Teoria das Eleições

1 Teoria matematica das eleicoes

1.1 Sistemas maioritarios

Nos sistemas maioritarios o candidato mais votado ganha tudo e os outroscandidatos nao ganham nada.Os sistemas maioritarios mais utilizados sao:

• o sistema maioritario de uma volta (ou sistema maioritario simples);

• o sistema maioritario de duas voltas;

• o sistema maioritario de duas ou mais voltas.

No sistema maioritario de uma volta ganha o candidato mais votado, inde-pendentemente de ter uma maioria absoluta ou uma maioria relativa.No sistema maioritario de duas voltas ganha o candidato que obtiver maioriaabsoluta na primeira volta, caso contrario serao admitidos a segunda voltaos dois candidatos mais votados e ganhara o que obtiver mais votos.

Observacao 1 Diz-se que um candidato obteve maioria absoluta numa votacaose obteve mais de 50% dos votos validamente expressos. Caso contrario, amaioria sera apenas relativa. Votos validamente expressos sao todos os votosnulos e os votos em branco.

O sistema maioritario de duas ou mais voltas e uma variante do sistemamaioritario de duas voltas em que sao admitidos na segunda votacao naoapenas os dois candidatos mais votados, mas todos aqueles que atinjam umadeterminada percentagem de votos, repetindo-se o processo ate se obter ovencedor com maioria absoluta. O sistema maioritario de duas voltas e usadoem Portugal para a eleicao do Presidente da Republica.

Exemplo 1.1 Apos o 25 de Abril de 1974, quais foram os presidentes daRepublica eleitos em Portugal?Resolucao:Depois do 25 de Abril de 1974, foram presidentes da Republica, eleitos porsufragio universal:Ramalho Eanes (2 mandatos), Mario Soares(2 mandatos), Jorge Sampaio(2mandatos), Cavaco Silva (iniciou o 1o mandato em 2006).

Paulo Ferreira Sector Terciario do Porto 1

1.2 Sistemas de eleicao de representacao proporcional

Estes sistemas pretendem assegurar a representacao das diferentes correntesde opiniao de modo que estas correspondam ao seu peso na sociedade, ga-rantido a expressao de minorias a partir de determinada representatividade,ou seja, sao sistemas usados para distribuir ”proporcionalmente”um certonumero de mandatos por diversas listas.Os mais conhecidos sao os metodos de:Hondt, Saint-Lague, Hamilton, Jefferson, Adams, Webster e Hill- Hunting-ton.

1.3 Metodo de Hondt

(Usado em Portugal nas eleicoes nacionais e regionais, eleicoes autarquicas epara o Parlamento Europeu.)Algoritmo1o passo - considere-se p o numero de pessoas a eleger;2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, . . . , p;4o passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-seo(s) que tiver(em) menor numero de votos.

Observacao 2 Entre as caracterısticas do metodo de Hondt importa assina-lar o encorajamento a formacao de coligacoes, uma vez que o agrupamentode partidos leva a conseguir um numero maior de mandatos do que se con-corressem sozinhos.

Exemplo 1.2 (Eleicao de 10 representantes ( Metodo de Hondt)) Umaassociacao elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano concorre-ram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279 votos.Usando o metodo de Hondt, como se distribuem os 10 representantes pelastres listas?Resolucao:Constroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divisao do numerode votos pelos valores 1, 2, . . . , 10.


A B C1 465,0 265,0 279,02 232,5 132,5 139,53 155,0 88,3 93,04 116,3 66,3 69,85 93,0 53,0 55,86 77,5 44,2 46,57 66,4 37,9 39,98 58,1 33,1 34,99 51,7 29,4 31,010 46,5 26,5 27,9

Escolhem-se os 10 maiores quocientes, assinalados a cor diferente na tabelaResposta:Os representantes seriam cinco da lista A, dois da lista B e tres dalista C.

1.3.1 Metodo de Saint-Lague

Este metodo e semelhante ao metodo de Hondt, diferindo apenas nos diviso-res. Enquanto no metodo de Hondt se divide por 1, 2, 3, 4, . . . (sucessao dosnumeros naturais), no metodo de Saint- Lague divide-se por 1, 3, 5, 7, . . . (sucessao dos numeros ımpares).Algoritmo1o passo - considere-se p o numero de pessoas a eleger;2o passo - Apuram-se os votos obtidos por cada lista;3o passo - Dividem-se os votos de cada lista sucessivamente por 1, 3, 5, . . . , 2p−1 (sucessao dos numeros ımpares);4o passo - Ordenam-se os quocientes obtidos por ordem decrescente;5o passo - Escolhem-se as pessoas seleccionando os p maiores quocientes;6o Passo - Em caso de empate para a escolha do(s) ultimo(s), escolhe-seo(s) que tiver(em) menor numero de votos.

Observacao 3 Ao contrario do metodo de Hondt, o metodo de Saint-Laguefavorece os partidos mais pequenos, pois ao aumentar o valor do divisor fazcom que os quocientes sejam mais pequenos e, assim, da oportunidade a quealguns dos partidos menos votados consigam eleger um mandato.

Exemplo 1.3 (Eleicao de 10 representantes ( Metodo de Saint-Lague))Uma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con-correram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279


votos. Usando o metodo de Saint-Lague, como se distribuem os 10 represen-tantes pelas tres listas?Resolucao:Constroi-se uma tabela com os quocientes resultantes da divisao do numerode votos pelos valores 1, 3, 5, . . . , 19.

A B C1 465,0 265,0 279,03 155,0 88,3 93,05 93,0 53,0 55,87 66,4 37,9 39,99 51,7 29,4 31,011 42,3 24,1 25,413 35,8 20,4 21,515 31,0 17,7 18,617 27,4 15,6 16,419 24,5 13,9 14,7

Observacao: Os 10 maiores quocientes estao assinalados na tabela.Resposta: Os representantes eleitos seriam quatro da lista A, tres da lista Be tres da lista C.

1.3.2 Divisor standard. Quota standard. Metodo Hamilton

Nos metodos que vamos estudar a seguir surgem os conceitos de divisorstandard ou divisor padrao e quota.

Divisor standard =Numero total de eleitores

Numero de lugares a distribuir

Quota do cırculo ou partido A =Numero de eleitores do cırculo ou partido A

Divisor standard

A quota pode ser maxima ( quota arredondada por excesso) ou mınima (quota arredondada por defeito). Um metodo de divisao proporcional a quecada cırculo ou partido faz corresponder sempre um numero de lugares iguala quota maxima ou a quota mınima diz-se que esta de acordo com a regrada quota. Se pelo contrario, a um cırculo ou partido for dado um numero delugares diferente da quota maxima ou mınima, diz-se que o metodo viola aregra da quota.Metodo de HamiltonAlgoritmo1o passo: Calcula-se o divisor standard, que e igual ao quociente entre o


numero de eleitores e o numero de lugares a distribuir.2opasso: Calcula-se a quota standard de cada cırculo eleitoral, ou seja, oquociente das votacoes obtidas por cırculo pelo divisor standard.3o passo: Atribui-se a cada cırculo um numero de lugares igual a quotamınima (correspondente a parte inteira da quota).4o passo: Atribuem-se os lugares que sobram aos cırculos com quota commaior parte decimal.

