Teoria das correntes alternadas

UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques

1

UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES

ENGENHARIA

Os Fundamentos da Teoria das Correntes Alternadas

Os Fundamentos da Teoria das Correntes Alternadas Análise das Componentes Elétricas em Regime Senoidal Números Complexos e Fasores de Tensão e Corrente As Leis de Kirchhoff em Corrente Alternada Energia e Potência em Corrente Alternada Monofásica.

Prof. José Roberto Marques 2009


2

FUNDAMENTOS DA TEORIA DAS CORRENTES ALTERNADAS

DEFINIÇÕES. Uma corrente alternada , como o próprio nome indica é uma corrente elétrica que alterna valores positivos e negativos em seu transcurso em função do tempo. Em geral o seu formato em função do tempo pode ser um qualquer, porém quando falamos em corrente alternada estamos, em geral, nos referindo a comoditie que a concessionária de energia elétrica coloca nos nossas casas, sendo disponibilizada para nós com tensão e freqüência constantes. A forma de onda desta tensão elétrica, disponível nas tomadas de nossas casas é senoidal com valor de pico fixo igual 155,56V, que corresponde ao valor eficaz de 110V e 315,12V para o caso de valor eficaz de 220V. O valor eficaz tem a ver com a energia que a tensão pode entregar, assim se utilizarmos uma bateria elétrica que fornece tensão contínua de 110V para uma carga qualquer obteremos a mesma potência elétrica que uma tensão de valor eficaz 110V, cujo valor de pico é 155,56V. Discutiremos este detalhe mais adiante.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

tempo em segundo

v(t)=

155,

56*s

en(3

77t)

-

Vs=1

10V

Figura 1

A figura 1 mostra uma onda senoidal de 110V de valor eficaz e deslocamento angular de 377 radianos por segundo cuja função pode ser expressada na forma da equação, )*377(*56,155)( tsente = .

Quando uma forma de onda de tensão senoidal é aplicada em uma carga denominada linear, a corrente que flui no circuito também é senoidal, porém a sua fase pode não ser a mesma da forma de onda da tensão. Quando as fases da corrente e da tensão são idênticas, dizemos que a carga tem característica ôhmica ou que a natureza da carga é resistiva. A figura 2 mostra as formas de onda para este caso. Para esta condição, toda a potência ou energia por unidade de tempo disponibilizada pela onda elétrica é utilizada pela carga, condição na qual dizemos que o fator de potência da carga é unitário ou igual a um.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

tempo em segundo

v(t)=

155,

56*s

en(3

77*t

) e i(

t)=50

*sen

(377

*t)

Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga ohmica

Figura 2

Neste caso a forma de onda de tensão não muda sua expressão matemática enquanto a forma de onda da corrente pode ser escrita como,

)*377(*50)( tsenti = Quando encontramos carga de natureza indutiva como os transformadores, as bobinas, os motores de corrente alternada, etc. a onda de corrente sofre um deslocamento ou defasamento para a direita da onda de tensão o que indica claramente que esta onda atrasa com relação a onda de tensão.


3

A figura 3 mostra as formas de onda de tensão e de corrente em uma carga indutiva.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

tempo em segundo

v(t)=

155,

56*s

en(3

77*t

) e i(

t)=50

*sen

(377

*t-6

0)

Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga indutiva

Figura 3 – Observe que a onda de tensão é a de maior amplitude e seu período é de 1/60=16,67ms como temos, na figura 0,002seg/divisão, então a onda de corrente atrasa aproximadamente 1,4 divisão, ou seja o60≈ atrasados.

3/5,60/180*377*002,0*4,1 ππϕ ≡=≈ o

Quando aplicamos uma onda elétrica de tensão em uma carga de natureza capacitiva, a onda elétrica de corrente sofre um deslocamento para a esquerda, indicando que ela passa a ocorrer antes da onda elétrica de tensão, ou seja a onda elétrica de corrente adianta em relação a onda elétrica de tensão. Isso é mostrado na figura 4. Estes são os três tipos de cargas básicos em circuitos elétricos, ou seja, as cargas ôhmicas ou resistivas, as cargas indutivas e as cargas capacitiva. Cada um destes tipos de cargas têm suas próprias características sendo que a carga resistiva não armazena energia, mas transforma a energia elétrica em calor em um processo denominado EFEITO JOULE. Os indutores armazenam a energia elétrica da corrente que os atravessa na forma de campos magnéticos gerados pela passagem desta corrente por eles, já os capacitores armazenam a energia elétrica

dos campos elétricos gerados pelas tensões neles aplicados.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

tempo em segundo

v(t)=

155,

56*s

en(3

77*t

) e i(

t)=50

*sen

(377

*t+3

0)

Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga capacitiva

Figura 4 – Neste caso não é possível ver o início da onda, mas podemos observar a defasagem próximo fim do semiciclo positivo onde observamos que corresponde a 0,7 divisão ou 30° adiantados. Assim podemos declarar que: Os circuitos resistivos não provocam modificações na fase da corrente em relação a fase da tensão Os circuitos predominantemente indutivos atrasam a onda de corrente em relação a onda de tensão. Os circuitos predominantemente capacitivos adiantam a onda de corrente em relação a onda de tensão. A quantidade de deslocamento da onda de corrente em relação a onda de tensão depende das quantidades resistivas, indutivas e capacitivas envolvidas. Quando escrevemos a equação de uma onda de tensão ou corrente em função do tempo, a quantidade que precede a expressão corresponde ao valor de pico da onda. Assim a expressão abaixo indica que o valor de pico da corrente é 50A e como a onda é senoidal o seu valor eficaz é obtido dividindo o valor de pico por

