Tempo de Tunelamento na Frente de Luz - UESC · 7.9 Tempo de tunelamento na frente de luz com...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ CENTRO DE CI ˆ ENCIAS E TECNOLOGIA COORDENAC ¸ ˜ AO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM F ´ ISICA - PROF ´ ISICA DISSERTAC ¸ ˜ AO DE MESTRADO Tempo de Tunelamento na Frente de Luz Daykson Neves Possidonio ILH ´ EUS - Fevereiro 2019 -
Transcript of Tempo de Tunelamento na Frente de Luz - UESC · 7.9 Tempo de tunelamento na frente de luz com...
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA
COORDENACAO DE POS-GRADUACAO EM FISICA - PROFISICA
DISSERTACAO DE MESTRADO
Tempo de Tunelamento na Frente de Luz
Daykson Neves Possidonio
ILHEUS
- Fevereiro 2019 -
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA
COORDENACAO DE POS-GRADUACAO EM FISICA
DISSERTACAO DE MESTRADO
Tempo de Tunelamento na Frente de Luz
Daykson Neves Possidonio
Dissertacao apresentada ao Programa de
Pos-Graduacao em Fısica da Universidade
Estadual de Santa Cruz, como requisito parcial
para obtencao do Grau de Mestre em Fısica.
Area de Concentracao: Teoria de Cam-
pos e Otica Quantica.
Orientador: Prof. Dr. Jorge Henrique de
Oliveira Sales
ILHEUS
- Fevereiro 2019 -
P856 Possidonio, Daykson Neves. Tempo de tunelamento na frente de luz / Day- kson Neves Possidonio. – Ilhéus, BA: UESC, 2019. xiii, 88f. : il. Orientador: Jorge Henrique de Oliveira Sales Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências e apêndices.
1. Tunelamento (Física). 2. Probabilidade de pe-
netração (Física). 3. Equação de Schrödinger. 4. Re- latividade especial (Física). Título. CDD 530.416
“O tempo e muito lento para os que esperam,
Muito rapido para os que tem medo,
Muito longo para os que lamentam,
Muito curto para os que festejam;
Mas, para os que amam, o tempo e eterno.”
Henry Van Dyke
vi
Agradecimentos
Agradeco em primeiro lugar a Deus que me deu forcas para enfrentar todas as
dificuldades e obstaculos nao me deixando desistir de alcancar mais esse objetivo.
Gostaria de agradecer minha querida avo Doraci Neves pelo amor incondicional
que sempre me dedicou.
Agradeco meus pais, Fred Ney Possidonio e Ivete Neves, pela excelente criacao e
educacao que me foi dada e ao meu irmao Ted Possidonio.
A minha famılia Neves e Possidonio, dedico meu crescimento profissional e pessoal
a todos voces.
A Erica Porto, pelo carinho, amor, paciencia e dedicacao.
Minha gratidao ao professor Jorge Henrique Sales, por ter me orientado ao de-
correr desse trabalho e pelos seus conselhos como professor.
Agradeco a professora Luciana Claudia de Paula.
Agradeco ao Pedro Girotto que me ajudou com o software Mathematica.
Gostaria de agradecer ao programa PROFISICA e a UESC, pelo apoio e suporte
que me foi concedido durante minha jornada no mestrado.
Agradeco ao colegiado do PROFISICA, aos professores que tive durante toda
a minha vida academica principalmente aos professores da Pos-graduacao em Fısica da
Universidade Estadual de Santa Cruz, pois sem os ensinamentos que recebi nao teria
como chegar ao lugar que cheguei. Em especial gostaria de agradecer ao professor Arturo
Samana.
Agradeco a Roberta, secretaria do colegiado do PROFISICA.
A Emille Botelho, Raimundo, Thiago, Ricardo, Jessica, e aos demais amigos e
irmaos de coracao. Que sempre andaram ao meu lado em minhas escolhas e por nunca
me abandonarem mesmo na distancia.
A Ivanderson, Damares, Ilane, Beto, Micael, Van, Joao, Joas, Roberto Claudino,
Murilo, Hiego grandes amigos que fiz durante o perıodo de minha graduacao e levarei
para a vida.
Gostaria agradecer ao professor Ronaldo Silva Thibes, por sempre incentivar seus
alunos e ex-alunos a buscarem sempre o melhor.
Por fim, agradeco a Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado da Bahia
(FAPESB) e FAPESB-PIE (0013/2016) pelo apoio financeiro ao qual fui beneficiado
ao longo do perıodo de mestrado.
vii
A minha avo Doraci Neves e aos meus pais.
ix
Resumo
O presente trabalho trata-se de um estudo sobre tempo de tunelamento quantico, efeito
Hartman e modo zero nas coordenadas da frente de luz. Efeito Tunel e um fenomeno
quantico onde uma partıcula consegue penetrar e atravessar uma barreira de potencial
V . De acordo com as leis da fısica classica, se uma partıcula possui energia E inferior
a altura da barreira, ela nao pode atravessa-la. Entretanto, de acordo com a mecanica
quantica, existe uma probabilidade muito pequena mas diferente de zero dessa partıcula
atravessar tal potencial. Nosso objetivo e estudar o tempo que essas partıculas levam
para atravessarem essas barreiras. Para isso utilizamos como metodo de investigacao do
efeito tunel, tanto quantico como para o relativıstico os metodos do tempo de fase e o
tempo de permanencia estacionaria. Em seguida e apresentado o efeito tunel na frente
de luz onde definimos as coordenadas x+ = (x0 + x3)/√
2 e x− = (x0 − x3)/√
2 que sao
usadas como metodo de investigacao para testar o efeito Hartman, ou seja, o tempo nao
satura independente do tamanho de nossa barreira de potencial. Assim, e obtido o efeito
Hartman em funcao da componente do momento em coordenadas da frente de luz k+ no
qual se manifesta o problema do modo zero, k+ = 0, que refere-se um estado de energia
zero. Dessa forma k+ se comporta como mais uma variavel em nossa equacao para medir o
tempo que uma onda demora para escapar de um potencial e, isso e feito quando fazermos
k+ → 0.
Palavras-chaves: Tunelamento Quantico, Efeito Hartman, Modo Zero.
x
Abstract
This work deals with a study of time of quantum tunneling, Hartman effect and zero
mode in the coordinates of the light front. Tunel effect is a quantum phenomenon where
a particle is able to penetrate and cross a potential barrier V . According to the laws of
classical physics, if a particle has energy E less than the height of the barrier, it can not
cross it. However, according to quantum mechanics, there is a very small but non-zero
probability of that particle going through such potential. Our goal is to study the time
these particles take to cross these barriers. For this, we use as method of investigation the
quantum and relativistic effect, the phase time methods and the stationary residence time.
Then, the tu nel effect is shown on the front of the light where we define the coordinates
x+ = (x0 + x3)/√
2 e x− = (x0 − x3)/√
2 that are used as a research method to test the
Hartman effect, in other words, regardless of the size of our potential barrier, time does
not saturate. Thus, the Hartman effect is obtained as a of the moment component in the
coordinates of the light front k+ in which the zero mode problem is expressed, k+ = 0,
which refers to a zero energy state. In this way, k+ behaves like another variable in our
equation to measure the time a wave takes to escape a potential, and this is done when
we take k+ → 0.
Keywords: Quantum Tunneling, Hartman Effect, Zero Mode.
Lista de Figuras
2.1 Largura do pacote em k e x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1 Representacao do Cone de Luz e as diferentes formas . Fonte: Possidonio
e Sales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Coordenadas da frente de luz. Fonte: SALES, 2013. . . . . . . . . . . . . . 35
7.1 Ttun para Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Ttun para Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 TfKGpara Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 TfKGpara Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.5 τFL para Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.6 τFL para Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.7 Comparacao ente os tempos de tunelamento Ttun, TKG e TFL para Ec =
0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.8 Comparacao ente os tempos de tunelamento Ttun, TKG e TFL para Ec = 0, 8
e V = 2, 7 em funcao de a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.9 Tempo de tunelamento na frente de luz com diferentes valores de k+, mos-
trando a influencia do efeito modo zero para o caso onde a energia cinetica
quanto a diferenca de energia potencial e cinetica sao relativısticas. . . . . 60
7.10 Tempo de tunelamento na frente de luz com diferentes valores de k+, mos-
trando a influencia do efeito modo zero para onde as energias sao nao-
relativısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.11 Graficos 3D dos Tempos de tunelamento na Frente de Fuz. . . . . . . . . . 61
7.12 Graficos 3D mostrando o Efeito Hartman e o Modo Zero de acordo a va-
riacao da largura da barreira a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
xi
Lista de Tabelas
5.1 Formas dinamicas introduzidas por Dirac, apresentadas e ilustradas nas
figuras 5.1(a), 5.1(b) e 5.1(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.1 Numero de onda da Mecanica Quantica e da Relatividade. . . . . . . . . . 53
xii
Sumario
Agradecimentos vi
Resumo ix
Abstract x
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xii
1 Introducao 1
2 Tempo de Tunelamento 5
2.1 Tempo de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tempo de Permanencia Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Corrente no Espaco dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Partıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Pacotes de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Tempo de Tunelamento Nao-Relativıstico 19
3.1 Tempo de Permanencia: Equacao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Tempo de Tunelamento Relativıstico 23
4.1 Tempo de Tunelamento via Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Tunelamento Relativıstico: Equacao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Tempo de Tunelamento Relativıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Paradoxo de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
xiii
5 Dinamica na Frente de Luz: Tempo de Tunelamento na Frente de Luz 32
5.1 Transformacoes de Coordenadas de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 Frente de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Metrica na Frente de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Metrica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Momento e Energia na Frete de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Equacao de Klein-Gordon na Frente de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Tempo de Tunelamento na Frente de Luz 45
6.1 Corrente e Densidade de Probabilidade na Frente de Luz . . . . . . . . . . 47
7 Resultados e Discussoes 51
7.1 Modo Zero na Frente de Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Conclusao 64
Referencias Bibliograficas 66
A Barreira Retangular 71
B Metodo da Fase Estacionaria 82
C Tempo de Permanencia 84
xiv
Capıtulo 1
Introducao
Ate o final do seculo XIX pensava-se que todas as leis da fısica ja tinham sido
descobertas. As leis de Newton pareciam descrever todos os detalhes do movimento de
um corpo, e as equacoes de Maxwell pareciam fornecer uma descricao completa para os
fenomenos eletromagneticos. Entretanto, logo no inıcio do seculo XX, varios trabalhos
desenvolvidos por Planck, Einstein, Bohr, de Broglie e outros, levaram a elaboracao de
duas novas teorias. Uma para explicar o comportamento de objetos que se movem com
velocidades proximas a da luz, denominada de Teoria da Relatividade Especial, e uma
teoria aplicada as partıculas microscopicas, denominada de Mecanica Quantica.
A mecanica relativıstica nao substitui a mecanica classica, mas situa-se como
uma teoria mais completa, que inclui as leis classicas como casos particulares. A teoria da
relatividade e constituıda de duas partes, a Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita),
e a Teoria da Relatividade Geral.
A primeira, desenvolvida por Einstein em 1905, se refere a obtencao de resulta-
dos entre medidas efetuadas em diferentes referencias inerciais que se deslocam uns em
relacao aos outros com velocidade constante. Por outro lado, tambem desenvolvida por
Einstein em 1916, a relatividade geral refere-se a geometrizacao fısica, em que se adota
um formalismo para descrever a gravitacao via uma teoria de campos quadridimensional,
entre outras. Neste trabalho, e abordado essencialmente os principais aspectos associados
a teoria da relatividade especial via espaco de Minkowski.
Por volta de 1907, Minkowski percebeu que a teoria da relatividade especial
poderia ser mais bem entendida em um espaco de quatro dimensoes, conhecido desde entao
como “espaco-tempo de Minkowski”, onde tempo e espaco nao sao entidades separadas,
1
mas misturadas em um espaco-tempo de quatro dimensoes, no qual a relatividade especial
pode ser muito bem representada geometricamente [1].
Em 1949, Dirac mostrou que e possıvel construir tres formas de dinamica, par-
tindo da descricao do estado inicial de um sistema relativıstico em qualquer superfıcie do
espaco-tempo, ou seja, partıculas se propagam no espaco avancando no tempo a partir do
hiperplano tambem denotado como hiper superfıcie em t = 0, ate um instante posterior
t > 0, sendo as formas definidas como: Forma Instantanea, que corresponde a Teoria
Relativıstica com condicoes de contorno definidas em t = 0, a Forma Pontual que consiste
em estabelecer os dados iniciais sobre um ramo de um hiperboloide, e a Forma Frontal
na qual trataremos nesta dissertacao, conhecida como Frente de Luz, onde suas condicoes
iniciais sao dadas em um hiperplano do espaco de Minkowski que contem a trajetoria da
luz [2, 3].
A mecanica quantica possibilita a explicacao de um fenomeno muito interessante
e peculiar em conexao com barreiras de energia de potencial. Como seria isso? Pense
em uma partıcula/onda que encontra uma barreira. O que aconteceria com essa onda
ao encontrar com uma barreira de potencial? De acordo com a mecanica quantica essa
partıcula nao retorna necessariamente, existe uma probabilidade de que ela passe para o
outro lado da barreira, mesmo que, de acordo com a mecanica classica, ela nao possua
energia cinetica suficiente para ultrapassar a barreira [4,5]. A penetracao de uma partıcula
em uma barreira e chamada de tunelamento. O tunelamento tem implicacoes muito
importantes sobre as propriedades eletronicas de materiais, nao somente nanomateriais,
sobre as velocidades de reacoes de transferencias de eletrons, sobre as propriedades de
acidos e bases, e sobre as tecnicas atualmente usadas para estudar superfıcies [6, 7].
Segundo as leis da fısica classica, se uma partıcula possui uma energia inferior a
altura de uma barreira de potencial, ela nao pode atravessa-la. A razao para isso e que a
energia total dessa partıcula e a soma de sua energia cinetica com a energia potencial. Para
sistemas conservativos, a energia total e uma constante do movimento. Isso significa, por
exemplo, que se a partıcula passar de uma regiao de potencial menos intenso para outra
de potencial mais intenso, sua energia cinetica diminuira. A partıcula pode continuar
passando para regioes de energias potenciais cada vez mais intensas, ate que a sua energia
cinetica se anule. No ponto em que isso o corre, toda a energia da partıcula e potencial e
ela nao pode ir alem. Esse ponto e, por essa razao, chamado de ponto de retorno.