Exemplo 1.4 Uma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes.Neste ano concorreram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente465, 265 e 279 votos. Usando o metodo de Hamilton, como se distribuem os10 representantes pelas tres listas?Resolucao:Calcula-se o total de votos validos e divide-se pelo numero de representantesa eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009

10= 100, 9(465+265+279 =

1009).Dividem-se as votacoes obtidas ppor cada lista pelo divisor standard para ob-ter a quota de cada lista.Atribui-se a cada lista um numero de mandatos igual a parte inteira do valorobtido anteriormente e ficam conhecidos oito representantes.Atribuem-se s ultimos lugares as listas B e C que tem maior parte decimal.

Lista Votos Quota standard Mandatos(parte inteira) Mandatos (parte decimal) TotalA 465 4,609(465:100,9) 4 0 4B 265 2,626 (265:100,9) 2 1 3C 279 2,765 (279:100,9) 2 1 3

Total 1009 - 8 2 10

Resposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, tres para a lista Be tres para a lista C.

1.3.3 Metodo de Jefferson

O metodo de Jefferson e semelhante ao metodo de Hamilton, divergindoapenas na forma como se distribui ps lugares em falta.Metodo de JeffersonAlgoritmo1opasso: Calcular o divisor standard.2opasso:Calcular a quota standard de cada cırculo eleitoral e atribuir a cadacırculo a quota mınima ( parte inteira de quota standard)


3opasso: Se a soma das quotas mınimas for igual ao numero de lugares aeleger, a eleicao esta concluıda; caso contrario, procura-se, por tentativa eerro, um divisor modificado, de modo que a soma das partes inteiras dasquotas modificadas seja igual ao numero de lugares a serem distribuıdos.Como se procura o divisor modificado?O divisor modificado e sempre menor que o divisor standard. Com umafolha de calculo e facil de calcular o divisor modificado. Por tentativa e errotambem facilmente se encontra o divisor modificado, podendo ser mais oumenos moroso este processo.

Exemplo 1.5 ma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes.Neste ano concorreram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente465, 265 e 279 votos. Usando o metodo de Jefferson, como se distribuem os10 representantes pelas tres listas?Resolucao:Calcula-se o total de votos validos e divide-se pelo numero de representantesa eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009

10= 100, 9(465+265+279 =

1009).Dividem-se as votacoes obtidas por cada lista pelo divisor standard.Atribui-se a cada lista um numero de mandatos igual a parte inteira do valorobtido.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 4,609 4B 265 2,626 2C 279 2,765 2

Total 1009 - 8Como a soma das quotas mınimas e 8 e nao 10 como pretendido, passamosao passo seguinte:Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas mınimasmodificadas seja 10.Tentemos o divisor modificado 90.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 5,167 5B 265 2,944 2C 279 3,100 3

Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o numero de representantes igual a quota mınima mo-dificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das tres listas.Resposta: Os representantes seriam cinco para a lista A, dois para a lista Be tres para a lista C.


1.3.4 Metodo de Adams

Este metodo e identico ao metodo de Jefferson, excepto no calculo da quotamodificada. O divisor standard devera ser modificado de modo que o numerode lugares a atribuir coincida com a soma das quotas maximas, ou seja, asquotas modificadas arredondadas por excesso para o numero inteiro maisproximo. Com uma nova folha de calculo, calculamos facilmente o divisormodificado. Caso nao tenhamos acesso a folha de calculo, podemos, por ten-tativa e erro, diminuir a quota para encontrarmos um divisor que satisfaca onosso problema.Nota: O divisor modificado e sempre maior que o divisor standard.Metodo de AdamsAlgoritmo1o passo: Calcular o divisor standard.2opasso: Calcular a quota standard de cada cırculo eleitoral e atribuir acada cırculo a quota maxima.3opasso: Se a soma das quotas maximas for igual ao numero de lugares, aeleicao esta concluıda; caso contrario, procura-se, por tentativa e erro, umdivisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas porexcesso ( para o numero inteiro mais proximo) somem o numero exacto delugares a serem distribuıdos.

Exemplo 1.6 Uma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes.Neste ano concorreram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente465, 265 e 279 votos. Usando o metodo de Adams, como se distribuem os 10representantes pelas tres listas?Resolucao:Calcula-se o total de votos validos e divide-se pelo numero de representantesa eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009

10= 100, 9(465+265+279 =

1009).Dividem-se as votacoes obtidas por cada lista pelo divisor standard.Atribui-se a cada lista um numero de mandatos igual a quota arredondadapor excesso para o numero inteiro mais proximo.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 4,609 5B 265 2,626 3C 279 2,765 3

Total 1009 - 11Como a soma das quotas maximas e 11 e nao 10 como pretendido, passamosao passo seguinte:Procurar um divisor modificado de modo que a soma das quotas mınimas


modificadas seja 10.Tentemos o divisor modificado 120.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 3,875 4B 265 2,208 3C 279 2,325 3

Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o numero de representantes igual a quota maximamodificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das tres listas.Resposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, tres para a lista Be tres para a lista C.

1.3.5 Metodo de Webster

O metodo de Webster e identico ao metodo de Adams,mas as quotas modifi-cadas sao arredondadas pela regra dos arrendondamentos para o inteiro maisproximo. Neste metodo pode demorar-se mais tempo a encontrar a quotamodificada, visto que o divisor modificado pode ser maior ou menor que odivisor standard.Metodo de WebsterAlgoritmo1opasso: Calcular o divisor standard.2opasso: Calcular a quota standard de cada cırculo eleitoral e atribuir acada cırculo a quota arredondada pela regra dos arredondamentos.3opasso: Se a soma das quotas atribuıdas for igual ao numero de mandatos,a eleicao esta concluıda; caso contrario, procura-se, por tentativa e erro, umdivisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas pelaregra dos arredondamentos somem o numero de lugares a serem distribuıdos.

Exemplo 1.7 (Eleicao de 10 representantes (metodo de Webster))Uma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con-correram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279votos. Usando o metodo de Webster, como se distribuem os 10 representan-tes pelas tres listas?Resolucao:Calcula-se o total de votos validos e divide-se pelo numero de representantesa eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009

10= 100, 9(465+265+279 =

1009).Dividem-se as votacoes obtidas por cada lista pelo divisor standard.Atribui-se a cada lista um numero de mandatos igual a quota arredondada


pela regra dos arredondamentos para o numero inteiro mais proximo.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 4,609 5B 265 2,626 3C 279 2,765 3

Total 1009 - 11Como a soma das quotas arredondadas e 11 e nao 10 como pretendido, ne-cessitamos de procurar o divisor modificadoTentemos o divisor modificado 106.Lista Numero de votos Quota standard Quota mınimaA 465 4,387 4B 265 2,5 3C 279 2,632 3

Total 1009 - 10Atribui-se a cada lista o numero de representantes igual a quota arredondadamodificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das tres listas.Resposta: Os representantes seriam quatro para a lista A, tres para a lista Be tres para a lista C.