2 . Assim )*377(*50)( tsenti =


4

e o seu valor eficaz é AI 355,35250 ==

A POTÊNCIA RELACIONADA COM A ONDA ELÉTRICA A potência transportada pelas ondas de tensão e corrente corresponde ao valor médio da energia contida nas duas ondas e pode ser calculada da seguinte forma:

∫=T

dttitvT

P0

)()(1 (1)

e recebe o nome de potência ativa e é medida em Watts que corresponde a taxa de transmissão de energia por unidade de tempo ou Joules/segundo enviada para a carga. Seja a onda de tensão dada por

)()( θω += tsenEte p e a onda de corrente dada por )()( ϕω += tsenIti p , então a potência ativa fornecida pela fonte será,

( )∫ ++=T

pp dttsenItsenET

P0

)(*)(1 ϕωθω

resolvendo esta equação,

)cos(22

)cos(2

θϕθϕ −=−= pppp IEIEP

Exemplo1. Seja )*377(*50)( tsenti = a onda de corrente em um componente elétrico puramente resistivo e seja a tensão sobre o mesmo )*377(*12,311)( tsente = então a potência ativa neste componente será

∫=377/2

0

2 )*377(*155562377 π

πdttsenP

note que 2

*377*2cos1)*377(2 ttsen −=

Assim

WattsP 77783772

21*15556*60 ==

π

Note que o mesmo valor poderia ser obtido pelo produto dos valores eficazes da tensão e da corrente.

WattsP 77782

50212,311

==

Este resultado é possível porque as duas ondas estão absolutamente em fase. Exemplo 2. Vamos admitir que a onda de corrente esteja com a fase atrasada com relação a onda de tensão, na forma

)3/*377(*50)( π−= tsenti note que πω 2=T e que fT /1= onde sradf /3772 == πω para msTHzf 667,1660 =⇒= A potência ativa pode ser calculada por

∫ −=T

dttsentsenT

P0

)3/*(*)*(*155561 πωω

como

2)2cos(cos)()( ϕωϕϕωω −−

=−ttsentsen

então

∫−−

=T

dttT

P0 2

)3/377*2cos()3/cos(15556 ππ

)3/cos(2

50212,311

2)3/cos(15556 ππ

== TT

P

WattsP 7778= Observe que neste caso, onde a corrente está defasada em relação a tensão, o produto dos valores eficazes da corrente e da tensão não corresponde ao valor da potência transferida efetivamente para a carga. Neste caso damos ao valor desta potência o nome de potência aparente. Ao termo co-senoidal que multiplica a potência aparente, damos o nome de fator de potência, porém esta definição de fator de potência é válida apenas para circuitos que operem com formas de onda estritamente senoidais ou co-senoidais. Em geral a potência aparente é denominada S e pode ser calculada a


5

partir dos valores eficazes da tensão e da corrente.

VAIVS RMSRMS 77782

50*212,311

===

Note que a unidade desta potência é VA ou Volt-Ampere. O caso mais geral da potência aparente é a potência complexa, da qual a potência aparente é o módulo. A potência aparente é uma grandeza fasorial e é dada por,

∗= IES ˆˆˆ onde ∗I é o valor complexo conjugado do fasor corrente eficaz fornecida por um gerador e E é o fasor valor eficaz da tensão fornecida pelo gerador. Note que ( ) ( )θϕ −== cosˆˆˆRe IESP ,

onde θ é a fase da tensão e ϕ é a fase da corrente. Exercício Dadas as expressões das correntes e das tensões em duas fontes senoidais determinar qual é o circuito predominantemente capacitivo e o predominantemente indutivo. Calcular as tensões e correntes eficazes de cada circuito, as potências aparentes e eficazes e o fator de potência de cada circuito. Circuito 1.

)30377(*560,155)( o+= tsentv V )15377(*70)( o−= senti A

Circuito 2 )30377(*12,311)( o−= sentv V

)30*377(*70)( 0+= tsenti A Ainda no exercício acima, calcular o módulo da impedância resultante de cada circuito .equZ utilizando a lei de Ohm

onde eficaz

eficaz

pico

picoequ I

VIV

Z ==. .

Questão para consideração. Note que em circuitos onde a onda de corrente está atrasada em relação a onda de tensão, o valor eficaz da corrente não diminui. Qual seria o efeito disto nos equipamentos de transmissão de energia elétrica para alimentar cargas com defasagens muito grandes entre as duas ondas? Se você fosse o proprietário de uma concessionária de energia elétrica, como você lidaria com isto? ANÁLISE DAS COMPONENTES ELÉTRICAS EM REGIME SENOIDAL Vamos tratar agora do comportamento das ondas elétricas com formas de onda senoidais ou co-senoidais, assim quando falarmos de regime senoidal, a função descritora poderá ser também co-senoidal, porém em qualquer caso consideraremos a tensão de pico e a freqüência constantes admitindo que todos os componentes do circuito que armazenam energia (capacitores e indutores) estejam previamente energizados, ou seja que não hajam componentes de energização transitórias no circuito. Quando admitimos estas hipóteses podemos passar a trabalhar com entidades matemáticas denominadas fasores na nossa análise. Os FASORES devem ser utilizados apenas quando é possível admitir um comportamento de regime estacionário para o circuito. Isto acontece nos circuitos de corrente alternada com tensão de pico e freqüência constantes, o que sob as condições de linearidade da carga deverão gerar correntes senoidais ou co-senoidais com valores de pico constantes e de mesma freqüência. OS ELEMENTOS DE CIRCUITO Consideraremos primeiramente as fontes de tensão dos circuitos elétricos em geral. As fontes de potencial podem fornecer: tensão contínua, quando o valor da tensão


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fornecida é invariável com relação ao tempo, tensão senoidal, que correspondem as fontes de tensão alternada e quando não temos uma função descritora do formato da onda elétrica de tensão em função do tempo, usamos um símbolo genérico para representar a fonte de potencial. A figura 5 mostra as representações para as diversas fontes de tensão. A polaridade mostrada indica como devemos representar o potencial da fonte quando a analisamos utilizando os teoremas das redes elétricas.

