TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II · 2012-03-20 · 8.1 20 sin 55° P8.2 16,636 8.3 51,0...
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TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II
Tarefa 1
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5 2.6
3. ; ; tg q = 2
; ; tg a =
1.1 Não. Apenas se sabe que . Pode ter -se, por exem-plo, e .
1.2 ;
2.1 Não. Como , não se verifica a fórmula funda-
mental da trigonometria .
2.2 Sim, pois verifica-se que .
4.1 4.2 4.3
5.1 ; B(0 , 3) ;
7.1 30,9 7.2 308,5 7.3 75,3
8.1 20 sin 55° 8.2 16,636 8.3 51,0
Tarefa 21.
2. Atendendo a que CM é um eixo de simetria da fachada domonumento, conclui-se que . Logo, o triângulo[ABC] é isósceles.
3. m
4. 1.a fase – telhados laterais – 14 433,76 Æ 2.a fase – telhado superior – 15 909,90 Æ
Tarefa 3
1. ) 26 m 2. ) 34° 3.1 Sim. 3.2 O menor valor inteiro que é admissível é 22° .
Tarefa 4
1. 3. °
4.1 cm 4.2 cm
5. Quatro voltas completas.
Tarefa 51.1 9,0 cm 1.2 7,3 cm
Tarefa 61.1 26,8 cm 1.2 57,0 cm 2. 30,0 m
Tarefa 7
1.1 1.2 ; ;
2. Tópicos de resposta: 1.° caso – quando se encontra um ponto de cada lado da
reta, basta traçar o segmento de reta que os une e deter-minar o ponto de interseção deste com a reta.
2.° caso – quando os pontos se encontram do mesmo ladoda reta, considera-se o simétrico de um dos pontos relati-vamente à reta dada. Em seguida, considerando a imagemobtida e o outro ponto, procede-se como no 1.° caso.
3. m
9. 10.
11. 128° 34' 17''
12.1 109,44° 12.2 19° 26' 24''
13.1 ) 86° 13.2 279,3 m
14. 15.1 rad 15.2 rad
16. 135° ; rad
Tarefa 8
1. rad 2.1 6pm 2.2 rad
3.1 P2 3.2 P5 3.3 P10 3.4 P13
4.1 4.2 112,5° 5. 202,5° ; rad
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√215
2√23
√73
√55
5√2626
3√9191
sin q = 2√55
cos q = √55
sin a = 2√1313
cos a = 3√1313
23
BCAC
= 45BC = 8 AC = 10
sin a = 35
tg a = 34
19+ 490 1
sin2 q + cos2 q = 11 + tg2 q = 1
cos2 q
CD = 3√2 tg a = 35
sin a = 3√3434
A 3√32 , 32 C - 3√3
2 , 32
BAWC = 45°
AC = BC
DF ) 2,89
35
a ) 30,8
OO' ) 103 BP ) 16
h = 8√67
AW = 34,0° BW ) 44,4° CW ) 101,6°
) 1058
BW = 69° 52' 30'' AD ) 3,3
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USWT = p12
SRWT = p3
BW = 45°3p4
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3p4
3p2
9p8
11p8
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dito
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17.1 Sentido positivo. 17.2 Sentido negativo.
18.1.1 320 °C 18.1.2 200 °C 18.1.3 240 °C 18.2 - 60° ou 300° 18.3 280 °C
19.1 O.B 19.2 O.C 19.3 O.E 19.4 O.F19.5 O.B 19.6 O.F 19.7 O.F20.1 O.D 20.2 O.A 20.3 O.B 20.4 O.B
Tarefa 91.1 Por exemplo, 780° ; rad .
1.2 Por exemplo, 870° ; rad .
2.1 Por exemplo, - 750° ; rad .
2.2 Por exemplo, - 870°; .
3. 0 Æ (jogada neutra) ; 200 Æ ; a jogada deve ser repetida; + 100 Æ .
4.1 Por exemplo, rad . 4.2 Por exemplo, 730° .
Tarefa 101.1 8 horas 1.2 2 horas 1.3 1 hora1.4 10 horas 1.5 9 horas
2.1 - 360° ; - 2p rad 2.2 - 240° ; rad
2.3 - 3240° ; - 18p rad
3.1.1 14 h 30 min 3.1.2 13 h 15 min 3.1.3 23 h 30 min 3.2 5p rad
21.1 2.° Q 21.2 3.° Q 21.3 2.° Q21.4 2.° Q 21.5 4.° Q 21.6 3° Q21.7 4.° Q 21.8 1.° Q
22. ; ;
23.1 23.2 23.3
23.4 23.5
24. ; ;
27. ; ;
28. ; ;
29.1 ; ;
29.2 ; ; tg a = 3
29.3 ; ;
30. ; ;
31.1 ; ; ;
31.2 ; ; ;
32.1 2.° Q 32.2 4.° Q 32.3 3.° Q 32.4 4.° Q 32.5 2.° Q
33.1.1 Como , tem-se e .
Então, verifica a condição.
33.1.2 Como , tem-se e .
Então, verifica a condição.
33.2 2.° Q ou 4.° Q
Tarefa 111.1.1 negativo 1.1.2 positivo1.1.3 negativo 1.1.4 negativo1.2.1 1.2.2 1.2.3
2.1.1 negativo 2.1.2 negativo2.1.3 positivo 2.1.4 positivo2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4
3.1 positivo 3.2 negativo 3.3 negativo3.4 positivo 3.5 negativo
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
34.1 34.2
35. 0,17
36.1 V 36.2 V 36.3 F 36.4 V
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13p329p6
- 25p6
- 29p6
- 35p3
- 4p3
27p5
" O.R - 1500 " O.S 27p4
" O.T
cos q = 12
sin b = 14
cos a = 34
tg b = - √1515
tg a = - √73
cos a = - 34
sin a = - √74
tg a = √73
A (1 , - √3) B 12 , -√32 C - 1
2 , √3
2
A - √32, - 1
2 B √32 , 12 C 1 , √33
sin a = 15
cos a = - 2√65
tg a = - √612
sin a = 3√1010
cos a = √1010
sin a = - 2√23
cos a = - 13
tg a = 2√2
A (1, √3) B - 12 , √3
2 C 1 , - √32
cos a = 45
tg a = 34B 45 ,
35 F 1 , 34
cos b = - 45
tg b = - 34C - 4
5 , 35 E 1 , - 3
4
31p8
å 4.° Q sin 31p8
< 0 cos 31p8
> 0
31p8
11p5
å 1.° Q sin 11p5
> 0 cos 11p5
> 0
11p5
cos b < cos q < cos a sin a < sin q < sin btg a < tg q < tg b
sin a - tg b > 0 tg a < tg b
cos a > cos b tg a cos b > 0
sin a < sin b cos a < cos b tg a < tg b
sin a > tg a cos b - cos a > 0
b < a < qsin b < sin a < sin q
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11-P1 © Porto Editora
37. 38.1 38.2
39.1 39.2
39.3 39.4
40. , ,
41.1 3.° Quadrante.
41.2.1 41.2.2
42.1 Verdadeira. 42.2 Falsa.
44.1 44.2 44.3
46.1 46.2 47.
49.1 3.° quadrante 49.2.1 49.2.2
51.1 51.2
Tarefa 121.
2.1 2.2
2.3 2.4
2.5
3.1 ; são ângulos suplementares.
3.2.1 3.2.2
3.2.3
Tarefa 13
1.1 1.2 1.3
1.4 1.5
2.1 2.2 ;
2.3 Opção 2. Na posição inicial de P , a sua abcissa é 0 , cor-respondendo a um ângulo de 0 rad de amplitude. Assim, ográfico de f deveria passar pela origem, o que não acon-tece na opção 1.
53.1 53.2 0 e p 53.3 e
54. ; ;
55.1 0 , , p , e 2p
55.2
56.1 ; zeros: e
56.2 ; zeros:
56.3 ; zeros: , e
57.1 f" II ; g" III ; h" I .
57.2 Zeros de f : ; zeros de g : e ; zeros de h : p ;
58.1 A função não tem zeros.58.3.1 58.3.2 59.1 Ao gráfico de f aplica-se uma translação associada ao
vetor (- p , 0) , obtendo-se o gráfico de g .
59.2.1
59.2.2
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11√21105
- 2√55
√55
k å [0 , 2 + √2[ k å - 1 , - 15
k å [ - 2 , -√3] ∂ [√3 , 2] k å 0 , 12
B (√3 ,3) C (- 3 , -√3) D (-√3 , - 3)
cos a = - √116
tg a = 5√1111
tg a = 34
sin b = 0,8 tg (- b) = - 43
sin a = - √154
tg a = -√15 - 7√3737
- √74
√73
- √39 + 58
3√3940
cos q = √55
sin a = 2√55
tg (- a) = 2 cos 3p2 + q = 2√55
cos (3p + a) = √55
a + b = p
tg a = √136
cos p2 + a = - √137
sin (p + a) = - √137
√32 , 12 √22 , √2
2 - 12 , √3
2 - √3
2 , - 1
2 √22 , - √22
[ - 1 , 1] f (x) = sin (x) g (x) = cos (x)
D'f = [- 3 , 3] - p2
3p2
A (0 , 2) B p2 , 1 C 3p2 , 3p2
3p2
D'h = [0 , 1] - p2
p2
D'h = [ - 1 , 1] - p2
D'h = [ - 1 , 1] - p2p2
3p2
p2
p4
3p4
f (- a) = √3 f (a + 6p) = √3
g a + p2 = - 2√107
tg a = 2√103
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sin cos tg
√32
- 12 –√3
√22
- √22
- 1
12 - √3
2- √33
0 - 1 0
sin cos tg
1 0 n. d.
√32
12 √3
√22
√22
1
12
√32
√33
sin cos tg
- 12 - √3
2√33
- √22
- √22
1
- √32
- 12 √3
- 1 0 n. d.
sin cos tg
0 1 0
- 12
√32
- √33
- √22
√22
- 1
- √32
12 - √3
x 0 p4
3p4
5p4
7p4
2p
h(x) 0 £ 1 ¢ - 1 £ 1 ¢ - 1 £ 0
Tarefa 141.1 B e D 1.2 A e C
2. . O volume de ar nos pulmões, um segundo apósuma expiração, é de 2,5 litros de ar.
3. . O volume de ar nos pulmões variaentre 2, 25 e 2,75 litros.
5. ; ; ;
6. 2,5 litros. Inspiração.
7.
60.1
62.1 ; ;
62.2 Triângulo isósceles.
Tarefa 151. 20 cm 2.1 69,3 cm 2.2 43,4 cm
3.2 3.3
3.4 Não.
Máximo: 60 ; maximizantes: e .
Mínimo: 20 ; minimizante: .
Tarefa 161.2 ; ;
1.3
2.2 2.3 ;
63.1 Uma solução; 63.2 duas soluções;63.3 duas soluções; 63.4 nenhuma solução.
64.1 64.2
64.3
65.1 Por exemplo, t = 0,2 . 65.2 Por exemplo, t = - 0,3 .
66.2 x = - 60°66.3 ›
67.1 ›
67.2 › › ›
67.3 › › ›
68.1
68.2
68.3
68.4
69.1 69.2
69.3
Tarefa 171.1 15 min .1.2 . A temperatura da substância no início da expe-
riência era de 2 °C .
1.3 10 min .1.4 . Ao fim de 5 min , a substância atingiu a tem-
peratura mínima de - 1 °C .2.1 Aproximadamente, 2,7 min .2.2 Sugestão de tópicos a incluir na composição: • A experiência não teve sucesso.
• A substância permaneceu com temperatura negativadurante cerca de 5,4 min .
• Este valor foi obtido calculando a diferença entre asabcissas dos zeros da função.
• . O tempo durante o qual a substância perma-neceu com temperatura negativa ultrapassou os 5 mincorrespondentes à terça parte da duração da experiência.
70.1 Uma solução. 70.2 Duas soluções.70.3 Três soluções.
71.1 71.2
72.1 72.2
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V (1) = 2,5
D'V = [2,25 ; 2,75]
A (0 ; 2,25) B (2 ; 2,75) C (4 ; 2,25) D (10 ; 2,75)
t = 0,7 › t = 3,3
Df = x å R : x 0 p4+ kp2 , k å Z
Dg = x å R : x 0 3p2
+ 3kp , k å Z
A (cos q ; sin q) B (1 ; sin q) C (1 ; tg q)
[20 , 60] f 2p3 = 100 - 40√3
p6
5p6
p2
A (p , 8) B p2 , 4 C 2p3 , 6sin p2 + x = - 1
4
P p2 , 16p M (0,7 ; 20) Q (2,5 ; 20)
x = 4p5
x å 11p5 , 14p5
x å - 9p5 , - 6p
5 , p5 , 4p
5
x = - 60° + k 360° x = 240° + k 360° , k å Z
x = p3
x = 2p3
t = p12
t = 5p12
t = 13p12
t = 17p12
y = p8
y = 3p8
y = 9p8
y = 11p8
x = p7+ 2kp › x = 6p
7+ 2kp , k å Z
x = - p8+ 2kp › x = 9p
8+ 2kp , k å Z
x = 3p + 4kp , k å Z
x = p18
+ 2kp3 › x = 5p
18+ 2kp
3 , k å Z
x å 0 , 5p4 ∂ 7p4 , 2p x å 0 , p6 ∂
5p6 , p
x å - p , - 3p4 ∂ -
p4 , p
A (0 , 2)
B (5 , - 1)
a ) 2,3228b ) 7,6772
b - a ) 5,4
x = 12p7
x = - 12p7 › x = - 2p
7
x å p3 , 5p3 x å - 5p
6 , 0
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ap6
p2
5p6
f(a) 60 ¢ 20 £ 60
a b@22"
73.2 73.3
74.1 74.2
74.3 74.4
75.1
75.2
75.3
Tarefa 181.1 ) 28,4 cm 1.2 63 cm
1.3 23 cm 1.4 103 cm
2.2
2.3 ; ;
76. ;
77.1 77.2
78.1
78.2 78.3
78.4
78.5
79.1 Três soluções. 79.2 Por exemplo, e .
80.1
80.2
80.3
Tarefa 191. a = 1,107 2. Sim.