1.3.6 Metodo de Hill- Huntington

E identico ao metodo de Webster, embora as quotas modificadas sejam ar-redondadas de modo diferente. Neste metodo a quota e arredondada se-gundo a regra de Hill- Huntington, ou seja, se a quota e um numero in-teiro, atribui-se ao interveniente essa quota. Caso contrario, determina-seH =

√L× (L+ 1), sendo L a parte inteira da quota standard.

Por exemplo:

• Quota standard= 12, 0196; L = 12 e L+ 1 = 13H =

√12× 13 = 12, 489...

• Quota standard= 3, 7963; L = 3 e L+ 1 = 4H =

√3× 4 = 3, 464...

Metodo de Hill- HuntingtonAlgoritmo1opasso:Calcula-se o divisor standard.2opasso: Calcula-se quota standard a distribuir e cada interveniente.3opasso: Aplica-se a regra de Hill- Huntington:

a) Se a quota e um numero inteiro, atribui-se ao interveniente essa quota.


b) Se a quota e um numero nao inteiro, calcula-se H =√L× (L+ 1), sendo

L o maior inteiro contido na quota, ou seja, a quota mınima.

c) Se H e menor que a quota, atribuir-se a quota maxima; se H e maior quea quota, atribui-se a quota mınima.

c) Se o divisor standard nao permitir atribuir o numero de mandatos pre-vistos pelo processo, determina-se, por tentativa e erro, um divisormodificado ate que seja possıvel atribuir o numero exacto de manda-tos.

Exemplo 1.8 (Eleicao de 10 representantes (metodo de Hill- Huntington))Uma associacao elege, a cada dois anos, 10 representantes. Neste ano con-correram tres listas, A, B e C que obtiveram respectivamente 465, 265 e 279votos. Usando o metodo de Hill- Huntington, como se distribuem os 10 re-presentantes pelas tres listas?Resolucao:Calcula-se o total de votos validos e divide-se pelo numero de representantesa eleger, obtendo-se assim o divisor standard: 1009

10= 100, 9(465+265+279 =

1009).Dividem-se as votacoes obtidas por cada lista pelo divisor standard.Atribui-se a cada lista um numero de mandatos igual a quota arredondadapela regra de Hill- Huntington.Lista Numero de votos Quota standard H =

√L× (L+ 1) Quota arredondada

A 465 4,609 4,472 5B 265 2,626 2,449 3C 279 2,765 2,449 3

Total 1009 - - 11Como a soma das quotas arredondadas e 11 e nao 10 como pretendido, ne-cessitamos de procurar o divisor modificado.Tentemos o divisor modificado 106.Lista Numero de votos Quota standard H =

√L× (L+ 1) Quota arredondada

A 465 4,609 4,472 5B 265 2,626 2,449 3C 279 2,765 2,449 3

Total 1009 - - 11Atribui-se a cada lista o numero de representantes igual a quota arredondadamodificada obtida e ficam conhecidos os 10 representantes das tres listas.Resposta: Os representantessriam quatro para a lista A, tres para a lista Be tres para a lista C.


1.3.7 Paradoxos do metodo de Hamilton

O metodo de Hamilton era usado na Camara dos Representantes nos EUA,em 1882, quando apareceu uma situacao curiosa. Para modificar o numerode mandatos da Camara tendo em vista futuras eleicoes, fez-se um estudo,simulando diferentes valores para o numero de membros desde 270 a 350membros. Nesse estudo, observou-se que o estado de Alabama tinha direito a8 representantes se o numero de membros da Camara fosse 299, mas diminuıapara 7 representantes se o numero de membros da Camara fosse 300. OCongresso decidiu, entao, que a Camara devia ter 325 membros, ja que comeste valor parecia nao haver problemas. Esta situacao denomina-se Paradoxode Alabama e e comum dizer-se que o metodo de Hamilton nao e monotono,uma vez que se se aumentar o numero de mandatos a repartir, mantendo omesmo numero de elementos na populacao, supreendentemente, pode haverestados que vejam diminuıdo o seu numero de representantes.Paradoxo de AlabamaUm incremento no numero total de lugares a serem distribuıdos obriga a queum estado perca um lugar.Explicacao deste paradoxo:

• aumentando o numero de lugares a ser partilhado, a quota da cadaEstado sobe;

• pode mudar a parte decimal de cada uma;

• os lugares extra a serem ganhos irao ser distribuıdos consoante as novascasas decimais

Exemplo 1.9 (Paradoxo de Alabama) Consideremos um conselho comtres freguesias: A, B e C. A populacao e de 2000 habitantes e ha 20 lugarespara distribuir. Divisor standard=2000

20= 100.

Freguesias Populacao Quota Standard Quota mınima MandatosA 240 2,4 2 2 + 1 = 3B 930 9,3 9 9C 830 8,3 8 8

Total 2000 19 20Nas eleicoes seguintes foram atribuıdos 21 mandatos. Divisor standard=200020

= 95, 24(2c.d.)

Freguesias Populacao Quota Quota mınima MandatosA 240 2,520 2 2B 930 9,765 9 9 + 1 = 10C 830 8,715 8 8 + 1 = 9

Total 2000 19 21


Verifica-se que com o aumento de mandatos diminui o numero de mandatosda freguesia A.

Embora fosse o Paradoxo de Alabama a descredibilizar o metodo de Hamil-ton, mais tarde outros paradoxos viriam a ser descobertos: O paradoxo daPopulacao e o Paradoxo do Novo Estado.Paradoxo da PopulacaoUm aumento da populacao num Estado obriga-o a perder um lugar.Este paradoxo foi descoberto em 1900, quando se mostrou que um Estadopodia perder um lugar na Camara dos Representantes devido a um aumentoda sua populacao.

Exemplo 1.10 Considere a seguinte situacao:Ha 2000 habitantes e 20 lugares para atribuir a 4 freguesias: A, B, C e D.Divisor standard=2000

20= 100

Freguesias Populacao Quota Quota mınima Parte decimal Lugares extra Divisao finalA 110 1,1 1 0,1 1B 340 3,4 3 0,4 3C 300 3,0 3 0,0 3D 1250 12,5 12 0,5 1 13

Total 2000 19 1 20

Alguns anos mais tarde a populacao aumentou de 2000 para 2008 habitantes.Divisor standard=2008

20= 100, 4

Freguesias Populacao Quota Quota mınima Parte decimal Lugares extra Divisao finalA 110 1,096 1 0,096 0 1B 348 3,466 3 0,466 1 4C 299 2,978 2 0,978 1 3D 1251 12,460 12 0,460 0 12

Total 2008 18 2 20

Como podemos verificar, a freguesia D aumentou a sua populacao e diminuia sua quota de 13 para 12.

