TD de Colisões e Sistemas Com Massa Variável.docx

7/23/2019 TD de Colisões e Sistemas Com Massa Variável.docx

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TD DE FÍSICA III

01. O arranjo da figura abaixo é feito de n esferassuspensas, com seus centros alinhados e que nãoestão, inicialmente, em contato entre si. A primeiraesfera tem massa f.m (em que f é uma constante,a segunda f !.m, e assim por diante, até a n"ésimaesfera de massa f n.m. A primeira massa é atingidapor uma esfera m que se desloca a #elocidade #o.$onsiderando que todas as colis%es sejamperfeitamente el&sticas e que não haja atrito,determine a #elocidade adquirida pela n"ésima bolaap's a colisão.

0!. esferas de mesmo raio ) estão em repousosobre um plano hori*ontal. As esferas estão quaseem contato entre si e seus centros encontram"se

alinhados. As massas dessas esferas #alemrespecti#amente +, !+, +,..., +. -&"se esferade massa + uma #elocidade inicial / para a direitae na direão da linha dos centros. upondo quetodas as colis%es sejam el&sticas eunidimensionais, determine a #elocidade de sa2dada "ésima bola.

0. $onsidere n bolas 31, 3!, 3, ..., 3n de massasrespecti#amente iguais a m1, m!, m, ..., mn (comm144m!44m44...44 mn empilhadas #erticalmente. A parte inferior da bola 31 encontra"se a uma alturah acima do solo e a bola 3n encontra"se a umaaltura h 5 d acima do solo. A pilha de bolas éabandonada do repouso. Admita que todas ascolis%es sejam el&sticas.

ANOTAÇÕES

ALEXANDRE CASTELO

6)O78O) (A9 :);89!< 8;O9 A6=;$A>?O9

A=@O(A9 B@8CD89 C@)O9 @;-A-8(9

8CA6A9



a -etermine a que altura a bola 3n subir& acima dosolo, em funão de n, h e d.

b Admita agora h E 1 m. 8stime o nFmero n debolas que seriam necess&rias para 3n atingir umaaltura da ordem de G Hm. esse caso d pode ser despre*ado.

c 8stime o nFmero n de bolas que seriamnecess&rias para que 3n atinja a #elocidade de

escape da Cerra, da ordem de 11 HmIs.

0G. @ma bola é abandonada do repouso de umaaltura h, num local onde a gra#idade #ale g, e cai#erticalmente colidindo com o piso. endo e ocoeficiente de restituião dessa colisão, calcule9

a o tempo necess&rio para que a bola pare desaltar.

b a distJncia total percorrida pela bola.

0K. @ma bola de futebol que esta#a em repouso

sobre a superf2cie de uma quadra é chutada com#elocidade u formando um Jngulo L com ahori*ontal. A gra#idade local #ale g. abendo que ocoeficiente de restituião entre a bola e a quadrade futebol #ale e, determine9

a a que distJncia da posião inicial a bola tocar& osolo pela n"ésima #e*M

b a distJncia hori*ontal percorrida pela bola até elaparar de saltar.

0N. eja a escada mostrada na figura na qual cada

degrau tem comprimento e largura iguais a =. @mabolinha de ao #ai descendo a escada, degrau por degrau, sempre colidindo na mesma posião emcada degrau e sempre atingindo uma mesma alturah acima de cada degrau. abendo que ocoeficiente de restituião #ale e e a gra#idade local#ale g, determine9

a a #elocidade hori*ontal #x necess&ria, em funãode g, = e e.

b a altura h atingida acima de cada degrau, emfunão de = e e.

ANOTAÇÕES



0. @ma bola A de massa m é abandonada dorepouso de uma altura P sobre um prisma 3 demassa + também inicialmente em repouso sobreuma superf2cie hori*ontal lisa. O prisma encontra"se apoiado sobre roletes e é li#re para se mo#er nahori*ontal. abendo que a gra#idade local #ale g, eque a #elocidade da bola, ap's a colisão, apontana hori*ontal para a direita, responda9

a Bual o coeficiente de restituião e dessa colisãoem funão de +, m e LM

b Buais as #elocidades da bola e do prisma, logoap's a colisão, em funão de +, m, g, P e eM

0Q. obre um plano hori*ontal liso repousam duascunhas idRnticas, de mesma massa + e mesmainclinaão com a hori*ontal, li#res para se mo#er ao longo da superf2cie hori*ontal. @ma esfera demassa m abandonada do repouso, de uma alturaP, ricocheteia na 1< cunha, em seguida, repica na!< cunha e sobe #erticalmente. Admitindo quetodas as colis%es sejam el&sticas, determine aaltura final atingida pela esfera.

0S. @ma pequena part2cula se mo#endo com

#elocidade # colide elasticamente com uma esferade mesma massa e raio ) inicialmente emrepouso. A trajet'ria retil2nea da part2cula passa auma distJncia d do centro da esfera. -etermine a#elocidade final de cada corpo ap's a colisão.

ANOTAÇÕES



10. A corrente da figura tem comprimento total =,densidade linear T e todos os atritos sãodespre*2#eis. -espre*ando o pequeno tamanho e amassa da polia, determine9

a A fora 7 necess&ria para descer a corrente comuma #elocidade constante #, em funão de T, g, #,h e U.

b A fora que o solo exerce na pilha de corrente.

