TEORIA DAS DEFORMAÇÕES

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

TEORIA DAS DEFORMAÇÕES

PROF DR. NILSON TADEU MASCIA

CAMPINAS, JANEIRO DE 2006 (REVISÃO 2017)

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Índice 1. Introdução ........................................................................................................................... 3 2. Significado físico de deformação ....................................................................................... 3 3. Definição matemática de deformação ................................................................................ 5 4. Deformação elástica ........................................................................................................... 8

4.1 Lei de Hooke ................................................................................................................. 8 4.2 Cisalhamento puro ...................................................................................................... 11 4.3 Lei de Hooke generalizada .......................................................................................... 13 4.4 Análise do coeficiente de Poisson ............................................................................... 13 4.5 Dilatação e módulo volumétrico ................................................................................. 15

5. Deformação no estado plano de tensão ............................................................................ 17 5.1 Equações para a transformação de deformação plana ................................................. 18 5.2 Círculo de Mohr para deformação .............................................................................. 21

6. Exercícios ......................................................................................................................... 23 6.1 Exercício nº1 ............................................................................................................... 23 6.2 Exercício nº2 ............................................................................................................... 24 6.3 Exercício nº3 ............................................................................................................... 26

7. Medidas de deformação - Rosetas .................................................................................... 28 8. Bibliografia ....................................................................................................................... 30

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TEORIA DAS DEFORMAÇÕES

1. Introdução

A análise das deformações de um corpo sólido iguala-se em importância à análise de tensões e se constituirá de nosso objeto de estudo nesta segunda parte da teoria das tensões e deformações.

Para isso será necessária a definição precisa de deformação em primeiro lugar, e das relações entre tensão e deformação na forma da lei de Hooke generalizada, a seguir.

2. Significado físico de deformação

Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a ação de uma carga externa. Por exemplo, num ensaio de corpo de prova de aço, como mostrado na figura abaixo, ocorre mudança no comprimento do C. P., entre dois pontos A e B. A carga aplicada é crescente e os pontos A e B são genéricos.

Fig. 1 - Modelo do ensaio de tração

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Neste ensaio determina-se a variação do comprimento compreendido entre A e B. Se l0 é o comprimento inicial e l é aquele observado sob tensão de tração, o alongamento da barra vale:

∆l=l-l 0

O alongamento por unidade de comprimento vale:

ε=� dl

l0=

l

l0

l-l0

l0

Esse alongamento por unidade de comprimento é chamado de deformação linear ou específica, sendo uma quantidade adimensional, mas usualmente se pode referir a ela por cm/cm ou mm/mm. Algumas vezes é dada em porcentagem. A quantidade ε é numericamente bastante pequena. Se considerar a variação do comprimento da peça, a expressão anterior ficaria:

ε=� dl

l0=

l

l0

ln l�l0l =lnl

l0

Além da deformação linear descrita acima, um corpo em geral pode se deformar linearmente em outras duas direções. Analiticamente as direções são ortogonais entre si e relacionadas nos eixos x, y, z. Assim, um corpo pode se deformar como na figura abaixo.

Fig. 2 - Deformações tangenciais

Tais deformações causam uma mudança nos ângulos inicialmente retos, entre linhas imaginárias do corpo e essa alteração angular é definida por deformação cisalhante ou deformação tangencial.

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3. Definição matemática de deformação

As deformações variam de ponto a ponto num elemento estrutural infinitesimal (continuidade do material). Para esclarecimento das deformações, via definição matemática, toma-se um elemento infinitesimal (AB), como mostra a figura:

Fig. 3 - Deslocamento e deformação

Os pontos A e B passam para A’ e B’ respectivamente. Durante a deformação, o ponto A sofre um deslocamento u. O deslocamento do ponto B é u+∆u, pois, além de u, comum a todo elemento ∆x, ocorre o alongamento ∆u no elemento. Assim, a definição de deformação linear é:

ε= lim∆x→0u+�u+∆u�

∆x = lim∆x→0∆u∆x=

dudx

A figura 4 apresenta um corpo que sofre deformações ortogonais, para o caso bi-dimensional.

