
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O Sistema de Fila M/M/1
Sistema de fila com um servidor
Exemplo: clientes na fila do caixa eletrnico
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Modelo do Sistema de Fila M/M/1
Simbologia
Modelo
-
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Caractersticas do Sistema de
Fila M/M/1 Processo de chegada tipo Poisson (M)
Tempo de servio - distribuio exponencial (M)
Quantidade de servidores (= 1)
Infinitas posies na fila de espera (clientes no so perdidos)
Disciplina de servio do tipo FIFO
Populao de clientes infinita (taxa de chegada constante)
-
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Sistema de Fila M/M/1 -
Diagrama de Transio de Estados
Estado = quantidade total de clientes no sistema
Para o sistema M/M/1, temos:
n = (Cte), n = 0, 1, 2, .... (taxa de chegadas no sistema)
n = (Cte), n = 1, 2, 3, .... (taxa de partidas do sistema)
Estado: 0
1
0
1
2
1
2
3
2
n1
n
n-1
n
n+1
n
n+1
n+2
n+1
n-1
n-2
-
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Estados do Sistema M/M/1
Distribuio de
Poison na chegada
Tempo de servio exponencial
com mdia 1
Distribuio de
Poison na chegada
Tempo de servio exponencial
com mdia 1
Mudanas de estado
possveis entre os
instantes t e t + t
n
t t + t
n+1
n
n-1
t
1 partida,
0 chegadas
0 partidas, 0 chegadas
ou
1 partida, 1 chegada
0 partidas,
1 chegada
Estado
Tempo
n
t t + t
n+1
n
n-1
tt
1 partida,
0 chegadas
0 partidas, 0 chegadas
ou
1 partida, 1 chegada
0 partidas,
1 chegada
Estado
Tempo
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Estados do Sistema M/M/1
Um sistema de fila M/M/1 ser estudado a seguir visando determinar seu equilbrio, ou seja, quando atinge a condio de regime permanente
Nessas condies, o sistema pode ser identificado atravs de suas propriedades estatsticas (tempo de espera, tempo de residncia, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc)
Esse estudo poder ser estendido para outros sistemas de fila (M/M/N, M/M/N/N, etc)
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Clculo do Estado do Sistema
nn1 n+1
.t
.t
.t
.t
nn1 n+1
.t
.t
.t
.t
As 4 condies para haver n clientes no sistema em t + t: 1. Haviam n+1 pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e
nenhuma chegada
2. Haviam n-1 pacote no sistema em t, no intervalo t houve 1 chegada e
nenhuma partida
3. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t no houve partida e
nem chegada
4. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e 1
chegada
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Transies de Estado (resumo)
Estado Inicial
(Instante t)
Eventos Durante
t
Estado Final
(t+t)
n+1 clientes 1 partida + 0
chegada n
n-1 clientes 0 partida + 1
chegada n
n clientes 0 partida + 0
chegada n
n clientes 1 partida + 1
chegada n
-
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Clculo do Estado do Sistema
Relembrando que:
Onde T = t , sendo t pequeno, logo:
P( k = 1 e com T = t ) = t + 0(t )
P( k = 0 e com T = t ) = 1 t + 0(t )
P( k = 1 e com T = t ) = t + 0(t )
P( k = 0 e com T = t ) = 1 t + 0(t )
Ento, para o processo de chegada:
P(1 partida em t ) = t + 0(t )
P(0 partida em t ) = 1 t + 0(t )
P(1 partida em t ) = t + 0(t )
P(0 partida em t ) = 1 t + 0(t )
O tempo de servio obedece a distribuio exponencial, assim as partidas
tambm seguem um processo de Poisson, ento:
(T)k e- t
1!P(k=1) =
(T)k e- t
1!P(k=1) =
( t)k e- t
1!P(k=1, T=t) =
( t)k e- t
1!P(k=1, T=t) =
= .t [ 1 - .t + 2!
(.t)2+ .... ] = .t [ 1 - .t +
2!
(.t)2
2!