+ +

--

e(t)

(a) (c)(b)

e(t) ~-

+ E

Figura 5 – Símbolos para as fontes de tensões nos circuitos (a) Fonte de tensão geral em função do tempo (qualquer forma de onda), (b) Fonte de tensão senoidal/co-senoidal, (c) Fonte de tensão constante (contínua). Em geral temos bastante liberdade para definir o potencial nos elementos de um circuito, porém é de praxe utilizarmos sempre as mesmas polaridades para os diversos elementos de circuito, invertidas em relação ao potencial das fontes, isto indica que a fonte é uma produtora de energia e os elementos são receptores de energia.

e(t) ~-

+ +++

+

--

-

e (t)L e (t)Ce (t)R

i(t) i(t) i(t)i(t)

(a) (b) (d)(c) Figura 6 – (a) Gerador de tensão alternada (senoidal) na convenção gerador (b) carga indutiva na convenção receptor, (c) carga

capacitiva na convenção receptor e (d) carga resistiva na convenção receptor. Na figura 6 podemos observar a relação entre as convenções gerador e receptor de energia elétrica, assim quando consideramos um resistor na convenção gerador a corrente no mesmo deve ser negativa pois isto corresponde a situação real. Para os geradores de ondas senoidais a operação com característica gerador ocorre se a defasagem entre a onda de tensão (θ ) e a onda de corrente (ϕ ) for

oo 9090 −<−< ϕθ , caso contrário será receptor.

RegiãoReceptor

RegiãoGerador 90

θϕ

Im

Re

=E E θI=I ϕ

Figura 7 – Diagrama de fasores característico de operação gerador. Os elementos de circuito devem ser conectados para a realização de circuitos elétricos, assim podemos ter dois tipos básicos de circuitos (a) o circuito série e (b) o circuito paralelo, os outros circuitos são associações destes dois. No circuito com elementos em série a corrente em todos os elementos de circuito, inclusive a fonte é a mesma, porém a tensão e cada elemento depende de suas características em relação a corrente que o atravessa. Assim a tensão sobre um resistor é o produto de sua resistência e da corrente que o atravessa.


7

e(t) ~-

++

++

e (t)C

e (t)L

+

-

e (t)R

-

-

Figura 8 – Um circuito elétrico de corrente alternada em série.

e (t)R+ -

i(t) Figura 9 – A diferença de potencial sobre um resistor provocada por uma corrente i(t). Em um resistor a diferença de potencial é dada pela lei de Ohm

)()( tRite = (2) não importa qual seja a forma de onda da corrente desde que o resistor esteja operando dentro de sua região de especificação, ou seja dissipando potência menor ou igual a especificada por seu fabricante. Esta expressão indica que o resistor é um elemento de circuito linear. Para um indutor a relação é diferente pois a tensão sobre o mesmo depende sempre da taxa de variação da corrente sobre ele. Se a taxa de variação for “suave” a variação de tensão será suave, porém para variações “bruscas” de corrente como é o caso de um desligamento de circuito ou comutação com um elemento semicondutor de chaveamento então a variação de tensão será alta, com possível geração de sobre-tensões transitórias que podem danificar máquinas e equipamentos elétricos.

+

e (t)L

-

i(t)

Figura 10 – A diferença de potencial em um indutor provocada por uma corrente i(t). Para o caso do indutor a relação entre a tensão sobre o mesmo e a corrente que o atravessa é dada por

dttdiLteL)()( = (3)

esta mesma expressão pode ser escrita no domínio da freqüência complexa utilizando o operador complexo de Laplace s

)0()()( isLsIsEL −= (4) onde i(0) é a corrente no momento em inicial do período de tempo sob análise. Para o caso de aplicação de tensão senoidal sobre o indutor, s assume o valor jω, assim

IjXILjE LLˆˆˆ == ω (5)

Nas expressões acima, vemos em (4) que o termo sL corresponde a uma impedância complexa cuja unidade é Ohm e pode ser utilizada com qualquer forma de onda de tensão ou corrente, ou seja é uma expressão geral para a reatância indutiva, já na expressão (5) temos uma aplicação particular da reatância indutiva válida apenas para formas de onda senoidais e que é bastante utilizada em circuitos de corrente alternada e cuja validade pode ser demonstrada com facilidade. Observe que na expressão (5) introduzimos uma na entidade matemática com acento circunflexo denominada fasor e que será explica logo a seguir. Seja )(Im*)( tsentiL ω= a corrente aplicada em um indutor, então a expressão da tensão sobre o mesmo esta vinculada a )(tiL por

)cos()()( tLIdt

tdiLte mL ωω== (5)


8

o que equivale a )90()( 0+= tsenLIte mL ωω (6) Note que a tensão sobre o indutor adianta a corrente em 90o, ou seja, que a corrente atrasa de 90o em relação a tensão. O QUADRO GIRANTE COM VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE Vamos admitir que tenhamos uma máquina fotográfica competente para tirar fotografias sincronizadas com a freqüência da rede elétrica de modo que toda vez que a onda de tensão senoidal inicie seu ciclo uma foto seja tirada. Observe que os osciloscópios são capazes de fazer isto. Se a hipótese do sincronismo for verdadeira então