Fig. 4 - Deslocamento e deformação: caso plano

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As deformações decorrentes podem ser indicadas por meio de índices. Pela mesma razão, é necessário mudarem-se as derivadas ordinárias para parciais. Dessa forma, se em um ponto de um corpo os componentes de deslocamento nas direções x e y (caso bidimensional) forem u e v, as deformações lineares são:

εx= u+

∂u∂x dx-u

dx=∂u

∂x

εy= v+

∂v∂y dy-v

dy=∂v

∂y

No caso tridimensional acrescenta-se:

εz= ∂w

∂z

Onde w representa o deslocamento na direção z. O sinal positivo se aplica aos alongamentos e o negativo aos encurtamentos. Além da deformação linear, um elemento pode sofrer uma deformação angular

(transversal), como mostrado na figura abaixo, em relação ao plano x-y:

Fig. 5 - Deformações tangenciais: caso plano

Esta deformação inclina os lados do elemento deformado em relação aos eixos x e y.

Como v é o deslocamento na direção y, na direção x tem-se que a inclinação do lado PQ inicialmente horizontal é ∂v ∂x⁄ .1

1 Num elemento do quadrado PRSQ dx=ds cosθ dy=ds senθ

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Fig. 6 - Deformações tangenciais: análise de γ

Num elemento do quadrado deformado P’R’S’Q’ vem:

Fig. 7 - Deformações tangenciais: análise de γ

Sendo γxy muito pequeno, vem:

cos�π2

+γxy�=-senγxy≅-γxy=γ1+γ2

Analogamente, o lado vertical gira de um ângulo ∂u ∂x⁄ , como consequência o ângulo

reto PRQ reduz de: ∂v

∂x+∂u

∂y=γ1+γ2=γxy

Valendo estas considerações para pequenas variações dos ângulos γ1 � γ2 de onde se

pode ter: tg γ1≅sen γ1≅γ1, valendo também para γ2.

O sinal positivo para a deformação angular se aplica quando é deformado segundo a figura desenhada anteriormente, e pode-se relacionar com os τxy positivos na convenção de sinais adotada anteriormente. Para os planos xz e yz as definições são semelhantes, portanto:

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∂w∂x

+∂u

∂z =γzx = γxy ∂w

∂y+∂v

∂z=γyz=γzy

Observação: Uma importante observação a respeito das relações deslocamento/deformação é que as deformações, em número de seis, dependem de três deslocamentos. Assim as equações não são independentes, necessitando de equações de compatibilidade para solução do problema.

a) Caso Tridimensional Deformação: εx, εy, εz,γxy,γxz,γyz

Deslocamentos: u, v, w b) Caso Plano

i. Caso Plano de Tensões Deformação: εx, εy, εz,γxy

Deslocamentos: u, v, w

ii. Caso Plano de Deformações Deformação: εx, εy, εz,γxy

Deslocamentos: u, v

4. Deformação elástica

4.1 Lei de Hooke

Suponhamos que o corpo ou sólido a ser estudado siga a lei de Hooke e seja de material isótropo. Define-se isotropia a propriedade de um material ter o mesmo comportamento elástico em qualquer direção. A lei de Hooke é aplicada com as seguintes considerações:

a) Se em todos os pontos de um sólido atua a mesma tensão σ de direção constante, um comprimento l na direção de σ, sofre um alongamento:

∆l=σ×l

E

b) Na direção normal à tensão σ no comprimento t, ocorre um encurtamento:

∆t=-ν×t×σ

E

Esquematicamente:

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Fig.8 - Alongamento e contração na tração

Fazendo-se:

∆l

l=σE

-∆t

ν×t=σE

Igualando-se as expressões tem-se:

∆l

l=-

∆t

ν×t

Como:

∆l

l=εy

∆t

t=εx

Tem-se:

εy=-εx

ν → ν=-εx

εy

Sendo ν chamado de coeficiente de Poisson e genericamente representado por:

νij =-εi

εj=

deformação lateral (-)

deformação axial (+)

Com ν variando entre 0 e 0,5, como veremos mais tarde.