(.t)2+ .... ]
0(t ) / .t 0(t ) / .t
(1 chegada)
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Clculo do Estado do Sistema
Expresso
A
= pn(t).[1 .t 0(t)].[1 .t 0(t)]pn(t+t)
+ pn(t).[.t + 0(t)].[.t + 0(t)]
+ pn+1(t).[1 .t 0(t)].[.t + 0(t)]
+ pn-1(t).[.t + 0(t)].[1 .t 0(t)]
t t + t
n+1
n
n-1
t
1 partida,
0 chegadas0 partidas, 0 chegadas
ou
1 partida, 1 chegada
0 partidas,
1 chegada
Estado
Tempot t + t
n+1
n
n-1
tt
1 partida,
0 chegadas0 partidas, 0 chegadas
ou
1 partida, 1 chegada
0 partidas,
1 chegada
Estado
Tempo
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Clculo do Estado do Sistema
Expresso B
= p 0 (t).[1 . t 0( t)].[1 . t 0( t)] p 0 (t+ t)
+ p 0 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]
p 0 (t t) p 0 (t) t
Lim t 0
p 0 (t t) p 0 (t) t
Lim t 0 = . p 0 (t) + . p 1 (t)
Da expresso B:
d p 0 (t)
d t
d p 0 (t)
d t = . p 0 (t) + . p 1 (t)
d p 0 (t)
d t
d p 0 (t)
d t = 0
Em regime permanente:
. p 0 (t) + . p 1 (t) = 0
Quando n=0:
+ p 1 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]
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Clculo do Estado do Sistema
Utilizao:
Para n 1
=
=
pn(t t) pn(t)
tLimt0
pn(t t) pn(t)
tLimt0
Ignorando os termos em t2
e de ordem superior
d pn(t)
dt= .pn(t) .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)
d pn(t)
dt
d pn(t)
dt= .pn(t) .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)Teremos:
Logo:
p1
p0=
p1
p0=
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Clculo do Estado do Sistema
d p n (t)
d t = 0
d p n (t)
d t
d p n (t)
d t = 0 Em regime permanente:
( + ). p n = . p n - 1 + . p n+1 n 1
. p 1 = . p 0 n = 0
=
=
n (1 - )
1 - n+1 p n =
n (1 - )
1 - n+1
n (1 - )
1 - n+1 p n =
Para a fila M/M/1:
Para: > 1 N Para n 1:
p n = n (1 - )
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Clculo do Estado do Sistema
Populao mdia no sistema em regime permanente:
E[n] =
n = 1
n = 1
n.pn = n.n .(1- )
n = 1
n.n .(1- )
n = 1
n = 1
=
1
1
Tempo de residncia no sistema, utilizando a Lei de Little:
E[r] = E[n] / = = (1 )
/
(1 )
/
.(1 )
1
.(1 )
1
Tempo na fila de espera:
E[w] = E[r] E[s] = =
.(1 )
1
.(1 )
11
1
1
( )
( )
( )
1
( )
1=
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Sistema de Fila M/M/1 -
Grfico de Chegadas e Partidas
tc2 tc3
1
2
3
4
5
tc4 tc5 tc6 Chegadas
Partidas tp1 tp2 tp3 tp4
tc1
6
tempo
r1
r
2
r
3
r4
C(t)
P(t)
n
Nm
ero
de
Chegadas/P
artid
as
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Sistema de Fila M/M/1 -
Quantidade de Clientes no Sistema
tc2 tc3
1
2
3
4
5
tc4 tc5 tc6 Chegadas
Partidas tp1 tp2 tp3 tp4
tc1
6
tempo
Clie
nte
s n
o S
iste
ma
Estado Mdio do Sistema (n)
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Sistema de Fila M/M/1 -
Tempo de Resposta do Sistema
Tempo de Resposta Mdio (r)
1 2 3 4 5
Tem
po d
e R
esposta
6 Nmero da Chegada
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Sistema de Fila M/M/1 -
Clculo do Estado do Sistema
1. Parmetros: = Taxa de chegada (por unidade de tempo)
= Taxa de servio (por unidade de tempo)
2. Utilizao do servidor (=intensidade de trfego): /
3. Condio de Estabilidade: 1
4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p0 = 1
5. Probabilidade de n clientes no sistema:
pn = P[N = n] = (1 )n , n = 0, 1, 2, ....
6. Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema:
pn+ = P[R > n] = n
7. Quantidade mdia de clientes no sistema: n = /(1 )
8. Quantidade mdia de clientes na fila: nq = 2/(1 )
9. Tempo de residncia (tempo de resposta) mdio: r = 1 / [ (1 )]
10. Probabilidade acumulada do tempo de residncia:
P[ r t ]= 1 et(1)
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Sistema de Fila M/M/1 -
Clculo do Estado do Sistema
11. q-Percentil do tempo de residncia: m(q) = r ln [ 100 / (100 q) ]
m(q): o tempo mximo de residncia para q (%) de clientes
12. Tempo mdio de espera na fila: w = nq / = (2 / ) / (1 - )
P(r < t) a probabilidade do
tempo de residncia ser menor
do que t
Do grfico, para t = 1.2 rmdio ,
ento P(t) = 0.7, a
probabilidade de um cliente ter
seu tempo de residncia menor
que 1.2 rmdio
Sendo rmdio o tempo mdio de
residncia = 1/(1)
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Sistema de Fila M/M/1 -
Exemplo 1 Um servidor de rede esta associado a 100 computadores atravs de uma
rede (LAN). O servidor mantm um banco de dados para consultas dos
computadores. O tempo mdio de resposta de uma consulta no servidor
de 0,6 segundos e o desvio do tempo igual a mdia. No horrio de pico, a
taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas/minuto. Responda as
seguintes questes:
(1) Qual o tempo de resposta mdio?
(2) Se o tempo de resposta mximo aceitvel for 1,5 s (para 90% das
consultas), qual o percentual de aumento de trfego?
(3) Com um acrscimo de 20% de trfego, qual o aumento no tempo de
resposta?
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Sistema de Fila M/M/1 -
Exemplo 1
Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Os
atrasos na rede (tempo de propagao) e as colises) so ignorados.