2
A razao fundamental para a existencia de aspectos tao intrigantes no estudo
do tempo de tunelamento encontra-se no fato de que o tempo nao e um observavel na
Mecanica Quantica, conforme apontado por Pauli [8]. Devido a isso, existem algumas
definicoes de tempo de tunelamento, como por exemplo [12]: a) o Tempo de Permanencia
Estacionaria que mede o quanto uma partıcula permanece dentro de um potencial e de
acordo as informacoes obtidas ali dentro podemos obter informacoes de quanto tempo
seria necessario para a onda escapar dessa barreira; b) Tempo de Fase onde podemos
calcular o tempo de viagem de um lado ao outro de uma barreira de potencial quando
medimos as ondas de incidencia e transmissao da onda sobre o potencial; c) o Tempo de
Buttiker e Landauer, que considera a interacao entre o sistema e uma barreira oscilatoria
no tempo; d) e o Tempo de Larmor que consiste na interacao de um sistema carregado e
dotado de spin, atravessando uma barreira provida de um campo magnetico. No entanto,
trataremos nesta dissertacao apenas dos tempos de permanencia estacionaria e o tempo
de fase.
Podemos citar uma caracterıstica interessante do processo de tunelamento, que
se da quando aparece uma independencia do tempo de tunelamento com a extensao da
regiao classicamente proibida da barreira. Este efeito foi descoberto por Hartman e hoje
leva seu nome [9,10].
No segundo capıtulo desta dissertacao, sera apresentada ao leitor, os metodos
utilizados para medir o tempo de transicao de uma partıcula por um potencial do tipo
retangular. Sera apresentado o tempo de fase e o tempo de permanencia estacionaria [9]
e uma forma de deduzi-las partindo da equacao de Schrodinger.
O capıtulo tres apresentaremos o tempo de tunelamento quantico, onde e apresen-
tado o tempo de permanencia da partıcula dentro do potencial via equacao de Schrodinger.
Finalizamos esta secao, aplicando essa equacao no caso do potencial quadratico.
Seguimos para o quarto capıtulo onde estudaremos o tempo de tunelamento
atraves de metodos relativısticos. Iremos apresentar uma definicao para o tempo de tu-
nelamento relativıstico atraves do metodo do tempo de fase da mecanica quantica, onde
obteremos uma equacao analoga ao da mecanica quantica. Para isso usaremos a equacao
de Klein-Gordon, onde aplicaremos ao metodo do tempo de fase.
O quinto capıtulo sera destinado apresentar o formalismo da frente de luz. As
coordenadas da frente de luz vem sendo estudadas recentimente por [21–23], que apresenta
3
bons resultados em estudos referentes a area da fısica de partıculas e campos. O que nos
estimulou em aplica-lo no efeito tunel da mecanica quantica.
No capıtulo seis, partiremos da definicao proposta por Dirac, definiremos o tempo
de tunelamento partido de equacoes referente ao tempo de tunelamento quantico. Des-
tacamos que para isso, usaremos o metodo do tempo de permanencia estacionaria, onde
usaremos a equacao de Klein-Gordon (relativıstica) transcrevendo-a para a frente de luz.
Por fim, apresentaremos os resultados obtidos ao decorrer deste trabalho, como
forma de relato e comparacao dos resultados obtidos por cada proposta utilizada de medir
o tempo que uma partıcula leva para atravessar um potencial retangular.
4
Capıtulo 2
Tempo de Tunelamento
O fato de que tempo na mecanica quantica nao e um operador abriu uma gama
de possibilidades para o surgimentos de metodos para seu estudo. Como por exemplo
quando queremos estuda-lo em um outro problema que surgiu com a mecanica quantica, o
tunelamento de barreiras de potenciais. Recentemente LUNARDI et. al [33] e BONIN [12]
apresentaram um trabalho intitulado Uma Distribuicao de Probabilidade para Tempos
de Tunelamento Quanticos (A Probability Distribution for Quantum Tunneling Times)
mostrando que o estudo sobre o tempo que uma partıcula leva para tunelar uma barreira
de potencial e um linha de pesquisa forte e que ainda esta aberta para discussoes.
Neste capıtulo apresentaremos metodos mais utilizados atualmente para medir o
tempo de tunelamento presentes na literatura. Em seguida, mostraremos a relacao entre
esses diferentes tempos de tunelamento.
2.1 Tempo de Fase
Os estudos sobre o tempo de fase teve seu primeiro trabalho publicado em 1932
pelo MacColl [38]. Em seu estudos, ele buscou compreender casos em que o pacote de
incidente e uma superposicao de estados com energias menores que a altura do potencial
e concluiu que o pacote de ondas transmitido aparece no extremo final da barreira, apro-
ximadamente, no mesmo instante em que o pacote de incidente atinge o extremo inicial
da barreira, isto e, aparentemente nao existiria atraso. Recentemente existem estudos que
utilizam o metodo do tempo de fase aplicado ao efeito tunel quantico e relativıstico [12]
e, tambem, sobre o tempo de fase em coordenadas da frente de luz [22].
5
Para estudarmos o metodo do tempo de fase consideremos, neste momento,
solucoes da equacao de Schrodinger unidimensional,
i~∂Ψ(x, t)
∂t= − ~2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+ V (x)Ψ(x, t), (2.1)
aqui Ψ(x, t) e nossa funcao de onda plana, V (x) e o potencial que e independente do
tempo, t o tempo, x a posicao em nosso sistema esta localizado, e m a massa.
Nos restringiremos nesta secao, aos casos nos quais os potenciais sao nulos para
uma regiao em que x < 0 e x > a. Neste metodo nao e preciso que saibamos o que
esta ocorrendo dentro do intervalo 0 < x < a pois precisamos apenas das informacoes de
chegada e saida da onda ao potencial [12]. Aqui a e uma constante positiva com dimensoes
de comprimento.
Outra coisa que devemos definir, e que nossa onda esta se propagando da es-
querda para direita onde consequentemente observamos as ondas incidente, refletidas e
transmitidas. Sendo elas:
Ψinc(x, t) = ei(kx−Et/~),
Ψref(x, t) = R(E)e−i(kx−Et/~),
Ψtrans(x, t) = T (E)ei(kx−Et/~).
(2.2)
O sinal negativo na exponencial da funcao de onda refletida indica que a onda esta se
afastando da barreira diferente das ondas incidente e transmitida.
Na equacao (2.2), chamaremos R(E) e T (E) de coeficientes de reflexao e de
transmissao consequentemente. Esses coeficientes nos pode ser apresentados, tambem, da
seguinte maneira
R(E) = |R(E)|eiφR(E)
e
T (E) = |T (E)|eiφT (E).
6
Agora veremos as funcoes de ondas apresentadas na (2.2) como uma superposicao
de ondas:
Ψinc(x, t) =
∫ ∞0
dEA1(E)ei(k(E)x−Et/~),
Ψref(x, t) =
∫ ∞0
dEA2(E)e−i(k(E)x−Et/~),
Ψtrans(x, t) =
∫ ∞0
dEA3(E)ei(k(E)x−Et/~).
(2.3)
Os coeficientesAi(E) (com i = 1, 2, 3), sao as distribuicoes energeticas das ondas incidente,
refletida e transmitida. Os coeficientes de reflexao e transmissao foram absorvidos nas
definicoes das distribuicoes energeticas A2(E) e A3(E).
Segundo Bonin [12], o problema no qual a onda incidente e centrada numa certa
energia E0 e, alem disso, razoavelmente espacialmente localizada. Isso e feito impondo
que o modulo de Ai tenha um pico em E = E0 e, alem disso, seja significativamente
nao-nulo apenas numa pequena regiao do espectro ∆E em torno de E0.
Reescrevemos as equacoes acima considerando seus respectivos coeficientes de
distribuicao energetica:
Ψinc(x, t) =
∫ ∞0
dE|A1(E)|ei[k(E)x−Et/~+φ1(E)],
Ψref(x, t) =
∫ ∞0
dE|A2(E)|e−i[k(E)x−Et/~−φ2(E)],
Ψtrans(x, t) =
∫ ∞0
dE|A3(E)|ei[k(E)x−Et/~+φ3(E)].
(2.4)
Sabendo que
φ2(E) = φ1(E) + φR(E)
e
φ3(E) = φ1(E) + φT (E),
7
substituımos na equacao (2.4) onde nossas integrais assumem uma nova caracterıstica,
tais quais onde tınhamos φ2(E) agora temos φ1(E) + φR(E) e de forma analoga temos
que onde era φ3(E) agora e φ1(E) + φT (E), ou seja, nossa superposicao de ondas Ψref e
Ψtrans carrega consigo a fase da onda incidente. Dessa forma nossas integrais assumem
uma nova forma e assim utilizamos o metodo da fase estacionaria.
Para encontrarmos os tempo de entrada, reflexao e saıda utilizamos o metodo da
fase estacionaria, Apendice C, que dado:
Ψinc =
∫ ∞0
dE|A1(E)|ei(k(E)x−Et/~+φ1(E)),
aplicando o metodo da fase estacionaria em Ψinc,
(dk(E)
dE
)E=Eo
x− t
~+
(dφ1(E)
dE
)E=Eo
= 0,
obtemos
t =
(~dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφ1(E)
dE
)E=Eo
.
Aqui assumimos o subındice inc para indicar que o instante de tempo em questao
refere-se ao momento em que o pacote de ondas incide sobre a barreira de potencial. Desta
forma, escrevemos que:
tinc = ~(dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφ1(E)
dE
)E=Eo
. (2.5)
Para
Ψref =
∫ ∞0
dE|A2(E)|e−i(k(E)x−Et/~−φ2(E))
como φ2(E) = φ1(E) + φR(E), Ψref temos que
Ψref =
∫ ∞0
dE|A2(E)|e−i(k(E)x−Et/~−φ1(E)−ψR(E)),
e usamos o metodo da fase estacionaria obtemos
8
(dk(E)
dE
)E=Eo
x+t
~−(dφ1(E)
dE
)E=Eo
−(dφR(E)
dE
)E=Eo
= 0.
Colocando o “t” em evidencia temos
t = −(~dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφ1(E)
dE
)E=Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)E=Eo
.
Como fizemos para Ψinc, assumiremos o subındice ref para indicar que o tempo
encontrado e referente ao instante em que o pacote de onda e refletido pela barreira de
potencial. Dessa forma escrevemos:
tref = −~(dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφ1(E)
dE
)E=Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)E=Eo
. (2.6)
Como no caso anterior, dado
Ψtrans =
∫ ∞0
dE|A3(E)|e−i(k(E)x−Et/~−φ3(E)),
e como φ2(E) = φ1(E) + φT (E), logo Ψtrans fica
Ψtrans =
∫ ∞0
dE|A3(E)|e−i(k(E)x−Et/~−φ1(E)−ψT (E)),
onde aplicando o metodo da fase estacionaria obtem-se
(dk(E)
dE
)E=Eo
x− t
~+
(dφ1(E)
dE
)E=Eo
+
(dφT (E)
dE
)E=Eo
= 0
e deixando novamente em evidencia o tempo,
t = ~(dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφ1(E)
dE
)E=Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)E=Eo
.
9
Com o supraındice “trans” indicaremos a transmissao do pacote de ondas para o
outro lado da barreira de potencial. O instante de transmissao fica do tipo:
ttrans = ~(dk(E)
dE
)E=Eo
x+ ~(dφI(E)
dE
)E=Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)E=Eo
. (2.7)
Nas equacoes (2.5), (2.6) e (2.7) podemos ver os respectivos tempos associados ao
nosso tunelamento. Atraves dos resultados encontrados podemos calcular alguns instantes
importantes, como por exemplo, o instante de entrada do pico de energia incidente na
barreira.
ten = tinc(x = 0) = ~(dk(E)
dE
)Eo
x|x=0 + ~(dφ1(E)
dE
)Eo
,
ten = ~(dφ1(E)
dE
)Eo(E)
. (2.8)
Outro instante de tempo importante e o tempo de saıda da barreira do pico
transmitido:
ts = ttrans(x = a) = ~(dk(E)
dE
)Eo
x|x=a + ~(dφ1(E)
dE
)Eo
+ ~(dφT (E)
dE
)Eo
,
ts = ~(dk(E)
dE
)Eo
a+ ~(dφ1(E)
dE
)Eo
+ ~(dφT (E)
dE
)Eo
. (2.9)
Agora, ao fazermos a diferenca entre o tempo de saıda e o tempo de entrada da
partıcula em um dado potencial chegamos em uma equacao que pode ser interpretada
como o tempo de tunelamento
ttun = ts − te = ~(dk(E)
dE
)Eo
a+ ~(dφT (E)
dE
)Eo
. (2.10)
Se o potencial fosse identificado nulo, a expressao para onda incidente seria valida
em todo o espaco e, nesse caso, o pico do pacote de onda percorreria uma distancia a num
10
intervalo de tempo que chamamos de um tempo de vacuo, tvac, sendo este dado por:
tvac = ~(dk(E)
dE
)Eo
a. (2.11)
Com isso, podemos reescrever a equacao (2.10) como
ttun = tvac + ∆t (2.12)
onde ∆t e o tempo de atraso e esta relacionado ao atraso sofrido pelo pacote devido a
presenca do potencial. De acordo com as ultimas tres expressoes, onde o tempo de atraso
e dado por:
∆t = ~(dφT (E)
dE
)E0
. (2.13)
Esse tempo de atraso tem relacao direta com a resposta da fase com relacao a
variacao da energia [13]. O instante de saıda da regiao, do potencial do pico refletido tsr:
tsr = tref(x = 0) = −~(dk(E)
dE
)Eo
x|x=0 + ~(dφ1(E)
dE
)Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)Eo
,
tsr = ~(dφ1(E)
dE
)Eo
+ ~(dφR(E)
dE
)Eo
. (2.14)
A diferenca entre tsr e o tempo de entrada do pico do pacote incidente, te, e:
tr ≡ tsr − te,
tr = ~dφR(E)
dE. (2.15)
Assim, podemos ver que o pico do pacote de ondas nao e refletido instantanea-
mente pelo potencial. Os instantes de tempo representados pelas equacoes (2.10) e (2.15)
τTf = ttun = ~(dk(E)
dE
)Eo
a+ ~(dφT (E)
dE
)Eo
(2.16)
11
e
τRf = tr = ~(dφT (E)
dE
)Eo
, (2.17)
sao chamados de tempo de fase da onda transmitida τTf , e tempo de fase da onda refletida
τRf .
2.2 Tempo de Permanencia Estacionario
Outro metodo que iremos utilizar em nosso trabalho e o tempo de permanencia
estacionario. Essa tecnica que pode ser encontrada nos trabalhos de Winful [9–11], nos
mostra que podemos entender o tempo que uma onda permanece dentro de uma barreira
de potencial apenas estudando o que ocorrer em seu interior. Podemos encontrar, tambem,
trabalhos como [12] que mostra resultados atraves do tempo de permanencia estacionaria
e mostra a relacao entre esse metodo e o do tempo de fase.
Ao estudarmos este metodo do tempo de permanencia estacionaria τp devemos
conhece-la, logo temos que nossa equacao e representada por
τp =
∫ x1x2ρ(x, t)dx
J(x, t)(2.18)
onde τp e o tempo de permanencia que e dado pelo integrando da densidade de proba-
bilidade ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)Ψ(x, t)∗ com relacao ao espaco que nada mais e do
que a probabilidade de se encontrar nossa onda/partıcula em uma da regiao do espaco e,
tudo isso dividido pela corrente de densidade de probabilidade J(x, t) = J(x).