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É interessante notar que há, até agora, duas constantes de isotropia, E e ν, válidas para x, y e z. Considerando-se agora um elemento tridimensional solicitado segundo as direções principais:

a) Aplicando-se apenas a tensão σ1:

∆l1'=l1×σ1

E ; ∆l2'=-

ν×l2×σ1

E ; ∆l3'=-

ν×l3×σ1

E

Fig. 9 - Lei de Hooke: caso tridimensional

b) Aplicando-se apenas a tensão σ2:

∆l1''=-ν×l1×σ2

E ; ∆l2''=

l2×σ2

E ; ∆l3''=-

ν×l3×σ2

E

c) Aplicando-se apenas a tensão σ3:

∆l1'''=-ν×l1×σ3

E ; ∆l2'''=-

ν×l2×σ3

E ; ∆l3''=

l3×σ3

E

Juntando-se ∆l1 para os três casos tem-se:

∆l1'+∆l1''+∆l1'''=l1×σ1

E-ν×l1×σ2

E-ν×l1×σ3

E

Fazendo a superposição de efeitos:

∆l1'

l1+∆l1''

l1+∆l1'''

l1=

1

E�σ1-ν(σ2+σ3)�

∴ε1=1

E�σ1-ν(σ2+σ3)�

Analogamente para ∆l2 e ∆l3 tem-se:

ε2=1

E�σ2-ν(σ1+σ3)�

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ε3=1

E�σ3-ν(σ1+σ2)�

4.2 Cisalhamento puro

Considerando-se o cisalhamento puro caracterizado por: �σ1=-σ3=σσ2=0

A figura abaixo mostra uma chapa com este estado de tensão e o respectivo círculo de Mohr.

Fig. 10 - Cisalhamento puro

O alongamento específico na direção da tração seria:

ε= 1

E�σ1-νσ2�= 1+ν

Eσ

Tomando-se agora um elemento quadrático 1-2-3-4 cujas faces formam um ângulo de 45º com as direções principais (tração e compressão), tem-se que a tensão normal nestas faces é nula, atuando apenas uma tensão cisalhante τ, cujo valor é σ, como mostra o círculo de Mohr. A diagonal l, horizontal, sofrerá um alongamento tal que:

∆l=l×ε=l1+νE

σ , pois ε= 1+νE

σ

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Fig. 11 - Distorção do elemento

A diagonal vertical encurtará do mesmo valor e deste modo, o quadrado 1-2-3-4 torna-se um losango. Na figura a seguir os desenhos do quadro e do losango são repetidos, mas com os pontos 1 e 2 fixos.

Fig. 12 - Distorção do elemento.

Assim, é verificado que a deformação se resume numa variação do ângulo reto, ou seja, a distorção (variação do ângulo reto) vale, para pequenas deformações2:

γ≅tg γ≅∆l√2∆l√2

=2∆l

l=2ε

γ=21+νE

σ

2 Esta demonstração baseia-se no fato de ∆� ser “bastante” pequeno em relação a l e também E ser “bastante” grande, como ocorre, aliás, nos materiais usuais.

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Isolando-se o elemento 1-2-3-4 pode-se concluir que as tensões τ, iguais em módulo às tensões principais ±σ, causaram a variação do ângulo reto. Vale portanto a relação (como visto em torção):

γ= τG

→ γ= σG

G=E

2(1+ν)

Esta relação vincula os três parâmetros elásticos para materiais isotrópicos: E, G, ν; sendo, dos três, apenas dois independentes.

4.3 Lei de Hooke generalizada Pode-se chegar, agora, ao nível de se indicar a lei de Hooke para um elemento solicitado pelas tensões:

σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz Portanto, considerando-se o caráter linear das relações entre tensão e deformação, que permite uma superposição de efeitos, tem-se a lei de Hooke generalizada:

εx=1

E�σx-ν(σy+σz)� γxy=

τxy

G

εy=1

E�σy-ν(σx+σz)� γxz=

τxz

G

εz=1

E�σz-ν(σx+σy)� γyz=

τyz

G

Os componentes de deformação (σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz) definem o estado de deformação, similar ao estado de tensão (este tridimensional).