πωω 2kTkt == onde k é um inteiro positivo e corresponde ao número da foto que está sendo tirada no k’ésimo instante. Isto torna a expressão (6) em

mLmkj

m

mL

IjXLIjeLI

IkLsenkTe

==

=+=+ ωω

πωπ )902(

)902()(

Usaremos a partir de agora o mapeamento

LL EkTe ˆ)( → este mapeamento transforma valores escalares em função do tempo em uma entidade denominada fasor cuja única preocupação é mostrar a amplitude de uma onda senoidal, seja em termos de valores de pico ou de valores eficazes, e suas respectivas fases dentro de um ciclo da rede, o qual subentende-se que seja igual aos ciclos anteriores e posteriores a ele, por isso é fundamental que os fasores sejam empregados apenas nas condições de regime estacionário. Assim teremos a expressão mLL IjXE =ˆ (7) como queríamos demonstrar. De forma geral podemos escrever

LLL IjXE ˆˆ = (8)

Observe que mI corresponde a ao valor

particular de uma fase de I . O mesmo raciocínio utilizado para os indutores pode ser utilizado para os capacitores. A relação entre a tensão e a corrente em um capacitor é dada pela expressão

∫=t

tc dtti

Cte

0

)(1)( (8)

que no domínio complexo para uma forma de onda arbitrária de corrente pode ser escrita,

)(1)( sIsC

sE mC = (9)

e (t)Ci(t)

-+

Figura 11 – A diferença de potencial em um capacitor provocada por uma corrente i(t). Se a corrente aplicada no capacitor for senoidal da forma, )(Im*)( tsentiC ω= então a tensão sobre o capacitor será,

∫ −−==t

t

mmC tt

CI

dsenCI

te0

))(cos()()( 0ωω

τωτ

para 00 =t e )90()270()cos( −=+=− tsentsent ωωω

)90()( −= tsenC

Ite m

C ωω

nesta expressão é possível notar que a onda de tensão está atrasada de 90 graus elétricos em relação a onda de corrente, ou seja, a onda de corrente , nos capacitores adianta de 90o em relação a onda de tensão. Utilizando o mapeamento já utilizado para os indutores podemos escrever para os capacitores,

mCm

kjmC

IjXC

Ij

eC

IEkTec

−=−

==→ −

ω

ωπ )902(ˆ)(

ou de forma geral


9

CCC IjXE ˆˆ −= (10) observe que em particular

90ˆ jm

j eIIeI == θ , assim a tensão sobre o capacitor na condição em que a fase da corrente é +90o será

0)9090(ˆ jmC

jmC eIXeIXE == − .

Quando a fase da corrente em um capacitor for +90o, a tensão sobre o mesmo será 0o, ou seja estará 90o atrasada em relação a corrente. A LEI DAS MALHAS DE KIRCHHOFF “A soma algébrica das tensões instantâneas dentro uma malha fechada em um circuito elétrico sempre é zero”. Ou matematicamente

∑=

=n

kke

10

onde n é o número de elementos contidos na malha, sejam estes elementos fontes de potencial ou elementos passivos, tais como resistores, indutores ou capacitores. Aplicando este conceito no circuito da figura 7, podemos escrever,

0)(1)()()(0

=+++− ∫t

t

dttiCdt

tdiLtRite

Observe que esta é uma equação integro-diferencial, um pouco difícil de resolver no nosso estágio, porém esta equação pode ser algebrizada utilizando os conceitos da transformada de Laplace, assim, sob condições iniciais nulas,

0)()()()( =+++−sC

sIssLIsRIsE

Daí, obtemos a corrente

sCsLRsEsI

1)()(++

=

onde E(s) é a transformada de Laplace da forma de onda da tensão da fonte, s é a

transformada de Laplace da derivada e s/1 é a transformada de Laplace da

integral. Se admitirmos o comportamento senoidal ou harmônico das componentes que integram o circuito, na condição de operação em regime, podemos utilizar o conceito de fasor que já aprendemos para resolver a corrente de malha. Lembre-se sempre que o operador de Laplace é uma forma mais geral de escrita do termo ωj , ou seja ωσ js += quando o termo

0=σ . Assim

=++

=)/(1

ˆˆCjLjR

EIωω

)(

ˆˆˆCLCL XXjR

EjXjXR

EI−+

=−+

=

−−

−+= R

XXEFasedej

CL

CL

eXXR

EIarctanˆ

22 )(ˆ

A figura 11 mostra as relações entre as onda de tensão nos vários elementos do circuito em relação a corrente, que é a mesma em todos os elementos – ESTA É A CARACTERÍSTICA DOS CIRCUITOS EM SÉRIE.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

efonte

eresistor

eindutor

ecapacitor

corrente

Formas de onda no circuito RLC senoidal - f=60Hz Vfonte=220Vrms

Tempo em segundo

Form

as d

e on

da d

a co

rrent

e e

das

tens

ões

no c

ircui

to

Figura 12 – Formas de onda da corrente e das tensões no circuito RLC série com fonte senoidal Exercício. Um circuito RLC em série é excitado por uma fonte de tesão senoidal de 220VRMS com freqüência de 60Hz. Se o resistor for


10

de 3,2Ω, o indutor de 0,0106H e o capacitor de 2700µF, calcular a corrente e a diferença de potencial sobre todos os elementos de circuito. Ver figura 7. Solução. Como a fonte de tensão é senoida com 220V eficazes, então seu valor de pico será, V12,311220*2 = e sua freqüência angular sradf /3772 == πω . Se admitirmos que sua fase inicial é 0o, então podemos escrever uma expressão para a onda de tensão na forma, )*377(*12,311)( tsente = . Como a onda é senoidal, os conceitos de reatância indutiva e reatância capacitiva se aplicam, assim podemos escrever