3.2 0,84
5.1 8 unidades de área. 5.2 ) 0,64
Tarefa 201.1 1.2
2.1 2.2
3.2 3.3
4.1 I. A representação gráfica II não pode representar a distânciade C a OM uma vez que esta não toma valores negativos.
4.2
1. (C) 2. (B) 3. (C) 4. (B)
5. (D) 6. (A) 7. (A)
8. (B) 9. (A) 10. (B)
11. (B) 12. (D) 13. (D) 14. (C) 15. (D)
16. (A) 17. (B) 18. (D)19. (D) 20. (B) 21. (A)
Proposta 11. a = 120° ; rad ; ; rad ;
; rad
2. cm2
Proposta 21. 28,4 cm 2.1 rad 2.2 rad
Proposta 31. 3. ;
Proposta 41. ) 7 m 2. ) 5,87 m 3. ) 66° 48'
Proposta 51. ) 143,73 dm3 2. ) 43°
Proposta 6,52 km
Proposta 71. e 2. 43,0 cm2
3. 47 cm
Proposta 81. 29 cm 2. ) 63,6º
Proposta 9Não. A porta não poderia exceder, aproximadamente, 54 cm .
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x = - 150° › x = 150° x = ¿ 150° + k 360° , k å Z
x = ¿ p4+ 2kp , k å Z x å 0 , 2p3 , 4p
3 , 2p
x = kp , k å Z x å - p6 , -p2
x = p3- 4kp
3 › x = - p + 4kp , k å Z
x = 3p20
+ kp › x = - 3p20
+ kp , k å Z
x = 3p8
- 3kp2
› x = 3p4
- 3kp , k å Z
x = ¿ p3+ 2kp , k å Z
xA = 1,27 xB = 5,02 xC = 7,55
q ) 73,3° q ) 1,3 rad
x = - 300° › x = - 120° › x = 60° x = 420°
x å - p8 , 3p8 , 7p
8 , 11p
8 , 15p
8 x = - 6p
5- 2kp , k å Z x = 2kp
3 , k å Z
x = - 3p8
+ kp , k å Z
x = p3+ kp › x = - p
3+ kp , k å Z
a + p a - p
x å 0 , p4 ∂ p2 , 5p
4 ∂ 3p2 , 2p
x å - p , - p2 ∂ -p6 , p
2 ∂ 5p6 , p
x å p , 5p4 ∂ 7p4 , 2p
2p7
å ]0 ; 1,107[
q = 2kp , k å Z q = p + 2kp , k å Zq = kp , k å Z q = p
2+ kp , k å Z
q å p3 , 5p3 , 7p
3 q ) 4,37
q å p6 , 5p6 , 7p
6 , 11p
6
a = 2p3
b = 120° b = 2p3
q = 30° q = p6
9√3
q = p3
q = p4
B (7,5 ; 2,5√3) OW = BW = p4
AW = CW = 3p4
AB ) 7
a = 72° b = 108°
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Proposta 101. 540° 2. 7 min 3. 1,33 m2
Proposta 111. cm ; cm 2. rad
Proposta 121. 1136 voltas 2. ) 2,2 km
Proposta 13
1.1 cm2 1.2 cm3
Proposta 14 1. 30 cm 2. Não. Aumentaria para cerca de 35,8 cm .
3. 30 tg a
Proposta 15cm3
Proposta 16
1. 2.
3. 4.
Proposta 171.1 cm2 1.2 cm
3.1 3.2 9,6 cm2
Proposta 181.1 1.2
2. 0 3.
Proposta 192. . Quando a = 0 , o quadrado [EFGH] coincide
com o quadrado [ABCD] e a sua área é igual a 25 cm2 .
3. A área de [ABCD] é o dobro da de [EFGH] .
Proposta 20
Proposta 211. 2.° quadrante 2. 1.° quadrante
3. 3.° quadrante 4. 4.° quadrante
Proposta 22
; ; . Triângulo isósceles e obtusângulo.
Proposta 231. 2.
3. 4.
Proposta 251. 2 2. 1 3. 2 4. 0
5. 1 6. 7. 0 8.
Proposta 261. 3.° quadrante 2. 2.° quadrante
Proposta 27
Proposta 28
Proposta 29
Proposta 3051,36 cm2
Proposta 31Não.
Proposta 321. 2.
3. 4.
Proposta 33D e F
Proposta 341.
2.
3.
4.
Proposta 35
1. 2.
3.
4.
5.
6.
Pág. 84
Pág. 86
Pág. 87
Pág. 83
Pág. 85
Pág. 82
Pág. 88
a ) 8,38 b ) 16,76 q = 7p4
) 174,9 256√23
) 2790
B (1 , √3) A (x) = tg x2
x = p4
A (a) = √55
12√3 (12 + 8√3)
b = p12
A (a) = 144 + 144 tg a V (a) = 288√tg2 a - 1
a å p4 , p2
A (0) = 25
A (a) = 25p - 50tg a
AW = 2p3
BW = p6
CW = p6
cos a - 2 sin a - sin a
2 cos a - sin a
- 34
- 2√3 + 12
3√55
11√212
1 + 2√23
k å [0 , 1] k å [0 , 2]k å ]- 2 , + ? [ k å 0 , 12
x = ¿ 20° + k 360° ; k å Zx = ¿ 50° + k 360° ; k å Zx ) 71,6° + k 180° ; k å Zx ) ¿ 95,7° + k 360° ; k å Z
x = - p3+ kp ; k å Z x = ¿ 4p
5+ 2kp ; k å Z
x = 2kp › x = p3+ 2kp
3 ; k å Z
x = kp ; k å Z
x = - p8+ 2kp › x = 9p
8+ 2kp ; k å Z
x = p4+ kp2 ; k å Z
186 SoluçõesN
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11-P1 © Porto Editora
7. 8.
9. 10.
Proposta 36
1.
2.
3.
Proposta 372. 3.1
3.2 3.3
Proposta 38
1. 2.
Proposta 391. Mínimo: –2 ; máximo: 2 2. Mínimo: 1 ; máximo: 3 3. Mínimo: 0 ; máximo: 1 4. Mínimo: 0 ; máximo: não tem
5. Mínimo: 0 ; máximo:
Proposta 402. 0,79 rad
Proposta 41
1. 3.
Proposta 42
1. 2.
Proposta 431. 2 2. 3. 0,4 rad e 1,1 rad
Proposta 441.1 1.2 1.3
3. ; 0,33
Proposta 451.
2. rad
3.1 2,7 s 3.2 4 s 3.3 ) 2,94 s
Proposta 462.2 2.3
3.
Tarefa 211. 2. ;
3. k = 2 . Sim, porque [AB]//[DC] , dado que os vetores esão colineares.
4. . 5.1 5.2
81.1 135° 81.2 45° 81.3 90°81.4 0° 81.5 180°
Tarefa 221.1 4 1.2 0 1.3 12 1.4 - 4 1.5 - 8 1.6 12 1.7 4 1.8 - 12
82.1 8 82.2 - 8 82.3 - 32 82.4 32 82.5 8 82.6 - 1683.1 16 83.2 16 83.3 4 83.4 - 16
84.1 Obtusângulo em C . 84.2 Retângulo em C .84.3 Obtusângulo em B .
85.1 Não. 85.2 Sim. 85.3 Sim.
86.1 146,4° 86.2 41,4°
87.1.1 2 87.1.2 - 4 87.2 53,14°
88.1.1 – 1 88.1.2 2 88.1.3 3 88.1.4 - 1588.2
89.1 - 12 89.2 0 89.3 12
90.1 90.2 53,3°
91.1 ;
91.3 ;
92.1 k = 4 › k = -10 92.2
93.1 93.2
(Nota que, se k = , o ângulo é nulo.)
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Pág. 89
Pág. 99
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x = 4p3
x = kp2 ; k å Z
x = p2+ kp ; k å Z x = 5p
6
x å 0 , p2 ∂ p2 , 2p
x å 0 , 2p3 ∂ 4p3 , 2p
x å p4 , p2
- √2 x = 4p3 › x = 5p
3
x = 6p5 › x = 9p
5x = 6,53 › x = 9,17
7p6
3√1010
2 -√22
p -√34
4p -√1516
3√32
A (a) = sin a + tg a
4√2
2 sin a 2 sin b cos a - cos b2 +√6 -√2 -√3
4
(12 sin a , 12 - 12 cos a)
a = 0,72
96√3 40√7
g (q) = 8 sin q (2 - cos q) - 8q
AC«»= (6 , 5) u»= (4 , 1) v»= (- 4 , - 1)AB«»
DC«»P 0 , 12 √17 2√10
P - 18 , -18
- 3√3535
AC«»= AB«» + AD«» DB«» = - AD«» + AB«»DAWB = DCWB ) 73,7° CDWA = ABWC ) 106,3°
k å ]- ? , - 10[ ∂ ]4 , + ? [k å ]- 1 , 2[k = 1
313
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93.3 k = 1 93.4
94.1 ;
94.2 47,97°
Tarefa 24
1. ; ;
;
2.2 125° 4.2.1 131,8° 4.2.2 116,4°
95.1 ; ;
; ;
95.2 2495.3.1 64,1° 95.3.2 64,1° 95.3.3 150,8° 95.3.4 29,2°
96.1 45° 96.2 45° 96.3 112,5°96.4 67,5° 96.5 90° 96.6 90°
97. 54,9° 98.1 64,4° 98.2 Obtusângulo.
Tarefa 25
1.1 ; 1.3 70,53°
2.1 ; 2.2 35,3°
99.1 50° 99.2 170°
100.1 56,3° 100.2 108,4° 100.3 26,6°100.4 72,3° 100.5 122,5°
101.1 135° 101.2 101.3 y = - x - 1101.4 101.5
102. ; ;
103.1 Por exemplo, e
103.3
Tarefa 262. Por exemplo, . porque .
104.1 Por exemplo, . 104.2
105.2 Por exemplo, .
106.2 Não.106.3 Por exemplo, e .
Tarefa 271.1.1 1.1.2 1.1.3
1.1.4 1.1.5
1.2.1 1.2.2
2.1 Por exemplo, 2.2
107.1 107.2
108.1 ; 108.2 108.3
109.1 109.2
111.1
111.2 Reta perpendicular a [AB] e que passa por C .
112.
113.1 113.2 Não pertence.
114.1 114.2 Circunferência de diâmetro [AC] .
115.1 115.2 Superfície esférica de diâmetro [AC] .
116.2 Reta tangente à circunferência de centro C no ponto S .116.3
Tarefa 281.2 ;
1.3 ;
3.1 3.2
Pág. 106
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Pág. 117
Pág. 118
Pág. 119
Pág. 120
Pág. 121
GA«»= (3 , - 4 , - 2) GB«» = (3 , 0 , - 2)
A a2 , -a2 , 0 B a2 ,
a2 , 0 C - a
2 , a2 , 0
D - a2 , - a
2 , 0 V (0 , 0 , a)
B (2 , 4 , - 3) C (- 2 , 4 , - 3) D (- 2 , - 4 , - 3)E (- 2 , - 4 , 0) F (2 , - 4 , 0) G (2 , 4 , 0)
E - a2 , - a
2 , a2 F a2 , -
a2 , a2
BE«»= (- a , - a , a) BH«» = (- a , 0 , a)
√3y = √3 x +√3 (0 , √3)
mAB = mDE = 0 mBC = mEF = √3 mAF = mCD = -√3
a»= (2,7) b»= - 1 , - 72k = - 7
6
v»= (0 , 4 , 1) v»Y u» v».u»= 0
w» = (5 , 0 , - 2) m = - 49
t»= (0 , 2 , 2)
(- 3 , 0 , 1) (6 , 0 , - 2)
AB«» = (4 , 3) mAB = 34 mr = 34(- 3 , 4) ms = - 4
3
mAB = mr mr = - 1ms
t»= (- 2 , 3) y = 23x + 3
y = 32x - 32
y = - 23x + 23
A (- 2 , 0) C (0 , 1) y = - x - 2B (3 , - 5)
y = - 3x + 1 y = 56x + 35
6
y = 32x - 19
4
x - y + z - 1 = 0- x + y + z - 2 = 0
x2 + y - 2x - 2y - 3 = 0
x2 + y2 + z2 - x - y + z - 6 = 0
y = 3x + 15
u»= (cos b , sin b) v»= (cos a , sin a)
u». v»= cos b cos a + sin b sin aBE = sin (a + b)BE = sin b cos a + cos b sin a
k = - 3 › k = 3
188 SoluçõesN
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Tarefa 291.1 1.2 65 Æ 3.
117.1 Não. 117.2 Não. 117.3 Sim.
Tarefa 301.1 0 ; Sim. 1.2 - 8; Não.
1.3
1.4 a , b e c correspondem, respetivamente, à 1.a , 2.a e 3.a
coordenadas do vetor .
118.2
119.1 ;
119.2 ;
119.3 ;
Tarefa 311.1 - 10 ; Não. 1.2
2.1 Reta perpendicular a a e que passa em T .
2.2 2.3 Sim.
3.2
120.1.1 120.1.2
120.1.3 120.1.4
120.2 ;
120.3 Por exemplo,
121.2 122.1 122.2 122.3
123.1 Por exemplo, ABC e DHE .
123.2 Por exemplo, ABC , AHG e AHE .
123.3 Por exemplo, DBC , BDF e DBA .
123.4 Por exemplo, ABC , AHE e ABD .
Tarefa 321.1 1.3.2
2.2
124.1
124.2
124.3
124.4
125. Sistema impossível. Os três planos são paralelos, sendodois deles coincidentes.
126. Ponto de interseção .
127.1 O ponto de coordenadas .
127.2 A reta de equação.
Tarefa 33
1.1
1.2
1.3
2.
3.1
3.2 4.
5.
Tarefa 341.3 1.4 1.5.1 1.5.3
128.1
128.2 Sim, porque são três pontos não colineares.
128.3
129. e ; e
; e
e
130.1
130.2 130.3
131.