Nas proximas subsecoes apresentaremos um caminho alternativo para deduzir e
equacao (2.18).
2.2.1 Corrente no Espaco dos Momentos
Nesta subsecao iremos apresentar uma proposta de calculo da corrente de proba-
bilidade para o momento. Desta forma, Ψp e nossa funcao de onda para o momento
Ψpeipx/~ → ∂Ψp
∂x= i
p
~Ψp,
12
Ψ∗pe−ipx/~ →
∂Ψ∗p∂x
= −i p~
Ψ∗p.
Acorrente de densidade linear de probabilidade e tambem independente do tempo
e denotada por:
J(x) =~
2im
[Ψ∗p(x)
dΨ(x)pdx
−dΨ∗p(x)
dxΨp
](2.19)
o que resulta em
J(x) =p
mρ = ρv (2.20)
que corresponde a expressao conhecida de corrente associada a um escoamento com den-
sidade ρ e velocidade v. Essas condicoes se aplica ao caso geral da equacao de Schrodinger
na presenca de uma partıcula.
2.2.2 Partıcula Livre
Para partıculas livres em uma dimensao, a equacao de Schrodinger fica
i~∂Ψ(x, t)
∂t=
p2
2mΨ(x, t) = − ~2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2. (2.21)
Dado um estado estacionario de energia E,
Ψ(x, t) = ψE(x)e−iEt/~ (2.22)
onde ψE(x) representa nossa onda estacionaria com uma energia centrada em um ponto
especıfico, dizemos que
− ~2
2m
d2ψEdx2
= EψE,
d2ψEdx2
+
(2mE
~2
)ψE = 0. (2.23)
Como a energia e puramente cinetica, podemos escrever
13
E =p2
2mcom p ≡ +
√2mE.
Entao, (2.23) fica
d2ψEdx2
+(p~
)2
ψE = 0. (2.24)
Dessa forma ao resolver a equacao (2.24) usamos o metodo da equacao carac-
terıstica sendo que mediante a substituicao de λ2 = d2ΨE/dx2, λ1 = dΨE/dx e λ0 = 1,
temos que
λ2 +(p~
)2
= 0,
λ = ±i(p~
).
Sendo assim, nossa solucao de onda fica igual
ψE(x) = C1eipx/~ + C2e
−ipx/~. (2.25)
Esta solucao, equacao (2.25) e a solucao geral, sendo uma superposicao de auto-
estado o momento.
Temos aqui um exemplo de degenerescencia: Cada autovalor E ≥ 0 e duplamente
degenerado com duas autofuncoes linearmente independentes (+p e −p) correspondendo
a possibilidade de a partıcula se move para a direita ou para a esquerda, com a mesma
energia E.
Como as autofuncoes do momento, ψE(x) e uma autofuncao impropria, nao nor-
malizavel. Uma interpretacao possıvel dos resultados, por exemplo de
ψE+(x, t) = C+eipx/~e−iEt/~ (2.26)
que representa nao uma partıcula unica, mas um feixe estacionario de partıculas e mo-
mento +p e energia E (feixe momento-energia). A densidade de partıculas do feixe e
ρ = |Ψ+E|
2 = |C+|2 (2.27)
14
e a densidade de corrente de partıcula no feixe e ado por
J = ρv = ρp
m.
Podemos pensar numa experiencia com feixe com um grande numero de repeticoes
independentes de uma experiencia com uma unica partıcula, (2.25) representa, uma in-
terpretacao, a superposicao de dois feixes de partıculas livres.
2.2.3 Pacotes de Ondas
Em um estado mais geral possıvel de uma partıcula livre em uma dimensao e
obtida tomando uma expansao nas autofuncoes e energia (estado estacionario) como base:
Ψ(x, t) =
∫ +∞
−∞C(p)e−ipx/~e−iEt/~dp (2.28)
onde os auto estados do tipo C+(C−) correspondem a integral de 0 a ∞ (de −∞ a 0), e
E =p2
2m.
Pela teoria a integral de Fourrier, podem representar essa forma qualquer estado
normalizavel. Sendo que |Cp|2dp deve ser proporcional a probabilidade de encontrar a
partıcula com momento entre p e p + dp. Um estado normalizavel (2.28) chama-se um
pacote de ondas de partıculas livres. O princıpio de correspondencia sugere que se para
empregar um pacote de ondas para representar uma partıcula aproximadamente locali-
zada.
Podemos inferir, com base na teoria eletromagnetica, que a integral (2.28) trata-
se de uma integral de Fourier. Portanto, se |C(k)|2 tem um pico de largura ∆k, com
centro em x, e |C(x)|2 tem um pico de largura ∆x, com centro em x, deve ser
∆x∆k ∼ 2π. (2.29)
15
Figura 2.1: Largura do pacote em k e x.
Como k =p
~, entao a (2.29) equivale a
∆x∆p ∼ 2π~ = h, (2.30)
que e consistente com o princıpio de incerteza de Heisenberg e fornece uma deducao
heurıstica alternativa dessa relacao. Para interpretarmos ∆x e ∆p como as incertezas
(flutuacoes) em x e p, respetivamente, no pacote de ondas.
Analogamente, podemos esperar que seja
x ≈< x > e ~k ≈< p >, (2.31)
e podemos usar a (2.28) para estudar a evolucao temporal do centro de um pacote que,
para t = 0, e dado por
Ψ(x, t) =
∫ +∞
−∞C(p)eipx/~dp.
Rescrevendo a equacao (2.28) como (2.32)
Ψ(x, t) =
∫ +∞
−∞C(p)ei(kxωt)dp (2.32)
a relacao entre ω e k e dada por
ω =E
~=
ρ2
2m~=
~k2
2m~⇒ ω =
~k2
2m, (2.33)
16
de modo que a velocidade de fase ω varia com k, sendo a dispersao.
Agora para determinar a velocidade de grupo, temos
vg =
(dω
dk
)k=k
. (2.34)
A equacao (2.33) da
vg =< p >
m(2.35)
que e consistente com o teorema de Ehrenfest:
“O pacote de uma ondas se propaga com a velocidade media de partıculas.”
Entretanto, devido a existencia de dispersao, o pacote inicial tende a deforma-se
ao longo da propagacao.
Consideremos ρ(x, t) como a densidade linear de probabilidade de uma partıcula,
que se move em apenas uma direcao, encontrada na posicao x no instante t e J(x, t) o
fluxo de densidade de probabilidade associado a um ponto do espaco num instante de
tempo. Para um pacote de onda estacionario, ρ(x, t) = ρ e independente do tempo. Se
R for uma regiao do espaco entre dois pontos x1 e x2 e < v > e a velocidade media do
pacote de onda associada a velocidade da partıcula (vpart) [4], ou seja,
< v >= vpart, (2.36)
sendo a corrente dada por
< J >= ρ < v > . (2.37)
Podemos reescrever a equacao (2.36), de modo que
< J >
ρ=dx
dt. (2.38)
Portanto, ao reorganizar a equacao (2.38), e integrando-a dos dois lados da igual-
dade encontramos a equacao de tempo de permanencia de uma partıcula em um potencial
< J > dt = ρdx
17
∫dt =
∫ x2x1ρdx
< J >
Tp =
∫ x2x1ρ(x, t)dx
J(x, t)(2.39)
onde J(x, t) =< J > e o fluxo de densidade linear de probabilidade incidente na regiao R.
Com a equacao (2.39) e definido o tempo de permanencia estacionaria [9], que corresponde
a equacao (2.18).
Vejamos um exemplo de uma partıcula associada a uma onda plana cuja sua
solucao estacionaria, equacao (2.1) e dada por
ψ(x, t) = φ(x)e−iEt/~. (2.40)
No caso estacionario, a densidade linear de probabilidade e independente do
tempo e e dada por ρ(x) = |ψ(x)|2 = ψ(x)ψ(x)∗.
Como exemplo, vamos supor que R e uma regiao do espaco compreendida entre
os pontos xi e xi+1, sendo xi < xi+1. O tempo de permanencia estacionaria Tp nessa
regiao e o resultado para o fluxo de corrente incidente temos J = p/m e a probabilidade
e igual a ρ = 1. Substituindo esses valores na equacao (2.39), temos
Tp =
∫ xi+1
xiρdx
Jinc=xi+1 − xip/m
. (2.41)
Entretanto, esse e exatamente o intervalo de tempo que uma partıcula livre, no
regime da mecanica classica, permanece nessa regiao:
Tp =xi+1 − xi
v= tclas, (2.42)
onde tclas e o nosso tempo na mecanica classica e v a velocidade da partıcula dada por
v = p/m.
18
Capıtulo 3
Tempo de Tunelamento
Nao-Relativıstico
Neste capıtulo trataremos como tunelamento nao-relativıstico, todos os metodos
nos quais utilizamos a equacao de Scrhodinger da Mecanica Quantica. No Capıtulo 4
iremos trabalhar com o tunelamento atraves da equacao de Klein-Gordon oriunda da
relatividade no lugar da equacao de Scrhodinger.
No caso de tunelamento nao-relativıstico devemos considerar um potencial com
as seguintes caracterısticas:
V (x) =
V, 0 ≤ x ≤ a;
0, nos outros casos.
(3.1)
Para que ocorra o tunelamento, e assumido que a energia cinetica do pacote de
ondas e menor que a energia da barreira de potencial, E < V .
De acordo com o potencial estabelecido, as solucoes estacionarias para a equacao
de Schrodinger sao dadas por
ψ(x) =
ψI(x), x < 0
ψII(x), 0 < x < a
ψIII(x), x > a
(3.2)
19
onde
ψI(x) = Aeikx +Be−ikx, (3.3)
ψII(x) = Ce−ρx +Deρx, (3.4)
ψIII(x) = Feikx +Ge−ikx. (3.5)
Sabemos que nas equacoes acima
k =
√2mE
~, (3.6)
ρ =
√2m(V − E)
~. (3.7)
Podemos determinar atraves de simples calculos matematico os valores das cons-
tantes A, B, C, D, F e G que aparecem nas equacoes (3.3) - (3.5). Para isso utilizamos
condicoes de continuidade tanto para a funcao de onda, assim como, para sua derivada
espacial nas fronteiras de nossa barreira. Escreveremos, tambem, essas seis equacoes em
funcao de apenas duas delas. A escolha dessas constantes sao arbitrarias, entretanto,
escolhemos por coerencia A e G, pois elas representam o momento em que o pacote de
onda e incidido sobre a barreira e a outra que representa o momento em que a onda sai do
potencial e deixa de interagir com este sistema (os calculos sao detalhados no Apendice A):
B =(k2 − ρ2)sen(ρa)
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (3.8)
C =k(k + iρ)eρa
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (3.9)
D = − k(k − iρ)e−ρa
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (3.10)
F =2ikρe−ika
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A. (3.11)
20
Chamaremos de d(k, p; a) o termo que aparece na fracao das equacoes acima:
d(k, p; a) = (k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa). (3.12)
A seguir calcularemos o tempo de permanencia estacionaria para um sistema
quantico na barreira de potencial retangular (3.1).
3.1 Tempo de Permanencia: Equacao de Schrodinger
De acordo com a definicao (2.39) e com a solucao (3.2), o tempo de permanencia
estacionaria do sistema quantico na regiao da barreira e:
Tp =
∫ a0|ψII(x)|2dxJ(x)
. (3.13)
A corrente para esse caso e dado pela equacao (3.14)
J(x) =~km|A|2. (3.14)
A funcao ψII(x) e representado pela equacao
ψII(x) =k(k + iρ)eρ(a−x) − k(k − iρ)e−ρ(a−x)
d(k, ρ; a)A, (3.15)
sendo que seu complexo conjugado e dado por
ψ∗II =k(k − iρ)eρ(a−x) − k(k + iρ)e−ρ(a−x)
d(k, ρ; a)A. (3.16)
Sabemos que o modulo ao quadrado de uma funcao complexa e o mesmo que
multiplicar essa funcao pelo seu complexo conjugado. Logo,
|ψII(x)|2 =2k2
|d(k, ρ; a)|2{(k2 + ρ2)cosh2[2ρ(a− x)]) + ρ2 − k2}|A|2, (3.17)
aqui,|d(k, ρ; a)|2 e o quadrado do modulo da equacao (3.12):
21
|d(k, ρ; a)|2 = (k2 + ρ2)senh2(ρa) + 4k2ρ2. (3.18)
Agora, integramos (3.17) com relacao ao espaco e substituımos este resultado
juntamente com o resultado obtido na equacao (3.14) em (3.13), obtendo como resultado
o tempo de tunelamento via metodo do tempo de permanencia, Ttun:
Ttun(k, ρ; a) =m
~|d(k, ρ; a)|2
[(k2 + ρ2)2
kρsenh(2ρa)− 2ka(k2 − ρ2)
]. (3.19)
Pode-se entender a equacao (3.19) como o tempo que uma partıcula leva para
escapar de dentro do uma barreira de potencial. Esse resultado pode ser encontrado no
trabalho [12].
22
Capıtulo 4
Tempo de Tunelamento Relativıstico
Nesta secao apresentaremos metodos relativısticos para o estudo do tempo de
tunelamento de um pacote de ondas agindo em um sistema. Para isso, sera apresentado a
equacao de Klein-Gordon que por muito tempo foi utilizada para tal estudo. Entretanto,
foi abandonada pois previa resultados negativos para sua densidade de probabilidade.
4.1 Tempo de Tunelamento via Klein-Gordon
A definicao de tempo de permanencia estacionario depende dos conceitos de pro-
babilidade e de corrente de densidade de probabilidade. Essas duas quantidades satisfazem
uma equacao de continuidade, cuja a versao relativıstica e
∂µjµ = 0, (4.1)
sendo jµ o quadrivetor densidade de probabilidade, sendo sua componente temporal a den-
sidade de probabilidade propriamente dita e suas componentes espaciais as componentes
de corrente associada.
Nesta secao a intencao e encontrar um quadrivetor a partir da equacao de Klein-
Gordon que satisfaca a equacao de continuidade acima. Para isso, vamos partir da equacao
de Klein-Gordon
23
[∂µ∂
µ +m2c2
~2
]Ψ(x, t) = 0 (4.2)
onde ∂0 = 1c∂∂t
, ∂i = ∂∂xi
e sendo i = 1, 2 e 3. Essa equacao e uma equacao relatıvıstica e
descreve o campo escalar complexo [12].