40106,0*377 === LX L ω e para a reatância capacitiva == )/(1 CX C ω 1Ω. Agora a impedância equivalente do circuito será,

o15,43)2,3/3arctan(22 386,432,3

32,3142,3jj ee

jjjZ

=+

=+=−+=

Podemos agora calcular a corrente eficaz no circuito,

)(23,5038,4220ˆˆ 15,43

15,43

0

Aeee

ZEI j

j

jo

o

o

−===

Podemos mapear imediatamente esta corrente para o domínio do tempo na forma,

))(15,43377(23,50*2)( Atsenti o−= A tensão ou diferença de potencia sobre o resistor pode ser calculada de forma direta tanto no domínio do tempo como da freqüência,

)(73,160ˆˆ 15,43 VeRIE jR

o−== ou ))(15,43377(2,3*03,71)( VtsenteR

o−= ))(15,41(31,227)( VtsenteR

o−= ω O fasor de tensão sobre o indutor pode ser calculado do seguinte modo,

)(92.200

4*23,50ˆˆ85,46

9015,43

Ve

ejXIEj

jjLL

o

o

=

== −

ou no domínio do tempo, ))(85,46377(16,284)( VtsenteL

o+= A tensão no capacitor pode ser calculada na forma,

)(23,50

23,50*1ˆˆ15,133

15,4390

Ae

eeIjXEj

jjCC

o

oo

−

−−

=

==

que no domínio do tempo será, ))(14,133377(23,50*2)( VtsenteC

o−= As formas de onda deste exercício são mostradas na figura 11, obviamente no domínio do tempo.

Re0220E=

50,23 43,15

=160,73ER43,15

=50,23

LE =200,92 46,85

CE133,15

Plano de Argand

-133,15

43,15

I=

Im

46,85

Figura 13 – Diagrama de fasores para o exemplo de circuito RLC em série. CIRCUITOS MULTIMALHAS E A LEI DAS CORRENTES DE KIRCHHOFF A lei das malhas ou das tensões de Kirchhoff pode ser aplicada em qualquer circuito elétrico, porém apenas esta lei não permite a solução completa dos circuitos multimalhas, assim é necessário o uslo da lei dos nós ou das correntes de Kirchhoff, que declara, A soma algébrica das correntes em um nó elétrico sempre é zero. Ou matematicamente

∑=

=n

kki

10

onde n é o número de ramos conectados a um determinado nó elétrico. Vamos fazer algumas definições que se tornam necessárias,


11

_________________________________ Nó elétrico é o ponto de junção de dois ou mais ramos elétricos. Ramos elétricos são as diversas partes de um circuito que compõem uma malha.

Nó A Nó B

Nó CNó D

MALHA

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I I

I

I

a

b

c d

e

f

j

g

h

k

m

n

p

Ramo 4Ramo 2

Ramo 1

Ramo 3

Figura 14 – Exemplo de um circuito e suas constituintes básicas. No nó A temos,

0=−+ cba iii No nó B temos,

0=+−+ jfed iiii No nó C temos,

0=−+ ghkl iii Finalmente no nó D,

0=−− nmp iii

O MÉTODO DAS CORRENTES FICTÍCIAS DE MAXWELL O método de Maxwell é bastante indicado quando analisamos circuito com malhas múltiplas uma vez que ele reduz no número de equações necessárias para a determinação das correntes de um determinado circuito. Exemplo. Vamos aplicar o método das correntes fictícias no circuito abaixo. Por inspeção podemos verificar que o circuito tem três malhas principais, vamos admitir que as duas fontes de tensão estejam sincronizadas mantendo as defasagens

entre si constantes, que as duas pulsações ou velocidades angulares sejam iguais com valor ω e que os fasores das correntes de malha sejam 1I , 2I e 3I .

~-

+

+ ~-

I2

I3

R1

R2

R 3

L1

C

R4

I1

2E θ2

E1θ1

L2

L 3

L4

Figura 15 – Circuito do exemplo sobre correntes fictícias de Maxwell. Vamos calcular as reatâncias 11 LX L ω= ,

22 LX L ω= , 33 LX L ω= , 44 LX L ω= e que )/(1 CX C ω= . Aplicando o conceito das correntes fictícias na malha de 1I ,

( )( ) 0ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

212

212111111

=−

+−+++−

IIR

IIjXIRIjXeE LLjθ

Na malha de 2I , ( ) ( )( ) 0ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

324

2321221222

=−

+++−+−

IIjX

IReEIIjXIIR

L

jL

θ

Na malha de 3I ,

( ) 0ˆˆˆˆ234343 =−++− IIjXIRIjX LC

Vamos admitir que RMSj VeE

o01 220ˆ = ,

RMSj VeE o45

2 110ˆ −= , Ω= 21R , Ω= 5,22R , Ω= 13R , Ω= 34R , mHL 41 = , mHL 82 = , mHL 63 = , mHL 104 = e o

capacitor seja de 442µF, assumindo que a freqüência das duas fontes seja de 60Hz e que ambas estão sincronizadas, podemos calcular,

Ω== − 508,110.4*377 31LX


12

Ω== − 016,310.8*377 32LX

Ω== − 262,210.6*377 33LX

Ω== − 77,310.10*377 34LX

Ω== − 00,6)10.442*377/(1 6CX

Utilizando as expressões já desenvolvidas, ( ) ( )

021

220

ˆ016,35,2ˆ5,2016,32508,1je

IjIjj

=

+−+++

( )

o4532

1

110ˆ77,3ˆ)77,3

262,21016,35,2(ˆ016,35,2jeIjIj

jjIj

−=−

++++++−

( ) 0ˆ677,33ˆ77,3 32 =−++− IjjIj

que na forma matricial fica,

−−=

−−−+−−

−−+

0

45110

220

ˆˆˆ

23,2377,3077,3048,95,3016,35,2

0016,35,2524,45,4

3

2

1 ojeIII

jjjjj

jj

=−−

−

−−−+−−

−−+

3ˆ2

ˆ1ˆ

0

45110

2201

23,2377,3077,3048,95,3016,35,2

0016,35,2524,45,4

III

jejjjjj

jjo

Resolvendo esta equação matricial obtemos,

)(893,38ˆ 526,381 AeI j o−=

)(962,9ˆ 143,32 AeI j o−=

)(0457,10ˆ 49,1233 AeI j o

= A potência dissipada nos resistores é,

WRIPR 33,30252*893,38* 21

211 ===

WRIIPR 32,24505,2*307,31ˆˆ 22

2

212 ==−=

WRIPR 241,991*962,9* 23

223 ===

WRIPR 75,3023*0457,10* 24

234 ===

WPPk

RRTotal k64,5877

4

1

== ∑=

Podemos confrontar esta potência calculando as potências fornecidas pelas duas fontes.

