TÉCNICA DE CONTROLE ROBUSTO H APLICADA A UM SISTEMA...

TÉCNICA DE CONTROLE ROBUSTO H∞ APLICADA A UM SISTEMA DE

POSICIONAMENTO DINÂMICO

Bruno Mastrangelo Fontenelle

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Oceânica, COPPE, da Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Oceânica.

Orientador: Sergio Hamilton Sphaier

Rio de Janeiro

Setembro de 2011




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO

ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE

ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

OCEÂNICA.

Examinada por:

Prof. Sergio Hamilton Sphaier, Dr.-Ing

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.

Prof. Afonso Celso Del Nero Gomes, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ � BRASIL

SETEMBRO DE 2011

Fontenelle, Bruno Mastrangelo

Técnica de Controle Robusto H∞ aplicada a um

Sistema de Posicionamento Dinâmico/Bruno Mastrangelo

Fontenelle. � Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.

XVIII, 79 p.: il.; 29, 7cm.


Dissertação (mestrado) � UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Oceânica, 2011.

Referências Bibliográ�cas: p. 73 � 77.

1. Posicionamento Dinâmico. 2. Controle Robusto. 3.

H∞. I. Sphaier, Sergio Hamilton. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia

Oceânica. III. Título.

iii

flamar

Text Box

flamar

Rectangle

A minha esposa Flavia, meus

pais Antonio e Ana Lucia, e

minha irmã Beatriz

iv

Agradecimentos

A Deus, pela saúde e persistência que proporcionaram o cumprimento de mais

uma etapa em minha vida.

A meus pais, pela educação que me foi dada e pelo apoio constante em todas as

minhas decisões.

A minha esposa, pela compreensão e incentivo nos momentos difíceis.

Ao mestre Sergio Hamilton Sphaier, pelo conhecimento transmitido ao longo de

três anos de pesquisa.

Ao amigo Maj Leonardo Araújo do Instituto Militar de Engenharia, pela grande

ajuda na elaboração deste trabalho.

Ao Bureau Veritas, pela oportunidade de realização deste curso de Pós-

graduação e pelo investimento em meu desenvolvimento pro�ssional.

Nos instantes escuros, trabalha e dissolverás qualquer sombra, desvelando a es-

trada que o Senhor te deu a trilhar.

Emmanuel

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Setembro/2011


Programa: Engenharia Oceânica

O presente trabalho aborda tópicos de pesquisa e desenvolvimento em Sistemas

de Posicionamento Dinâmico.

Foi utilizada técnica de controle robusto H∞ como ferramenta para a elaboração

de um controlador. Após sua criação, um programa de simulação foi gerado, com o

objetivo de efetuar o controle da posição e aproamento de um navio.

Neste simulador, considerou-se a modelagem de duas embarcações, uma engajada

em apoio o�shore ou supply vessel, e um VLCC. O comportamento destes navios

frente às forças de vento e correnteza atuantes durante a operação, foram inseridas

no programa, tomando-se por base conceitos téoricos de hidrodinâmica.

Alguns casos foram propostos e simulados considerando diferentes condições de

operação, e os respectivos resultados foram apresentados. Foi realizada uma análise

dos mesmos, con�rmando a expectativa de robustez e bom desempenho do contro-

lador gerado.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial ful�llment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

H∞ ROBUST CONTROL TECHNIQUE APPLIED TO DYNAMIC

POSITIONING SYSTEM


September/2011

Advisor: Sergio Hamilton Sphaier

Department: Ocean Engineering

The present work deals with research and development topics related to Dynamic

Positioning Systems.

Robust control technique, more speci�cally H∞, have been used as tool for the

development of a controller. Further to its construction, a simulation program ca-

pable of controlling the position and heading of a ship has been developed.

It has been considered an existing supply vessel model as well as a VLCC in

this simulation. The ship's behavior under the forces of wind and current actuating

during operation, were inserted into the program, using hydrodynamics theory as

basis.

Some cases have been proposed to be tested and their results were presented.

These results have been analyzed, con�rming the expectation of good performance

and robustness of the controller developed.

vii

Sumário

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiv

1 Introdução 1

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Revisão Bibliográ�ca 5

2.1 Sistemas de Posicionamento Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Engenharia de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Motivação: Controle em Um Grau de Liberdade de uma Embarca-

ção 13

3.1 Análise Não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Geração do Controlador Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Função de Cálculo das Forças Atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Diagrama de Blocos para Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Análise dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Fundamentos Teóricos de Engenharia de Controle 18

4.1 Conceitos Básicos e Ferramentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Representação de Sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.3 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.4 Equações de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.5 Transformação de Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.6 Cálculo das Normas L∞ e H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Controle Robusto em RH∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.2 Síntese de Controladores Estabilizantes . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.3 Rejeição de Distúrbios - Controle Integral . . . . . . . . . . . 28

viii

5 Modelagem Matemática 30

5.1 Dinâmica do Navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Equações de Movimento no Plano Horizontal . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Forças de Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1 Força Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.2 Força Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.3 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Forma Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.5 Forças Devidas à Ação do Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.6 Forças Devidas à Ação de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7 Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Estrutura da Simulação 40

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2 Modelagem das Embarcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Síntese do Controlador Robusto H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Particionamento da Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.5 Propriedades da Planta Particionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.1 1a Veri�cação: Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.2 2a Veri�cação: Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.3 3a Veri�cação: Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.4 4a Veri�cação: Estabilidade Segundo Lyapunov . . . . . . . . 47

6.6 Considerações Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.7 Cálculo das Forças Ambientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.8 Apresentação de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.8.1 Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.8.2 Rodada A - Supply Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.8.3 Rodada B - Supply Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.8.4 Rodada C - Supply Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.8.5 Rodada D - Supply Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.8.6 Rodada E - VLCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.8.7 Rodada F - VLCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.8.8 Rodada G - VLCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.8.9 Planta Particionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Conclusões Gerais 71

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Referências Bibliográ�cas 73

ix

A Controlador Gerado 78

x

Lista de Figuras

1.1 Estrutura de um Sistema de Posicionamento Dinâmico. . . . . . . . . 1

1.2 Propulsor do Tipo Azimutal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Propulsor do Tipo Túnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Sensor de Referência Fanbeam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Sensor de Vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Diagrama de Blocos - Caso Não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Movimento da Embarcação no plano horizontal - Setpoint x = 15 m . 17

3.3 Movimento da Embarcação no plano horizontal - Setpoint x = −0.75

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Diagrama de Blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Problema Simples de Rejeição de Distúrbios. . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Diagrama de Blocos Genérico para Controle Integral. . . . . . . . . . 28

5.1 Sistema de Coordenadas Utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1 Supply vessel Normand Aurora dotado de Sistema de Posicionamento

Dinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2 Embarcação do tipo VLCC em operação. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3 Sistema de Controle Robusto em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . 48

6.4 Grá�co de Bode do Filtro We . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5 Sistema de Controle Robusto em Malha Fechada - Diagrama Reorga-

nizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.6 Diagrama de Blocos Padrão com Planta de Síntese . . . . . . . . . . 50

6.7 Função Exponencial Multiplicada pelo Vetor de Forças e Momento

devido ao Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.8 Diagrama de Blocos Implementado no Simulink . . . . . . . . . . . . 51

6.9 Movimento da Embarcação em Surge - Caso A1 . . . . . . . . . . . . 53

6.10 Movimento da Embarcação em Sway - Caso A1 . . . . . . . . . . . . 53

6.11 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso A1 . . . . . . . . . . . . . 54


xi






6.18 Movimento da Embarcação em Surge - Caso B1 . . . . . . . . . . . . 56

6.19 Movimento da Embarcação em Sway - Caso B1 . . . . . . . . . . . . 56

6.20 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso B1 . . . . . . . . . . . . . 57







6.27 Movimento da Embarcação em Surge - Caso C1 . . . . . . . . . . . . 59

6.28 Movimento da Embarcação em Sway - Caso C1 . . . . . . . . . . . . 59

6.29 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso C1 . . . . . . . . . . . . . 60







6.36 Movimento da Embarcação em Surge - Caso D1 . . . . . . . . . . . . 62

6.37 Movimento da Embarcação em Sway - Caso D1 . . . . . . . . . . . . 62

6.38 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso D1 . . . . . . . . . . . . . 63







6.45 Movimento da Embarcação em Surge - Caso E1 . . . . . . . . . . . . 65

6.46 Movimento da Embarcação em Sway - Caso E1 . . . . . . . . . . . . 65

6.47 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso E1 . . . . . . . . . . . . . 66

6.48 Movimento da Embarcação em Surge - Caso F1 . . . . . . . . . . . . 66

6.49 Movimento da Embarcação em Sway - Caso F1 . . . . . . . . . . . . 66

6.50 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso F1 . . . . . . . . . . . . . 67

6.51 Movimento da Embarcação em Surge - Caso G1 . . . . . . . . . . . . 67

xii

6.52 Movimento da Embarcação em Sway - Caso G1 . . . . . . . . . . . . 67

6.53 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso G1 . . . . . . . . . . . . . 68

6.54 Movimento da Embarcação em Surge - Caso A1 "Partição Errada" . 68

6.55 Movimento da Embarcação em Sway - Caso A1 "Partição Errada" . . 68

6.56 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso A1 "Partição Errada" . . 69

6.57 Movimento da Embarcação em Surge - Caso F1 "Partição Errada" . . 69

6.58 Movimento da Embarcação em Sway - Caso F1 "Partição Errada" . . 69

6.59 Movimento da Embarcação em Yaw - Caso F1 "Partição Errada" . . 70

xiii

Lista de Tabelas

6.1 Características Principais - Supply vessel . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Coe�cientes Hidrodinâmicos - Supply vessel. . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3 Coe�cientes Hidrodinâmicos - VLCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Características Principais - VLCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5 Condições Ambientais - Rodada A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.6 Setpoints para a Rodada A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.7 Condições Ambientais - Rodada B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.8 Setpoints para a Rodada C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.9 Condições Ambientais - Rodada D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.10 Setpoints para a Rodada D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

R - conjunto dos números reais

C - conjunto dos números complexos

Q - conjunto dos números racionais

Rn - conjunto dos vetores reais de dimensão n

Rm×n - conjunto das matrizes reais m× n

∈ e /∈ - pertence e não pertence

:= - por de�nição

≡ - equivalente

≈ - aproximadamente

≽ - semide�nida positiva

7−→ - implica em

⇐⇒ - se e somente se

|α| - valor absoluto de α ∈ R ou de α ∈ CRe(α) - parte real de α ∈ Cλ(M) - autovalores da matriz M

det(M) - determinante da matriz M

In - matriz identidade n× n

0n - matriz nula n× n

0m×n - matriz nula m× n

MT - transposta da matriz M

M−1 - inversa da matriz M

M∗ - conjugado complexo da matriz M

∥α∥p - norma p de α ∈ Cn

∀ - para todo

x(t) - vetor de sinais contínuos, em que para ∀t, x ∈ Rn

s - variável de Laplace

j - unidade imaginária ou j =√−1

ω - frequência em rad/s

× - produto cartesiano

∃ - existe

sup - supremo

L∞ - Espaço das matrizes com elementos limitados sobre o eixo

imaginário

H+∞(H−

∞) - Subespaço de L∞ cujos elementos são funções analíticas em

2o+(2

o−)

xv

pre�xo R - real racional (por exemplo: RH∞)

σ(A) - maior valor singular de A

Tzω - transferência entre o sinal de entrada ω(t) e o sinal de saída

z(t)

H(t) =

[A B

C D

]- realização em espaço de estados da função (ou matriz) de

transferência contínua H(s) = C(sI−A)−1B+D

xvi

SIGLAS

LTI Linear Invariante no Tempo

LFT Transformação Linear Fracionária (do Inglês Linear Fractional

Transformation)

LQR Regulador Quadrático Linear

LQ Quadrático Linear

LQG Gaussiano Quadrático Linear (do Inglês Linear Quadratic Gaus-

sian)

SISO Sistemas que possuem somente uma entrada e uma saída (do Inglês

Single-input and Single-output)

MIMO Sistemas que possuem mais de uma entrada e mais de uma saída

(do Inglês Multiple-input and Multiple-output)

PID Proporcional Integral Derivativo

FPSO Unidade Flutuante de Produção e Armazenamento de Petróleo (do

Inglês Floating Production Storage O�oading)

SMS Sistema de Amarração Espalhado (do Inglês Spread Mooring Sys-

tem)

VLCC Embarcação do tipo (Very Large Crude Carrier)

xvii

Capítulo 1

Introdução

Há algumas décadas, atividades de exploração e explotação de petróleo rom-

peram a fronteira da terra e se �rmaram nos oceanos, sendo atualmente quase a

totalidade da produção nacional obtida através de poços situados em águas profun-

das e ultraprofundas, excedendo a barreira dos mil metros.

Impulsionados por esta nova realidade, a indústria naval e o�shore vem sendo

constantemente desa�ada a fornecer soluções focadas na con�abilidade e e�cácia das

operações. Para suprir tal demanda, o investimento em pesquisa e novas tecnologias

vem aumentando substancialmente.

Embarcações engajadas em operações de apoio o�shore, lançamento de dutos e

perfuração de poços necessitam de um sistema inteligente, capaz de manter auto-

maticamente posição e aproamento por meio de propulsores, mesmo em condições

severas de vento, ondas e correnteza. Este sistema é denominado Sistema de Posi-

cionamento Dinâmico.

Figura 1.1: Estrutura de um Sistema de Posicionamento Dinâmico.

Um sistema deste tipo é constituído basicamente por quatro subsistemas: po-

1

tência, atuação, sensoriamento e controle. A interação entre eles é mostrada no

diagrama de blocos apresentado na �gura 1.1.

O subsistema de potência tem a função de fornecer energia elétrica aos pro-

pulsores, sensores e componentes do sistema de controle da embarcação. Deve ser

projetado considerando grandes �utuações de carga, devido a variações constantes

das condições ambientais e demanda de potência da propulsão. O tipo de planta

utilizada normalmente neste subsistema é a diesel-elétrica [1].

Figura 1.2: Propulsordo Tipo Azimutal.

Figura 1.3: Propulsor doTipo Túnel.

O subsistema de atuação é dedicado a fornecer as forças necessárias para o po-

sicionamento do navio. Ele engloba os propulsores e cada sistema de controle a eles

associados. Os tipos de propulsores mais utilizados nos dias de hoje são: o azimutal,

mostrado na �gura 1.2, retirada de [2]; e o do tipo túnel, mostrado na �gura 1.3,

retirado de [3]. Eles podem ser instalados na proa (bow thruster) e na popa da

embarcação (stern thruster).

Figura 1.4: Sensor de Referência Fanbeam.

O subsistema de sensoriamento é composto pelos sensores (ou sistemas de re-

2

ferência) instalados na embarcação, que captam as informações de sua posição no

plano horizontal. Dentre os sensores deste tipo, destacam-se o sistema de localiza-

ção por satélite (GPS), sistemas acústicos submarinos e por lasers, como mostrado

na �gura 1.4, retirada de [4]. Este último é muito utilizado em operações de apoio

o�shore, onde supply vessels precisam manter sua posição muito próxima a unidades

�utuantes.

