Tcc final ailton
-
Upload
ailton-barcelos -
Category
Documents
-
view
1.012 -
download
11
description
Transcript of Tcc final ailton
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-
HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos
alunos
DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON BAPTISTINIORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA – PROFESSORA ADJUNTA – DMEALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA
SÃO CARLOS/ SP2009
AILTON BARCELOS DA COSTA
PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA ORIENTADORA
O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-
HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos
alunos
DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON BAPTISTINI
SÃO CARLOS/ SP
2
2009
SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
1.2 QUESTÃO DE INVESTIUGAÇÃO
1.3 OBJETIVOS
2. METODOLOGIA DA PESQUISA
3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES
4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES
5. DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA
5.1 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES
5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES
5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS
5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS
6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES
6.1.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE
6.1.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA
6.1.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA
6.2 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES
6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS
6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS
7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE
HOJE
8.1 FUNÇÕES
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
3
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(V) DECADA DE 2000
8.2 CÁLCULO
8.2.1 FUNÇÃO
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000
8.2.2 LIMITE
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000
8.2.3 DERIVADA
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000
8.2.4 INTEGRAL
(i) DECADA DE 1960.
(ii) DECADA DE 1970
(iii) DECADA DE 1980
(iv) DECADA DE 1990
(v) DECADA DE 2000
4
9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE
CÁLCULO
9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1
(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1
(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL.
1
(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1
(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL.
1
(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA
ANALÍTICA - VOL. 1
10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE
CÁLCULO
10.1 Metodologias
(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.
(ii) Principio Genético
(iii) Método Experimental
(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino
10.2 Livros de Cálculo usando a história
11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO
12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS
DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
13. CONCLUSÕES
14. BIBLIOGRAFIA
15. DATA – LOCAL – ASSINATURA
5
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.
FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.
FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.
FIGURA 5:REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DO
CÍRCULO.
FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL
JAIRO BEZERRA.
FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE
APOSTOL (1967)
FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA
(2001)
LISTA DE GRÁFICOS
GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,
POR SEMESTRE
GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM
DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de
1999 a 2008.
GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008.
GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.
LISTA DE TABELAS
TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL
E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008.
TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem
desistências, de 1999 a 2008.
TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
6
TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.
RESUMO
A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nas
disciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nos
últimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras,
sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo. Também partimos de nossa experiência
em trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica, o que nos
levou à questão de investigação, onde perguntamos de forma a perspectiva lógico-
histórica poderia se configurar como metodologia de ensino de Cálculo.
Dessa forma, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde esta
se faz preferencialmente sobre documentação escrita, o qual segundo FIORENTINI &
LORENZATO (2006) a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras.
Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que
permitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos por
semi-estruturadas.
Nesse sentido, inicialmente, entrevistamos professores que ministram aulas de
Cálculo. Em seguida, transcrevemos e analisamos tópicos destas entrevistas para
levantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou a
compreender as dificuldades de aprendizado.
Fizemos um estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, no
qual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da Matemática
Contínua, desde os gregos com a Escola Platônica, passando pela visão discreta de
Leibniz e a visão contínua de Newton, até chegarmos à análise não-standard.
A história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral
vêm em seguida, de forma a compreendermos os nexos conceituais do Cálculo,
historicamente construídos.
Ao compreendermos estes nexos, buscamos os currículos e livros didáticos para
analisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desde
a década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de tal
disciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna.
7
Assim, nos fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos
cursos de Cálculo e buscamos analisar algumas sugestões metodológicas que têm como
foco, História do Cálculo.
Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológica
para o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qual
concluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o
estudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho
histórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos,
em vez do enfoque metodológico tradicional.
8
1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a nossa experiência em
trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica foi feita sob
esta ótica, enfatizando o ensino de seqüências e progressões no Ensino Médio.
Outro ponto considerado importante para a elaboração desse projeto foi o grande
número reprovações nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral que observamos
na UFSCar (Universidade Federal de São Carlos), no período compreendido entre 1999
e 2008, semestralmente, cujos dados seguem logo abaixo, no capítulo 3.
Conforme observa BROLEZZI (2008), no caso particular do Cálculo, que é
considerada porta de entrada para a Matemática superior, há quase uma unanimidade
entre os professores que se interessam por problemas do ensino superior em entender
que seria preciso seguir mais a ordem histórica da construção do Cálculo, que é inversa
da ordem geralmente adotada nos livros, ou seja, de acordo com REZENDE (2003),
possibilitar que o Cálculo exerça no ensino básico de Matemática o mesmo papel
epistemológico que ele realizou no processo de construção do conhecimento
matemático no âmbito científico.
Dessa forma, propomos estudar uma Metodologia que se fundamenta na História
da Matemática para o ensino das disciplinas de Cálculo, onde é proposto que o aluno
participe do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos.
De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto
Iniciação Científica, vimos que a análise sobre o uso da História da Matemática,
pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático.
Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, não
apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,
psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, o
educador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática no
ensino, tem condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos,
contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecer
com a realidade.
9
Assim, há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam ser
visados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais
como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros
problemas que surgem durante o processo.
Então, o distanciamento propiciado pela História é, assim, imprescindível para
se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no
ensino elementar (BROLEZZI, 1991).
Portanto, estamos propondo uma Metodologia que leve o aluno a participar da
construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das
exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento
do Cálculo. A este processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica, o
qual é estudado principalmente pelos seguintes autores: SOUSA, M. C., LANNER DE
MOURA, A. R. e MOISÉS, R. P.
Passemos agora aos objetivos de cada capitulo do corpo do trabalho, antes de
seguirmos ao mapa conceitual das principais idéias da pesquisa.
TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES: O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de
reprovações de algumas universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.
CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES: O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a
professores possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes,
bem como algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações,
conforme mostrado no capitulo anterior.
DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA: O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo
à luz da literatura especializada, bem como retomando sugestões de professores
entrevistados sobre tais dificuldades.
10
O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO:
O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no
desenvolvimento do Cálculo.
HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL: O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os
conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.
O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE
HOJE: O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no
ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60
até os dias de hoje.
1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
11
Introd. e Justificativa
MetodologiaTaxas de reprovações
em Cálculo
Entrevista com professores
Análise: dificuldades no aprendizado de cálculo
Historia e Desenv. do Cálculo
Discreto e Continuo do Cálculo
A Importância da História da Matemática no Cálculo
Cálculo no Ensino Médio: de 1960 à 2000
Análise: Livros Usando em Cálculo
Proposta Metod. No Ensino de Cálculo
Delimitação de Propostas de Ensino
1.2 QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO
“De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia
de ensino de Cálculo?”
1.3 OBJETIVOS
Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino na disciplina
de Cálculo.
Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.
2. METODOLOGIA DA PESQUISA
A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, onde, se faz
preferencialmente sobre documentação escrita, ou seja, segundo FIORENTINI &
LORENZATO (2006), neste tipo de pesquisa a coleta de informações é feita a partir de
fichamento das leituras. Outra característica desse tipo de pesquisa, para o mesmo autor
é que os documentos para estudo se apresentam de forma estáveis no tempo e ricos
como fonte de informação, pois como no nosso caso, incluem livros, propostas
curriculares, dissertações ou teses acadêmicas e artigos de revistas científicas.
Aqui, entre as descrições de FIORENTINI & LORENZATO (2006) sobre os
vários tipos de estudos bibliográficos desçamos a que mais se encaixa nos nossos
estudos, que é a metanálise, que é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando
realizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzirem novos resultados ou sínteses
a partir do confronto desses estudos, transcedendo aqueles anteriormente obtidos.
Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, que
de acordo com FIORENTINI & LORENZATO (2006) permite uma obtenção mais
direta e imediata dos dados, servindo para aprofundar o estudo. Já quanto á
classificação, nossas entrevistas são semi-estruturadas, pois aqui, quando o pesquisador
pretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza um
roteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com o
12
desenvolvimento da entrevista, alterar a ordem dos mesmos e, inclusive formular
questões não previstas inicialmente.
Ainda quanto às entrevistas, FIORENTINI & LORENZATO (2006, p. 122)
destacam uma série de recomendações aos entrevistadores, às quais pretendemos seguir:
Antes de iniciar o processo de entrevista, o
entrevistador deve explicar o objetivo e a natureza
do trabalho, esclarecendo porque ele foi escolhido
para entrevista.
Assegurar o anonimato do entrevistado e o sigilo
do depoimento, garantindo que os mesmos serão
utilizados somente para a finalidade de
investigação.
O entrevistador deve solicitar a autorização para
gravar a entrevista, assegurando, depois, que a
transcrição será lida, revisada e autorizada pelo
entrevistado.
Escolher, para entrevista, um lugar apropriado e
tranqüilo que favoreça um diálogo profundo,
esclarecendo que o entrevistado tem o direito de
não responder a todas as perguntas, podendo,
inclusive, interromper a entrevista.
O entrevistado não deve discutir sua opinião ou
seus pontos de vista, nem mostrar surpresa ou
desaprovação e, mesmo ainda, avaliar
negativamente.
Recomenda-se que o entrevistador não interrompa
o curso do pensamento do entrevistado.
Assim, entrevistamos quatro professores, através de um questionário semi-estruturado,
os quais tinham as seguintes questões, em forma de roteiro:
1. OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINO
MÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?
13
Objetivo: Investigar as principais deficiências dos alunos do ensino médio ao
começar o curso de Cálculo.
2. OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NA
AULA TAIS ATITUDES?
Objetivo: Investigar a postura dos alunos durante as aulas.
3. OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOS
ENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?
Objetivo: Investigar deficiências de interpretação de textos durante as aulas de
Cálculo, em especial na resolução de exercícios ou problemas.
4. QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DE
LIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?
Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de limites.
5. EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOS
ALUNOS? POR QUÊ?
Objetivo: Investigar dificuldades nas demonstrações de Cálculo.
6. OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMA
CONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?
Objetivo: Investigar o comportamento dos alunos em relação aos estudos
contínuos do conteúdo.
7. QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NO
APRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS?
Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de derivadas.
8. QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DE
CÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DA AULA?
Objetivo: Investigar o tipo de metodologia utilizada pelo docente.
14
9. VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIA
INFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?
Objetivo: Investigar concepções do docente em relação à mudanças
metodológicas.
10. QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DO
CALCULO NAS SUAS AULAS?
Objetivo: Investigar a concepção do docente em relação ao papel da história da
matemática como metodologia nas aulas de Cálculo.
11. O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?
Objetivo: Investigar se o docente está satisfeito com o modelo de ensino de
Cálculo, bem que prováveis mudanças na disciplina poderiam ser feitas.
Dessa forma, pretendemos estudar os conceitos de Cálculo a partir da
perspectiva lógico-histórica, onde podemos caracterizar a pesquisa por investigação
histórica, como procedimento de ensino, na qual deva ser orientada ou regida pela idéia
de que o conhecimento da evolução de um conceito matemático possibilita ao aluno
a sua compreensão.
De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projeto
Iniciação Científica, podemos dizer que ao pesquisador oportuniza a formação de uma
visão dinâmica e processual da Matemática e estabelecer uma identidade entre
processos de produção e aprendizagem de seus conhecimentos, deixando de
reduzir as questões metodológicas do ensino a uma simples reprodução mecânica.
Aqui também podemos trazer os principais instrumentos de nossa pesquisa, que
são:
- Livros didáticos;
- Propostas curriculares;
- Entrevistas;
- Artigos;
- Dissertações;
15
- Teses.
- Banco de Dados SCIELO.
- Páginas de busca na internet.
- Página do DM – UFSCar na internet.
3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM
ALGUMAS UNIVERSIDADES
O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumas
universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.
Tal capítulo também tem a finalidade de desmistificar a concepção de que
apenas na UFSCar existem altos índices de reprovações, pois de acordo com RESENDE
(2003), tal problema do fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela
condição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do
ensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos
sobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da
literatura especializada internacional.
Dessa forma, levantamos alguns dados sobre reprovações das disciplinas iniciais
de Cálculo, em algumas universidades brasileiras, como segue:
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (UFF);
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC);
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP);
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS (UFSCar);
Então, tomando DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos que em 1990,
o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino - SAEB/ INEP – MEC, realizou uma
pesquisa em 4.790 escolas públicas de vinte e cinco Unidades da Federação, envolvendo
108.982 alunos de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries, através de testes semi-objetivos e objetivos,
através da qual se constatou que o desempenho qualitativo dos alunos em matemática é
extremamente baixo.
Dessa forma, de acordo com DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos:
Estes dados revelados pelo SAEB vêm confirmar a
triste realidade por que passa o ensino de
16
matemática e que nas últimas décadas tem afetado,
sobremaneira, o desempenho dos alunos que
ingressam na universidade, principalmente aqueles
que são dirigidos a cursar a disciplina Cálculo
Diferencial e Integral I. Os efeitos dessas
deficiências podem ser observados na própria
estatística de aprovação nessa disciplina, na
Universidade Federal do Ceará, que não chega a
ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada
semestre.
Em RESENDE (2003, p. 1) temos os seguintes dados:
BARUFI (1999), em sua tese de doutorado, nos
revela alguns dados alarmantes dessa crise: o
índice de não-aprovação em cursos de Cálculo
Diferencial e Integral oferecidos, por exemplo, aos
alunos da Escola Politécnica da USP, no período
de 1990 a 1995, varia de 20% a 75%, enquanto
que no universo dos alunos do Instituto de
Matemática e Estatística o menor índice não é
inferior a 45% - isto é, não se aprova mais do que
55% em uma turma de Cálculo.
No que diz respeito à UFF, instituição onde
leciono, os índices de não-aprovação são bem mais
catastróficos do que os levantados por Barufi, na
USP.
Assim, de acordo com REESENDE (2003, p. 2), temos:
Na UFF, a variação do índice de não-aprovação
se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que,
para o Curso de Matemática, este não é inferior a
65%.
17
Agora, tomando a UFSCar, de acordo a página do Departamento de Matemática
da mesma, podemos mostrar dados sobre reprovações nas seguintes disciplinas:
Cálculo 1;
Cálculo Diferencial e integral 1
Cálculo A;
Cálculo B;
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E
2008, POR SEMESTRE:
TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO
DIFERENCIAL E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS,
ENTRE 1999 E 2008.
18
19
GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL E
INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,
POR SEMESTRE
Dessa forma, vemos que a taxa de reprovação dessa disciplina varia entre 27% e
60%, com uma taxa semestral média de 35,75%.
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM
DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
20
1999
/119
99/2
2000
/120
00/2
2001
/120
01/2
2002
/120
02/2
2003
/120
03/2
2004
/120
04/2
2005
/120
05/2
2006
/120
06/2
2007
/120
07/2
2008
/120
08/2
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
REPROV. CDI 1Coluna C
GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE,
SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com taxa média
semestral de 34,6%.
Agora, vamos tomar a taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem
desistências, de 1999 a 2008.
212
00
5/1
20
05
/2
20
06
/1
20
06
/2
20
07
/1
20
07
/2
20
08
/1
20
08
/2
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0REPROV. CALCULO 1 Coluna C
TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem
desistências, de 1999 a 2008.
GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências,
de 1999 a 2008.
Aqui vemos a taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa média anual
de 38,3%.
Agora, finalmente, vamos tomar as taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a
2008:
TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
22
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20080.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
REPROV. CALC. A
Coluna C
GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008
Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com uma taxa
anual média de 33,8%.
Então, agora podemos fazer uma análise das taxas sobre as taxas de reprovações
nas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar.
Então, revisando, se tomarmos a UFSCar, podemos mostrar dados sobre
reprovações nas seguintes disciplinas inicias de Cálculo:
23
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20080.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
45.0
50.0
REPROV. CALC. B
Coluna C
Cálculo 1: A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com taxa média de
35,75%.
Cálculo Diferencial e integral 1: A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%,
com taxa média de 34,6%.
Cálculo A: A taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa de 38,3%.
Cálculo B: A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com taxa média de
33,8%.
Antes de entramos nas taxas reprovações, vamos ver algumas observações sobre
o caráter de cada disciplina, observando o objetivo geral de cada uma delas:
CALCULO 1 (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções
reais de uma variável real.
Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo
diferencial e integral dessas funções.
Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em
problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.
Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da
ciência.
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 (5 CRÉDITOS TEÓRICOS + 1
PRÁTICO):
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções de
uma variável real.
Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculo
diferencial e integral 1.
Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas em
problemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados.
Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão da
ciência.
Desenvolver a habilidade computacional colocando o aluno em contato com os
laboratórios computacionais reenge/ligs desde o seu ingresso na ufscar.
24
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A (4 CRÉTIDOS TEÓRICOS):
Familiarizar o aluno com a linguagem matemática básica dos problemas de
continuidade, diferenciação e integração, que são conceitos imprescindíveis no estudo
da física moderna e das ciências em geral.
Apresentar ao aluno as primeiras aplicações do cálculo diferencial e integral nas
ciências físicas e aplicadas.
Utilizar programas computacionais para cálculos algébricos e aproximados,
visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria do cálculo
diferencial de funções reais de uma variável.
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B (4 CRÉDITOS TEÓRICOS):
Desenvolver os conceitos e técnicas ligadas ao cálculo integral.
Introduzir o aluno no universo das equações diferenciais ordinárias.
Fornecer ao estudante técnicas para a resolução de equações diferenciais
ordinárias de 1ª e 2ª ordens.
Utilizar programas computacionais para o cálculo algébrico e aproximado,
visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria da integração e
às equações diferenciais ordinárias.