Paradoxo do Novo EstadoQuando um novo Estado, com direito a um determinado numero de lugaresna Camara dos Representantes (baseado na populacao), adere ao Congresso,depois de recalculada a distribuicao, o numero de lugares por Estado podeser recalculado.


O Paradoxo do Novo Estado foi descoberto em 1907, quando Oklahoma setornou um Estado. Com a entrada de um novo Estado, era esperado mantero numero de lugares ocupados pelos outros estados. No entanto, a partilhafoi recalculada, Maine ganhou um lugar e Nova Iorque perdeu um lugar. Paramelhor entendermos o Paradoxo do Novo Estado, consideremos o exemploque se segue.

Exemplo 1.11 (Distribuicao de computadores) Num determinado agru-pamento de escolas, existem 10 computadores para serem distribuıdos porduas escolas, A e B, com, respectivamente, 148 e 856 alunos, usando ometodo de Hamilton.Alunos:1004Divisor standard=1004

10= 100, 4

Escola Alunos Quota Standard Quota mınima Parte decimal Distribuicao finalA 148 1,474 1 0,442 1B 856 8,526 8 0,526 8+1=9

Total 1004 9 10Suponhamos que nesse mesmo agrupamento de escolas abre uma nova EscolaC, com 330 alunos com direito a 3 computadores.Recalculando a partilha:Alunos:1334Divisor Standard=1334

13= 102, 62

Escola Alunos Quota standard Quota mınima Parte decimal Distribuicao finalA 148 1,442 1 0,442 1 + 1 = 2B 856 8,341 8 0,341 8C 330 3,216 3 0,216 3

Total 1334 12 13Verificamos que a escola B perde um computador para a escola A.

1.4 Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais

1.4.1 Metodo de Borda

Nos sistemas eleitorais posicionais ou prefeenciais cada eleitor pode votarem mais do que um elemento de acordo com as suas preferencias. No finalresulta um e um so vencedor.Metodo de BordaAlgoritmo1o passo: Considere-se p o numero de pessoas que podem ser eleitas.2o passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos acada um conforme a sua ordem de preferencia, p− 1 pontos para a segunda


preferencia e assim sucessivamente, ate que atribui um ponto a ultima pre-ferencia.3o passo: Os candidatos sao ordenados pela soma dos pontos obtidos eganha quem obtiver mais pontos.

Exemplo 1.12 (Eleicao do presidente) A associacao NANA resolveu fa-zer eleicoes para eleger o novo presidente. Concorreu o Sr. Ribeiro, o Sr.Silva e o Sr. Teixeira. Os boletins de voto foram elaborados e votaram 53membros com as seguintes ordens de preferencia:

Associacao NANARibeiro 1Silva 2Teixeira 3Vote por ordem de preferencia20 boletins



Usando o sistema maioritario simples, quem foi o vencedor?

Usando o metodo de Borda, quem foi o vencedor?

Resolucao:

Pelo sistema maioritario simples, o Sr. Ribeiro ganhou as eleicoes vistoque foi votado em primeiro lugar por 20 membros, enquanto que o Sr.Teixeira foi por 16 e o Sr. Silva por 17.

Vamos atribuir 3 pontos por cada primeira preferencia obtida, 2 pontos porcada segunda preferencia e 1 ponto por cada terceira preferencia. Te-mos: Sr Ribeiro 20× 3 + 16× 1 + 17× 1 = 93Sr Silva 20× 2 + 16× 2 + 17× 3 = 123Sr Teixeira 20× 1 + 16× 3 + 17× 2 = 102Resposta: A preferencia foi claramente para o Sr. Silva e, curiosa-mente, o Sr. Ribeiro ficou em ultimo lugar.

1.4.2 Metodo de Condorcet ou de eleicao por confronto directo

O metodo de Condorcet e um sistema eleitoral posicional. Cada eleitor podevotar em mais do que um candidato de acordo com a sua preferencia. Nofinal pode nao existir um vencedor, pois pode haver empate.Metodo de Condorcet


Algoritmo1o passo: Considere-se p o numero de pessoas que podem ser eleitas.2o passo: Cada eleitor vota em todos os candidatos, atribuindo pontos acada um conforme a sua ordem de preferencia, ou seja, p pontos para primeirapreferencia, p− 1 pontos para a segunda preferencia e assim sucessivamente,ate que atribui um ponto a ultima prferecia.3o passo: Os candidatos sao comparados dois a dois e o vencedor e aqueleque venceu mais confrontos directos.

Nota 1 Da-se o nome de vencedor ou perdedor de Condorcet a quem ganhaou perde todos os confrontos directos.

Exemplo 1.13 (Eleicao da nova associacao (Metodo de Condorcet))A Escola Secundaria do Rio Tejo resolveu fazer eleicoes para eleger a novaassociacao de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram450 alunos com as seguintes ordens de preferencia:

80votos

D

C

B

A

30votos

B

C

D

A

40votos

D

A

C

B

130votos

B

D

A

C

170votos

C

A

B

D

Usando o metodo de Condorcet, qual e a lista vencedora?Resolucao:

• Para eleger o vencedor pelo metodo de Condorcet devem-se consideraros resultados dos seguintes confrontos: A vs. B; A vs. C; A vs. D; Bvs. D; e C vs. D. (Nota: vs.=versus)

• Entao temos:A vs. B: A = 80+ 30+ 130 = 240 e B = 40+ 170 = 210, A ganha a BA vs. C: A = 80+ 30+ 170 = 280 e B = 40+ 130 = 170, A ganha a CA vs. D: A = 80 + 30 + 40 + 130 = 280 e D = 170, A ganha a DB vs. C: B = 80+ 40+ 170 = 290 e C = 30+ 130 = 160, B ganha a CB vs. D: B = 80 + 40 = 120 e D = 30 + 130 + 170, D ganha a B


C vs D: C = 80 + 40 + 130 = 250 e D = 30 + 170 = 200, C ganha a DReposta: A lista vencedora e a A.

Nota 2 A votacao no metodo de Condorcet e identica a do metodo de Borda,mudando no entanto a contagem de votos. Nessa contagem, os candidatossao comparados dois a dois e o vencedor e escolhido como o que venceu maisconfrontos.

1.4.3 Metodo de eliminacao de run-off dos dois candidatos maisvotados

O metodo de eliminacao de run-off aponta duas modalidades, metodo de run-off dos dois candidatos ou o metodo de run-off sequencial. Em qualquer dosmetodos cada eleitor pode votar em mais do que um candidato, de acordocom as suas preferencias. No final existe um vencedor ou uma lista de ven-cedores.Metodo de run-off dos dois candidatos mais votadosAlgoritmo1o passo: Ganha o candidato com a maioria absoluta na primeira pre-ferencia; caso contrario, eliminam-se os candidatos, com excepcao dos doismais votados na primeira preferencia.2o passo: De seguida, nos boletins dos que votaram nos candidatos queforam eliminados procuram-se as segundas preferencias e os votos dos candi-datos que restaram.3o passo: O vencedor e o que obtiver mais votos.

