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Matemática Computacional
Matemática Computacional- Noções Básicas -- Noções Básicas -
Ana Paula Neves Ferreira da SilvaAna Paula Neves Ferreira da Silva
Lógica de 1ª OrdemDepartamento de Engenharia das Tecnologias da Informação
Matemática Computacional
Técnicas de Demonstração
Demonstração por exemplo;
Demonstração por verificação exaustiva;
Demonstração utilizando variáveis;
Demonstração directa;
Demonstração indirecta:
– Demonstração do oposto;
– Demonstração por contradição.
Demonstração SE e Só SE.
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Matemática Computacional
Técnicas de Demonstrarão
Demonstração por exemplo:– “Existe um número par entre 1 e 3”.
– 2 é par e 1<2<3, desta forma conseguimos provar, com um exemplo, que a afirmação é verdadeira.
– “Existe um múltiplo de 3 entre 1 e 3”.
– O único inteiro entre 1 e 3 é 2. 2 não é múltiplo de 3.
– Outra possibilidade:
• 6 é o 1º múltiplo de 3 e não está entre 1 e 3.
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Técnicas de Demonstração
Demonstração por verificação exaustiva– “ A soma de quaisquer dois números do conjunto {1,
3, 5, 7} é sempre um número par”.
• 1+1=2;
• 1+3=4;
• 1+5=6;
• 1+7=8;
• 3+5=8;
• 3+7=10;
• 5+7=12.
Os resultados das somas são:
2, 4, 6, 8, 10 e 12, ou seja apenas números pares. Provamos assim a veracidade da afirmação.
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Técnicas de Demonstração
Demonstração utilizando variáveis– “A soma de quaisquer dois números inteiros pares
resulta num número par”.
– Sejam m e n dois números inteiros, ou seja m e n є Z.– 2m e 2n representam dois inteiros pares.– 2m+2n=2(m+n)
– 2m+2n=2p, 2p é um número par, dado que o resultado do produto de qualquer inteiro por 2 é um número par.
A soma de dois números inteirosé um número inteiro.
Seja m+n=p
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Técnicas de Demonstração
Demonstração usando variáveis– Sugestão:
• Demonstrar que a soma de dois números inteiros ímpares é um número par.
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Técnicas de Demonstração
Técnicas de prova directa– “Se A então B”
• Cadeia de afirmações que conduzem a afirmação A à declaração B.
A C D B
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Técnicas de Demonstração
Técnicas de prova indirecta– Demonstração do oposto
• “Se x2 é par, então x é par”.• Vamos provar o oposto:
• (para demonstrar o oposto vamos usar a demonstração por variáveis)
n є Z: x=2n+1x2=(2n+1)2 x2=4n2+4n+1 x2=2 (2 (n2+n)) + 1 x2 é ímpar
• Provámos que se x é ímpar então x2 é ímpar, donde se prova que se x2 é par então x é par.
“ Se x é ímpar, então x2 é ímpar”.
Elevando ambos os membros ao quadrado
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Técnicas de Demonstração
Técnicas de prova indirecta– Demonstração por contradição
• “Existe uma infinidade de números primos”
• Por contradição, vamos provar que a afirmação é verdadeira,
demonstrando que se assumirmos a existência de um número
finito de números primos essa assumpção conduz-nos a uma
contradição.
• Esse facto permite-nos concluir que a negação da nossa
hipótese é verdadeira, ou seja que existe uma infinidade de
números primos.Todo o número inteiro maior que um, pode ser escrito como o produto de dois números primos.FACTO
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Técnicas de Demonstração
Técnicas de prova indirecta
– Demonstração por contradição (continuação)
• Hipótese: “Existe um número finito de números primos”.
• Se existe um número finito de números primos então existe um primo que é maior que todos os outros. Ou seja, temos 1, 2, 3, 5, 7, ....,p.
• Consideremos m um número inteiro que é o resultado do produto de todos os números primos, ou seja
– m=1 x 2 x 3 x 5 x 7 x .... x p
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Técnicas de Demonstração
Técnicas de prova indirecta– Demonstração por contradição (continuação)
• m+1 é um inteiro, como m+1>1, pela propriedade referida dos números primos, m+1 escreve-se como produto de dois números primos.
• Logo tem que existir um número primo maior que p, o que contraria a nossa assumpção de p ser o maior número primo. Como chegámos a uma contradição podemos concluir que a negação da nossa hipótese é verdadeira. Ou seja, que existe uma infinidade de números primos.
p é o maior número primo!
Existe um número primo maior que p!
Contradição
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Técnicas de Demonstração
Provas do tipo Se e Só Se
– As declarações do tipo “A se e só se B”, são abreviaturas
de duas declarações diferentes:
• “Se A Então B”.
• “Se B Então A”.
– Vulgarmente, também se utiliza a expressão “A é
condição suficiente e necessária de B”, ou “B é
condição suficiente e necessária de A”.
– São necessárias duas provas distintas para as declarações
deste tipo: uma para cada condicional envolvida.
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Provas do tipo Se e Só Se– Exemplo:
• “x é par se e só se x2 é par”.• Temos que demonstrar as duas condicionais envolvidas:
Se x é par então x2 é par.
Se x2 é par então x é par.