Dessa forma, a média de reprovações nas quatro disciplinas iniciais de Cálculo
oferecidas pela UFSCar, está entre 33,3% e 38,3%, o que é inferior às taxas aqui citadas
da UFC, UFF e USP, mas ainda são consideradas altas.
Dessa forma, podemos tirar a conclusão de que as taxas de reprovações nas
disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar são inferiores às taxas das respectivas
universidades citadas acima, que é o oposto da nossa concepção antes do trabalho, e
também bem como do que é propalado entre os estudantes de nossa universidade.
Assim, observando os objetivos gerais de Calculo 1 e de Cálculo Diferencial e
Integral 1, vemos os objetivos são os mesmos, a menos de no segundo existir um crédito
para aplicações computacionais. Também observamos que o segundo tem um crédito
teórico a mais que o primeiro.
Já Calculo A e B, existem mais conceitos teóricos, e menos aplicados que as
outras disciplinas iniciais de Calculo, além de Cálculo A ser oferecido no segundo
período, após o oferecimento da disciplina de Fundamentos 1, de nível mais elementar.
25
Dessa forma, o grande numero de reprovações em Calculo A pode acontecer
devido à dificuldade em linguagem matemática básica de funções, o que incluem-se
demonstrações, uma deficiência tida como fundamental dos alunos que chegam à
universidade, já que tal estudo raramente é feito no ensino médio, segundo ÁVILA
(1991).
Agora, segue abaixo entrevistas com professores, de onde podemos observar
algumas concepções destes sobre ensino-aprendizagem de Cálculo.
4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO
PROFESSORES
O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professores
possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem como
algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conforme
mostrado no capitulo anterior.
Dessa forma, pretendemos tirar a partir das concepções sobre ensino-
aprendizagem algumas dificuldades dos alunos e possíveis soluções apontadas por esses
professores, para que no próximo capitulo possamos fazer uma análise detalhada de tais
dificuldades, mediante a literatura disponível.
Assim, passamos às transcrições dos principais episódios de tais entrevistas.
(i) PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE
CÁLCULO:
PROFESSOR 1: Não aponta.
PROFESSOR 2: Deficiências: conceitual e de conteúdo, tanto algébrica quanto
geométrica.
PROFESSOR 3: Varia de curso para curso, pois cursos mais concorridos têm
poucas deficiências, enquanto os menos concorridos, muitas deficiências.
PROFESSOR 4: A primeira dificuldade está em álgebra.
ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui podemos notar que três professores apontam
que os alunos têm deficiências, mas somente dois as enumera, onde são descritos
26
por dois como de ordem algébrica e por por um deles de ordem geométrica, o
que podemos dizer há um problema na estruturação do pensamento algébrico por
parte desses alunos.
(ii) LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS:
PROFESSOR 1: Dificuldade em ler o livro, em interpretação
PROFESSOR 2: Tem dificuldade de interpretação e de expressão.
PROFESSOR 3: Poucas dificuldades, e não atrapalha.
PROFESSOR 4: Acredito que exista uma componente cultural, pois não sabem
se expressar, e nem conseguir interpretar os textos, pois lêem pouco.
ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui há um consenso sobre dificuldades de
interpretação de texto, onde um professor chega a citar como uma dificuldade de
origem cultural, devido à pouca leitura que os alunos fazem fora das obrigatórias
para a faculdade. Tal dificuldade de interpretação também é citada por BARUFI
(1999), cita (Machado, 1990, p. 10), onde retiramos o seguinte comentário a respeito
da colaboração entre a Matemática e a Língua Materna:
Entre a Matemática e a Língua Materna existe
uma relação de impregnação mútua. Ao
considerarem-se estes dois temas enquanto
componentes curriculares, tal impregnação se
revela através de um paralelismo nas funções que
desempenham, uma complementaridade nas metas
que perseguem, uma imbricação nas questões
básicas relativas ao ensino de ambas. É
necessário reconhecer a essencialidade dessa
impregnação e tê-la como fundamento para a
proposição de ações que visem à superação das
dificuldades com o ensino da Matemática.
Dessa forma, vemos que os alunos, segundo os professores entrevistados,
não percebem a importância e nem a relação entre Língua Materna e Matemática, o
27
que está explicito na falta de leitura extracurricular. Assim, alunos chegam no curso
superior com dificuldades de interpretação de texto, o que se reflete, por exemplo,
no não entendimento de enunciados de exercícios e problemas.
(iii) QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE
AULA:
PROFESSOR 1: Não perguntam.
PROFESSOR 2: Menos de 20%.
PROFESSOR 3: Menos de 10%.
PROFESSOR 4: Não perguntam.
ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico enfatizamos a passividade, ou de outra
forma, se os alunos perguntam em sala de aula. As respostas são estarrecedoras, já a
taxa de alunos que participam ativamente da aula é de uma taxa muito baixa. Aqui,
surgiu outro fato, sobre a causa dessa passividade, o que não sabem identificar de
uma forma geral, mas tal fato por ter origem no ensino médio, e na forma que tais
alunos sempre se comportam em sala de aula.
(iv) A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O
APRENDIZADO:
PROFESSOR 1: Influencia.
PROFESSOR 2: Influencia.
PROFESSOR 3: Influencia.
PROFESSOR 4: Influencia.
ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui surge outra unanimidade, onde os professores
declaram que a passividade dos alunos influencia o aprendizado, ao não expressar
aos professores onde pode estar o problema da aula, das dificuldades sentidas ou da
própria metodologia do professor.
(v) QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA
CONTINUAMENTE OU NÃO:
28
PROFESSOR 1: Os alunos não estudam continuamente.
PROFESSOR 2: Os alunos não estudam continuamente.
PROFESSOR 3: Os alunos não estudam continuamente.
PROFESSOR 4: Os alunos não estudam continuamente.
(vi) QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO:
PROFESSOR 1: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.
PROFESSOR 2: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.
PROFESSOR 3: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.
PROFESSOR 4: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre.
(vii) ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico há unanimidade novamente, quando os
professores identificam que os alunos não estudam continuamente, de uma forma
geral, pois tanto nas monitorias quanto nos atendimentos, há pouca procura durante
todo o período, e se concentrando na véspera da prova tal procura por tirar as
dúvidas na disciplina. Entre os professores há um consenso que se alunos estivessem
estudando continuamente, haveria mais procura dos alunos nos atendimentos, e uma
possível identificação mais fácil por parte dos professores dos pontos de mais
dificuldades por parte dos alunos.
(viii) QUANTO À DIFICULDADE EM LIMITES:
PROFESSOR 1: A dificuldade é no conceito em si, na abstração.
PROFESSOR 2: É um conceito complicado, de depende muito do professor.
PROFESSOR 3: Limites têm dificuldades na definição, e na idéia geométrica.
PROFESSOR 4: Usa o mínimo de linguagem matemática avançada, e
minimiza as dificuldades usando a idéia geométrica.
(ix) QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO:
PROFESSOR 1: Limites.
PROFESSOR 2: Limites.
PROFESSOR 3: Limites.
PROFESSOR 4: Limites.
29
ANÁLISE DO TÓPICO: Uma unanimidade que surge aqui é a citação do conceito
de limite como chave nos cursos de Cálculo, ou seja, RESENDE (2003, p. 9), nos
traz seguinte, fazendo a mesma referência:
(…) O conceito de função, introduzido no núcleo
semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, vai
constituir, junto com a noção de limite, a urdidura
da nova estrutura do Cálculo.
Dessa forma, podemos dizer que podemos definir derivadas como um
limite, e da mesma uma integral, como o limite das somas de Riemann, ou seja,
colocando limite como um conceito de fato fundamental nos cursos iniciais de
Cálculo.
(x) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS:
PROFESSOR 1: Dificuldade em limites.
PROFESSOR 2: Dificuldade em limites.
PROFESSOR 3: Dificuldade em limites.
PROFESSOR 4: Dificuldade em limites.
ANÁLISE DO TÓPICO: Podemos que derivada é definida como um limite, ou
seja, se aluno teve dificuldades em limites, e não tem esse conceito bem assentado,
vai ter dificuldades em derivadas.
(xi) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS:
PROFESSOR 1: Dificuldade em limites.
PROFESSOR 2: Dificuldade em limites.
PROFESSOR 3: Dificuldade nas técnicas, como de substituição trigonométrica.
PROFESSOR 4: Dificuldades e continuidade e em aplicações.
ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui dois professores relatam que os alunos tem
dificuldades em limites, pois de fato, podemos tomar a integral como o limite das
30
somas de Riemann. Outras dificuldades relatadas são nas técnicas de integração, na
parte algébrica em si.
(xii) QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA:
PROFESSOR 1: Não sabe o que é metodologia.
PROFESSOR 2: Tradicional.
PROFESSOR 3: Tradicional.
PROFESSOR 4: Tradicional.
ANÁLISE DO EPISÓDIO: Quando perguntado sobre que tipo de metodologia o
professor usava em sala de aula, encontramos que três deles só usavam a tradicional,
enquanto outro não sabia o que era metodologia.
(xiii) QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTORIA DA
MATEMÁTICA OU MUDUNDAÇA NA METODOLOGIA:
PROFESSOR 1: Não sabe.
PROFESSOR 2: Não perguntado.
PROFESSOR 3: Não resolve.
PROFESSOR 4: Não resolve. Historia da Matemática só serve para motivação.
ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui tratamos de indagar se o uso de história da
matemática enquanto metodologia ajudaria alguma coisa no aprendizado dos alunos.
O resultado é que um deles não sabe se ajuda ou não, enquanto outros dois afirmam
que não resolvem, pois na visão deles, a história só serviria como motivação aos
alunos. Aqui destacamos que estes professores têm uma formação técnica em
matemática pura, e na sua maneira de ver o ensino, apenas reproduziriam o que teria
visto em suas vidas acadêmicas.
(xiv) O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES:
PROFESSOR 1:
O que diminuiria o numero de reprovações, é se talvez você desse mais tempo. A
pergunta é para que você quer isso? Aprendizado? Ótimo, não deu nesse semestre,
tente de novo. A comparação que eu faço é que se a gente pedisse para a mesmo
31
numero de alunos que faz calculo fosse aprender musica, talvez você teria índices de
reprovações mais altos.
PROFESSOR 2: O aluno tem que ter consciência do que ele ta fazendo aqui.
Depois, a herança cultural que trouxe. Tem que ter boa vontade, motivação, de
natureza interna. De 40 a 45 anos de magistério, vejo que o aluno tem que ter
disposição em aprender.
PROFESSOR 3: Precisa conscientizar os alunos a estudar e de maneira certa.
Estuda errado.
PROFESSOR 4: Qual o índice de reprovações no ITA? Não sei, mas deve ser
baixo. Acredito que lá devo ser próximo de zero. Eles tem vestibular forte, e entra
quem tem capacidade e competência. Aqui talvez não fazemos isso, os alunos não
têm base, o vestibular é fraco.
ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui foi abordado o tema reprovações, o que poderia
ser feito para diminuí-las. O professor 1 diz que poderia dar mais tempo para o
aluno fazer cálculo, e de certa forma, reprovações aqui não inevitáveis. O professor
2 vem dizer que o problema está no aluno, na falta de motivação e de consciência do
que ele está fazendo na universidade, e que tem haver muito com a herança cultural
de cada aluno. Já o professor 3 vem dizer que o problema está no aluno, e ele não
sabe estudar. Finalmente o professor diz que o problema está na base do aluno, e
que o vestibular é fraco e que não os seleciona direito.
5. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A
PARTIR DA TEORIA
O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literatura
especializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre tais
dificuldades.
32
Retomando o capitulo anterior, onde dissemos que, de acordo com RESENDE
(2003), um dos grandes desafios no ensino superior de matemática ainda é, sem dúvida,
o tão propalado “fracasso no ensino de Cálculo”.
Dessa forma, continua a nos falar RESENDE (2003), que tal problema do
fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela condição sócio-
econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do ensino de Cálculo
nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tema
têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializada
internacional. DAVID TALL (1976), por exemplo, continua RESENDE (2003), tem
sido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemático
avançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades encontradas nas
aprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como
pano de fundo para as suas análises epistemológicas.
Dessa forma, podemos apresentar algumas questões, levantadas por RESENDE
(2003, p. 4), tais como:
a) Qual é a razão de tantas reprovações?
b) Onde reside a dificuldade?
c) No processo de aprendizagem?
d) No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?
e) Ou estaria esta dificuldade no próprio professor, ou na metodologia de ensino,
ou ainda, na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte que
esta disciplina mereceria?
São muitas as respostas e encaminhamentos por pesquisadores da área, ou seja,
de acordo com RESENDE (2003), uns preferem justificar o problema no âmbito da
psicologia cognitiva, pois acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é,
os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas que
permitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo; já para outros o problema
é de natureza mais simples, ou seja, as dificuldades de aprendizagem são decorrentes do
processo didático, isto é, a solução reside em se encontrar uma forma apropriada para se
ensinar a disciplina de Cálculo.
33
Dessa forma, tentaremos resumir as algumas dificuldades no aprendizado dos
tópicos apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo.
5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES
De acordo com OLIMPIO JUNIOR (2006), entre os conceitos matemáticos
referidos às funções é, seguramente, o único apresentado e discutido na maioria absoluta
dos cenários de Ensino Médio brasileiro.
Dessa forma, ao longo do desenvolvimento histórico do conceito de função,
foram surgindo algumas dificuldades, e sendo superadas, na medida do possível.
Então, podemos começar pelo conceito de variável independente, que segundo
COTRET (1986/7), citado em OLIVEIRA (1997), é importante saber que tal noção
aparece no conceito de função a partir do conjunto de estudos qualitativos e
quantitativos do movimento, e isto, por intermédio das representações gráficas, pois até
fim da idade média, não se considerava que certos valores se integravam dentro do
conceito de grandeza variável. Tal separação era devida aos obstáculos das proporções,
da homogeneidade e da incomensurabilidade. Vejamos então estes obstáculos
epistemológicos:
Proporção
OLIVEIRA (1997) vem nos dizer que entre os gregos, e até a Idade Média, as
relações entre grandezas ou entre quantidades eram expressas por meio de proporções,
pois deste fato devem-se sempre considerar 4 elementos aleatórios. Continua
OLIVEIRA (1997), que esta forma de proceder dissimulava a relação de funcionalidade
que podia existir entre as 2 variáveis em jogo, ou seja, por exemplo, para exprimir a
relação que existe entre a área e o diâmetro de um círculo, procedia-se assim: A1/ A2 =
(d1)2 / (d2)2. Dessa forma, este elemento de funcionalidade não podia ser expresso
pela proporção.
Homogeneidade
Segundo OLIVEIRA (1997), o princípio de homogeneidade estipulava que só se
poderia comparar elementos da mesma natureza, as áreas ou os segmentos ou ainda os
volumes.
34
Pode-se dizer, segundo OLIVEIRA (1997), que a homogeneidade reforçou a
utilização das proporções, isto é, por exemplo do obstáculo da homogeneidade, pode-se
sublinhar o fato que antes da extinção deste obstáculo, era impossível dar-se uma
definição métrica da velocidade, quer dizer, não se podia definir a velocidade como uma
função da distância e do tempo, isto é, v = d/t, pois estes elementos são de naturezas
diferentes, ou seja, utilizava-se então sempre as proporções, por exemplo: v1 / v2 = t1 /
t2.
Assim, concluindo, OLIVEIRA (1997) nos diz que na realidade, o que se perdia
não eram os próprios elementos, mas as relações desses elementos, e essas relações
podiam ser quantitativas, mas também, simplesmente, as relações de grandezas que não
poderiam ser expressas numericamente.
Incomensurabilidade
Segundo OLIVIVEIRA (1997), não podemos dizer que o conhecimento da
incomensurabilidade seja um obstáculo como tal ao desenvolvimento de função, mas
teve considerável influência sobre a utilização das proporções, pois além de provocar
um retrocesso, ela criou um mal entendido a tudo que toca o infinito. Assim,
OLIVEIRA (1997), nos diz que este problema é de grande importância, pois relaciona
com tudo que tem a ver com os conceitos de variações.
5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES
Segundo VIEIRA (1999), as dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagem
do conceito de limite são há muito conhecidas.
Assim, ao tomarmos ENGLER at al (2007), citamos ARTIGUE (1995) que vem
nos dizer que as dificuldades de acesso ao cálculo são diversificadas e complexas. Por
isso, segundo ENGLER at al (2007), é possível agrupá-las em categorias amplas,
associadas com:
a) A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo;
b) A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu
conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino;
c) Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e
algébrico.
35
Continuamos seguindo ENGLER at all (2007), onde ele se refere aos trabalhos
de CORNU (1991) e SIERPINSKA (1985), onde estes manifestam que a enorme
dificuldade de ensino e aprendizagem do conceito de limite se deve a sua complexidade,
tanto nos aspectos cognitivos implicados, não se podem gerar a partir da definição
matemática.
Já ARTIGUE (1998), vêm nos dizer que as investigações didáticas a respeito das
dificuldades persistentes na aprendizagem de limites têm diversas origens, e formam
uma rede complexa. Dessa forma, continua ARTIGUE (1998), foram agrupadas tais
dificuldades em categorias, dependentes umas das outras, que são as seguintes:
As dificuldades ligadas a complexitude matemática dos objetos básicos
do campo conceitual: números reais, funções e sucessões.
ARTIGUE (1998), nos diz que em relação aos números reais, diversos estudos
mostram que os alunos não se apropriam de tais conceitos de forma adequada para a
aprendizagem da análise, conforme ROBINET (1986).