Pág. 126
Pág. 127
Pág. 128
Pág. 131
Pág. 132
Pág. 133
Pág. 135
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Pág. 124
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Pág. 122
x2 + y2 ≤ 9 (179 , 1136)
4x - 3y - 2z - 15 = 0
n»
k = - 114
n»= (3 , - 1 , 2) P (0 , - 3 , 0)
n»= (1 , 0 , 1) P (0 , 0 , - 7)
n»= (0 , 0 , 1) P (1 , - 2 , 6)
- 5x - 2y + 2z - 21 = 0
(x , y , z) = (- 1 , 3 , - 4) + k (3 , 1 , - 2) , k å R
2x + 3y - 6z - 42 = 0
y = 4 z = 8
y = x x + y - 4 = 0
- x + y + 2z - 8 = 0 (0 , 0 , 4)
n»= (2 , 2 , - 1)
x + 2y + z - 1 = 0 - x + y - 2z + 15 = 0
x - y + 2z + 9 = 0 - x + y + z = 0
(x , y , z) = (0 , 2 , 0) + k (2 , - 2 , 2) , k å R(k , - k + 2 , k) = (0 , 2 , 0) + k (1 , - 1 , 1) , k å R(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (- 3 , 1 , 7) , k å R
(x , y , z) = (4 , 0 , 0) + k (- 3 , 1 , 0) , k å R(x , y , z) = (4 , 0 , 0) + k (5 , 0 , 1) , k å R(x , y , z) = (0 , 43 , 0) + k (0 , 53 , 1) , k å R
(x , y , z) = (1 , 1 , 0) + k (1 , 43 , 1) , k å R
(- 2 , 4 , 6)
(1 , 3 , 5)
(x , y , z) = (- 1 , 1 , 0) + k (2 , 1 , 1) , k å R
(x , y , z) = (4 , 0 , 2) + k (0 , 1 , - 34) , k å R
(x , y , z) = (4 , 0 , 1) + k (0 , 1 , 34) , k å R
(x , y , z) = (0 , 23 , 32) + k (1 , 0 , 0) , k å R
C (4 , 23 , 32)
(x , y , z) = (0 , 0 , 2) + k (1 , 1 , - 34) , k å R
P (- 2 , - 2 , 72) 3y - 4z - 11 = 0
(x , y , z) = (0 , 3 , - 18) + k (1 , 1 , 6) , k å R
2x + y + 2z - 3 = 0(x , y , z) = (0 , 4 , - 1) + k (1 , - 2 , 0) , k å Rk = - 5 (1 , 2 , - 1)
x - 23
= y + 3 = z - 411
(x , y , z) = (2 , 0 , - 6) + k (3 , 4 , 1) , k å RR (- 1 , 0 , 2) r»= (3 , 2 , 1) S (3 , 0 , 1)
s»= (- 1 , 12 , 4) T (3 , 0 , 2) t»= (0 , 1 , 5)
U (2 , - 1 , 7) u»= (1 , 0 , 0)
(x , y , z) = (0 , - 1 , 1) + k (1 , 3 , - 1) , k å R
(35 , 45 , 2
5) x + 1 = y - 33
= - z + 2
V = 253
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Tarefa 351. ;
2. Perpendicular.
3. ;
4. Paralela.
Tarefa 361. ; ;
2. Paralelos.
3. ;
4. Perpendiculares.
Tarefa 371.1 ; 1.3
2.1 2.2 k = 6
2.3
3.1
3.2 3,2
132.1
132.2
133.1 133.2
134.1 Não. Seriam necessárias 22 raparigas e a turma só tem 20 .134.2 550 euros.134.3
135. Máximo: 10 ; mínimo: 4 .
136.1 42 136.2 60
Tarefa 381.
2. 3.
4. ; ; ;
5.
6. Como o valor máximo da receita corresponde a dois vérticesadjacentes do polígono, A e B , todos os pontos (x , y) decoordenadas inteiras pertencentes a [AB] são soluções ótimas.
Tarefa 391.1
1.2 , , e 1.3 1.4.1 Uma infinidade. Todos os pontos pertencentes ao segmento
de reta [AB] , sendo e .
1.4.2 Dois pontos.
2.1 2.2 e
Pág. 145
Pág. 146
Pág. 149
Pág. 150
Pág. 143
Pág. 141
Pág. 142
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1
1
3 5
592
x
y
O
1
1 3 x
y
3
O
x
B
A30
função objetivo
45
25
10
y
O
x3 7
5
y
O
73
n»= (- 2 , 1 , 3) r»= (- 2 , 1 , 3)
n»= (- 2 , 1 , 3) s»= (2 , 1 , 1)
u»= (1 , 3 , - 2) v»= 12 , 32 , - 1 u»= 2 v»
u»= (1 , 3 , - 2) w» = (4 , - 2 , - 1)
R (0 , 1 , - 2) R ∫ a x - 5 = - y2= z2
x + 3y + 2z + 5 = 0
x = - 2z + 5914 ‹ y = 13
14
(x , y , z) = 2 , 52 , - 4 + k 3 , 12 , - 1 , k å R
x ≥ 1 ‹ y ≥ 13x + 2
3 ‹ y ≥ 2x - 6 ‹ y ≤ - 1
4x + 21
4
y ≥ 1 ‹ y ≤ - 4x + 17 ‹ y ≤ 23x + 3 ‹ y ≥ - x + 3
F (x , y) = 50x + 60y
R (x , y) = 30x + 45y x ≥ 0y ≥ 02x + 3y ≤ 90x + 2y ≤ 50
O (0 , 0) A (45 , 0) B (30 , 10) C (0 , 25)
(0 , 0) 7 , 73 (7 , 0) (3 , 5) (3 , 5)
B (3 , 5)A 7 , 73
B (4 , 2)A (1 , 4)C (7 , 5)
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de treinoN.° de pares de sapatilhas Receita
Conjunto dotipo A x 2x x 30x
Conjunto dotipo B y 3y 2y 45y
Total x + y 2x + 3y x + 2y 30x + 45y
Vértice R (x , y)
O (0 , 0) 0
A (45 , 0) 1350
B (30 , 10) 1350
C (0 , 25) 1125
Conjuntos do tipo A , x
Conjuntos do tipoB , y
Receita
30 10 1350
33 8 1350
36 6 1350
39 4 1350
42 2 1350
45 0 1350
Tarefa 401. É possível. Para tal são necessários 62 kg de amêndoas
de licor e 98 kg de amêndoas de chocolate, quantidadesinferiores às existentes em stock.
2.1 Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de chocolategasta nas duas misturas.
2.2 Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de licor gastanas duas misturas.
3.
4.1 F(x , y) = 12x + 9y 4.2 (x , y) = (130 , 50)
Tarefa 411. O presidente da associação de estudantes deve alugar 4
autocarros de 25 lugares e 2 de 50 lugares.
2.1 Não. 2.2 2.3 (3 , 7)
1. (C) 2. (D) 3. (B) 4. (B) 5. (B)
6. (B) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 10. (C)
11. (C) 12. (A) 13. (B) 14. (A) 15. (C)
16. (C) 17. (A) 18. (B) 19. (C) 20. (A)
21. (A) 22. (D) 23. (A) 24. (A) 25. (B)
26. (D) 27. (D) 28. (A) 29. (C) 30. (B)
Proposta 11. 3 2. - 8 3. 27
Proposta 2
1. 2. 3. 54
Proposta 3
1. 2.
Proposta 41. - 4,942.1 3,4
Proposta 56
Proposta 61. 0° 2. 90° 3. 180° 4. 150°
Proposta 71. 10,2 2.1 0 2.2 2.3
Proposta 81.
2. 10,62°
3. Circunferência de diâmetro [AB] .
Proposta 91. 2.1 3 min 2.2 53° 2.3 Círculo de diâmetro [AO] ; está contido na área regada
uma vez que < 5 m .
Proposta 10
1. 2.
3. 26,6° 4.
Proposta 112.1 Reta perpendicular a e que passa por A .
2.2 Por exemplo: “Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta
r com a reta que lhe é perpendicular e que passa peloponto A .”
2.3
Proposta 122. - 32 3.
Proposta 131. Mediatriz de [BC] .
3.
Proposta 141. 37°
2.
Pág. 158
Pág. 159
Pág. 160
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x > 0y > 00,5x + 0,7y ≤ 1000,5x + 0,3y ≤ 80
23 , 12
- x2
212√5
a2
2- a
2
2
- 9√2 - 12√2
y = 2x + 7
x - 32
2
+ (y - 2)2 = 534
v»= (- 2 , 1)
y = - x3+ 113
3√105
k å ]- 4 , 2[
u»
7√55
(0 , - 2√3)
y ≥ 0 ‹ y ≤ 23x + 3 ‹ y ≤ - 3
2x + 3
OA
x ≥ 0 ‹ y ≥ 0 ‹ y ≥ 34x - 17
4 ‹ x2 + (y - 2)2 ≥ 25
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Proposta 151. Plano yOz .
2. Plano mediador de [AB] .
3. Superfície esférica de diâmetro [AB] .
4. Circunferência de centro O e raio 3 , contida no plano yOz .
5. Ponto (0, 0, 3) .
Proposta 161. 2. 60°
3.
Proposta 171. Falsa. A reta r e o plano a são paralelos, podendo a reta
estar contida no plano.
2. A reta r está contida no plano a .
Proposta 181. A reta r está contida no plano b .
2.
3.
Proposta 191. 2. k = 3
3.
Proposta 202. Não. As retas r e s são não complanares (não têm pontos
em comum e os vetores diretores não são colineares).
Proposta 214. Não.
Proposta 22
1.
2. ; . Não interseta o plano xOz .
3. ; ;
Proposta 23
2.
4. Sim. O ponto .
Proposta 24
1.
2. 3.
Proposta 25
1. 3. 14p
Proposta 261. Sistema possível e indeterminado.
2. Sistema possível e determinado.
3. Sistema impossível. 4. Sistema impossível.
5. Sistema impossível. 6. Sistema impossível.
Proposta 271. Sistema impossível. Os três planos intersetam-se, dois a
dois, segundo retas paralelas.
2. Sistema possível e determinado. Os três planos interse-tam-se no ponto de coordenadas .
3. Sistema impossível. Os três planos intersetam-se, dois adois, segundo retas paralelas.
Proposta 28Só pode ser o sistema I, porque no sistema II os três planos sãoestritamente paralelos.
Proposta 291. A: sistema possível, indeterminado. Os três planos interse-
tam-se segundo a reta r definida por:
B: sistema impossível C: sistema impossível
2. A" II B" I C" III
Proposta 301. ; ; ;
2. ; valor mínimo: 9
Proposta 3145 peças do tipo A e 15 peças do tipo B .
Proposta 3212 “Bolos da Avó” e 16 “Doces da Casa”.
Proposta 3325 toalhas de tamanho médio e 25 toalhas de tamanho grande.
Proposta 341. 40 de “Lavabem” e 20 de “Fofo”.
2. 52 de “Lavabem” e 27 de “Fofo”.
Proposta 3520 MWh de energia convencional e 20 MWh de energia eólica.
Pág. 167
Pág. 168
Pág. 169
Pág. 170
Pág. 171
Pág. 166
Pág. 165
- 4x + y - 5z + 17 = 0
x + 7 = - y - 52
= z - 83
x + 2y - 3z + 24 = 0k = - 4 - 3√2 › k = - 4 + 3√2
- x = z - 13
‹ y = - 2
75 , -25 , 45
165 , 1 , 135
(0 , 1 , - 7) 73 , 1 , 0(1 , 0 , 0) 0 , 13 , 0 0 , 0 , - 1
2
(x , y , z) = - 13 , - 5
3 , 0 + k (0 , 1 , 1) , k å R
- 13 , - 11
6 , - 1
6
(x , y , z) = 43 , 0 , 83 + k -
13 , 1 , - 5
3 , k å R
A' (2 , - 1 , 1) T - 914 , 1314 , 27
x - 32
= z - 2 ‹ y = - 1
1419 , 2319 , 319
(x , y , z) = (2 , 1, 0) + k (1 , - 3 , 1) , k å R
A (6 , 0) B (6 , 5) C (1 , 5) D (3 , 1)
(x , y) = (3 , 1)
192 SoluçõesN
EMA
11-P1 © Porto Editora
TEMA 2: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIALI. FUNÇÕES RACIONAIS E COM RADICAIS. TAXA DEVARIAÇÃO E DERIVADA
Tarefa 1
1. 3,20 Æ2. 70 l
3.2.1 ; se o laranás só for produzido com sumo deananás, o preço de cada litro é 6,5 Æ .
3.2.2 20
1.1.1 4 1.1.2 - 32
1.2
1.3
1.4.1 - 1 1.4.2 2 1.4.3 12
2.1 - 32.2 a = 0 2.3 ;
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5 3.6
4.1 Par.4.2 Ímpar.4.3 Não é par nem ímpar.
6.1 6.2 6.3 6.4
7.1 k = 2 7.2.1 7.2.2 7.2.3
8.1.1 8.1.2 5 8.1.3 5 8.2 8.3
Tarefa 21.1.1 Por exemplo, .
1.1.2 Por exemplo, .
1.2 A função é descontínua para x = 0 .1.3.1 1.3.2 4 1.3.3 4 1.3.4 1.3.5 1.3.6 0 1.3.7 4 1.4.1 x = 0 ; x = 3 1.4.2 y = 0 ; y = 4 2.
9.1 x = - 3 ; y = 1 ; y = 0 9.2.1 x = 2 9.2.2 x = - 3 9.3.1 y = 0 ; y = 1 9.3.2 y = 3 ; y = 4
Tarefa 3
1. Referencial A : Referencial B :
2. Função f : referencial B ; cor verde Função g : referencial A ; cor azul
3.1 3.2 3.3 0 3.4 0
A (0 ; 6,5)
f (x) = - 8x
Df = R \ {0} D'f = R \ {0}R \ {3}
D = R \ - 12
D = R \ {- 2 , 2}D = R \ 43 D = RD = R \ {- √3 , √3 }
f (x) " - ?f (x) " 0+
f (x) " - ?f (x) " 0-
+ ?0+
2+
+ ?
x = 0x = 0
]1 , 2[]- 1 , 3[
+ ?
- ?
b < 0
b > 0
Pág. 11
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Pág. 13
Pág. 14
Pág. 15
Pág. 16
Pág. 18
Pág. 19
Pág. 20
2
- 4
O
y
x
g
2- 1O
y
x
+ ? - ˇ ?
- ?
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raSoluções
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4.1 4.2 4.3 04.4 0
5.
10. f— (D) ; g— (A) ; h— (C) ; i— (B) .
Tarefa 41.1.1 Através de uma translação associada ao vetor .
1.1.2 Através de uma translação associada ao vetor .
1.1.3 Através de uma translação associada ao vetor .
1.2
2.1 ; ; A. V.: x = - 3 ; A. H.: y = 3 2.2 ; ; A. V.: x = - 2 ; A. H.: y = 8 2.3 ; ; A. V.: x = 0 ; A. H.: y = 2
3. a = - 4 ; b = - 3 ; ;
11. I, II e IV
12.1 ;
;
;
12.2 Função f : A. V.: x = 0 ; A. H.: y = 2 Função g : A. V.: x = 5 ; A. H.: y = 0 Função h : A. V.: x = 2 ; A. H.: y = 0
13.1
13.2
13.3
14.1
14.2
14.3
14.4
15. a = - 1 ; b = 3 ; c = - 2
Tarefa 5
1.1.