(1) Tempo de Resposta Mdio:
Taxa de chegada: = 20 / 60 = 1/3 clientes/segundo
Taxa de atendimento: = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes/segundo
Intensidade de trfego (=utilizao do servidor): / = 1/3 x 6/10
= 0,2
Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [(1 )] 0,6 / (1 0,2) = 0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor)
c
s
... c c c
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Sistema de Fila M/M/1 -
Exemplo 1 (2) Aumento de trfego:
Acrscimo no Trfego quando r = 1,5 s para 90 % das requisies:
1,5 = r x ln[100/(100 - 90)] ento: r = 0,65
Como r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 ) 0,65
Logo: 0,077
Assim, a intensidade de trfego () deve cair de 0,2 para 0,077 para
que o tempo de residncia (r) caia de 0,75 para 0,65
(3) Acrscimo no tempo de resposta:
A intensidade de trfego (utilizao) foi aumentada em 20%, ento:
= 0,2 + 0,2 = 0,4
Logo: r = (1/) / (1 ) (1/1,667) / (1 0,4) = 1,00 s
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Sistema de Fila M/M/m
-
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Sistema de Fila M/M/m
Sistema com m servidores iguais
Cada servidor possui uma taxa de servio igual a
Sistema sem perdas - se todos os servidores estiverem ocupados, novos clientes aguardam na fila de espera
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Sistema de Fila M/M/m -
Diagrama de Transio de Estados
Estado: 0
1
2.
m1
m.
m
m.
m+1
(m1).
m.
n. , n = 1, 2, 3, ..., m-1
m., n = m, m+1, m+2, m+3, ..., n =
n = , n = 0, 1, 2, ...,
Para o sistema M/M/m:
-
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Sistema de Fila M/M/m -
Clculo do Estado do Sistema 1. Parmetros: = Taxa de chegada
= Taxa de servio
m = Quantidade de servidores
)1(
..
qPmn
5. Tempo de residncia mdio:
3. Condio de Estabilidade: 1
2. Utilizao (intensidade de trfego) mdia de um servidor: (/m) /
6. Quantidade mdia de clientes no sistema:
4. Intensidade de trfego do sistema (dos m servidores): /
)1(1
1
m
Pr
q
-
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Sistema de Fila M/M/m -
Clculo do Estado do Sistema
sm
Pssrw
q
)1(1
7. Tempo de espera mdio, sendo:
Am
sP
m
sPw
qq
)1( Logo:
-
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Sistema de Fila M/M/m -
Clculo do Estado do Sistema
Pq = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorre
formao de fila). Onde: (.m)m P0
m! (1) Pq =
P0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por:
(.m)m
m! (1) P0 =
n = 0
m - 1 (.m)n
n! +
1
A equao anterior conhecida como equao de Erlang-C. Tendo sido
tabulada e bastante utilizada em sistemas de telefonia.
-
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Exemplo: Sistema M/M/2
1/
(12) r = 1. Tempo de residncia mdio:
2. Quantidade mdia de clientes no sistema: 2
12 n =
3. Probabilidade de formao de fila: 22
1 Pq =
-
Rev
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Sistema de Fila M/M/
-
Rev
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Sistema de Fila M/M/
Sistema com quantidade infinita de servidores
Todo o cliente que chega ao sistema encontra um servidor livre e imediatamente atendido
Taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial
No existe fila de espera, o comprimento da fila e o tempo de espera so nulos
um sistema que introduz apenas um atraso equivalente ao tempo de servio
Utiliza as equaes do sistema M/M/m na situao limite, quando m =
-
Rev
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Sistema de Fila M/M/
Probabilidade de sistema vazio:
Probabilidade de n clientes no sistema:
Quantidade de clientes no sistema:
Tempo mdio de residncia:
ep0
!n
ep
n
n
Para n > 0
n
1r
-
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Sistema de Fila M/M/m/B
-
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Sistema de Fila M/M/m/B
Distribuio do tempo entre chegadas: Exponencial
Distribuio do tempo de servio: Exponencial
Quantidade de Servidor(es): m
Capacidade do Sistema: B
Trata-se de um sistema com m servidores e B buffers, onde B m (cada servidor possui uma posio de buffer)
Se as B posies estiverem ocupadas, os clientes subseqentes so perdidos
-
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Sistema de Fila M/M/m/B -
Diagrama de Transio de Estados
Estado = quantidade de clientes no sistema
Para o sistema M/M/m/B , onde B m
n = , n = 0, 1, 2, ..., B-1 e n = 0, para n B
n = n. , n = 1, 2, 3, ..., m e n
= m., para n > B
Estado: 0
1
0
1
2
1
m1
m
m-1
m
m+1
m
m+1
m-1
m-2
m+2
m+1
b
k-1
B
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 87
Sistema de Fila M/M/m/B -
Diagrama de Transio de Estados
Estado = quantidade de clientes no sistema
Sistema M/M/m/B , onde: B(buffers) m(servers)
Estado: 0
1
2.
m1
m.
m
m.
m+1
(m1).
m.
m.
B
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 88
Sistema de Fila M/M/m/B
Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado:
( )( )( )
( )1
1
1
1
0!1!
11
m
n
nmmB
n
m
m
mp
( )0
!p
n
mp
n
n
0!
pm
mp
nm
n
Probabilidade de haverem n clientes no sistema:
Para n < m:
Para m n B:
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 89
Sistema de Fila M/M/m/B
Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado:
( )( )( )
( )1
1
1
1
0!1!
