Diagramas de Fora Cisalhante e Momento Fletor

Prof. Ricardo R. Fragelli

Setembro, 2004Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas

Ao analisar as foras atuantes nos elementos de uma trelia, verificamos, atravs do mtodo das sees, que as foras so axiais em toda a barra.

Veja:Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAaaFFABA

Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos no esto sempre submetidos somente a foras axiais.Estudaremos a seguir os esforos internos em uma viga submetida a carregamentos no axiais.Considere a viga seguinte:

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAaaF1ABAF2F3F5F4

Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reaes que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante.Em geral, a viga secionada resiste translao em x e y, alm de resistir a uma tendncia de rotao em relao ao eixo z (perpendicular ao plano xy).

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

As reaes N, V e M so explicadas a seguir:N conhecida como fora normal ou axial e responsvel pela trao ou compresso do elemento;V a fora cortante ou cisalhante, responsvel pela tendncia de corte da viga;M conhecido como momento fletor e responsvel pela flexo da viga.Em geral, os esforos V e M so mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma rgua, voc conseguiria quebr-la por trao? Para quebrar a rgua, basta entort-la. Nesse caso, dizemos que a rgua quebrou devido ao momento fletor.

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

(i) Fora cisalhante (V>0)

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAAVBAVaaABACorte a-a:Anlise do lado esquerdo, V para cimaAnlise do lado esquerdo, V para baixo

Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

(ii) Momento fletor (M>0)

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAA

MBAM

aaABACorte a-a:Anlise do lado esquerdo, V para cimaAnlise do lado esquerdo, V para baixo

Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as foras cisalhantes e momentos fletores so geralmente mais importantes que as foras axiais e, portanto, estes sero os objetos de nosso estudo.No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos especficos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAaaAEB10NbbDC5N5N1,0m1,0m1,0m1,0m

Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Anlise de Equilbrio do corte a-a: Fx=0 N=0 Fy=0 V=5N MB=0 M=5N.m

Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Anlise de Equilbrio do corte b-b: Fx=0 N=0 Fy=0 V=-5N MD=0 M=-5N.m

Visto que o clculo de V e M fundamental para o projeto de vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variveis ao longo da viga.Para realizar esse estudo, basta que se faa cortes para distncias arbitrrias em toda a extenso da viga. Estas sees devem ser estudadas em regies determinadas pelo surgimento ou trmino de um novo carregamento (fora concentrada, carga distribuda ou momento binrio). conveniente fazer os grficos de V e M logo abaixo da representao grfica do problema (desenho da viga).

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

Exemplo 2) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAC10NB5N5N2,0m2,0mExistem duas regies de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funes para V(x) e duas para M(x).

Exemplo 2)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAA5NPrimeiro corte: (a-a)xx

Exemplo 2)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAxAnlise de Equilbrio do corte a-a:* Vlido para (0

Exemplo 2)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAA5NSegundo corte: (b-b)xx

Exemplo 2)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAxAnlise de Equilbrio do corte a-a:* Vlido para (2

Exemplo 2)Diagramas de V e M:Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA

5.0-5.02.04.0x [m]V [N]10.02.04.0x [m]M [N.m]

Existe uma relao diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstr-la agora.Considere uma seo de uma viga sujeita a um carregamento distribudo w(x):

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAaaABAbbBw(x)N(A)V(A)

M(A)x

Fazendo dois cortes em A e B, distanciados em x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ao do carregamento distribudo w(x). Considerando x suficientemente pequeno, podemos considerar a variao do carregamento desprezvel.

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAaaABAbbBw(x)N(A)V(A)

M(A)x

Fazendo o estudo de equilbrio da viga restante (lembrando que x to pequeno quanto se queira), seo entre A e B, temos que:

Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAABw(x)N(x)V(x)

M(x)xAnlise de Equilbrio: Fx=0 N(x+x)=N(x) Fy=0 V(x +x)-V(x)=-w(x) x MB=0 M(x +x)-M(x)=V(x) xFazendo x 0, temos que

Exemplo 3) Faa os diagramas de fora de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAB20N/mAyBy10mExiste apenas uma regio de anlise, portanto, existe apenas uma funo para V(x) e uma para M(x).

Exemplo 3)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAB20N/mAyBy10mAntes de encontrar as equaes para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reaes Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuda em uma fora concentrada aplicada no centride de rea do carregamento. Neste caso, a figura um retngulo e, portanto, a fora resultante igual a sua rea, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.

Exemplo 3)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAB20N/m10mSendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.

Exemplo 3)Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICAAB20N/m100N100N10mComo w(x)=20, temos que:

V(x) = V(A) - w(x) dx V(x) = 100 - 20x

M(x) = M(A) + V(x) dx M(x) = 100x - 10x2 xA xA0

Exemplo 3)Diagramas de V e M:Mecnica Geral Esforos Internos em Vigas Prof. Ricardo R. FragelliDIAGRAMAS DE FORA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR AULA TERICA100-1005.010.0x [m]V [N]2505.010.0x [m]M [N.m]M(x) = 100x - 10x2V(x) = 100 - 20x

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O contedo mostrado aqui suficiente para resolver os problemas referentes a este assunto, contudo, depende do aluno no limitar o seu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais aprofundados no assunto, bem como possveis paradoxos e desafios que sero discutidos no Frum. Para testar o seu potencial de resoluo faa os exerccios da lista.

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Prof. Ricardo R. Fragelli(dvidas? fragelli@hotmail.com)

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