A fim de se obter o tempo de tunelamento utilizando o campo escalar conside-
raremos o acoplamento mınimo na equacao de Klein-Gordon [36]. Neste acoplamento, as
derivadas de (4.2) sao substituıda por
∂µ → Dµ = ∂µ − ie
~cAµ, (4.3)
sendo Aµ = Aµ (x) a componente µ do quadrivetor potencial eletromagnetico e e a carga
eletronica. Dessa forma, a equacao (4.2) se torna:
[∂µ∂
µ +m2c2
~2− ie
~c∂µA
µ − 2ie
~cAµ∂µ −
( e~c
)2
AµAµ
]Ψ(x, t) = 0. (4.4)
Escolhendo para o potencial eletromagnetico
A0 (x, t) =−ecV (x) (4.5)
~A (x, t) = 0, (4.6)
e considerando a propagacao ao longo do eixo x, a equacao (4.4) se escreve como:
[1
c2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2+ 2i
V (x)
~c∂
∂t−[V (x)
~
]2
+(mc
~
)2]
Ψ(x, t) = 0 (4.7)
e a equacao conjugada
[∂µ∂
µ +m2c2
~2+ie
~c∂µA
µ +2ie
~cAµ∂µ −
( e~c
)2
AµAµ
]Ψ∗(x, t) = 0. (4.8)
Esta e, entao, a equacao de Klein-Gordon na presenca de um potencial eletro-
24
magnetico cujas componentes espaciais sao nulas e cuja componente depende apenas da
posicao.
Como estamos procurando um versao relativıstica do fenomeno do tempo de
tunelamento, consideremos para simplificar o nosso estudo que U (x, t) seja
U (x, t) = 2iV (x)
~c∂
∂t−(V (x)
~
)2
(4.9)
vamos definir como potencial de Klein-Gordon. Assim, a equacao (4.7) fica reduzida a
[1
c2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2+(mc
~
)2
+ U (x, t)
]Ψ(x, t) = 0 (4.10)
Na equacao (4.4) vemos que se Ψ(x, t) = Ψ e solucao da equacao de Klein-
Gordon, Ψ∗(x, t) e solucao da equacao com Aµ trocado por −Aµ, equacao (4.8). Para
obter a equacao da continuidade, multiplicamos a equacao (4.4) por Ψ∗(x, t) e subtraımos
do resultado a equacao conjugada (4.8) multiplicada por Ψ(x, t). Com isso chegamos na
equacao (4.1), onde
Jµ = Jµ (Ψ, Aµ) ≡ i~2mc
(Ψ∗∂µΨ−Ψ∂µΨ∗) +e
mc2Ψ∗AµΨ. (4.11)
Esse quadrivetor possui a seguinte propriedade
Jµ (Ψ∗,−Aµ) = −Jµ (Ψ, Aµ) (4.12)
o que mostra que ele nao pode ser considerado um quadrivetor densidade de probabilidade,
uma vez que a quantidade temporal pode ser negativa.
Nao conseguimos, portanto, definir o conceito de probabilidade via equacao de
Klein-Gordon utilizando esse procedimento. Sendo assim, nao e possıvel uma genera-
lizacao relativıstica do tempo de permanencia utilizando essa equacao. A generalizacao
e possıvel via equacao de Dirac. Entretanto, mostramos neste trabalho outra forma de
contornar esse problema com o uso de coordenadas na frente de luz.
25
4.2 Tunelamento Relativıstico: Equacao de Klein-
Gordon
Agora, para obtermos uma versao relativista do fenomeno de tunelamento, con-
sideremos que o potencial U (x, t) = U (x) seja uma barreira retangular de comprimento
a e altura V > 0:
U(x) =
V se 0 ≤ x ≤ a
0 se x < 0 ou x > a. (4.13)
Neste caso, a solucao geral da equacao (4.10) e dada por
ψ±1 (x, t) =
∫dE∣∣A±1 (E)
∣∣ ei[±k(E)x−E~ t+φ1(E)], (4.14)
ψ±2 (x, t) =
∫dE∣∣A±2 (E)
∣∣ ei[±k(E)x−Et+φ2(E)], (4.15)
ψ±3 (x, t) =
∫dE∣∣A±3 (E)
∣∣ ei[±k(E)x−Et+φ3(E)], (4.16)
onde φ1(E), φ2(E) e φ3(E) sao as fases para cada regiao da barreira. Os numeros de
ondas sao:
k (E) =E
~c
√1−
(mc2
E
)2
(4.17)
k (E) =E − V~c
√1−
(mc2
E − V
)2
= iρ (E) (4.18)
Como a energia total pode ser positiva ou negativa, se faz necessario ter nas
funcoes de onda os dois sinais ψ±(x, t). Aliado a isso, a energia total E e dado por
E = ±(Ec +mc2
)(4.19)
26
com energia cinetica Ec ≥ 0. A quantidade mc2 e a energia de repouso de uma partıcula
com massa m [39].
Sendo a equacao de Klein-Gordon (4.10) de segunda ordem na derivada espacial
e o potencial (4.13) contınuo por partes, temos que ψ±(x, t) e ∂ψ±(x,t)∂x
devem ser contınuas
nos pontos x = 0 e x = a. Com essas condicoes encontramos o seguinte com conjuntos
A−1 =(k2 + ρ2) senh (ρa)
(k2 − ρ2) sinh (ρa) + 2ikρcosh (ρa)A+
1 (4.20)
A±2 = ± k (k + iρ) eρa
(k2 − ρ2) senh (ρa) + 2ikρcosh (ρa)A+
1 (4.21)
A+3 =
2ikρe−ika
(k2 − ρ2) senh (ρa) + 2ikρcosh (ρa)A+
1 (4.22)
sendo que as constantes para outros valores de energia sao praticamente nulos, pois no
caso em que o pacote de ondas seja centrado numa energia E0 que caracteriza um modo
evanescente na regiao da barreira. Alem disso, sua distribuicao espectral seja praticamente
nula para os modos que nao sejam evanescentes entre x = 0 e x = a, isto e
|A(E)| ' 0, para E 6= E0. (4.23)
Outra consideracao que nao haja onda incidente vinda da direita, ou seja:
A−3 ≡ 0,∀E. (4.24)
Por questao de facilidade matematica, chamaremos
dkg(k, ρ; a) =(k2 − ρ2
)senh (ρa) + 2ikρcosh (ρa) (4.25)
sendo a equacao (4.25) diferente da equacao (3.12) que pode ser vista na secao anterior.
A diferenca entre uma equacao e outra esta justamente em k e ρ que sao diferentes na
mecanica quantica e na relatividade.
As amplitudes (4.20), (4.21) e (4.22) sao obtidas da mesma forma que no Capıtulo
3, onde os calculos podem ser observado no Apendice A.
27
4.3 Tempo de Tunelamento Relativıstico
Sendo A+3 (E) a distribuicao espectral da onda transmitida, escrevemos o coefici-
ente de transmissao como
T (E) ≡ A+3 (E)
A+1 (E)
=2|kρ|
|dkg (k, ρ; a) |eiφ
KGT (k,ρ;a), (4.26)
onde φKGT (k, ρ; a) e a fase associada a onda transmitida que por sua vez e dada por:
φKGT (k, ρ; a) = tg−1
[(k2 − ρ2
2kρ
)tgh(ρa)
]− ka+
π
2[2− sinal(k)− sinal(ρ)] . (4.27)
Podemos observar na equacao (4.27) a aparicao da funcao sinal, que definida como
sinal(x) =
1, x ≥ 0
−1, x < 0. (4.28)
Como a densidade de probabilidade e positiva nao definida isso implica na im-
possibilidade de usar a tecnica do tempo de permanencia. Dessa forma o tempo de
tunelamento e obtido pelo metodo da fase estacionaria, Apendice B, o que resulta:
TKG =
{~
|dkg(k, ρ; a)|2
[(k2 + ρ2
)senh (2ρa)
(ρdk
dE− k dρ
dE
)+ 2kρa
(k2 − ρ2
) dρdE
]}E=E0
(4.29)
onde
|dkg(k, ρ; a)|2 =(k2 + ρ2
)2senh2 (ρa) + 4k2ρ2.
As derivadas em relacao a energia sao
dk
dE=E
~c1√
E2 − (mc2)2, (4.30)
28
dρ
dE=
(V − E)
~c1√
(mc2)2 − (E − V )2. (4.31)
Na proxima subsecao sera apresentado o paradoxo de Klein e em seguida resul-
tados obtidos atraves da equacao (4.29).
4.4 Paradoxo de Klein
Analisando a expressao (4.18) para um valor de k ε R, observamos que para
obtermos a ocorrencia de modos propagantes, isto e, para que k se torne um numero real
temos que
1−(
mc2
E − V
)2
> 0 ⇒ ±1 >
(mc2
E − V
).
Resolvendo os termos positivos e negativos separadamente, obtemos que
Positivo Negativo
1 > mc2
E−V −1 > mc2
E−V
E > V +mc2 E < V −mc2.
Resultando que a energia total e maior que V +mc2 e menor que V −mc2 como
mostrada na relacao (4.32):
V +mc2 < E < V −mc2. (4.32)
Agora analisaremos a expressao (4.18) para um valor de k ε C, para que modos
evanescentes ocorram, isto e, para que k se torne um numero complexo temos que
1−(
mc2
E − V
)2
< 0 ⇒ ±1 <
(mc2
E − V
).
Resolvendo os termos positivos e negativos separadamente, obtemos que
29
Positivo Negativo
1 < mc2
E−V −1 < mc2
E−V
E < V +mc2, E > V −mc2
mostrando que a energia total e maior que V −mc2 e menor que V +mc2, ou seja
V −mc2 < E < V +mc2. (4.33)
Fazendo uma analise dos limites inferior e superior do intervalo (4.33), e sendo E
e dado por (4.19),
Limite inferior da eq. (4.33): Limite superior da eq. (4.33):
V −mc2 < E E < V +mc2
V −mc2 < Ec +mc2 Ec +mc2 < V +mc2
2mc2 > V − Ec V − Ec > 0
chegando a relacao (4.34)
0 < Ec − V < 2mc2. (4.34)
Podemos observar que a primeira desigualdade da equacao (4.34), nos diz que para
que modos evanescentes ocorram nosso sistema deve se encontrar dentro de um intervalo
onde x = 0 e x = a e e necessario que a altura da barreira de potencial, em questao, seja
superior a energia cinetica do sistema quantico. Mas essa e exatamente a exigencia para
que o tunelamento ocorra na teoria nao-relativıstica, uma vez que, naquele caso, a energia
total do sistema fora da regiao da barreira coincida com sua energia cinetica.
A segunda parte da inequacao (4.34) nos apresenta um limite superior para a
diferenca entre a altura do potencial e a energia cinetica do sistema quantico para que
ocorra modos evanescentes na regiao da barreira. Ou seja, para que o tunelamento ocorra.
Se essa diferenca ultrapassar o limiar 2mc2, modos propagantes tornam a ocorrer na regiao
30
da barreira. A explicacao para tal fenomeno e a seguinte: para V −Ec > 2mc2 a diferenca
de energia e suficiente para a criacao de pares de partıculas, uma vez que a energia
de duas partıculas com massas m e 2mc2. Assim sendo, nesse regime, o potencial cria
partıculas que se propagam no interior da barreira. Esse efeito e chamado de tunelamento
de Klein [12,37].
31
Capıtulo 5
Dinamica na Frente de Luz: Tempo
de Tunelamento na Frente de Luz
Neste capıtulo apresentaremos as transformacoes de coordenadas da dinamica
da frente de luz e suas aplicacoes no estudo do tempo de tunelamento. Na primeira
secao, apresentaremos a dinamica na frente de luz, suas transformacoes de coordenadas,
a metrica adotada, as derivadas na frente de luz e etc. Na segunda secao aplicamos as
transformacoes de coordenadas da frente de luz na equacao de Klein-Gordon. Por fim,
encontrando uma equacao de tempo tunelamento para a frente de luz onde mostramos os
resultados obtidos, comparando-os ao que foi apresentado nos capıtulos 2, 3 e 4.
5.1 Transformacoes de Coordenadas de Dirac
Obviamente, ha muitas possibilidades de parametrizar o espaco-tempo introdu-
zindo algumas coordenadas. Mas deve-se excluir aquelas que sao acessıveis por uma
transformacao de Lorentz. Esses estao incluıdos de qualquer maneira em um formalismo
covariante. Isto limita consideravelmente a liberdade e exclui, por exemplo, quase todos
os angulos de rotacao.
Segundo Dirac so existe tres parametrizacoes basicas diferentes. Elas sao ilus-
tradas na figura (5.1) e nao podem ser mapeados um no outro por transformacao de
Lorentz [3].
32
(a) Forma Instantanea. (b) Frente de Luz. (c) Forma Pontual.
Figura 5.1: Representacao do Cone de Luz e as diferentes formas . Fonte: Possidonio e
Sales.
Na figura acima apresentamos as tres formas dinamicas de parametrizacao. Cada
uma das tres formas apresenta coordenadas independentes e distintas umas das outras
como podemos ver na tabela 5.1. Tais coordenadas podem ser melhor apreciadas nos
trabalhos de [3, 41].
Tabela 5.1: Formas dinamicas introduzidas por Dirac, apresentadas e ilustradas nas figu-
ras 5.1(a), 5.1(b) e 5.1(c).
Forma Instantanea Frente de Luz Forma Pontual
x0 = ct x0 = ct+ z x0 = τ , ct = τcoshω
x1 = x x1 = x x1 = ω, x = τcoshωsenθcosφ
x2 = y x2 = y x2 = θ, y = τcoshωsenθsenφ
x3 = z x3 = ct− z x3 = φ, z = τcoshωcosθ
Cada parametrizacao difere pela hiperesfera na qual os corpos sao iniciados e,
correspondentemente, um tem o tempo diferente do outro. Cada uma dessas parame-
trizacoes espaco-temporais tem, portanto, seu proprio Hamiltoniano, e correspondente-
mente Dirac [2] fala sobre as tres formas de dinamica: A forma instantanea nos e familiar,
com sua hiperesfera dada por t = 0, 5.1(a); A frente de luz, a hiperesfera e um plano
tangente ao cone de luz, 5.1(b); Ja a forma pontual, a coordenada temporal e identificada
33
como o tempo proprio de um sistema fısico e a hiperesfera tem uma forma de hiperboloide,
5.1(c).
Aqui neste trabalho abordaremos a Frente de Luz. Esta escolha se da devido aos
bons resultados obtidos em trabalhos referentes ao estudo do tempo de transicao de um
pacote de ondas em um sistema na frente de luz e de demais estudos na area [3, 16–22].
5.1.1 Frente de Luz
Nesse primeiro momento sera apresentado o formalismo da Frente de Luz no
espaco de Minkowski. No trabalho da Ref. [14], o autor mostra que para estudos referentes
a dinamica na frente de luz e eficaz a utilizacao a Teoria da Relatividade Especial e depois
fazer uma transformada para a frente de luz. Iniciamos por adotar a definicao de ponto
no espaco de Minkowski [1]
xu = (x1, x2, x3, x4),
que e um quadridimensional. O tensor metrico do espaco de Minkowski e dado por:
gµν = gµν =
+1 0 0 0
0 +1 0 0
0 0 +1 0
0 0 0 −1
(5.1)
em especial a componente x4 = ct. As componentes do quadriespaco na representacao de
Minkowski sao contadas de 1 ate 4. Outra representacao utilizada e a de Bjorken-Drell
onde os ındices variam de 0 ate 3,
xu = (x0, x1, x2, x3),
sendo seu tensor metrico dado por [16]
34
gµν = gµν =
+1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
(5.2)
onde aqui a componente x0 = ct (componente temporal).