1.2 Através de uma simetria em relação ao eixo Ox seguida deuma translação associada ao vetor .
1.4 ;
2.1 ;
Di = R \ {- 3} D'i = R \ {3}Di = R \ {- 2} D'i = R \ {8}Di = R \ {0} D'i = R \ {2}
c = - 32
p 52 = - 7
Df = R \ {0} D'f = R \ {2}Dg = R \ {5} D'g = R \ {0}Dh = R \ {2} D'h = R \ {0}
y = - 1 + 3x - 2
y = 3 + 1x
y = 1 - 1x + 3
y = 2x + 1
f (x) = 1 - 1x - 4
(4 , 1)
(0 , - 1)
(2 , - 1)
(2 , 0)
Pág. 23
Pág. 24
Pág. 25
Pág. 22
Pág. 21
2
- 1
y
xO
2- 1
y
xO
2
y
xO
1
+ ?- ˇ ?
b = 3a = - 12
b = - 4a = - 3
260 SoluçõesN
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11-P2©
Porto Editora
y = bx
b 0 0Domínio Contra-domínio Variação
Pari-dade Sinal Assínto-
tas
b > 0 R \ {0} R \ {0}Decres-cente
em R- eem R+
Ímpar
Positivase x > 0 Negativase x < 0
x = 0 y = 0
b < 0 R \ {0} R \ {0}Crescenteem R- eem R+
Ímpar
Positivase x < 0 Negativase x > 0
x = 0 y = 0
Função Domínio Contradomínio Assíntotas
y = 1x R \ {0} R \ {0}
A. V.: x = 0 A. H.: y = 0
f (x) = 3x - 2 R \ {2} R \ {0}
A. V.: x = 2 A. H.: y = 0
g (x) = - 1 + 3x R \ {0} R \ {- 1}
A. V.: x = 0 A. H.: y = - 1
h (x) = - 1 + 3x - 2 R \ {2} R \ {- 1}
A. V.: x = 2 A. H.: y = - 1
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Tarefa 6
1. A : 50 °C ; B : 28 °C
2. 3,7 °C
3. A : diminuiu ; B : aumentou
4.1 Não4.2.1 Às 15 h 30 min .4.2.2 Aproximadamente 35,8 °C .
Tarefa 71. A : 3 °C ; B : - 1 °C 2.1 À medida que t aumenta, a diferença entre as temperatu-
ras aproxima-se de 0 °C .
2.2 Reforça.2.3 0 °C
16.1 16.2
16.3
17.1
17.2
17.3
18.1
18.2 Retirando o ponto de coordenadas .
19.1
19.2
20.1 ;
20.2 ;
20.3 ;
20.4 ;
20.5 ;
21. 2
22. - 0,4123.1 23.2 23.3 23.4
24.1 24.2
25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6
Tarefa 81.1 1.2
2.1
2.2
C (- 2 , 0)
A (- 1 , 1) ; B (2 , 2)
x = 1x = 0
Pág. 35
x = - 1x = -√3 › x = √3x = 3x = 1
Pág. 34
a = 3x = 3
x = 12
x = - 2 › x = 1x = - 4x = 0 › x = 3
Pág. 33
f (x) = 2x - 2x - 1
f (x) = (x + 2)2
x + 2
1x + 5 x å R \ {- 5 , 0}
x å R \ {- 3 , 3}- 1x + 3
x å R \ {0 , 2}x - 1x
- (x - 1)2
x + 2 x å R \ {- 2 , 2}x å R \ {- 1}x - 1
Pág. 32
2 , 14
y = x
y = 2x - 7y = x
2
Df = R \ {- 2 , 2}
Pág. 27
Pág. 28
Pág. 30
4
- 4
O
y
x
4O
y
x
3
- 1 O
y
x
Pág. 26
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x -? - 2 0 + ?f (x) + 0 - S. S. +
x -? - 2 0 + ?x + 2 - 0 + + +
x - - - 0 +
f (x) = x + 2x
+ 0 - S. S. +
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3.1
3.3
28.1
28.2
28.3
28.4
28.5
28.6
28.7
29.1 29.2
30.2
31.1
31.2 D = R- e
31.3
32.1 Por exemplo,
32.2
32.3
Tarefa 9
1. 250 °C
2. Aproximadamente 35 min .
3.1 3.2 25 °C
4. Sim.
Tarefa 10
1. 5,6 km2
2. 5 horas e 24 minutos.
3. ;
Entre as 18 h 24 min e as 20 h 30 min foi contaminadauma área de 1 km2 .
4.1 1,5 km
4.2 Aproximadamente 30 min .
4.3 A Inês abandonou a casa, aproximadamente, 3 horas e 18minutos antes de o local ser contaminado.
Tarefa 111.1 Aproximadamente 1,7 kg .
1.2 Aproximadamente 10,9 kg .
2. Aproximadamente 7 meses.
3.
4.1.1 Uma medida ;
4.1.2 Duas medidas.
4.2 Não.
5. A partir dos 28 meses de idade (2 anos e 4 meses).
1. (B)
2. (A)
3. (C)
4. (D)
5. (D)
6. (C)
7. (A)
8. (D)
9.1 (C) 9.2 (D)
10. (B)
11. (A)
12. (D)
13. (B)
14.1 (A) 14.2 (A)
15. (C)
16. (C)
Pág. 46
Pág. 45
Pág. 44
t å 0 , 107
Pág. 41
h : R " R
x 1 2x2 - 3
se x 0 -√3 ‹ x 0 √3
0 se x = -√3 › x = √3
j : R " R
x 1 x - 3x + 1
se x 0 - 1
3 se x = - 1
a = 25
A (7,5) - A (5,4) = 1
Pág. 39
Pág. 40
i : R " R
x 1 x - 3x + 1
se x 0 - 1
2 se x = - 1
R \ {4}
D' = - 14 , 1
h : ]4 , + ?[ " Rx 1 x + 1
x - 4
Pág. 38
x å ]0 , 3[
Pág. 37
x å 0 , 12
x = 7
Pág. 36
x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 2[
x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 2[
x å ]- ? , - 1[ ∂ ]2 , + ?[x å ]- ? , 1] ∂ ]2 , + ?[x å [- 1 , 0[ ∂ [1 , + ?[x å ]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[x å ]- 4 , - 2[ ∂ ]2 , + ?[x å ]- ? , - 3[ ∂ {1}x å ]- 2 , - 1[ ∂ ]3 , + ?[
Pág. 47
262 SoluçõesN
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x - ? - 1 0 2 + ?- x2 + x + 2 - 0 + + + 0 -
x - - - 0 + + +- x2 + x + 2
x+ 0 - S. S. + 0 -
Proposta 11. e
2. e
Proposta 21. Translação associada ao vetor seguida de uma
translação associada ao vetor .
2.
3.
Proposta 31. ; ; ;
2.
Proposta 4
1. Com Ox : ; com Oy :
2.
3.1 3 3.2 3 3.3 3.4
Proposta 51.
2. O ponto de abcissa 3 .
3.1 - 3 3.2 2 3.3 4 3.4 4 3.5 3.6
4.1 e . 4.2 - 5 e 4 .
Proposta 61. ; e
2.1 Falso. Por exemplo, e .
2.2 Falso, porque .
2.3 Verdadeiro.2.4 Verdadeiro.2.5 Falso, porque .
Proposta 71.
2.
3.
Proposta 81.
2. 1,63
Proposta 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Proposta 10
1.
2.
3.
4.
Proposta 112.
3. e
Proposta 122. e ;
g : R+ " Rx 1
3.1
3.2
3.3
b = - 1a = 3
x å ]- ? , - 4] ∂ ]- 1 , + ? [
1x - 2 ; x å R \ - 1
2 , 2
x2 + 2xx + 1 ; x å R \ {- 1 , 2}
x - 1x ; x å R \ {0}
x2 + xx - 2 ; x å R \ {- 2 , 2}
2x2 + 3x - 2x ; x å R \ {- 1 , 0}
x3 - 2x2 + 4x - 83x - 1 ; x å R \ - 2 , 13
1x2 - 4 ; x å R \ - 2 , 12 , 2
- x2 + x - 1x2 - x
x2 + 2x - 2x3 - x
- x2 - 3x + 1x2 - x
- x2 + 6x - 42x2 - 8
(- 2 , - 2)
(1 , 1)(- 2 , - 2)
k = - 1k = 2k = - 3
R \ {4}
- ?+ ?y = 3x = 6
c = - 1b = 3a = - 2f (- 2) > f (- 1)- 2 < - 1
- 2 ∫ D'f
A x å ]- 1 , + ?[ , f (x) < 0
Pág. 50
Pág. 51
+ ?- ?
0 , 12- 13 , 0
g (x) = 3 - 5x + 2
Pág. 49
2
- 3
O
y
x
x å 2 , 73
d = - 5c = 2b = - 3a = - 3
g (x) = 65x - 12
5
(2 , 0)(0 , - 3)
y = - 1x = 4b = - 3a = 4
Pág. 48
3x - 1
]5 , + ? []0 , 1[ ∂ ]3 , + ?[]0 , 2] ∂ ]3 , + ?[
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Proposta 13
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Proposta 14
1. ; e
2.
Proposta 151. e
2. Translação associada ao vetor (quatro unidadespara cima)
Proposta 161. r : ; s :
2. e
3.1 g : ]- 2 , - 1] " R
3.2
Proposta 17
1.
2. Assíntotas de f : e
Assíntotas de g : e
Assíntotas de h : e
Assíntotas de i : e
Proposta 181. 0,5 m
2. 1,5 m
3. 3 anos e meio
4.
5. 6 m
Proposta 19
2. e
Proposta 20
1.
2. e
3. e 1
4.
Proposta 211.
2. À medida que o número de peças produzidas aumentam, ocusto de produção tenderá para 160 Æ .
3.2
Proposta 221. 240
2. 13 de janeiro
3. 18 de fevereiro
4.
Proposta 231. r : x = 2 ; s : y = 4 ; 2. e
y = - 32
x = 0
x = 32
y = 2x + 3
y = 5x = - 4
i (x) = 5 - 13x + 4
x = - 1 y = 2
h (x) = 2x + 3 + 102x - 3
f (x) = 2 - 5x + 1
g (x) = - 32+ 1x
Pág. 53
y = 12
x = 12
Df = R \ {12 }
x å ]- 14 , 1
2 [ ∂ ]1 , + ?[
b = 9a = 4
(0 , 4)
y = 1x = - 2
B (- 3 , 0)A (0 , 32)
j : R " R
x 1 { x + 3x + 2
se x 0 - 2
1 se x = - 2
x å ]0 , 1[ \ {3}x å ]- ? , - 2] ∂ ]1 , 2[ ∂ ]2 , + ? [
x å ]- ? , - 1[ ∂ ]- 1 , 0[ ∂ ] 12 , + ?[x å ]- ? , 0[x å ]0 , 2[ ∂ ]2 , 6]x å [- 1 , 0[
x å ] 12 , 3[
x å ]- ? , - 12] ∂ ]3 , + ?[
Pág. 52
x 1 x + 3x + 2
0,5
6
O
h
t
b = 113
a = - 32
Pág. 54
(- 3 , 15)
y = - 2x + 13x = - 2
12
k å ]0 , 30[ © Z
D = N0
x ≥ 4
Pág. 55
38O
h
t
12
0,6
Pág. 56
S (2 , 1)R (0 , 1)
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3.2
3.3 Não. , logo
3.4
Proposta 24 1. 1.a hora
2. . Durante as 7 primeiras horas de acompanha-mento da situação, por parte da Proteção Civil, a subida donível das águas, em relação ao nível médio, não foi supe-rior a 2,5 m .
3. O início do acompanhamento da situação deu-se quando. Não foi necessário evacuar a população.
Proposta 251. 72 euros.
2. , sendo P o preço médio por calça e
x o número de calças do tipo A .
3. 15
4.1 4.2 1 hora
Tarefa 121. 2.a bandeira: 09:00:12 ; 4.a bandeira: 09:00:25
2.1 15 m/s 2.2 34 m/s 2.3 40 m/s 2.4 28 m/s
3.1 Espaço percorrido entre o 8.° e o 10.° segundo.3.2 Rapidez com que o esquiador se deslocou entre o 8.° e o
10.° segundo.
3.3 Rapidez com que o esquiador se deslocou durante os 7 segun-dos iniciais.
4.1 14 m/s 4.2 7,5 m/s
5.
11 m/s
33.1 13,31 Æ 33.2 5440 Æ33.3 224 . Se a produção passar de 40 para 80 peças, o custo
sofre um aumento de 224 Æ .
34.1
34.2 - 4
34.3.1
34.3.2 0
34.3.3
34.4 - 135.1
35.2
35.3
35.4
35.5
36.1
36.2
36.3
Pág. 58
60
O
V
t
90
P (x) = 60x + 2700x + 30
t å [0 , 7]
H ) 1,3 m
Pág. 57
x å ]2 , 14[
A (x) > 9 , A x > 2A (x) = 9 + 12x - 2
Q (0 , 112 ) Pág. 59
Pág. 60
- 32
12
- 34
[8 , 9][5 , 8][- 2 , 0][0 , 5][0 , 1]
Pág. 61
1 4- 1
O
y
x
5
1 4- 1
O
y
x
5
1 4- 1
O
y
x
5
265N
EMA
11-P
2©
Por
to E
dito
ra
h [4 , 4 + h] Velocidade média nointervalo [4 , 4 + h]
0,1 [4 ; 4,1] 11,1
0,09 [4 ; 4,09] 11,09
0,08 [4 ; 4,08] 11,08
0,07 [4 ; 4,07] 11,07
0,005 [4 ; 4,005] 11,005
0,001 [4 ; 4,001] 11,001
37. I: Verdadeira ; II: Falsa
38.1
38.2
38.3
39.1 39.2 39.3
39.4 2
40.1.1 40.1.2 040.2 Negativo
41.
42.1.1 - 1 42.1.2 - 142.1.3 1 42.2
Tarefa 131. Aproximadamente 4 min 38 s
2. 60 litros
3.1 4 dm . Entre o 1.° e o 3.° minuto, o nível da água subiu 4 dm .
3.2 2,25 dm/min . Entre o 1.° e o 4.° minuto, o nível da água subiu, em média,
2,25 dm por minuto.
4.2 1,5 4.3 Verdadeira, porque e .
5.2 50
43.
44.1 9 m 44.2 4 m/s 44.3 2 m/s
44.4 Decorridos 3 segundos, a bola atinge a altura máxima(velocidade nula).
Decorridos 5 segundos, a bola está a descer a uma veloci-dade de 4 m/s .