11
m
n
nmmB
n
m
m
mp
( )0
!p
n
mp
n
n
0!
pm
mp
nm
n
Probabilidade de haverem n clientes no sistema:
Para n < m:
Para m n B:
-
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Sistema de Fila M/M/m/B
Quantidade de clientes na fila:
Tempo de espera na fila:
B
mn
nq pmnn1
)(
'
qnw
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 91
Casos Particulares
do Sistema M/M/m/B
O sistema M/M/m/B pode originar dois tipos de sistemas de fila:
Sistema M/M/m/m, onde m=B, que aplicvel a sistemas de capacidade m e quantidade de
servidores m, sem espao de espera. Cada um dos
m servidores comporta um cliente
Sistema M/M/1/B, onde m=1, que aplicvel a sistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou seja, B-
1 posies de espera
-
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Sistema de Fila M/M/m/m
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Sistema de Fila M/M/m/m
Distribuio do tempo entre chegadas: Exponencial
Distribuio do tempo de servio: Exponencial
Quantidade de Servidor(es): m
Capacidade do Sistema: m
Trata-se de um sistema com m servidores e de capacidade m (1 posio por servidor), sem espao de
espera
Se os m servidores estiverem ocupados, os clientes subseqentes so perdidos (ocorre bloqueio do
sistema)
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 94
Sistema de Fila M/M/m/m
1. Sistema M/M/m/m, sem espao de espera
2. Nmero de posies em servio =
nmero de servidores (no h fila de espera)
3. Chamadas que chegam:
4. Chamadas bloqueadas: .Pb
5. Chamadas no bloqueadas: .(1Pb)
6. Pb = probabilidade dos m servidores
(linhas) estarem bloqueados (ocupadas)
1
2
3
m .Pb (Bloqueio)
-
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Sistema de Fila M/M/m/m
( )1
0
0!
m
n
n
n
mp
( )0
!p
n
mp
n
n
( )
( )
m
n
n
m
b
n
m
m
m
p
0 !
!
Probabilidade de nenhum cliente no sistema:
Probabilidade de n clientes no sistema:
Probabilidade de bloqueio do sistema P[n=m]:
-
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Sistema de Fila M/M/m/m
m
n
nnpn1
sn
r '
Nmero mdio de clientes no sistema:
Taxa de chegada efetiva (clientes no rejeitados):
Tempo de residncia:
( )bm
n
n
m
n
n ppp
1'1
0
1
0
-
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Sistema de Fila M/M/m/m
Quando n=m, todas as linhas esto ocupadas, as prximas requisies sero bloqueadas
A probabilidade de bloqueio ser:
Pb = m
i = 0
(m)i / i!
(m)m / m! onde: = /
A equao anterior tambm conhecida como distribuio Erlang-B de bloqueio, distribuio
de Erlang ou equao de perdas de Erlang do tipo B
-
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Sistema de Fila M/M/1/B
-
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Sistema de Fila M/M/1/B
Sistema com 1 servidor e B-1 posies de espera
Caso particular do sistema M/M/m/B, onde m=1
Fila de espera possui tamanho finito, ento podem haver clientes perdidos, ou rejeitados (bloqueio do sistema)
Como todo o sistema com capacidade de fila limitada, sempre estvel (
-
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Sistema de Fila M/M/1/B
Probabilidade de sistema vazio:
Probabilidade de n clientes no sistema:
Probabilidade de bloqueio:
para 1 10 1
1
Bp
1
10
Bp para = 1
n
B
n
n pp
10 1
1
para 0 n B
] BB
B
b pBPp
10 1
1
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Sistema de Fila M/M/1/B
Nmero de clientes no sistema:
1
1
1
)1(
1
B
BBn
-
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Sistema de Fila M/M/N/N/K
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 103
Sistema de Fila M/M/N/N/K Sistema representado esquematicamente conforme a
figura:
1
2
K
1
2
N
T n.
Sistema com N servidores, populao K finita (onde: K N). Sem espao de espera
A taxa de servio possui distribuio exponencial Em dado instante, existiro n clientes (onde: 0 n N)
e cada um ser atendido por um nico servidor
Se n > N, pode haver rejeio de clientes (bloqueio)
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 104
Sistema de Fila M/M/N/N/K
Pode ser utilizado para modelar:
Uma central telefnica com K assinantes entradas e N troncos de sada
Uma ERB com K usurios e N freqncias de RF (canais)
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 105
Sistema de Fila M/G/1
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 106
Sistema de Fila M/G/1
Sistema de fila onde a taxa de servio atende a distribuio Geral
Pode ser utilizado, por exemplo, para modelar o trfego em:
Sistemas com prioridade no preemptivos
Sistemas onde o tempo de servio est dividido em classes conhecidas
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 107
Sistema de Fila M/G/1
Quantidade de clientes no sistema:
Tempo de residncia no sistema:
Tempo de espera na fila:
Um caso particular do sistema M/G/1 o M/D/1 (sistema determinstico), onde: =0
( )
221
21
1
1
nr
( )
221
21
1
n
srw
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Noes de Engenharia
de Trfego
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 109
Comutao de Circuitos
Numa central de comutao de circuitos podem haver M circuitos de entrada e N circuitos de sada
Cada circuito pode ser um canal do tipo full-duplex
Cada circuito de entrada estar conectado a uma sada durante um certo tempo (tempo de conexo)
Se M>N, uma entrada poder no ter uma sada disponvel, num determinado instante de tempo, se os N circuitos de sada estiverem ocupados, ocorrendo um bloqueio
1
2
M
1
2
N
Central de
Comutao
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 110
Uma central telefnica tpica utiliza uma central de comutao de circuitos
Possui M assinantes e N linhas tronco (trunk), onde: M >> N
No h espera por linha livre, ento a central pode ser modelada por um sistema de fila do tipo M/M/m/m, onde m = N
A taxa de chegada de chamadas para as N linhas tronco : N.