Exemplo 1.14 (Eleicao da nova associacao (Metodo de eliminacao de run-off))A Escola Secundaria do Rio Tejo resolveu fazer eleicoes para eleger a novaassociacao de estudantes. Concorreram quatro listas: A, B, C e D. Votaram450 alunos com as seguintes ordens de preferencia:

80votos

D

C

B

A

30votos

B

C

D

A

40votos

D

A

C

B

130votos

B

D

A

C

170votos

C

A

B

D

Usando o metodo de run-off, qual e alista vencedora?


Resolucao

• Nenhuma lista obteve maioria absoluta, na primeira sequencia.

• Para eleger o vencedor pelo metodo de run-off temos de escolher os doiscandidatos mais votados na primeira preferencia, neste caso as listas C(130 votos) e D (170 votos), e eliminamos os candidatos menos votadosna primeira preferencia, as listas (110 votos) e B (40 votos).

Vamos ver as segundas preferencias nos boletins dos que votaram nas listaseliminadas.

• No primeiro caso, os 80 votos da lista A vao para a lista B, mas comoesta lista ja tinha sido eliminada estes mesmos votos revertem para alista C.

• No segundo caso, os votos da lista A passam para a lista D.

• No terceiro e ultimo caso, os 40 votos dalista B passam para a lista C.

• Assim, a lista C fica com 130 + 40 + 80 = 250 votos e a lista D ficacom 170 + 30 = 200 votos.

Resposta: A lista vencedora e a C.

1.4.4 Metodo de run-off sequencial

1o passo: Cada eleitor vota num candidato, mas ordena os restantes porordem decrescente de preferencia no mesmo boletim de voto.2o passo: Se um candidato obtem a maioria absoluta com as primeiras pre-ferencias e eleito.3o passo: Se nenhum candidato obtem a maioria absoluta, elimina-se o can-didato menos votado.4o passo: Nos boletins dos que votaram no candidato menos votado ( oeliminado) procuram-se as segunda preferencia.5o passo: Faz-se a contagem de votos dessa segunda preferencia.6o passo: Juntam-se os votos da segunda preferencia aos votos que os can-didatos nao eliminados ja tinham.7o passo: O processo repete-se ate se encontrar um candidato com maioriaabsoluta.


Exemplo 1.15 (Eleicoes na Escola) Na Escola Secundaria de Guimaraesfoi aberto um concurso para eleger o aluno que melhor representou a escolaem 2008-2009. Foram seleccionados quatro alunos para a finalıssima que se-ria decidida atraves da votacao dos professores e funcionarios da escola nodiada gala de finalistas.Os resultados obtidos foram os seguintes:

33votos

D

C

B

A

45votos

A

D

C

B

70votos

C

B

A

D

85votos

A

B

D

C

Usando o metodo de run-off, qual e o aluno escolhido?Resolucao:Nenhum aluno obteve maioria absoluta nas primeiras preferencias, ou seja,mais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras preferencias,ou seja, mais de 116 votos. O aluno com menos votos nas primeiras pre-ferencias e o A, logo e eliminado. Obtem-se a seguinte tabela:

1.o B B D C2.o C C B D3.o D D C B

N.o de votos 33 45 70 85Nenhum dos candidatos obteve maioria absoluta nas primeiras preferencias.Elimina-se o aluno D, o menos votado. Obtem-se a seguinte tabela:

1.o B B B C2.o C C C B

N.o de votos 33 45 70 85Reposta:O aluno B foi o escolhido.

1.5 Teorema de Arrow. Consideracoes gerais

Dos varios metodos de contangem analisados interessa saber qual o maisjusto e que deveria, portanto, ser usado. Kenneth Arrow, matematico e eco-nomista, recebeu o Premio Nobel da Economia em 1972 devido ao trabalhode investigacao que fez sobre a procura de um sistema de votacao perfeito.Arrow enumero as seguintes propriedades para uma eleicao justa:


• Nao-ditadura: a preferencia de um eleitor nao se pode sobrepor apreferencia da sociedade.

• Soberania individual: cada eleitor pode ordenar livremente os can-didatos, desde que o faca transitivamente.

• Unanimidade: se todos os eleitores preferem candidato A ao candi-dato B, o candidato A vence o candidato B.

• Criterio da independencia das alternativas irrelevantes: o re-sultado da hierarquizacao colectiva de dois candidatos depende apenasdos candidatos em questao. Ou seja, se a sociedade prefere o candidatoA ao B e o candidato B ao C, entao tem de preferir o candidato A ao C,independentemente de o candidato B retirar ou nao a sua candidatura.

• Classificacao unica de grupo: o metodo de produzir a classificacaode grupo deve originar um unico resultado, sempre que e aplicado aomesmo conjunto de preferencias. A classificacao de grupo deve sertransitiva.

Arrow demonstrou que o unico sistema eleitoral livre de paradoxos e a dita-dura.

Teorema 1.1 (Teorema da impossibilidade de Arrow) Para eleicoes en-volvendo mais do que dois candidatos e matematicamente impossıvel encon-trar um metodo democratico e justo para determinar o vencedor.

Donald Saari, matematico na Northwest University, demonstrou que as hipotesesdo teorema de Arrow permitem que os eleitores sejam irracionais, daı os para-doxos. Ora, adoptando uma hipotese semelhante a de Arrow mas que excluaa partida esta possibilidade, o resultado demonstrado por Saari e novamentesupreendente: o unico processo democratico que assegura uma eleicao justae sem paradoxos e a velha contagem de Borda!Mas a questao que se podera colocar e a da existencia ou nao de um sistemainequivocamente justo em todas as circunstancias, incluindo os tres parado-xos que afectam o metodo de Hamilton. E, para esta questao, infelizmente,nao e possıvel encontrar uma resposta positiva como foi demonstrado atravesdo teorema que os matematicos Balinski e H. P. Young a semelhanca do Te-orema da Impossibilidade de Arrow, desenvolveram. No essencial,perante aimpossibilidade de estabelecer regras de contagem e distribuicao de mandatosde uma forma matematicamente exacta, a procura de solucoes mais equita-tivas nesta materia tera d passar tambem por decisoes de caracter polıtico ede debate entre os diferentes protagonistas do sistema democratico.


