Determinantes Impresso em 15/12/00 às 11:24:19, 1determinant.doc

Determinante de Segunda Ordem___________________________________________1

Determinante de Terceira Ordem — Regra de Sarrus__________________________2

Cofator________________________________________________________________3

Teorema de Laplace______________________________________________________3

Teorema de Jacob________________________________________________________4

Regra de Chió (abaixamento da ordem de um determinante)_____________________5

Determinante de Vandermonde_____________________________________________5

Teorema de Binet________________________________________________________6

Matemáticos — História da Matemática______________________________________6

Ambiente e Preservação___________________________________________________7

Referências Bibliográficas_________________________________________________7

Respostas:______________________________________________________________7

Determinante de Segunda OrdemA toda matriz está associado um número real chamado determinante.

1. Calcular o valor dos determinantes:

a) =? Solução: = 2.8-5.4= 16-5 = -16 ® -16

Determinante de Terceira Ordem — Regra de Sarrus (Pierre Frederic Sarrus, 1798-1861, matemático francês.)

2. Calcule o valor do determinante: =?

resolução: =1.3.5+2.2.1 +0.0.4-

(0.3.1+1.2.4+2.0.5)= 11 ® 11

CofatorDada uma matriz A de ordem n, chama-se cofator de aij e indica-se Aij o número real obtido multiplicando-se (-1)i+j pelo determinante da matriz que se obtém da matriz A, excluindo-se a linha i e a coluna j do elemento aij.

3. Dada da matriz , calcule:

a) Os cofatores A13, A23 e A33

Teorema de Laplace ( Pierre Simon Laplace, 1749-1827, astrônomo, físico e matemático francês)

O determinante de uma matriz quadrada A é o número real obtido somando-se os produtos dos elementos de uma linha (ou uma coluna), pelos seus respectivos cofatores.

4. Calcule os determinantes:

a) =? ® -31 b) =? ® 292

Teorema de Jacob

(Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851, filósofo e matemático alemão)http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Jacobi.html

— Um determinante não se altera quando somamos, a uma fila, outra fila paralela previamente multiplicada por um número real qualquer.

— Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Se adicionarmos a uma de suas filas outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma matriz B tal que: detB = detA.

5. Calcule os determinantes:

a) =? Solução: Somando à segunda linha o produto da

primeira linha por –2, temos: , aplicando a esse último

resultado o teorema de Laplace pela segunda linha, temos:

= -6 ® detB =detA = -6

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b) =? Solução: Somando à terceira linha o produto da

primeira linha por 2, temos: , aplicando a esse último

resultado o teorema de Laplace pela terceira linha, temos:

= (-2).(-16)=32 ® detB =detA = 14

c) d)

e) =?

Multiplica a segunda linha por –1 e soma à primeira linha; soma à terceira coluna a quarta coluna multiplicada por –1 .

6. Calcule o detA, sendo A= , com .

7. Resolva a equação em R = -8.

Regra de Chió (abaixamento da ordem de um determinante)(Felice Chió, matemático italiano, 1813-1871)

8. Calcule os determinantes

a) =?

b) =? = = 2.6 –(-5.5) =

c)

d) =? Solução: = =

= = =

=

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9. Calcular o valor do determinante , sabendo que .

Determinante de Vandermonde(Alexandre Théophile Vandermonde, Born: 28 Feb 1735 in Paris, France;Died: 1 Jan 1796 in Paris, France)http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Vandermonde.html

10. Calcule os determinantes:

a) =?

Resolução:

=(-3-2).(4-(-3)).(4-2)=

b)

Teorema de Binet(Jacques Philipe Marie Binet, matemático francês, 1786-1856)

Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então: det(A.B)=detA.detB.

11. Dadas as matrizes e , Calcule: a) detA b) detB

c) det(A.B) d) det (B.A)

12. Dadas as matrizes e , Calcule: a) detA b) detB

c) det(A.B) d) det (B.A)

13. Dadas as matrizes , Calcule: a) detA b) detA-1

1.

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