As coordenadas de Frente de Luz sao obtidas, particularmente, pelas trans-
formacoes:
x+ =1√2
(x0 + x3)
x− =1√2
(x0 − x3) (5.3)
~x⊥ = x1~i+ x2~j.
Na figura 5.2 vemos uma plano tangente ao cone como apresentado na figura
5.1(b), que tambem e tangente a componente x− e perpendicular a coordenada x+. A
coordenada x− representa o espaco, x+ o tempo na frentes luz. O vetor x⊥ esta contida
no plano (y, z) que e transversal as componentes (x+, x−).
Figura 5.2: Coordenadas da frente de luz. Fonte: SALES, 2013.
A transformacao inversa para o espaco de Minkowski na metrica de Bjorken-Drell
35
pode ser encontradas somando x+ com x− e subtraindo x− de x+, como sera demonstrada
a seguir para α =√
2 e tambem de forma generalizada.
O Jacobiano da Frente de Luz pode ser obtido por
|J | =
∂x0
∂x+∂x0
∂x−∂x0
∂x1∂x0
∂x2
∂x1
∂x+∂x1
∂x−∂x1
∂x1∂x1
∂x2
∂x2
∂x+∂x2
∂x−∂x2
∂x1∂x2
∂x2
∂x3
∂x+∂x3
∂x−∂x3
∂x1∂x3
∂x2
no caso da transformacao de Minkowski com o tensor metrico na frente de luz o jacobiano
e igual a 1.
Podemos ver isso na forma de integral sobre um quadrivolume para outro sistema
de coordenadas que requer o uso do jacobiano. Portanto, temos
∫dx0dx1dx2dx3 = |J |
∫dx⊥dx+dx−
Um quadrivetor na FL e dado por,
AµFL = (A+, A−, ~A⊥).
Sabemos que gµν tem a propriedade de “baixar” ou “levantar” ındices
Aµ = gµνAν .
Sendo as propriedades
x+ = g+νxν = g+−x
− (5.4)
e
x− = g−νxν = g−+x
+, (5.5)
temos para as derivadas na frente de luz:
36
∂+ ≡ ∂
∂x+
→ ∂+ =2
α2∂− ⇒ ∂+ = ∂−
∂− ≡ 2
α2∂+ → ∂− = ∂+ =
∂
∂x+.
∂⊥ = −∂⊥
(5.6)
5.2 Metrica na Frente de Luz
Mostraremos a seguir o passo a passo de como trabalhar o espaco de Minkowski
na FL, obtendo as metricas para cada definicao.
Considere a metrica de Bjorken-Drell:
gµν =
+1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, (5.7)
onde temos que x0 = ct, x1 = x, x2 = y e x3 = z.
Se definimos as coordenadas da frente de luz, como:
x+ ≡ (x0 + x3)
2(5.8)
x− ≡ (x0 − x3)
2(5.9)
x⊥ ≡ x1~i+ x2~j (5.10)
podemos obter as variaveis x0 e x3 somando e subtraindo da equacao (5.10), dessa forma
achamos suas transformada inversa.
Para obter x0:
x+ + x− =(x0 + x3)
2+
(x0 − x3)
2
x+ + x− =1
2[x0 + x3 + x0 − x3]
x0 = (x+ + x−).
37
Para obter x3:
x+ − x− =(x0 + x3)
2− (x0 − x3)
2
x+ − x− =1
2[x0 + x3 − x0 + x3]
x3 = (x+ − x−).
Como ja demonstrado ~x⊥ = (x1, x2), que sao coordenadas relativas a (x, y) e
sendo
~x⊥ = ~x⊥.
Dessa forma as transformacoes inversas de (5.10) sao dadas por:
x0 = (x+ + x−) (5.11)
x3 = (x+ − x−) (5.12)
~x⊥ = ~x⊥. (5.13)
Fazendo os calculos, obtemos que:
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2
= [(dx+)2 + 2dx+dx− + (dx−)2]− [(dx+)2 − 2dx+dx− + (dx−)2]− (d~x⊥)2
= 4dx+dx− − (d~x⊥)2. (5.14)
Assim, podemos supor que:
38
gµν =
0 2 0 0
2 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (5.15)
Para confirmar, ficamos:
ds2 = gµνdxµdxν = g+−dx
+dx− + g−+dx−dx+ + gijdx
idxj (5.16)
onde i, j = 1, 2. Qualquer outra combinacao daria zero.
5.2.1 Metrica Generalizada
Generalizando a metrica na frente de luz, podemos escrever:
x+ =
x0 + x3
α,
x− =x0 − x3
α,
~x⊥ = x1~i+ x2~j.
(5.17)
Das coordenadas (5.17) podemos extrair sua inversa. Para isso iremos inicial-
mente somar x+ e x−,
x+ + x− =x0 + x3
α+x0 − x3
α
x+ + x− =2x0
α
x0 =α
2(x+ + x−)
e subtraindo x+ e x−, obtemos
39
x+ − x− =x0 + x3
α− x0 − x3
α
x+ − x− =2x3
α
x3 =α
2(x+ − x−).
Sendo a equacao (5.18) sua inversa:
x0 =
x+ + x−
α
x3 =x+ − x−
α
. (5.18)
O intervalo entre dois eventos generalizados e obtido atraves da equacao
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 (5.19)
onde
(dx0)2 =[α
2(dx+ + dx−)
] [α2
(dx+ + dx−)]
=(α
2
)2
dx+2 +(α
2
)2
dx+dx− +(α
2
)2
dx+dx− +(α
2
)2
dx−2
=(α
2
)2
[(dx+)2 + (dx−)2] + 2(α
2
)2
dx+dx− (5.20)
e
(dx3)2 =[α
2(dx+ − dx−)
] [α2
(dx+ − dx−)]
=(α
2
)2
dx+2 −(α
2
)2
dx+dx− −(α
2
)2
dx+dx− +(α
2
)2
dx−2
=(α
2
)2
[(dx+)2 + (dx−)2]− 2(α
2
)2
dx+dx−. (5.21)
Sabendo que x⊥ = (x1, x2), fica subentendido que dx⊥ = (dx1, dx2). Logo, iremos
substituiremos as equacoes (5.20) e (5.21) em (5.19) e, adicionar a informacao anterior
40
para obtermos:
ds2 =(α
2
)2 [(dx+)2 + (dx−)2 + 2dx+dx− − (dx+)2 − (dx−)2 + 2dx+dx−
]− (dx⊥)2
=(α
2
)2
[4dx+dx−]− (dx⊥)2
= α2dx+dx− − (dx⊥)2. (5.22)
Para cada parametro α, sendo os mais encontrados na literatura [14]:
α = 1⇒ ds2 = dx+dx− − (dx⊥)2
α = 2⇒ ds2 = 4dx+dx− − (dx⊥)2
α =√
2⇒ ds2 = 2dx+dx− − (dx⊥)2,
e se expandirmos (5.22), temos
ds2 =α2
2dx+dx− +
α2
2dx−dx+ − (dx⊥)2.
Logo, isso implica numa metrica geral dada por:
gµν =
0 α2
20 0
α2
20 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (5.23)
onde assumimos α =√
2 neste trabalho, sendo esta conhecida por convencao de Kogut-
Soper.
5.3 Momento e Energia na Frete de Luz
Podemos fazer uma analise semelhante na Frente de Luz para encontrar a condicao
que nos defina os estados de partıcula e antipartıcula. Usando as transformacoes de co-
41
ordenadas do espaco de Minkowski para as coordenadas da Frente de Luz (5.2), sendo os
momentos canonicamente conjugados das coordenadas (x+, x−, x⊥) dados por:
k+ =1√2
(k0 + k3)
k− =1√2
(k0 − k3) (5.24)
~k⊥ = k1~i+ k2~j.
O metodo usual para encontrar a relacao da energia nas coordenadas da Frente
de Luz e atraves do calculo do produto escalar kµkµ = c2m20, do quadri-momento nessas
coordenadas, com massa de repouso m0. Portanto:
kµkµ =E2
c2− k2
x − k2y − k2
z = 2k+k− − ~k2⊥ = c2m2
0
de onde temos que
k− =c2m2
0 + ~k2⊥
2k+(5.25)
onde k− e definido como a energia da partıcula na Frente de Luz e as componentes (k+, k⊥)
sao os momentos na Frente de Luz, [19].
Segundo [14] a energia de uma partıcula livre no espaco-tempo de Minkowski e
dada por k0 = E = ±c√m2
0 + ~k2, o que mostra uma dependencia quadratica de k0 com
~k em contraste com a dependencia linear entre (k+)−1 e k− nas coordenadas da Frente de
Luz. Portanto, na energia total relativıstica temos os dois sinais, e na equacao (5.25) o
sinal de k− esta associado ao de k+. Sendo que k+ ≥ 0 implica em k− ≤ 0, ou seja, na
Frente de Luz a energia positiva e definida por k− > 0 e a energia negativa por k− < 0.
O sinal negativo para a energia - ou seja, a existencia de antipartıculas - e ar-
bitraria, atraves da escolha do sinal de k+. Alem disso, nas coordenadas da Frente de
Luz, como os sinais de k− e de k+ estao vinculados, nao ha a possibilidade do apareci-
mento simultaneo de partıculas e antipartıculas. Na Frente de Luz definisse propagacao
de partıcula ou antipartıcula conforme a escolha do sinal de k+.
42
5.4 Equacao de Klein-Gordon na Frente de Luz
O operador laplaciano tridimensional ∇2 tem um analogo quadridimensional co-
nhecido como o operador D′Alambertiano, que geralmente e representado como � como
uma notacao abreviada. Na escolha metrica espaco-tempo de Bjorken-Drell, e dada por
� =1
c2
∂2
∂t2−∇2.
Na frente de luz, ela pode ser obtida com a ajuda da metrica frontal generalizada
da seguinte forma:
∂µ∂µ = gµν∂
µ∂ν = α2∂+∂− −(∂⊥)2
(5.26)
onde α = 1, 2,√
2 para alguns dos fatores de normalizacao mais comuns.
Voltamos para a equacao (4.10), onde a reescrevemos com a interacao U(x) onde
ficamos com:
[∂µ∂
µ +m2c2
~2+ U(x)
]ΨLF(x) = 0 (5.27)
ΨLF(x+, x⊥, x−) = ei~ (p−x++p+x−−p⊥x⊥).
Usando a descricao para uma onda plana p = ~k, a funcao de onda na frente de
luz
ΨLF(x+, x⊥, x−) = ei(k−x++k+x−−k⊥x⊥) (5.28)
e as transformada da frente de luz dada por (5.26) em (5.27), temos
[2∂+∂− − ∂2
⊥ +m2c2
~2+ U(x)
]ei(k
−x++k+x−−k⊥x⊥) = 0.
Depois de resolvermos as derivadas nada equacao acima, voltamos a usar a funcao
de onda na frente de luz por motivos de simplicidade matematica, obtendo:
2ik−k+ΨLF =
[k2⊥ +
m2c2
~2+ U(x)
]ΨLF.
43
Como k⊥ = ~i∂∂x
, escrevemos que
k−ΨLF =
[−~2∂2
⊥2k+
+m2c2
2k+~2+U(x)
2k+
]ΨLF
− ~2∂2⊥ΨLF
2k++ VΨLF = k−ΨLF (5.29)
onde V e nosso potencial na frente de luz:
V =m2c2
2k+~2+U(x)
2k+. (5.30)
A equacao (5.29) e equivalente a equacao de Schrodinger. Podemos dizer que
e a equacao de Schrodinger na frente de luz. A diferencia esta na falta da massa no
denominador de (5.29). Onde antes era a constante referente a massa encontramos em
seu lugar a componente do momento na frente de luz k+.
44
Capıtulo 6
Tempo de Tunelamento na Frente de
Luz
Para o calculo do tempo de tunelamento via equacao de Schrodinger foi usado a
tecnica do tempo de permanencia (2.39). Nas coordenadas da frente de luz usaremos a
equacao (5.29) e o tempo de permanencia
TFL ≡∫ x2x1ρLF(x)
JFLdx (6.1)
onde ρLF(x) = Ψ∗LFΨLF e a densidade de probabilidade na frente de luz e JFL e a corrente
na frente de luz. Nas coordenadas da frente de luz, e considerado o par de coordenadas(x+, x⊥
), com x⊥ = 0. A propagacao da onda se da na direcao de x⊥. Portanto, o
integrando de (6.1) e dx = dx⊥.
Obtemos a integral de (6.1) ao derivar a equacao (5.29) com relacao a energia na
frente de luz, k−:
− ~2
2k+
[∂
∂k−∂2
∂x⊥2
]ΨLF + V
∂ΨLF
∂k−=∂k−
∂k−ΨLF + k−
∂ΨLF
∂k−
− ~2
2k+
∂3ΨLF
∂k−∂x⊥2+ [V − k−]
∂ΨLF
∂k−= ΨLF
45
multiplicamos a equacao (5.29) por Ψ∗LF
− ~2
2k+Ψ∗LF
∂3ΨLF
∂k−∂x⊥2+ [V − k−]Ψ∗LF
∂ΨLF
∂k−= Ψ∗LFΨLF. (6.2)
O conjugado da equacao (5.29) e dada pela equacao
− ~2
2k+
∂2Ψ∗LF
∂x⊥2+ [V − k−]Ψ∗LF = 0. (6.3)
Agora, multiplicamos pelo termo ∂ΨLF/∂k− em (6.3):
− ~2
2k+
∂2Ψ∗LF
∂x⊥2
∂ΨLF
∂k−+ [V − k−]Ψ∗LF
∂ΨLF
∂k−= 0. (6.4)
Subtraindo a equacao (6.4) de (6.2)
Ψ∗LFΨLF =~2
2k+
[∂2Ψ∗
∂x⊥2
∂Ψ
∂k−−Ψ∗
∂3Ψ
∂x⊥2∂k−
]. (6.5)
Colocamos a derivada parcial com relacao a coordenada ⊥ em evidencia na
equacao (6.5), dessa forma obtido
Ψ∗LFΨLF =~2
2k+
[∂
∂x⊥
(∂Ψ∗LF
∂x⊥∂ΨLF
∂k−
)− ∂
∂x⊥
(Ψ∗LF
∂2ΨLF
∂x⊥∂k−
)]o que no resulta em
Ψ∗LFΨLF =~2
2k+
∂
∂x⊥
[∂Ψ∗LF
∂x⊥∂ΨLF
∂k−−Ψ∗LF
∂2ΨLF
∂x⊥∂k−
].
Fazendo a integracao da equacao, acima, entre 0 ≤ x⊥ < a, para x⊥ = x e y = 0.
