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Teoria Básica dos Campos de Radiação

Carlos Alexandre WuenscheProcessos Radiativos I

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IntroduçãoProblemas dependentes do tempo mostram a dependência clara de fenômenos elétricos e magnéticos - ELETROMAGNETISMO e não ELETRICIDADE e MAGNETISMOCampos variando no tempo dão origem a outros campos, assim como o deslocamento de cargas...Trataremos, por hora, do caso não-relativístico.

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IntroduçãoUma partícula em movimento num campo eletromagnético deve sofrer uma força produzida por ambos os campos, a chamada Força de Lorentz:

Podemos deduzir diretamente uma relação de balanço entre a energia potencial elétrica e a energia cinética da carga em movimento:

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�F = q( �E +v

c�v × �B)

�v.�F = q�v. �E

q�v. �E =d

dt(12mv2)

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A generalização da eq. de Lorentz para uma distribuição contínua de cargas em movimento fica:

sendo que os volumes devem ser menor do que o volume total do espaço em que os campos estão sendo medidos, mas muito maior do que o volume ocupado por uma única partícula

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�F = q( �E +v

c�v × �B)

ρ = lim∆V→01

∆V

�

i

qi

�j = lim∆V→01

∆V

�

i

qivi

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∇ • �E = 4πρe ∇ • �B = 0

∇× �E = −1c

∂ �B

∂t∇× �B =

4π

c�je +

1c

∂ �E

∂t

∇ • �D = 4πρe ∇ • �B = 0

∇× �E =∂ �B

∂t∇× �H =

4π

c

�j +1c

∂ �D

∂t

�D = � �E �B = µ �H

Eqs. de Maxwell (vácuo e meio material)

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Algumas consequências...Conservação de cargaDeterminamos a densidade de energia e fluxo para o campo eletromagnético usando a lei de Ampére e a definição de trabalho por unidade de volume numa distribuição de cargas para chegar no teorema de Poynting

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�j • �E +18π

∂

∂t[�E2 +

B2

µ] = −∇ • (

c

4π�E × �B)

Energia do campo Vetor de Poynting

∇ •�j +∂ρ

∂t= 0

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Ondas Eletromagnéticas Planas

A partir destas equações, deduzimos as equações de onda para os campos elétrico e magnético

A simetria entre as eqs. de onda vem da invariância das Eqs. de Maxwell para as transformaçoes E → B e

B → - E acima7

∇ • �E = 0 ∇ • �B = 0

∇× �E +∂ �B

∂t= 0 ∇× �B − 1

c

∂ �E

∂t= 0

∇2 �E − 1c2

∂2 �E

∂t2= 0

∇2 �B − 1c2

∂2 �B

∂t2= 0

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�E = a1E0ei(�k•�r−ωt) �B = a2B0e

i(�k•�r−ωt)

Solução das eqs. de onda

Essas soluções são gerais e representam ondas planas viajando na direção n e, superpondo essas soluções se propagando em todas as direções do espaço podemos construir a solução mais geral para as equações de Maxwell no vácuo (sem fontes).A substituição dessas soluções nas eqs. de Maxwell nos dá:

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i�k • a1E0 = 0 i�k • a2B0 = 0

i�k × a1E0 =iω

ca2B0 i�k × a2B0 = − iω

ca1E0

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A propagação da ondaa1 e a2 são perpendiculares à direção de propagaçãoa1, a2 e k formam uma tríade “horária” de vetores mutuamente perpendiculares perpendiculares à direção de propagação. a1, a2 definem o plano de oscilação da onda EM. Relacionamos E0 e B0 através das expressões:

Essas relações implicam que a amplitude dos campos E e B é a mesma!

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E0 =ω

κcB0 B0 =

ω

κcE0

E0 =ω

κc

2E0 ω2 = κ2c2

Velocidade de fase:

Velocidade de grupo:

vfase =ω

κ

vgrupo =∂ω

∂κ

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O Espectro de RadiaçãoDepende da variação temporal de E.Não existe um espectro “instantâneo”, sendo necessário medir um trem de ondas ou a radiação de um único ponto durante um intervalo de tempo suficientemente longo para caracterizar um espectro.Dado um tempo Δt, só podemos resolver o espectro em frequências Δω tal que ΔtΔω > 1!Considerando a radiação na forma de um pulso finito (para o campo elétrico, já que o magnético se comporta da mesma forma), podemos representar E(t) na forma de um “par de Fourier”.

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E(ω) contém toda a informação de frequência de E(t)! A energia carregada por essa onda pode ser expressa em termos do vetor de Poynting:

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E(ω) =12π

� +∞

−∞E(t)eiωtdt

E(t) =12π

� +∞

−∞E(ω)eiωtdω

dW

dAdt=

c

4πE2(t)

dW

dAdω= cE2(ω)E pode-se mostrar que essa expressão é

equivalente, usando o teorema de Parseval, a

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Obtendo a média do espectro de potênciat = 1 t = 16

t = 64t = 4

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