Existem ainda os sensores responsáveis pela captação das condições ambientais,

tais como sensores de vento indicados na �gura 1.5, capazes de prover informações

de velocidade e direção do vento.

Figura 1.5: Sensor de Vento.

Todos os subsistemas descritos anteriormente desempenham papéis importantes,

entretanto, a essência do sistema de posicionamento dinâmico está no subsistema

de controle. Ele é composto por computadores e consoles de interface operador-

máquina. Os computadores são responsáveis pela leitura das informações captadas

pelos sensores e o seu processamento em um software para cálculo das forças e

momento necessário para o navio manter a posição de�nida (setpoint).

1.1 Objetivo

A robustez de um sistema, frente a perturbações e incertezas, é uma questão

fundamental em engenharia de controle.

Visando o desenvolvimento de um trabalho de pesquisa que unisse controle a sis-

temas de posicionamento dinâmico, optou-se pela utilização de técnicas de controle

robusto H∞.

A presente dissertação tem como objetivo principal a aplicação destas técnicas

em um software capaz de simular o comportamento de uma embarcação equipada

com sistema de posicionamento dinâmico.

Com a �nalidade de estabelecer o embasamento teórico necessário para compre-

ensão do programa desenvolvido, são apresentados conceitos fundamentais relacio-

nados à teoria de controle. Posteriormente, é apresentada a modelagem do navio e

formulação das forças atuantes.

3

Finalizando o trabalho, apresentam-se os resultados de alguns casos simulados,

onde são discutidos aspectos como performance do controlador e comportamento da

embarcação.

4

Capítulo 2

Revisão Bibliográ�ca

Neste capítulo de Revisão Bibliográ�ca, são relatados os principais eventos e

contribuições realizadas nas áreas de Sistemas de Posicionamento Dinâmico e Enge-

nharia de Controle.

2.1 Sistemas de Posicionamento Dinâmico

Os primeiros relatos da utilização de sistemas de posicionamento dinâmico utili-

zados em navios datam da década de 60. Naquela época, a necessidade de se manter

a posição de uma embarcação em mar aberto era motivada pela necessidade de se

explorar o subsolo marinho, sobre o qual o homem tinha pouco conhecimento. Nesse

estágio, as metodologias convencionais não conseguiam atender a profundidades cada

vez maiores, elevando assim o custo de equipamentos, projetos e construção. As-

sociado a isto, o problema de segurança também foi determinante, devido ao risco

presente em operações de manuseio de cargas e âncoras em embarcações sujeitas aos

efeitos de ondas em alto mar.

Em 1961, nos Estados Unidos, o navio Cuss-I foi o pioneiro em manter seu posi-

cionamento em operação. Tal façanha foi alcançada através de controle manual do

posicionamento. O operador recebia informações de posição de quatro bóias insta-

ladas em águas rasas e do sonar da embarcação, mantendo continuamente o posicio-

namento da embarcação através de intervenção manual [5]. Na época, questionou-se

a con�abilidade do sistema que, por ser manual, dependia de ação contínua do

operador que necessitava de treinamento e perícia, ou seja, dependia da atuação

humana que é subjetiva. Logo, os questionamentos vieram do desenvolvimento de

um controle automático.

Neste mesmo ano, o Eureka, da Shell Oil Company, foi equipado com um com-

putador analógico - digital, ou seja, controle automático de posição e aproamento.

Utilizou-se o sensor de posição eletromecânico taut-wire, capaz de medir a inclinação

de um cabo sob tensão ligado a um peso no fundo do mar. O sistema era constituído

5

de apenas um computador, sem os benefícios da redundância, e não dispunha da

compensação ativa do vento [5].

Dois anos depois se iniciou a aplicação de controle quadrático (LQ) em pilotos

automáticos (sistemas SISO) e, a partir daí, discutiu-se a sua utilização em siste-

mas de posicionamento dinâmico [6]. Isto motivou também a preocupação com a

con�abilidade dos sistemas de posicionamento dinâmico, iniciando-se a implemen-

tação redundante de forma a manter a continuidade do serviço em caso de perda ou

falha de algum equipamento ou componente do sistema. Nesta época, a Marinha

dos Estados Unidos lançou o Caldrill-I. Outro importante passo foi dado também

em 1964, quando o Instituto Francês de Petróleo começou a desenvolver um navio

equipado com um sistema de posicionamento dinâmico, e para tornar isto possível,

foram necessárias pesquisas sobre forças de onda, vento e correnteza; comporta-

mento do controlador automático; modelagem matemática para experimentação a

partir de dados teóricos; desenvolvimento de equipamentos sensoriais para captação

de informações de posição através de radio localização e acústica; desenvolvimento

de equipamentos para compensar movimentos da embarcação.

Com a chegada da década de 70 e a consolidação da tecnologia digital, surgiram

as primeiras aplicações de sistemas de posicionamento dinâmico em navios de per-

furação, sendo o navio Sedco-445 o primeiro da classe. Foi também nessa época que

os navios Saipem Due e Pelican utilizaram propulsores com passo variável, muito

e�cazes em manobras e utilizados até hoje pela comunidade [7].

Em 1976, uma nova técnica de controle foi aplicada ao controle de posiciona-

mento dinâmico por J. G. BALCHEN e SAELID [8], o controle Linear Quadrática

Gaussiano (LQG). Nesta técnica, é possível estimar o movimento da embarcação a

partir de movimentos anteriores. Tal informação provém do observador de estados

do sistema e que é capaz de calcular os empuxos necessários para anular os movi-

mentos previstos, fazendo uso das informações fornecidas pelos sensores de posição.

Esta nova técnica foi bastante relevante, pois até então nos controladores existentes

o afastamento da posição tinha que ser feito pela embarcação a �m de iniciar o co-

mando dos propulsores para então retornar ao ponto de referência. Com a tecnologia

possibilitando o desenvolvimento de equipamentos mais precisos e o surgimento dos

sensores de posição por satélite, o uso de observadores se �rmou de�nitivamente em

projetos de sistemas de posicionamento dinâmico, dentre eles o mais conhecido é o

�ltro de Kalman. A década de 80 foi basicamente um período que girou em torno

da aplicação de técnicas de H∞ a pilotos automáticos [6].

Em 1991, foi apresentado mundialmente, durante a guerra do Golfo, o sistema

de posicionamento por satélites GPS, substituindo o antigo Nav-Star, que rapida-

mente se tornou um imprescindível recurso para diversas aplicações. Apesar de ter

sido desenvolvido para �ns militares, obteve grande sucesso na comunidade civil.

6

Visando o aumento da precisão da navegação, foi desenvolvido o sistema diferencial

GPS (DGPS), cuja principal idéia consiste em determinar o erro de posição GPS em

função de uma posição conhecida. Em Maio de 2000, foi removida a disponibilidade

seletiva do GPS, que deliberadamente degradava a resolução do sinal para �ns não

militares, o que permitiu o aumento da precisão da navegação a custos baixos [7].

O ano de 1997 foi marcado pela aplicação de técnicas de H∞ a sistemas de posi-

cionamento dinâmico MIMO [9]. No Brasil, A. M. BORGES [10] aplica a técnica

de controle Linear Quadrática Gaussiano LQG de J. G. BALCHEN e SAELID [8] a

uma plataforma semi-submersível operando em águas profundas com sistema de an-

coragem e propulsão, controlando o empuxo dos propulsores para auxiliar as âncoras

na reação às forças ambientais e manter a unidade sobre o poço de perfuração.

Um ano depois, o pesquisador FOSSEN [6] contribuiu signi�cantemente para o

desenvolvimento de sistemas de posicionamento dinâmico. Primeiramente, GRO-

VEN e FOSSEN [11] adaptaram técnicas de backstepping e controle feedback a

posicionamento dinâmico, o que possibilitou M. F. AARSET e FOSSEN [12] ob-

terem resultados importantes em uma aplicação voltada para um rebocador de mar

aberto. Posteriormente, aplicando o conceito de Posicionamento Ótimo em Função

do Ambiente (weather optimal positioning control), FOSSEN e STRAND [13] obtém

a correção automática em relação a resultante das forças ambientais de forma que os

movimentos em yaw e as forças transversais sejam zero, visando reduzir o consumo

de combustível durante operações de manutenção de posição [7].

No �nal da década de 90, motivados pela possibilidade de alcançar um tempo

computacional menor no cálculo da estimativa de estado, FOSSEN e GROVLEN [14]

apresentaram uma alternativa ao projeto de sistemas de posicionamento dinâmico.

A aplicação da metodologia inicial era restrita somente a navios direcionalmente

estáveis desde que as perturbações provenientes dos efeitos ambientais fossem des-

consideradas na análise. Posteriormente, observou-se a possibilidade de generalizar

o modelo através da inclusão de um �ltro de ondas e estimativa das perturbações am-

bientais através do trabalho de ROBERTSSON [15]. Finalmente, graças à robustez

da lei de controle empregada no método, as contribuições de ROBERTSSON [15],

LINDEGAARD [16] e FOSSEN possibilitaram a aplicação da técnica a qualquer

tipo de navio e plataforma.

Em 2001, TANNURI [1] aborda em sua tese de doutorado uma metodologia

de projeto de sistema de posicionamento dinâmico baseada na teoria de controle

robusto não-linear por modos deslizantes. Esta técnica é bastante apropriada a

operações com liberdade de aproamento realizadas na Bacia de Campos, onde é

comum a incidência de agentes ambientais em direções não alinhadas.

Quatro anos depois, SANTOS [7] apresentou um sistema de posicionamento

dinâmico baseado em um observador passivo não-linear e na técnica de controle

7

backstepping, visando a sua implementação em simuladores de manobras de navio

para aplicações em tempo real. Do ponto de vista operacional, as contribuições

de REGIS [17], analisando o comportamento de um FPSO ancorado em SMS e

dotado de sistema de posicionamento dinâmico, durante uma operação de alívio; e

em 2009, DO RIO [18] comparou as metodologias de controle não-linear backstepping

e Proporcional Integral-Derivativo (PID).

2.2 Engenharia de Controle

O período que sucedeu a Revolução Industrial no século XVIII foi fundamental

para o desenvolvimento tecnológico mundial principalmente no que diz respeito às

técnicas de controle. A motivação de tais técnicas, foi inicialmente impulsionada pela

necessidade de resolver problemas práticos do cotidiano e posteriormente associadas

a processos industriais de fábricas de grande porte.

A primeira menção sobre engenharia de controle em trabalhos técnicos de pes-

quisa foi feita 1840 pelo astrônomo AIRY [19], aplicado para reposicionar auto-

maticamente um telescópio. Assim foram dados os primeiros passos da teoria de

controle com realimentação. Watt criou o pêndulo de Watt, permitindo controlar

a velocidade de máquinas a vapor através de controle em malha fechada. Mais a

frente, em 1868, MAXWELL [20] estudou a estabilidade de sistemas dinâmicos li-

nearizando equações diferenciais de movimento, analisando suas raízes. Nove anos

depois, ROUTH [21] apresentou uma técnica de análise, que foi posteriormente uti-

lizada por HURWITZ [22] que criou um critério capaz de determinar se um sistema

é estável ou não, independentemente da solução das equações.

Neste mesmo período, VISHNEGRADISKY [23] analisou a estabilidade de re-

guladores fazendo uso de equações diferenciais. Esse trabalho proporcionou que, em

1893, Stodola introduzisse o conceito de sistemas invariantes no tempo, porém, sem

solucioná-lo. Utilizando este novo conceito, segundo LEWIS [24], Stodola apresentou

a questão de estabilidade para a equação de Hurwitz [22], que, por sua vez, chegou

ao resultado através de cálculo numérico (diferentemente de Routh HURWITZ [22]).

Em 1897, o matemático russo Lyapunov revolucionou a teoria de controle da

época, ao publicar o trabalho Problème General de la Stabilité du Mouvement. Neste

foi introduzido o conceito de estabilidade de sistemas não lineares associada ao ganho

ou perda de energia do sistema. Apesar de seu trabalho não ter sido muito divulgado

no mundo ocidental, sua contribuição foi enorme, sendo primeiramente utilizada por

pesquisadores soviéticos e proporcionando grandes avanços nos estudos de sistemas

não lineares [7]. Nota-se ainda, que a maioria das análises matemáticas para �ns de

controle, até o �nal do século XIX, tinham uma abordagem realizada com base em

equações diferenciais no domínio do tempo.

8

No inicio do século XX vieram as análises no domínio da freqüência, motivadas

pelo surgimento do telefone, outros meios de comunicação e as grandes guerras

que surgiram. Os laboratórios Bell �caram envolvidos no problema de estender a

comunicação de massa para longas distâncias. Buscou-se alternar a ampli�cação do

sinal de voz através de linhas telefônicas com a atenuação de ruídos a ela associados,

utilizando metodologias e conceitos estabelecidos no século XVIII e XIX por Laplace,

Fourier, Cauchy, entre outros [25].

Em 1932, o pesquisador sueco Harry Nyquist, fazendo uso de análise grá�ca de

uma função resposta complexa, desenvolveu a teoria da regeneração [26] para projeto

de ampli�cadores estáveis, onde é de�nido o critério de estabilidade, que popularizou-

se como o critério de Nyquist. Seis anos depois, H. W. Bode [27] introduziu conceitos

de ganho e fase marginal para analisar a estabilidade de sistemas em malha fechada.

Em 1935, Clarridge desenvolveu um controlador para antecipar a variação do

sinal de erro na tentativa de eliminar as oscilações de uma malha de controle de

temperatura aplicada a uma indústria de celulose. Quatro anos depois foi desenvol-

vida uma versão totalmente reprojetada do controlador PID. Apesar de proporcionar

bons resultados em algumas aplicações complexas, ela ainda se mostrava bastante

complicada no que diz respeito à difusão de processos industriais. Nesses processos

não se considerava a controlabilidade no projeto das unidades industriais, a com-

plexidade e fragilidade dos elementos de atuação e a inexistência de regras simples

para ajuste dos parâmetros do controlador PID [28].

Em 1942, o trabalho publicado por ZIEGLER e NICHOLS [29] marcou a histó-

ria do controlador PID, proporcionando a formulação de novos métodos de ajuste

baseadas em características dinâmicas do processo.

Com o início da Segunda Guerra Mundial, vieram os investimentos com a ne-

cessidade de desenvolver equipamentos militares e, com isso, o desenvolvimento de

novas tecnologias de sistemas de controle. O centro de desenvolvimento que mais

se destacou nessa época foi o Massachussets Institute of Technology nos Estados

Unidos. Ferramentas importantes foram elaboradas para estudar a estabilidade de

sistemas de controle, como o método de lugar das raízes de Evans (baseado nas raí-

zes da equação característica). Desta forma, ao �nal da década de 50 a comunidade

já dispunha de um conhecimento sólido sobre teoria de controle, graças às técnicas

apuradas de análise no domínio da frequência e inúmeras aplicações industriais. Mas

foi com a corrida espacial que o controle moderno se desenvolveu, retomando idéias

de Lyapunov e sendo usadas novamente no domínio do tempo.