Exercıcios resolvidos

1. Eleicao para o delegado de turmaNa eleicao para o delegado de turma do 10o E foram obtidos os seguin-tes resultados:

Nomes No de votosAdriana 4Hugo 5

Ana Miguel 10Leandro 1Nulos 2Brancos 4Total 26

1.1 Qual a percentagem de votos de cada aluno? Apresente o reultadoaproximado as unidades.

1.2 Quem ganha pelo sistema maioritario de uma volta?

1.3 Quantos votos o delegado de turma teria de obter para ganhar aprimeira volta no sistema maioritario de duas voltas

2. Um voto faz a diferenca (metodo de Hondt)Um clube de futebol regional realizou eleicoes para eleger os seus 8 re-presentantes que sao apurados segundo o metodo de Hondt. Apresentam-se quatro listas de candidatos e os votos validos foram os seguintes:Lista A 2412 votosLista B 1809 votosLista C 1205 votosLista D 906 votos

2.1 Quantos representantes elegeu cada lista? (Apresente os quocien-tes arredondados as decimas.)

2.2 A lista C exigiu uma recontagem dos votos tendo chegado a con-clusao que de facto tinha um voto a mais que os inicialmenteatribuıdos, ou seja, ficou com 1206 votos e as restantes listas como mesmo numero de votos. Este facto alterou alguma coisa naescolha dos representantes.

3. Metodos diferentes de eleicao conduzem aos mesmos resultados?Os alunos do 9o ano vao organizar uma festa de finalistas na escola. Na


assembleia de alunos foram a votacao tres propostas para o estilo demusica a ser mais utilizado na festa: musica popular(P); musica rock(R) e musica hip hop (H). Os resultados foram os seguintes:

4. Uma escola recebeu 124 calculadoras graficas para serem usadas pelosseus alunos: 148 do secundario e 856 do 3o ciclo.

4.1 Usando o metodo de Jefferson, indique como sera feita a distri-buicao.

4.2 Como na escola existem cursos de Educacao/Formacao (com 154alunos), o Conselho Executivo achou que estes tambem deveriampoder utilizar as maquinas e pediu para recalcularem a partilha,usando o mesmo metodo. Como ficou a nova distribuicao? Co-mente os resultados.

4.3 O conselho Pedagogico da escola considerou que os alunos dos cur-sos de Educacao/Formacao deveriam estar junto dos do ensinobasico e pediu novamente para ser calculada a distribuicao pelomesmo metodo. Comente os resultados.

Exercıcios Propostos

1. Eleicao do bastonarioLeia com atencao o seguinte texto, parte de uma notıcia do Jornal deNotıcias do dia 5 de Dezembro de 2004, onde se relata a eleicao dobastonario (isto e, o presidente) da Ordem dos Advogados ( associacaode advogados portugueses):Rogerio Alves conquista Ordem dos Advogados� O novo bastonario da Ordem dos Advogados chama-se Rogerio Al-ves, tem 43 anos (...). Eleito com 5849 votos, teve uma vantagem deapenas 919 votos sobre Antonio Marinho, (...).Antonio Marinho (...)ficou em segundo lugar, com 4930 votos (...). Joao Correia, que eravice-presidente do Conselho Geral cessante, ficou em terceiro lugar,recolhendo o apoio de 4574 eleitores.�

1.1 Qual parece ser o metodo eleitoral usado para eleger o bastonarioda Ordem dos Advogados? (nao precisa de indicar o nome dometodo, basta que explique qual foi o metodo usado.)

1.2 Indique uma vantagem e um inconveniente da aplicacao desse metodo.


1.3 Faca uma pequena composicao em que sugira uma melhoria dometodo usado na eleicao do bastonario da Ordem dos Advogadosportuguesa.

2. No concelho do MontijoNa tabela seguinte estao os resultados obtidos no concelho do Montijonas eleicoes autarquicas de 2005, relativamente a eleicao para a CamaraMunicipal.

Camara MunicipalPartidos Votos %

PS 6984 42,15PPD/PSD 4266 25,75PCP-PEV 3295 19,89

BE 707 4,27CDS-PP 249 1,50

PCTP/MRPP 175 1,06Inscritos 35201 100Votantes 16569 47,07Brancos 618 3,73Nulos 275 1,66

2.1 Qual foi o partido que elegeu o presidente da Camara?

2.2 Sabendo que a Camara deste concelho e composta pelo presidentee seis vereadores, determine a composicao ”partidaria”da CamaraMunicipal aplicando o metodo de Hondt. Apresente os quocientesarredondados as unidades.

2.3 Por que e importante conhecer a priori o numero de votos ne-cessarios para conseguir um mandato? Comente e de exemplosconcretos.

3. Partilha dos computadoresO agrupamento de escolas do Areias recebeu 75 computadores portateispara distribuir pelas suas oito escolas. O numero de alunos por escolae o seguinte:

Escola A B C D E F G HNo de alunos 124 345 987 765 454 65 222 897


Determine como sera feita a distribuicao utilizando o metodo de Hondt,apresentando os quocientes com aproximacao as unidades.

4. A distribuicao dos premiosAs professoras do cantinho da Matematica tem 22 livros de sudoku paraoferecer aos quatros melhores alunos que participaram no campeonatoanual realizado na escola. As pontuacoes obtidas pelos alunos sao asseguintes:

Aluno A B C DNo de pontos 400 225 200 63

4.1 Faca a distribuicao dos livros, utilizando o metodo de Hamilton,utilize os valores aproximados as milesimas.

4.2 Antes de fazer comunicacao dos resultados, o juri verificou que aspontuacoes nao estavam correctas. Portanto, repetiu o processocom as seguintes alteracoes:

Aluno A B C DNo de pontos 400 235 200 71

Faca de novo a distribuicao e comente os resultados, utilize os valoresaproximados as milesimas.

5. Eleicoes para a Assembleia da AssociacaoA tabela seguinte mostra os resultados das eleicoes para Assembleia daAssociacao ”Um animal e um amigo”. Concorreram quatro listas, masas listas A e B formaram uma coligacao. A Assembleia da Associacaotem 6 membros.

Listas VotosA/B 346C 217D 166

Total 729

Sempre que necessario utilize os valores aproximados as decimas.


5.1 Determine a composicao da Assembleia utilizando metodo de Ha-milton.

5.2 Determine a composicao da Assembleia utilizando o metodo deHondt. Compare os resultados com os da alınea anterior.

5.3 Quantos votos mais seriam necessarios para a coligacao A/B obtermaioria absoluta?

5.4 Uma sondagem ”a boca das urnas”dava uma percentagem de in-tencao de voto a lista A de 40%. Se tivesse concorrido sozinhaquantos membros elegeria? Utilize os dois metodos. Compare osresultados entre metodos com e sem ligacao.

6. Comer fruta faz bemConsidere a seguinte tabela de preferencias, relativamente as escolhasde 13 criancas, sobre a fruta para comer ao lanche: pera(P); banana(B) e morango (M).

6.1 Determine a escolha vencedora pelo metodo de Borda.

6.2 Existe vencedor de Condorcet?

6.3 Como a Adriana faz anos, a educadora tornou representativas assuas preferencias: 1aM, 2aB e 3aP. E justo este metodo?

6.4 Suponha que nesse dia nao conseguiram comprar morangos. Qualsera a escolha?

6.5 As alıneas anteriores violaram alguma das condicoes de Arrow?

7. No clube deportivo dos PeixesConsidere os resultados obtidos nas eleicoes para a Direccao do ClubeDesportivo dos Peixes. Vao ser distribuıdos 8 mandatos.

