Tcm 04

Transferência de Calor e Massa

Prof. Dr. Lucas Freitas BertiEngenharia de Materiais - UTFPR

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1

Aula 4

Condução Unidimensional em Regime Permanente

29/05/2013

Transferência de Calor e Massa3

Presença

Cobrança da presença


Revisão A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica) Condições de Contorno e Inicial

Ementa


A Equação da Difusão de Calor

(Difusão Térmica)


Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de temperaturas (distribuição de temperaturas) num meio resultante das condições impostas em suas fronteiras.

Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou na sua superfície pode ser determinado através da Lei de Fourier.

6


Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para condições de contorno especificadas, forneça a distribuição de temperaturas no meio.

Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou seja, define-se um volume de controle diferencial, identificam-se os processos de transferência de energia relevantes e substituem-se as equações das taxas de transferência de calor apropriadas.

7


acusaigent EEEE

Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.


Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)Coordenadas cartesianas

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x p

Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução no interior de um volume unitário somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume.

9


Com frequência, é possível trabalhar com versões simplificadas da Equação do Calor.

Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e sem geração de energia.

t

T

x

T

1

2

2

10



Heat Flux Components

(2.22)

T T T

q k i k j k kr r z

rq q zq

• Coordenadas Cilíndricas: , ,T r z

sin

T T T

q k i k j k kr r r (2.25)

rq q q

•Coordenadas Esféricas , ,T r

• Coordenadas Cartesianas: , ,T x y z

T T T

q k i k j k kx y z

xq yq zq

(2.3)



Heat Flux Components (cont.)

• In angular coordinates , the temperature gradient is still based on temperature change over a length scale and hence has units of C/m and not C/deg.

or ,

• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:

– Cylinder2 r r r rq A q rLq

or,2 r r r rq A q rq

– Sphere24 r r r rq A q r q


Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

rr p

2

11

radial, r circunferencial, Φ axial, z

13


Equação do Calor: Coordenadas Esféricas

radial, r polar, θ azimutal, Φ

t

Tcq

Tsenk

senr

Tk

senrr

Tkr

rrp

2222

2

111

14


Condições de Contorno e Inicial


Para determinação da distribuição de temperaturas num meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação do Calor.

Tal solução depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo (processo transiente), a solução também depende das condições existentes no meio em algum instante inicial.

16


Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]

Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias possibilidades comuns que são expressas de maneira simples em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial necessária para descrever o problema.

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Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).

Condição de Dirichlet

Condição de Neumann

Condição de Robin


Homework

Chapter 2 (Incropera et al, 2008): 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36,

2.39, 2.50


Exemple 2.3


Sumário da aula A Parede Plana▫Distribuição de Temperaturas▫Resistência Térmica▫A Parede Composta▫Resistência de Contato

Uma Análise Alternativa da Condução Sistemas Radiais▫O Cilindro▫A Esfera

Resumo dos Resultados da Condução 1D

Ementa


A Parede Plana

23


Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas).

24


Distribuição de Temperaturas

Em regime permanente, sem a presença de fontes ou sumidouros de energia no interior da parede, a forma apropriada da Equação do Calor é:

0

dx

dTk

dx

d

Para condução 1D em RP numa parede plana sem geração de calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x.

25


se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral,

As condições de contorno para este problema são:

com isso, tem-se que

21 cxcxT

10 ,sTT 2,sTLT

L

TTc ,s,s 12

1

12 ,sTc

26


Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é

112 ,s,s,s TL

xTTxT

Para a condução 1D em RP numa parede plana sem geração de calor e condutividade térmica constante, a

temperatura varia linearmente com x.

27


Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de Fourier, tem-se que

21 ,s,sx TTL

kA

dx

dTkAq

21 ,s,sx

x TTL

k

A

qq

A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo térmico q"x são constantes, independentes de x.

28


Procedimento Padrão para solução de problemas de condução.

1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida através da resolução da forma apropriada da Equação do Calor.

2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da solução particular

3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de transferência de calor.

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Resistência TérmicaCaso especial da transferência de calor 1D sem geração

interna de energia e com propriedades constantes. Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica.

Da mesma forma que uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica está associada à condução de calor.

Definição: razão entre um potencial motriz e a correspondente taxa de transferência.

30


Resistência térmica para condução

Resistência térmica para convecção

kA

L

q

TTR

x

,s,scond,t

21

hAq

TTR s

conv,t1

Representações na forma de circuitos fornecem uma ferramenta útil tanto para a conceituação quanto para a quantificação de problemas da transferência de calor.

31


Circuito térmico equivalente para a parede plana com condições de convecção nas superfícies.

qx pode ser determinada pela consideração em separado de cada elemento da rede (qx é constante ao longo da rede)

Ah

TT

kA

L

TT

Ah

TTq ,,s,s,s,s,

x

2

2221

1

11

11

32


Em termos da diferença de temperatura global e da resistência térmica total, a taxa de transferência de calor pode ser representada por

sendo que

tot

,,x R

TTq 21

AhkA

L

AhRtot

21

11

33


A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode, também, ser importante se h for pequeno.