4.4 Análise do coeficiente de Poisson É interessante a análise do coeficiente de Poisson no sentido de quantificá-lo numericamente e com isso também quantificar o valor de G função de E e ν, ou tendo G e ν determinar E, sendo a primeira situação a mais prática. Imaginando para este fim um corpo cilíndrico de material isótropo carregado nas bases com pressão P e lateralmente com P1, como mostra a figura:

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Estado de tensão σ1=-P

σ2=σ3=-P1

Fig. 13 - Pressão num sólido

Neste caso, tem-se o seguinte estado de tensão: σ1=-P

σ2=σ3=-P1 A direção longitudinal é uma das principais e qualquer uma das direções transversais pode ser também principal (a forma da seção transversal não influi). Escolhemos agora a relação entre P1 e P de tal modo que a deformação elástica consista apenas numa variação dos comprimentos longitudinais sem variação da área da seção. Tem-se um estado linear de deformação3 caracterizada por:

ε1≠0, ε2=ε3 Assim, com σ1 = -P, σ2 = σ3 = P1, tem-se:

ε2=-1

E�P1-ν(P1+P)�=0→P1=

ν1-νP

E, para ε3 = 0, chegar-se-ia à mesma relação de pressões. Fazendo-se:

ε1=∆l

l=-

P

E�1-2ν ν

1-ν�

ε1=-P

E

2 0,5-ν�(1+ν)1-ν

3 No estado linear de tensão tem-se σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0

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O encurtamento específico ε1 exprime a “variação” de volume, porque a seção não varia. Desta equação resulta ν < 0,5, pois, caso contrário, as pressões P e P1 produziriam aumento de volume, o que não é possível. Da equação

P1=ν

1-νP

Conclui-se que:

ν ≥ 0 Pois se ν < 0 significaria que a tendência da pressão longitudinal P de aumentar a área deve ser combatida por uma tração transversal, que é compatível com a hipótese do problema em estudo.

Há, portanto, os limites teóricos para o coeficiente de Poisson: 0 < ν < 0,5

Por curiosidade, para o aço, ν ≈ 0,3. Vale ressaltar que estas deduções servem

apenas para materiais isótropos. Pode-se então analisar a relação:

G=E

2(1+ν) Se ν = 0,3:

G=E

2(1+0,5)→G=

E

3

Conclusão:

G < E Para o Aço:

G ≈ 8.000 KN/cm2 e E = 21.000 KN/cm2

4.5 Dilatação e módulo volumétrico Considera-se os lados de um elemento infinitesimal dx, dy, dz. Após a deformação os lados ficam: 1+εx�dx �1+εy�dy 1+εz�dz Tomando-se agora o volume antes da deformação e depois da deformação tem-se:

dV=dxdydz dV+∆dV= 1+εx�dx�1+εy�dy 1+εz�dz

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Faz-se: dV+∆dV-dV= 1+εx�dx�1+εy�dy 1+εz�dz-dxdydz

∆dV≅(εx+εy+εz) dxdydz Neste caso foram desprezados os produtos de deformação εxεy, εxεz, εyεz, εxεyεz, pois são muito pequenos. A variação de volume é frequentemente denominada de dilatação, e pode ser escrita por:

e=εx+εy+εz=ε1+ε2+ε3 Sendo e um invariante de deformação. No caso plano:

e=εx+εy=ε1+ε2 Observa-se, neste momento, que as deformações angulares (γ) não causam variação de volume. Com base na lei de Hooke generalizada, a dilatação pode ser expressa em termos das tensões e das constantes do material. Assim:

e=εx+εy+εz

e=1

E�σx-ν(σy+σz)�+ 1

E�σy-ν(σx+σz)�+ 1

E�σz-ν(σx+σy)�

e=1-2ν

E�σx+σy+σz�

Daí tira-se que e é proporcional a �σx+σy+σz�, que é também invariante (de tensões). Portanto:

e=1-2ν

EΘ

Sendo:

Θ=�σx+σy+σz�

No caso de um corpo elástico submetido a uma pressão hidrostática de intensidade p, tem-se:

σx=σy=σz=-p Daí:

Θ=-3p

e=-31-2ν

Ep

Fazendo-se:

-p

e=K=

E

3(1-2ν)

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A quantidade K é chamada de módulo de compressão ou módulo volumétrico, e representa a relação entre compressão hidrostática e a variação de volume.