No �nal da década de 50, alguns trabalhos se destacaram na comunidade cientí-

�ca como o de BELLMAN [30] em 1957, aplicando programação dinâmica para se ob-

ter a condição ótima de sistemas de controle; o de PONTRYAGIN e BOLTYANSKY,

em 1958, desenvolvendo uma teoria aplicada a controles ótimos relacionando o tempo

9

mínimo de atuação de um controlador para estabilização de sistemas não-lineares

(posteriormente conhecida como técnica do princípio).

A década de 60 foi um importante período no desenvolvimento de técnicas de

controle moderno, graças às contribuições de Kalman. Em seu primeiro trabalho,

ele analisa as funções de controle de Lyapunov no domínio do tempo, aplicadas a

sistemas não lineares. Isto representou o início da moderna teoria de controle com

realimentação. Em seguida, Kalman estuda o conceito de solução ótima aplicada ao

domínio do tempo e apresenta um conjunto de equações para um regulador linear

quadrático (LQR) [32]. Assim como ressaltando em [7], o conceito de ótimo foi

associado, de forma generalizada, à minimização quadrática de energia das funções

de controle de Lyapunov. A solução pelo método numérico dos mínimos quadrados

foi criada por C. F. Gauss (1777 - 1855) para a estimativa de órbitas planetárias.

Sua terceira publicação é acerca de �ltros ótimos, apresentando a possibilidade de

estimativa das variáveis de estados pela sua variância mínima. Uma solução recursiva

para sistemas não-estacionários variantes no tempo é apresentada, empregando a

teoria de observação e possibilitando a criação de um algoritmo de projeto de um

�ltro, popularmente conhecido como Filtro de Kalman [33]. Segundo LEWIS [24] o

Filtro de Kalman possui três pontos importantes: o fato de as estimativas estarem no

domínio do tempo e serem endereçadas a sistemas cuja variação possa ser tanto linear

quanto não-linear; a solução de problemas utiliza recursos de matrizes e álgebra

linear, e, com isso, sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO)

podem ser abordados facilmente; a utilização da variável de estado, que descreve

a dinâmica interna do sistema, passa a ser considerada, possibilitando que a lei de

controle não �que restrita somente à avaliação de entradas e saídas.

Em prosseguimento a esses trabalhos, KALMAN e BUCY [34] desenvolveram

o Filtro de Kalman contínuo, em 1961, e, dois anos depois, o controle LQG. Esta

técnica, proporciona que através da solução da equação de Riccati, é possível chegar

aos ganhos ótimos do regulador e através do Filtro de Kalman-Bucy é feita a ob-

servação. A viabilidade do emprego desses métodos foi dada em função da evolução

dos computadores, que permitiram processos de cálculo de ganho em tempo real [7].

Nessa época, o aumento da capacidade computacional proporcionou o desenvolvi-

mento de novas e importantes tecnologias, dentre elas o controle adaptativo, lógica

fuzzy 1, redes neurais, controle robusto e controle ótimo.

Na União Soviética, ao �nal da década de 70, UTKIN [35] desenvolve uma meto-

dologia de controle por modo deslizante, através de uma técnica robusta que utiliza

funções de Lyapunov para tratar as incertezas do modelo. A lei de controle age de

forma a forçar que as trajetórias do sistema deslizem para a superfície no espaço

de estados desejados e ali permaneçam inde�nidamente, dentro de um intervalo de

1Também denominada por lógica nebulosa

10

tempo determinado, conforme apresentado por KHALIL [36].

De acordo com M. R. KATEBI e ZHANG [9], no início da década de 80, foi

introduzida por ZAMES [37] e [38], a técnica de H∞, encontrando várias aplicações

para sistemas de controle aeroespaciais e de máquinas. A técnica é especialmente

útil para sistemas onde há variação signi�cativa do modelo nominal sobre o regime

de operação e há necessidade de minimização de distúrbios externos, como o de

posicionamento dinâmico. As publicações de DOYLE e STEIN, respectivamente

[39] e [40], de técnicas de controle H∞ proporcionaram um algoritmo e�ciente, que

foi implementado posteriormente em programas de plataforma como o Matlab. A

técnica engloba um step forward em controle avançado, o qual é tão importante

quanto a introdução do �ltro de Kalman em esquemas de controle ótimo. A técnica

de Controle Robusto H∞ foi desenvolvida para sistemas incertos e o seu principal

objetivo é prover uma solução que seja mais robusta em relação às obtidas com

métodos LQG/�ltro de Kalman ou outras técnicas de controle clássico. O principal

problema com técnicas LQG/ Kalman é que não há métodos formais para modelar

os erros da planta. Já a técnica de H∞ proporciona uma modelagem dos erros, e

essa informação é considerada de uma maneira direta na síntese de controladores. O

controlador calculado é então prevenido sobre as faixas de freqüência onde os erros

modelados provavelmente serão maiores.

Mais ao �nal desta década, o surgimento da técnica de backstepping, também

desenvolvida a partir das contribuições de Lyapunov, representou um importante

método para projetos de sistemas não-lineares. A razão pelo nome backstepping é

devida à recursividade da técnica, pois no estágio inicial, considera-se apenas um

subsistema para o qual é construída uma lei de controle virtual. Posteriormente,

o projeto é estendido, em diversos passos, até que uma lei de controle venha a ser

estruturada para todo o sistema. A técnica de backstepping recebeu grande reco-

nhecimento graças à publicação de KOKOTOVIC [41]. Diversos outros trabalhos

ajudaram a desenvolver esta técnica, destacando-se os trabalhos de KODISTSCHEK

[42], SONNTAG e SUSSMANN [43], TSINIAS [44] e BYRNES e ISISDORI [45].

Mais adiante em 1992, é publicado um pacote matemático provando a e�cácia

da técnica em sistemas não-lineares por I. KANELLAKOPOULOS e MORSE [46].

Especi�camente referente à técnica utilizada neste trabalho, destacam-se as pu-

blicações de M. R. Katebi e Zhang [9], em 1997, e de Tannuri e Donha [47], em

2000. Esses artigos analisam o problema de posicionamento dinâmico de um FPSO

ancorado. Em 2002, com as publicações de Donha e Katebi [49], aplicou-se a técnica

de H∞ a um controlador calibrado por um algoritmo genérico. P. Pellanda e Tuan

[48] abordaram o problema de controle automático de um míssil e Simões [50], em

2004, estendeu o mesmo problema ao caso não-linear. Posteriormente, em 2005,

Santos [51] abordou os problemas de controle H2/H∞ comparando técnicas de LMI

11

e conceitos de otimização.

12

Capítulo 3

Motivação: Controle em Um Grau

de Liberdade de uma Embarcação

Este capítulo tem a �nalidade de apresentar a motivação principal para a escolha

do tema pesquisado nesta dissertação de Mestrado. A explicação da teoria aplicada

em cada seção apresentada a seguir, será detalhada nos capítulos 4 e 6.

3.1 Análise Não-linear

O problema de controle da posição e aproamento de uma embarcação nos três

graus de liberdade X, Y e ψ é modelado através de equações não-lineares. O pri-

meiro ponto que motivou esta pesquisa, foi o estudo do problema citado levando-se

em consideração um grau de liberdade somente, sendo representado pelas equações

diferenciais abaixo:

x = u (3.1)

e

mu = f(u) + τ, (3.2)

em que m representa a massa da embarcação e τ a força desempenhada pelo pro-

pulsor.

Assume-se que todas as forças atuantes na embarcação são representadas pela

função não-linear f(u), dada por:

f(u) = −au|u|, (3.3)

em que a é uma constante.

Neste caso, duas variáveis de estado podem ser de�nidas:

13

x1 = x (3.4)

x2 = x = u.

Utilizando-se a representação de sistemas em espaço de estados, as equações 3.1

e 3.2 podem ser descritas pelas seguintes equações matriciais:[x1

x2

]=

[0 1

0 0

][x1

x2

]+

[0 0

1/m 1/m

][f(u)

τ

](3.5)

e [y1

]=

[1 0

] [ x1

x2

]+[0 0

] [ f(u)

τ

]. (3.6)

Nas equações 3.5 e 3.6, a matriz A é representada por:

A =

[0 1

0 0

], (3.7)

a matriz B por

B =

[0 0

1/m 1/m

], (3.8)

a matriz C por

C =[1 0

], (3.9)

e a matriz D por

D =[0 0

]. (3.10)

De posse destas quatro matrizes, é possível construir a planta original do sistema,

representada matricialmente por P:

P =

[A B

C D

]. (3.11)

3.2 Geração do Controlador Robusto

Uma vez estruturada a planta P , inicia-se o processo de síntese do controlador

robusto. Nesta etapa, é necessário que a planta original seja particionada, de forma a

explicitar os sinais que deverão ser rejeitados e os critérios de desempenho desejados.

No presente caso, onde somente um grau de liberdade é estudado, os componentes

da planta particionada Pk são apresentados nos parágrafos subsequentes.

As entradas não controladas e controladas, representadas respectivamente pelas

matrizes B1 e B2 são mostradas a seguir

14

B1 = B2 =[0 1/m

]T. (3.12)

O primeiro membro das matrizes B1 e B2 é igual a zero, pois x1 e x2 não sofrem

atuação da lei de controle. Já o segundo elemento de cada matriz, sofre ação da

força τ , multiplicado por 1/m.

Sabendo-se que C1 e C2 são, respectivamente, a matriz de saída não controlada

e a matriz de saída controlada e, considerando que o controlador irá atuar sobre

a posição da embarcação x (que é a primeira variável de estado) e não sobre sua

velocidade u (que é a segunda variável de estado), tem-se para o caso simulado que:

C1 =[0 1

], (3.13)

e

C2 =[1 0

]. (3.14)

Com relação às saídas não controladas, as matrizes de perturbações D11 e das

atuações diretas D12 são iguais a zero, representadas por:

D11 = D12 =[0]. (3.15)

Com relação às saídas controladas, as matrizes de perturbações D21 e das atua-

ções diretas D22 também são iguais a zero, representadas por:

D21 = D22 =[0]. (3.16)

Conhecendo estas matrizes, é possível de�nir a planta particionada Pk, que me-

lhor representa o sistema, como sendo:

Pk =

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

. (3.17)

3.3 Função de Cálculo das Forças Atuantes

Para efetuar o cálculo das forças atuantes na embarcação, foi criada uma função

em MATLAB. Os argumentos recebidos por esta função são o tempo t e a velocidade

u, os quais são introduzidos no cálculo da equação não-linear mostrada em 3.3. A

cada iteração ocorrida na simulação, o Simulink recebe um vetor correspondente ao

valor das forças atuantes.

15

3.4 Diagrama de Blocos para Simulação

O diagrama de blocos mostrado na �gura 3.1 foi estruturado no Simulink para

simular o comportamento da embarcação ao longo do tempo, através de integra-

ção no tempo (utilizando o método de Runge-Kutta de segunda/terceira ordem,

representado pela rotina ode23.

Figura 3.1: Diagrama de Blocos - Caso Não-linear

3.5 Análise dos Resultados Obtidos

Baseado no diagrama de blocos 3.1 e na função de cálculo das forças atuan-

tes descrita no item 3.3, foram realizadas duas simulações do comportamento da

embarcação e os resultados obtidos foram analisados.

Caso 1

No primeiro caso escolhido, de�niu-se como posição desejada (setpoint) x = 15m.

O tempo total de simulação foi estabelecido em 300 segundos, e pelo grá�co 3.2

mostrado abaixo, o controlador gerado conseguiu manter a posição desejada em um

tempo próximo a 200 segundos.

Caso 2

No segundo caso analisado, arbitrou-se x = −0.75m como posição desejada. A

exemplo do ocorrido no Caso 1, o controlador robusto obteve sucesso, como obser-

vado pelo grá�co 3.3. A trajetória mostrada indica que convergência ocorreu em

cerca de 250 segundos.

16

0 50 100 150 200 250 300−10

0

10

20

30

40

50

60

70

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Figura 3.2: Movimento da Embarcação no plano horizontal - Setpoint x = 15 m

0 50 100 150 200 250 300−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Figura 3.3: Movimento da Embarcação no plano horizontal - Setpoint x = −0.75 m

3.6 Conclusão

A análise dos casos simulados e a constatação da convergência dos resultados,

motivaram a pesquisa de um software de simulação mais elaborado, estruturado de

forma a analisar o comportamento de uma embarcação para três graus de liberdade.

Neste capítulo, optou-se pela utilização de uma planta linearizada para tornar o

entendimento do problema mais simples. Entretanto, no capítulo 6, uma modela-

gem não-linear da embarcação é considerada, uma vez que a literatura a�rma que

aplicações satisfatórias de técnicas de controle robusto são veri�cadas tanto para

sistemas não-lineares quanto para sistemas lineares.

17

Capítulo 4

Fundamentos Teóricos de Engenharia

de Controle

Neste capítulo são apresentados conceitos fundamentais para o entendimento

das técnicas de controle aplicadas nesta dissertação. Todas as provas de teoremas

e corolários aqui apresentados podem ser encontrados em [52], exceto para a seção

4.1.1, proveniente de [53].

4.1 Conceitos Básicos e Ferramentas

A presente seção tem o intuito de introduzir algumas premissas e propriedades

básicas de sistemas de controle, bem como a apresentação de ferramentas utilizadas

na construção do controlador robusto H∞.

4.1.1 Representação de Sistemas LTI

Pode-se representar um sistema dinâmico composto por um número �nito de

elementos através de equações diferenciais ordinárias, nas quais o tempo é a variável

independente. Utilizando a forma matricial, uma equação diferencial de ordem n

pode ser representada por uma equação matricial diferencial de primeira ordem.

Se n elementos do vetor são um conjunto de variáveis de estado, então a equação

matricial diferencial é denominada equação de estado.

Seja o sistema de ordem n representado por um somatório de K parcelas por∑Kk=1:

y(n) + a1y(n−1) + . . .+ an−1y + any = u. (4.1)

Conhecendo os valores de y(0), y(0), . . . , y(n−1)(0) 1, e de�nindo-se a entrada

1Foi suprimida a dependência do tempo para facilitar a notação, sendo y(t) = y, x(t) = x e

18

u(t) para t ≥ 0, é possível determinar o comportamento futuro do sistema e, assim,

considerar y(t), y(t), ...., yn−1(t) como um conjunto de n variáveis de estado.

De�ne-se: x1 := y, x2 := y, . . . , xn := yn−1

Então a equação 4.1 pode ser escrita como x1 = x2, x2 = x3, . . . , xn−1 = xn,

xn = −anx1 − . . .− a1xn + u, ou, na forma conhecida como equação de estado:

x = Ax+Bu (4.2)

em que

x =[x1 x2 . . . xn

]T∈ Rn, (4.3)

A =

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −a1

, (4.4)

e

B =[0 0 . . . 0 1

]T. (4.5)

E a equação de saída é de�nida como:

y =[1 0 . . . 0

] [x1 x2 . . . xn

]T, (4.6)

ou y = Cx, em que

C =[1 0 . . . 0

]. (4.7)

Considerando uma matriz A ∈ Rn×n e a equação característica |λI−A| = 0, os

autovalores de A são as raízes desta equação [52].