Seguindo ARTIGUE (1998), os estudantes têm a concepção de número real
através de calculadora principalmente, e quando chega ao cálculo, os números reais são
tratados como objetos algébricos.
Já quanto à dificuldade no conceito de função, já foi tratado acima.
As dificuldades ligadas a conceitualização da noção de limite, que é a
noção central do seu domínio técnico.
ARTIGUE (1998) nos diz que muitas das dificuldades estão associadas à
conceitualização da noção de limite, ou seja, aqui é necessário mencionar a noção de
obstáculo epistemiológico introduzido por Bachelard. Para ele, segundo ARTIGUE
(1998), o conhecimento científico não se desenvolve num processo continuo, uma vez
que resulta das formas prévias do conhecimento que se constituem em obstáculos
epistemiológicos. Aqui também temos a hipótese de que tais obstáculos se encontram
no desenvolvimento histórico do conceito e na aprendizagem atual, a pesar das
diferenças cognitivas e culturais evidentes, como se fossem constituídos da gênese do
conceito, isto é, ampliando a utilização da análise histórica.
Então de acordo com ARTIGUE (1998, p. 4), temos:
36
Podemos falar aqui dos obstáculos que se
encontram também no desenvolvimento histórico
do conceito, a pesar das diferentes concepções
cognitivas e culturais envolvidas.
Também podemos mencionar que o conceito de
limite como o de função tem duas dimensões: uma
de processo e uma de objeto, a possibilidade de
manejar com eficácia estas duas dimensões requer
processos cognitivos.
Por fim, outra categoria importante de dificuldade
vem das características da definição formal do
conceito de limite: sua complexidade lógica e a
necessidade de inverter a direção do processo que
vai da variável x ao valor da função f(x). Assim,
aliada a estas características formais, temos um
ponto essencial. Porém, além destas
características formais, há um ponto essencial:
entre uma concepção intuitiva dos limites e uma
concepção formal, há um salto qualitativo
fundamental, também atestado pela história do
conceito.
Assim, podemos dizer que o conceito formal de
limite é um conceito rompe com as concepções
prévias de tal noção.
As dificuldades ligadas à uma necessária ruptura com os modos de
pensamento do funcionamento algébrico.
Segundo ARTIGUE (1998), as atividades de Cálculo se apóiam em
competências algébricas, e ao mesmo tempo no chamado pensamento analítico, onde é
necessária certa distância em relação ao pensamento algébrico. Assim, segue ARTIGUE
(1998), a ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico se organiza em várias
dimensões, onde as principais são as seguintes:
37
É necessário enriquecer sua visão da noção de igualdade e desenvolver
novos métodos para provar as igualdades, isto é, podemos notar que uma reconstrução
similar da noção de igualdade foi posta em evidencia pela investigação didática, na
transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico.
Dessa forma, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento da
dificuldade técnica do trabalho matemático, nos ajudam a compreender melhor a
distância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,
ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,
de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como um
instrumento operativo na resolução de problemas.
Assim, podemos mencionar outra dimensão da ruptura Álgebra/ Cálculo. A
entrada no mundo do cálculo obriga também aos estudantes a reconstruir objetos
matemáticos.
5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS
Segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), ARTIGUE (1995), nos diz
que podemos ensinar os alunos a realizar de maneira mais ou menos mecânica alguns
alunos de cálculo a resolver alguns problemas, mas teremos dificuldades para que tais
jovens atinjam uma compreensão satisfatória dos conceitos e métodos de pensamento
do centro da análise matemática, ou seja, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) vem
dizer que no fundo a raiz da questão é que alunos não constroem um significado
adequado do conceito de derivada, pois esta construção parcial do significado nos
cursos iniciais podem gerar dificuldades no seu desempenho futuro.
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) continuam dizendo que as perspectivas
teóricas das investigações nos permitem compreender melhor como dar significado à
maneira que os alunos resolvem os problemas, indicando as características de
aprendizagem.
Dessa forma, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 269), nos diz o
seguinte:
Entre as diversas perspectivas teóricas que tem adotado os investigadores, se
encontram as aproximações centradas nos elementos de cognição, como:
38
- Esquema conceitual (Azcárate, 1990), derivada
da idéia de imagem do conceito (Tall, 1989).
- Idéias procedentes de uma aproximação
piagetiana do conhecimento e seu
desenvolvimento, da teoria APOE (Asiala, Cottrill,
Dubinsky, & Schwingendorf, 1997) e do
desenvolvimento dos esquemas (Clark et al., 1997)
e Baker et al., 2000);
- Idéias precedentes do papel das representações e
atividades com o desenvolvimento dos significados
(Font, 2000a; 2000b; Habre & Abboud, 2006);
- A teoria da reificação, que centra-se nos vínculos
processo-objeto (Zandieh, 2000).
No entanto, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), durante os
últimos anos se desenvolveu uma linha de investigação no México que se ocupa da
aproximação da teoria conhecida como sócio-epistemiológica, a qual estuda os
fenômenos de produção e difusão do conhecimento através de uma perspectiva múltipla,
de acordo com Cantoral & Farfán (2003).
Assim, com base em tais pressupostos, foi organizada a informação atendendo
aos seguintes aspectos:
Erros e dificuldades da compreensão da derivada, ou seja, a noção de taxa de variação –
relação entre taxa e razão de uma mudança progressiva.
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos diz que podemos em resumo dizer
que a sócio-epistemiologia considera o conceito de derivada como um complexo de
práticas de natureza social que lhe dão sentido e significado. Além, os trabalhos nesta
linha de investigação abandonam a abordagem para a derivada “a partir da definição de
limite do quociente incremental e da explicação da secante que lhe é tangente”, pois
defendem a idéia de que até não se vê a noção de derivada como uma organização das
variações sucessivas não será compreendida.
Os sistemas de representação como ferramentas para pensar sobre as derivadas.
39
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos mostra que a descrição sobre os
erros e dificuldades que os estudantes têm com respeito às derivadas foi o objetivo das
primeiras investigações realizadas sobre este tema, ou seja, ORTON (1983), segundo
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), identificou três tipos de erros que cometiam
os alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:
Estruturais, relacionados com os conceitos implicados.
Arbitrários, quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dados
do problema.
Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos.
De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), se consideramos que a
derivada em um ponto nos indica a velocidade de mudança, a compreensão de tal idéia
se apóia no saber prévio da razão entre o incremento de x em relação a y.
Dessa forma, em resumo, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007):
Orton indica que as dificuldades com a idéia de razão de
mudança e sua vinculação ao tipo de função linear ou quadrática
podiam ter sua origem na difícil compreensão sobre o conceito de
função. As informações destas investigações destacam-se pela
importância da razão de mudança e do quociente incremental na
compreensão da derivada, entendida como uma qualificação da
mudança.
O local e o global, ou seja, a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a função
derivada f ′(x).
Outro aspecto importante na compreensão da derivada, segundo SÁNCHEZ-
MATAMOROS at al (2007), é a relação entre o aspecto local e o global num ponto
dado f ′(a) e a idéia de função derivada f ′(x), que permite passar de uma perspectiva
pontual a uma global. Dessa forma, os estudos de BADILLO (2003), segundo
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), diz que a existência de diferentes significados
da idéia de derivada num ponto e da função derivada, isto é, a compressão gráfica de f
(x), f '(a) y f '(x) mostra ser difícil, já que se identificaram algumas inconsistências como
as seguintes:
A confusão entre a derivada num ponto x = a, f ′(a) e a função derivada, f ′(x).
40
A redução da expressão simbólica de f ′(x) à equação da reta tangente, e gráfica de
f ′(x) à da reta tangente.
A falta de justificativas sobre o uso das técnicas de derivação direta e indireta.
SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 284) nos diz que:
A complexidade do conceito de derivada leva a
investigado a reparar na compreensão do esquema
de derivada em relação ao local (derivada num
ponto) e o global (função derivada). Dessa forma,
tal vínculo não tem sido amplamente estudado
nestes momentos, levanta questões sobre a forma
como as diferentes abordagens que podem ser
enfatizadas na educação pode determinar a
compreensão dessas relações, bem como o papel
dos diferentes modos de representação para
promover a compreensão da relação entre local e
global no desenvolvimento de uma compreensão
do esquema derivados.
A aplicação do conceito de derivada: o desenvolvimento da compreensão de
regra da cadeia.
De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), os livros de cálculo
introduzem o conceito de derivada, como o capítulo cinco de Análise Matemática do
Apostol, começando com a definição de derivada, segue com as relações entre
continuidade e derivada, e termina com a álgebra de derivada e uma aplicação
importante deste conceito:
Assim, de acordo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 289), temos:
A regra da cadeia: algumas investigações, como
de CLARK et al (1997), centraram-se nas
aplicações de derivada, com fundamentação do
marco teórico. Assim, tais investigações levaram a
cabo a decomposição genética inicial do conceito
41
da regra da cadeia, a qual consideram como
descrição de uma trajetória hipotética de
aprendizagem pela qual pode-se transitar um
estudante na aprendizagem do conceito.
A compreensão da derivada associada à sua
utilização em diversas aplicações, incluindo a
regra da cadeia.
Dessa forma, conclui SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), dizendo que, como
se pode inferir a partir de trabalhos de Clark e sua equipe, a construção que um
estudante faz destas aplicações podem seguir algumas orientações. A decomposição
genética
oferece uma contribuição, que é necessário para cumprir as decisões instrucionais
tomadas pelos professores.
5.5 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS
De acordo com LLORENS & SANTONJA (1997), entre os professores de
Cálculo é quase consenso que os problemas de aprendizagem do conceito de integral é
facilmente detectável. Dessa forma, de acordo com LLORENS & SANTONJA (1997),
os estudos de MUNDY (1984), ORTON (1983) e TURÉGANO (1993) nos trazem um
resumo destas deficiências, como segue:
a) Geralmente os estudantes identificam integral com primitiva. Para estes
estudantes, a integral não comporta nenhum processo de convergência ou tão pouco
nenhum processo geométrico, e sim é um algo puramente algébrico, mais ou menos
complicado, a tal ponto que podem conhecem vários processos de integração, saber
aplicá-los, e ao mesmo tempo não ser capaz de aplicá-los ao calculo de uma área ou
ignorar o que são as somas de Riemann.
b) As integrais “definidas” se identificam com a regra de Barrow, incluindo quando
esta regra pode aplicar-se. É dizer que o símbolo:
42
representa somente o cálculo de primitivas, a aplicação da regra de Barrow. Como
exemplo, podemos citar o comportamento relatado por MUNDY (1984), tanto como
por LLORENS & SANTONJA (1997). Foi feita a seguinte pergunta:
Por que a integral abaixo está errada?
LLORENS & SANTONJA (1997) dizem que somente 23% sabiam que a
integração estava errada, enquanto MUNDY (1984) fala que pouquíssimos alunos
souberam identificar o erro.
Antes de seguir, podemos dizer que aconteceu exatamente a mesma coisa
quando era entrevistado um professor do DM – UFSCar. Na ocasião, ao ser
perguntado sobre as principais dificuldades dos alunos em integrais, ele resolveu
exemplificar, pedindo para um orientando dele, e já formado em bacharelado em
matemática pela mesma universidade, fazer a tal integral acima. O aluno caiu no
mesmo erro, e disse que tal erro era muito comum. Também afirmou que alunos da
USP, formados caem no mesmo erro. Dessa forma, podemos dizer, por uma análise
superficial, que tal dificuldade ocorre tanto nas universidades americanas, nas
universidades espanholas, quanto na UFSCar, como na USP, parecendo ser um
problema generalizado dos estudantes de cálculo e todo o mundo.
Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997, p. 63) afirmam:
Observamos que esse tipo de resposta não se
explica somente porque esses estudantes não
conhecem a regra de Barrow, e aparece como
representativas de uma desconexão mais profunda
entre o conceito de integral e sua particular
imagem desse conceito. Outros dados permitem
afirmar que, de modo mais enfático, que nem se
quer quando se diz expressamente “integral
definida”, não evoca no estudante nenhuma
relação desse conceito com o problema da
convergência, já conhecidos previamente por ele
43
no tema de sucessões, derivadas, continuidade,
etc., quando está estudando integrais. Assim, é
fácil comprovar que quando os estudantes estão
estudando integrais impróprias, a maioria dos
estudantes se parece muito surpreendente que uma
integral pode ser divergente. Não há integração
entre o conceito de área com o de integral.
De acordo com LORENS & SANTONJA (1997), os estudantes tem ouvido que
existe uma relação entre as integrais (definidas) e a área, mas não se verifica uma
união entre ambas, de modo que persiste uma interpretação puramente algébrica da
integral. Dessa forma, continua LLORENS & SANTONJA (1997), as respostas
equivocadas dos exemplos anteriores indicam não somente que a função é
descontínua em x = 0, mas também que claramente não tem uma imagem visual do
problema: nem da função (sempre positiva) nem da própria integral entendida como
área. Dessa forma, segue LLORENS & SANTONJA (1997), é muito freqüente que
essa interpretação da integral como área somente se utiliza quando expressamente se
pedem exercícios que tipicamente dão o enunciado “Calcular a área fechada do
gráfico de … “, porém quase nunca espontaneamente.
Ainda por LLORENS & SANTONJA (1997), essa falta de integração se
manifesta em sentido contrário também, ou seja, LLORENS & SANTONJA (1997)
proporão um exercício para se obter o valor da área sombreada em cada um das
figuras abaixo:
FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.
44
Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997), a maioria das respostas iniciais
foram e , respectivamente. No primeiro caso, pela dificuldade
que significa a presença do módulo, muito frenquêntemente podemos encontrar
solução incompletas ou absurdas, coerente com o trabalho de MUNDY (1984), no
qual menos de 95% dos estudantes contestaram incorretamente a pergunta:
de modo que nos reafirmamos no diagnóstico assinalado, já que o aluno está
preferindo o contexto algébrico-formal ao visual-geométrico, porque não tem
integrado. Também, ao mesmo tempo, LLORENS & SANTONJA (1997) concluem
que estes estudantes consideram trivial pedir para calcular a área de um quadrado
cujo lado mede 1 metro ou de um triângulo retângulo como os que aparecem nos
gráficos anteriores.
6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais.
De acordo com ÁVILA (1985, p. 14),
Muita gente tem a impressão de que matemática é
estática; de que os conceitos, uma vez formulados,
se cristalizam como coisas completas e acabadas,
que permanecem imutáveis; de que os resultados,
uma vez obtidos, se somam uns aos outros na
acumulação de um corpo de conhecimento que não
tem outra dinâmica interna que a do crescimento
de unidades novas.
Dessa forma, os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral exemplificam bem
isto, relacionados à: funções, limites, derivadas e integrais, ou seja, através de nexos
45
conceituais relacionais aos conceitos de Cálculo, como a fluência, a interdependência e
o movimento, mostram a Matemática com não estática.
Assim, ao passarmos por 4.000 anos de evolução da história de destes conceitos,
vemos claramente a constante mudança e transformação da Matemática como um todo,
bem como dos conceitos de Cálculo, ou seja, desta forma da Babilônia, em 2.000 a.C.
até ao final do século XX, num constante mudar e transformação destes conceitos, ao
logo da história.
Dessa foram, podemos começar nosso trabalho fazendo uma pergunta que foi
feita pelos professores WAGNER e CARNEIRO (2004), na RPM Nº 60, que os alunos
a fazem constantemente, que foi:
Vale a pena estudar Cálculo?
A resposta parece fácil, mas não é bem assim, pois de acordo com ÁVILA
(2006), desde que se comece com uma apresentação bem simples e modesta do que seja
derivada, pode-se mostrar como isso ocorre num contexto do estudo de funções.
Ainda, de acordo com ÁVILA (2006), é importante que esses conceitos de
funções, limites e derivadas, bem como o de integral, sejam integrados, e não separados
em blocos estanques.
Dessa forma, nosso primeiro passo é mostrar o desenvolvimento histórico dos
conceitos de função, limite, derivada e integral.
Assim, com esta seqüência de tópicos, podemos começar levantando a gênese do
desenvolvimento histórico dos conceitos de funções, limites, derivadas e integrais, para
que posteriormente possamos identificar os nexos conceituais respectivos.
Assim, passemos a tal levantamento histórico.
6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES
De acordo com AVILA (1985), os matemáticos só chegaram ao conceito de
função tal como conhecermos hoje, depois de um período de evolução do Cálculo, por
mais de cento e cinqüenta anos.
Porém, antes de chegarmos a este período, vamos ver que para
YOUSCHKEVITCHI (1981), citado por OLIVEIRA (1997), existem três etapas
principais do desenvolvimento de funções, a saber:
46
Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de
dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de
quantidades variáveis e de funções.
Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira
precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a
qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas
quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de
preferência fórmula.
Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o
século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a
classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de
séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.
6.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE
Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função,
pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não é
recente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade,
passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho,
poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como uma
relação funcional.
Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos que
construíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um número
na segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por uma
constante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios,
em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, de
cubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.
É importante destacar que, para os Babilônios, cada problema exigia uma nova
análise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolverem
problemas semelhantes (SÁ at all, 2003).
47
Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, na
maioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultado
de investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram o
resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados.
Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obra
Almagesto, desenvolveu idéias funcionais.
Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou na
área da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas a
trigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x,
mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregas
temos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse a
uma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons.
Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função no
estudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como por
exemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie,
pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entre
número, espaço e harmonia.
Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependências
funcionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”,
YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático na
Antiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função.