45.1 45.3 45.4
Tarefa 14 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2
2.1
2.2
46.1.1 4 46.1.2 - 4 46.2 46.3.1
46.3.2
Tarefa 151.1 1.2 72p ; cm3/cm ; se o raio variar entre 2 cm e 4 cm , o
volume da lata aumenta em média 72p cm3 por cadaaumento de 1 cm do raio.
1.3
1.4 72p ; cm3/cm ; quando o raio é igual a 3 cm , o volume dalata aumenta à razão de 72p cm3 por cada aumento de 1 cm do raio.
2.1 2,4 Æ2.2 0,1 ; Æ/cm ; se o raio variar entre 6 cm e 8 cm , o custo
da lata aumenta em média 0,1 Æ por cada aumento de 1 cm do raio.
2.4 0,32 ; quando o raio é igual a 3 cm , o custo da lataaumenta à razão de 0,32 Æ por cada aumento de 1 cm doraio.
Tarefa 16
3.
5.
6.
Pág. 71
Pág. 70
[b , c][0 , c][a , b]
- 2
- 45
Pág. 69
y = - 6x + 16
- 15
- 17
y = - x5+ 85
Pág. 67
y = - 2x + 4Pág. 65
Pág. 66
y = - 4x + 13
y = 5x - 5
f '(1) = 1,5f '(2) = 2
Pág. 64
√3
Pág. 63
- 12
- 12
52
Pág. 62
h + 2h2 + 2h
x 1 - 2x + 2
g' : R " Rx 1 6x
D = [2 , 8]
V ' : [2 , 8] " Rx 1 24p r
f ' : R " R
k = 12√3
f '(c) < f '(a) < f '(b)
72√3
a = 14
266 SoluçõesN
EMA
11-P2©
Porto Editora
h t.m.v.[1 , 1 + h]
0,1 2,1
0,01 2,01
0,001 2,001
0,0001 2,0001
NEMA11_P2_F17_20100445_2P_CImg_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 5:57 PM Page 266
47.1 47.2 47.3
48.1
48.2
48.3
48.4
49.1 49.2
50.1 50.2
50.3
50.4
51.1 51.2 51.3 Não.
52. Função h
53.1
53.2
53.3
53.4
54.
55.2
56.1.1 56.1.2 56.1.3 56.2
57.1 57.2 57.3 57.4
57.5
58.1
58.2 58.3 58.4 58.5
59. ; e
Tarefa 17
1.2.1 ; cm2 ; se a distância do vértice V à superfície do
líquido passar de 20 cm para 40 cm , então a área corres-
pondente à superfície do líquido no reservatório aumenta
cm2 .
1.2.2 ; cm2/cm ; quando a distância do vértice V à superfície
do líquido varia entre 10 cm e 30 cm , então a área da
superfície do líquido aumenta, em média, cm2 por cm .
1.2.3 ; cm2/cm ; quando a distância do vértice V à superfí-
cie do líquido é igual a 25 cm , a área da superfície do
líquido no reservatório está a aumentar cm2 por cm .
2.1
2.2 cm3/cm
60.1
60.2
60.3
60.4
61.1
61.2
62.1
62.2
62.3
62.4
62.5
62.6
63.2
Pág. 79
Pág. 78
Pág. 77
Pág. 75
Pág. 76
Pág. 74
Pág. 73
12
12
12
f '(x) = 2
f '(x) = 13
f '(x) = p
f '(x) = 13
g (x) = 4x - 1g (x) = 4x - 2
f '(x) = 6xf '(x) = - 10x
f '(x) = 2x3
f '(x) = - 2√2xy = 8x + 4P (- 2 , - 16)
f ' : R " Rx 1 - 2x + 3
f ' : R " Rx 1 4
3x - 4
f ' : R " Rx 1 x - 3
2
f ' : R " Rx 1 - 2√5x + 1
2
B (3 , 3)
y = - 10x + 12
y = 4x + 1y = - 6x + 16y = 6x + 4
(3 , - 3)
g '(x) = - 2x + 7g '(x) = x - 3g '(x) = - 10xg '(x) = 2x - 2g '(x) = 3x - 1
3
f '(x) = - 12x2
f '(x) = 6x2 + 2xf '(x) = 3x2 - 4x + 5f '(x) = - 3x2 - 3f '(x) = 9x2 - 2x + 3
A (2 , 0) B 43 , 0 C (2 , 2)
400p3
400p3
40p9
40p9
50p9
50p9
D = [0 , 60]
- 625p9
f '(x) = - 3x2
f '(x) = - 12x2
f '(x) = - 53x2
f '(x) = - p4x2
y = - 12x + 2
P (- 1 , - 2)
f '(x) = - 3(x - 1)2
f '(x) = 12(x + 4)2
f '(x) = - 12(x - 4)2
f '(x) = 2
x - 13
2
f '(x) = - 7(x + 5)2
f '(x) = 8(x + 2)2
g '(x) = 13(x + 5)2
Pág. 72
267N
EMA
11-P
2©
Por
to E
dito
ra
NEMA11_P2_F17_20100445_2P_CImg_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 5:57 PM Page 267
Tarefa 181. 2,6 bar
2.1 0,1 bar/h Nas 3 primeiras horas após o início da viagem, a pressão
dos pneus sem furo aumentava, em média, 0,1 bar/h .
2.2 - 0,2 bar/h Nas 2 primeiras horas após o início da viagem, a pressão
do pneu com furo diminuía, em média, 0,2 bar/h .
3. 0,04 ; bar/h Cinco horas após o início da viagem, a pressão dos pneus
sem furo aumentava à razão de 0,04 bar/h .
5.
6. Três horas após o início da viagem, a pressão do pneu com
furo diminuía à razão de 0,14 bar/h .
65.1 0
65.2.1 Positivo.
65.2.2 Positivo.
65.3 Os pontos de abcissas b e d .
66.1 tal que
66.2 tal que
66.3 tal que
Tarefa 191.
2. 0
3.1
3.2
67.1
67.2 38,66°
68.
71.1 ;
f é estritamente decrescente em R- e em R+ .
71.2 ;
f é estritamente crescente em R- e em R+ .
71.3 ;
f é estritamente decrescente em R- e em R+ .
72.1
f é estritamente crescente em e estritamentedecrescente em .
72.2.1 Negativo.
72.2.2 Positivo.
73.1 g é estritamente decrescente em e estritamente
crescente em ;
g tem um mínimo absoluto igual a para .
73.2 g é estritamente crescente em R e não tem extremos.
73.3 g é estritamente decrescente em e em ;
g é estritamente crescente em e em ;
g tem um máximo relativo igual a - 2 para e ummínimo relativo igual a 2 para .
74.1 f tem um mínimo absoluto igual a 0 para .
74.2 f não tem extremos.
74.3 f tem um mínimo relativo igual a - 11 para e ummáximo relativo igual a 21 para .
]0 , 1[] - 1 , 0[]1 , + ? []- ? , - 1[
x = - 1x = 1
x = - 1
x = - 2x = 2
52 , + ?
- 254
x = 52
]- ? , 4[]4 , + ? [
- ? , 52
Pág. 86
f '(x) < 0 , A x å Df
f '(x) > 0 , A x å Df
f '(x) < 0 , A x å Df
Pág. 84
Pág. 85
T'(t) = t2 - 4t + 3
-√3
Pág. 83
h'(x) = 1 se x > 3- 1 se x < 3
h' : R \ {- 2} " R
h'(x) = 1 se x > 2- 1 se x < - 2
h' : R \ 43 " R
h'(x) = 3 se x > 43
- 3 se x < 43
Pág. 82
h' : R \ {3} " R
g'(t) = - 24(t + 10)2
g'(3) ) - 0,14
Pág. 81
Pág. 80
268 SoluçõesN
EMA
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Intervalo de tempo
Sinal do declive da reta tangenteem pontos deabcissas
pertencentes aointervalo
Sinal da derivada
Sentido de variação da fun-ção no intervalo
(monotonia)
]0 , a[ + + £
]a , b[ - - ¢
]b , c[ + + £
t 0 1 3 92
T ' + + 0 - 0 + +
x - ? 1 + ?f ' - 0 +f ¢ f (1) £
x - ? 4 + ?f ' + 0 -f £ f (4) ¢
NEMA11_P2_F17_20100445_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 9:20 PM Page 268
Tarefa 201.2 7,2
2.2.1 2.2.2
Tarefa 21
1. I:
II: e ;
IV:
A função A tem um mínimo igual a 162 para x = 7 . V: A piscina deve ter 7 m de largura e 14 m de compri-
mento.
2.1 18 °C ; 15,7 °C 2.2 A temperatura da água diminui entre as 8:00 e as 10:00 e
entre as 15:00 e as 18:00 .
A temperatura da água aumentou entre as 10:00 e as15:00 .
A água atingiu a temperatura máxima de, aproximada-mente, 18,8 °C às 15:00 e a temperatura mínima de,aproximadamente, 16,7 °C às 10:00 .
2.3
Tarefa 221.1 Lucro de 420 Æ1.2 Prejuízo de 300 Æ2. 46 peças
3.1 68 Æ ou 425 Æ3.3 20 peças
75.
Tarefa 231. 5 euros ; 11,60 euros
2.
3.1 3.2
4. ; ;
76.1
76.2.1 h é descontínua em .
76.2.2 ; ;
76.2.3
76.3.1
76.3.2
77.
78.1
78.2
78.3
78.4
78.5
78.6
f (x) = { x2 - 4 se x å ]- ? , - 2] ∂ [2 , + ?[
- x2 + 4 se x å ]- 2 , 2[
f (x) = {-2
x - 2 se x < 2
- x + 3 se x ≥ 2
f (x) = { 2x + 1 se x ≥ - 12
- 2x - 1 se x < - 12
f (x) = {- 2 + x se x ≤ 22 - x se x > 2
f (x) = { x - 2 se x ≥ - 1- x - 4 se x < - 1
y = - 19x + 5
3
Pág. 93
C (x) = 2x
C (x) = 10 + 1,6(x - 5)
C (10 , 18)B (7,5 ; 14)A (5 , 10)
x = 0
y = 1y = 0x = 0
R \ {0 , 1}
y = 14x + 1
Pág. 92
1O x
y
2
1
C (d) = { 3 + 2d se 0 < d ≤ 108 + 1,5d se 10 < d ≤ 20
]4,9 ; 8,6[
Pág. 89
Pág. 90
Pág. 91
10O
C
d20
23
38
3
98x + 4x + 2
y = 98x
P (2 , 8)
P (2 , 8)
Pág. 88
Pág. 87
f (x) = { x - 2x2 se x å [0 , 12]- x + 2x2 se x å ]- ? , 0[ ∂ ] 12 , + ?[
f (x) = {- x se x < 0x se 0 ≤ x < 22x se x ≥ 2
269N
EMA
11-P
2©
Por
to E
dito
ra
x 0 7 + ?A' - 0 +A ¢ A (7) £
Quantidade(em kg) 2 3,5 4,25 5 7 8 10
Custo(em Æ) 4 7 8,5 10 13,2 14,8 18
NEMA11_P2_F17_20103453_1P_20103453_TXTP2_P257_272 11/06/29 16:08 Page 269
79.1
79.2
79.3
80.1
80.2
81.
Tarefa 24
1.
2. 31 m3
3.1 18,4 Æ
3.2
4. 36,40 Æ
Tarefa 251.1 9 m1.2
1.3 Dois minutos após a largada, o balão do Pedro encontrava --se a 24 m do solo.
1.4 Não, porque .
1.5 A função f .1.6
82.1 Não. 82.2 Sim.82.3 Não. 82.4 Não.
83.1 Não, porque .
83.2 São iguais.
Pág. 96
R (x) = 2,5 + 0,50x se 0 ≤ x ≤ 3017,5 + 0,9(x - 30) se x > 30
P (x) = 3 + 0,40x se 0 ≤ x ≤ 250,59x - 1,75 se x > 25
Pág. 95
x 1 3 se x > 0
- 1x2
se x < 0
g' : R \ {0} " R
x 1 2x + 1 se x < - 2 › x > 1- 2x - 1 se - 2 < x < 1
f ' : R \ {- 2 , 1} " R
O
y
x
1
1- 1
- 3
O
y
x
4
- 2 O
y
x- 4
- 4
- 6
42
1O x
- 1
1
y
i (x) = x - 2 se x < - 2 › x ≥ 2 - x + 2 se - 2 < x < 2
2
- 2
O
y
x
Pág. 94
2 ∫ Dg
t å [0 , 10] \ {2}
g (x) = 2 se x > 0- 2 se x < 0
Pág. 97
Df 0 Dg
h (x) = 1 se x > 1- 1 se x < 1
270 SoluçõesN
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x 0 a b c d e + ?g' - n. d. + 0 - n. d. + 0 - n. d. +
t minutos após
a largada
Distância do balão do Pedro ao solo (m)
f (t) g (t)
1,5 15,75 15,75
3 45 45
4,5 87,75 87,75
6 144 144
7,5 213,75 213,75
9 297 297
10 360 360
NEMA11_P2_F17_20100445_2P_CImg_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 5:57 PM Page 270
Tarefa 261. 12 m ; 9 m
2. Quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duasmáquinas durante as 6 horas de produção.
3.
4. a : quantidade de tecido, em metros, produzida pelamáquina A durante as seis horas de produção.
b : quantidade de tecido, em metros, produzida pelamáquina B durante as seis horas de produção.
c : quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duasmáquinas durante as seis horas de produção.
c = a + b
5. 4 horas
84. III
85.1 Por exemplo, 85.2 Por exemplo, 85.3 Por exemplo,
86. B
87.1 f e h
87.2 g e h
88. (B)
89.1 89.2 2 89.3
90.1.1 4 90.1.2 27 90.2.1 90.2.2
91.1
91.2 4
91.3
92.1
92.2
92.3
93.1.1 R93.1.2 93.1.3 93.2.1 93.2.2
Tarefa 271.1 Baleia-de-bossa: 45 min ; Baleia-austral: 60 min
1.2 Baleia-de-bossa: 202,5 metros; Baleia-austral: 306 metros
2. 49,5 metros
3.1
3.2 - 126 ; a diferença entre as profundidades atingidas pelosdois tipos de baleias, 30 minutos após o início de um mer-gulho, é de 126 metros.
4. 41 minutos e 6 segundos
Tarefa 281. ;
2.