4.1.2 Estabilidade

Dentre todas as propriedades requeridas para um sistema, a mais importante é

a estabilidade. Após conhecer seus autovalores, é possível descobrir se um sistema

é estável ou não.

De�nição 4.1. Um sistema dinâmico x = Ax é estável se todos os autovalores de A

estão localizados no semi-plano à esquerda do eixo imaginário, ou seja, Re(λ) < 0.

Uma matriz com tal propriedade é estável ou Hurwitz.

u(t) = u

19

Ciente da importância desta propriedade, foi realizada uma veri�cação da es-

tabilidade do sistema estudado nesta dissertação, antes da síntese do controlador

robusto.

4.1.3 Controlabilidade e Observabilidade

Outras duas características requeridas em análise de sistemas são controlabili-

dade e observabilidade. A primeira veri�ca a possibilidade ou não de um estado ser

controlado pela entrada, e a segunda, se o estado inicial do sistema pode ou não ser

observado pela saída.

Estes dois aspectos também foram observados antes da construção do controla-

dor.

De�nição 4.2. : O sistema dinâmico descrito pela equação x = Ax + Bu, x(t =

t0) = x0 ou o par (A,B), é dito controlável se, para qualquer estado inicial x(0) = x0,

t1 > 0 e estado �nal x1, existe uma entrada u(t) tal que a solução da equação acima

satisfaz x(t1) = x1. Caso contrário, o sistema ou o par (A,B) é dito não-controlável.

A controlabilidade do sistema pode ser veri�cada através de critérios algébricos.

Teorema 4.1. : As seguintes a�rmações são equivalentes:

(i) (A,B) é controlável.

(ii) A matriz

Wc :=

∫ t

0

eAτBB∗eA∗τdτ (4.8)

é positiva de�nida para qualquer t > 0 2.

(iii) A matriz controlabilidade C =[B AB A2B . . . An−1B

]tem posto

completo de linhas 3.

(iv) A matriz [A− λI,B] tem posto completo de linhas para todo λ ∈ C.(v) Seja λ e x qualquer par correspondente de autovalor e autovetor de A, isto

é, x∗A = x∗λ, então x∗B = 0.

(vi) Os autovalores de A + BF podem ser designados (com a restrição de que

os autovalores complexos são pares conjugados) através de escolha adequada de uma

matriz F.

De�nição 4.3. O sistema dinâmico descrito pela equação x = Ax+Bu, x(t0) = x0

y = Cx +Du, ou o par (C,A), é dito observável se, para qualquer t > 0 o estado

inicial x(0) = x0 pode ser determinado pelo comportamento da entrada u(t) e da

saída y(t) ao longo do tempo, no intervalo de [0, t]. Caso contrário, o sistema ou o

par (C,A) é dito não-observável. A observabilidade do sistema pode ser veri�cada

através de critérios algébricos.

2No cálculo da matriz Wc, cada termo das matrizes A e B são integrados individualmente3Número de linhas linearmente independentes igual ao número de linhas da matriz

20

Teorema 4.2. : As seguintes a�rmações são equivalentes:

(i) (C,A) é observável.

(ii) A matriz

Wo :=

∫ t

0

eAτC∗CeA∗τdτ (4.9)

é positiva de�nida para qualquer t > 0 4.

(iii) A matriz observabilidade O =

C

CA

CA2

...

CAn−1

tem posto completo de colunas5.

(iv) A matriz

[A− Iλ

C

]tem posto completo de coluna para todo λ ∈ C.

(v) Seja λ e y qualquer par correspondente de autovalor e autovetor de A, isto

é Ay = λ(y), então Cy = 0.

(vi) Os autovalores de A + LC podem ser designados (com a restrição de que

os autovalores complexos são pares conjugados) através de escolha adequada de uma

matriz L.

(vii) (AT ,CT ) é controlável.

4.1.4 Equações de Lyapunov

Analisar a estabilidade, a controlabilidade e a observabilidade de um sistema

é muito importante na análise de sistemas lineares. Todavia, estes pontos devem

ser avaliados indiretamente, utilizando a teoria de Lyapunov. Considere a seguinte

equação de Lyapunov:

A∗X+XA+Q = 0, (4.10)

onde A e Q são matrizes reais conhecidas. A solução desta equação é apresentada

no capítulo 2 de [52].

Considere agora, o seguinte lema.

Lema 4.1. Assumindo que A é estável, então as seguintes a�rmações são verdadei-

ras.

(i) X =∫eA

∗tQeAtdt

(ii) X > 0, se Q > 0 e X ≥ 0, se Q ≥ 0.

(iii) Se Q ≥ 0, então (Q,A) é observável se X > 0

4No cálculo da matriz Wo, cada termo das matrizes A e C são integrados individualmente5Número de colunas linearmente independentes igual ao número de colunas da matriz

21

Como consequência ao tópico (iii), dada a matriz estável A, o par (C,A) é

observável se e somente se existe solução positiva de�nida da seguinte equação de

Lyapunov:

A∗Lo + LoA+C∗C = 0. (4.11)

A solução Lo é chamado de Gramiano de observabilidade. De forma análoga, o

par (A,B) é controlável se e somente se, existe solução positiva de�nida para

ALc + LcA∗ +BB∗ = 0. (4.12)

Em que Lc é chamado de Gramiano de controlabilidade.

Lema 4.2. Supondo que X é a solução para a equação de Lyapunov 4.10, então

(i) Reλi(A) ≤ 0 se X > 0 e Q ≥ 0

(ii) A é estável se X > 0 e Q > 0.

(iii) A é estável se X ≥ 0, Q ≥ 0 e (Q,A) é tal que um sistema com matriz

dinâmica dada por A+ LQ é estável para algum valor de L.

4.1.5 Transformação de Similaridade

Uma ferramenta algébrica com aplicação bastante útil em engenharia de controle

é a transformação de similaridade. Considerando-se que um sistema dinâmico pode

ser descrito por muitos sistemas de coordenadas, é através dessa transformação que

passa a ser possível uma análise e uma síntese mais simples do sistema.

Um exemplo de sua aplicação é um pêndulo simples, cujo movimento pode ser

determinado através do ângulo da corda presa ao pêndulo ou em termos de desloca-

mento vertical do pêndulo. Contudo, na maioria dos casos, o deslocamento angular

é uma descrição mais natural do que o deslocamento vertical, apesar do fato de que

ambos descrevem o mesmo sistema dinâmico. Em geral, seja T ∈ Rn×n uma matriz

não-singular que de�ne a combinação linear x = Tx.

Em função deste novo vetor de estado, as equações do sistema dinâmico original

x = Ax+Bu, x(t0) = x0 e y = Cx+Du podem ser rede�nidas como:

˙x = TAT−1x+TBu (4.13)

y = CT−1x+Du.

As equações 4.13 representam o mesmo sistema dinâmico do ponto de vista da

entrada e da saída do sistema, para qualquer matriz T não-singular e, portanto,

essas representações podem ser consideradas como equivalentes. Uma observação

22

importante é que a função de transferência não se altera mesmo após a transformação

de coordenadas, ou seja:

G(s) = C(sI−A)−1B+D = CT−1(sI−TAT−1)−1TB+D, (4.14)

e na forma matricial[A B

C D

]6 7−→

[A B

C D

]=

[TAT−1 TB

CT−1 D

]. (4.15)

Mesmo utilizando-se a transformação de similaridade, propriedades como con-

trolabilidade e observabilidade são invariantes. Com isso, as matrizes de controlabi-

lidade e observabilidade podem ser relacionadas por

C = TC, (4.16)

e

O = OT−1. (4.17)

4.1.6 Cálculo das Normas L∞ e H∞

Antes de conhecermos o método de cálculo de suas normas, é necessário primei-

ramente, que as de�nições algébricas de L∞ e H∞ sejam compreendidas.

Denota-se por L∞, o espaço de Banach das matrizes cujos elementos são funções

essencialmentes delimitadas 7 sobre o eixo imaginário. Por H+∞(H−

∞) o subespaço

de matrizes em L∞, analíticas e limitadas em 2o+(2

o−) [51].

Seja G(s) uma função de transferência tal que G(s) ∈ L∞. Assim, de�ne-se a

norma L∞ de G(s) como:

∥G∥∞ := supωσG(jω). (4.18)

Em engenharia de controle, existem duas interpretações mais usuais. A primeira

delas a de�ne como a distância no plano complexo da origem para o ponto mais

distante no grá�co de Nyquist de G(s). A segunda, a relaciona com o valor de pico

no grá�co de Bode de ∥G(jω)∥. Portanto, o∞ de uma função de transferência pode,

a princípio, ser obtido gra�camente. Para obter-se uma estimativa, estabelece-se

uma malha �na de pontos de frequência ω1, ..., ωN .

Então, uma estimativa para ∥G∥∞ é max1≤k≤N σG(jωk).

6Escrita abreviada para a realização de espaço de estados C(sI−A)−1B+D7Funções que possuem a propriedade de que ∃c|x : |f(x)| > c tem medida nula. Por exemplo,

se f(x) = 1x para um x ∈ Q e f(x) = sinx ∀x ∈ R, então f(x) é essencialmente limitada.

23

Este valor é normalmente obtido diretamente de um grá�co de Bode de valor

singular.

Lema 4.3. Seja γ > 0 e G(s) =

[A B

C D

]∈ RL∞.

Então ∥G∥∞ < γ, se e somente se σ(D) < γ e H não tem autovalores no eixo

imaginário, em que

H :=

[A+BR−1D∗C BR−1B∗

−C∗(I+DR−1D∗)C −(A+BR−1D∗C)∗

], (4.19)

e

R = γ2I−D∗D. (4.20)

De posse destas de�nições, conclui-se que para um problema prático de con-

trole robusto H∞, deve-se arbitrar o valor da norma γ para que seja realizada a

minimização dos distúrbios incidentes na planta.

4.2 Controle Robusto em RH∞

A presente seção se propõe a apresentar um problema genérico de controle ro-

busto RH∞ a ser solucionado e a síntese do controlador que estabiliza a planta. As

técnicas descritas nas seções subsequentes são utilizadas nas simulações mostradas

no capítulo 6.

4.2.1 Formulação do Problema

No item 4.1.6, foi visto que a norma H∞, é o valor de pico (pior caso) na resposta

em frequência no diagrama de valores singulares, portanto, pode-se concluir que

a sua minimização implica em atenuar a relação entrada-saída, isto é, o efeito da

entrada de distúrbio na saída controlada. [54]. Logo, a construção de um controlador

robusto H∞ pode ser interpretado como sendo o controlador que "achata"a resposta

em frequência em malha fechada, minimizando a relação de pior caso entrada-saída

(distúrbio-saída controlada).

Considere o sistema descrito pelo diagrama de blocos apresentado na �gura 4.1,

em que a planta G(s) e o controlador K(s) são reais racionais e próprios.

É assumido que os modelos de espaço de estado de G(s) e K(s) estão disponíveis

em suas realizações são estabilizáveis e detectáveis. Lembrando, também, que um

controlador é dito ser admissível se ele estabiliza internamente o sistema. Clara-

mente, a estabilidade é o requisito mais básico para um sistema prático funcionar.

Portanto, qualquer controlador sensível precisa ser admissível.

24

Figura 4.1: Diagrama de Blocos.

Logo, conclui-se que o objetivo principal é encontrar todos os controladores ad-

missíveis K(s) tal que ∥Tzω∥∞ é minimizado, utilizando controle robusto H∞.

Entretanto, antes do processo de síntese de um controlador estabilizante, é pre-

ciso que a planta P seja particionada, de forma a explicitar os sinais que deverão

ser rejeitados e os critérios de desempenho desejados.

Considerando o diagrama de blocos mostrado na �gura 4.1, pode-se estruturar

a realização de estados dada por:

x = Ax+B1ω +B2u (4.21)

z = C1x+D11ω +D12u

y = C2x+D21ω +D22u.

Desta forma, tem-se que a planta particionada Pk é dada por:

Pk =

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

. (4.22)

A escolha das matrizes que constituem a planta particionada varia de acordo

com planta original estudada. Nesta dissertação, os critérios utilizados serão apre-

sentados no próximo capítulo.

4.2.2 Síntese de Controladores Estabilizantes

A parametrização de todos os controladores estabilizantes foi introduzida pri-

meiramente por D. C. YOULA e BONGIORNO[55]; onde utiliza-se a técnica de

fatoração coprima 8. Entretanto, existem diversas opções para se obter um contro-

lador que estabilize a planta, dentre elas, Riccati e LMI.

8Técnicas de parametrização de Youla e fatoração coprima estão detalhadas em [52]

25

O método escolhido para síntese do controlador utilizado nesta dissertação foi o

método de Riccati mostrado em [54].

A con�guração básica de sistemas realimentados é mostrada na �gura 4.1, onde

G(s) é a planta geral com dois vetores de entradas: as entradas exógenas w(t), que

incluem os distúrbios e comandos, e as entradas de controle u(t). A planta G(s)

também possui dois conjuntos de saídas: as saídas medidas (ou saídas de sensores)

e as saídas reguladas z. O controlador a ser desenvolvido é representado por K(s).

O problema de controle consiste em analisar algumas propriedades especí�cas

como estabilidade ou desempenho da malha-fechada e projetar um controle de re-

alimentação K(s) tal que o o sistema de malha fechada seja estável em alguma

condição apropriada e o erro de sinal z seja especi�cado, ou seja, satisfazendo uma

condição de performance.

Sejam as equações mostradas em 4.21. As seguintes hipóteses são feitas:

(i) (A,B1) é estabilizável e (A,C2) é detectável.

(ii) D11 é injetiva e D21 é sobrejetiva.

(iii)

[A− jωI B1

C1 D11

]é injetiva, ∀ω ∈ R.

(iv)

[A− jωI B2

C2 D22

]é sobrejetiva, ∀ω ∈ R.

Teorema 4.3. : ∃K(s) ∈ K(s)|Tzω é internamente estável ∥Tzω∥∞ < γ se e somente

se todas as condições a seguir são satisfeitas:

(i) ∃P = PT ≽ 0 satisfazendo a Riccati tal que:

ATpP+PAp −P(B1R

−1BT1 − γ2B2B

T2 )P+CT

1ΦC1 = 0. (4.23)

Em que

Ap := A−B1R−1DT

11C1, (4.24)

R := DT11D11, (4.25)

e

Φ := I−D11R−1DT

11. (4.26)

Com isso, de�ne-se uma matriz Ac tal que:

Ac := Ap −B1R−1BT

1P+ γ−2B2BT2P (4.27)

é estável.