5. Deformação no estado plano de tensão Considerando um estado plano de tensões definido por: �σx,σy,τxy≠0

σz,τxz,τyz=0

Esquematicamente, é definido por:

Fig. 14 - Estado de tensão

As expressões da lei de Hooke ficam:

εx=1

E(σx-νσy)

εy=1

E(σy-νσx)

εz=-νE

(σx+σy)

εx,εy,εz,γxy≠0

γxy=τxy

G com G=

E

2(1+ν)

No caso plano de deformação tem-se: � εx,εy,γxy≠0

εz,γxz,γyz=0

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E as expressões da lei de Hooke ficam4:

εx=1

E�σx-ν(σy+σz)�

εy=1

E�σy-ν(σx+σz)�

εz=1

E�σz-ν(σx+σy)�→σz=ν(σx+σy)

γxy=τxy

G com G=

E

2(1+ν)

5.1 Equações para a transformação de deformação plana As equações para a transformação de deformação plana tem desenvolvimento análogo ao de tensão.


Então, sendo conhecidas as tensões σx, σy e τxy, deseja-se conhecer as deformações εx, εy e γxy. Assim:

εx=1

E(σx-νσy)→σz=0

εy=1

E(σy-νσx)→σz=0

εz=-νE

(σx+σy)→σz=0

γxy=τxy

G

4 Observação importante: no caso plano de deformação existe uma tensão σz ≠ 0 o que implica um estado de tensão triaxial

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Deseja-se, também, conhecer as deformações em um plano girado dθ (anti-horário). Para rotações de tensões tem-se:

σ�̅ =σx cos2θ+σy sen2θ+τxy sen2θ σ��=σx sen2θ+σy cos2θ-τxy sen2θ

τ��=σy-σx

2sen2θ +τxy cos2θ

Tomando-se um elemento dx, dy as deformações ficam como mostradas na figura:

Fig. 16 - Deformação no elemento

Para as direções x e y tem-se:

Fig. 17 - Deformação no elemento

E as deformações ficam:

εx�=1

E(σx�-νσy�)

εy�=1

E(σy�-νσx�)

20

εz�=-νE

(σx�+σy�)

γxy��=τxy��G

Substituindo-se na equação de εx� os termos de σx� e σy� vem:

εx�=1

E�σx cos2θ+σy sen2θ+2τxysenθcosθ-ν(σx sen2θ+σy cos2θ-τxy senθcosθ)�

εx�=1

E�cos2θ(σx-νσy)+sen2θ(σy-νσx)+2senθcosθ(τxy-ντxy)�

Daí:

εx�= �cos2θ �1E

(σx-νσy)��+ �sen2θ �1E

(σy-νσx)��+ �2senθcosθE

�Gγxy+νGγxy�� Sendo:

γxyG=γxy

E

2(1+ν)

Gγxy+νGγxy=E

2(1+ν) γxy+ν E

2(1+ν) γxy=γxy

E

2�1+ν1+ν�=γxy

E

2

Assim:

εx� =εx cos2θ+εy sen2θ+2senθcosθ

Eγxy

E

2

∴ εx� =εx cos2θ+εy sen2θ+γxy

2sen2θ

Ou, em arco duplo:

εx� =�εx+εy

2�+�εx-εy

2� cos 2θ+

γxy

2sen2θ

Analogamente:

εy� =�εx+εy

2�+�εy-εx

2� cos 2θ -

γxy

2sen2θ

γxy�� =�εy-εx� sen 2θ - γxycos2θ

εz� = -νE�σx�+σy��=-

νE�σx+σy�=-

νE σ1+σ2�

Sendo o invariante: σx�+σy�=σx+σy=σ1+σ2

Supondo-se agora dois casos particulares.