Logo, obtemos
∫ a
0
Ψ∗LFΨLFdx⊥ =
~2
2k+
∫ a
0
∂
∂x⊥
[∂Ψ∗LF
∂x⊥∂ΨLF
∂k−−Ψ∗
∂2ΨLF
∂x⊥∂k−
]dx⊥
∫ a
0
Ψ∗LFΨLFdx⊥ =
~2
2k+
[∂Ψ∗LF
∂x⊥∂ΨLF
∂k−−Ψ∗LF
∂2ΨLF
∂x⊥∂k−
]x=a
+
46
+~2
2k+
[∂Ψ∗LF
∂x⊥∂ΨLF
∂k−−Ψ∗LF
∂2ΨLF
∂x⊥∂k−
]x=0
∫ a
0
Ψ∗LFΨLFdx⊥ =
~k−
m. (6.6)
Essa e a integral que encontramos na equacao para o tempo de tunelemento
permanencia via frente de luz. Devido ao fato de que o resultado obtido e positivo e
maior que zero, torna possıvel sua utilizacao neste metodo. Na proxima secao e mostrado
a corrente da partıcula livre que e usado na equacao (6.1).
6.1 Corrente e Densidade de Probabilidade na Frente
de Luz
Para obter a corrente e a densidade de probabilidade e usado o mesmo proce-
dimento utilizado no capıtulo 4, no caso da equacao de Klein-Gordon para a partıcula
livre. Dessa forma, multiplica-se a funcao conjugada Ψ∗LF pela equacao (4.2) e subtraımos
o conjugado a equacao (4.2) por ΨLF, sendo tudo isso igual a zero:
Ψ∗LF
[�2 +
(mc~
)2]
ΨLF −ΨLF
[�2 +
(mc~
)2]
Ψ∗LF = 0.
Usando a relacao (5.26) e tomando α =√
2, temos
Ψ∗LF
[2∂+∂− − ∂⊥2 +
(mc~
)2]
ΨLF −ΨLF
[2∂+∂− − ∂⊥2 +
(mc~
)2]
Ψ∗LF = 0.
Fazendo uma distribuicao dos termos e uma reorganizacao em nossa equacao
obtemos
2Ψ∗LF∂+∂−ΨLF −Ψ∗LF∂
⊥2ΨLF +(mc
~
)2
Ψ∗LFΨLF − 2ΨLF∂+∂−Ψ∗LF+
47
+ΨLF∂⊥2Ψ∗LF −
(mc~
)2
ΨLFΨ∗LF = 0,
ao realizar algumas simplificacoes, temos que
2[Ψ∗LF∂
+∂−ΨLF −ΨLF∂+∂−Ψ∗LF
]+[ΨLF∂
⊥2Ψ∗LF −Ψ∗LF∂⊥2ΨLF
]= 0
ou melhor,
2∂+ [Ψ∗LF∂+ΨLF −ΨLF∂+Ψ∗LF] + ∂⊥[ΨLF∂
⊥Ψ∗LF −Ψ∗LF∂⊥ΨLF
]= 0.
Multiplicamos a equacao anterior por ~/2im:
∂+
[~im
(Ψ∗LF∂+ΨLF −ΨLF∂+Ψ∗LF)
]+ ∂⊥
[i~2m
(ΨLF∂⊥Ψ∗LF −Ψ∗LF∂⊥ΨLF)
]= 0
nos restando restando dentro dos colchetes o que chamaremos de densidade de probabili-
dade (o que esta sendo multiplicado pela derivada temporal da frente de luz) e a corrente
(o que esta sendo multiplicado pela derivada espacial na frente de luz). Dessa forma
obtemos a conservacao de corrente de probabilidade na frente de luz utilizando a equacao
de Klein-Gordon:
∂+ρ+ + ∂⊥J⊥ = 0. (6.7)
Na equacao (6.7), ρ+ e a densidade de probabilidade na frente de luz, que e a mesma coisa
que ρFL
ρ+ =~im
(Ψ∗LF∂+ΨLF −ΨLF∂+Ψ∗LF), (6.8)
e J⊥ e a corrente na frente de luz que e mesma coisa que JFL
48
J⊥ =i~2m
(ΨLF∂⊥Ψ∗LF −Ψ∗LF∂⊥ΨLF). (6.9)
Agora iremos substituir (6.8) e (6.9) na equacao (6.1) para obtermos o tempo de
permanencia estacionaria da partıcula na frente de luz, no qual obtemos
TFL =
~2
2k+[Γx=a − Γx=0]
i~2m
[ψ∗i ∂⊥ψi − ψi∂⊥ψ∗i ](6.10)
onde
Γ =
(∂ψ∗
∂x⊥∂ψ
∂k−− ψ∗ ∂2ψ
∂x⊥∂k−
)e dessa forma TFL fica
TFL =~mik+
[Γx=a − Γx=0
ψ∗i ∂⊥ψi − ψi∂⊥ψ∗i
]. (6.11)
Com os dados ja apresentados ao decorrer desta seccao, resolvemos a equacao
(6.11), obtendo assim a equacao para o tempo de permanencia estacionaria de uma
onda/partıcula dentro ao interagir com uma barreira retangular
TFL =~m
2k+k⊥
[2|T |2
(2ak+k⊥ − dφT
dk−
)+ 4k+|R|senφR
]. (6.12)
Na equacao (6.12), o termo φT e a fase de transmissao
φT = arctg
[(k⊥)2 − (ρ⊥)2
2k⊥ρ⊥tgh(aρ⊥)
]− ak⊥ (6.13)
e φR e a fase de reflexao
φR = arctg
[(k⊥)2 − (ρ⊥)2
2k⊥ρ⊥tgh(aρ⊥)
]+π
2. (6.14)
Olhando ainda para a equacao (6.12), podemos ver a presenca dos coeficientes de
reflexao e transmissao, que sao encontradas de acordo com as condicoes de continuidade
dos estados estacionarios associados em 0 e a nos fornecem
49
BFL =
(k⊥2 + ρ⊥2
)senh (ρ ⊥ a)
(k⊥2 − ρ⊥2) senh (ρ⊥a) + 2ik⊥ρ⊥cosh (ρ⊥a)AFL (6.15)
CFL =k⊥(k⊥ + iρ⊥
)eρ⊥a
(k⊥2 − ρ⊥2) senh (ρ⊥a) + 2ik⊥ρ⊥cosh (ρ⊥a)AFL (6.16)
DFL = −k⊥(k⊥ − iρ⊥
)e−ρ
⊥a
(k⊥2 − ρ⊥2) senh (ρ⊥a) + 2ik⊥ρ⊥cosh (ρ⊥a)AFL (6.17)
FFL =2ik⊥ρ⊥e−ik
⊥a
(k⊥2 − ρ⊥2) senh (ρ⊥a) + 2ik⊥ρ⊥cosh (ρ⊥a)AFL. (6.18)
Podemos observar, tambem, na equacao (6.12) o coeficiente de transmissao na
frente de luz T (FL) que
T (FL) =FFLAFL
=2k⊥ρ⊥eiφT√
(k⊥2 + ρ⊥2)senh2 + 4k⊥2ρ⊥2(6.19)
e R(FL) e o coeficiente de reflexao
R(FL) =BFL
AFL=
(k⊥2 + ρ⊥2)senh(ρ⊥a)√(k⊥2 + ρ⊥2)senh2 + 4k⊥2ρ⊥2
. (6.20)
Agora que encontramos a equacao para o tempo de tunelamento na frente de luz
TFL, iremos utilizar esses resultados obtidos em um potencial do tipo quadratico, para
que possamos comparar os resultados encontrados com o TFL com os demais resultados
obtidos para a equacao de Schrodinger e para a equacao de Klein-Gordon.
50
Capıtulo 7
Resultados e Discussoes
Ao iniciarmos esta pesquisa nos propomos a estudar o tempo em que uma onda
leva para atravessar uma barreira de potencial. Para isso, usamos de ferramentas pre-
sentes na literatura para tal estudo. Primeiro analisamos e revisamos alguns metodos de
estudo atraves da equacao de Schrodinger, na mecanica quantica: Tempo de Permanencia
Estacionaria e Tempo de Fase. Em seguida, testamos estes metodos para um caso rela-
tivıstico, onde utilizamos a equacao de Klein-Gordon e, constatamos que nao podemos
utilizar o metodo de permanencia estacionaria da partıcula devido ao fato de que a densi-
dade de probabilidade nao pode ser positivo. Nos restando dentre os dois metodos, apenas
o tempo de fase. Por fim, propomos a utilizacao do metodo de permanencia estacionaria
atraves da equacao de Klein-Gordon em coordenadas da frente de luz e desta forma ob-
temos resultados positivos para este modelo, mesmo sendo um modelo oriundo de uma
equacao relativıtica (Equacao de Klein-Gordon na frente de luz).
Vamos agora observar o comportamento do tempo de tunelamento pelo metodo do
tempo de permanencia estacionaria, onde sera levado em consideracao dois casos distintos:
um quando as energias em questao sao nao-relativisticas e a outra quando as energias sao
totalmente relativısticas. Serao consideradas como energia relativıstica aquelas cujo os
valores se aproximem de 2mc2, como mostrado na secao sobre o pelo paradoxo de Klein.
Iremos agora observar o comportamento de equacao (3.19), tempo de tunelamento
via equacao de Schrodinger, para isso iremos considerar ambos os casos a seguir como
sendo a m = 1, assim como c = ~ = 1.
A figura 7.1 apresenta o tempo de tunelamento (3.19) para valores de energia nao-
51
relativısticas. Dessa forma estipulamos para a energia cinetica o valor de Ec = 0, 01, o
potencial sendo V = 0, 05 e a diferenca do potencial pela energia cinetica e V −Ec = 0, 04.
Figura 7.1: Ttun para Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a.
Finalizamos nossas suposicoes colocando, agora, tanto a energia cinetica do sis-
tema quanto a diferenca entre o potencial com a energia cinetica sendo relativısitcas. Os
valores foram, Ec = 0, 8, V = 2, 7 e V − Ec = 1, 9.
Figura 7.2: Ttun para Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a.
Ao supor diferentes casos possıveis a serem estudados atraves de nossa equacao
(3.19), podemos observar o comportamento dos graficos das figuras 7.1 e 7.2. Lembrando
que alem dos valores de energia aqui atribuıdos, esta equacao para o tempo de tunelamento
apresenta uma dependencia na barreira.
52
Podemos observar nos graficos 7.1 e 7.2 um pico da onda ao penetrar a barreira.
Em seguida, nos atentamos ao fato de que a onda se estabiliza, onde podemos ver uma
reta, e este comportamento independente da largura da barreira. Essa reta observada
a partir de uma certa regiao do espaco (dentro da barreira) e conhecido como Efeito
Hartman. O efeito Hartman ocorre quando o tempo de transicao dentro de uma barreira
ele se torna independente da largura da mesma.
Em seguida, fizemos uma analise relativistica do efeito tunel. Para isso utilizou-se
a equacao de Klein-Gordon, onde o tempo de tunelamento obtido atraves dela e denotado
aqui por TKG. Essa equacao nos aparece como uma analoga de Ttun. Entretanto, essas
duas equacoes sao bem diferentes e podemos notar isto quando olhamos para o numero
de onda de ambas, como na Tabela 7.1:
Tabela 7.1: Numero de onda da Mecanica Quantica e da Relatividade.
Mecanica Quantica Relatividade
k =
√2mE
~k =
E
~c√
1− (mc2/E)2
ρ =
√2m(V − E)
~ρ =
(E − V )
~c
√(mc2
E − V
)2
− 1
Para calcular o tempo de tunelamento via equacao de Klein-Gordon, devemos nos
atentar que agora nosso sistema nao tem apenas energia cinetica Ec e sim uma energia total
E = Ec +m0c2. Continuaremos por descrever em nossos graficos as legendas indicando o
valor de energia cinetica e o potencial ao qual estaremos trabalho. Entretanto, deixamos
o leitor ciente de que para os casos relativısticos e para a frente de luz a energia utilizada
nas equacoes e a energia total.
Agora apresentaremos os resultados obtidos atraves da equacao (4.29). Onde os
graficos das figuras 7.3 e 7.4 nos mostram resultados com as mesmas condicoes usadas
para o tunelamento via mecanica quantica nao-relativıstica. Outra coisa importante a ser
ressaltado e que assim como para a mecanica quantica, as constantes m = 1 e ~ = c = 1
(conhecidas tambem por unidade naturais).
Os resultados a seguir levam em consideracao os mesmos valores utilizados para
os calculos via equacao de Schrodinger, entretanto aqui faremos uma correcao relativısta
da energia.
53
A seguir, na figura 7.3, mostramos resultados obtidos atraves da equacao (4.29),
para os valores de energia cinetica Ec = 0, 01 e uma barreira de potencial de V = 0, 05.
Sua energia total E = Ec +mc2 = 1, 01 e a diferenca do potencial pela energia cinetica e
de V − Ec = 0, 04.
Figura 7.3: TfKGpara Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a.
No grafico 7.3 e observado o efeito Hartiman, onde podemos notar que o tempo
que uma partıcula leva para escapar de um potencial nao satura com o tamanho da
barreira em questao [35].
Na figura 7.4 mostramos os resultados obtidos atraves da equacao (4.29), para os
valores de Ec = 0, 8 e V = 2, 7. A energia total para esse caso foi de E = 1, 8 e a diferenca
do potencial pela energia total usando para esse caso foi de V − E = 0, 9 .
Figura 7.4: TfKGpara Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a.
54
O grafico 7.4 apresenta valores negativos para o tempo. Podemos interpretar
este grafico da figura 7.4, como o descrito por [12, 40] sobre o Paradoxo Klein. O que
estamos observando em 7.4 e justamente a formacao de pares de partıculas dentro de
nosso sistema. Sendo assim, podemos interpretar tal resultado com sendo a aparicao de
antipartıcula associada a nossa partıcula incidente.
Outra coisa a ser destacado e a forma como encontramos os valores para a bar-
reira, a energia da partıcula e para a diferenca entre o potencial e a energia cinetica da
partıcula usadas em nossos calculos. Nas legendas dos graficos as energias que estaremos
impondo em nossos calculos, entretanto lembramos que para os modelos relativısticos es-
taremos trabalhando com a energia total E = Ec + m0c2. Logo, onde colocarmos que a
energia da partıcula e igual Ec = 0, 8 para a mecanica quantica, teremos E = 0, 8 +m0c2
para a relatividade e, posteriormente, a frente de luz.
Apos conferir os resultados previstos por essas duas teorias, ditas anteriormente,
partimos das ideias de DIRAC [2] e dos trabalhos de [3, 14, 16–23,25] para formular uma
equacao para estudar o tempo de tunelamento atraves das coordenadas na frente de luz.
Iremos agora mostrar o comportamento dos resultados obtidos atraves da equacao
(6.12), lembrando que para realizacao de nossos calculos m = 1, ~ = 1, c = 1 e sendo o
momento na frente de luz k+ = 1 inicialmente. Outra coisa que nao devemos esquecer e
que a energia aqui utilizada e a energia total do sistema.
Como foi realizado para os demais caso (Ttun e TKG), tambem, iremos aplicar
diferentes valores de energia ao modelo da frente de luz. Iniciamos com o caso onde a
energia cinetica e a diferenca entre o potencial e a energia cinetica sao nao-relativısica,
como podemos ver na figura 7.5. Utilizamos para plotar nosso grafico a equacao de tempo
de tunelamento na frente de luz, Eq. (6.12).