26

(ii) ∃Q = QT ≽ 0 satisfazendo a Riccati tal que:

AsQ+QATs −Q(CT

2 S−1C2 − γ2CT

1C1)Q+B2ΨBT2 = 0. (4.28)

Em que

As := A−B2DT21S

−1C2, (4.29)

S := D21DT21, (4.30)

e

Ψ := I−DT21S

−1D21. (4.31)

Com isso, de�ne-se uma matriz Af tal que:

Af := As −QC2S−1 + γ−2QCT

1C1 (4.32)

é estável.

(iii) λmax(PQ) < γ−2.

Caso estas três condições sejam satisfeitas, o controlador gerado é descrito por

K(s) = C(sI − A)−1B, sendo:

A := Ac + Z∞L∞(C2 − γ−2D21B2P), (4.33)

B := −Z∞L∞, (4.34)

C := −R−1(BT1P−D11C1), (4.35)

Z∞ := (I− γ−2QP)−1, (4.36)

e

L∞ := −(QCT2 −BT

2DT21)S

−1. (4.37)

Como comentário, vale destacar que a condição (iii) garante que Z∞ é inversível.

De posse das matrizes A, B e C, o controlador que estabiliza a planta é repre-

sentado por:

27

K(s) =

[A B

C 0

]. (4.38)

4.2.3 Rejeição de Distúrbios - Controle Integral

Outro conceito importante inserido no sistema de controle estudado é o de rejei-

ção de distúrbios constantes, associado ao controle integral. Essa técnica é melhor

detalhada em [52].

Seja o sistema realimentado representado pela �gura 4.2.

Figura 4.2: Problema Simples de Rejeição de Distúrbios.

O diagrama de blocos apresenta dois �ltros Wu e Wd ∈ RH∞. Deve-se assumir

que o conteúdo da frequência dos distúrbios ω são efetivamente modelados pelos

pesosWd e as restrições no sinal de controle são limitadas por uma escolha adequada

de Wu. A escolha desses �ltros deverá levar em consideração as frequências de

interesse, minimizando desta forma, os efeitos causados pelas entradas exógenas à

planta.

Para se explicar o uso de controle integral, foi utilizado um sistema de controle

genérico, retirado das notas de aula de [54].

Considere o diagrama de blocos representado pela �gura 4.3, em que f(ζ) = 1s

em regime de tempo contínuo e cuja modelagem pode ser escrita por:

Figura 4.3: Diagrama de Blocos Genérico para Controle Integral.

δ[(x(t)] = Ax(t) +Bu(t) +Bω(t) (4.39)

28

y(t) = Cx(t).

O primeiro objetivo é fazer com que a saída y(t) siga o sinal de referência r(t),

isto é, y(t) → r(t) ≡ 1, ∀t > t0. O segundo é rejeitar o sinal ω, cuja magnitude pode

ser ou não conhecida. A solução para este caso é integrar o erro.

Da �gura 4.3, tem-se que e(t) = y(t)− r(t), e portanto e(t) = xI = Cx(t)− r(t)

a tempo contínuo. De�nindo-se:

η(t) =[xI x(t)

]T, (4.40)

é possível obter o modelo da planta modelada:

δ[η(t)] = Aζη +

[0

B

]u(t) +

[0

B

]ω(t)−

[1

0

]r(t) (4.41)

y(t) =[C 0

]η(t),

onde para ζ apropriado:

Asη(t) =

[0 C

0 A

]. (4.42)

z1 = We(s)(I+P(s)K(s))−1Wd(s)ω (4.43)

Uma vez rede�nida o modelo da planta, é possível a de�nir a lei de controle por:

u(t) = −KIxI(t) +K(xr(t)− x(t)) (4.44)

= −KIxI(t)−Kx(t) +KNxr(t)

= −[KI K

]η(t) +KNxr(t).

E Nx é calculado na forma:[Nx

•

]=

[A− I B

Cr 0

][0

I

], (4.45)

onde Cr é qualquer matriz tal que yr(t) = Crx(t) = r(t) em regime permanente.

29

Capítulo 5

Modelagem Matemática

Para analisar um sistema de posicionamento dinâmico, é necessário primeira-

mente, conhecer o comportamento da dinâmica de uma embarcação e seus movi-

mentos sob a ação de forças ambientais, como vento, correnteza e ondas. Neste

capítulo é mostrada a modelagem da embarcação considerada neste estudo. Os

conceitos teóricos aqui apresentados, são provenientes de [56] e [57].

5.1 Dinâmica do Navio

As equações de movimento de um navio em manobra sujeito à ação das forças

de correnteza, são formuladas a partir do clássico modelo de manobras, o qual inclui

as ações do leme, propulsor e demais agentes ambientais (ondas e vento).

A segunda lei de Newton rege o movimento de uma embarcação. Basicamente,

massa multiplicada pela aceleração é igual ao somatório das forças externas, ou seja:

ma =∑

Fext. (5.1)

A equação 5.1 é válida para um sistema inercial com aceleração referida a um

ponto localizado no centro de gravidade de um corpo. Em se tratando de uma

embarcação, torna-se mais conveniente aplicá-la a um outro sistema de coordenadas,

solidário ao navio. A extensão da segunda lei de Newton para momentos é utilizada

para a descrição dos movimentos angulares, ou seja, analogamente a 5.1 temos:

Ir =∑

Next, (5.2)

em que I é o momento de inércia da embarcação, r é a velocidade angular e∑Next

é o somatório dos momentos externos. Escritas em relação a um sistema solidário

os termos inerciais apresentam acoplamentos e não linearidades [58].

30

5.2 Equações de Movimento no Plano Horizontal

Para representar as equações de movimento restritas somente aos movimentos

de surge, sway e yaw, utilizam-se dois sistemas de coordenadas, o sistema inercial

OXY Z e o sistema solidário oxyz. O sistema de coordenadas solidário ao navio

possui sua origem localizada no plano de linha d'água com eixo oz voltado para

baixo. De�ne-se ψ como ângulo de aproamento ou yaw o ângulo formado entre os

eixosOX e ox. De�ne-se β como o ângulo de deriva, formado entre o vetor velocidade

e o eixo ox solidário ao navio. A �gura 5.1 ilustra os sistemas mencionados.

Figura 5.1: Sistema de Coordenadas Utilizado

Sabendo-se que a embarcação possui simetria, as equações de movimento podem

ser escritas como:

Equação de movimento na direção ox:

mu−mvr −mxGr2 = XHull +XV ento +XLeme +XProp. (5.3)

Equação de movimento na direção oy:

mv −mur −mxGr = YHull + YV ento + YLeme + YProp. (5.4)

Equação do movimento de giro:

Ir +mxGv +mxGur = NHull +NV ento +NLeme +NProp, (5.5)

em que a ação do leme e do sistema propulsivo podem ser representadas vetorial-

mente pelo vetor τ :

31

XLeme +XProp

YLeme + YProp

NLeme +NProp

=

τu

τv

τN

. (5.6)

5.3 Forças de Manobras

Em operações de pipelaying e o�oading que requerem baixas velocidades im-

postas pela embarcação, as forças XHull, YHull e NHull precisam ser modeladas por

expressões não lineares. As forças hidrodinâmicas são representadas através de equa-

ções polinomiais em função das velocidades e acelerações referentes ao sistema so-

lidário do corpo. Os coe�cientes destas equações polinomiais são denominados de

derivadas hidrodinâmicas, uma vez que o problema foi inicialmente abordado através

de séries de Taylor.

As forças longitudinal e transversal e o momento atuante sobre a embarcação

apresentadas a seguir utilizam a notação de manobras em sua forma adimensional

adotada em [59].

5.3.1 Força Longitudinal

Para o tipo de embarcação estudada nesta dissertação, a força longitudinal atu-

ante na embarcação é dada por:

XHull = Xuu+ XHull, (5.7)

em que será utilizado Xu = 0.2, e XHull é um termo dependente das velocidades nas

direções x e y, e da velocidade de giro.

Ele representa a força longitudinal em função das velocidades relativas navio-

corrente.

5.3.2 Força Transversal

A força transversal atuante na embarcação estudada tem a forma:

YHull = Yvv + Yrr + YHull, (5.8)

em que Yv e Yr são as derivadas hidrodinâmicas do casco devidas às acelerações,

representadas na forma de coe�cientes adimensionais, de�nidas em [60], e YHull é

um termo dependente das velocidades u e v, e da velocidade de giro r.

32

5.3.3 Momento

O momento atuante nesta embarcação é dado por:

NHull = Nvv +Nrr + NHull, (5.9)

em que Nv e Nr, correspondem às derivadas hidrodinâmicas do casco representa-

das na forma de coe�cientes adimensionais, de�nidas em [60], e NHull é um termo

dependente das velocidades u e v, e da velocidade de giro r.

Unindo-se as equações 5.3, 5.4 e 5.5 com 5.7, 5.8 e 5.9, e ocultando-se os termos

dependentes das velocidades, obtém-se:

(m−Xu)u = mvr +mxGr2 + τu +XV ento + XHull, (5.10)

(m− Yv)v + (mxG − Yr)r = −mur + τv + YV ento + YHull, (5.11)

(I −Nr)r + (mxG −Nv)v = −mxGur + τN +NV ento + NHull. (5.12)

Com isso, o sistema pode ser representado matricialmente por:

(m−Xu) 0 0

0 (m− Yv) (mxG − Yr)

0 (mxG −Nv) (I −Nr)

u

v

r

=

mvr +mxGr2

−mur−mxGur

+

τu

τv

τN

(5.13)

+

XV ento

YV ento

NV ento

+

XHull

YHull

NHull

.Nesta representação, a formulação das forças de vento será descrita na seção 5.5.

5.4 Forma Adimensional

Para uma abordagem mais completa, é introduzida uma adimensionalização das

forças, velocidades e acelerações, conforme proposto em [57]. Desta forma, as se-

guintes equações são obtidas:

(m−Xu)

0.5ρL3

uL

U2=

m

0.5ρL3

v

U

rL

U+

m

0.5ρL3

xGL

r2L2

U2+

τu0.5ρU2L2

+XV ento

0.5ρU2L2+

XHull

0.5ρU2L2,

(5.14)

33

(m− Yv)

0.5ρL3

vL

U2+ (

m

0.5ρL3− xG

L− Yr

0.5ρU2L2)rL2

U2= − m

0.5ρU2L3

u

U

rL

U

τv0.5ρU2L2

+

(5.15)

+YV ento

0.5ρU2L2+

YHull0.5ρU2L2

,

(I

0.5ρL4− Nr

0.5ρL4)rL2

U2+(

m

0.5ρL2

xGL

− Nv

0.5ρU2L4)vL

U2= − m

0.5ρL3

xGL

u

U

rL

U+

τN0.5ρU2L3

+

(5.16)

+NV ento

0.5ρU2L3+

NHull

0.5ρU2L3.

Resumindo as equações 5.14, 5.15 e 5.16, utilizando a notação ′, tem-se:

(m′ −X

′

u)u′= m

′v

′r′+m

′x

′

Gr′2 + τ

′

u +X′

V ento + X′

Hull, (5.17)

(m′ − Y

′

v )v′+ (m

′x

′

G − Y′

r )r′= −m′

u′r′+ τ

′

v + Y′

V ento + Y′

Hull, (5.18)

(I′ −N

′

r)r′+ (m

′x

′

G −N′

v)v′= −m′

x′

Gu′r′+ τ

′

N +N′

V ento + N′

Hull. (5.19)

Os termos X′

Hull, Y′

Hull e N′

Hull podem ser escritos na forma polinomial em fun-

ção de u, v e r. Linearizando as equações 5.17, 5.18 e 5.19 em torno da origem,

considerando que a embarcação é simétrica obtemos:

(m′ −X

′u) 0 0

0 (m′ − Y

′v ) (m

′x

′G − Y

′r )

0 (m′x

′G −N

′v) (I

′ −N′r)

u

′

v′

r′

=

τ′u

τ′v

τ′N

(5.20)

+

X′V ento

Y′V ento

N′V ento

+

X′u 0 0

0 Y′v −m′

+ Y′r

0 N′v −m′

x′G +N

′r

u

′

v′

r′

.Em que a matriz de inércia M é representada por:

M =

(m′ −X

′u) 0 0

0 (m′ − Y

′v ) (m

′x

′G − Y

′r )

0 (m′x

′G −N

′v) (I

′ −N′r)

, (5.21)

34

e D é a matriz das reações hidrodinâmicas em função das velocidades.

D =

X′u 0 0

0 Y′v −m′

+ Y′r

0 N′v −m′

x′G +N

′r

. (5.22)

Nas equações apresentadas acima, m′e I

′correspondem à massa e à inércia da

embarcação; X′

Hull, Y′

Hull e N′

Hull correspondem às forças e momento hidrodinâmico

devido à velocidade relativa �uido-corpo atuantes no casco, considerando a corren-

teza e a velocidade do corpo. Essas forças, são comumente, chamadas de forças de

manobra u e v são as componentes das velocidades de surge e sway ; r é a razão

de giro ou velocidade de yaw (ou rate of turn) dada por dψdt

= r. As forças devi-

das à velocidade relativa ar-corpo são XV ento, YV ento e NV ento, considerando o vento

e a velocidade do corpo; XLeme, YLeme e NLeme são as forças devidas ao leme da

embarcação e XProp, YProp e NProp são as forças devidas a propulsão.

Adicionalmente, de�ne-se C como módulo da corrente incidente na embarcação

e α como seu ângulo de incidência; Ux e Uy como as velocidades absolutas, e Ux,rel e

Uy,rel como as velocidades relativas no sistema inercial; ua e va como as velocidades

absolutas e u e v como as velocidades relativas ao sistema solidário.

5.5 Forças Devidas à Ação do Vento

As forças nas direções longitudinal e transversal, e o momento devido à incidência

do vento sobre o volume emerso do navio são representados através de coe�cientes

adimensionais. Não havendo variação espacial na velocidade e direção do vento

incidente, as relações podem ser escritas como:

XV ento =ρar2CX(θ)AfrontalV

2r , (5.23)

YV ento =ρar2CY (θ)AlateralV

2r , (5.24)

NV ento =ρar2CN(θ)AlateralV

2r , (5.25)

em que CX , CY e CN representam os coe�cientes adimensionais de força e momento;

θ é o ângulo relativo de incidência entre navio e vento; Vr é a velocidade relativa

vento-corpo; ρar é a massa especí�ca do ar e Afrontal e Alateral são projeções das

áreas frontal e lateral da embarcação.

A velocidade relativa do vento possui as seguintes componentes:

35

uR = Vωcos(γ)− u, (5.26)

vR = Vωsin(γ)− v, (5.27)

em que Vω é a velocidade do vento e γ é o ângulo formado entre a direção de

propagação do vento e o ângulo de aproamento do navio, e Vr =√uR2 + v2R.

5.6 Forças Devidas à Ação de Ondas

O estado de mar é caracterizado pela função de densidade espectral Szz(ω) em

função da freqüência, sendo a altura signi�cativa do mar e o período médio (ou de

pico) os seus parâmetros.