VAIES 46,8556893,38*220* 111 ===

VAIES 81,10959619,9*110* 222 === Pela observação do circuito, podemos verificar por inspeção que a fonte

2E está operando na convenção receptor como VAS 81,10952 = , a potência ativa absorvida por esta fonte é dada por,

)cos(* 22'22 IEE SP θθ −= ou WPE 17,816))143,3(45cos(81,10952 =−−−=

A potência ativa fornecida pela fonte 1E é

WS 93,6693)526,38cos(*46,8556cos 11 ==θEsta potência ativa deve ser igual a potência ativa absorvida pela fonte 2E somada a todas as potências dissipadas pelos resistores, ou seja,

64,587717,81693,6693 += como esta identidade se mantém, a menos de uma pequena diferença nas casas decimais devido as aproximações, concluímos que nosso circuito está com solução correta.

Re

-38,53

-45

220=E1 0

=10,047I3

-3,143=9,962I2=38,893I1

=110E2

Im

123,48

Figura 16 - Diagrama de fasores para o exemplo de uso das correntes fictícias de Maxwel. O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO Uma outra ferramenta opcional para análise de circuitos lineares é o teorema da superposição, nele se declara que as correntes em cada ramo, ou malha de circuito é resultante de cada fonte de potencial isolada de circuito analisada separadamente com as outras fontes curto-circuitadas. Vamos tomar o circuito do exemplo das correntes fictícias e analisá-lo para cada fonte de tensão


13

separadamente. Primeiro vamos analisar o os efeitos da fonte de 220V,

~-

+

0220

j3,016

j2,262j1,508

-j6,00

2,5

1

j3,77

3

Ω

ΩΩ

ΩΩ

Ω

Ω

2Ω

IA

I

I

B

C

ID

IE

Figura 17 – Análise do efeito da fonte de 220V A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é,

))63//(77,3

262,21//()016,35,2(508,12220.

jj

jjjZeq

−

+++++=

)3,80515,4//()016,35,2(508,12220. jjjZeq ++++=

Ω=o14,46

220. 211,5 jeq eZ

A corrente que passa pela fonte é,

)(213,42211,5220ˆ 14,46

14,46

0

AeeeI

j

j

Ao

o

o

−==

A tensão sobre o ramo )016,35,2( j+ e todos os outros em paralelo com ele é,

)(8105,116

)508,12(*ˆ220ˆ

254,8

0016,35,2

Ve

jIeEj

Aj

jo

o

=

+−=+

A corrente no ramo )016,35,2( j+ será,

)(818,29016,35,2

809,116ˆ 092,42253,8

AejeI j

j

B

o

o

−=+

=

A corrente CI pode ser calculada de,

)00,677,3(3)00,63(*77,3265,21

809,116ˆ253,8

−+−

++=

jjjj

eIj

C

o

)(646,12ˆ 73,55 AeI jC

o−= A tensão sobre a reatância de Ω77,3j Pode ser calculada da seguinte forma,

)262,21(ˆ809,116ˆ 253,877,3 jIeE C

jj +−=

)(563,85ˆ 46,777,3 VeE j

j

o

=

da qual pode-se obter as correntes DI e

EI .

)(125,2377,3

56,85ˆ 54,8246,7

Aej

eI jj

Do

o

−==

)(755,1263

56,85ˆ 897,7046,7

AeJ

eI jj

E

o

o

=−

=

As correntes devido a outra fonte podem ser calculadas a partir do circuito abaixo,

j3,016

j2,262j1,508

-j6,00

2,5

1

j3,77

3

Ω

ΩΩ

ΩΩ

Ω

Ω

2Ω

I

I

I

I+ ~-

-45110

IFG

H

K

L

Figura 18 – Circuito correspondente a fonte de 110V. A impedância equivalente deste circuito será 1+j2,262 em série com (3-j6)//j3,77 em série com (2+j1,508)//(2,5+j3,016), que resulta em,

)(6796,10 92,60110 Ω=

ojVeq eZ

)(3,10679,10

110ˆ 92,10592,60

45

Aee

eI jj

Fo

o

o

−−

==

A tensão sobre os ramos paralelos (3-j6)//j3,77 pode ser calculada diretamente de,

77,3//)63(*ˆˆ)63//(77,3 jjIE Fjj −=−

)(393,67ˆ 05,60)63//(77,3 VeE j

jj

o

=− Da mesma forma a tensão sobre o conjuto em paralelo (2+j1,508)//(2,5+j3,016) é dado por,


14

j3,016)2,5j1,508)//((2*ˆ

ˆj3,016)2,5j1,508)//((2

++

=++

FI

E

)(839,15ˆ 71,63j3,016)2,5j1,508)//((2 VeE j o−

++ = A partir destas tensções podemos calcular as correntes GI , HI , KI e LI do seguinte modo,