Resistência térmica para radiação

Ahq

TTR

rrad

vizsrad,t

1

Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.

34


Parede CompostaCircuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em

sistemas mais complexos, como, por exemplo, paredes compostas.

Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de resistências térmicas em série e em paralelo, devido à presença de camadas diferentes de materiais.

35


Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.36


A taxa de transferência de calor 1D para esse sistema pode ser representada por

sendo que

t

,,x

R

TTq 41

AhAk

L

Ak

L

Ak

L

AhR

C

C

B

B

A

At

41

11

37


Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode ser relacionada à diferença de temperaturas e à resistência térmica associadas a cada elemento. Por exemplo,

Ak

L

TT

Ak

L

TT

Ah

TTq

B

B

A

A

,s,s,x

3221

1

11

1

38


Em sistemas compostos, é conveniente definir um coeficiente global de transferência de calor, U, por uma expressão análoga à Lei de Resfriamento de Newton.

ou ainda,

UAq

TRR ttot

1

TUAqx

39


As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações série-paralelo. Embora nesse sistema o escoamento de calor seja multidimensional, é razoável a hipótese de condições 1D.

Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos diferentes podem ser usados.

40


Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies normais à direção x sejam isotérmicas.

41


Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.

42


Resistência de Contato

x

BAc,t q

TTR

43


A existência de uma resistência de contato não-nula se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície.

A transferência de calor é devida à condução através da área de contato real e à condução e/ou radiação através dos interstícios.

Os resultados mais confiáveis para predizer R"t,c são aqueles que foram obtidos experimentalmente.

44


Em muitas aplicações ocorre a transferência de calor em um meio saturado, i.e. meio poroso, que é uma combinação estacionária de fluido e um sólido.

No capítulo 7 é estudado sobre leito fluidizado, onde um sólido estacionário é percolado por um fluido

46


Meio poroso



Tanto keff,min e keff,max dão boas estimativas para meios onde efeitos de micro- e nanoescala são desprezíveis. Do contrário, a equação de Maxwell para é preferível para melhores valores:

No entanto, ela é aplicável para meios com no máximo 0,25 de porosidade


Problema 3.1


Uma Análise Alternativa da

Condução61


Para condições de RP, sem geração de calor e sem perda de calor pelas superfícies laterais, a taxa de transferência de calor qx é necessariamente uma constante independente de x, ou seja, para qualquer elemento diferencial dx, qx = qx+dx .

Essa condição é, obviamente, uma consequência da exigência da conservação da energia e deve ser válida mesmo que A(x) e k(T).

62


Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as condições de interesse no momento.

63


Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas possa ser 2D, variando em função de x e y, com frequência é razoável desprezar a variação na direção y e supor uma distribuição 1D na direção x.

Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a Lei de Fourier ao efetuar uma análise de condução.

dx

dTxATkqx

64


Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma constante, a equação da taxa pode ser integrada, mesmo sem o prévio conhecimento de qx e de T(x).

x

x

T

T

x dTTkxA

dxq

0 0

65


Sistemas Radiais

66


Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas 1D.

Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas podem ser analisados pelo método padrão, que começa com a forma apropriada da Equação do Calor, ou pelo método alternativo, que começa com a forma apropriada da Lei de Fourier.

67


O Cilindro

Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies.

68


Distribuição de temperaturas

2

21

221 ,s,s,s T

rrln

rrlnTTrT

A distribuição de temperaturas associadas à condução radial através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. (Na

parede plana sob as mesmas condições ela é linear).

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Taxa de transferência de calor

Resistência térmica (condução radial)

12

212

rrln

TTLkq ,s,s

r

Lk

rrlnR cond,t 2

12

70


Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta.71


44

342312

11

41

2

1

2222

1

LhrLk

rrln

Lk

rrln

Lk

rrln

Lhr

TTq

CBA

,,r

4141

,,tot

,,r TTUA

R

TTq

1

44332211

tRAUAUAUAU


Coeficiente global de transferência de calor

72


A Esfera

Condução numa casca esférica.

73


Distribuição de temperaturas


Resistência térmica (condução casca esférica)

1

21

112 1

1,s,s,s T

rr

rrTTrT

21

21

11

4

rr

TTkq ,s,s

r

21

11

4

1

rrkR cond,t

74


Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma que as paredes e os cilindros compostos, onde formas apropriadas da resistência total e do coeficiente global de transferência de calor podem ser determinadas.

75


Raio crítico de isolamento

76


Raio crítico de isolamento

77


Resumo dos Resultados da Condução 1D

78


21 ,s,s TTT

79

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