6.2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA
Segundo OLIVEIRA (1997), a primeira vez que a noção de função aparece
numa forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia natural em Oxford
e Paris, onde cada problema era tratado de maneira isolada.
Foi nesta época, a Idade Média, que o Bispo parisiense de Lisieux Nicole
Oresme (1323 – 1382), que segundo BOYER (1974), em um trabalho intitulado de
Tractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo,
seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et os
problemas utilizando métodos mais gerais.
48
Um dos objetivos visados por Oresme, segundo OLIVEIRA (1997), com seu
método era permitir às pessoas a compreensão mais rápida e fácil da natureza das
mudanças, onde suas representações se mostram à frente, em direção ao conceito de
função ou variável dependente.
Dessa forma, não podemos dizer que ele utilizasse de funções, pois ele não se
interessava pela forma na qual uma qualidade varia por razão do objeto que está
dependendo. Assim, suas representações eram imaginárias e qualitativas. (OLIVEIRA,
1997).
6.2.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA
Segundo SÁ et all (2003), é com Galileu Galilei (1564-1642) que surge o
interesse em debater quantitativamente os axiomas, mensuráveis e que, portanto
poderiam ser relacionados por fórmulas. MENDES (1994) cita que o principal interesse
de Galileu era entender como os fenômenos ocorriam, com o intuito de descrever as
mudanças da natureza. Segundo KLINE (1972), citado por MENDES (1994), foi o
estudo do movimento que originou o
conceito de uma função ou de uma relação entre
variáveis. Porém Galileu não formalizou
explicitamente a palavra função.
É com o estudo de Galileu sobre movimento, e conseqüentemente a velocidade,
a aceleração e a distância percorrida.
OLIVEIRA (1997) ressalta que sua insistência em querer estudar os movimentos
da forma quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da
noção de função, ao lidar de forma funcional com as causas e efeitos, trazendo a
necessidade essencial da concepção de variável dependente.
No século XVI ainda não havia surgido à idéia de estudar a equação geral de
uma classe inteira de equações, o que só surgiu com Viète.
Segundo YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 23), citado por OLIVEIRA (1997),
A importância desta notação que, pela primeira
vez, tomou possível a colocação por escrito sob
uma forma simbólica das equações algébricas e de
49
expressões contendo quantidades desconhecidas e
coeficientes arbitrários (um trabalho que também
nascem com Viète) poderia ser subestimada.
Entretanto, o criado da nova Álgebra não utiliza
sua notável descoberta para “fazer avançar” o
conceito de função: pensar em termos de função
não foi característica de seu espírita.
René Descartes (1596-1650), e Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado em
Toulouse, desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica.
Fermat, citado por OLIVEIRA (1997), diz que “tão logo duas quantidades
desconhecidas aparecem em uma igualdade, há u lugar geométrico e o ponto terminal
de uma das duas quantidades descreve uma reta ou curva”.
BAUMGART (1992, p. 83), citado por SÁ at all (2003), afirma que Descartes
chegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, ...
De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18),
Aparece em “La Geométrie” a noção de função de
forma mais detalhada, e completamente clara,
sustentada pela idéia de que a equação em x e u é
um meio de introduzir uma dependência entre
quantidades variáveis de modo a permitir o
cálculo dos valores de uma delas correspondendo
aos valores dados da outra. Tal método de
representação foi estendido a outros ramos da
matemática, em especial ao cálculo infinitesimal.
Vem o século XVIII e com ele destacam-se Isaac Newton (1642-1727) e
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Newton, segundo SÁ at all (2003), direcionou suas pesquisas dentro da Física,
especificamente no campo da Mecânica, e como frutos para a matemática desenvolveu
os métodos infinitesimais. Assim, KLEINE (1989, p.289), citado por MENDES (1994,
p. 26), acredita que a maior contribuição de Newton dentro do conceito de função foram
50
suas descobertas a respeito de séries de potências, e é ele quem introduz o termo
“variável independente”.
Já foi Leibniz quem introduz a palavra “função”, que apareceu no trabalho
intitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus”, no qual ganha o
seguinte sentido: o de um termo geral para diferentes segmentos ligados a uma curva
dada. Já, segundo OLIVEIRA (1997), o conceito de função aparece num sentido mais
amplo na geometria diferencial em artigos publicado em 1692 e 1694 onde ele chama de
segmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e a
pontos de uma curva dada.
Já a primeira definição explicita como expressão analítica aparece com Jean
Bernoulli (1694 – 1698). De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos:
“Chamamos função de uma grandeza variável uma
quantidade composta de qualquer maneira que
seja desta grandeza variável e constante.”
Segundo OLIVEIRA (1997), na sua definição, Bernoulli não dá indicação sobre
o modo de construir função a partir da variável independente.
Leonhard Euler (1707-1783) nascido em Bâle na Suiça, foi aluno de Jean
Bernoulli, foi figura essencial no desenvolvimento do conceito de função, onde segundo
o qual uma função não necessitava unicamente de uma expressão analítica e ele também
introduziu o símbolo f(x). Segundo SÁ at all (2003), no segundo volume de
Introduction in Analysin Infinitorum, Euler diferenciou as funções contínuas e
descontínuas, levando em consideração a lei de formação de cada função. Aquelas que
fossem definidas por apenas uma expressão analítica seria classificada como contínua e
caso essa lei mudasse em qualquer intervalo do domínio automaticamente se
classificaria como descontínua ou mista.
É no século XVIII, segundo SÁ at all (2003), que o Problema da Corda Vibrante
mexe com o raciocínio dos matemáticos da época e que vai influenciar na reformulação
do conceito de função. O questionamento seria determinar a função que iria reger o
formato de uma corda elástica, com os pontos iniciais e final fixos, num determinado
tempo t.
51
GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA.
Foi D’Alembert (1717-1783) que publicou um trabalho sobre as cordas
vibrantes, onde resolveu a uma equação diferencial e a chamou de equação da onda em
que y representaria o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. Vale
lembrar que Daniel Bernoulli também publica um trabalho sobre o tema.
Foi oferecido em 1787, que um prêmio foi oferecido pela Academia de São
Petesburgo, para quem melhor explicasse como eram as funções arbitrárias que
poderiam ser obtidas nas soluções de equações diferenciais parciais. O ganhador foi
Louis Arbogast (1759-1803), que segundo MENDES (1994, p. 36) citando EDWARDS
(1979, p. 303), argumentou que tais funções não poderiam ser contínuas, mas para isso
ele conceituou continuidade:
A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de um
estado para o outro sem passar através de todos os estágios intermediários que são
sujeitos à mesma lei. Esta continuidade pode ser destruída de duas formas: A função
pode mudar sua forma, quer dizer, a lei pela qual a função depende das variáveis pode
mudar repentinamente. Uma curva formada pela reunião de muitas porções de curvas
diferentes é deste tipo...
Não é nem necessário que a função y seja expressa por uma equação para um
certo intervalo da variável; ela pode mudar continuamente sua forma, e alinha que a
representa, ao invés de ser uma reunião de curvas regulares, pode ser tal que em cada
um destes pontos ela se torne uma curva diferente; quer dizer ela pode ser inteiramente
irregular e não seguir qualquer lei para qualquer intervalo mesmo pequeno.
De acordo com SÁ at all (2003), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768- 1830),
secretário do Instituto do Egito, destaca-se na virada do século XVIII para o século
XIX, com seus estudos sobre a propagação do calor. Em 1822 publica La Théorie
52
Analytique de la Chaleur onde afirmou que qualquer função poderia ser expressa por
uma série trigonométrica.
ÁVILA (1985, p. 20) afirma que apesar de Daniel Bernoulli em 1753 já tivesse
discutido tal questão de maneira mais restrita, foi com Fourier que ela se tornou
realmente presente no mundo matemático.
Perto do fim do século XVIII, ainda de acordo com SÁ at all (2003), quando
muitos absurdos e contradições tinham surgido na matemática, sentiu-se que era
essencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação, foi uma
reação ao emprego descontrolado da intuição e do formalismo do século anterior.
Assim, a própria idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,
continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramente
definidas.
Bolzano (1781-1848), segundo BOYER (1974), foi considerado pioneiro nessa
formalização, pois em 1817, publica Functionlehre onde conceitua continuidade muito
próxima do conceito atual. Ele também demonstrou o teorema do valor médio, hoje
muito utilizado em cursos regulares de cálculos, mas que segundo LEITÃO (2009) no
seu contexto original, este resultado não se referia apenas ao movimento local, isto é, a
grandeza que se encontra a variar, não era necessariamente a velocidade.
FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.
Segundo MENDES (1994), já no século XIX iniciou-se um processo de
fundamentação rigorosa da Análise, que foi conhecido como Aritmetização da Análise.
Neste período, se inspiraram nos trabalhos de Euler os matemáticos: Condorcet (1778),
Cauchy (1789) Lacroix (1797), Fourier (1821) e Lobatchevsky (1837).
53
Já em meados do século XIX, segundo OLIVEIRA (1997) e SÁ at all (2003), as
funções já não precisavam ter a forma “bem comportada” com que os matemáticos
estavam acostumados. De acordo com BOYER (1974), em 1837, Dirichlet sugeriu uma
definição muito ampla de função:
“Se uma variável y está relacionada com uma variável x
de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a
x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y
fica determinado, então diz-se que y é uma função da
variável independente x.”
Ou seja, temos:
Com a ≠ b, a e b constantes.
Segundo OLIVEIRA (1997), a definição geral de função dada nos cursos de
análise matemática no fim do século XIX e no começo do século XX era a de Hankel,
que diz ter se baseado em Dirichlet, é a seguinte, de acordo com YOUSCHKEVITCHI
(1981, p. 61):
Diz-se que y é uma função de x se a cada valor de x de um
certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y
sem que isto exija, entretanto que y seja bem definido
sobre todo intervalo pela mesma lei em função de x, nem
mesmo que y seja definido por uma expressão matemática
explicita de x.”
O alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann, também deixou sua marca no
século XIX. ÁVILA (1985, p. 29) acredita que os estudos de Riemann foram
influenciados por Dirichlet, daí seu interesse pelas séries trigonométricas. E como essas
séries trigonométricas apresentavam integrais como coeficiente, Riemann preocupou-se
54
com o esclarecimento dos critérios de integrabilidade, surgindo aí o conceito de
“integral de Riemann.”
De acordo com SÁ at all (2003), Karl Theodor Weierstrass (1815 - 1897)
nascido em Ostenfeld na Alemanha, foi professor de matemática em Deutsche –Croner,
desvinculou continuidade de diferenciabilidade em 1872, quando sugere uma função
contínua e não diferenciável.
Segundo BOYER (1989, p. 142), Weierstrass definiu função como uma série de
potência juntamente com todas as que podem ser obtidas dela por prolongamento
analítico.
Já OLIVEIRA (1997) afirma que, a matemática moderna teve dificuldades em
estabelecer a definição universal de função que não é algorítmica.
De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 64), em 1972, Weyl sustenta
que:
“Ninguém jamais soube explicar o que é
função. Mas uma função f é definida se pó
um meio qualquer podemos associar a um
número a, um numero b... Dizemos então
que b é um valor da função f para o valor a
do argumento.”
Em meados do século XX, a filosofia formalista predominou nos textos
matemáticos. Então, assim, de acordo com SÁ at all (2003), o nome Nicolas Bourbaki
se destaca no século XX, que foi um nome grego de um suposto autor francês, nascido
em Nancy, assinou várias obras. Porém acredita-se que seria um grupo de matemáticos
que resolveram ter em Nicolas Bourbaki um pseudônimo.
Em Théorie des Ensembles, conceituou função de duas maneiras:
“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma
relação entre uma variável x de E é uma variável y de F é
dita uma relação funcional em y, ou relação funcional de
E em F, se qualquer que seja x ª E, existe um e somente
um elemento y ª F que estejam associados a x na relação
considerada. Dá-se o nome de função à operação que
55
desta forma associa a todo o elemento x ª E o elemento y ª
F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y
é o valor da função para o elemento x, e que a função está
determinada pela relação funcional considerada. Duas
relações funcionais equivalentes determinam a mesma
função.” MENDES(1994, p. 53).
De acordo com SÁ at all (2003, p. 14 – 17), segue abaixo um quadro resumo da
evolução dos conceitos de funções:
TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.
56
57
58
59
6.2.4 NEXOS CONCEITUAIS DE FUNÇÕES
Quando começamos a analisar os nexos conceituais de funções, podemos
recorrer a CARAÇA (1951), e ele sugere que comecemos por trabalharmos a
regularidade de um fenômeno, ou seja, a lei qualitativa. Aqui CARAÇA (1951, p. 127)
afirma que:
quando queremos estudar leis qualitativas, temos
que criar um instrumento matemático cuja
essência seja a correspondência de dois conjuntos.
60
Hora, se relembrarmos o item 2.2.1 deste trabalho, podemos citar SÁ at all
(2003) que afirma que os babilônios construíram tabelas em argila, onde na primeira
coluna existia um número na segunda, que era o resultado da multiplicação do número
da primeira por uma constante, em 2.000 a. C., que revelaria seu “instinto funcional”.
Dessa forma, temos a construção de tabelas já pelos babilônicos, ou seja, em
essência é a correspondência entre conjuntos, mas a busca por leis qualitativas veio
somente mais tarde com Galileu Galilei.
Já OLIVEIRA (1997) ressalta que o estudo dos movimentos da forma
quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da noção de
função. Porém, é exatamente aqui que queríamos chegar, pois com Galileu Galilei,
segundo KLINE (1972), o estudo da natureza e do movimento, originou o conceito de
uma função ou de uma relação entre variáveis.
Vimos em 2.2.3 que foi Descartes que chegou a definir função como qualquer
potência de x, como x², x³, .... De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18),
aparece em “La Geométrie” a noção de função de
forma mais detalhada, e completamente clara,
sustentada pela idéia de que a equação em x e u é
um meio de introduzir uma dependência entre
quantidades variáveis de modo a permitir o
cálculo dos valores de uma delas correspondendo
aos valores dados da outra. Tal método de
representação foi estendido a outros ramos da
matemática, em especial ao cálculo infinitesimal.
Assim, surgia o problema de se trabalhar com o conceito de variável x, mas
afinal, segundo CARAÇA (1951), quem é x, sem coincidir individualmente com
nenhuma dos números do intervalo, é suscetível de representar todos?
Ora, CARAÇA (1951) vem ainda dizer que a variável é e não é cada um dos
elementos do conjunto, ou que faz com que vemos como uma primeira de suas
características a fluência, que nada mais é que a representação da natureza, que tudo
flue, tudo se transforma.
61
Sabemos também que Newton e Liebnitz deram contribuições para o conceito de
função, mas a primeira expressão analítica aparece com Jean Bernoulli (1694 – 1698).
De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos:
“Chamamos função de uma grandeza variável uma
quantidade composta de qualquer maneira que
seja desta grandeza variável e constante.”
Neste ponto, CARAÇA (1951) nos diz que:
Sejam x e y duas variáveis representativas de
conjuntos de números; diz-se que y é função de x e
escreve-se:
y = f(x) (1)
se entre as duas variáveis existe uma
correspondência unívoca no sentido x →y. A x
chama-se variável independente, a y variável
dependente.
Dessa forma, podemos ver que após estabelecer qual a variável dependente e a
independente, CARAÇA (1951), passa a questionar, de que forma podemos fazer a
correspondência entre estas duas variáveis. Então, foi dessa forma que no final do
século XVII e inicio do século XVIII, os matemáticos passaram a fazer tais
questionamentos, chegando à primeira definição analítica por Jean Bernoulli. Já Euler
vem depois e estabelece uma definição mais clara de função, e traz sua representação.
Por outro lado, CARAÇA (1951), vem dizer que definição este modo de
definição consiste em dar um conjunto de modo tal que, por meio delas, se possa fazer
corresponder a cada valor a de x um valor b de y.
CARAÇA (1951) afirma que no final do século XIX, pela insuficiência da
definição de funções, surgiu a moderna definição dada por Riemann-Dirichilet,
ganhando generalidade ao estabelecer a correspondência das variáveis, mas isso a fez se
afastar das condições em que surgiu.
62
Já de acordo com BOYER (1974), Dirichlet em 1837, sugeriu uma definição
muito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-
Dirichilet:
“Se uma variável y está relacionada com uma
variável x de tal modo que, sempre que é dado um
valor numérico a x, existe uma regra segundo a
qual um valor único de y fica determinado, então
diz-se que y é uma função da variável
independente x.”
6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES
Sabemos que, de acordo com THOMAS (2002), entre todos os conceitos
principais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência/divergência, são
definidos em termos de limites, e assim é considerado o conceito básico do Cálculo.
Logo, em termos do desenvolvimento histórico e lógico do cálculo, os limites deveriam
vir primeiro, mas vendo o desenvolvimento histórico do Cálculo, observamos o
contrário, já que por vários séculos, ainda segundo THOMAS (2002), as noções de
limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito
(números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades
matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso
sentido moderno, de acordo com BOYER (1989), é um produto do iluminismo, levando
a saber que nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade.
A primeira vez em que a idéia de limite apareceu, segundo DINIZ (2006), foi
por volta de 450 a.C., na discussão dos quatro paradoxos de Zenão. Por exemplo, no
primeiro paradoxo - a Dicotomia - Zenão discute o movimento de um objeto que se
move entre dois pontos fixos, A e B, situados a uma distância finita, considerando uma
seqüência infinita de intervalos de tempo - T0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo o
tempo gasto para percorrer a metade da distância percorrida no movimento anterior.
Veja a figura abaixo:
63
FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.