508,12839,15

508,12

ˆˆ

71,63)016,35,2//()508,12(

je

jE

Ij

jjG +

=+

=−

++o

)(323,6ˆ 73,100 AeI jG

o−=

016,35,2839,15

016,35,2

ˆˆ

71,63)016,35,2//()508,12(

je

jE

Ij

jjH +

=+

=−

++o

)(043,4ˆ 054,114 AeI jH

o−=

77,3393,67

77,3

ˆˆ

05,60)63//(77,3

je

jE

Ij

jjK

o

== −

)(876,17ˆ 95,29 AeI jK

o−=

63393,67

63

ˆˆ

05,60)63//(77,3

je

jE

Ij

jjL −

=−

= −o

)(046,10ˆ 48,123 AeI jL

o

= Para se obter a corrente real no circuito basta escolher qual é o ramo no qual estamos interessados e aplicar a soma algébrica das correntes calculadas nos dois circuito, por exemplo a corrente do ramo onde se encontra a fonte de

o45110 je− V, se escolhermos a direção de

FI como positiva, então a corrente resultante no circuito completo é,

)(961,9

646,123,10

ˆˆˆ

86,176

73,5592,105

110

Ae

ee

III

j

jj

CFVFonte

o

oo

=−

=−=−−

Compare este resultado com o do exemplo com o método das corrente fictícias, observe que “chutamos” a corrente invertida em relação a daquele exemplo, por isso o resultado da fase foi deslocado de 180o.

O TEOREMA DE THEVENIN Outra ferramenta básica para a análise de circuitos elétricos é o teorema de Thevenin e a metodologia para sua aplicação é:

• Separe o ramo de circuito no qual há interesse em se analisar, chame a tensão os pontos deixados em vazio de ThV .

• Determine a tensão ThV entre os pontos abertos.

• Curto-circuite todas as fontes de tensão e abra todas as fontes de corrente que porventura existam no circuito.

• Calcule a impedância vista pelo terminais abertos conectados antes na carga sob análise, chame a esta impedância de ThZ .

• Agora temos um circuito com uma fonte de tensão ThV e uma impedância conectada em série

ThZ correspondente a toda a rede anterior conectada a carga. Coloque a carga sob análise novamente neste circuito equivalente e calcule as correntes e tensões e potências em seus elementos.

Vamos utilizar o exemplo das correntes fictícias de Maxwell para demonstrar o uso do teorema de Thevenin. Suponha que queiramos fazer uma análise do ramo que contém 2R e 2L , assim retiramos este ramo do circuito que ficará como é mostrado abaixo.


15

~-

+

+ ~-j1,508 2 j2,262

1

-j6,003

j3,77

Ω Ω Ω

Ω

Ω

ΩΩ

VTh

j3,016

2,5

Ω

ΩI1

I2

220 0 V

−45110 V

Carga sob análise

Figura 19 – Análise de Thevenin. Utilizando o método de Maxwell. podemos calcular as corrente 1I e 2I .

−=

−−−+ −

0110220

ˆˆ

23,2377,377,354,73 450

2

1

ojj eeII

jjj

De onde obtemos. AeI j o651,29

1 065,14ˆ −= AeI j o97,96

2 185,14ˆ = o4,1

10 116,185ˆ)508,12(220 jj

Th eIjeV −=+−= ( )[ ]

3606,14759,100741,2

77,3//)63(262,21//)508,12(672,42 je

jjjjZj

Th

+=Ω

=−+++=o

~-

+

Ω0,7975j0,07898 Ω

185,116 V-1,4

ZTh

ETh

j3,016

2,5

Ω

Ω

I

Figura 20 – O circuito equivalente de Thevenin. A corrente na carga será:

)(307,31016,35,23606,14759,1

116,185

ˆˆ

147,494,1

_arg

Aejj

e

ZZEI

jj

análiseacTh

Th

o−−

=+++

=+

=

Compare esta corrente com a do exercício sobre correntes fictícias, ela equivale a

)(307,31

962,9893,38ˆˆ14,49

143,3526,3821

Ae

eeIIj

j

o

oo

−

−−

=

−=−

Em algumas circunstâncias o teorema de Thevenin pode auxiliar bastante na resolução de problemas mais pontuais de redes e máquinas elétricas. O USO DA ANÁLISE NODAL Em algumas aplicações, quando temos um nó comum a muitos outros nós, fica interessante utilizar a análise nodal na solução de problemas de circuitos elétricos, vamos demonstrar através de um exercício, tal situação,

~-

+R

R

2

4

jX

-jX

-jXjX R1 R3 jXL1

L2

L3

C1

C2

II

I II

I1

23 4

5

6

0V

V V1 2

E1 θ1 R5

Figura 21 - Circuito com um nó comum a vários outros. Na figura 18, vemos que embora o circuito tenha três malhas principais assim como três nós, um dos nós é comum e podemos associar ao mesmo um potencia de referência, normalmente zero, e passamos a montar as equações das correntes nos nós. A equação do nó 1 é,

0ˆˆˆ321 =++ III

0ˆˆˆˆˆ

23

21

12

1

11

11 =−−

+−

++−

CCL jXRVV

jXRV

jXREV

A equação do nó 2 é,

0ˆˆˆ654 =++ III

0ˆˆˆˆ

35

2

24

2

23

12 =+

++

+−−

LLC jXRV

jXRV

jXRVV

Com isto fica relativamente simples montar uma matriz de admitâncias e resolver o problema da forma já utilizada anteriormente.


16

Exemplo. Para o circuito mostrado na figura 18 temos RMS

j VeEo0

1 200ˆ = com freqüência de 60Hz, Ω= 21R ,

Ω= 32R , Ω= 43R , Ω= 5,14R , Ω= 15R , HL 01,01 = , HL 008,02 = ,

HL 007,03 = , FC µ6621 = e FC µ4422 = , calcular a potência

dissipada no resistor 4R .