3.1 7,5 m2
3.2 75 m2
4. x 1 { 2x
2 - x - 1 se x ≥ 1 - 3 se x < 1
Pág. 103
f + g : R " R
x 1 {3x se x ≥ 1- x2 + 2x + 2
x - 1 se x < 1
f * g : R " R
- 13
52
R \ {0 , 1}R \ {0}
Pág. 102
g (x) = - 2x
Pág. 100
Pág. 101
g (x) = - 5xg (x) = - x
Pág. 99
R \ {- 2 , 3}
[2 , 3[
2x + x2
4
Pág. 98 fg : R \ {1} " R
x 1 {2x + 1x - 1 se x > 1- 3
(x - 1)2 se x < 1
R \ {4}R \ {0 , 4}[- 2 , 4]{- 2 , 4}
Pág. 105
g - f : [0 , 45] " Rt 1 - 0,06t2 - 2,4t
Pág. 106
g (x) = x4
f (x) = 2x
h (x) = x2
271N
EMA
11-P
2©
Por
to E
dito
ra
Tempo (em min)
x
N.° de tijoleiras colocadas y = f (x)
Área revestida (em m2)g(f (x))
1 f (1) = 2 g (f (1)) = g (2) = 12= 0,5
2 f (2) = 4 g (f (2)) = g (4) = 16 12 3
15 30 7,5
60 120 30
100 200 50
150 300 75
180 360 90
x f (x) g (f (x)) = x2
NEMA11_P2_F17_20100445_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 9:21 PM Page 271
96.1.1 96.1.2 96.2 2827,4 cm2
96.3 96.4
96.5 7 min 28 s
97.1 97.2 3
97.3 0 97.4 4
98.1 Por exemplo, e
98.2 Por exemplo, e
98.3 Por exemplo, e
98.4 Por exemplo, e
98.5 Por exemplo, e
98.6 Por exemplo, e
99.1.1
99.1.2
99.1.3
101.1
101.2 2
Tarefa 291.
2.
3.1
3.2
4. R+
5. Sim, porque a cada valor de y faz corresponder um e umsó valor de x .
102.1 102.2 25 litros
102.3
103.1 103.2.1 - 4 103.2.2 2103.2.3 103.3
104.1 A função a admite inversa porque é injetiva.
104.2 A função b não admite inversa porque é não injetiva.
104.3 A função c admite inversa porque é injetiva.
105.1 Por exemplo, .
105.2
107.1
107.2
107.3
f (x) = x3
f (x) = 0
Pág. 112
[- 2 , 5]
√3
O
y
x
2
- 2 - 1
- 2
- 4
4
54
P (x) = 1,40x
x = P1,40
Pág. 111
y = 4x + 4
x = y - 44
x 1 2x3 + 1
h + f : R " Rx 1 (2x + 1)3
12
Pág. 110
x 1 12x + 1
f + h : R " R
g + f : R \ - 12 " R
Pág. 109
Pág. 108
14
h (x) = x2g (x) = x + 5h (x) = x + 5g (x) = x2
h (x) = 2xg (x) = x - 1
h (x) = 3 - 1xg (x) = x + 2
h (x) = xg (x) = x2 - 2x
h (x) = 1x2
+ 1g (x) = 2x
a (t) = 4p t2g + f : [0 , 15] " R
t 1 4p t2
g (r) = p r2f (t) = 2tPág. 107
Pág. 113
f -1 : R " Rx 1 x + 7
5
g-1 : R \ {0} " R \ {- 5}x 1 2 - 5x
x
h-1 : R \ {2} " R \ {3}x 1 3x
x - 2
272 SoluçõesN
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Largura x Perímetro y
1 8
2 12
3,5 18
4 20
… …
x y = 4x + 4
Perímetro y Largura x
8 1
12 2
18 3,5
20 4
… …
y x = y - 44
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109.1 As funções f e h não têm inversa porque não são injetivas.
A função g tem inversa porque é injetiva.
109.2
Tarefa 301.2 ; ;
2. e .
3. O gráfico da função inversa da função h é uma hipérboleque tem como assíntotas as retas de equações e
.
Logo, pode ser definida por uma expressão algébrica do tipo
, em que , isto é, .
O ponto de coordenadas pertence ao gráfico da fun-ção , ou seja, , logo é possível determinar ovalor de c .
Tarefa 313.
110. 3 cm
111. m
112.1 f é uma função irracional.112.2 g não é uma função irracional.
112.3 h não é uma função irracional.
112.4 i é uma função irracional.
113.1
113.2
113.3
113.4
113.5
113.6
113.7
114.1
114.2
114.3
114.4
114.5
114.6
115.1
115.2
115.3
119.1
119.2
119.3
119.4
119.5
120.1 120.2
120.3
120.4
120.5
121. ;
123.1 ; ; ;
123.2.1 123.2.2 123.3.1 3 123.3.2 2 123.3.3 4
124.1 ;
124.3
g-1 : R \ {0} " R \ {- 5}x 1 1 - 5x
x
f 1-1 : R+ " R+
x 1 √x
h 1-1 : ]2 , + ?[ " R+
x 1 x - 2
Pág. 114
t (x) = x - 1s (x) = x3r (x) = x3y = ax = b
x = 5y = - 3
h-1(x) = - 3 + cx - 5c å R- 3 + c
x - 5(6 , 1)
h-1(6) = 1h-1
Pág. 115
Pág. 116
p2
Pág. 117
- ? , 12
R-0
]- 3 , + ? [[ -√2 , √2 ]
]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[R]- ? , - 1] ∂ [2 , + ?[
{-√7 , √7 }{ }{- 2}{-√3 , √3 }{√3 30}{- 2 , 2}
Pág. 118
r = 3 3V4pt = 2Egr = 1
2Sp
Pág. 120
213
612
523
2-13
312
√3 32
√3 710
16√4 53
6 12Pág. 121
√6 15 625 = 3 15 625√6 x
Pág. 122
D'h = R+0Dh = RD'g = RDg = R
x = -√15 › x = √15x = √3 15
Pág. 123
Dg = RDf = [- 2 , + ?[f -1 : R+
0 " [- 2 , + ? [x 1 x2 - 2
g-1 : R " Rx 1 x3
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Volume da peça P , v Aresta do cubo Área da face
[ABEF] , a
12 3,63 9,91
24,63 4,62 16
35 5,19 20,20
97,37 7,30 40
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NEMA11_P2_F18_20100445_AO4_20100445_TXTP2_P273_288 4/8/11 9:17 PM Page 273
125.1 125.2 f é uma função par.125.3 Não. f não é injetiva.125.4 e .
126.1
126.2 Não. f não é injetiva.126.3.1
126.3.2
127.1 g e h são iguais.
127.2 A função f .
128.1 ;
128.2 ;
128.3 ;
Tarefa 311.1 Sim.1.2 Não. ou .
1.3 Por exemplo, - 5 e 5 .2.1 Mínimo: m ; máximo: 8 m
2.2.2 x = 1,25 2.2.3 ; se o ponto C estiver a 1,6 m do ponto D ,
então, o comprimento do fio é 6,8 m .
2.2.4 § § ± ± § §
129.1 Através de uma translação associada ao vetor de coorde-nadas , seguida de uma translação associada aovetor .
129.2 ;
129.3
129.4
130.1 ;
130.2 Zeros de f : 0 e 1 ; zero de g :
130.3 130.4 130.5
131.1.1
131.1.2
131.1.3
131.2 - 3 131.3.1 131.3.2
132.1 132.2 132.3 133.4 Impossível.133.5 133.6
133.2 5,59
134.1 e
134.2 134.3 e , aproximadamente.
1. (B) 2. (C)
3. (A) 4. (C)
5. (A)
6.1 (B) 6.2 (B)
7. (C)
8. (C) 9. (B)
10. (D) 11. (A)
12. (B)
13. (C) 14. (B)
15. (C) 16. (C)
17. (B)
18.1 (C) 18.2 (D)
19.1 (A) 19.2 (B)
20. (B) 21. (B)
22. (B) 23. (B)
24. (A)
g (x) = 1 +√x h (x) = 8 - 2x2
Pág. 124
g-1: " Rx 1 √3 x + 5
f1-1 : ]- 1 , + ?[ " R-
x 1 - x + 12
f 2-1 : [7 , + ?[ " [2 , + ? [
x 1 x + 12
f -1 : R " Rx 1 x
D = ]- ? , 2] f -1(x) = 2 - x3
D = R+0 g -1 (x) = 2 - x
D = R+0 h-1 (x) = x2 + 1
Pág. 125
a = b a = - b
√34
f (1,6) = 6,8
f (x) = 6 √x2 + 9 + 5 - x = 6 √x2 + 9 = 1 + x
(√x2 + 9 )2 = (1 + x)2 x2 + 9 = 1 + 2x + x2 x = 4
Pág. 127
(1 , 0)(0 , 3)
Df = [1 , + ? [ D'f = [3 , + ? [5454
Df = R+0 Dg = [- 5 , 5]
5√22
2 å D'fx = 4x ) 4,43
Pág. 128
g-1 : R \ {2} " R \ {1}x 1 x
x - 2f -1 : ]- ? , 2] " ]- ? , 1]
x 1 - x2 + 4x - 3
f + g : [- 1 , 1[ " R
x 1 2 - x + 11 - x
y = x4+ 34
x = 34
x = 0 x = 1x = - 10x = 0 › x = 1 x = 4
Pág. 129
A (2 , 2) B (8 , 6)
(14 , 11)
(2 , 2) (2,6 ; 3,4)
Pág. 130
Pág. 131
Pág. 132
Pág. 133
Pág. 134
Pág. 135
Df = [- 2 , 2]
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Proposta 1
1.1
1.2 0
1.3
2.1 Verdadeira2.2 Falsa2.3 Falsa
Proposta 21.1 21.2 - 5 1.3 - h - 1 2. - 1Proposta 31. 34 m/s
2. 58 m/s
3. s
Proposta 4
1.
2. - 53. - 3 4. 1
Proposta 5
1.
2. 36p
Proposta 6
1.
2.
3.
Proposta 71.
2.
3.
4.
Proposta 8
Proposta 9
1.
2.
Proposta 101. Ponto de abcissa 1 .
2. Pontos de abcissas 0 e 2 .
3. Ponto de abcissa 0 .
Proposta 111. e
2. Estritamente crescente nos intervalos e
Estritamente decrescente no intervalo
Máximo relativo igual a para
Mínimo relativo igual a para
Proposta 121. 7 euros
2. 0,32 Æ/ano 3. 0,50 Æ/ano 4. O preço de lançamento do produto mantém-se durante o
primeiro ano.
A partir do primeiro ano, o preço começa a subir, aproxi-mando-se de 9 euros com o decorrer do tempo.
Proposta 131.
2. Não, porque .
Proposta 141.
2. f é estritamente decrescente nos intervalos e
f é estritamente crescente nos intervalos .
Mínimo relativo igual a - 3 para Máximo relativo igual a 5 para
3. e
Pág. 136
Pág. 137
Pág. 138
Pág. 139
87
- 83
t = 2,5
53
112p3
y = - 3x - 214
y = 11x - 15y = - 2x + 5
f ' : R " Rx 1 4
f ' : R " Rx 1 2x - 3
f ' : R " Rx 1 - 3x2 + 2x - 2
f ' : R \ {0} " R
x 1 2x2
A (1 , 2)
14 , -34
(1 , - 3)
a = 1 b = - 3]- ? , -√2 [
]√2 , + ? []-√2 , √2 [
√2 x = - √22
-√2 x = √22
A (1 , 2)
f ' (x) < 0 , A x å Df
]- ? , - 2[]1 , + ?[
]- 2 , 1[x = - 2
x = 1y = 5y = - 3
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x -? - 2 1 + ?f ' - 0 + 0 -f ¢ - 3 £ 5 ¢
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4.1
4.2
Proposta 15
1. Estritamente decrescente nos intervalos e
Estritamente crescente no intervalo
Mínimo relativo igual a 0 para
Máximo relativo igual a 4 para
2. Estritamente decrescente nos intervalos e
Estritamente crescente nos intervalos e
Mínimo absoluto igual a 0 para e
Máximo relativo igual a 9 para
3. Estritamente decrescente nos intervalos e
Estritamente crescente nos intervalos e
Mínimo relativo igual a 4 para
Máximo relativo igual a - 4 para
Proposta 161.
2.
3.
4.
Proposta 171. 2. Sim
Proposta 181. 7 m
2. Aproximadamente 377,37 metros; 33 minutos e 20 segun -dos.
3. 12 m/min 4. 14 m/min
Proposta 19Cada um dos catetos tem 5 cm de comprimento.
Proposta 20 1. 6000 bactérias/hora.
2. 8000 bactérias/hora.
3. 23 000 bactérias no início da 4.a hora.
Proposta 211. 461,9 m2
2. Comprimento: 26,7 m ; largura: 13,3 m
Proposta 221. A produção deve ser superior a 3584 peças e inferior ou
igual a 3885 peças.
2. 8 peças
Proposta 231. Horizontal: 5 m ; vertical: 2 m ; 40 euros
Proposta 241.2 m e m ; 500 euros
2.2 20 m da rede mais cara e 70 m da rede mais económica.
Proposta 25
1. 2.
Proposta 262. Forma de círculo de raio
Proposta 27120 euros
Proposta 282. Largura: 2,5 m ; altura: 2 m
Proposta 2910 cm * 20 cm
Proposta 307,85 cm
Proposta 312. cm ; cm
Proposta 321. 3 euros
2.
5
- 2 O
y
x
- 3
- 4
1
f
Pág. 140
Pág. 141
Pág. 142
Pág. 143
D'f = ]- 4 , 5]
]- ? , - 1[]1 , + ? [
]- 1 , 1[x = - 1x = 1
]- ? , - 3[]0 , 3[
]- 3 , 0[]3 , + ? [
x = - 3 x = 3x = 0
]- 2 , 0[]0 , 2[
]- ? , - 2[]2 , + ? [
x = 2x = - 2
]- ? , 9[{- 2 , 3}]- ? , - 2[ ∂ ]3 , + ? []- 2 , 3[ ∂ ]7 , + ? [
y = 8x + 1
RS = 50 SP = 62,5
P (0,8 ; 2)
200p
x ) 2,7 h ) 3,3
Pág. 144
2O
C
t10
2,53
4
45
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3 3 3
3. 0,5 Æ/ano . No momento em que a revista completa umano após o seu lançamento, o seu custo varia à razão de0,5 Æ por ano.
Proposta 331.
2.
3.
Proposta 341.
2.
Proposta 351.
2.
3.
4.
Proposta 361. - 62.
3.
Proposta 371.
2.1
2.2
Proposta 381.
2.
3.
Proposta 391.
2.
Proposta 40
1.
2.
Proposta 411.
2. f admite inversa, porque é uma função injetiva.
O domínio da função inversa é .
3.