55
Figura 7.5: τFL para Ec = 0, 01 e V = 0, 05 em funcao de a.
Na figura 7.5, podemos ver que o tempo nao satura com o tamanho da barreira
em questao, ou seja, o efeito Hartman sendo observado a partir de uma determinada
regiao do espaco. Outra coisa a ser destacada e que a frente de luz reproduz o efeito via
equacao de schroredinger.
Por fim, mostramos na figura 7.6, resultados obtidos atraves da equacao (6.12)
para os tanto da energia cinetica da partıcula quanto para a diferenca entre as energias
cineticas da partıcula e potencial da barreira sendo totalmente relativısticas.
Figura 7.6: τFL para Ec = 0, 8 e V = 2, 7 em funcao de a.
Podemos notar que o grafico da figura 7.6, diferente do grafico 7.5, nao apresenta
o efeito Hartman. Aqui pode ser observado que inicialmente o tempo se apresenta positivo
e a partir de uma determinada distancia dentro de potencia o tempo se torna negativo.
56
A seguir mostraremos uma comparacao entre os resultados obtidos tanto para
Ttun, quanto para TKG e por fim para TFL. Relembrando como foi estipulado os valores
para as energias utilizada para este estudo. No primeiro caso, instituımos que Ec e
V − Ec sao nao-relativıstico. Para o segundo caso colocamos tanto Ec quanto V − Ec
sendo grandezas relativısticas. Para os casos reslativısticos, a energia que interage com a
barreira e a energia total e nao so a energia cinetica. No entao, os parametros utilizados
para o tunelamento via equacao de Schrodinger valem tambem para os casos relativısticos.
Os graficos abaixo, representa os resultados obtidos durante este trabalho. Aqui
iremos comparar os resultados encontrados para Ttun, TKG e TFL. Para facilitar a iden-
tificacao dos modelos trabalhados durante nossa pesquisa atribuımos a cor azul para a
reta referente aos resultados via Schrodinger, os resultados obtidos atraves da equacao de
Klein-Gordo podem ser identificados pela cor alaranjado e em verde estao os resultados
que encontramos utilizando as coordenadas na frente de luz.
Para o regime nao-relativıstico, figura 7.7, obtivemos resultados diferentes entre
Klein-Gordon e Schrodinger, isso pode ser explicado pois os metodos utilizados foram
diferentes. Nossos resultados diferem dos apresentados por BONIN [12], devido ao fato
de que em seu trabalho ele faz uma comparacao do tempo de tunelamento atraves das
equacoes de Schrodinguer e Klein-Gordon utilizando o metodo de fase estacionario. Em
nosso trabalho, diferente de Bonin, fazemos uma comparacao do tempo de tunelamento
pelo metodo de permanencia estacionaria para Schrodinguer com o tempo de fase para
Klein-Gordon.
Nossa escolha pelo metodo de permanencia estacionaria se explica no fato de que
na frente de luz nao temos o problemas de encontrar valores negativos para a densidade
de probabilidade, como foi observado para Klein-Gordon na relatividade. Ou seja, rees-
crevemos a equacao de Klein-Gordon em coordenadas da frente de luz , sendo que nesse
regime nossa equacao que tem de origem relativistica nao apresenta valores negativos
para a densidade de probabilidade nos permitindo utilizar tanto o metodo de fase quanto
o metodo de permanencia estacionaria.
57
Figura 7.7: Comparacao ente os tempos de tunelamento Ttun, TKG e TFL para Ec = 0, 01
e V = 0, 05 em funcao de a.
Na figura 7.7, o resultado obtido para o TFL difere bastante do resultado para
TKG. No entanto podemos observar que o resultado do TFL se assemelha aos resulta-
dos apresentados pelo Ttun, sendo que em alguns trechos os resultados sao iguais, e isso
e interessante pois mostra que nossa equacao do TFL que tem uma origem relativıstica
apresenta resultados que se comportam como os resultados obtidos por uma equacao nao-
relativıstica, como a equacao Ttun. Tambem podemos destacar que ambos resultados indi-
cam a presenca do efeito Hartman e que as equacoes que utiliza o metodo de permanencia
estacionaria mostra que a partıcula leva menos tempo para escapar do potencial.
A figura 7.8 mostra um caso no qual tanto a energia cinetica quanto a diferenca de
energia sao quantidades relativısticas. Obsevamos que Ttun, TKG e TFL nunca concordam.
Alem disso, a teoria de Klein-Gordon preve um tempo negativo. Isto significa que o pico
da onda transmitida surge na extremidade final da barreira antes do pico associado a
onda incidente atingir o ponto x = 0, isto e, o inıcio da barreira de potencial. Outra
observacao que pode ser feita aqui, com relacao TFL, e com relacao ao inıcio do grafico
onde podemos notar um pico na curva que vem da acao do modo zero [25,30,34].
58
Figura 7.8: Comparacao ente os tempos de tunelamento Ttun, TKG e TFL para Ec = 0, 8
e V = 2, 7 em funcao de a.
Ao realizar os calculos com a equacao de tempo de tunelamento em coordenadas
da Frente de Luz, nos deparamos com o Modo Zero. O modo zero ocorre quando nossa
variavel k+ → 0. Por exemplo, quando levamos a equacao (6.12) ao limite de k+ → 0:
limk+→0
TFL = − ~m2k+
∂φT (k−)
∂k−. (7.1)
O resultado anterior justifica a aparicao de resultados negativos no grafico (7.8).
Os efeitos causados pela variacao do momento k+ em nossos resultados sera apresentado
na proxima secao.
7.1 Modo Zero na Frente de Luz
O modo zero e caracterizado quando k+ tende a zero. Na figura 7.9 apresenta-
mos diferentes valores para k+, desde valores proximo a zero quanto valores muito grande.
Com isso podemos observar que aquela peculiaridade encontrado no grafico 7.8 vai de-
saparecendo, assim como podemos notar que o tempo satura mais rapido quando k+ e
muito grande e quando k+ tende a zero o tempo satura com um tempo maior.
59
(a) k+ = 0, 1 (b) k+ = 1
(c) k+ = 10 (d) k+ = 100
Figura 7.9: Tempo de tunelamento na frente de luz com diferentes valores de k+, mos-
trando a influencia do efeito modo zero para o caso onde a energia cinetica quanto a
diferenca de energia potencial e cinetica sao relativısticas.
No figura 7.10 apresentamos resultados mostrando a relacao direta do k+ em
nossas equacoes TFL, equacao (6.12). Os resultados abaixo sao referentes ao caso onde
tanto a energia do potencial quanto a diferenca do potencial pela energia cinetica sao nao
relativıstico.
60
(a) k+ = 0, 1 (b) k+ = 1
(c) k+ = 10 (d) k+ = 100
Figura 7.10: Tempo de tunelamento na frente de luz com diferentes valores de k+, mos-
trando a influencia do efeito modo zero para onde as energias sao nao-relativısticas.
Podemos, tambem, observar o comportamento do Efeito Hartman e Modo Zero
atraves de graficos 3D variando-se o tempo de tunelamento, a largura do potencial e o
momento na Frente de Luz. Para esta demonstracao pegamos o
(a) Tunelamento na Frente de Luz: Ec =
0, 01 e Ec = 0, 04.
(b) Tunelamento na Frente de Luz: Ec =
0, 9 e V = 0, 91.
Figura 7.11: Graficos 3D dos Tempos de tunelamento na Frente de Fuz.
61
Tambem podemos acompanhar o comportamento do tunelamento na Frente de
Luz atraves de graficos em 3D onde variamos a largura do potencial para visualizar que a
barreira a partir de um determinado ponto desse da largura que determinamos para nosso
sistema o efeito Hartman se torna presente e permanece ao ponto que aumentamos a
largura do potencial. Para demonstrar este fato escolhemos o grafico 7.11(a), entretanto,
poderia ser qualquer uma das duas subfiguras da figura 7.11.
(a) a = 10 (b) a = 50
(c) a = 100 (d) a = 150
Figura 7.12: Graficos 3D mostrando o Efeito Hartman e o Modo Zero de acordo a variacao
da largura da barreira a.
Podemos observar no grafico 7.12(a) que em uma barreira com largura 10 vezes
a unidade de largura, observamos que de 0 a 4 a variacao do momento e representada
atraves de um vale que some ao ponto que aumentamos a largura da barreira. Como por
exemplo no grafico 7.12(d) a barreira tem um tamanho tao grande que o Efeito Hartman se
estabiliza. Nao se alterando ao ponto que a barreira cresce. E o fenomeno do Modo Zero,
tambem, chega um ponto que nao causa tanta interferencia a partir de um determinado
62
valor de k+.
63
Capıtulo 8
Conclusao
Apresentamos nesta dissertacao uma revisao sobre algumas das definicoes sobre
tempos de tunelamento discutidas na literatura, assim como tambem, propomos uma
forma de se estudar o tempo de tunelamento atraves das coordenadas da frente de luz.
Iniciamos nosso estudo no segundo capıtulo, onde definimos (implicitamente) o
potencial retangular como o sistema a ser trabalhado ao decorrer dessa dissertacao. Em
seguida, partimos da equacao de Schrodinger para definir o tempo de fase. Durante nosso
estudo foi possıvel observar dois instantes de tempo interessante a nossa pesquisa: o tempo
de entrada e o tempo de saıda do pacote de ondas do sistema. A partir da diferenca entre
os dois instantes nos foi possıvel definir o tempo de tunelamento. Em seguida, utilizamos
o tempo de permanencia estacionaria, apresentada inicialmente por Winful, onde nos
deparamos com o fato de que o tempo de tunelamento dentro da barreira atraves de tal
metodo nos direcionava para o tempo classico.
Trazemos no capıtulo tres as equacoes para o tempo de tunelamento, tanto para
o metodo de permanencia quanto para o metodo de fase. Pode-se observar que ao final
os dois metodos apresentaram uma equacao semelhante aos dois, sendo que esta equacao
nao recaımos no caso do tempo classico como foi observado no capıtulo 2.
No quarto capıtulo estudamos o tunelamento relativıstico com a equacao de Klein-
Gordon. Para o campo escalar, propusemos a definicao do tempo de fase onde foi mostrado
que este e escrito em termos dos numeros de onda para uma barreira retangular, da mesma
forma que sua analoga da mecanica quantica. No entanto, existe uma diferenca no que
diz respeito a diferenca de energias nos dois casos. Mostramos, tambem, o efeito Hartman
64
relativıstico atraves de resultados obtidos utilizando-se a equacao de Klein-Gordon.
Estudamos em seguida o tempo de tunelamento na frente de luz. Nos capıtulos 5
e 6 descrevemos a proposta das coordenadas na frente de luz. Apresentamos de forma re-
sumida a equacao de D’Alambert, formalismo matematico usado para rescrever a equacao
de Klein-Gordon nas coordenadas da frente de luz. Reescrevemos a equacao de tempo
de tunelamento na frente de luz, via metodo de permanencia estacionaria. Analogo ao
apresentado no capıtulo 3. Por fim calculamos o tempo de tunelamento. Com os resulta-
dos nos foi possıvel observa, tambem, a ocorrencia do efeito Hartman na frente de luz e o
efeito modo zero.
No setimo capıtulo apresentamos uma comparacao/discussao entre os resultados
obtidos atraves do Ttun, TKG e TFL. Tambem destacamos a influencia de k+ em nossos
resultados para o tempo de tunelamento na frente de luz. Essa influencia de k+ e conhecido
como efeito modo zero. Mostramos que um pacote de ondas gastara mais tempo para
atravessar um potencial. Ou seja, quanto maior k+, menos tempo o pacote ficara retido
dentro do potencial. Do contrario temos que o pacote permanecera por mais tempo dentro
da barreira.
Como perspectivas futuras, pretendemos estudar o tunelamento superlumina e a
casualidade: tanto na mecanica quantica, como na relatividade e por fim a frente de luz.
Pretendemos, tambem, estudar o efeito tunel atraves da equacao de Dirac visto
que esta equacao nao apresenta resultados negativos para a corrente de densidade de
probabilidade onde dessa forma podemos utilizar tanto o metodo de fase quanto o metodo
de permanencia estacionaria.
Por fim, pretendemos reescrever a equacao de Dirac em coordenadas da frente de
luz e aplica-la ao efeito tunel para uma possıvel comparacao entre os resultados obtidos
entre ela e a equacao apresentada neste trabalho para o tempo de tunelamento na frente
de luz TFL que e oriunda da equacao de Klein-Gordon.
65
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70
Apendice A
Barreira Retangular
Consideraremos um potencial com as seguintes caracterısticas:
V (x) =
V, 0 ≤ x ≤;
0, nos outros casos.
(A.1)
Para que ocorra o tunelamento, e assumido que a energia cinetica do pacote de
onda e menor que a energia da barreira de potencial, E < V .
De acordo com o potencial que estabelecemos, as solucoes estacionarias para a
equacao de Schrodinger sao dadas por
ψ(x) =
ψI(x), x < 0
ψII(x), 0 < x < a
ψIII(x), x > a
(A.2)
onde
ψI(x) = Aeikx +B−ikx, (A.3)
ψII(x) = Ce−ρx +Dρx, (A.4)
71
ψIII(x) = Feikx +G−ikx. (A.5)
Sabemos que nas equacoes acima
k =
√2mE
~, (A.6)
ρ =
√2m(V − E)
~. (A.7)
Podemos determinar atraves de simples calculos matematico os valores das cons-
tantes A, B, C, D,F e G que aparecem nas equacoes (A.3) a (A.5). Para isso utilizamos
condicoes de continuidade tanto para a funcao de onda, assim como, para sua derivada
espacial nas fronteiras de nossa barreira. Escreveremos, tambem, essas seis equacoes em
funcao de apenas duas delas. A escolha dessas constantes sao arbitrarias, entretanto,
escolhemos por coerencia A e G, pois elas representam o momento em que o pacote de
onda tem a primeira interacao com a barreira e a outra que representa o momento em
que ela sai do potencial e deixa de interagir com o sistema.
As condicoes de continuidade das quais a nossa funcao de onda interage sao:
ψI(0) = ψII(0) (A.8)
∂ψI(0)
∂x=∂ψII(0)
∂x(A.9)
ψII(a) = ψIII(a) (A.10)
∂ψII(a)
∂x=∂ψIII(a)
∂x(A.11)
onde ψI , ψII e ψIII sao as solucoes da equacao considerada nas regioes x < 0, 0 < x < a
e x > a, respectivamente.