Analisando o problema, Zenão concluiu que dessa maneira o móvel nunca
chegaria em B. Aristóteles (384 - 322 a.C.), refletiu sobre os paradoxos de Zeno com
argumentos filosóficos. Para provas rigorosas das fórmulas de determinadas áreas e
volumes, Arquimedes encontrou diversas somas que contêm um número infinito de
termos. Na ausência do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentos
denominados dupla reductio ad absurdum.
Segundo BOYER (2006), para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para
certas áreas e volumes, Arquimedes (287--212 a.C.) encontrou várias séries infinitas –
somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite
propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de
redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que
agora chamamos de limites.
Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e
sólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção
da geometria analítica por Pierre Fermat (1601--1665) e René Descartes (1596--1650).
A geometria analítica é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, e
cada uma melhora a outra.
Fermat, segundo THOMAS (2002), desenvolveu um método algébrico para
encontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre certas curvas. Descrevendo a curva
em questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno de E, e então fez
alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira que
todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam. Essencialmente,
Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno".
Geometricamente, Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais
64
altos e mais baixos ao longo da curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é,
têm inclinação zero.
Encontrar retas tangentes às curvas é um dos dois problemas mais fundamentais
do cálculo. Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de
estudo das derivadas. Durante o século XVII, segundo BOYER (1989), vários
geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas
tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma
equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--
1704), que era também o prefeito de Amsterdã. René de Sluse (1622--1685) inventou
um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses
cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum
destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrou
uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas
com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos.
De acordo com THOMAS (2002), em quase todos os seus trabalhos que agora
são considerados como cálculo, Isaac Newton (1642 – 1727), também não reconheceu o
papel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton raciocinou meramente por
analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seria
possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton
calculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito
próximo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método de
Fermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o
limite.
Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), segundo EVES (1996),
talvez o maior trabalho em matemática e ciência, Newton foi o primeiro a reconhecer
que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins.
No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa do
conceito de limite.
Já THOMAS (2002), afirma que o cálculo se desenvolveu rapidamente pelos
seus vários sucessos no século XVIII, e pouca atenção foi dada aos seus fundamentos,
muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698 -1746) defendeu o
tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin
65
reverteu a argumentos do século XVII similares aos de Fermat e apenas ocasionalmente
usou a redução ao absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções,
Maclaurin passou por oportunidades de seguir a sugestão de Newton sobre limites. Jean
Le Rond d'Alembert (1717--1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceu
explicitamente a importância central do limite no cálculo.
Na famosa Encyclopédie (1751--1776), d'Alembert afirmou que a definição
apropriada da derivada necessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu a
definição explícita: Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a
segunda puder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa
quão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela
aproxima.
A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo, segundo
BOYER (1989), cresceu durante os últimos anos do século XVIII. Em 1784, a
Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que explicasse
com sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em
matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o
cálculo. Embora este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de
Simon L'Huilier (1750 -1840) não foi considerado uma solução viável para os
problemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753--1823) produziu uma tentativa
popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação de erros" - mas
ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente.
No final do século XVIII, segundo THOMAS (2002), o grande matemático da
época, Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813), conseguiu reformular toda a mecânica em
termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa, Lagrange concentrou
sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, Funções
Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente
pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas
outras contribuições ao cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora,
com uma falha fatal) para tornar o cálculo puramente algébrico eliminando limites
inteiramente.
Ao longo do século XVIII, segundo BOYER (1989), havia pouca preocupação
com convergência ou divergência de seqüências e séries infinitas; hoje, entendemos que
66
tais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich Gauss (1777--1855)
produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de seqüências e
séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa Teoria
Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830) tentou definir a
convergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou
que qualquer função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou a
convergência ou divergência desta série.
No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e
descontínuas e funções, Bernhard Bolzano (1781-1848) olhou além da noção intuitiva
da ausência de buracos e quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais
expressamos hoje em termos de limites.
No começo do século XVIII, de acordo com THOMAS (2002), as idéias sobre
limites eram com certeza, confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789 -1857)
estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo para
apresentar aos seus estudantes de engenharia na École Polytechnique em Paris, ele
encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu
curso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite.
Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seus
próprios livros, o primeiro chamado de Cours d’analyse (Curso de Análise). Nas suas
classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a base
para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto
do cálculo. Assim, perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da
sua definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas.
Nas décadas de 1840 e 1850, afirma BOYER (1898), enquanto era um professor
do ensino médio, Karl Weierstrass (1815 – 1897) determinou que a primeira etapa
necessária para corrigir estes erros era restabelecer a definição original de Cauchy do
limite em termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e
desigualdades. A exposição de Weierstrass é exatamente aquela que encontramos no
livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhante como
professor de matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um programa
para trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à análise matemática.
67
Aqui, passemos a uma breve análise dos nexos conceituais de limites, com
respeito à História da Matemática, como segue.
Então, o primeiro desafio que aparece aqui é o chamado problema do
movimento, que surge a partir um paradoxo de Zenão, da impossibilidade de Aquiles
alcançar a tartaruga.
Dessa forma, CARAÇA (1951) nos diz que aqui temos a impossibilidade de
trabalhar só com números, e dessa foram, precisamos de um novo conceito, ou seja, a
primeira coisa a fazer é introduzir a noção variável, que pode representar qualquer
número.
Nessa primeira etapa, CARAÇA (1951) nos diz que é necessário trabalharmos
com pontos muito próximos, o que vai dar origem ao conceito de infinitésimos.
Assim, por CARAÇA (1951, p. 219), temos:
Definição: Dá se o nome de infinitésimo a toda a
variável representativa de um conjunto de pontos
pertencentes à vizinhança da origem quando nessa
variável considerarmos sucessivamente valores x1,
x2, ..., xn, ... tais que |xn| < para todos os valores
de n > n1 e todo > 0.
6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS
Segundo DALL’ANESE (2000), atribui-se a “invenção” do Cálculo Diferencial
e Integral a Newton e Leibnitz, na segunda metade do século XVII, através da
sistematização de métodos quer tornaram possível à solução de problemas referentes à
construção de tangentes, cálculo de áreas, volumes, etc.
Porém, vamos começar pela sua origem nos problemas geométricos clássicos de
tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em
apenas um ponto dado.
Segundo THOMAS (2002), Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar
teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular
ao raio em P; e depois Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para
encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu
métodos, todos um tanto quanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas,
68
elipses e hipérboles. Mas, ainda segundo Thomas (2002), estes eram apenas problemas
geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os
gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.
Na realidade, após os Gregos, segundo BOYER (1989), o interesse por tangentes
a curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria
analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e
variedade de curvas aumentaram tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas.
Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de
uma família inteira de curvas de uma só vez. Aqui BOYER (1974), diz que é possível
que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essa
época ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu
trabalho sobre lugares. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxª,
onde k é constante e a = 2, 3, 4, … Esta família de curvas, de acordo com Boyer (1974),
foi estuda num tratado não publicado durante sua vida chamado método para achar
Máximos e Mínimos. Estas curvas citadas acima são freqüentemente chamadas de
“parábolas de Fermat” se a é posivo, ou “hipérboles de Fermat”, se a é negativo.
De acordo com BOYER (1974, p. 255), temos que:
“Para curvas polinomiais da forma y = f(x) ele (Fermat)
notou um modo muito engenhoso para achar pontos em
que a função assume um máximo ou um mínimo. Ele
comparouo valor de f(x) num ponto com a valor f(x + E)
num ponto vizinho. Em geral esses valoresserao bem
direferentes, mas num alto ou num baixo de uma curva
lisa a variação será quase imperceptivel. Portanto para
achar os pontos de máximos e minimos Fermat iguala f(x)
e f(x + E), percebendo que os valores, embora não
exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o
intervalo E entre dois pontos mais perto chega a pseudo-
equação de ser uma verdadeira equação; por isso Fermat,
depois de dividir tudo por E fazia E = 0. Os resultados
lhes davam as abcissas dos pontos de máximo e mínimos
do polinômio. Aqui em essência tem-se o processo hoje
69
chamado diferenciação, pois o método de Fermat equivale
a achar:
Lim E -- > 0 E
xfExf )()(
e igualar isso a zero. Portanto, é razoavel acompanhar
Lapalce ao saudar Feramt como o descobridor do Cálculo
diferencial, bem como co-descobridor da geometria
analítica. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de
limite, mas por outro lado seu método para máximos e
mínimos se assemelha ao uado no Cálculo hoje, só que
agora se usa em geral o simbolo h ou Δx em lugar do E de
Fermat. O processo de mudar ligeiramente a variável e
considerar valores vizinhos é a essencia da análise
infinitesimal.”
Assim, de acordo com THOMAS (2002), a introdução de símbolos algébricos
para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o
desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões
e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio
algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos
gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros
fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas.
Foi René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância
da tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a
normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de
Descartes para o latim, os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se
mais amplamente conhecidos. Após, foi Hudde quem simplificou a técnica da dupla raiz
de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o
procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629 - 1695).
Foi René François de Sluse (1622--1685) quem desenvolveu uma técnica
algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva, mas foi para Gilles Personne
de Roberval (1602--1675), que uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele
70
desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas,
incluindo a ciclóide. No entanto, o método de Roberval não podia ser generalizado para
incluir mais curvas.
Segundo DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o “Método das Fluxões”
no sei “De methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em 1736. Neste, sua intenção
parece ter sido determinar a relação entre variação y e da quantidade x, de uma função y
= f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal, considerando as quantidades
matemáticas “como se fossem geradas por um aumento contínuo do espaço no qual um
objeto se move descrevendo uma trajetória”.
Já para THOMAS, Newton estendeu esta técnica como um método para
encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma
aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu
trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus
colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de
cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre
cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.
Dessa foram, de acordo com DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o
“Método das Fluxões” no seu “De Methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em
1736, no qual sua intenção parecia ter sido determinar a relação entre a variação da
quantidade y e da quantidade x, de uma função y – f(x), quando x sofre um acréscimo
infinitesimal, considerando as quantidades matemáticas “como se fosse geradas por um
aumento continuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”.
Então, Newton define suas noções de fluentes e fluxões assim:
“Eu chamarei de Quantidades Fluentes, ou
simplesmente Fluentes estas quantidades que eu
considero como aumentadas gradualmente e
indefinidamente , eu as representei pelas ultimas
letras do alfabeto v, x, y e z para distinguir das
outras quantidades que, nas equações, são
consideradas como conhecidas e determinadas que
nós representaremos pelas letras iniciais a, b, c,
etc; eu representarei pelas mesmas letrs
71
sobrepostas de um ponto v., x., y., z. as velocidadees
cujas fluentes são aumentadas pelo movimento que
as produz e, por consequencia nós poderemos
chamar Fluxões.”
Ainda segundo DALL’ANESE (2000), a diferença entre Newton e seus
predecessores, é que ele formulou regras para cobrir soluções gerais da maioria dos
problemas relativos ao cálculo infinitesimal, conhecidos no seu tempo. Também é
citado por DALL’ANESE (2000) que Newton estabeleceu muito tarde a notação padrão
como ponto para representar a diferenciação.
A notação para derivadas, segundo BOYER (1989), deve-se a Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646--1716):
(dy
dx)
Para ele, uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz
(1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma
abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas".
Segundo BOYER (1989), Leibnitz por volta de 1676 tinha chegado à mesma
conclusão que Newton chegara vários anos antes, ou seja, que uma função fosse
racional ou irracional, algébrica ou transcedentes, suas operações de achar somas e
diferenças podiam sempre ser aplicadas. Dessa forma, continua BOYER (1989), a
primeira exposição do cálculo diferencial foi publicada por Leibnitz em 1684, onde ele
deu a as fórmulas dxy = xdy + ydx, d(x/y) = (ydx – xdy)y2 e dxn = nxn dx, para produtos,
quocientes e potencias (ou raízes), juntamente com as explicações geométricas.
Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi através
deles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.
De acordo com DALL’ANESE (2000, p. 34), Augustin Louis Cauchy (1789--
1857) estabeleceu a ligação entre a derivada e os diferenciais, da seguinte forma:
“Seja y = f(x) novamente uma função de variável
independente x. Seja i uma quantidade infinitamente
72
pequena e h uma quantidade finita. Se dissermos que i
=αh, α será, novamente, uma quantidade infinitamente
pequena, e teremos a identidade:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
f x i f x f x h
i h
f x h f x f x i f xonde h
i
(1)
O limite para o qual converge o lado esquerda da
equação (1) à medida que α se aproxima indefinidamente
de zero e h permanece constante é chamado “diferencial”
da função y = f(x). A diferença é indicada por dy ou df(x).
Seu valor pode ser facilmente determinado se soubermos o
valor da função derivada y’ ou f’(x). De fato, se tomarmos
os limites de ambos os lados da equação (1) acharemos
um resultado geral:
df(x) = hf’(x) (2)
No caso especial quando f(x) = x, a equação 92) reduz-se
a dx = h. Assim, a diferencial da variável independente x é
precisamente h. Dado isto, a equação (2) torna-se df(x) =
f’(x)dx, ou equivalentemente,
dy = y’dx
Essas últimas equações mostram que a derivada y’ = f’(x)
de qualquer função y=f(x) é precisamente igual a (dy
dx),
isto é, à razão entre a diferencial da função e a diferencial
da variável ou, se quisermos, ao coeficiente pelo qual
devemos multiplicar a segunda diferencial a fim de
obtermos a primeira. É por isso que a derivada é chamada
às vezes de “coeficiente diferencial”.
6.5 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS
73
De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com
problemas de quadratura e cubatura, ou seja, resolver um problema de quadratura
significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira
consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira
também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura,
queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo
menos em parte, por superfícies curvas.
Recorrendo à história, vemos que quando os antigos geômetras começaram a
estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por
ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que
tivesse área igual à da figura em questão. Vale aqui lembrar que, de acordo com
BOYER (1989), a palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo
do processo de determinar áreas.
Hoje, sabemos que foi Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as
primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se
parecem com a lua próxima do seu quarto crescente.
Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" com
uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado;
segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc. Porém, faltava-lhe o conceito
de limites para terminar com rigor matemático. Entretanto só depois que Eudoxo
(cerca de 370 A.C.) fez o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de
aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com
aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um
número infinito destas etapas.
Dessa forma, exemplificando, uma primeira aproximação para a área do
círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro
triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo,
cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo. Ou seja:
74
FIGURA 5: REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DO
CÍRCULO.
Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um
polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já
se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas
áreas que não foram cobertas.
De acordo com THOMAS (2002):
Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área
depende da circunferência; isto é muito fácil de se
verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas
dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do
círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96
lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3
10/71 < p < 3 1/7; mas como estas eram apenas
aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas.
Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando
existe um número infinito de aproximações poligonais,
chamamos de método da compressão. O processo de
Arquimedes para encontrar a área de um segmento de
uma espiral era comprimir esta região entre setores de
círculos inscritos e circunscritos: seu método de
determinar o volume de um conóide (um sólido formado
pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era
comprimir este sólido entre cilindros inscritos e
circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia
rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao
absurdo dupla.
75
Assim, podemos dizer que a idéia básica do conceito de integral já estava
embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo, desenvolvido e aperfeiçoado
por Arquimedes.
Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis de
todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própria
cubatura, um tanto complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-
Kuhi (século 10) simplificou consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-
Haytham (965 -1039), usou o método de compressão para encontrar o volume do
sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo
da curva.
Seguindo a história, chegamos a Johannes Kepler (1571 – 1630) aproximou
os volumes de vários sólidos tridimensionais, cada qual era formado girando uma
região bidimensional ao redor de um eixo.
Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de:
Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de
indivisíveis.
Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as
áreas sob cada uma das "parábolas de ordem superior" (y = kxn , onde k > 0
é constante e n = 2, 3, 4, …) usando retângulos estreitos inscritos e
circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma
série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y = kxn, para
n = -2, -3, -4, …. Mas, para sua decepção, nunca foi capaz de estender estes
processos para "hipérboles de ordem superior", ym = kxn.
Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de
ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles
Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650),
Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.
Roberval e Pascal foram os primeiros a plotar as funções seno e co-seno e a
encontrar as quadraturas destas curvas (para o primeiro quadrante). Pascal
aproximou integrais duplas e triplas usando somas triangulares e piramidais.
76
Ainda por THOMAS (2002), O Cálculo na forma geométrica, grande parte do
cálculo se desenvolveu nos primeiros dois terços do século XVII com Isaac Barrow
(1630--1677). Após, foi James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre
uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o
extremo direito podia variar, permitindo estender algumas fórmulas de quadratura de
Wallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. Já Newton escreveu seu ensaio,
"On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693
e publicado como um apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montou
uma tabela extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para
curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas
geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton
desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os
métodos de substituição e integração por partes.
Segundo BOS e BARON (1974), entre as principais contribuições de Newton ao
Cálculo estão:
Formula regras e procedimentos sistemáticos para cobrir as soluções gerais
da maioria dos problemas relativos ao Cálculo Infinitesimal que eram
conhecidos no seu tempo;
Estabelece uma estrutura unificada e um quadro dentro do qual todos os
problemas podiam ser formulados;
Usa séries infinitas como ferramenta importante ao estender-se à classe das
curvas “quadráveis”, isto é, curvas cuja quadratura podia ser determinada;
Estabelece a idéia de que a diferenciação e a integração são operações
inversas.
Sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, ÁVILA (1985), afirma que este
relaciona integral com derivada, sendo um resultado decisivo para que os métodos
infinitesimais que então surgiram pudessem se organizar e disciplinas autônoma, - o
Cálculo Diferencial e Integral.