A elevação da superfície livre em um ponto do mar pode ser representada pela

superposição de N harmônicos através da expressão:

z(t) =N∑n=1

zn(t) =N∑n=1

ζncos(ωnt+ θn), (5.28)

em que zn(t) = ζncos(ωnt + θn) são as ondas componentes do mar com amplitu-

des ζn(ωn) =√2Szz(ωn)δω, freqüências ωn e fases θn que são variáveis aleatórias

independentes, com distribuição uniforme no intervalo [0, 2π].

As forças devidas à ação das ondas podem ser divididas em forças de primeira

ordem e forças de segunda ordem. As de primeira ordem, correspondem ao clássico

problema de ship motion onde os movimentos são representados por:

x(k)(t) =N∑1

RAOk(ωn, ψ, α)√

2Szz(ωn)δωcos(ωnt+ θn + θkn), k = 1, 2, 3. (5.29)

Na equação 5.29, RAOk(ωn, ψ, α) corresponde às amplitudes das respostas de

surge, sway, e yaw, e θkn seus ângulos de fase para uma onda de amplitude unitária

com a freqüência ωn. O índice k = 1, 2, 3 indica os movimentos de surge, sway, e

yaw respectivamente e α é o ângulo de incidência das ondas.

As forças de segunda ordem, por sua vez, devem-se aos potenciais de onda in-

cidente, difração e radiação de segunda ordem; a potenciais de segunda ordem que

surgem da interação entre os potenciais de radiação incidente e difração de primeira

ordem, e a produtos de grandezas de primeira ordem. Como resultado, obtém-se

forças de segunda ordem, cujas freqüências de oscilação se dão nas freqüências soma

e freqüências diferença entre freqüências de todas as componentes de ondas que com-

36

põe o mar. Tais forças são de pequenas intensidades. Cabe ressaltar que devido aos

baixos períodos das forças de primeira ordem, não há sentido em se tentar operar os

atuadores de um sistema de posicionamento dinâmico para se compensar tais forças.

As forças de deriva devidas às freqüências diferença são mostradas na expressão

abaixo:

F(k)drift(t) =

N∑i=1

N∑j=1

ζiζjP(k)ij (ωi, ωj)cos[(ωi − ωj)t+ (ϵi − ϵj)]+ (5.30)

+N∑i=1

N∑j=1

ζiζjQ(k)ij (ωi, ωj)sin[(ωi − ωj)t+ (ϵi − ϵj)].

Conhecendo-se P (k)ij e Q(k)

ij , pode-se de�nir a função de transferência quadrática

das forças de segunda ordem:

T kij =

√P

(k)2ij +Q

(k)2ij . (5.31)

Isolando-se os termos correspondentes a i = j tem-se a seguinte expressão que é

independente do tempo:

F (k)mean = ζ21P11(k)(ω1) + ζ22P22(k)(ω2) + . . .+ ζ2NPNN(k)(ωN). (5.32)

Atribui-se à equação 5.32 o nome força de deriva média.

A força dependente do tempo, resultado da soma de todas as componentes em

que i = j na expressão 5.32, é denominada deforça de deriva lenta.

Os coe�cientes Q(k)ij das frequencias diferenças são pequenos e podem ser des-

considerados. Adicionalmente, montando uma matriz dos coe�cientes Pij, as com-

binações de frequencias diferenças muito baixas nos colocam próximos da diagonal

da matriz, casos estes, em que pode-se calcular a função de transferência quadrática

pela aproximação de Newman:

T(k)ij = P

(k)ij ≈ P (k)(

ωi + ωj2

,ωi + ωj

2). (5.33)

Existe uma matriz T kij para surge, sway e yaw, e uma força de deriva F (k)drift(t)

composta pelas derivas média e lenta.

Através de testes de decaimento em ondas e em águas tranquilas, Wichers ob-

servou que quando um corpo oscilava longitudinalmente em ondas sofria um amor-

tecimento maior que o amortecimento quando oscila em águas tranqüilas. A este

amortecimento adicional dá-se o nome de wave drift damping. A força adicional de

amortecimento pode ser escrita como:

37

F(1)wdd(t) = (

N∑i=1

ζ2iD(1)i )u, (5.34)

em que D(1)i corresponde ao wave drift damping para a freqüência ωi, cuja expressão

proposta por Aranha [56]:

D(1)i = −ω

g[4T (1)(ωi, ω(i)) + ω

dT (1)(ωi, ω(i))

dω], (5.35)

Assim, unindo-se as expressões 5.30 e 5.34, as forças de ondas de segunda ordem

são dadas por:

XWave = F(1)drift(t) + F

(1)wdd(t), (5.36)

YWave = F(2)drift(t), (5.37)

NWave = F(3)drift(t). (5.38)

5.7 Equações de Movimento

Em forma compacta, as equações de movimento podem ser escritas na seguinte

forma:

Mν +C(ν) +D(ν) = τ + FAmb (5.39)

e

η = R(ψ)ν, (5.40)

em que M representa a matriz de inércia:

M =

(m′ −X

′u) 0 0

0 (m′ − Y

′v ) (m

′x

′G − Y

′r )

0 (m′x

′G −N

′v) I

′ −N′r

. (5.41)

A matriz C representa o vetor dos termos não lineares de inércia:

C =

−(m′)v

′ar

′ −m′x

′Gr

′2

m′u

′ar

′

m′xGu

′ar

′

, (5.42)

38

D representa o vetor das reações hidrodinâmicas em função das velocidades:

D =

X′

Hull

Y′

Hull

N′

Hull

, (5.43)

e R é a matriz de rotação

R(ψ) =

cosψ − sinψ 0

sinψ cosψ 0

0 0 1

. (5.44)

O vetor das forças dos atuadores na equação 5.39 é repersentado por τ ; E o vetor ν

ν =[u v r

]T(5.45)

é o vetor de velocidades vistas do sistema solidário.

O vetor das forças ambientais é representado por FAmb, e temos a relação

ν =

Ux,rel

Vy,rel

r

=

Ux − Ucorrente

Vy − Vcorrente

r

.

(5.46)

Sendo Ucorrente = C cosα e Vcorrente = C sinα, em que C é o módulo da corrente e

α o seu ângulo de incidência com a embarcação.

Portanto, as velocidades absolutas vistas do sistema inercial são dadas por Uabs =dXdt, Yabs = dY

dte r é o mesmo visto do sistema solidário.

39

Capítulo 6

Estrutura da Simulação

Neste capítulo são apresentadas as etapas da elaboração do programa que tem

como objetivo estudar o comportamento de um navio equipado com sistema de

posicionamento dinâmico. As seções abaixo detalham aspectos como modelagem

das embarcações, estrutura do programa e apresentação dos resultados obtidos.

6.1 Introdução

O programa de simulação foi elaborado utilizando-se a plataforma MATLAB

versão 7.11.0.584 (R2010). São realizadas integrações no domínio do tempo, através

do método de Runge-Kutta de quarta/quinta ordem, inserido na rotina ode45 dentro

do Simulink.

A estrutura do software é constituída dos seguintes módulos de simulação:

(i) Função para cálculo das forças e momento devido à ação da vento, criada em

MATLAB.

(ii) Programa para síntese do controlador robusto H∞, criado em MATLAB.

(iii) Diagrama de blocos e interligação, criado em Simulink.

6.2 Modelagem das Embarcações

Foram considerados dois tipos de embarcações nesta dissertação: um supply

vessel e um VLCC (Very Large Crude Carrier). Ambos precisaram ser modelados

no programa de simulação para que fossem construídos controladores apropriados à

dinâmica de cada um deles.

As características mais importantes do supply vessel estudado estão apresentadas

na tabela 6.1:

Os coe�cientes hidrodinâmicos para esta embarcação foram extraídos de [61], e

são apresentados em sua forma adimensional conforme a tabela 6.2:

40

Tabela 6.1: Características Principais - Supply vessel

Comprimento entre perpendiculares (Lpp) 82.8 mBoca (B) 19.2 mCalado (T ) 6.0 m

Coe�ciente de bloco (cb) 0.75Massa (m) 6.3622 · 106 kg

Volume deslocado 6.2070 · 103 m3

Tabela 6.2: Coe�cientes Hidrodinâmicos - Supply vessel.

X′u −42e−5

Y′v −748e−5

N′v 4.646e−5

X′u −184e−5

Y′r −9.354e−5

N′r −43.8e−5

X′uu −110e−5

Y′v −1160e−5

N′v −264e−5

X′uuu −215e−5

Y′r −499e−5

N′r −166e−5

X′vv −899e−5

Y′vvv −8078e−5

N′vvv 1636e−5

X′rr 18e−5

Y′vvr 15356e−5

N′vvr −5483e−5

Y′vu −1160e−5

N′vu −264e−5

Y′ru −499e−5

N′ru −166e−5

X′rv 798e−5

41

A �gura 6.1 mostra uma foto do navio Normand Aurora construído pelo estaleiro

holandês IHC Merwede [62], muito simular ao estudado na simulação.

Figura 6.1: Supply vessel Normand Aurora dotado de Sistema de PosicionamentoDinâmico.

A outra embarcação cuja dinâmica foi modelada no programa - o VLCC, consi-

derou os coe�cientes de Rhee, Ann e Ryu, retirados de [57] e são apresentados na

tabela 6.3.

Tabela 6.3: Coe�cientes Hidrodinâmicos - VLCC

X′u −0.00058

Y′v −0.012572

Y′v −0.02441

N′v −0.0076648

Y′r 0.00868

N′r −0.0037736

X′vv −0.0021269

Y′vvv −0.09587

N′vvv 0.0047561

X′rr −0.0027696

Y′vvr 0.024019

N′vvr −0.021079

X′rv 0.04876

Algumas características deste navio estão mostradas na tabela 6.4:

Para ilustrar este tipo de embarcação, é mostrada na �gura 6.2 retirada de [63],

um VLCC em operação.

Cabe ressaltar, que os coe�cientes não lineares que aparecem nas tabelas 6.2 e

6.3 constituirão os termos X′

Hull, Y′

Hull e N′

Hull mencionados na seção 5.2.

42

Tabela 6.4: Características Principais - VLCC

Comprimento entre perpendiculares (Lpp) 246.0 mBoca (B) 46.0 mCalado (T ) 10.0 m

Coe�ciente de bloco (cb) 0.77Massa (m) 946.20210 · 105 kg

Volume deslocado 9.2312 · 104 m3

Figura 6.2: Embarcação do tipo VLCC em operação.

6.3 Síntese do Controlador Robusto H∞

Para estruturar uma planta que represente o sistema a ser controlado, faz-se

necessário analisar as equações de movimento descritas na seção 5.2.

Mesmo ciente das não linearidades presentes nelas, optou-se pela síntese de um

controlador linear, com as considerações feitas a seguir.

Seja o sistema apresentado em 5.20. É sabido que as relações abaixo são verda-

deiras: 1 0 0

0 1 0

0 0 1

x

y

ψ

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

u

v

r

. (6.1)

Em sistemas de controle, estruturam-se equações de forma a representar a planta

a ser controlada. No problema estudado, fez-se uso de seis variáveis de estado, que

melhor representam o sistema. São elas: as posições x, y e ψ e as velocidades u, v

e r.

Com isso, tem-se:

43

x

y

ψ

u

v

r

=

[03 I3

03 −M−1D

]

x

y

ψ

u

v

r

+

[03 03

03 M−1

]

0

0

0

τx

τy

τz

. (6.2)

Sendo linear a planta considerada no processo de síntese do controlador, a re-

presentação em espaço de estado do sistema linear é fornecida pelas equações a

seguir:

x(t) = Ax(t) +Bu(t), (6.3)

y(t) = Cx(t) +Du(t).

Com isso, conclui-se que as seis variáveis de estado constituem o vetor x:

x =

x

y

ψ

u

v

r

. (6.4)

A matriz A é representada por:

A =

[03 I3

03 −M−1D

], (6.5)

A matriz B é representada por:

B =

[03 03

03 M−1

]. (6.6)

O vetor y(t) é composto pelas saídas medidas, estando sujeito à perturbação da

força de onda:

y(t) =

xf

yf

ψf

. (6.7)

Como x(t), y(t) e ψ(t) são as saídas medidas, a matriz C é dada por:

C =[I3 03

], (6.8)

44

e devido à ausência de transmissão direta da entrada u(t) para a saída y(t), a matriz

D é dada por:

D =[03

]. (6.9)

Com isso, a planta P que representa o sistema é dada por:

P =

[A B

C D

]. (6.10)

6.4 Particionamento da Planta

Para gerar a planta que será utilizada na síntese do controlador robusto, como

mostrado anteriormente na seção 4.2.1, se faz necessário particionar a planta apre-

sentada em 6.10. Essa modelagem permite explicitar informações sobre quais sinais

deverão ser rejeitados e quais os critérios de desempenho.

A planta particionada a ser usada na síntese do controlador é dada por:

Pk =

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

. (6.11)

Considerando o diagrama de blocos da �gura 4.1, temos que ω é o vetor de

entradas não controladas, ou seja, as perturbações externas ao sistema. No caso

estudado, estas perturbações são as forças e momento provocado pelo agente externo

vento:

ω =

F xvento

F yvento

Nvento

, (6.12)

em que os componentes modelam as forças de perturbações atuantes em x, y e ψ,

respectivamente, para as equações de estado.

A matriz B1 é a matriz de entradas não controladas, a qual pode ser representada

por:

B1 =[03 M−1

]T. (6.13)

O primeiro membro da matriz, (três primeiras linhas e três primeiras colunas)

é igual a zero, pois x, y e ψ não sofrem atuação das perturbações e das leis de

controle. O segundo membro, que é uma matriz de dimensão 3× 3, foi estruturado

considerando que as forças de vento e correnteza só atuam sobre u, v e r.

45

A matriz B2 é a matriz de entradas controladas, visto que os atuadores agem em

u, v e r, tendo a seguinte representação matricial:

B2 =[03 M−1

]T. (6.14)

As matrizes C1 e C2 são, respectivamente, a matriz de saída não controlada e

a matriz de saída controlada. Considerando que x, y e ψ são as saídas medidas

que regem a tabela de interpolação para obtenção das forças de vento e correnteza,

tem-se para o caso simulado, que:

C1 = C2 =[I3 03

]. (6.15)

A matriz de perturbações da saída não controlada z(t), é representada por D11

e de perturbações da saída controlada y(t), por D21. Para o caso simulado, elas são

iguais, ou seja:

D11 = D21 =[03

]. (6.16)

A matriz das atuações diretas sobre a saída não controlada é representada por

D12 e a das atuações diretas sobre a saída controlada porD22. Para o caso simulado,

essas matrizes são iguais, e tem-se que:

D12 = D22 =[03

]. (6.17)

6.5 Propriedades da Planta Particionada

Uma vez de�nidas as matrizes A, B1, B2, C1 e C2, da planta particionada, é

possível realizar veri�cações de alguns conceitos básicos apresentados na seção 4.1.

Para exempli�car as análises realizadas, foram utilizados as matrizes provenientes

da modelagem do supply vessel.

6.5.1 1a Veri�cação: Estabilidade

A primeira delas, e mais importante, é a estabilidade do sistema. Ela é veri�cada

através da análise dos autovalores da matriz A.