A intensidade de trfego total, oferecida para as N linhas tronco, dada pela letra A
A probabilidade de perdas (ligaes rejeitadas) calculada utilizando a equao de perdas do tipo B de Erlang
Central Telefnica
Pb = N
i = 0
Ai / i!
AN / N!
Onde: A = (N.) / = N.
1
2
M
1
2
N
Central
Telefnica
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 111
A equao de perdas Erlang-B pode ser usada para dimensionar sistemas telefnicos. Fornecendo uma estimativa da probabilidade de ocupao (bloqueio) dos troncos (linhas), a partir da demanda (trfego) e da quantidade de linhas (troncos).
Erlang uma unidade de trfego telefnico, definida como a quantidade de tempo, em horas (ou minutos), gasta para atender todas as ligaes que entram num sistema durante uma hora (ou um minuto) de funcionamento.
EXEMPLO: Numa central telefnica com 100 linhas, qual a demanda produzida
se cada linha recebe, em mdia, 2 chamadas / hora e essas tm durao mdia de 3 minutos? Soluo: chegam central 100 x 2 = 200 chamadas por hora, que ocupam 200 x 3 = 600 minutos = 10 horas. Conseqentemente, o trfego de 10 horas por hora, ou seja: 10 erlang.
Trfego Telefnico
-
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A central telefnica possui N linhas, que podem operar simultaneamente
Cada linha possui uma ocupao mdia de s unidades de tempo (segundos, minutos, ... ), que a durao mdia de uma chamada
A demanda da central telefnica de N. chamadas por unidade de tempo
Cada linha possui uma intensidade de trfego igual a , onde: Durao mdia de uma ligao: s Taxa de servio por linha: = 1/s Intensidade mdia de trfego por linha: = /
A intensidade de trfego total simbolizada pela letra A e o trfego total (de todas as linhas) oferecido central ser:
A = N. = N./
Trfego Telefnico
-
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Quando aumenta-se a quantidade de linhas da central, o trfego por linha diminui
Resultando na diminuio da probabilidade de bloqueio
Quando a quantidade de linhas maior que a intensidade de trfego (N > A), resulta < 1, ocorrendo uma quede brusca na probabilidade de bloqueio
O grfico ao lado mostra que Pb cai bruscamente quando A/N = < 1
Trfego Telefnico
0 2 4 6 8 10 12 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
A/N
Pb
= P
rob
ab
ilid
ad
e d
e B
loq
ueio
-
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Dimensionamento de Centrais
Telefnicas Dada uma certa intensidade de trfego (em
Erlangs)
Avalia-se a probabilidade de bloqueio (ou de perda) para diferentes quantidades de troncos da central
Ver grfico Probabilidade de Bloqueio x Quantidade de Troncos (linhas)
O grfico obtido a partir da equao de perdas de Erlang-B
-
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Probabilidade de Bloqueio
x Quantidade de Linhas
0 5 10 15 20 25 30 35 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
A=5 10 15
30 25
20
Quantidade de Linhas (N)
Pro
ba
bil
idad
e d
e B
loq
ueio
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 116
Exemplo - 1
0 5 10 15 20 25 30 35 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
A=10
Quantidade de Linhas (N)
Pro
ba
bil
idad
e d
e B
loq
ueio
Dada uma intensidade de trfego mxima de 10 erlangs, avalia-se
a quantidade de troncos
necessria para uma
probabilidade de bloqueio
No grfico, verifica-se a quantidade de linhas necessrias
para uma probabilidade de
bloqueio (ou perda) esperada
Para o clculo tambm se utiliza: calculadora programvel, tabela
de Erlang, programa de
microcomputador
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 117
Tabela de Erlang do tipo B
Exemplo: Sistema do tipo M/M/N/N com A=2.158 Erlangs, N=7 linhas. Probabilidade
de bloqueio: Pb=0,005 (B= 0,5%)
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 118
Exemplo - 2
Determinar a quantidade de linhas de sada de uma central onde:
Probabilidade de perdas: 0,5 %
Quantidade de chamadas (m.): 31 por minuto
Durao mdia das chamadas: 3 minutos
-
Rev
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119
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 119
Exemplo - 2
Trfego oferecido: A (m./) = 31x3 = 93 erlangs
Achar N, tal que: Pb (A,N) < 0,005
Calculando iterativamente: Pb(93,115)=0,0034
Pb(93,114)=0,0042
Pb(93,113)=0,0051
N=114
A central deve possuir 114 troncos de sada
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 120
Verificar o Dimensionamento
de uma Central Telefnica
Avaliar o desempenho de uma central telefnica com N troncos
Um parmetro de desempenho de uma central telefnica a probabilidade de
bloqueio para diversas intensidades de
trfego (A)
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 121
0 10 20 30 40 50 60 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Intensidade de Trfego (A - Erlangs)
Pro
ba
bil
idad
e d
e B
loq
ueio
N=5
10
15
20 25
30
Probabilidade de Bloqueio
x Trfego
-
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DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 122
Avaliao de uma Central
Dada uma central com N=100 linhas
s = 5 minutos / ligao
Pb < 0,4 %
Determinar Mxima intensidade de trfego admissvel
A mxima taxa de chegada de ligaes para no ocorrer bloqueio
-
Rev
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123
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 123
Avaliao de uma Central
Trfego oferecido: A = ?