Numa das versões, AVILA (1985), mostra que:
x
a
dttfxF )()(
77
É uma primitiva de f, isto é, F’(x) = f(x). Outra versão
equivalente desse teorema afirma que se G é uma
primitiva qualquer da função f, então:
b
a
dttfaGbG ;)()()(
Ou ainda, como ),(')( xGxf
.)(')()( b
a
dttGaGbG
Evidentemente, tudo isso é válido no pressuposto de que
f(x) e G’(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b}.
Porém, no século XVII, quando o Cálculo ainda se
encontrava em estágio embrionário, não havia uma
preocupação explicita com a noção de continuidade,
mesmo porque o conceito de função era também muito
restrito. Por função se entendia uma correspondência
entre variáveis, sempre dada por fórmulas ou expressões
analíticas, como:
y=3x²-7x+1, y= .,1² etcxx
E a noção de continuidade só começaria a aparecer no
século XVIII.
De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –
1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez y
representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a
próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria a
área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas
ordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área da
figura por ò y dx.
Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latim
differentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desde
então, segundo BOYER (1989).
78
Segundo BOS e BARON (1974, p. 52), algumas idéias importantes que
fundamentaram a invenção do cálculo por Leibniz, foram:
O interesse de Leibniz pelo simbolismo e pela notação vinculando à sua
idéia de uma linguagem simbólica geral;
O reconhecimento de que somar sequências e tomar as suas diferenças são
operações inversas e que, semelhantemente, a determinação de áreas e a de
tangentes são operações inversas.
No inicio do século XVIII, segundo ÁVILA (1985), Leonhard Euler (1707 –
1783), publicou livros que estabeleceram padrões definitivos ao Cálculo e exerceram
influencia por um século. Então, segundo volume de uma dessas obras – “Introduction
in Analysin Infinitorum”, de 1848, ele distingue funções continuas de descontínuas.
Assim, por contínua, ele entende uma função dada por uma única expressão analítica,
como:
y = sen x, y = x2 + 1 ou y = log x.
É descontínua uma função dada por várias expressões analíticas, porém cujo
gráfico é uma curva única, sem interrupções, o que difere do que hoje entendemos por
descontinuidade.
Já THOMAS (2002), nos diz que a idéia moderna de uma função contínua,
independente de qualquer fórmula, foi iniciada em 1791 por Louis-François Arbogast
(1759 – 1803): "A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar
de um estado [valor] para outro [valor] sem passar por todos os estados intermediários
[valores] ...". Esta idéia tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 por Bernhard
Bolzano (1781 - 1848) e é conhecida agora como o Teorema do Valor Intermediário.
Dessa forma, as funções descontínuas no sentido moderno só foram introduzidas na
comunidade matemática e científica por Joseph Fourier (1768 – 1830) no seu famoso
Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor, 1822).
Segundo THOMAS (2002), Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu a
reforma total do cálculo para seus alunos de engenharia na École Polytechnique na
década de 1820, a integral era uma de suas pedras Fundamentais.
79
Já BOS e BARON (1974), diz que a concepção de integração como o inverso da
diferenciação, de Newton e de Bernoulli, era geralmente aceita no século XVII. Então,
Cauchy apresentou outro enfoque para a integração, considerando-a como soma. Ele
definiu a integral como um somatório que tende a um limite.
Seguindo BOS e BARON (1974), é dito que:
Uma vez que a integração não é mais definida como o
inverso da diferenciação, o Teorema Fundamental do
Cálculo não um corolário da definição da integração, mas
deve ser provado. O teorema fundamental afirma que a
integração e a diferenciação são operações inversas. Para
sermos mais precisos, ele afirma que se f é uma função
continua e considerarmos a função F definida por:
.',)()( fentãoFdxxfxFb
a
Segundo THOMAS (2002, p. 11), Cauchy definiu a integral de qualquer função
contínua no intervalo [a, b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Dessa
forma sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funções
contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema
do Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos
teóricos sutis, mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e
prosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar o
Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas.
Já TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 7), dizem que no século XVIII, a ênfase
era posta na idéia de função dada por uma expressão analítica. Também é dito que os
conceitos de derivada e integral, como os de funções e continuidade, eram insuficientes
para lidar com os novos problemas que surgiam no final do século. Então, Cauchy foi o
primeiro a introduzir a integral analiticamente. Em seu “Résumée” de 1823 ele define
integral como o limite de somas do tipo:
80
Ou seja, de acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003), quebrou o domínio da
integração em subintervalos de tamanho arbitrário por uma divisória e
calculou a área como o limite de:
,
então quando n aumenta, esta soma se aproxima da área do trapezóide definido sob o
gráfico de f, estabelecendo assim sua existência para toda a função contínua.
Portanto, TUMELERO e MUSIAL (2003), concluem a respeito da integral
segundo Cauchy que a integral assim definida dispensa com a restrita concepção de que
f tenha uma função analítica. Basta que a função f seja contínua para que exista F tal
que F’(x) = f(x); F é a integral definida de f num intervalo [a; b].
Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que
seguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que segundo TUMELERO e MUSIAL
(2003, p. 8), o ponto de partida de Riemann é a questão não resolvida por Dirichlet em
1829:
O que significa dizer que uma função é integrável? Ao
contrário de Cauchy, que se restringiu, em suas
considerações, as funções que são contínuas, ou, no
máximo, seccionalmente contínuas, Riemann não faz outra
hipótese sobre a função a ser integrada, além da
exigência de que suas “somas de Riemann”, convirjam. E
estabelece, a partir daí, critérios para a integrabilidade
que caracterizam completamente a classe das funções
integráveis.
De acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 10-11), segue a definição
exata, na íntegra da integral de Riemann:
81
Terminando a análise de TUMELERO e MUSIAL (2003), é dito que as
demonstrações dadas por Riemann em seu trabalho tinham várias lacunas, das quais só
podem ser justificadas à luz de resultados sobre continuidades e convergência
uniformes, os quais época de Riemann esses conceitos ainda não tinham sido
definitivamente identificados e incorporados à matemática.
Após a contribuição de Riemann, TUMELERO e MUSIAL (2003) destacam o
trabalho Henri-Léon Lebesgue (1875 – 1941).
Aqui vale destacar que nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral 1, é estudado
ao conceito de integral de Riemann. Entretanto, como a história da matemática não pára
e continua dinâmica, vamos apenas dar uma breve pincelada em tal contribuição.
82
Assim, TUMELERO e MUSIAL (2003), dizem que em 1901, Lebesgue
publicou uma nota na qual propunha um novo conceito de integral contendo como caso
particular a de Riemann, conseqüentemente a de Cauchy, eliminando várias deficiências
dessas integrais, e em particular, dando uma resposta mais geral sobre a validade da
fórmula de Newton- Leibniz. Este novo conceito vai permitir, por exemplo, estender a
classe das funções integráveis: Um exemplo simples de função ƒ: [0, 1] R integrável
à Lebesgue e não integrável à Riemann é:
Em resumo, podemos falar sobe o desenvolvimento dos conceitos de Cálculo,
subdividindo-os em 4 grupos, a saber:
Funções:
Como vimos anteriormente, de acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981), citado
por OLIVEIRA (1997), existem três etapas principais do desenvolvimento de funções,
que podem ser resumidos da seguinte forma:
Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de
dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de
quantidades variáveis e de funções.
Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira
precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a
qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas
quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de
preferência fórmula.
Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o
século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a
classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de
séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.
Limites:
83
Vimos que entre todos os conceitos de Cálculo, limites é considerado o mais
básico de todos, e de fundamental importância para a compreensão dos demais.
Dessa forma, tem seu desenvolvimento histórico começado a partir dos
paradoxos de Zenão, do qual ele tira a impossibilidade do movimento. Ainda na Grécia
Antiga, vimos que Arquimides não tem o conceito de infinito trabalhou com o
argumento denominado dupla reductio ad absurdum.
Já no século XVII, Fermat essencialmente trabalhou com limite com o
argumento que algo é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estava
tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da
curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero.
Depois, temos Descartes, que tinha um processo que usava raízes duplas de uma
equação auxiliar, o qual teve sua técnica melhorada pelo matemático Johan Hudde
(1628--1704). Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma
etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de
limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus
resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltam
fundamentos rigorosos
Em quase todos os trabalhos de Isaac Newton (1642 – 1727), também não
reconheceu o papel fundamental do limite.
Mas, dentre estes precursores do cálculo, temos Jean Le Rond d'Alembert
(1717--1783), que foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente a
importância central do limite no cálculo.
Já no inicio do século XVIII, nas suas classes e nos livros-texto clássicos,
Cauchy usou o princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade
e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo.
Em fim, foi Karl Weierstrass (1815 – 1897) quem determinou que a primeira
etapa necessária para corrigir os erros da definição original de Cauchy do limite em
termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades, a
qual é usada até hoje.
Derivadas:
84
Segundo THOMAS (2002), podemos começar o desenvolvimento do Cálculo
por Euclides (cerca de 300 a.C.), que provou o teorema que diz que a reta tangente a um
círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P; e depois Arquimedes (287 -
212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio
(cerca de 262 - 190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto quanto diferentes, para
determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles.
Na realidade, podemos dizer que após os Gregos o interesse por tangentes a
curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometria
analítica. Ou seja, foi René Descartes (1596 – 1650) que teve o discernimento de prever
a importância da tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz para
encontrar a normal e então a tangente a uma curva.
Já Newton, teve a intenção de determinar a relação entre variação y e da
quantidade x, de uma função y = f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal,
considerando as quantidades matemáticas “como se fossem geradas por um aumento
contínuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”.
Também foi Newton que estabeleceu muito tarde a notação padrão como ponto
para representar a diferenciação.
Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi através
deles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.
Integrais:
De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com problemas
de quadratura e cubatura, na Grécia Antiga, como Hipócrates de Chios, Antiphon,
Eudoxo e Arquimedes.
Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis de todos
matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própria cubatura.
Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de:
Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de
indivisíveis.
Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas
sob cada uma das "parábolas de ordem superior" usando retângulos estreitos inscritos e
circunscritos para levar ao método de compressão.
85
Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de
ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles
Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650),
Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.
Já Newton escreveu seu ensaio entre 1691 e 1693, onde ele montou uma tabela
extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quais
não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de
quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu as
técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de
substituição e integração por partes.
De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –
1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez y
representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a
próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria a
área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas
ordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área da
figura.
Já Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu a reforma total do cálculo
para seus alunos de engenharia na École Polytechnique na década de 1820, onde a
integral era uma de suas pedras Fundamentais.
Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que
seguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que o ponto de partida de Riemann é a
questão não resolvida por Dirichlet em 1829, dando uma grande contribuição ao estudo
das integrais.
Após a contribuição de Riemann, destacamos o trabalho Henri-Léon Lebesgue
(1875 – 1941).
86
7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO
CÁLCULO
O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no
desenvolvimento do Cálculo.
O Cálculo, segundo BOYER (1989), teve sua origem nas dificuldades
encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéias
intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente
reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos.
Já para COBIANCHI (2001), o problema de continuidade e do infinito foram
sentidos desde a antiguidade, nas tentativas de medição de segmentos, retificação de
curvas, quadraturas de figuras planas e cálculo de volumes de sólidos; podendo ter uma
de suas primeiras aparições na Escola Pitagórica, a partir do século VI antes de Cristo.
Assim, antes de tudo, vamos definir discreto e continuo.
De modo geral, segundo CUNHA (1996) citado por BROLEZZI (1996), discreto
é aquilo que exprime objetos distintos, que se revela por sinais separados, que se põe à
parte. Vem do latim discretus, particípio passado do verbo discernere (discernir), que
significa discriminar, separar, distinguir, ver claro.
Já contínuo, segundo MAGNE (1959), vem de con-tenere (ter junto, manter
unido, segurar). Contínuo é o que está imediatamente unido a outra coisa.
Então, começaremos nossa análise pela Escola Platônica. GRAGNER (1974, p.
37), afirma que:
A dificuldade de medida que constituiu a existência de
grandezas incomensuráveis foi trazida à tona, depois dos
Pitagóricos, pelos geômetras do circulo de Platão. Esse
problema dos incomensuráveis causou um verdadeiro
escândalo lógico, pois pareceu arruinar teoremas
envolvendo proporções; e um exemplo desse problema,
refere-se a duas quantidades, como a diagonal e o lado do
quadrado, que são incomensuráveis quando sua razão não
resulta algum número (inteiro) para outro inteiro.
87
Dessa forma, podemos dizer que, de acordo com COBIANCHI (2001) que a
incomensurabilidade nunca poderia ser descoberta a partir de observações o medições
experimentais, as quais estão sempre submetidas a uma maior ou menor aproximação,
pois a Matemática é um produto do puro pensamento discursivo, e suas verdades são
estabelecidas pelo raciocínio dedutivo, que são suas demonstrações, e não pela
verificação experimental.
Podemos dizer que a raiz do pensamento de Platão, de acordo com COBIANCHI
(2001), está em que a realidade não se localiza nas coisas sensíveis, e sim nas formas.
Desse modo, ainda segundo COBIANCHI (2001), a filosofia de Platão e a ciência grega
impuseram-se duas limitações, que muito influiu na construção da Matemática, a saber:
1. A rejeição do devir como base de uma explicação racional do mundo;
2. A rejeição do manual e do mecânico para fora do domínio da cultura.
Em conseqüência disso, houve a esse abandono do aspecto quantitativo, restando
somente um estudo qualitativo.
Assim, seguindo o caminho percorrido pela continuidade, segundo
COBIANCHI (2001), cabe ressaltar que Matemática trata com dois tipos diferentes de
atividades, com vínculos estreitos em relação à continuidade, a saber:
3. Envolvendo contagem de elementos discretos, separados e indivisíveis;
4. Envolvendo medida de quantidades que são continuas e, na imaginação,
infinitamente divisíveis, isto é, divisíveis sem fim.
KLINE (1972, p. 35), citado por COBIANCHI (2001), nos diz que foi Zenão
quem deu relevância ao problema da relação entre discreto e contínuo.
Já BROLEZZI (1996), vem nos dizer que após a crise dos incomensuráveis, que
pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica
muito fértil entre os filósofos pré-socráticos, ou seja, ao que tudo indica o problema da
incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da
natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que
propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas.
Segundo BOYER (1959), Demócrito foi, aparentemente, o primeiro a falar de
infinitesimais, e a considerar a possibilidade de trabalhar com o infinitamente pequeno a
fim de recompor o todo, como no caso de utilizar lâminas circulares infinitamente finas
88
para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de
Cavalieri, nesses casos.
Tal teoria foi combatida duramente pela escola filosófica de Parmênides, no
entanto segundo BROLEZZI (1996), foi um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, ou
Zenão, que entrou para História com seus famosos dons dialéticos, ou seja, através da
manipulação de argumentos lógicos, pretendia demolir as idéias dos adversários. Zenão,
continua BROLEZZI (1996), dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda,
pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor
uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma
quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também:
aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é
simplesmente nada.
Quando Zenão fez seus paradoxos deixaram descobertas as dificuldades de se
imaginar ou intuir os fenômenos associados à continuidade, isto é, a questão toda,
segundo BROLEZZI (1996), está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou
vice versa, trazendo essa sensação de certo desamparo intuitivo, relatando uma situação
de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito.
Como exemplo, o Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga, BROLEZZI (1996, p. 22),
afirma que:
O paradoxo mais conhecido é sem dúvida o de
Aquiles e a Tartaruga, embora seja similar ao da
Dicotomia. Agora temos o atleta Aquiles, com toda
sua força física, sendo derrotado numa corrida por
uma lenta tartaruga. Basta para isso que deixe a
tartaruga sair com uma vantagem de distância,
mesmo pequena, à frente dele. Pois assim que
Aquiles alcançar a posição inicial da tartaruga,
ela já se deslocou dali, mesmo que seja pouca
coisa. Quando Aquiles chegar ao local onde a
tartaruga devia se encontrar agora, esta já
adiantou-se outro pequeno espaço, e assim por
diante, de modo que a tartaruga sempre está à
89
frente de Aquiles, até cruzar vitoriosa a reta de
chegada.
Segundo BOYER (1989, p. 87), a Matemática adquiriu outra configuração após
Zeno:
As grandezas não são associadas a números ou
pedras, mas a segmentos de reta. Em 'Os
Elementos' os próprios inteiros são representados
por segmentos. O reino dos números continuava a
ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas
(e esse continha a maior parte da Matemática pré-
helênica e pitagórica) era algo à parte dos
números e devia ser tratado por métodos
geométricos.
Já COBIANCHI (2001), vem dizer que a concepção corpuscular da Escola
Pitagórica estava batida, onde os argumentos de Zenão tornaram palpável a
incompatibilidade dessa concepção com a estrutura da reta.
Sobre a obra de Euclides, BROLEZZI (1996) fala que representa o início da
busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração
grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a
se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos
de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de
exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do
Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do
Cálculo.
Aqui a principal dificuldade para os gregos desenvolverem o Cálculo era o uso
freqüente da idéia de razão. Esse fundamento da Matemática grega irá dificultar que se
enxerguem as idéias fundamentais do Cálculo.
Como diz BOYER, (1974, p. 301),
Os próprios conceitos que deram nascimento ao
Cálculo - aqueles de variação e continuidade, do
90
infinito e do infinitesimal - foram banidos da
matemática grega por esta razão, sendo o trabalho
de Euclides um monumento a esta exclusão.