1. Os eixos x e y são principais: σx=σ1, σy=σ2 e τxy=0→εx=ε1, εy=ε2 e γxy=0

Ficando as expressões de εx�, εy� e γxy��:

εx� =�ε1+ε2

2�+�ε1-ε2

2� cos 2θ

21

εy� =�ε1+ε2

2�+�ε2-ε1

2� cos 2θ

γxy�� = ε2-ε1� sen 2θ

2. Os eixos x e y são eixos principais a. γxy��=0

0=�εy-εx� sen 2θ - γxycos2θ

tg2θ1=γxy

εx-εy

b. dεx�

dθ =0 (máximo de uma função)

εx� =�εx+εy

2�+�εx-εy

2� cos 2θ+

γxy

2sen2θ

dεx�dθ = -2�εx-εy

2� cos 2θ+

γxy

22cos2θ=0

∴(εy-εx) sen 2θ+γxycos2θ=0=γxy��

Logo dεx�

dθ é extremo de uma função.

E as deformações principais podem ser escritas:

ε1

ε2=εx+εy

2±��εx-εy

2�2

+�γxy

2�2

As deformações tangenciais nestes planos são nulas. A deformação máxima de cisalhamento ocorre nos planos a 45º com os planos principais e vale:

1

2γmax=

��εx-εy

2�2

+�γxy

2�2

5.2 Círculo de Mohr para deformação Analogamente ao estado de tensão obtém-se:

22

R=��εx-εy2 �2 + �γxy2 �2 Fig. 18 - Círculo de Mohr

E como observações há:

a) A deformação linear máxima é ε1 e mínima é ε2. Essas são as deformações principais e nenhuma deformação angular (γ) está associada a elas. As direções das deformações principais coincidem com as das tensões principais.

b) A maior deformação angular é γmax e vale o raio do círculo de Mohr. Assim:

R=γmax=ε1-ε22

c) A soma das deformações lineares em quaisquer duas direções mutuamente

perpendiculares é invariante: εx+εy=ε1+ε2=constante

d) Nos planos em que as deformações angulares (cisalhantes) são máximas, as

deformações normais (lineares) são: ε1+ε22

e) O ponto P do círculo funciona como pólo e o círculo de Mohr é traçado

analogamente ao das tensões. E, finalmente, pode-se fazer a seguinte analogia entre tensão e deformação:

23

Tensões Deformações σx ε� σy εy

τxy 1

2γxy

σx� εx� σy� εy� τxy�� 1

2γxy��

6. Exercícios

6.1 Exercício nº1

Um elemento de um sólido se contrai de 5x10-4mm/mm, ao longo do eixo x, e se alonga de 3x10-4 na direção de y e se distorce de um ângulo de 6x10-2 rad, como mostra a figura. Determinar as deformações principais e as direções nas quais elas atuam. Utilizar o Círculo de Mohr para a solução do problema.

Solução:

Elemento deformado Analogia com tensão

Fig. 19 - Estado de deformação

24

Fig. 20 - Círculo de Mohr

6.2 Exercício nº2

Sendo εa = 200 x 10-6 e εb = 300 x 10-6 deformações nas direções a e b respectivamente d um certo ponto numa chapa. Sabendo-se que εa é a deformação e vale ε2, determine as tensões e as deformações para o ponto indicado. Dados: E = 20.000 KN/cm2, ν = 0,3.


Solução:

25


εb=εy=300×10-6

εa=ε2=εx�=200×10-6 O cálculo de σx, σy, e τxy deverá ser feito pela lei de Hooke. Assim:

εb=εy=300×10-6=1

20.000(σy-0,3σx)

σy-0,3σx=6 (I)

εa=εx�=200×10-6=�εx+300×10-6�

2+�εx-300×10-6�

2cos 2×60°�+

γxy

2sen 2×60°�

εx+1,732γxy=-100×10-6 (A)

Como a direção principal é obtida por rotação de 60º do eixo x-x tem-se:

tg 2×60°�= γxy

εx-300×10-6=-1,732

-εx-0,577γxy=-300×10-6 (B)

De (A) e (B) obtém-se:

εx=500×10-6 γxy=-346×10-6

Com isto:

τxy=γxyG=γxy

E

2(1+ν) =�-346×10-6� 20.000

2(1+0,3)

τxy=-2,7 kN/cm2

E:

εx=1

E(σx-νσy)=

1

20.000(σx-0,3σy)=500×10-6

σx-0,3σy=10 (II)

26

De (I) e (II): σx=13,0 kN/cm2 σy=9,9 kN/cm2

E o estado de tensão:5


6.3 Exercício nº3 Para o tubo de parede fina são dados:

εaa=-1,40×10-4 εbb=4,80×10-4

E=21.000kN/cm2 ν=0,3

Fig. 24 - Tubo de parede fina

Determinar F e T

5 Pode-se resolver este problema por rotação de eixo. Assim se:

εx�=1E (σx�-νσy�)

σx�=… σy�=… Obtêm-se condições básicas para solução.