Probabilidade de perda: Pb(A,100) < 0,004
Calculando iterativamente:
Pb(79,100) = 0,003074
Pb(80,100) = 0,003992
Pb(81,100) = 0,00511
Amax = 80 erlangs
Sendo: A = m. = m./ = m..s
Logo: max = 80/(100x5) = 0,16 chamadas/min.
-
Rev
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124
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 124
Anlise de um Concentrador
10 terminais esto conectados a um concentrador de terminais
Cada terminal gera um pacote a cada 8 segundos Pacotes tm 960 bits de comprimento em mdia Linha de sada com capacidade de 2400 b/s Tamanho do pacote e tempo entre chegadas de
pacotes com distribuio exponencial
Determinar: Ocupao mdia do buffer Atraso mdio no sistema Tempo mdio de espera na fila
-
Rev
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125
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 125
Sistema com Espera
Quando as requisies podem esperar uma linha livre, haver fila de espera.
Se a capacidade da fila for muito grande, no haver rejeio de clientes.
O modelo M/M/m (sem perdas) pode ser utilizado
Central PABX com espera m = 8 linhas de sada.
A = 4,5 Erlangs
Calcular a probabilidade de espera
-
Rev
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126
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 126
Sistema com Espera
Os sistemas com espera e capacidade infinita (muito elevada) so modelados
pelo sistema M/M/m
Sendo a intensidade de trfego A=(m.)/
A probabilidade de espera (fila) ser dada pela equao de Erlang-C:
Am P0 m! (1A/m)
Pq = Am
m! (1) P0 =
n = 0
m - 1 An
n! +
1
Onde:
-
Rev
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127
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 127
Sistema com Espera PBX
Capacidade 40 ramais
Cada ramal realiza diariamente, em mdia, 54 ligaes
A durao de cada ligao , em mdia, 3 minutos
Qual o nmero de troncos de sada necessrios para uma probabilidade 5% de espera?
Qual o tempo de espera?
-
Rev
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- 2013
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128
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 128
Sistemas com Prioridade
Em sistemas com prioridade, os clientes so atendidos pelo servidor conforme a prioridade
Num sistema com prioridade, cada classe de prioridade alocada em uma fila. Existiro tantas filas quanto as classes pr-definidas.
Normalmente, o servidor alocado fila de menor prioridade, passando a atender outra fila ao chegar um cliente de maior prioridade
-
Rev
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129
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 129
QoS Qualidade de Servio
A qualidade de servio necessria para adequar o desempenho da rede ao atraso admissvel para uma determinada aplicao
Um dos problemas do trfego de redes a latncia, que decorrente da espera em filas de switches (FIFOs), do desempenho aleatrio do trfego da rede, etc.
Aplicaes de multimdia requerem baixa latncia, da ordem de dezenas de milissegundos
So definidas classes para os fluxos de dados, ao passarem pelos switches, os fluxos de maior prioridade so enviados primeiro num segmento de rede. Para isso, so criadas filas de sada por classe de trfego, para cada segmento de rede.
