TCFE07082 5 Analise Circuitos Lineares
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Março de 2008 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica
1
Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica
Análise de Circuitos Lineares
Teresa Mendes de [email protected]
DEEC
Área Científica de Electrónica
Março de 2008© T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica
2
TCFE Análise de Circuitos Lineares
Matéria
Simplificação de circuitos
Resistências em série e em
paralelo
Fontes de tensão em série
Fontes de corrente em paralelo Simplificação de circuitos
Circuito Linear
Linearidade
Homogeneidade
Aditividade
Aplicação na simplificação de
circuitos
Teorema da Sobreposição Aplicação na análise e
simplificação de circuitos
Circuitos equivalentes
Thévenin
Norton
Teoremas de Thévenin e de
Norton Equivalentes de circuitos
sem geradores
com geradores independentes
com geradores dependentes e
independentes
só com geradores dependentes
Conversão de geradores
Aplicação na análise esimplificação de circuitos
Exemplos de aplicação
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
+
V
-
+
V
-
I I
Simplificação de circuitos
Resulta de aplicar Lei Ohm, KCL, KVL
Resistências em série
Resistências em paralelo
Geradores de Tensão em série é preciso ter em conta polaridade
das tensões
Fontes de Corrente em paralelo é preciso ter em conta sentido
das correntes
1 2S R R R= +
1 2
1 2
P
R R R
R R=
+
1 2V V V = −
1 2 I I I = −
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplo de simplificação de circuitos
Calcular i(t) simplificando o circuito 1 malha
todos componentes em série
mesma corrente em todos componentes
simplificar geradores de tensão
simplificar resistências
resulta um circuito mais simples para o cálculo da grandezaeléctrica pretendida, neste caso, a corrente i(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5v t v t v t v t v t v t = − + − −
1 2S R R R= +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5
1 2S
v t v t v t v t v t v t i t
R R R
− + − −= =
+
circuitos
equivalentes
para o
cálculo de i(t)
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplo de simplificação de circuitos
Calcular i 5(t)=i R2(t) simplificando o circuito
2 nós – todos componentes em paralelo
simplificar fontes de corrente
usar equação do divisor de corrente
Calcular V bc=V b-V c=V 20k simplificando o circuito
simplificar geradores de tensão, simplificar resistências
usar equação do divisor de tensão
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 6oi t i t i t i t i t = − + −
( ) ( )15
1 2
o
Ri t i t
R R=
+
+ V bc - +
V bc
-
( )20
6 220 40
bcV V = − = −
+
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Circuito Linear
Descrito por equações algébricas lineares
Componentes do circuito têm características lineares
têm características não lineares mas
podem ser localmente aproximadas
por características lineares
modelos lineares por troços linear não linear
Linearidade linearidade implica homogeneidade e aditividade
homogeneidade
aditividade
circuito linear x , y→ tensão ou corrente
f(x) , f(y)→ tensão ou corrente
( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = +
( ) ( ) f x f xα α =
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Homogeneidade (escalamento) f( α x)= α f(x)
Quanto vale I se V=24V ? E se V=1,2V ?
não é preciso voltar a analisar o circuito para obter o novo resultado
como é um circuito linear pode fazer-se escalamento do resultado
Quanto vale V out? pela estrutura do circuito (circuito em escada), para fazer a sua análise
é preciso propagar o efeito de V IN =12V desde a entrada até à saída V out
é preciso escolher uma forma de análise do circuito
é preciso analisar o circuito da esquerda para a direita
usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para V out
analisa-se da direita para a esquerda
determina-se V IN correspondente
faz-se escalamento (regra de três simples)
( )
24 ? 126
1,2 ? 0,6
V x V V I mAV I mA
I f x V V I mA R
↔ = → = == =
↔ = → = =
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Homogeneidade (escalamento) f( α x)= α f(x)
Quanto vale V out? usando homogeneidade
arbitra-se um valor numérico para V out
analisa-se da direita para a esquerda
determina-se V IN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples)
calcula-se V out real
Quanto vale I O se I = 6mA?