27

Solução:

Fig. 25 - Tubo de parede fina

a) Cálculo das tensões e deformações

O tubo, segundo sua vinculação, estará sujeito pelos esforços T e F e em qualquer um dos seus pontos de uma seção transversal relacionado ao estado de tensão da figura 25.

Assim: �εaa=εy=-1,40×10-4εbb=εx�=4,8×10-4

Sendo σy e σz nulos pode-se obter por meio da expressão de εy o valor de σx.

εy=-1,40×10-4=1

21.000 0-0,3(σx+0) σx=9,8 kN/cm2

Daí:

εy=1E σx

εx=1

21.000 ×9,8=4,67×10-4

E:

εbb=εx�=4,80×10-4=4,67×10-4-1,40×10-4

2 + 4,67×10-4+1,40×10-42 cos�2×45°�+ γxy2 sen�2×45°�

γxy=6,33×10-4 E:

τxy=γxyG=γxyE

2(1+ν) =�6,33×10-4� 21.0002(1+0,3)

τxy=5,1 kN/cm2

28

b) Cálculo dos esforços T e F i.Momento torçor T Em tubos de parede final tem-se:

τxy=2T

π×dm2×t ∴T=τxy× π×dm2×t2 = 5,1×π×10

2×0,22

T=160 kN.cm

ii.Espaço normal F

σx=FA→F=σx×A

F=σx×π×d×t=9,8×π×0,10×0,2 F=61,6kN

c) Sentido dos esforços:

Sendo σx e γxy positivos tem-se:

Fig. 26 - Tubo de parede fina – esforços

7. Medidas de deformação - Rosetas Extensômetros elétricos de resistência são pequenos instrumentos de uso comum

em laboratórios quando se deseja medir deformações. Fazendo-se composições com os extensômetros pode-se chegar a um conjunto chamado roseta. Na figura a seguir são apresentados dois tipos de rosetas. Uma denominada de retangular e a outra de delta.

29

Arranjos de sensors Roseta retangular Roseta delta

Fig. 27 - Composições com os extensômetros.

Se conhecidos θ1, θ2 e θ3 e εθ1, εθ2 e εθ3, podem-se obter εx, εy e γxy pelas expressões:

εθ1= εx cos2θ1+εy sen2θ1+ γxycosθ1senθ1



Se θ1=0º, θ2=45º e θ3=90º, tem-se o caso da roseta retangular:

εx=ε0° εy=ε90°

ε45°=εx

2+εy

2+γxy

2

∴γxy=2ε45°-(ε90°+ε0°)

Se θ1=0º, θ2=60º e θ3=120º, tem-se o caso da roseta delta:

εx=ε0°

εy=(2ε60°+2ε120°-ε0°)

3

γxy=� 2√3� (ε60°-ε120°)

A aplicação da técnica das rosetas em problemas experimentais de análise de tensão é quase rotineiro. Exemplo: Se εa = 150×10-6, εb = 300×10-6 e εc = 150×10-6 são deformações em x, y e a distorção γxy .

Fig. 28 - Exemplo - Extensômetros

Solução:

Aplicando-se a expressão da roseta retangular obtém-se:

30

εx=ε0°=εa=150×10-6 εy=ε90°=εc=150×10-6

ε45°=εb=εx

2+εy

2+γxy

2

γxy=0

Ou: γxy=2ε45°-(ε0°-ε90°)

γxy=0

8. Bibliografia FEODOSIEV, V.I. Resistencia de Materiales. Moscou: Editora Mir, 1980, 583p. POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher

Ltda, 1978. 534p. SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpet & Row do

Brasil, 1984. 395p.

Nilson Tadeu Mascia

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