Dessa forma, continua BROLEZZI (1996), no mundo grego se estabelece a
grande divisão entre as noções de discreto e contínuo, em termos de concepção
filosófica, marcando profundamente a evolução da Matemática. É Euclides quem
melhor registra essa dicotomia que caracterizava a mentalidade grega, dividindo em
livros diferentes aquilo que se referia à geometria daquilo que se referia aos números. A
Geometria seria o “reino da continuidade”, enquanto a Aritmética seria o “reino do
discreto”.
BOYER (1974) vem nos dizer que os Elementos baseiam-se em "intuição
refinada" e não deixavam espaço livre para a "intuição ingênua”, o que viria a tornar-se
especialmente ativa na gênese do Cálculo no século dezessete.
A diferença entre estes dois tipos de intuição, segundo BROLEZZI (1996), fica
mais patente nos trabalhos que marcam a evolução pós-Euclides, principalmente nas
obras de Arquimedes. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do
Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que
dele fez Arquimedes.
BROLEZZI (1996, p. 23), nos diz que:
O conceito de proporção dos pitagóricos,
associando a razão entre dois segmentos de reta à
razão entre números inteiros, não podia ser
aplicada no caso das grandezas incomensuráveis.
Eudoxo, aluno de Platão, propôs então uma outra
definição de proporção, de caráter mais geral,
permitindo que os quatro termos da proporção
fossem todos grandezas geométricas, evitando por
completo qualquer extensão à idéia pitagórica de
número. Desse modo, Eudoxo constrói um
instrumento útil que podia ser manuseado sem
haver misturas entre números e grandezas
91
geométricas, isto é, sem ferir o modo de pensar
grego.
Dessa forma, Eudoxo desenvolveu o seu Método da Exaustão, que se baseava
num princípio que acabará por ficar conhecido como Postulado de Arquimedes, embora
o mesmo o atribua a Eudoxo, segundo BROLEZZI (1996).
O enunciado desse axioma é dado por Euclides X, 1, dizendo que, dadas duas
grandezas diferentes (ambas não nulas),
Se da maior subtrairmos uma grandeza maior que
a sua metade, e do que restou subtrairmos uma
grandeza maior que a sua metade, repetindo esse
processo continuamente, restará uma grandeza
que será menor que a menor grandeza dada.
O que há de fantástico nesta definição, segundo BROLEZZI (1996), é que
exclui o infinitesimal de todas as demonstrações geométricas dos gregos, permitindo
raciocinar sem ultrapassar a compreensão intuitiva clara, pois Eudoxo não propõe ir até
o infinito para de fato atingir o limite, mas apenas afirma que se pode chegar a uma
grandeza tão pequena quanto qualquer outra dada.
A diferença entre o método de exaustão e o limite do Cálculo Diferencial
e Integral, segundo BROLEZZI (1996), reside apenas no fato de os gregos não
realizarem essa passagem ao infinito, pois não tinham noção de um continuum
aritmético. Mas o tipo de argumentação é o mesmo, tanto no caso do atual limite quanto
no método de exaustão geométrico.
Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, BOYER (1959), nos diz que
basta verificar o que Arquimedes (287 – 212 aC) realizou o Cálculo da área sob a
parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo
Integral.
Segundo EDWARDS (1979), faltava a Arquimedes a noção de passagem ao
limite, pois ele partilhava com os gregos do chamado horror ao infinito.
Ao mesmo tempo, BROLEZZI (1996) afirma que, o estudo da Matemática grega
mostra como as idéias originais do Cálculo têm início em considerações que envolvem
92
tanto noções de grandezas discretas quanto de grandezas contínuas, servindo ambas para
se chegar aos resultados do Cálculo.
Assim, continua BROLEZZI (1996), será também por estes dois caminhos -
ambos igualmente úteis – que surgirá o reconhecimento da relação inversa entre
problemas de área e de tangente a uma curva, que é o cerne do Teorema Fundamental
do Cálculo. Mas isso somente irá aparecer de maneira explícita nos trabalhos de Newton
e Leibniz, na segunda metade do século XVII.
Dessa forma, BROLEZZI (1996), nos diz que Newton (1642-1727) e Leibniz
(1646-1716) chegaram ao Cálculo através de caminhos diferentes, tanto em linguagem
com que ambos expressaram as idéias fundamentais do Cálculo, mas também em
termos de concepção pode-se verificar uma diferença grande entre os trabalhos destes
homens. Tanto Newton quanto Leibniz podem ser considerados como os primeiros a
expressar a idéia da reciprocidade entre a diferencial e a integral, que constitui o
Teorema Fundamental do Cálculo. Mas a maneira de ver o Cálculo era distinta.
De acordo com ROBINSON (1974, p. 260), que foi o criador da análise não-
standard, nos diz que quando analisamos os fundamentos da teoria do Cálculo, é
possível identificar dois modos distintos de trabalhar as idéias básicas:
No que se refere aos fundamentos do novo assunto,
Newton vacilava, referindo-se às vezes aos
infinitesimais, às vezes aos limites, e às vezes a
uma intuição física básica, e seus sucessores
imediatos deram preferência a essa última
abordagem. Por outro lado, Leibniz e seus
seguidores basearam o desenvolvimento da teoria
sobre os diferenciais infinitamente pequenos, de
primeira e segunda ordem.
Já BOYER (1989, p. 260), nos diz que:
Newton, o cientista, encontrou na noção de
velocidade a base que para ele parecia
satisfatória; Leibniz, o filósofo, que era também
tanto teólogo quanto cientista, preferia encontrar a
93
base na diferencial, a contrapartida em
pensamento da mônada, que deveria desempenhar
um papel tão grande no seu sistema metafísico.
Dessa forma, poderíamos dizer assim que Newton teria chegado ao Cálculo pela
via do contínuo, e Leibniz pela via do discreto, conforme já visto acima, pois ambas as
maneiras de abordar o problema mostraram-se igualmente úteis, já que não estava
estabelecida a noção de limites, as idéias de movimento contínuo e de infinitésimos
discretos surgiram como tentativas de esquematizar as impressões sensíveis a respeito
da variação.
Quando nos referimos à percepção da relação inversa entre a derivada e a
integral, e a formulação de regras de para se obter derivadas e integrais, podem ser
tomados como a essência da criação do Cálculo, isto é, para chegar a esses conceitos,
Newton segue o caminho constituído pela manipulação da noção contínua de velocidade
e movimento.
Já Leibniz, segundo BARON & BOS (1985, p.70), tem outra maneira de encarar
as coisas. Para Leibniz, a visualização do Cálculo se dá de forma estática:
Leibniz considerava as variáveis como
percorrendo seqüências de valores infinitamente
próximos. No seu Cálculo há pouco uso de
conceitos de movimento.
A visão discreta de Leibniz e a visão contínua de Newton, segundo BROLEZZI
(1996), foram ambas igualmente úteis para compor o cenário para o Cálculo que estava
nascendo. As preocupações metafísicas de Newton e Leibniz levaram ambos a tentar
esclarecer a natureza do "ser" das variáveis e dos fenômenos relacionados a elas. Essas
explicações iniciais serviram para dar sustentação a esse período inicial do Cálculo, até
que a matemática evoluísse mais para poder ultrapassar a visão dicotômica entre o
discreto e o contínuo. Assim, afirma BOYER (1974, p. 216):
Somente após o desenvolvimento do conceito geral
abstrato de número real o caminho estava claro
para interpretar ambos os cálculos fluxionário e
94
diferencial em termos de limite de uma seqüência
infinita de razões ou números; mas essa
interpretação não tornou-se aceita ainda por mais
um século.
Hoje, de acordo com BARON & BOS (1985, p.73), podemos dizer que o
Cálculo moderno é, em essência, o mesmo que eles criaram, mas com uma linguagem e
uma abordagem conceitual bem distinta de ambos:
No Cálculo moderno a operação de diferenciação
associa uma função a uma derivada. Para Leibniz,
a diferenciação associava uma diferencial
infinitamente pequena a uma variável. Para
Newton, tomar fluxões significava associar uma
velocidade finita a uma variável. Portanto, a
concepção da operação fundamental nos cálculos
de Newton e Leibniz era totalmente diferente do
conceito de diferenciação que está em uso no
Cálculo moderno.
Em 1826, segundo BROLEZZI (1996), Cauchy estabelece a noção de limites,
em certa medida elaborando em linguagem matemática uma estrutura flexível dentro da
qual as noções de discreto e contínuo pudessem ser trabalhadas. Já Weierstrass, com a
ferramenta da noção de limite, formaliza o Cálculo, introduzindo a linguagem dos
Épsilons e Deltas.
Os dois caminhos percorridos por Newton e Leibniz, segundo BROLEZZI
(1996), se encontraram em um mesmo ponto, o Cálculo. Conseqüentemente, o Cálculo é
o “reino” onde interagem de modo especial o discreto e o contínuo. Para chegar a uma
melhor definição do Cálculo, foi necessário elaborar a teoria sobre o contínuo, e tentar
compreender a natureza da reta real. O Cálculo irá se apoiar assim sobre os números
reais, e sobre a idéia de limite.
Já foi Georg Cantor, segundo BROLEZZI (1996), foi quem chamou a atenção
para a continuidade da reta real, ainda não suficientemente explicada. Cantor propôs a
95
construção de um conjunto especial de pontos, chamado de Conjunto de Cantor ou
Poeira de Cantor. Esse conjunto tem grande importância histórica, e pode ser
considerado o mais simples dos fractais. Segundo YOUNG (1992, p. 321), citado por
BROLEZZI (1996):
Cantor foi levado ao conjunto que agora leva seu
nome em seus esforços para esclarecer as
características essenciais de um contínuo
matemático e, portanto cobrir a distinção entre um
conjunto de pontos contínuo e discreto
Atualmente, de acordo com BROLEZZI (1996), afirma que mesmo bem
definido matematicamente, o contínuo continua a desafiar a mente com um problema de
ordem epistemológica, colocado por Caveing do seguinte modo: O contínuo é um dado
primitivo e intuitivo, ou uma construção matemática?
DA COSTA & DORIA (1991/2) sugere algumas linhas de pesquisa que
permitam obter estruturas contínuas antes de estruturas discretas, a fim de estabelecer,
dentro da Matemática, uma relação entre parceiros iguais. Essas indagações sobre a
interação entre discreto e contínuo traduzem-se em um problema de base do Cálculo.
PETITOT (1985, p. 209), comenta essa dificuldade da base da análise:
Ora, se se remonta do seu formalismo de base - a saber, o
formalismo diferencial - até ao seu conceito primitivo - a
saber, o de infinitesimal -, depara-se com uma
contradição. Com efeito, dada a estrutura arquimediana
da reta real, uma quantidade infinitesimal é
necessariamente nula; sendo o contínuo divisível sem
resto até ao infinito, não poderiam aí existir nem "átomos"
indivisíveis fazendo parar o processo de divisão, nem
infinitamente pequenos que o excedam.
Em 1960, segundo BROLEZZI (1996), Abraham Robinson provou que os
infinitésimos podem ser definidos de modo a fornecer uma estrutura rigorosa para o
Cálculo, onde a análise não-standard tem a mesma consistência interna que o Cálculo
96
baseado em números reais e limites. Comenta YOUNG (1992) sobre a análise não-
standard de Robinson:
Apesar de o tema estar ainda na sua infância e seu futuro
estar longe de ser claro, ainda assim constitui-se em um
esforço para construir uma ponte cobrindo o espaço
existente entre o contínuo e o discreto.
A análise não-standard, ainda por BROLEZZI (1996), faz parte portanto dessa
tentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para as
idéias do Cálculo Diferencial e Integral. Ao comentar sua própria criação, Robinson
chama a atenção para o fato de que a teoria do Cálculo somente veio a ser bem
fundamentada muito tempo depois de suas bases estarem lançadas:
Penso que nos séculos futuros será considerado algo
muito estranho na história da matemática que a primeira
teoria exata dos infinitesimais foi desenvolvida 300 anos
após a invenção do Cálculo diferencial.
Desse modo, conclui BROLEZZI (1996), a análise não-standard faz parte, dessa
tentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para as
idéias do Cálculo Diferencial e Integral.
8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE
HOJE
O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no ensino
médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60 até os dias de
hoje.
Podemos começar este tópico perguntando por que ele foi inserido? Qual a
importância dessa discussão?
Pois bem, comecemos com ÁVILA (1991), quando ele questiona porque do
Cálculo não ser ensinado no 2.o grau (atual ensino médio)? Será que é muito difícil
para tal nível de ensino?
97
Pois, é por isso que começaremos seguindo ÁVILA (1991), quando ele afirma
que no final da década de 50 e inicio dos anos 60, com o inicio do Movimento da
Matemática Moderna, que pregavam a modernização do ensino, cuja tônica foi à
ênfase excessiva no formalismo e no rigor das apresentações, foi retirado do antigo
segundo grau (atual ensino médio) programas tais como o Cálculo. Na ocasião o
conteúdo de Cálculo fazia parte do programa da 3.a série do chamado curso cientifico,
segundo ÁVILA (1991).
De fato, quando pegamos o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL
JAIRO BEZERRA, temos neste conteúdo de Cálculo, o qual analisaremos mais tarde.
O que chama a atenção logo de inicio é a seguinte mensagem na contra-capa do livro:
“De acordo com os programas em vigor, conforme portarias n.os 966, de 02/10/1951
e 1.054 de 14/12/1951”. (BEZERRA, 1962, s/p)
Mas afinal, que programas curriculares em vigor em 1962 são esses?
Antes de falarmos sobre tais portarias, ÁVILA (1991) nos diz que desde 1943
quando foi instituída a reforma do ensino secundário, conhecida por reforma
Capanema, e bem como antes de tal reforma, o Cálculo já fazia parte do programa de
dois anos do pré-universitário, das escolas de engenharia.
Agora, quando pegamos SILVA (2008), ele nos diz que a portaria de 1951,
lançada pelo então Ministro da Educação e Saúde Simões filho, foi denominada
programa mínimo e procurava estabelecer um limite mínimo na qual todas as
instituições escolares estariam sujeitas. Dessa forma, o programa mínimo para o
colégio estabelecia na 3ª série, de acordo com SILVA (2008, p. 137), temos:
Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino
Secundário e respectivas instruções metodológicas.
I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e
círculo; noção intuitiva de limite e de continuidade.
(vii) Conceito
elementar de variável e de função. Variável progressiva e
variável contínua; intervalos; noção intuitiva de limite de
uma sucessão; exemplos clássicos elementares;
convergência.
98
2) Funções
elementares; classificação. Representação cartesiana de
uma função e equação de uma curva. Curvas geométricas
e curvas empíricas; noção intuitiva de continuidade.
Representação gráfica de funções usuais; função
exponencial, função logarítmica e funções trigonométricas
diretas. Acréscimo de uma função num ponto; funções
crescentes e funções decrescentes. Tangente; inclinação
da tangente.
3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos.
Propriedades fundamentais. Exemplos elementares de
descontinuidade de uma função em um ponto.
Descontinuidade das funções racionais fracionárias.
4. A função linear e a linha reta em coordenadas
cartesianas. Parâmetros angulares e
parâmetro linear. Formas diversas de equação da linha
reta. Representação paramétrica; ares de um triângulo em
função das coordenadas dos vértices. Os problemas
clássicos de inclinação, intersecção, passagem e
distância, relativos à linha reta.
5. A equação geral do 2° grau com duas variáveis e a
circunferência de círculo em coordenadas cartesianas.
Formas diversas da equação da circunferência de círculo.
Intersecção de retas e circunferências.
II – Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações;
aplicações.
1. Definição da
derivada em um ponto; notações; derivada infinita.
Interpretação geométrica e cinemática da derivada.
Diferença e diferencial; interpretação geométrica. Funções
derivadas. Derivação sucessiva.
99
2. Regras de derivação;
derivada de um constante; de um função de função; de
funções inversas; da soma, do produto e do quociente de
funções. Aplicação à derivação de funções elementares.
3. Aplicação da
teoria das derivadas ao estudo da variação de uma
função. Funções crescentes e funções decrescentes;
máximos e mínimos relativos; interpretação
geométrica.
4. Funções primitivas;
integral indefinida; constante de integração. Primitivas
imediatas; regras simples de integração.
5. Integral definida.
Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos
elementares.
Agora, podemos falar da Reforma da Matemática Moderna, cujas
características principais, segundo ÁVILA (1993), foram a ênfase acentuada na
utilização da linguagem de conjuntos e numa apresentação excessivamente formal das
diferentes partes da Matemática.
ÁVILA (1993, p. 2) faz a seguinte análise sobre tal período:
O ensino da Matemática como era feito antes da
reforma da Matemática dos anos sessenta
realmente continham muitas deficiências. Não
levava em conta aspectos importantes da
psicologia do aprendizado que, felizmente, vem
recebendo, hoje em dia, mais atenção. Mas a
reforma trouxe inovações desastrosas, algumas
das quais persistem, não obstantes as mudanças
salutares dos últimos anos. Assim é que os livros
do 1º e 2º graus continuam carregados de
simbolismo e linguagem de conjuntos que mais
100
atrapalham do que ajudam o aluno em seu esforço
de aprendizagem.
Já com a reforma da Matemática Moderna, as sugestões de 1965,
segundo SILVA (2008), referente a Analise Matemática, temos:
- Introdução ao Calculo Infinitesimal:
- Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real;
- Derivada de funções racionais e trigonométricas;
- Propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das funções.
8.2 FUNÇÕES
(i) DECADA DE 1960.