-
Rev
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130
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 130
Arquitetura de um Switch
Ethernet Filas de
sada
-
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131
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 131
Tipo de Servio e Prioridade
- Exemplos
Prioridade do Quadro
(VLAN)
Prioridade do
Datagrama IP
-
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132
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 132
QoS - Classes de Prioridade
(Conforme a IEEE 802.1D)
-
Rev
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Comparao dos Sistemas STDM
x TDM Determinsticos e no
Determinsticos
-
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Comparao dos Sistemas
TDM e STDM Sero avaliados os sistemas de transmisso do tipo
TDM (Time Division Multiplexing) e STDM (Statistical Time Division Multiplexing) no determinsticos ou com algum grau de determinismo
O determinismo geralmente utilizado em sistemas onde o Jitter elevado um fator restritivo no projeto do sistema de transmisso, por exemplo, em sistemas de voz ou vdeo em tempo real
Na transmisso de dados, onde os atrasos no so crticos, os sistemas no determinsticos so mais eficientes
O determinismo ser considerado em dois aspectos, na taxa de chegada e na taxa de servio da informao a ser transmitida
Para simplificar a anlise, sero avaliados sistemas com apenas dois fluxos de informao
-
Rev
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135
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Sistemas TDM e STDM no
determinsticos
-
Rev
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136
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 136
Sistema TDM
O sistema TDM reserva o uso do canal de maneira determinstica. Ou seja, para cada fluxo de
informao h uma frao exata da capacidade do
canal
Porm, o TDM deixa de ser eficiente quando aloca um canal a um fluxo que no possui informao para
transmitir (a informao no chegou ao MUX,
multiplexador) ou no chegou totalmente durante a
reserva do canal)
Os pacotes de informao de cada fluxo possuem taxas de chegadas e de atendimento com distribuio
exponencial
-
Rev
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Sistema TDM
A capacidade disponvel no canal () dividida entre os 2 fluxos de informao no domnio do tempo
Teremos ento, dois canais dedicados com capacidade (/2) cada um
Se cada fluxo possui taxa de chegada /2
Como as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, cada fluxo um sistema tipo M/M/1 com tempo de resposta:
)1(
22
22
11
s
r
-
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Sistema STDM
Diferente do TDM, que reserva parte do canal, haja ou no informao disponvel
O sistema STDM reserva o uso do canal de maneira no determinstica, alocando toda a
capacidade do canal ao fluxo que estiver
pronto para ser enviado
Considerando que os pacotes de informao da cada fluxo cheguem com uma taxa
distribuio exponencial
-
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139
DETEL Depto. de Engenharia Eletrnica e Telecomunicaes 139
Sistema STDM
A capacidade disponvel no canal () alocada totalmente, sob demanda, a cada fluxo
Teremos ento um canal de alta capacidade () alocado a cada fluxo
Se todos os fluxos associados possuem taxa de chegada
Como as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, o canal todo um sistema tipo M/M/1 com tempo de resposta:
)1(
12
sr
-
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Comparao TDM x STDM
Comparando os tempos de residncia:
Indicando que o STDM 2 vezes mais eficiente
O sistema STDM reserva o uso do canal de maneira no determinstica, alocando toda a capacidade do canal ao fluxo que estiver pronto para ser enviado
A comparao s valida se os pacotes de informao da cada fluxo chegarem com uma taxa distribuio exponencial e as taxa de servios forem tambm exponenciais
Esta situao ocorre em sistemas orientados a pacotes (transmisso de dados), onde o tempo de atraso varivel (Jitter) no crtico
21 .2 rr
-
Rev
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Sistemas TDM e STDM com
Determinismo
-
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142
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Sistemas com Determinismo
Os sistemas de transmisso analisados at aqui assumiram modelos do tipo M/M/1, sem nenhum determinismo
No caso de haver determinismo, ou desvio padro nulo, os seguintes sistemas so possveis:
M/D/1
D/M/1
D/D/1
-
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Sistema TDM tipo M/D/1 Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de
chegada possui distribuio exponencial
A capacidade disponvel no canal () dividida entre os 2 fluxos de informao no domnio do tempo
Teremos ento, dois canais dedicados com capacidade (/2) cada um
Se cada fluxo possui taxa de chegada /2
Como apenas as taxas de chegada possuem distribuio exponencial, cada fluxo um sistema tipo
M/D/1 com tempo de resposta:
)1(
)2(
)1(2
2
21
sr
-
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Sistema STDM tipo M/D/1
Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de chegada possui distribuio exponencial
A capacidade disponvel no canal () alocada totalmente, sob demanda, a cada fluxo
Teremos ento um canal de alta capacidade () alocado a cada fluxo
Se todos os fluxos associados possuem taxa de chegada
Como apenas as taxas de chegada e de servio possuem distribuio exponencial, o canal todo um sistema tipo M/D/1 com tempo de resposta:
)1(
)2/)(2(
)1(2
22
sr
-
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Sistemas Totalmente
Determinsticos - D/D/1
Nesse sistema, o tempo de servio fixo e a taxa de chegada fixa
Como um sistema estvel, logo: / fixo e menor do que 1 Ento: <
um sistema sem espera e sem perdas Como no h espera, o tempo de residncia
o prprio tempo de servio: sr 2
-
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146
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Resumo - Tempos de Residncia
Sistema TDM Sistema STDM
No
determinsticos
(M/M/1)
Determinsticos
(M/D/1)
)1(
2
s
)1(
s
)1(
)2(
s
)1(
)2/)(2(
s
-
Rev
.: O
ut
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Tempo de Residncia
com Baixo Trfego
Sistema TDM Sistema STDM
No
determinsticos
(M/M/1)
Determinsticos
(M/D/1)
s2 s
quase nulo
s2 s
Melhor Pior
-
Rev
.: O
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Tempo de Residncia
com Trfego Intenso
Sistema TDM Sistema STDM
No
determinsticos
(M/M/1)
Determinsticos
(M/D/1)
)1(
2
s
)1(
s
)1(
s
)1(
)2/(
s
quase unitrio
Melhor Pior
-
Rev
.: O
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Comparao Grfica
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
TDM
(D/D/1)
STDM
(M/D/1)
TDM
(M/D/1)
STDM
(M/M/1)
TDM
(M/M/1)
Intensidade de Trfego
Te
mp
o d
e R
esp
osta
-
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Concluso
A incluso do determinismo no tempo de servio permitiu quadruplicar o desempenho em relao ao sistema TDM no determinstico
O sistema de multiplexao estatstica teve sempre melhor desempenho que o no estatstico
Para baixas intensidades de trfego, o sistema determinstico D/D/1 menos eficiente que o M/D/1
O sistema D/D/1 possui desempenho constante, sendo o mais eficiente para intensidades de trfego elevadas (> 67%)
-
Rev
.: O
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Redes de Filas
-
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Redes de Filas
Rede em srie com re-alimentao
Rede Paralela
A existncia de re-alimentao anula a caracterstica
de distribuio de Poisson na rede.