Ω=== 77,301,0*3772 11 fLX L π Ω== 016,3008,0*3772LX Ω== 639,2007,0*3773LX

Ω== − 007,410.662*377/(1 61CX

Ω== − 00,6)10.442*377/(1 62CX

Utilizando as expressões já desenvolvidas acima podemos escrever,

064

ˆˆ

43

ˆ

77,32200ˆ

2110

1 =−−

+−

++−

jVV

jV

jeV j

0639,21

ˆ

016,35,1

ˆ

64

ˆˆ2212 =

++

++

−−

jV

jV

jVV

assim,

=+−

=−

−

−

02ˆ58662,01

ˆ1387,0

864,462ˆ1387,01

ˆ31427,0

21,5531,56

05,6231,5657,12

VeVe

eVeVe

jj

jjj

o

oo

o

o

Resolvendo o sistema acima obtemos,

)(103,136ˆ 33,721 VeV j o−=

)(180,32ˆ 18,392 VeV j o

= A corrente no resistor 4R pode ser obtida de,

016,35,1180,32ˆ

ˆ18,39

24

25 j

ejXR

VI

j

L +=

+=

o

)(553,9ˆ 38,245 AeI j o−=

logo a potência dissipada por 4R será,

WRIPR 9,1365,1*553,9ˆ 24

2

54 ===

A potência dissipada pelo resistor 3R pode ser calculada de,

WRjXRVVP

CR 64,1751*

ˆˆ3

2

23

213 =

−−

=

a potência dissipada em 1R será,

=−−

= 1

2

11

111 *

ˆˆR

jXRVEP

LR 4612,03W

a potência dissipada em 2R será,

WRjXR

VPC

R 88,2222*ˆ

2

2

12

22 =

−=

finalmente a potência dissipada em 5R será,

WRjXR

VP

LR 02,130

ˆ5

2

35

25 =

+=

A soma das potências dissipadas pelos resistores é 8853,5W, e a potência ativa fornecida pelo gerador pode ser calculada pelo produto da tensão gerada e da corrente que fornecida pelo mesmo, 1I que pode ser calculada da seguinte forma,

77,32103,136200ˆ

33,720

1 jeeI

jj

+−

=− oo

)(02,48ˆ 80,221 AeI j o−=

A potência ativa fornecida pela fonte pode ser calculada da forma,

)8,22cos(02,48*200cos 111o−== ϕIEP

=P 8853,6W Este resultado demonstra que o problema foi corretamente resolvido. Na análise nodal o uso do inverso das impedâncias dos ramos das malhas é, as vezes, mais interessante do que trabalhar com as impedâncias, trabalhar diretamente com seus inversos as admitâncias, assim, no exemplo acima escreveríamos,


17

)(2343,01 054,62

111 Se

XRY j

L

o−=+

=

)(2,01 130,53

122 Se

jXRY j

C

o

=−

=

)(1387,01 31,56

233 Se

jXRY j

C

o

=−

=

)(2968,01 55,63

244 Se

jXRY j

L

o−=+

=

)(3543,01 25,69

555 Se

jXRY j

L

o−=+

=

Daí podemos montar uma matriz de admitâncias para o problema,

+−−++

=

−

0

ˆˆˆ

1

1

543

3321

2

1 EYYY

YYYYVV

ou já resolvendo a inversão da matriz

++

+∆

=

0

ˆ1ˆˆ

1

3213

354

2

1 EYYYY

YYYVV

onde

2354321 )(*)( YYYYYY −+++=∆

Será deixada para o aluno a verificação numérica do método. VALORES EFICAZES ASSOCIADOS ÀS ONDAS DE TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICAS Os valores eficazes das ondas de tensão e corrente têm a ver com a potência que estas ondas podem transferir da fonte para a carga e dependem fortemente do tipo de onda que transporta a energia. Assim quando lidamos com ondas senoidais ou co-senoidais a relação entre o valor de pico e o valor eficaz é 2 , ou seja,

2=rms

pico

EE

isto não é verdadeiro para uma forma de onda diferente, triangular por exemplo. A quantidade elétrica, seja ela tensão ou corrente, associada com uma determinada forma de onda periódica de período T e cuja função em relação ao tempo seja descrita por

)(tf é dada pela média da raiz quadrada ou root mean square (rms) relacionada a seguinte expressão,

( ) dttfT

FT

rms ∫=0

2)(1

EXEMPLO Um resistor é alimentado pela onda de corrente elétrica mostrada na figura 21, se o valor de sua resistência for de 0,2Ω, calcular a potência dissipada sob a forma de calor por este resistor.

f(t)

t0-T/2 T/23T/8

-3T/8

60A

-60A

Figura 22 – Onda de corrente elétrica. Vamos determinar as funções nas diversas partes componentes do período.

60)(8/32/ 1 −=⇒−<<− tfTtT

tT

tfTtT3480)(8/38/3 2 =⇒<<−

60)(2/8/3 3 =⇒<< tfTtT O valor eficaz da onda será,


18

( )( )∫−

−∫

−∫++−=

8/3

2/

8/3

8/3

2/

8/3

2602

34802601 T

T

T

T

T

Tdtdtt

Tdt

TrmsI

que devido a simetria gerada pela função elevada ao quadrado, podemos escrever,

∫ ∫+

=

8/3

0

2/

8/3

2602

34802 T T

Tdtdtt

TTrmsI

+

= 2/

8/3

8/3

0

3 2603

2

34802 T

T

T

ttTTrmsI

AI rms 42,42= A potência dissipada pelo resistor será,

( ) WRIP rms 9,3592,0*42,42 22 ===

Teoria das correntes alternadas

Engineering

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