De acordo com as condicoes (A.8) a (A.11) chegaremos as seguintes expressoes:
• Segundo a equacao (A.8) temos:
72
ψI(0) = ψII(0)
Aeik0 +B−ik0 = Ce−ρ0 +Deρ0
Ae0 +B0 = Ce0 +De0
como e de conhecimento, e0 = 1, dessa forma temos que
A+B = C +D. (A.12)
• Segundo a equacao (A.9) temos:
∂ψI(0)
∂x=∂ψII(0)
∂x
ikAeik0 − ikBeik0 = −pCe−p0 + pDep0
ikAe0 − ikBe0 = −pCe0 + pDe0
ikA− ikB = −pC + pD
ik(A−B) = p(D − C). (A.13)
• Segundo a equacao (A.10) temos:
ψII(a) = ψIII(a)
Ce−ρa +Dρa = Feika +Ge−ika (A.14)
• E de acordo com a equacao (A.11) temos:
73
∂ψII(a)
∂x=∂ψIII(a)
∂x
−ρCe−ρa + ρDρa = ikFeika − ikG−ika
ρ(Dρa − Ce−ρa) = ik(Feika −G−ika). (A.15)
Como foi dito mais acima, podemos escrever essas quatro equacoes em funcao
de apenas duas variaveis (das quais escolhemos A e G), e assim determinar expressoes
referente as outras variaveis das quais encontraremos equacoes para C, D, F e G.
• Determinando C:
Para determinar uma equacao de amplitude referente a nossa constante C, inici-
almente iremos isolar D na equacao (A.12)
A+B = C +D
D = A+B − C,
em seguida substituiremos D na equacao (A.13)
ik(A−B) = ρ(D − C)
ik(A−B) = ρ(A+B − C − C)
ik(A−B) = ρ(A+B − 2C)
ik(A−B) = ρ(A+B − 2C)
74
ik(A−B) = −2ρC + ρ(A+B)
ik(A−B)− ρ(A+B) = −2ρC.
Agora colocaremos C em evidencia e multiplicaremos toda expressao por (-1)
2ρC = ρ(A+B)− ik(A−B)
C =1
2ρ[ρA+ ρB − ikA− ikB]
C =1
2
[(1− ik
ρ
)A+
(1 +
ik
ρ
)B
]. (A.16)
• Determinando D:
Para determinar a variavel de amplitude de energia D, assim como fizemos para
determinar C, pegaremos a equacao (A.12) so que agora isolamos C ao inves de D como
fizemos anteriormente. Dessa forma temos
C = A+B −D.
Substituiremos C na equacao (A.13) temos
ik(A−B) = 2ρD − ρ(A+B)
2ρD = ik(A−B) + ρ(A+B)
2ρD = (ρ+ ik)A+ (ρ− ik)B
D =1
2
[(1 +
ik
ρ
)A+
(1 +
ik
ρ
)B
]. (A.17)
75
Em seguida iremos determinar as expressoes para as constantes de amplitudes F
e G. Para isso usaremos as equacoes (A.14) e (A.15).
• Determinando F:
Inicialmente pegamos a equacao (A.14) e isolamos o termo da equacao que carga
a amplitude G,
Ceρa +De−ρa = Feika +Ge−ika
Ge−ika = Ceρa +De−ρa − Feika.
Em seguida substituımos essa ultima expressao em (A.15), o que resulta em
ρ(De−ρa − Ceρa) = ik(Feika − Ceρa −De−ρa + Feika)
ρ(De−ρa − Ceρa) = ik(2Feika − Ceρa −De−ρa)
ρ(De−ρa − Ceρa) = 2ikFeika − ik(Ceρa −De−ρa)
2ikFeika = ρ(De−ρa − Ceρa) + ik(Ceρa −De−ρa)
2Feika = −iρk
(De−ρa − Ceρa) + (Ceρa −De−ρa)
Feika =1
2
[−iρk
(De−ρa − Ceρa) + (Ceρa −De−ρa)]
2Feika =(
1 +oρ
k
)Ceρa +
(1− iρ
k
)De−ρa
F =1
2
[(1 +
iρ
k
)Ceρa +
(1− iρ
k
)De−ρa
]e−ika (A.18)
76
• Determinando G:
De forma analoga ao metodo utilizado para determinar a amplitude F, faremos
aqui para determinar G. Entretanto, na equacao (A.14) isolaremos o termo que carrega a
amplitude F, de forma que
Feika = Ce−ρa +Deρa −Ge−ika.
Em seguida, substituiremos essa expressao que foi encontrada na equacao (A.15),
o que nos dara a equacao (A.19).
ρ(De−ρa − Ceρa) = ik(Ce−ρa +Deρa −Ge−ρa −Ge−ρa)
ρ(De−ρa − Ceρa) = ik(Ce−ρa +Deρa − 2Ge−ρa)
ρ(De−ρa−Ceρa) = ik(Ce−ρa+Deρa)−2ikGe−ρa Multliplicamos toda essa equacao por (-1)
2ikGe−ρa = ik(Ce−ρa +Deρa)− ρ(De−ρa − Ceρa)
G =1
2
[(1− iρ
k
)Ce−ρa +
(1 +
iρ
k
)Deρa
]eika. (A.19)
Podemos escrever F e G em termos de A e B simplesmente substituindo as ex-
pressoes (A.16) e (A.17) em (A.18) e (A.19). Primeiramente, faremos uma conversao
onde
iρ ≡ k
para facilitar o tratamento algebrico que aplicaremos. Inicialmente pegaremos a equacao
(A.18) e faremos as substituicoes indicadas, o que resulta em:
77
F =1
4
[(1 +
k
k
)(1 +
k
k
)A+
(1 +
k
k
)(1− k
k
)B
]eikae−ika+
+1
4
[(1− k
k
)(1− k
k
)A+
(1− k
k
)(1 +
k
k
)B
]e−kae−ika
F =1
4
[(2kk + ρ2 + k2
kk
)A+
(k2 − k2
kk
)B
]eikae−ika+
+1
4
[(2kk − k2 − k2
kk
)A+
((k)2 − k2
kk
)B
]e−ikae−ika
F =1
2
(1
2kk
)[(2kk + ρ2 + k2
)A+
(k2 − k2
)B]eikae−ika+
+1
2
(1
2kk
)[(2kk − k2 − k2
)A+
((k)2 − k2
)B]e−ikae−ika
F =1
2
(1
2kk
)[2kk(2cos(ka)) + k2(2isen(ka)) + k2(2isen(ka))
]Ae−ika+
+1
2
(1
2kk
)[k2(2isen(ka))− k2(2isen(ka))
]Be−ika
F =1
2kk
{[(k2 + k2)sen(ka) + 2kkcos(ka)
]A−
[i(k2 − k2)sen(ka)
]B}e−ika. (A.20)
Onde tiramos que:
d1 =e−ika
2kk[(k2 + k2)sen(ka) + 2kkcos(ka)] (A.21)
78
d2 =−ie−ika
2kk(k2 − k2)sen(ka) (A.22)
De forma analoga a esse processo encontramos
G =1
2kk
{[i(k2 − k2)sen(ka)]A+ [−i(k2 + k2)sen(ka) + 2kkcos(ka)]B
}eika (A.23)
e temos que
d3 =ieika
2kk(k2 − k2)sen(ka) (A.24)
d4 =e−ika
2kk[−i(k2 + k2)sen(ka) + 2kkcos(ka)] (A.25)
Como foi mostrado, podemos encontrar as equacoes F e G em funcao de A e B
a traves de simples substituicoes. Foi mostrado tambem, que estas equacoes ficaram com
as seguintes caracterısticas:
F = d1A+ d2B (A.26)
G = d3A+ d4B (A.27)
podemos encontrar B, atraves da equacao G. Que fica:
d4B = G− d3A
B = −d3
d4
A+1
d4
G. (A.28)
Substituindo (A.28) em (A.26) encontramos F:
F = d1A+ d2
(−d3
d4
A+1
d4
G
)
79
F = d1A−d2d3
d4
A+d2
d4
G
F =
(d1d4 − d2d3
d4
)A+
d2
d4
. (A.29)
Agora que encontramos B e F em funcao de A e G, que de certo modo e o que
queremos. Vamos pensar um pouco. Quando estudamos tunelemento de uma partıcula
que em uma determinada barreira, observamos que a onda que e incidida sobre a esta
apresentara uma parte adentrara e outra que sera refletida. Essa onda que entra na
barreira e identificada pela amplitude A. Da mesma forma quando observamos essa onda
ao sair da barreira, observamos que nossa funcao de onda apresenta uma parte que interage
com a barreira e outra que representa o afastamento da onda desta barreira. Essa parte
que esta se afastando da barreira pode ser reconhecida por carregar a constante G. Dessa
forma e facil notar que as equacoes que procuramos sempre estara em funcao tanto de A
como de G.
Voltando as equacoes (A.28) e (A.29) e substituindo d1, d2, d3 e d4, e encontramos
B =−i(k2 − k2)sen(ka)
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)A+
2kke−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)G, (A.30)
e
F =2kke−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)A− i(k2 − k2)sen(ka)e−2ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)G. (A.31)
Do mesmo modo, substituindo a equacao (A.30), nas equacoes (A.16) e (A.17),
encontramos
C =k(k + k)e−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)A− k(k − k)e−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)G (A.32)
80
e
D =k(k − k)e−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)A+
k(k + k)e−ika
2kkcos(ka)− i(k2 + k2)sen(ka)G. (A.33)
Agora que encontramos os coeficientes de B, C, D e F em termos de A e G,
levaremos que no caso em questao consideramos apenas as ondas incididas da direita.
Em tais casos temos que o coeficiente G e nulo (G=0), e logo reescrevemos as equacoes
(A.30) a (A.33) apenas em funcao de A. Daqui em diante retornaremos a notacao que
utilizavamos onde iρ = k. Portanto,
B =(k2 − ρ2)sen(ρa)
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (A.34)
C =k(k + iρ)eρa
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (A.35)
D = − k(k − iρ)e−ρa
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A, (A.36)
F =2ikρe−ika
(k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa)A. (A.37)
Chamaremos de d(k, p; a) o termo que aparece na fracao das equacoes acima:
d(k, p; a) = (k2 − ρ2)sen(ρa) + 2ikρcos(ρa). (A.38)
81
Apendice B
Metodo da Fase Estacionaria
Uma outra tecnica, diferente do tempo de permanencia, e usada na obtencao
desse tempo de tunelamento. O metodo e conhecido como metodo da fase estacionaria
[22].Consideremos uma integral
I (x) =
∫dE |A (E)| ei[Ex+φ(E)]. (B.1)
Escrevendo a fase como
ϕ (x) = Ex+ φ (E) , (B.2)
a integral pode ser escrita da seguinte forma
I (x) =
∫dE |A (E)| eiϕ(x) =
∫dE |A (E)| cos ϕ (x) + i
∫dE |A (E)| sen ϕ (x) . (B.3)
Os comportamentos qualitativos de cos ϕ (x) e sen ϕ (x) com respeito a E sao os
mesmos. Se |A (E)| for aproximadamente constante em torno de E0 e a fase variar muito,
a integral I (x) sera aproximadamente nula, pois os integrando do lado direito de (B.3) se
comportarao aproximadamente como constante senoidas moduladas por uma funcao mais
ou menos constante. Portanto, para que I (x) seja nao nula, devemos ter exatamente a
situacao oposta: |A (E)| com um pico em E0 e ϕ sendo estacionaria em suas vizinhancas.
82
Esta ultima condicao e expressa como
dϕ
dE
∣∣∣∣E0
= 0. (B.4)
83
Apendice C
Tempo de Permanencia
Calcularemos o tempo de permanencia estacionaria para um sistema quantico na
barreira de potencial retangular (A.1).
De acordo com a definicao [9] e com a solucao (A.2), o tempo de permanencia
estacionaria do sistema quantico na regiao da barreira e:
τp =
∫ a0|ψ(E,V ;a)(x)|2dx
Jinc=
∫ a0|ψ(E,V ;a)II (x)|2dxJinc
. (C.1)
O fluxo de incidencia para esse caso e dado por
Jinc =~km|A|2. (C.2)
ψ(E,V ;a)II (x) e representado pela equacao
ψ(E,V ;a)II (x) =
k(k + iρ)eρ(a−x) − k(k − iρ)e−ρ(a−x)
d(k, ρ; a)A, (C.3)
sendo que seu complexo conjugado e dado por
ψ∗(E,V ;a)II =
k(k − iρ)eρ(a−x) − k(k + iρ)e−ρ(a−x)
d(k, ρ; a)A. (C.4)
Como ja e de conhecimento quando trabalhamos com funcoes complexas, sabemos
que o modulo ao quadrado de uma funcao complexa e o mesmo que multiplicar essa funcao
pelo seu complexo conjugado. Logo,
84
|ψ(E,V ;a)II (x)|2 = ψ
(E,V ;a)II (x)ψ
∗(E,V ;a)II (x)
|ψ(E,V ;a)II (x)|2 =
|A|2
|d(k, ρ; a)|2{[k(k + iρ)eρ(a−x) − k(k − iρ)e−ρ(a−x)
]×
×[k(k − iρ)eρ(a−x) − k(k + iρ)eρ(a−x)
]}
=|A|2k2
|d(k, ρ; a)|2{[(k + iρ)eρ(a−x) − (k − iρ)e−ρ(a−x)
].[(k − iρ)eρ(a−x) − (k + iρ)e−ρ(a−x)
]}
=|A|2k2
|d(k, ρ; a)|2{[(k + irho)(k − iρ)e2ρ(a−x)
]−[(k + iρ)2eρ(a−x)e−ρ(a−x)
]+
−[(k − iρ)2eρ(a−x)e−ρ(a−x)
]+[(k − iρ)(k − iρ)e−2ρ(a+x)
]}
=|A|2k2
|d(k, ρ; a)|2{[(k2 + irho2)e2ρ(a−x)
]−[(ρ2 − k2 − 2ikρ)e0
]+[(ρ2 − k2 + 2ikρ)e0
]+
+[(k2 + ρ2)e−2ρ(a−x)
]
=|A|2k2
|d(k, ρ; a)|2{(k2 + irho2)e2ρ(a−x) + (ρ2− k2− 2ikρ+ ρ2− k2 + 2ikρ) + (k2 + ρ2)e−2ρ(a−x)
85
=|A|2k2
|d(k, ρ; a)|2[(k2 + ρ2)(e2ρ(a−x) + e−2ρ(a−x)) + 2ρ2 − 2k2]
|ψ(E,V ;a)II (x)|2 =
2k2
|d(k, ρ; a)|2{(k2 + ρ2)cosh2[2ρ(a− x)]) + ρ2 − k2}|A|2, (C.5)
aqui,|d(k, ρ; a)|2 e o quadrado do modulo da equacao (A.38):
|d(k, ρ; a)|2 = (k2 + ρ2)senh2(ρa) + 4k2ρ2. (C.6)
Substituindo as equacoes (C.2), (C.5) e (C.6) em (C.1) e integrando, obtemos o
tempo de permanencia de um sistema quantico na regiao de uma barreira retangular:
τp(k, ρ; a) =mk
~|d(ak, ρ; a)|2
[(k2 + ρ2
ρ
)senh(2ρa)− 2a(k2 − ρ2)
]. (C.7)
86
Apendice D
Codigo para o Calculo do Tempo de Tunelamento Na
Frente de Luz
87
88