-
Rev
.: O
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Redes de Filas -
Propriedades Importantes
-
Rev
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Teorema de Jackson
utilizado para analisar redes de Filas. O Teorema de Jackson estabelece o seguinte:
1. Uma rede de filas possui m ns, cada n fornece
um servio independente com distribuio
exponencial
2. Todos os itens que entram na rede de filas (de
fora) possuem distribuio de Poisson
3. Qualquer item que sai de um n, vai
imediatamente para o prximo n, com uma
probabilidade k, ou sai do sistema
-
Rev
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Redes de Filas
Teorema de Jackson
N 1
N 5
s1
s2
d4
d2
N 4
N 2
-
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Redes de Filas -
Modelo de Rede de Fila
Terminal
de Origem
Terminal
de Origem
Servidor
Servidor
1
5
2
3
4
Rede de Comutao
de Pacotes (roteadores)
-
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Redes de Filas -
Modelo de Rede de Fila
1
3
5
s1
s2
d4
d2
4
2
-
Rev
.: O
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Redes de Filas -
Modelo de Rede de Fila
1
link 1
link 2
link 3
sistema M/M/1
p1
p1.
p2.
p3.
p2
p3
Probabilidades de Roteamento: pi = 1
Balano de Fluxo: ki pi = 0
Anlise do N (Roteador) 1:
Tempo de Residncia (pacote percorre
M ns roteadores):
Entrada Link 1 :
E[r] = 1
i i
M
i=1
= M
i=1
1 / i
1 i
E[r] = 1
1 p1
-
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Redes de Filas -
Exemplo: Rede de 5 Ns
T1,3 (Tempo de resposta entre ns 1 e 3, rota 1-2-3) = ?
T1,4 (Tempo de resposta entre ns 1 e 4, rota 1-5-4) = ?
T1,4 (Tempo de resposta entre ns 1 e 4, rota 1-5-2-4) = ?
1
5
2
3
4 1/2
1/4
3/4
5 = 2
1 = 2
2 = 2
1/2 2/3
1/3
?
?
Probabilidade
de Roteamento
Capacidade de Transmisso de cada link = 3 pacotes/s
-
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Redes de Filas -
Exemplo: Rede de 5 Ns
1
5
2
3
4 1/2
(7/4)
1/4
(1/2)
(3/2) 3/4
5 = 2
1 = 2
2 = 2
1/2 2/3
1/3
(17/12)
(17/6)
17/12
55/12
Valores associados a cada link Fora do parnteses: probabilidades
Entre parnteses: fluxo de informao
-
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Redes de Filas -
Exemplo: Rede de 5 Ns
Tempos de Resposta:
T1,4 (rota 1-5-4) = 1
3 3/2
1
3 7/4
+ = 1,467 s
T1,3 (rota 1-2-3) = 1
3 1/2
1
3 17/12
+ = 1,031 s
T1,4 (rota 1-5-2-4) = 1
3 3/2
1
3 7/4 +
1
3 17/6
+ = 7,467 s
-
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Calculando o Estado da Rede
Populao mdia no sistema em regime permanente:
=
E[n] =
n = 1
n.pn = n.n .(1- )
n = 1
=
1
Onde:
Tempo de residncia no sistema, utilizando a Equao de Little:
E[r] = E[n] / = = (1 )
/
.(1 )
1
-
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Redes Abertas e Fechadas
Uma rede aberta possui chegadas e sadas para o meio externo
Uma rede fechada no possui chegadas ou partidas para o meio externo
-
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Referncias Bibliogrficas
[1] Bertsekas, D., Gallager, R. - Data Networks, Prentice Hall, 1992.
[2] Giozza, W.F. (et al.) - Redes Locais de Computadores: Protocolos de Alto Nvel e Avaliao de Desempenho, McGraw-Hill / Embratel, 1986.
[3] Jain, Raj - The Art of Computer Systems Performance Analysis, John Wiley & Sons, 1991.
[4] Kleinrock, Leonard - Queueing Systems - Volume I, John Wiley & Sons, 1975.
[5] Rappaport, Theodore S. Wireless Communications, Prentice Hall, 2nd. Edition
[6] Schwartz, Mischa - Telecommunication Networks, Addison-Wesley, 1988.
[7] Stallings, William - Data and Computer Communications, Maxwell Macmillan, 1991.
[8] Stallings, William - Queueing Analysis, Apostila, 2000 (http://www.WilliamStallings.com/DCC6e.html).
[9] Teoria do Trfego Telefnico, SIEMENS A.G., 1975
[10] http://athena.mat.ufrgs.br/~portos/erlang.html