4. Não é possível calcular porque .
5.
Proposta 421.
2.
3.
4.
Pág. 145
Pág. 146
f * h : R \ {0 , 3} " R
R \ {- 1 , 2}R- \ {- 3 , - 1}]- ? , - 3] ∂ ]- 1 , 2[
]- ? , - 1] ∂ [1 , + ? [{- 1 , 1}
x 1 x + 3x
f + g : R \ {- 2 , 2} " Rx 1 x2 - 1
x2 - 4g + f : R \ {3} " R
x 1 6x - 9(x - 3)2
fg : R \ {- 1 , 1 , 3} " R
x 1 x(x - 3)(x2 - 1)
]- ? , - 1] ∂ ]1 , + ? [52
R+0
g + f : R+0 " R
x 1 1 se x = 012 se x > 0
f + g : R \ {1} " Rx 1 - 1
R \ {0}
54
j : R " R
x 1 2x2 - 3x + 1 se x 0 - 1
6 se x = - 1
f + g : R \ {- 3 , 0 , 3} " Rx 1 1
x2 + 3xh + f : ]0 , 3[ " R
x 1 13x - x2
√3
]- ? , - 1[ ∂ {0} ∂ ]1 , + ? [
[- 6 , 14]
[- 3 , 7][- 1 , 9]
f (3) ∫ Df(f + f) (3)
7
- 3
O
y
x
f
f - 13
- 3 3 7
y = x
Pág. 147
Mínimo relativo
Máximoabsoluto
Mínimo absoluto
f -1 : R " Rx 1 - x + 1
3
f -1 : R \ {2} " R \ {- 1}x 1 x - 3
2 - x
f -1 : R \ - 23 " R \ 23 x 1 1 + 2x
2 + 3xf -1 : R " R+
x 1 x +√x2 + 42
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t 0 2 10
C' + n. d. -C 3 £ 4 ¢ 2,5
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Proposta 432.
Proposta 441. h é não injetiva, porque há objetos diferentes que têm a
mesma imagem. Por exemplo, .
2.
Proposta 451. ;
2. - 33.
Proposta 461.
3.1 (aproximação às milésimas)
3.2 25 cm2 . É um quadrado.
Proposta 47
1. 2.
3. 4.
5.
Proposta 481. Não são iguais. 2. Não são iguais.
3. São iguais. 4. Não são iguais.
5. São iguais.
Proposta 49
1. 2. 3.
Proposta 511.
2. Impossível.
3.
Proposta 521.
2.
3.1 3.2
Proposta 531. ;
2.1
2.2
3.1 3.2
4.2
Proposta 541.
2.
3. ;
Proposta 551.1 ;
1.2 ›
2. I: Verdadeira, porque f e g são funções não injetivas.
II: Falsa, porque .
Proposta 561.1 1.2
2.
3. ;
4. Não.
2
- 1 O
y
xf
Pág. 148
Pág. 149
j : [4 , + ?[ " Rx 1 (x - 4)2
j -1 : R+0 " [4 , + ? [x 1 4 +√x
x = - 1 y = 2D'f = R \ {2}
f -1 : R \ {2} " R \ {- 1}x 1 - x
x - 2
x å ]0 , 10[d å [7,071 ; 10[
[- 2 , + ?[ ]1 , + ?[
R \ {- 3 , 3} - ? , 0 ∂ 12 , + ?R
a56 a
12 a
-56
x = 8
x = 1
Pág. 150
f -1 : R \ {0} " R \ 12
h (- 2) = h (2)
x 1 2 + x2x
x å 12 , + ?√2Dg = [- 2 , 2]
Dg = ]- ? , 1]Df = R \ {3}f -1 : R \ {0} " R \ {3}
x 1 2 + 3xx
g + f : ]- ? , 3[ ∂ [5 , + ?[ " R
x 1 x - 5x - 3
- ? , - 32 ∂ 1 , 3{0}
y = 32x + 6
[- 4 , - 1] ∂ [1 , + ? [x å ]- 4 , 0[ ∂ ]6 , + ? [
xB =2 +√19
3xA =
2 -√193
Pág. 151
Dg = R \ {- 1}Df = ]- ? , 3] ∂ [4 , + ? [
x = 7 +√172
x = 7 -√172
Dg 0 Di
- ? , 12R \ {1}
x = 0
- 6 , 322 , 12
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A , área (em cm2) 2 8 18 33 162
L , largura (em cm) 1 2 3 4,062 9
C , comprimento(em cm) 2 4 6 8,124 18
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TEMA 3: SUCESSÕES REAIS
Tarefa 11.1
1.2 1511.3 Não, porque 254 não é termo da sucessão.
2.1 28 2.2 Na figura de ordem 21 há 231 cubos e na figura de ordem 19
há 190 cubos.
2.3 741
Tarefa 21.
2.1 e
2.2 e
2.3 841 2.4 152
1.1 ; ; ;
1.2 Não é termo.1.3 (inclusive)
2.1 ;
2.2 2.3 Não é termo.2.4 (inclusive)
Tarefa 31.1 ; ;
1.2
Utilizaria esta definição, pois para calcular um termo bastaconhecer a sua ordem.
1.3
2.1 ; ;
2.2 É termo.
2.3
3.1 ; ;
3.2
Tarefa 41. . Os termos da sucessão aumentam.
2. O aumento do caudal de água correspondente à utilizaçãode mais uma torneira;
3. 400 litros
4. . Os termos da sucessão diminuem.
5. O tempo que se economiza a encher o depósito se se utili-zar n + 1 torneiras em vez de n torneiras.
6. é crescente e é decrescente.
3.1.1 3.1.2
3.2.1 3.2.2 3.2.3
4.1 ;
4.2.1 4.2.2 4.3 São monótonas (ambas decrescentes).
5. e são monótonas decrescentes (em sentidoestrito).
é monótona crescente (em sentido lato).
6. é monótona crescente (em sentido lato).
não é monótona.
é monótona decrescente (em sentido estrito).
7.1 não é monótona.
7.2
9.1 é monótona decrescente (em sentido lato).
9.2 , e
Tarefa 51.1 Por exemplo, . 1.2 Por exemplo, .
1.3 1.4
Pág. 158
Pág. 160
b7 = 48a6 = 121
b1 = 1bn = 8(n - 1) ; n ≥ 2an = (2n - 1)2
Pág. 161
u4 = 12u3 = 12u2 = 10u1 = 6
n = 8
a2 = 112
a1 = 10n = 9
n = 19
Pág. 162
p8 = 92p7 = 70p6 = 51
pn = 3n2 - n2
n = 18a3 = 7a2 = 5a1 = 3
n = 162
a1 = 3an+1 = an + 2 , A n å Nu3 = 3u2 = - 1u1 = - 3
u12 = 4091
Pág. 163
tn = 5n
tn+1 - tn > 0
hn = 80n
hn+1 - hn < 0
(hn)(tn)
Pág. 164
an-1 = 2n - 1n - 1an+1 = 2n + 3
n + 1a7 - a6 < 0a6 - a5 < 0
an+1 - an < 0
an = 14n-3ln = 1
2n-3
an+1 - an < 0ln+1 - ln < 0
(wn)(vn)
(tn)
Pág. 165
(an)
(bn)
(cn)
(vn)
p = 4(wn)
n = 8n = 7n = 6
Pág. 166
mi = 0ma = 6]- ? , 1][5 , + ? [
279N
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11-P
2©
Por
to E
dito
ra
Ordem da figura 1 2 3 4 5 … n …
N.° de fósforos 4 7 10 13 16 … 3n + 1 …
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° … n-ésimo
u1 u2 u3 u4 u5 … un
2 4 6 8 10 … vn = 2n
2 5 8 11 14 … wn = 3n - 1
1 12
13
14
15
… tn = 1n
2 4 8 16 32 … sn = 2n
- 12
23
- 34
45
- 56
… xn =(- 1)nnn + 1
1 0 - 1 0 1 … zn = sin np2
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2.1
2.2 B e F
3. É limitado. (2 é minorante e 3 émajorante do conjunto dos termos da sucessão).
10. e são sucessões limitadas.
Minorante de : 0 ; majorante de : 1
Minorante de : - 1 ; majorante de : 1
11. Minorante: - 2 ; majorante: 2
13. (C)
14. é monótona decrescente (em sentido estrito) e é limi-tada.
16.1 Por exemplo,
16.2 Por exemplo,
16.3 Por exemplo,
16.4 Por exemplo,
Tarefa 61. 2. 36 km
3.
4. São iguais (34 km) 5. 170 km
6. 66 km ; 1110 km , atendendo a que
18.1 e
18.2 e
18.3 é uma progressão aritmética de razão 3 e é umaprogressão aritmética de razão 6 .
18.4 298
18.5 79
19.1 é uma progressão aritmética decrescente.
19.2 não é uma progressão aritmética, porque a diferençaentre quaisquer dois termos consecutivos não é constante.
20.1
20.2
21.1 e
21.2 e
21.3 e
22.2.1
22.2.2
23.1.1
23.1.2
23.2 139 é termo da sucessão ( ) e 150 não é.
24.1
24.2
25. , e 3
26.1 465
26.2 3825
27.2 e
27.3 - 1040
28.1.1 9650
28.1.2 20 658
28.2
29.1 1 h 6 min (66 min)
29.2 20 dias
29.3 11 h 20 min (680 min)
Tarefa 71. 7
2.1 1.a torre: 12 ; 2.a torre: 19 ; 3.a torre: 26 ; 4.a torre: 33
2.2.1 ;
é uma progressão aritmética de razão 7 .
A razão representa a soma dos pontos de duas faces opos-tas e invisíveis de um dado e que correspondem à diferençade pontos entre duas torres consecutivas.
2.2.2
2.2.3 19 dados.
2.2.4 1860
2.2.5
Pág. 170
Pág. 171
Pág. 172
un = 4 + 1n
un = 2n
dn = 2n + 6
(d1 + d30) * 15 = 1110
a5 = 13 p5 = 28
an = 3n - 2 pn = 6n - 2(an) (pn)
(un)
(vn)
un = 4 - 1n
w23 = 85
w6 = 17
bn = 3n - 4r = 3
bn = - 2n + 10r = - 2
bn = 3n - 22r = 3
t500 - t480 = 50
tn+2 - tn-1 = 152
Pág. 173
u7 = - 5
u20 = 47
u43 = 139
un = 3 - 2n
un = 6n + 6
94
32
Pág. 174
v35 = - 65v10 = - 15
Pág. 175
n = 20
Pág. 176
(an)an = 7n + 5
n = 10
Pág. 168
un = 1n
(wn)(wn)
2 < un ≤ 3 , A n å N
Pág. 167
(wn)(un)
(un)(un)
k = 25
(un)
280 SoluçõesN
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11-P2©
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Conjunto Conjunto dos minorantes
Conjunto dos majorantes
B ]- ? , - 2] [7 , + ? [C Não tem [3 , + ? [D ]- ? , 2] Não tem
E Não tem [- 32
, + ?[F ]- ? , - 2] [6 , + ? [
Dia do mês de junho 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distância(em km) 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
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Tarefa 81.
2. O objetivo foi atingido pois realizaram-se 13 116 Æ com avenda dos jornais.
3. 236 196 ; 354 288 Æ4.
30.1.1 16 30.1.2 2 ; 2 30.2 2 ; o número de novos fósforos usados numa fase é o dobro
do número de novos fósforos usados na fase anterior.
30.3
31.1 4 ; 12 ; 36 31.2 4 ; - 8 ; 16
31.3 ; ;
32.1 É uma progressão geométrica.32.2 Não é uma progressão geométrica.32.3 É uma progressão geométrica.32.4 É uma progressão geométrica.32.5 É uma progressão geométrica.
33.2 É termo da sucessão (3.° termo).
34.1
34.2
34.3
34.4
35.1 é uma progressão geométrica de razão .
35.2 Não é termo da sucessão.
36.1 Por exemplo, 36.2 Por exemplo, 36.3 Por exemplo, 36.4 Por exemplo,
37.1 e ; e ;
e ; e
37.2 é estritamente decrescente;
é estritamente decrescente;
não é monótona;
é estritamente decrescente.
38.1
38.2
39.1 765
39.2
39.3
40.1
40.2
43.1 720 Æ43.2.1 43.2.2 1492,99 Æ43.2.3 19 790,25 Æ
Tarefa 9 1.1 ;
1.3 3,875 cm2
2.1 35 2.2
Tarefa 101.1
1.2.1 1.2.2 1.3 Nove anos.1.4 Da venda resultou um lucro global de 191,68 Æ .
2.1.1 2.1.2
2.1.3
2.2.1 2.2.2 93,71 ml
Pág. 180
Pág. 181
Pág. 182
Pág. 183
un = 9 * 5n-6
(wn)15
un = 2 * 0,5n
un = 3 * (- 2)n
un = - 4 * 0,5n
un = - 2 * 3n
u1 = 15
r = 15
v1 = - 3 r = 3
w1 = - 2 r = - 2 t1 = - 5 r = 3
(un)
(vn)
(wn)
(tn)
un = 4 * 3n-1
un = 4 * (- 3)n-1
164024332827
9316189128
vn+1 = 1,2 vn
Pág. 184
a1 = 8an+1 =
an
2 , A n å N
a1 = 8
cn = p * 2n-1
Pág. 185
an+1 = an * 1,05 , A n å Nbn+1 = bn * 0,98 , A n å N
Q1 - Q2 = 0,1 * Q1
Q5 = 0,9 * Q4
Qn+1Qn
= 0,9
un = (- 3)n+1
un = - 4 * 34n-1
un = 16* 12
n-3
Pág. 179
jn = 12 * 3n-1
Pág. 178
f1 = 1fn+1 = 2fn , A n å N
118
16
12
Pág. 177
Qn = 200 * 0,9n
281N
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Por
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Dias de venda 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
Jornais vendidosnesse dia 12 36 108 324 972 2916
Total de jornaisvendidos 12 48 156 480 1452 4368
Quadro A Quadro B
Passado 1 ano 840 Æ 1470 Æ
Passados 3 anos 926,01 Æ 1411,79 Æ
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Tarefa 111.1 3120 Æ
1.2.1
2.1 Capital inicial: 3000 Æ ; taxa de juro anual: 4% ;
número de capitalizações por ano: 2 ;
número total de capitalizações: 2
2.2.1 O capital ao fim de 5 meses, na modalidade C .2.2.2 9366,67 Æ2.3 20 816,17 Æ3. C0 – capital inicial;
j – taxa de juro anual;
n – número de capitalizações ao longo do ano.