arbitrar valor numérico para I O (p. ex. 2mA)
calcular I e escalar o valor obtido
( )
2
1 2
11
0 1 2
0 0 1
0
0
' 4'
' 22
' 4 2 ' 12
'' 4
3
' ' ' 6
' 2 ' ' 24
' 2'
out
out
out out
V V V
I mAk
V k k I V
V I mA
k
I I I mA
V kI V V
V V V V V
=
= =
= + =
= =
= + =
= + =
= =
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Aditividade f(x+y)=f(x)+f(y)
Circuito linear
a corrente I resulta da presença das duas fontes de tensão V 1 e V 2 a corrente I é a soma de duas parcelas
uma resulta da presença de V 1: V 1→ I 1 a outra resulta da presença de V 2: V 2→ I 2
calcular I 1:
V 1=6V V 2=0V
calcular I 2:
V 1=0V V 2=12V
calcular I:
1
650
80 40 I A
k k µ = =
+
2
120,1 100
80 40 I mA A
k k µ
−= = − = −
+
1 250 I I I A µ = + = −
+ V 2 –+
V 1
–
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular IO usando linearidade (homogeneidade)
Calcular VO usando linearidade (homogeneidade)
( ) ( ) f x f xα α =
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Teorema da Sobreposição
Num circuito linear, contendo vários geradores independen-tes, a corrente ou a tensão num ponto pode ser calculada comoa soma algébrica das contribuições individuais de cada um
dos geradores independentes agindo isoladamente considera-se um gerador independente de cada vez
eliminam-se os restantes geradores independentes
eliminar gerador(fonte) de tensão = substituir-se por curto-circuito
eliminar gerador de corrente = substituir-se por circuito aberto
num circuito com N geradores independentes
faz-se a análise de N sub-circuitos mais simples
Calcular i Sub-circuito 1 Sub-circuito 2
i1 i 2i
i = i1 + i 2
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplo de aplicação
Calcular VO=VR6
Sub-circuito 1
divisor de corrente
Sub-circuito 2
divisor de tensão
Soma algébrica das 2 contribuições analisaram-se 2 circuitos mais simples
para cada um escolheu-se um determinado método de análise – que seconsidere mais adequado (simples e rápido)
6'' 3 2
1 2 6O
k V V
k k k = =
+ +
' '' 6O O OV V V V = + =
' 6
2 1 2' 22 1 6 3
' 4
O O
O
O
V kI
k k I mAk k k
V V
=
+= =
+ +
=
' ''O O O
V V V = +( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = +
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular VO usando o Teorema da Sobreposição
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Exemplos de aplicação
Calcular IO e IA usando o Teorema da Sobreposição
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton
Dado um circuito para análise linear ou não linear
Pode ser dividido em 2 circuitos A – circuito linear B – circuito linear ou não linear
O circuito linear A pode ser substituído por um circuitoequivalente mais simples
Circuito equivalente de Thévenin fonte de tensão em série com resistência
VOC = tensão em circuito aberto (open circuit)
Circuito equivalente de Norton fonte de corrente em paralelo com resistência
ISC = corrente de curto-circuito (short-circuit)
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Teorema de Thévenin
Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, éequivalente a um circuito constituído por uma fonte de tensãoem série com uma resistência VTH = VOC
tensão equivalente de Thévenin tensão em circuito aberto
RTH
resistência equivalente de Thévenin
resistência vista dos dois terminais
Como determinar circuito
equivalente de Thévenin?
analisar circuito linear calcular VOC e RTH
+
V OC
- RTH
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Teorema de Norton
Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, éequivalente a um circuito constituído por uma fonte de cor-rente em paralelo com uma resistência IN = ISC
corrente equivalente de Norton
corrente medida em curto-circuito
RTH
resistência equivalente de Thévenin (Norton)
resistência vista dos dois terminais
Como determinar circuito
equivalente de Norton? analisar circuito linear
calcular ISC RTH RTH
I SC
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Equivalência entre circuitos Thévenin - Norton
OC TH
SC
V
R I =
Circuitos de Thévenin e Norton são equivalentes ao circuito linear
logo são equivalentes entre si
Qual a relação entre
VOC, ISC e RTH? Uma vez conhecida esta relação, basta calcular duas das
grandezas e pode obter-se a terceira escolher o cálculo das duas grandezas que são mais fáceis de calcular
independentemente do tipo de circuito equivalente (Thévenin ou Norton)
que se pretende determinar
Método de cálculo de VOC, ISC e RTH? depende da estrutura do circuito linear que se tem de analisar e do qual se
pretende calcular o circuito equivalente (Thévenin ou Norton)
Tem geradores?... São independentes?... Tem geradores dependentes?...
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Circuito sem geradores
VOC = 0
ISC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia no circuito, não há corrente
eléctrica!