Utilizou-se o comando eig do MATLAB para uma veri�cação rápida dos auto-

valores dessa matriz, e foram obtidos os seguintes resultados, estruturados através

da matriz a seguir:

λ =[0 0 −0.0257 −0.1191 0 −0.0095

]T. (6.18)

46

Desta forma, constata-se que Re(λ) ≤ 0 e consequentemente, conclui-se que o

sistema é marginalmente estável.

6.5.2 2a Veri�cação: Controlabilidade

Para veri�car a controlabilidade do sistema, foi utilizado o comando CTRB do

MATLAB, onde é analisada esta propriedade utilizando-se o par de matrizes (A,B).

Sabendo que a controlabilidade está relacionada às variáveis de estado que se

consegue controlar ao impor uma entrada ao sistema, avalia-se esta propriedade

analisando o par de matrizes A e B2.

A matriz svc é a decomposição de valores singulares da matriz de controlabi-

lidade C, ou seja, através dela, é possível obter o posto de C. Com isso, tem-se

que:

svc =[0.1891 0.1874 0.1228 0.1188 0.0003 0.0003

]T. (6.19)

Nota-se que o número de valores singulares não-nulos de svc é igual a seis, o que

é equivalente dizer que o posto da matriz de controlabilidade C é igual a seis. Desta

forma, conclui-se que o sistema é controlável, pois C tem posto completo de linhas.

6.5.3 3a Veri�cação: Observabilidade

A terceira veri�cação é focada na observabilidade do sistema. Optou-se por

analisá-la através do comando OBSV do MATLAB, o qual considera o par de ma-

trizes (C,A).

Analogamente à controlabilidade, avalia-se a observabilidade do sistema através

do par de matrizes A e C2.

A decomposição de valores singulares da matriz de observabilidade O, aqui re-

presentada por svd, permite calcular o posto de O. Os resultados obtidos foram:

svd =[1.1406 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

]T. (6.20)

Observa-se que o número de valores singulares não-nulos de svd é igual a seis,

o que é equivalente dizer que o posto da matriz de observabilidade O é igual a seis.

Desta forma, conclui-se que o sistema é observável, visto que O tem posto completo

de colunas.

6.5.4 4a Veri�cação: Estabilidade Segundo Lyapunov

A estabilidade vista no item 6.5.1 pode ser veri�cada também utilizando o critério

de Lyapunov, apresentadas em 4.1.4. Optou-se por analisá-la através do comando

47

Lyap do MATLAB, o qual analisa as matrizesA, Q eX, sendo esta última a solução

da equação de Lyapunov.

Obteve-se a matriz X igual a:

X =

0.2746 0.4074 0.5110 0.6059 0.1759 0.5164

0.4074 0.6763 1.0751 1.1059 0.2368 1.0929

0.5110 1.0751 2.3747 2.0459 0.2164 2.4302

0.6059 1.1059 2.0459 1.9340 0.3175 2.0867

0.1759 0.2368 0.2164 0.3175 0.1215 0.2163

0.5164 1.0929 2.4302 2.0867 0.2163 2.4874

. (6.21)

Para comprovar a estabilidade do sistema, é necessário que esta matriz seja po-

sitiva de�nida, ou seja, os autovalores tem que ser positivos. Os valores encontrados

con�rmam que o sistema é marginalmente estável.

λ =[0 0 0 0.0024 0.4763 7.3899

]T. (6.22)

Estando con�rmadas as propriedades básicas do sistema particionado, pode-se

prosseguir com a síntese do controlador.

6.6 Considerações Adicionais

O modelo em malha fechada a ser adotado, foi baseado na teoria apresentada

em [52], aplicado por P. Pellanda e Tuan [48] e posteriormente por SIMÕES [50].

O diagrama de bloco que representa a estrutura de controle é a seguinte:

Figura 6.3: Sistema de Controle Robusto em Malha Fechada

Conforme mencionado em 4.2.3, utiliza-se um integrador antes do controlador

K(s) com a �nalidade de igualar os sinais de referência r(t) constantes e de saída

y(t) em regime permanente.

No esquema apresentado, também é usado um �ltro de ponderação representado

por We(s) para selecionar determinadas frequências. O objetivo é limitar a ação do

controlador a ser utilizado nas frequências de interesse especí�co. Com isto, busca-se

48

que K(s) não apresente uma estrutura que demande grande esforço em ações cujo

espectro é naturalmente amortecido (ou rejeitado) pela inércia do navio.

É comum, ainda, a utilização de �ltros adicionais em estruturas de controle

robusto, posicionados antes da referência e após o controlador, como constatado em

[48] e [50]. Para simpli�car este estudo, optou-se somente pelo uso de We(s).

No caso estudado, utilizou-se um �ltro que permite a passagem de freqüências

baixas, impedindo as freqüências mais altas. No programa de simulação ele é cons-

truído através da função makeweight do MATLAB, e sua função de transferência é

dada por:

We =0, 5

s+ 0, 0866. (6.23)

Para se veri�car as frequências admissíveis a este �ltro, observamos os grá�cos

de Bode, que comprovam que o �ltro utilizado é considerado um passa-baixa.

−30

−20

−10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−3

10−2

10−1

100

101

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 6.4: Grá�co de Bode do Filtro We

Cabe ressaltar que, no presente trabalho, adotou-se uma formulação em malha

fechada de relativa simplicidade, tendo em vista se tratar de um problema com-

plexo e com escassez de referências literárias especí�cas que tratem de controladores

robustos aplicados a este tipo de sistema.

O diagrama de blocos apresentado em 6.3 pode ser reorganizado como mostrado

na �gura 6.5:

Desta forma, denomina-se Ps de Planta de síntese. Com isso, o diagrama de

blocos �ca mais simpli�cado, sendo representado como ilustrado na �gura 6.6:

49

Figura 6.5: Sistema de Controle Robusto em Malha Fechada - DiagramaReorganizado

Figura 6.6: Diagrama de Blocos Padrão com Planta de Síntese

6.7 Cálculo das Forças Ambientais

Para efetuar uma estimativa das forças de vento atuantes na embarcação, optou-

se pela construção de uma função em MATLAB. Nela, uma sequência de operações

é seguida até que, efetivamente, obtenham-se os dados necessários para a simulação.

Uma breve descrição das etapas é mostrada nos parágrafos subsequentes.

Primeiramente, é efetuada uma leitura das constantes da embarcação (tais como

comprimento, boca, coe�ciente de bloco, etc.), requeridas pelas equações mostradas

na seção 5.5. Em seguida, as velocidades iniciais do vento atuante são colhidas. De

posse dessas grandezas, calcula-se o ângulo relativo entre a embarcação e o vetor

dessas forças.

Posteriormente, é construído um loop com a �nalidade de, recursivamente, rea-

lizar as seguintes tarefas:

(i) uma vez conhecidos o ângulo sob o qual incide o vento e a correnteza,

interpolá-lo em uma tabela1 para a obtenção dos coe�cientes hidrodinâmicos, re-

ferentes aos movimentos de surge, sway e yaw.

(ii) estruturar a saída dessa função em forma de vetor, cujas componentes são

as forças e momento devido ao vento.

1Tabelas dos coe�cientes dinâmicos apresentadas no Apêndice A

50

(iii) multiplicar os vetores obtidos pela função exponencial variante no tempo

mostrada em 6.24

f(t) = 1− e−bt, (6.24)

(em que b é uma constante), com o intuito de limitar os valores das forças no início da

simulação. O grá�co 6.7 mostra uma função crescente, limitada em y = 1, indicando

desta forma, que os valores mais altos das forças serão considerados somente na

segunda metade da simulação.

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

Figura 6.7: Função Exponencial Multiplicada pelo Vetor de Forças e Momentodevido ao Vento

(iv) Fornecer as informações deste novo vetor (multiplicado por f(t)) ao diagrama

de blocos estruturado no Simulink, mostrado na �gura 6.8

Figura 6.8: Diagrama de Blocos Implementado no Simulink

51

6.8 Apresentação de Resultados

Nesta seção, são apresentados os resultados obtidos da aplicação dos modelos

matemáticos mencionados nos capítulos anteriores no simulador de manobras. O

objetivo é analisar o comportamento do navio equipado por um sistema de posicio-

namento dinâmico sofrendo a atuação da lei de controle robusto H∞.

6.8.1 Considerações Iniciais

Algumas considerações foram utilizadas na simulação, e faz-se necessário

mencioná-las para melhor entendimento dos resultados.

O diagrama de blocos do Simulink usado para simulação, inicialmente trabalha

com tempo de simulação total de 300 segundos com passo de integração variante

no tempo, dependendo da resposta obtida a cada iteração. Em alguns casos, este

tempo de simulação foi estendido visando uma melhor apresentação dos resultados

obtidos.

Nos casos rodados, as entradas exógenas a serem combatidas pelo controlador

são as forças de vento, bem como as forças não lineares provenientes da reação da

embarcação, ou seja, a reação corpo-�uido.

É considerada total ausência de sistemas de amarração e da ação ondas sobre a

embarcação.

Com a �nalidade de demonstrar a robustez do controlador desenvolvido, as ma-

trizes utilizadas em sua síntese foram "perturbadas"e os respectivos resultados estão

apresentados da seguinte forma:

(i) Controlador gerado a partir da planta "nominal"2;

(ii) Controlador gerado a partir da planta "com erro de 50%;

(iii) Controlador gerado a partir da planta "com erro de 100%.

6.8.2 Rodada A - Supply Vessel

Para a primeira rodada de testes do simulador, os dados listados na tabela 6.5

foram inseridos no programa para o cálculo das forças atuantes e posterior cálculo

da posição da embarcação.

Tabela 6.5: Condições Ambientais - Rodada A

Velocidade do vento 1 m/sÂngulo de incidência do vento 60 ◦

Os setpoints arbitrados pelo usuário estão mostrados na tabela 6.6. Desta forma,

é esperado que o controlador seja capaz de manter a embarcação em torno da origem.2As matrizes que constituem este controlador são mostradas no Apêndice A

52

Tabela 6.6: Setpoints para a Rodada A.

X Y ψ0 m 0 m 0 ◦

Inseridas estas informações, iniciou-se o programa de simulação, sendo o com-

portamento da embarcação analisado nos Casos A1, A2 e A3 descritos a seguir.

Caso A1 - Planta Nominal

O Caso A1 foi rodado com o controlador gerado a partir da planta nominal, ou

seja, as matrizes utilizadas na síntese do controlador não foram perturbadas. Ao

�nal desta simulação, obtiveram-se as respostas do comportamento da embarcação

nas condições estipuladas. Foi possível então, construir os grá�cos de movimento

nas três direções (surge, sway e yaw) ao longo do tempo.

0 50 100 150 200 250 300−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−4

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.9: Movimento da Embarcação emSurge - Caso A1

0 50 100 150 200 250 300−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.10: Movimento da Embarcação emSway - Caso A1

Observando os grá�cos obtidos 6.9 e 6.10, respectivamente para os movimentos

de surge e sway, apesar de uma pequena variação inicial da ordem de 10−4 para a

posição X e um overshoot de 0, 03 metros para o posição Y , a posição desejada é

alcançada. No grá�co 6.11, percebe-se que o aproamento desejado não é alcançado

em 300s. O valor obtido para o ângulo de yaw �cou em torno de 0.22 ◦ ao invés

de 0, gerando assim um erro absoluto de 0.22. Apesar do elevado valor do erro, ele

corresponde a uma diferença considerada imperceptível na prática.

Caso A2 - Erro de 50%

A segunda simulação analisa os movimentos do navio sendo submetido a lei de

controle perturbada em 50% em relação ao caso anterior. O programa apresentou

os resultados plotados nos grá�cos 6.12, 6.13 e 6.14.

53

0 50 100 150 200 250 3000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.11: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso A1

O erro introduzido ao controlador provoca oscilações ao sistema, levando à em-

barcação convergir aos setpoints em um tempo maior do que no Caso A1. Entre-

tanto, os mesmos valores foram alcançados, permanecendo inclusive, a divergência

de zero ponto vinte e dois graus no aproamento do navio.

0 50 100 150 200 250 300−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−4

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 50 100 150 200 250 300−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


Caso A3 - Erro de 100%

Com a introdução de um erro de 100% ao controlador, nota-se pelos grá�cos 6.15,

6.16 e 6.17 que o sistema perde a estabilidade. Neste ponto, o controlador é incapaz

de manter a posição da embarcação. Isto ocorre devido à considerável divergência

entre a planta que foi considerada na síntese do controlador robusto e a planta não

linear, que simula o comportamento do navio.

54

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final


0 50 100 150 200 250 300−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 50 100 150 200 250 300−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


0 50 100 150 200 250 300−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final


55

6.8.3 Rodada B - Supply Vessel

Na segunda rodada de simulações, propôs-se alterar a velocidade de vento e

manter inalterados o ângulo de incidência e os pontos de referência da Rodada A,

conforme indicado pela tabela 6.7.

Tabela 6.7: Condições Ambientais - Rodada B


Caso B1 - Planta Nominal

Mesmo com a planta nominal, um pouco mais de di�culdade em manter a em-

barcação na posição desejada é esperada para o controlador, pois a força gerada pela

ação do vento incidente aumentará.

Pelos grá�cos de posição 6.18, 6.19 e 6.20, nota-se que a embarcação não estabi-

liza em 300 segundos. O controlador precisou de 500 segundos para que os valores

de referência de surge, sway e yaw fossem alcançados.

0 100 200 300 400 500−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.18: Movimento da Embarcação emSurge - Caso B1

0 100 200 300 400 5000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.19: Movimento da Embarcação emSway - Caso B1

O aumento da velocidade do vento realmente trouxe problemas para a embarca-

ção. Observa-se que a força imposta por este agente, chega a "jogar"a embarcação

para um aproamento de quase 30 ◦ antes de retornar para o ângulo de yaw determi-

nado como referência.

Caso B2 - Erro de 50%

Neste caso, esperam-se oscilações e maiores amplitudes no movimento da embar-

cação ainda que o controlador consiga atingir os setpoints determinados.

56

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.20: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso B1

Observando os grá�cos de posição 6.21, 6.22 e 6.23, percebe-se que o erro intro-

duzido ao controlador, associado ao aumento da força de vento, chega a impor ao

navio um aproamento de quase 90 ◦. Apesar destas divergências e perturbações, o

controlador robusto H∞ novamente obteve êxito em sua função.

0 100 200 300 400 500−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 100 200 300 400 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


Caso B3 - Erro de 100%

Quando introduzido um erro correspondente a 100% no controlador, os grá�cos

de posição 6.24, 6.25 e 6.26 mostram oscilações de amplitudes de mais de 80 metros

nos planos X e Y , além de um crescimento desenfreado do ângulo de yaw. Veri�ca-se

portanto, a perda de estabilidade do sistema nesta situação.

57

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final


0 100 200 300 400 500−80

−60

−40

−20

0

20

40

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 100 200 300 400 500−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


0 100 200 300 400 5000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final


58

6.8.4 Rodada C - Supply Vessel

Na terceira rodada de simulações, foram alterados os pontos de referência, man-

tendo as mesmas condições ambientais da Rodada B, como mostrado na tabela

6.8.