47. (D)
48.1 Modalidade A : 26 050 Æ ; Modalidade B : 26 015,10 Æ .
48.2 21 028,17 Æ
49.1.2 49.2.1 é monótona. A função g é estritamente decrescente
em N .
49.2.2
50.1.1 (inclusive)
50.1.2 (inclusive)
50.1.3 (inclusive)
50.1.4 (inclusive)
50.2
51.1 24 999 999 51.2 6 759 999 51.3 56 250 000 (inclusive)
54.2.1 (inclusive)
59. Tendem para zero e são limitadas. e são estrita-mente decrescentes e é estritamente crescente.
60.1.1 (inclusive)
60.1.2 (inclusive)
60.2 19 (inclusive)
61.1 61.2
65. Por exemplo, ;
66.1 Por exemplo, ; ;
66.2 ; ;
67.2.1
67.2.2
67.2.3
68. Infinitésimos: , e ;
Infinitamente grande positivo:
69.1
69.2
Tarefa 12
1.1 ; ; ;
1.3 (inclusive)
2.1 ; ;
2.3
Tarefa 131.1 ; ; ;
1.2 Tendem para .
1.3 Sim. Representa a área do triângulo inicial.
2.1 ; ; ; .
2.2 Tendem para 4 .
70. 20p cm
71.1 (inclusive)
71.2.1 (inclusive)
71.2.2 (inclusive)
71.2.3 (inclusive)
72.1.1 (inclusive)
72.1.2 (inclusive)
Pág. 206
Pág. 207
Pág. 208
Pág. 209
Pág. 210
n > 25
n > 11
vn = 1n + 4 vn " 0
vn = n2 + 2 wn = n3 tn = 5n2
an = 1n2 + 2 bn = 1
n3cn = 1
5n2
1un " 0
1vn " 0
1wn " + ?
(vn) (wn) (tn)
(un)
k å ]0 , 1[k å ]1 , + ? [
p1 = 3 p2 = 32
p3 = 34
p4 = 38
n = 13
a1 = 10 a2 = 5 a3 = 103
n = 7874
Pág. 200
n = 12
Pág. 203
(vn)(un)(wn)
Pág. 204
n = 34n = 2
p = 101(bn)
a4 = 1532
a3 = 716
a2 = 38
a1 = 14
12
p4 = 154
p3 = 72
p2 = 3p1 = 2
Pág. 211
Pág. 212
n = 51n = 101n = 501n = 10 001n = 20n = 66
Pág. 194
Pág. 196
un " 3(vn)
vn " - ?
Pág. 197
p = 1668p = 6668p = 51
Pág. 193
u1 = 3060
Pág. 192
282 SoluçõesN
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73.1 ; ;
73.2 Não. Por exemplo, e
73.3 Três.73.4 Não. Nenhum termo de ordem ímpar pertence à vizinhança
.
73.5 Não. Para não existe qualquer ordem a partir daqual os termos de ordem ímpar pertençam a .
74.2.1 (inclusive)
74.2.2 (inclusive)
Tarefa 141.1 1.2 1.3
2.1 2.2 ;
75.1 ; ; ; ;
75.2 Não. Por exemplo, e .
75.3 75.5 Não. A sucessão dos termos de ordem par e a sucessão dos
termos de ordem ímpar tendem para valores diferentes.
76.1 76.2 A sucessão não tem limite.
76.3 76.4
77.1 3 77.2 1 77.3 2 78.1 Por exemplo, 78.2 Por exemplo, 78.3 Por exemplo, 78.4 Por exemplo,
79.1 Por exemplo, 79.2 Por exemplo, 79.3 Por exemplo, 79.4 Por exemplo,
80.1 3 80.2 + ?80.3 + ?80.4 0
81.1 + ?81.2 0 81.3 081.4 0
82.1 Por exemplo, e
82.2 Por exemplo, e
82.3 Por exemplo, e
83.1 Por exemplo, 83.2 Por exemplo, 83.3 Por exemplo,
Tarefa 151.1 0,5 m . Durante o 2.° ano, a árvore cresceu 0,5 m .
1.3 Não. A equação é impossível.
1.5 A altura da árvore tende para 3 m .
2.1 ; um minuto após ter sido retirado do congelador, obloco de gelo tinha 5 cm de altura.
2.2 - 0,5 ; entre o 5.° e o 7.º minuto após ter sido retirado docongelador, a altura do bloco de gelo diminui, em média,0,5 cm por minuto.
2.3 Diminui. A sucessão é estritamente decrescente.
2.5 Com o decorrer do tempo, a altura do bloco de gelo tendepara zero.
84.2 é estritamente decrescente.
84.3 Majorante: ; minorante: 2
85.1 Por exemplo,
85.2 Por exemplo,
85.3 Por exemplo,
85.4 Por exemplo,
85.5 Por exemplo,
85.6 Por exemplo,
86.1 é estritamente crescente.
87.1 Por exemplo,
87.2 Por exemplo,
87.3 Por exemplo,
88. , logo é convergente.
A sucessão não é monótona porque, por exemplo,e .
Pág. 219
Pág. 220
Pág. 221
Pág. 218
vn = n2
vn = n3
vn = n
vn = - n
an = n bn = - n
an = n bn = n - 2an = n bn = - n2
vn = 2n2 + n + 1vn = n
vn = n3
un = 3
a1 = 5
(an)
(un)
u1 = 113
un = n
un = 1n
un = (- 1)n
un = 4 - 1n
un = 1 + 1n
un = 3 + (- 1)n
n
Pág. 222
(un)
un = - 1n
un = n se n ímpar1 se n par
un = - n + (- 1)n
(vn)
(vn)lim vn = 1
v3 > v2v2 < v1
vn = - 4nvn = - 2n - 7
vn = 2nvn = n
u4 < u3u2 > u1{}
lim vn = 0(vn)
lim vn = 2lim vn = 3
Pág. 217
v3 < v2v2 > v1
V0,01(0)
d < 0,1Vd (0)
n = 16n = 301
Pág. 214
a1 = a2 = a3 = a4 = 4pa20 = 4pk = 4pu1 = u2 = u3 = 20
lim un = 20un = 20
Pág. 216
u5 = 95
u4 = 54
u3 = 53
u2 = 32
u1 = 1
v3 = 110
v2 = 12
v1 = 110
Pág. 213
283N
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Tarefa 162.
4.
89. Por exemplo,
Tarefa 171.1 ; ; ;
1.2 Razão: . Termo geral:
1.3
1.4.2
Tarefa 181.1 1.2
1.4.1 1.4.2 2
2.1 Aproximadamente, 11,11 km .
Tarefa 191.1 un = 800 * 0,75n - 1
1.2 vn = 1000 *
2. O funcionário A recebeu 80,09 Æ e o funcionário B rece-beu 39,02 Æ .
3.1 73,62 Æ3.2 O funcionário A , durante o ano 2011, recebeu no total
3098,64 Æ . E a soma de todos os (infinitos) suplementosque o funcionário B receberia é dada por:
1.1 (C) 1.2 (A)
2. (C)
3.1 (B) 3.2 (C)
4. (C) 5. (A)
6. (B) 7. (B)
8. (D) 9. (B) 10. (B)
11. (A) 12. (C)
13. (D) 14. (C) 15. (C)
16. (A) 17. (B)
Proposta 11.1 45 1.2 49 1.3 64
2.1 2.2
Proposta 21. Oito semicircunferências
2.
3. É definida por . O número de semicircunferências deuma figura é o dobro do número das existentes na figuraanterior.
Proposta 31.1 1.2 255 1.3.1 É termo. Situa-se na 52.a linha.1.3.2 Não é termo. 1.3.3 É termo. Situa-se na 172.a linha.
2.1 7.a coluna e 61.a linha2.2 5.a coluna e 75.a linha2.3 2.a coluna e 715.a linha
3. É a sequência 568 , 569 , 570 , 571 , 572 , 573 , 574 (cor-responde à 82.a linha da tabela).
Proposta 41. Por exemplo, majorante: 8 e minorante: 2 .
2. Não, porque .
Proposta 51. é estritamente decrescente, porque ,
e é limitada, porque .
2. Não, porque é estritamente crescente.
Pág. 237
Pág. 238
Pág. 235
Pág. 236
un = 5n vn = 5n + 4
u2 = v2 = 2(vn)
un = 7n - 4
u1 = 9
Pág. 234
Pág. 232
Pág. 233
n = 5 a5 = 116
255128
lim wn = 1,5
Pág. 224
un = 2 + 92n
Pág. 225
c4 = 2532
c3 = 258
c2 = 252
c1 = 50
cn = 50 * 14n-11
4
S = 212532
lim (Sn) = 2003
Pág. 226
Pág. 223
Pág. 227
23n-1
lim 30001 - 23n
= 3000vn+1 - vn < 0(vn)
2 < vn ≤ v1 , A n å NA n å N(vn)
284 SoluçõesN
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Porto Editoran un vn un ≤ wn ≤ vn
1 1 2 1 ≤ w1 ≤ 2
2 1,25 1,75 1,25 ≤ w2 ≤ 1,75
100 1,495 1,505 1,495 ≤ w100 ≤ 1,505
500 1,499 1,501 1,499 ≤ w500 ≤ 1,501
1000 1,4995 1,5005 1,4995 ≤ w1000 ≤ 1,5005
2000 1,4998 1,5003 1,4998 ≤ w2000 ≤ 1,5003
… … … …
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Proposta 6 Não. se n = 1 e se
Proposta 7 Falso.
Proposta 81. A reta que contém os pontos tem declive negativo; logo, a
sucessão é decrescente.
2. ;
3. é termo da sucessão e não é.
Proposta 91. A afirmação é falsa. A sucessão é limitada, porque
e é monótona crescente em sentidolato, porque .
Proposta 111. e
Proposta 122. 165
3.1
3.2 é estritamente decrescente ( e )
Proposta 131. 22,5
2. 260
Proposta 141.
2.2 - 5500
Proposta 151. 22
2.
3. É termo da sucessão (61.°).
4. 747,5
Proposta 162.
Proposta 171. 38,75 Æ2. 27,45 Æ
Proposta 181. A 2.a modalidade.
2. A 1.a modalidade.
3. A 1.a modalidade, se a duração do depósito for superior a4 anos e a 2.a modalidade, se a duração for inferior ouigual a 4 anos.
Proposta 19e
Proposta 201. 16 384
2. 16 383,5p
Proposta 211.
2. não é monótona ( e )
3.
4. - 29 524
Proposta 221. e
Proposta 23
1. e
Proposta 24
2.
Proposta 25
progressão geométrica de razão ; cm
progressão geométrica de razão ; cm
progressão geométrica de razão ; cm2
Proposta 261. 18 170,68 Æ2.
Proposta 271. 3279
Proposta 28
1. ,
então é crescente; minorante: 0 (por exemplo).
2. ,
então é decrescente; majorante: 0 (por exemplo).
3. Não têm limite; e .
Proposta 291.
2. (não tem limite)
Pág. 243
Pág. 242
v2 = 5 v3 = 4
w2 = 3 w3 = √5
v5 = 78 125√5
(ln)√22
S10 ) 66,15
(pn)√22
S10 ) 264,60
(an)12
S10 ) 800
vn = 30 000 * 0,85n
p2 - 1n " p
2
-
(vn)
p2 + 1n " p
2
+
(un)
un " - ? vn " + ?
un = 2 * (- 3)n-1
r < 0u1 > 0(un)
r = - 3
r = 5x = - 5
a = - 1
Pág. 241
(wn)0 ≤ wn < 3 , A n å N
wn+1 ≥ wn , A n å N
Pág. 239
y = 12
x = 0
8027
0 < r < 1w1 > 0(wn)
Pág. 240
k å ]- ? , - 2[ ∂ ]2 , + ?[
un = n + 392
n ≥ 2wn+1 - wn < 0wn+1 - wn > 0
v7 > v8
u25 = - 42u1 = 1874
12
lim un = 5lim un = + ?
285N
EMA
11-P
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Por
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3. (não tem limite)
4.
5. (não tem limite)
6.
7.
8.
9. não tem limite.
10. (não tem limite)
11.
12.
13.
14. não tem limite.
Proposta 302.
Proposta 311. Não é termo da sucessão.
Proposta 321. É termo da sucessão (18.°) .
2. é estritamente crescente.
3. é limitada.
4. é convergente, pois é monótona e limitada.
5. (inclusive)
Proposta 332. 33,3%
3. 1,167 . Da 1.a para a 2.a contagem, o número de bacté-rias da colónia B aumentou, aproximadamente 16,7% .
4. A população da colónia A tenderia a desaparecer e a dacolónia B tenderia a aproximar-se de 20 000 bactérias.
Proposta 341.
2.
3. Centro B ; cm
4. cm
Proposta 35
1. ;
2. Aproximadamente, 0,37 cm
3. Aproximadamente, 13,6 cm
4. FE//AB ; área ) cm2 e perímetro ) cm
Proposta 361. cm
2.
3.
4. 24 cm
Proposta 37
1.
2.
Proposta 38 1. 45 cubos.
2. Tipo A : 21 Tipo B : 36
Tipo C : 66
3. Tipo A :
Tipo B :
Tipo C :
4.1 Tipo B : 30 degraus 4.2 Tipo A : 41 degraus ; 41 cubos ; sobram 39 cubos Tipo C : 21 degraus ; 81 cubos ; sobram 39 cubos
Proposta 39950 cm
Proposta 402. An = 25p (2n + 1)
Proposta 411. Figura 1:
Área azul: cm2 ; Área “branca”: cm2
Figura 2:
Área azul: cm2 ; Área “branca”: cm2
Figura 3:
Área azul: cm2 ; Área “branca”: cm2
2.1
2.2 4095 círculos
3.1 ;
3.2 ;
3.3 cm2
Pág. 248
Pág. 247
p (4 - p)
p2 4 - p
2p4 4 - p
4 c1 = 1cn+1 = 2cn , n å N
an " 0 bn " 4
an = p2n-1 bn = 4 - p
2n-1
2p
un = 3n-1
hn = 24 (1 - 2-n)
Pág. 246
0,75
r = 8
cn = 163pn
3203p
640p
cn = 10 * √33 n
r = √33
13,437,13
lim un = e
lim un = 12
(un)
n = 798
Pág. 244
(un)
(un)
(un)
n = 399
Pág. 245
lim un = - ?lim un = 1lim un = + ?lim un = 0lim un = - 1
2lim un = 0(un)
lim un = + ?lim un = 0 A3 = 9
4p
r = p2
an = n + n2
2bn = n2
cn = 2n2 - n
286 SoluçõesN
EMA
11-P2©
Porto Editora
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