RTH = simplificação das resistências do circuito
Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton são apenas uma resistência de valor RTH
Qual o circuito equivalente de Thévenin/Norton?
RTH =22kΩ ΩΩ Ω RTH =3kΩ ΩΩ Ω
A
B
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
1
2
I SC
Circuito só com geradores independentes
Podem calcular-se as 3 grandezas: VOC, ISC ou RTH
VOC – calculada com o circuito em aberto
ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais
RTH – eliminam-se geradores independentes e simplificam-se resistências
calcular apenas 2 grandezas – escolher mais fáceis
Calcular equivalente de Thévenin
visto para a esquerda dos nós 1 e 2 VOC – divisor de tensão
RTH – elimina-se fonte independente
ISC – curto-circuito entre 1 e 2
não passa corrente na R20k
( )12
206 2
20 40OC
k V V V
k k = = − = −
+
4020 // 40 13,33TH
k R k k k
= = = Ω
60,15
40SC
I mAk
−= = −
13,3k Ω
2V
1
2
+
V OC
-
1
2
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Circuito com geradores independentes e dependentes
Calcular VOC e ISC
VOC – calculada com o circuito em aberto
ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais
Obter RTH = VOC /ISC
Calcular equivalente de Norton visto para a esquerda de a-b
VOC
ISC
RTH
a
b
1
12 22
3 1
2
OC ab O
OC
OC
V V V
V k I
VO I I mA
k k
V V
= =
= ×
−= ⇔ =
+
=
( ) 1
120 2 0, 0 4
3O O R k SC V V V I I mA
k = Ω
= ⇒ = = ⇒ = =
500OC TH
SC
V R
I = = Ω
500Ω4mA
a
b
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Circuito só com geradores dependentes
VOC = 0
ISC = 0 se não existe nenhuma fonte de energia independente no circuito, não há
corrente eléctrica!
Não se pode calcular RTH = VOC /ISC
obtém-se uma indeterminação matemática
É preciso usar uma fonte de teste dependendo do circuito aplica-se fonte de tensão (V T ) ou de corrente ( I T )
aos terminais do circuito
a razão entre V T e I T é a resistência equivalente de Thévenin
I T
+V T
-
V T
I T
T TH
T
V R
I =
A
B
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Circuito só com geradores dependentes
Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais AB VOC=0 ISC=0
aplicar fonte de teste de tensão VT=1V
calcular a corrente IT=I0
calcular RTH=VT /IT=1/IT
cálculo de IT
KVL malha exterior, KCL nó V1
calcular Vx, I1, I2 e I3, I0=IT
V T I T
1
11 1
1
1
2 1
01 2 1
3
7
3
1 7
AB x
x
x
x
V V V
V V V V
k k k
V V
V I mA
k
= = +
− −
+ + =
=
= =
2
3
0 1 2 3
1 2 1
1 7
1 1
2 2
15 1 14
14 15
x
T TH
T
V I mA
k
I mAk
I I I I I mA R k I
−= =
= =
= = + + = = = Ω
A
B
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Conversão de Geradores
Geradores reais gerador de tensão real – tem resistência interna em série
gerador de corrente real – tem resistência interna em paralelo
Um gerador de tensão real é equivalente a um gerador decorrente real esta equivalência pode usar-se para simplificar circuitos
Calcular VO
OC TH
SC
V R
I =
( )
44
4 4 4
1
8
O
O
O
k I mA
k k k
I mA
V V
=
+ +
=
=
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Como determinar circuito equivalente?
Pode determinar-se circuito equivalente calculando o equivalente de todo o circuito linear
calculando parcialmente um circuito equivalente
nunca se podem separar as variáveis de controlo dos geradoresdependentes, da parte do circuito onde estes estão inseridos!
Calcular VO
6OC
V V = −
18SC I mA= −
18
7O
V V = −
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular circuitos equivalentes de Thévenin e Norton vistosdos terminais A-B
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Exemplos de aplicação
Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton
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TCFE Análise de Circuitos Lineares
Ferramentas de análise de circuitos lineares
Lei de Ohm e Leis de Kirchhoff (KCL e KVL)
Componentes em série e paralelo Resistências, geradores(fontes) de tensão e de corrente
Propriedades de circuito linear Homogeneidade (escalamento), Aditividade
Teorema da Sobreposição
Teoremas de Thévenin e Norton
Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton
Conversão de geradores