Tabela 6.8: Setpoints para a Rodada C.

X Y ψ1.00 m -2.00 m −30.00 ◦

Os resultados são apresentados nos Casos C1, C2 e C3 explicados a seguir.

Caso C1 - Planta Nominal

Na coleta de resultados do Caso C1, foram plotados os grá�cos de movimento

nas três direções (surge, sway e yaw) ao longo do tempo.

Analisando o comportamento da embarcação nos grá�cos 6.27 e 6.28 percebe-se

que os setpoints são atingidos em menos entre 100 e 150 segundos, após oscilações

iniciais, principalmente em Y . Pelo grá�co 6.29, o aproamento persegue o valor

desejado de −30 ◦ após oscilações de quase 10 ◦.

0 50 100 150 200 250 300−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.27: Movimento da Embarcação emSurge - Caso C1

0 50 100 150 200 250 300−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.28: Movimento da Embarcação emSway - Caso C1

Caso C2 - Erro de 50%

Após a introdução de um erro correspondente a 50%, o controlador apresentou

os seguintes resultados plotados nos grá�cos 6.30, 6.31 e 6.32.

A exemplo do ocorrido no caso A2, apesar de utilizar matrizes "sujas"em sua sín-

tese, o controlador atinge o objetivo de conduzir a embarcação aos pontos desejados.

Porém, é inevitável deixar de notar as oscilações indesejadas nos três movimentos,

59

0 50 100 150 200 250 300−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final

Figura 6.29: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso C1

sendo as mais críticas presentes nos movimentos de sway e yaw, possuindo ampli-

tudes de quase três metros e dez graus respectivamente. Com a persistência das

oscilações, o tempo necessário para convergência aumentou consideravelmente, che-

gando a ultrapassar 800 segundos.

0 200 400 600 800 1000−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 200 400 600 800 1000−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


Caso C3 - Erro de 100%

Distanciando o controlador gerado em 100% da planta nominal, os resultados ob-

tidos divergem dos setpoints, como mostrado nos grá�cos 6.33, 6.34 e 6.35. Conclui-

se, novamente, que a perda de estabilidade deve-se ao erro introduzido ao sistema.

60

0 200 400 600 800 1000−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final


0 50 100 150 200 250 300−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

11

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 50 100 150 200 250 300−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6x 10

13

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


0 50 100 150 200 250 300−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

8

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final


61

6.8.5 Rodada D - Supply Vessel

Na quarta rodada de simulações, a velocidade de vento foi modi�cada mais uma

vez e o ângulo de incidência permaneceu o mesmo, como indicado na tabela 6.9

Tabela 6.9: Condições Ambientais - Rodada D


Adicionalmente, estabeleceram-se novas posições e aproamento desejados para o

navio:

Tabela 6.10: Setpoints para a Rodada D.

X Y ψ-4.00 m 3.00 m 60.00 ◦

Os resultados são apresentados nos Casos D1, D2 e D3 explicados a seguir.

Caso D1 - Controlador Nominal

Os grá�cos de comportamento da embarcação ao longo do tempo os grá�cos 6.36,

6.37 e 6.38, ilustram os resultados obtidos nessas condições.

O controlador apresenta bom desempenho chegando aos valores desejados em

menos de 100 segundos.

0 50 100 150 200 250 300−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.36: Movimento da Embarcação emSurge - Caso D1

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.37: Movimento da Embarcação emSway - Caso D1

Caso D2 - Erro de 50%

No caso D2 aqui descrito, ao introduzir-se um erro de 50% ao controlador,

percebem-se algumas diferenças em relação ao caso anterior.

62

0 50 100 150 200 250 300−10

0

10

20

30

40

50

60

70

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final

Figura 6.38: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso D1

O grá�co 6.39 mostra que a embarcação "joga"em torno de um metro para o

movimento horizontal no plano X, passando de −5 e retornando a quase −3 metros

antes de estabilizar em torno de X=−4.

Para o movimento de sway, oscilações de pouco menos 2 metros são notadas em

6.40, antes da convergência para o ponto Y = 3.

Com respeito ao aproamento, a ocorrência de oscilações de 10 ◦ metros são im-

postas ao navio antes da convergência para o ψ = 60 ◦.

0 50 100 150 200 250 300−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 50 100 150 200 250 300−1

0

1

2

3

4

5

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


Caso D3 - Erro de 100%

Com um erro de 100% inputado ao controlador, con�rma-se a perda da estabi-

lidade ocorridas nos Casos A3 a C3 apresentados anteriormente. Os grá�cos 6.42,

6.43 e 6.44 ilustram a divergência dos movimentos e aproamento da embarcação,

63

0 50 100 150 200 250 300−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final


com relação aos setpoints estabelecidos.

0 50 100 150 200 250 300−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final


0 50 100 150 200 250 300−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

300

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final


6.8.6 Rodada E - VLCC

Nesta rodada, repetiram-se as premissas do Caso A1, desta vez para a embar-

cação modelada VLCC. Os resultados são apresentados pelos grá�cos 6.45, 6.46 e

6.47 e pode-se perceber que o controlador consegue manter a embarcação em torno

da posição de referência com oscilações da ordem de 10−5, 10−4 e 10−3.

6.8.7 Rodada F - VLCC

Nesta simulação, as condições do Caso B1 foram mantidas com a modelagem

desta embarcação. Os resultados apresentados foram mostrados através dos grá�cos

64

0 50 100 150 200 250 300−2000

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final


0 50 100 150 200 250 300−1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

−5

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.45: Movimento da Embarcação emSurge - Caso E1

0 50 100 150 200 250 300−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−4

Tempo(s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.46: Movimento da Embarcação emSway - Caso E1

6.48, 6.49 e 6.50 e veri�cou-se que a dinâmica deste navio é mais lenta do que a do

supply vessel. Os pontos de referência são alcançados em um tempo superior a 300

segundos.

6.8.8 Rodada G - VLCC

Mantendo-se as informações do caso C1, os grá�cos 6.51, 6.52 e 6.53 mostram

novamente uma convergência mais demorada, porém sem a presença de indesejáveis

oscilações.

6.8.9 Planta Particionada

Na seção 6.4, foi mostrada a partição da planta que foi considerada no processo de

síntese do controlador robusto criado para as simulações mostradas anteriormente.

65

0 50 100 150 200 250 300−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−3

Tempo(s)

Apr

oam

ento

(gr

au))

psi final

Figura 6.47: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso E1

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.48: Movimento da Embarcação emSurge - Caso F1

0 100 200 300 400 500−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.49: Movimento da Embarcação emSway - Caso F1

Ela tem a função de carregar as informações sobre as quais o controlador deverá

atuar ou rejeitar.

Para evidenciar que a partição da planta é uma etapa essencial em controle

robusto, foi realizado um teste no simulador considerando uma planta "mal parti-

cionada", ou seja, que representa de forma equivocada as informações inerentes ao

sistema estudado.

Considerações

O teste realizado considerou a partição mostrada a seguir:

Manteve-se a matriz A como:

A =

[03 I3

03 −M−1D

], (6.25)

66

0 100 200 300 400 500−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.50: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso F1

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.51: Movimento da Embarcação emSurge - Caso G1

0 100 200 300 400 500−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.52: Movimento da Embarcação emSway - Caso G1

A matriz B1, das entradas não controladas, foi alterada para:

B1 =[M−1 03

]T. (6.26)

A matriz B2, das entradas controladas, foi mantida:

B2 =[03 M−1

]T. (6.27)

As matrizes C1 e C2 (saída não controlada e saída controlada) também foram

mantidas:

C1 = C2 =[I3 03

]. (6.28)

E as matrizes D11, D21 e D12 D22 também foram mantidas iguais a:

67

0 100 200 300 400 500−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.53: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso G1

D11 = D21 =[03

], (6.29)

D12 = D22 =[03

]. (6.30)

Desta forma os resultados obtidos foram apresentados conforme abaixo:

Caso A1 - Planta "Mal Particionada"(Supply vessel)

As condições do Caso A1 anteriormente mencionado foi rodado novamente para

o modelo do supply, desta vez, baseando-se na planta mal particionada.

Os grá�cos 6.54, 6.55 e 6.56 demonstram a total divergência nos valores encon-

trados em relação aos setpoints.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1x 10

11

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.54: Movimento da Embarcação emSurge - Caso A1 "Partição Errada"

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

17

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.55: Movimento da Embarcação emSway - Caso A1 "Partição Errada"

68

0 5 10 15 20 25 30 35 400

1

2

3

4

5

6

7x 10

18

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.56: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso A1 "Partição Errada"

Caso F1 - Planta "Mal Particionada"(VLCC )

A exemplo da subseção acima, a modelagem do VLCC foi novamente submetido

a uma lei de controle sintetizada a partir de uma partição ruim.

Fica novamente evidente a perda dos movimentos da embarcação ao analisar os

grá�cos 6.57, 6.58 e 6.59.

0 100 200 300 400 500−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

X final

Figura 6.57: Movimento da Embarcação emSurge - Caso F1 "Partição Errada"

0 100 200 300 400 500−10

0

10

20

30

40

50

60

Tempo (s)

Des

loca

men

to (

m)

Y final

Figura 6.58: Movimento da Embarcação emSway - Caso F1 "Partição Errada"

De posse dos resultados apresentado, conclui-se que a forma como foi proposta

a nova partição da planta, está diretamente ligada à convergência das simulações.

As posições e aproamento nunca iriam convergir para os setpoints, uma vez que

o controlador está atuando sobre os estados errados (velocidades) e não sobre as

posições.

69

0 100 200 300 400 500−2

0

2

4

6

8

10x 10

5

Tempo (s)

Apr

oam

ento

(gr

au)

psi final

Figura 6.59: Movimento da Embarcação em Yaw - Caso F1 "Partição Errada"

70

Capítulo 7

Conclusões Gerais

Neste capítulo são apresentadas conclusões sobre a presente dissertação, bem

como sugestões para futuros trabalhos a serem desenvolvidos.

7.1 Conclusões

A dissertação de Mestrado elaborada propôs-se a desenvolver um programa de

simulação de um navio equipado com sistema de posicionamento dinâmico. As bases

do simulador construído foram técnicas de controle robusto e síntese de H∞.

Inicialmente, foi proposta uma abordagem linear, para a qual foram simulados

alguns casos. O comportamento da embarcação frente a diferentes intensidades de

forças ambientais e ângulos de incidência na embarcação foi analisado. Através dos

resultados apresentados, con�rmou-se a robustez e bom desempenho do controlador

construído.

Posteriormente, propôs-se analisar o caso não-linear para um e três graus de

liberdade. Foram realizadas novas simulações que proporcionaram, mais uma vez,

evidenciar que controlador gerado atingiu os objetivos esperados.

O controlador robusto mostrou-se uma excelente opção para o sistema de posicio-

namento dinâmico estudado, uma vez que a indicação principal para aplicação desta

técnica é justamente a minimização de distúrbios. Estando con�rmadas as propri-

edades de controlabilidade e estabilidade do sistema, a convergência e estabilidade

do controlador são garantidas, além é claro, de sua robustez.

Adicionalmente, veri�cou-se uma considerável vantagem do controlador robusto

em relação ao controlador PID (Proporcional Integrador Derivativo), uma vez que no

primeiro as matrizes de ganhos não existem e, portanto, a árdua tarefa de encontrar

as matrizes adequadas não precisa ser cumprida.

Os fatores que mostraram-se essenciais para a convergência dos resultados é a

partição da planta a ser entregue ao controlador, e a utilização de um �ltro para

ajuste �no dos resultados.

71

7.2 Trabalhos Futuros

Como sugestão para trabalhos futuros de mesma linha de pesquisa, sugere-se pri-

meiramente ajustes na modelagem utilizada, adicionando forças de onda de primeira

e segunda ordem.

Informações relacionadas ao sistema de propulsão pode ser inserida no sistema,

considerando saturação dos propulsores e alocação de forças.

Em relação à técnica de controle utilizada, sugere-se a implementação de um

controlador robusto utilizando síntese µ e modelagem dos distúrbios através de

técnicas de LFT. Pode ser feita uma análise de desempenho e resultados obtidos,

comparando-se com a síntese de H∞.

72

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77

Apêndice A

Controlador Gerado

As matrizes que constituem o controlador K(s), tomando-se por base a planta

nominal do supply vessel estudado, são apresentadas abaixo:

K(s) =

[AK BK

CK DK

]. (A.1)

AK = 103

−0.0001 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000

0.0000 −0.0000 0.0000 0.0001 −0.0000 −0.0001

−0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0001 0.0000

0.0008 0.0007 0.0000 −0.0024 0.0000 0.0012

−0.0000 −0.0000 0.0010 0.0000 −0.0035 −0.0000

0.0015 −0.0023 0.0000 0.0057 −0.0000 −0.0032

0.0000 −0.0000 0.0063 −0.0000 −0.0208 −0.0000

−0.0063 −0.0113 0.0000 0.0344 −0.0000 −0.0195

−0.0479 0.0014 −0.0000 0.0184 0.0000 −0.0110

0.1575 −0.0324 −0.0000 0.0176 0.0000 −0.0078

0.0000 −0.0000 0.0136 −0.0000 −0.0447 0.0000

8.5017 −0.0153 −0.0000 −3.8974 0.0000 2.2927

(A.2)

78

=

−0.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0000 −0.0010

0.0000 −0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002

0.0001 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000

−0.0000 0.0012 0.0004 0.0038 0.0000 0.0033

−0.0032 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.0048 −0.0000

−0.0000 −0.0032 0.0013 0.0067 0.0000 0.1006

−0.0209 −0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0045 −0.0000

−0.0000 −0.0186 −0.0015 −0.0002 −0.0000 −0.0982

0.0000 −0.0074 −0.0136 0.0034 0.0000 −0.0457

0.0000 −0.0174 0.0453 −0.0163 −0.0000 −0.0031

−0.0446 −0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0018 −0.0000

0.0000 1.7015 2.3538 −0.7103 −0.0000 −0.3807

.

BK = 104

0.0000 −0.0000 −0.0000

0.0000 −0.0000 0.0000

−0.0000 0.0000 −0.0000

0.0000 0.0001 0.0003

0.0002 −0.0000 −0.0000

0.0000 −0.0003 0.0008

0.0012 −0.0000 0.0000

0.0000 −0.0017 −0.0018

−0.0000 −0.0009 −0.0193

−0.0000 −0.0008 0.0653

0.0025 0.0000 0.0000

−0.0000 0.1925 3.4075

. (A.3)

CK = 109

−0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

−0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0001

0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0001

(A.4)

−0.0001 0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0026 0.0000

0.0000 0.0001 −0.0002 −0.0025 −0.0000 0.0020

−0.0000 0.0002 0.0079 −0.0049 −0.0000 2.6099

.

DK =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

. (A.5)

79

TÉCNICA DE CONTROLE ROBUSTO H APLICADA A UM SISTEMA...

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