Listas VotosA 99B 889C 654D 417

Total 2059

7.1 Determine a distribuicao dos mandatos atraves do metodo de HOndte de Saint-Lague. Apresente os quocientes arredondados as uni-dades.


7.2 Valera a pena a lista D fazer uma coligacao com a lista A? Co-mente os efeitos desta coligacao nos resultados gerais, em funcaodo metodo utilizado. Apresente os quocientes arredondados asunidades.

7.3 Se o numero de mandatos aumentasse para 12, como ficaria a dis-tribuicao? Utilize os dois metodos. Comente os resultados ob-tidos, fazendo referencia a influencia do numero de mandatos aatribuir. Apresente os quocientes arredondados as unidades.

8. Eleicao e SintraNas eleicoes autarquicas de 2005 foram obtidos os seguintes resultadoseleitorais para a Camara Municipal de Sintra:

Camara Municipal de SintraPartidos Votos Vereadores

PPD/PSD+ 59307 6PS 42195 4

PCP-PEV 16858 1BE 8909 0

PCTP-MRPP 1405 0PH 707 0

O metodo utilizado para determinar o numero de vereadores para anova Camara Municipal foi o de Hondt, de acordo com a Lei portu-guesa.Nalguns paıses aplica-se o metodo de Saint-Lague que apenas difere dometodo de Hondt pelo facto de se usarem 1,3,5,7,9,11,... como divisoresem vez de 1,2,3,4,5,6.

8.1 Aplique o metodo de Saint-Lague aos resultados eleitorais.

8.2 O resultado em termos de vereadores foi o mesmo? Comente.

9. Eleicoes nos AcoresO quadro apresentado a seguir diz respeito as eleicoes Regionais dosAcores, em 2004.


AcoresPopulacao residente (Censos 2001):238767

Total de eleitores inscritos:187765Deputados: 52Cırculos:9

Partidos concorrentes: PS, PSD/CDS, CDU, BE, PPM, MPT e PDAEleitores Deputados

Corvo 350 2Faial 11451 4Flores 3211 3

Graciosa 3817 3Pico 11820 4

Santa Maria 4508 3S. Jorge 7967 4S. Miguel 99854 19Terceira 44787 10

De acordo com a Constituicao da Republica, nas Regioes Autonomasda Madeira e dos Acores, as respectivas assembleias sao compostas pordeputados eleitos por sufragio universal, de acordo com o princıpio darepresentacao proporcional e por cırculos eleitorais.A conversao dos votos em mandatos, segundo o artigo 16o da Lei eleito-ral, faz-se utilizando o metodo de representacao proporcional de Hondt.De acordo com as alıneas b) e c) do referido artigo:�o numero de votos apurados por cada lista e dividido, sucessivamente,por 1,2,3,4,5, etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem decres-cente da sua grandeza numa serie de tantos termos quantos os manda-tos atribuıdos ao cırculo eleitoral respectivo; os mandatos pertencemas listas a que correspondem os termos da serie estabelecida pela regraanterior, recebendo cada um das listas tantos mandatos quantos os seustermos na serie�.Na tabela da pagina seguinte estao registados os resultados obtidospelos diferentes partidos nos diferentes cırculos eleitorais, nas EleicoesRegionais dos Acores, em 2004.


Santa Sao Terceira Graciosa Sao Pico Faial Flores Corvo TotalMaria Miguel Jorge

PS 1445 32583 14856 1363 2249 3679 2758 1067 133 60133PSD/CDS 537 18191 9315 1146 2571 3411 2785 829 97 38882

CDU 83 844 240 25 89 135 1194 357 1 2968BE - 599 301 - 61 - 58 - - 1019PPM - 132 100 - 0 0 0 0 30 276MPT - 369 - - - - - - - 369PDA - 248 - - - - - - - 248

Nestas eleicoes, o numero total de votos brancos e nulos foi de 1672.

9.1 Explique a razao da diferenca entre a populacao residente (Censos2001) e o total de eleitores inscritos.

9.2 Calcule a percentagem da abstencao nestas eleicoes. Apresente oresultado as unidades.

9.3 Determine o numero de deputados eleitos por cada partido, nocırculo da Terceira. Nos calculos intermedios, apresente os valoresarredondados as unidades.

9.4 A CDU nao elegeu qualquer deputado nestas eleicoes.Se, em vez de nove cırculos eleitorais, houvesse apenas um (juncaodos nove), de acordo com o metodo de Hondt, a CDU teria eleitoum deputado para a Assembleia Regional dos Acores.Partindo deste facto, elabore uma pequena composicao onde refirasituacoes em que poderia ser vantajosa, ou nao, para os partidoscom poucos votos, a existencia de um cırculo eleitoral unico.

10. Em S. Juliao da MoitaNo dia 16 de Dezembro de 2001, realizaram-se eleicoes autarquicas emPortugal. Na freguesia de Sao Juliao da Moita concorreram quatroforcas polıticas as eleicoes para a Assembleia de Freguesia. Estavamem disputa 13 mandatos.A distribuicao dos votos pelas quatros forcas polıticas, nessas eleicoesde 2001, esta representada no seguinte grafico circular:


Houve ainda 207 votos e 46 votos nulos.Em 2005, realizaram-se novamente eleicoes para a mesma Assembleiade Freguesia . As forcas polıticas concorrentes foram as mesmas qua-tro. Os resultados estao representados no seguinte grafico de barras:

10.1 Elabore um grafico da barras semelhante ao apresentado, masrelativo as eleicoes de 2001 para a mesma Assembleia de Freguesia.Apresente os calculos efectuados aproximados as decimas.

10.2 Apesar de se votar apenas para eleger os membros da Assembleiade Freguesia, e a partir dessa votacao que e eleito o presidente daJunta de Freguesia, ou seja, o cabeca d lista da forca polıtica maisvotada. Sabendo que o presidente da Junta de Freguesia, eleitoe 2001, se recandidatou ao cargo em 2005 pelo mesmo partido,verifique ustificando, se ele foi, ou nao, reeleito.

10.3 Sabendo que o metodo utilizado para fazer a distribuicao demadatos nas eleicoes para Assembleia de Freguesia e o metodode Hondt, determine o numero de mandatos obtidos por cada


forca polıtica em 2001. Apresente os quocientes aproximados asdecimas.

10.4 Supondo que em 2001 as forcas polıticas B e D tinham concorridocoligadas, admita que o numero de votos da coligacao B/D e iguala soma do numero de votos de cada forca polıtica e que os votosnas outras forcas polıticas mantinham-se inalterados; comente osresultados obtidos.O comentario deve focar os seguintes pontos:

• calculo do numero de mandatos que seriam obtidos pelastres forcas polıticas ( apresente os quocientes aproximadosas decimas);

• uma referencia a uma eventual alteracao na presidencia daJunta de Freguesia;

• conclusao sobre se houve ou nao, para as forcas polıticas B eD, vantagem em concorrerem coligadas.