11. A corrente de densidade linear T passa pela

pequena roldana que gira li#remente e é solta apartir do repouso com apenas uma pequenadescompensaão h para iniciar o mo#imento.-espre*e o peso da roldana e de sua estrutura deapoio e o peso da pequena quantidade de correnteem contato com a roldana. V medida que h #aria nointer#alo 0 h L≤ ≤ , determine9

a a aceleraão a em funão de h.

b a #elocidade da corda em funão de h.

c a fora 7 suportada pelo gancho que mantém a

roldana suspensa em funão de h.1!. @ma corrente fina de densidade linear T ecomprimento total = encontra"se amontoada. /ocRsegura uma extremidade e abandona o restante dapilha que cai em queda li#re num local onde agra#idade #ale g. -etermine, em funão do tempot, a fora que de#e ser exercida pela mão naextremidade superior da corrente para mantR"la emrepouso durante a queda do restante da corrente.

ANOTAÇÕES



1. @ma rampa possui massa + e sua superf2cieinclinada fa* um Jngulo L com a hori*ontal. 8laest& em repouso sobre uma superf2cie hori*ontallisa quando um carrinho de massa m éabandonado sobre ela a uma altura #ertical hacima da sua extremidade inferior. abendo quetodos os atritos são despre*2#eis e a gra#idadelocal #ale g, determine9

a a #elocidade da rampa no instante em que ocarrinho perde o contato com ela.

b a #elocidade # do carrinho nesse instante.

1G. @m hemisfério de massa + e raio ) encontra"se inicialmente em repouso, li#re para se mo#er sobre uma superf2cie hori*ontal lisa. @ma bolinhade massa m e raio r é abandonada do repousosobre o hemisfério, numa posião que forma umJngulo L com a hori*ontal. e a gra#idade local#ale g, determine9

a a #elocidade angular W da bolinha numa posiãoque forma um Jngulo X com a #ertical, X 4 L.

b a #elocidade de recuo da rampa hemisférica nasituaão do item a.

c a altura da bolinha em relaão superf2ciehori*ontal quando ela perder o contato com arampa hemisférica.

1K. @m #agão de massa + est& li#re para se mo#er ao longo de um solo hori*ontal liso. @m pRndulosimples de massa m e comprimento inicial = foipendurado ao teto do #agão. 8stando o sistemainicialmente em repouso, o pRndulo é abandonadoa partir de uma posião em que o fio forma umJngulo L com a direão #ertical. Bual ser& a#elocidade do #agão quando o fio do pRnduloesti#er fa*endo um Jngulo X com a #ertical, com X4 L. A gra#idade #ale g.

ANOTAÇÕES



1N. -uas caixas de mesma massa + estãoinicialmente em repouso sobre uma superf2cieplana, hori*ontal e lisa, conectadas entre si atra#ésde uma mola ideal de constante el&stica Y ecomprimento natural =o. @ma terceira caixa demesma massa se aproxima do sistema com#elocidade / e colide elasticamente como mostra afigura. Admita que a colisão seja unidimensional.-etermine o comprimento m&ximo e m2nimo

atingido pela mola durante o mo#imento posterior do sistema.

1. -ois blocos de massas m1 e m! estãoconectados entre si atra#és de uma mola ideal deconstante el&stica H e repousam sobre umasuperf2cie hori*ontal lisa. A mola encontra"seinicialmente relaxada. e o bloco 1 é puxado por uma fora constante 71 e o bloco ! é puxado por

outra fora constante 7!, como mostra a figura,determine a deformaão m&xima atingida pelamola.

GABARITO

01.0

2

1

n

nV V

f

= ÷

+

02.( )12 1 !

1.3.5.7.9...(2 1)

n

n

nV V

n

− −=

−

03.

a) ( ) 2

2 1n H d h= + −

b) 6n = c) 12n = 04.

a)2 1

1

h eT

g e

+ = ÷

−

b)2

2

1

1

e D h

e

+= ÷−

05.

a)2 2 1

1

nu sen e D

g e

α −= ÷−

b)2 2 1

1total

u sen D

g e

α = ÷−

06.

a) 12 1

x gl eV

e− = ÷+

b)2

21

Leh

e=

−

07.

a)21

me tg

M α

= + ÷

b)2

prisma

m MgHeV

M M m=

+

2bola

MgHeV

M m=

+

08. M m

h H M m

− = ÷+

09. partícula

Vd V

R=

2 2

esfera

V R d V

R

−=

10.

a) 2( ) F h y g v ρ ρ = − +

b) 2( ) N L h y g v ρ ρ = − − −

11.

a) h

a g L

=

b) g

V h L

=

c)2

2 h

F g L L

ρ

= − ÷

12. 2 23

2 F g t ρ =

13.

a)( ) ( )

2 2

2

2 cosrampa

m gH V

M m M msen

α

α =

+ +

b)( )( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2

carrinho

gH m sen Mmsen M V

M m M msen

α α

α

+ +

=

+ +

14.

a)2 2

2 ( )(cos cos )

( )

gR M m

msen M r

α β ω

β

+ −=

+

b)2 2

2

2 (cos cos )cos

( )( )

gRmV

msen M M m

α β β

β −=

+ +

c) 2

2 ( )(cos cos ) R M m H

msen M

α β

β

+ −=

+

15. ( )2 2

2

2 cos cos cos

( )( )

m gLV

M m M msen

β α β

β

−=

+ +

16.min

2o

M L L V

= −

m

2!x o

M L L V

= +

17. 1 2 2 1

1 2

1 2

2( )

( )

F m F m x x

" m m

++ =

+

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