11. Vantagens/ Desvantagens

11.1 Indique uma vantagem doMetodo de Borda em relacao aos metodosplurais ( um homem, um voto).

11.2 Indique as vantagens e desvantagens dos sistemas maioritarios.

12. Em 25 de Novembro de 2007, ocorreram as eleicoes para a Assembleiade Freguesia de Monte da Azinha. Para o preenchimento dos novelugares da referida Assembleia, concorreram cinco partidos, em listasseparadas. Cada lugar corresponde a um mandato. Apos o apuramentogeral, os resultados foram os seguintes.Partido Numero de votos

A 454B 438C 49D 463E 29

O Antonio e um habitante dessa freguesia. Ele afirma que, no apura-mento dos lugares a atribuir a cada partido, o resultado da distribuicaodos nove lugares pelas listas concorrentes e o mesmo, quer se aplique ometodo de Hondt, quer se aplique o metodo de Hamilton.Mostre que o Antonio tem razao.Na sua resposta deve:


• apresentar a distribuicao dos 9 lugares aplicando o metodo deHondt;

• apresentar a distribuicao dos 9 lugares aplicando o metodo deHamilton;

• apresentar a conclusao.

13. A associacao de estudantes da Escola Secundaria de Monte da Azinhadecidiu aplicar o metodo de Contagem de Borda, para escolher o repre-sentante dos alunos da escola num forum internacional sobre a ciencia.Concorreram quatro candidatos: a Ana, a Ines, o Nuno e o Pedro.Segundo o metodo da Contagem de Borda, o apuramento do vencedorfaz-se de acordo com os seguintes criterios e etapas:

• para que um voto possa ser considerado valido, cada eleitor votaem todos os candidatos, ordenando-os de acordo com as suas pre-ferencias;

• na ordenacao final dos concorrentes, cada primeira preferencia re-cebe tantos pontos quantos os candidatos em votacao;

• cada segunda preferencia recebe menos um ponto do que a pri-meira, e assim sucessivamente, recebendo a ultima preferencia umponto;

• o vencedor e o concorrente com maior numero de pontos.

Foram apurados noventa e cinco votos validos. Os resultados obtidossao os seguintes.

25 votos 40 votos 15 votos 10 votos 5 votos1a prefereencia Nuno Pedro Nuno Pedro Pedro2a preferencia Ana Ines Ines Nuno Nuno3a preferencia Ines Nuno Ana Ana Ines4a preferencia Pedro Ana Pedro Ines Ana

Determine a pontuacao final de cada candidato e indique o vencedor.

14. O clube desportivo �O Duelo� oferece aos seus socios cinco modalida-des desportivas: Basquetebol, Futebol, Tenis, Golfe e Rabegui. Cadacandidato a praticante pode escolher, de entre as cinco, a modalidadeque pretende praticar, mas so pode inscrever-se numa delas. No qua-dro seguinte, esta registado o numero total de praticantes inscritos,distribuıdos por cada uma dessas modalidades desportivas.A direccao deste clube e composta por doze elementos. Para garantira representatividade dos praticantes das diversas modalidades, os doze


lugares da direccao devem ser atribuıdos segundo o criterio de distri-buicao proporcional ao numero de praticantes de cada modalidade. Adistribuicao dos doze lugares da direccao pelos representantes das dife-rentes modalidades vai ser feita pelo metodo de Hondt.Verifique se, para garantir, na direccao, representatividade baseada nadistribuicao de lugares proporcional ao numero de praticantes das di-versas modalidades, existe alguma vantagem ou desvantagem em seagruparem duas delas, Golfe e Tenis.

Modalidade desportiva TotalBasquetebol Futebol Tenis Golfe Raguebi

No praticantes 186 218 91 45 191 731Na sua resposta deve:

• calcular o numero de lugares atribuıdos aos representantes de cadamodalidade, antes de se agruparem Golfe e Tenis;

• calcular o numero de lugares atribuıdos aos representantes de cadamodalidade, depois de se agruparem Golfe e Tenis;

• Concluir da existencia de vantagem ou de desvantagem do agrupa-mento proposto para assegurar, na direccao, a representatividadedos praticantes.

15. Os alunos do 12o ano da Escola �Bom Estudante� pretendem organi-zar uma viagem de finalistas a uma cidade espanhola. Os delegadosdas oito turmas reuniram-se para escolher essa cidade. Como nao con-seguiram consenso, decidiram que seriam todos os alunos do 12o ano aeleger o destino da viagem, sendo Granada, Madrid, Sevilha e Vigo ascidades colocadas a votacao.Cada aluno, no seu boletim de voto, ordena as quatro cidades, de acordocom a ordem das suas preferencias, sendo o seu voto atribuıdo a cidadecolocada em primeira preferencia.Na tabela (quadro de preferencias) que se segue, estao registadas assequencias das preferencias obtidas na votacao e o numero correspon-dente de boletins.Preferencias Votos

1a Madrid Vigo Sevilha Granada Madrid Granada2a Sevilha Sevilha Granada Madrid Vigo Sevilha3a Granada Granada Vigo Vigo Sevilha Madrid4a Vigo Madrid Madrid Sevilha Granada Vigo

Total de votos 50 60 40 14 30 22O metodo escolhido para apurar a cidade a eleger como destino da via-


gem de finalistas foi o metodo preferencial, de acordo com os seguintescriterios e etapas:

• contabiliza-se o numero de votos obtidos, na primeira preferencia,por cada cidade;

• caso uma cidade obtenha a maioria absoluta de votos na primeirapreferencia, ela e eleita vencedora e o processo termina;

• caso contrario, elimina-se da eleicao a cidade que obteve o me-nor numero de votos, na primeira preferencia, e o quadro de pre-ferencias e reestruturado, passando a incluir menos uma cidade(consequentemente, tambem menos uma preferencia);

• a este �novo� quadro de preferencias, aplicam-se novamente todosos procedimentos anteriores, pela ordem enunciada;

• o processo repete-se ate uma das cidades obter maioria absolutade votos, na primeira preferencia

Tendo em conta os resultados da votacao expressos na tabela:

a) Calcule o numero de votos que cada uma das cidades obteve naprimeira preferencia.

b) Indique o numero mınimo de votos que uma cidade deveria ter ob-tido, na primeira preferencia, para ser eleita vencedora na primeiracontagem.

c) Determine, segundo o metodo descrito, qual e a cidade onde se vairealizar a viagem de finalistas.Na sua resposta deve incluir, obrigatoriamente, o numero de votosobtidos, na primeira preferencia, por cidade, em cada uma dascontagens que efectuar para determinar a cidade a visitar.

d) Determine quantos alunos frequentam o 12o ano de escolaridade naEscola �Bom Estudante�, sabendo que 4% dos alunos do 12o anonao votaram.


Teoria das Eleições

Business

Transcript of Teoria das Eleições