Começaremos nossa análise por funções, pois se trata de um dos
fundamentos do Cálculo, e pelo qual toda a disciplina se assenta. Além de sua
importância no ensino médio, tal assunto hoje em dia é revisto no inicio dos cursos de
Cálculo.
Bem, quanto à análise propriamente dita, começaremos por um dos
livros da década 60, que é um grande clássico dos livros didáticos, que é o “CURSO
DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica
da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”.
Resumindo, pretendemos colocar em evidência as semelhanças e diferenças dos
conteúdos programáticos para o programa de Cálculo com o passar de cada década,
observando as variações que aparecem tanto no conteúdo, como na forma de ser
“transmitida”. Para tanto, deixaremos expostos o que cada um dos livros das décadas de
60, 70, 80 e 90 traz para o professor aplicar em cada um dos ciclos, sempre vertendo
para o assunto que interessa, e também levando em consideração o livro Matemática
Moderna Para o Ensino Secundário, que em 1965 foi o marco da transição do conteúdo
clássico para o moderno.
Então, podemos iniciar com a portaria ministerial de 1951 e analisar tal
livro, bem como tendo em vista o programa de Cálculo atual da UFSCar e os PCN do
ensino médio.
101
De acordo com COSTA at all (2007), temos em sua 8ª edição, em
1962, o livro de Jairo Bezerra traz os seguintes temas para o terceiro ano:
Além de Geometria Analítica, o aluno era ser apresentado aos Limites,
Derivadas e Primitivas, conteúdos hoje vistos apenas na graduação de cursos da área
de ciências exatas e tecnológicas.
Segue abaixo a análise de cada um dos capítulos.
Funções
Conceito elementar de função;
O capitulo começa com o conceito elementar de função, que na
verdade é semelhante à definição de Dirichlet, que em 1837 sugeriu uma definição
muito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-
Dirichilet, a saber:
“Se uma variável y está relacionada com uma
variável x de tal modo que, sempre que é dado um
valor numérico a x, existe uma regra segundo a
qual um valor único de y fica determinado, então
diz-se que y é uma função da variável
independente x.”
Já BEZERRA (1962) vem inclusive definir variável dependente e
independente.
Funções unívocas e plurívocas;
Aqui a novidade em relação aos livros atuais para ensino médio é a
definição de função plurívoca ou multiforme, termos as quais não são mais vistos pelos
alunos atuais.
Campo de existência da função;
É definido por BEZERRA (1962), como campo de existência da
função, o domínio da variável independente.
Tal termo não é mais visto no ensino médio.
Aqui temos que uma mudança de linguagem e de metodologia em
tratar tal assunto.
Tópicos expostos da mesma maneira atualmente:
102
Valor numérico de uma função;
Zeros de uma função;
Tópicos expostos de maneira análoga à atualmente, mas com grande
rigorismo e linguagem muito rígida sob o ponto de vista dos livros de hoje:
Intervalos;
Exercícios resolvidos;
Solução detalhada e rigorosa de exercícios mecânicos, para fixação.
Exercícios para resolver
Em sua maioria são exercícios mecânicos, com poucos exercícios de
demonstrações.
Classificação de funções
Funções explícitas e implícitas: São apresentadas funções implícitas
quando aparece sob a forma f(x, y) = 0, e não são adotadas nos livros atuais, e nem
visto no ensino médio funções de duas variáveis.
Funções algébricas e transcedentes: trabalha com funções de duas
variáveis.
Funções racionais e irracionais: trabalha com funções polinomiais,
onde y é a razão de duas funções de x.
Funções inversas: trabalhadas da maneira tradicional, como feita hoje.
Resumo da classificação das funções:
Funções algébricas (são implícitas ou explicitas, que são
irracionais ou racionais, eu pode ser também inteiras e
fracionárias), transcedentes (são implícitas ou explicitas, que são
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e ciclómétricas).
Representação gráfica de funções usuais
A representação gráfica é feita de forma análoga ao de hoje, mas
de forma mais concisa.
Funções crescentes e decrescentes;
O conteúdo é apresentado de forma análoga ao que é feito no
ensino superior de hoje, de forma rigorosa, matematicamente, co
poucos exemplos e aplicações.
Representação gráfica da função exponencial.
103
Se tomarmos BRASIL (1952), citado por SILVA (2008), o Desenvolvimento
dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas instruções metodológicas,
em relação a Funções, temos o seguinte conteúdo:
Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável
contínua; intervalos.
Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e
equação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de
continuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial; função
logarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto;
funções crescentes e funções decrescentes.
Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.
Descontinuidade das funções racionais fracionárias.
Também podemos observar que o tópico relativo a trigonometria era visto no 2º
ano, enquanto funções em geral ficava par ao 3º ano.
Por outro lado, de acordo com SILVA (2008), as sugestões de 1965 trouxeram
como novidade para o Ensino Colegial o estudo das Funções como ponto de partida já
no primeiro ano, ressaltando a representação gráfica e unindo a Álgebra à Geometria.
Já pela portaria de 1951, funções eram vistas somente no terceiro ano.
Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteiro de
Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em
relação a FUNÇÕES, antes era dado no 3º ano, e passa ao 1º Colegial, temos:
Funções:
a) Noções gerais;
b) Função linear, representação gráfica, estudo da reta;
c) Função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica, inequações do 2º
grau;
d) Função exponencial e logarítmica, uso das taboas.
Aqui, trigonometria é tratada no primeiro colegial, juntamente com funções.
104
Agora, tomando GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de
Assuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.
Quando tomamos o tópico 1, relativo a funções, temos os seguintes assuntos mínimos::
Função de 2º grau. Estudo completo do trinômio do 2º grau e aplicações.
Dessa forma, GEEM (1965) nós dão as seguintes sugestões:
- No estudo do trinômio, ressalta-se o aspecto gráfico e nas aplicações, as
inequações do 2º grau.
Nota-se uma mudança significativa no conteúdo de funções entre a portaria de
1951 e a da Matemática Moderna de 1965, com mudança de ênfase significativa.
(ii) DECADA DE 1970
Aqui, tomamos BOULOS & WATANABE (1979), onde através do prefácio
feito por OSVALDO SANGIORGI, um dos fundadores do movimento da Matemática
Moderna no Brasil, já temos um indicio do caminho a ser percorrido pelo livro, ou
seja:
A Matemática, considerada, com muita
propriedade eixo metodológico de todos os ramos
conhecimento humano, conseguiu, por parte dos
autores um tratamento correto e simples, capaz de
atrair jovens estudantes do segundo grau, mesmo
aqueles que não se destinam especificamente ao
ensino universitário. Nada de tratamento
exageradamente rigoroso, com a intenção de
agradar tão somente os matemáticos profissionais,
e sim, dentro de uma linguagem clara e certa, a
preocupação de atender às reais necessidades de
conhecimento cientifico exigidas pelos alunos
atuais.
No começo a definição de funções é baseada em conjuntos com representações
gráficas e tabelas, bem como diagramas, dessa forma, explorando a noção intuitiva de
105
funções. Na mesma linha segue funções afim e quadrática, bem como funções
exponenciais e logarítmicas.
O livro ainda consta bastante exercícios de fixação, repetitivos, bem como
exercícios resolvidos.
(iii) DECADA DE 1980
Nesta década, pegamos LAPA & CAVALLANTE (1984), segue a mesma linha
do livro citado para a década de 1970, com bastante regras para memorização,
exercícios resolvidos e exercícios de fixação. A novidade aqui são os gráficos
coloridos, para melhor visualização.
Já em relação à função logarítmica e exponencial, é explorada bastante a ênfase
algébrica.
Em síntese, continua seguindo a reforma da Matemática Moderna.
(iv) DECADA DE 1990
Aqui tomamos PACCOLA & BIANCHINI (1995), onde na apresentação temos
a tendência da obra, ou seja:
(…) acompanhamento a moderna tendência do ensino de estreitar a relação
aprendizado/ cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa e
motivadora, privilegiando sua aplicação em problemas que estimulem o interesse do
aluno. Também nos exemplos resolvidos e nos “exercícios propostos”, sempre que
possível, procuramos trabalhar com situações retiradas da realidade do estudante.
Em relação à definição de funções, o livro começa com problemas do cotidiano,
para depois chegar à formalização. Porém, o livro continua assentado bastante em
conjuntos, e na visualização gráfica. À primeira vista, o livro não consegue fazer ligação
entre aprendizagem/ cotidiano, conforme citada na apresentação, mas fica na introdução
apenas de alguns conceitos. Já a parte histórica é uma novidade, mas aparece como
mera curiosidade.
São apresentados exercícios como fixação e repetitivos, sem situações
problemas.
No fim, acaba repetindo o conteúdo das décadas anteriores, de forma
repaginada, mas ainda seguindo a Matemática Moderna.
106
(v) DECADA DE 2000
Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 1, de Luiz Roberto Dante, de
2004.
DANTE (2006), no mostra os seguintes tópicos relativos a funções:
- Funções: noção intuitiva de funções, gráfico, função injetiva, função
sobrejetiva e bijetiva. Função inversa e composta;
- Função afim: gráfico, propriedades, aplicações, inequações do 1ºgrau;
- Função quadrática: gráfico, forma canônica da função quadrática, estudo de
sinais, problemas com funções quadráticas;
- Função Modular: distância entre dois pontos na reta real, função modular,
equações modulares, inequações modulares.
A característica deste livro é o grande numero de exemplos, gráficos, aplicações,
exemplos e aplicações. Toda introdução e formalização de função são feitas em cima de
conjuntos, uma herança da Matemática Moderna.
Já em relação a função afim, modular e quadrática, a característica básica é a
introdução e formalização dos conceitos em cima de diversos gráficos, e exemplos.
DANTE (2006) também procura mostrar muitas relações com o cotidiano do
aluno, algo que não ocorria nas décadas anteriores.
8.2 CÁLCULO
8.2.1 INTRODUÇÃO
De acordo comandados SILVA (2008, p. 71), temos:
Na Análise Matemática os conteúdos quase que se
igualam nas apresentações, mas as abordagens
são distintas. Na Portaria de 1951 é apresentada a
definição, a notação da derivada e as regras de
derivação das funções elementares. Nas Sugestões
de 1965 o assunto é tratado como uma introdução
ao cálculo infinitesimal e notações e regras de
107
derivação, traz as funções reais de variável real e
as derivadas de funções racionais e
trigonométricas, além de trazer as definições.
Apresenta também, como orientação para esse
estudo, o fato de ater-se às propriedades que
seriam utilizadas nas aplicações às outras
Ciências.
Já quando tomamos ÁVILA (1991), ele vem nos dizer que no final dos
anos 50 e começo dos anos 60, houve uma mudança significativa no ensino da
Matemática no Brasil. O nome do movimento era Matemática Moderna, pois, como
propalavam seus defensores, era preciso modernizar esse ensino. ÁVILA (1991), ainda
nos diz que a tônica dessa modernização foi uma ênfase excessiva no rigor e no
formalismo das apresentações, à custa de retirar antigos programas importantes do
ensino, como o de Cálculo.
Desse modo, a análise dos conteúdos de Cálculo no ensino médio nas
últimas décadas passa necessariamente pela discussão do Movimento da Matemática
Moderna, com suas repercussões no ensino de Cálculo no antigo 2° grau.
8.2.2 LIMITES
(i) DECADA DE 1960
Vamos pegar o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL
JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica da matemática antes do advento da
chamada “Matemática Moderna”.
De acordo com BRASIL (1952), o Desenvolvimento dos Programas Mínimos de
Ensino Secundário, e respectivas instruções metodológicas, em relação à Limites
recomenda o seguinte conteúdo:
Limite de variáveis e de funções;
Limites infinitos.
Propriedades fundamentais.
Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.
Descontinuidade das funções racionais fracionárias.
108
Dessa forma, como BEZERRA (1962) está de acordo com a Portaria Ministerial
de 1951, o conteúdo referente a Limites é:
Limite de uma variável;
Limites infinitos;
Limite de uma função;
Cálculo de limites com auxílio da definição;
Propriedades fundamentais dos limites;
Operações fundamentais sobre limites;
Limite da função algébrica racional inteira;
Limite de uma função racional;
Limites fundamentais;
Limites laterais;
Função continua;
Descontinuidade das funções racionais fracionárias;
Então, vemos que o livro segue tal Portaria de conteúdos mínimos.
Agora, olhando os conteúdos de BEZERRA (1962), vemos que a definição de
limites usava-se a idéia de épilons e deltas, sem exprimi-los claramente, e de forma a
usar a notação de módulo para abertos e fechados.
Nota-se que não eram pedidas demonstrações em geral.
Quanto às propriedades e operações fundamentais são apenas mostras sem
qualquer demonstração, como regras a serem memorizadas.
Já os exemplos caracterizam-se de aplicações simples das regras e definições
Por fim, existe uma grande carga de exercícios de fixação.
Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas sugestões para um roteiro de
Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em
relação a limites, no Terceiro Colegial temos:
- Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real.
Como já dito acima, mudança no programa de limites, são decorrentes do
Movimento da Matemática Moderna.
109
De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de
Assuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.
Quando tomamos o tópico 18, temos:
Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;
aplicações ao calculo de áreas e volumes.
Segue a recomendação:
Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, que
serão utilizadas nas aplicações a outras ciências.
(ii) DÉCADA DE 1970
Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegial
moderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971.
Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente as
noções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões do
GEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna.
Antes de propriamente entrar nos conceitos de limites ROCHA & BARBOSA
(1971) vem dizer que o ensino de cálculo nos cursos secundários, e justifica dizendo
que os conceitos de forma correta são de difícil assimilação pelos alunos. No entanto,
continua ROCHA & BARBOSA (1971), à guisa de motivação para os cursos
subseqüentes, serão apresentadas, de forma intuitiva algumas técnicas simples de
cálculos.
Sobre o estudo de limites em si, os autores começam pela noção prática de
continuidade, onde é mostrada a continuidade de forma intuitiva, ou seja, ROCHA &
BARBOSA (1971, p. 216), diz que:
Está claro que a curva é continua e posso traçá-la
sem interrupções.
Na mesma linha segue definindo vizinhança e limites, sem nenhuma
demonstração, e com muitos exemplos, seguindo de fato as recomendações do GEEM
(1965).
(iii) DÉCADA DE 1980
110
Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,
Vol. 3ª, de 1983.
LAPA & CAVALLANTE (1983, p. 208), nos diz que:
Nesta parte veremos conceitos de grande
importância para a Matemática superior,
lecionada nas faculdades. Aqui, as noções de
limites e derivadas serão vistas de modo bastante
intuitivo, sendo a seguir utilizadas no estudo da
variação de uma função. Nesta abordagem – que
mantém a característica de iniciação ao tema -,
serão feitos gráficos de inúmeras funções, tendo-se
especial atenção ao estudo de seus pontos de
máximo ou de mínimo relativos. Esta parte
finaliza-se com as aplicações de máximos e
mínimos à resolução de problemas.
Assim, pelas palavras dos autores, fica evidente o perfil do livro, no qual
se encaixa as recomendações do GEEM (1965). Verificando o conteúdo, em especial
de limites, ao primeiro tópico chama-se “O conceito informal de limite”, onde se inicia
com a grande numero de gráficos, e é evitado ao uso dos termos matemáticos formais.
As propriedades são dadas como regras, sem qualquer demonstração.
Outro tópico é “Cálculo de limites”, com varias regras, exemplos numéricos e
gráficos. Por fim, segue a mesma linha quando fala de limites infinitos.
(iv) DÉCADA DE 1990
Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que limites são apresentados de
maneira intuitiva, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e sem demonstrações,
ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na prática, tal livro parece reeditar
o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos.
(v) DÉCADA DE 2000
111
Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de
2006.
Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino
médio.
8.2.3 DERIVADAS
(i) DECADA DE 1960
Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL
JAIRO BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da
chamada “Matemática Moderna”.
Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), o
Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas
instruções metodológicas, em relação a Derivadas recomenda o seguinte conteúdo:
- Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação
geométrica e cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica.
Funções derivadas. Derivação sucessiva.
- Regras de derivação; derivada de um constante; de função de função; de funções
inversas; da soma, do produto e do quociente de funções. Aplicação à derivação de
funções elementares.
- Aplicação da teoria de derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções
crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação
geométrica.
Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)
se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos uma
sensível diferença e diminuição em relação ao conteúdo de BEZERRA (1962).
Por outro lado, SILVA (2008), nos diz que na portaria de 1951 é apresentada a
definição das funções elementares; já na de 1965 o assunto é tratado como uma
introdução ao Cálculo Infinitesimal e notações e regras de derivação, traz as funções
reais de variável real e as derivadas de funções racionais e trigonométricas, além de
trazer as definições. Também diz que, como orientação para esse estudo, o fato de ater-
se às outras propriedades que seriam utilizadas nas aplicações às outras ciências.
112
De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista de
Assuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.
Quando tomamos o tópico 18, temos:
Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;
aplicações ao calculo de áreas e volumes.
Segue a recomendação:
Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, que
serão utilizadas nas aplicações a outras ciências.
Já quando tomamos BEZERRA (1962), observamos que são apresentadas
derivadas sem muitas deduções e demonstrações, na forma de regras de memorização.
Além disso, o autor apresenta poucos exemplos e muitos exercícios de fixação, sem
nenhuma demonstração.
Abaixo segue uma página de BEZERRA (1962), como exemplo:
113
FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de
MANUEL JAIRO BEZERRA.
Assim, podemos fazer a análise de que poucas demonstrações no livro supra
citado, é decorrente da grande mudança com o Movimento da Matemática Moderna, e
sua exigência de rigorismo excessivo, de acordo com ÁVILA (1991).
114
(ii) DECADA DE 1970
Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegial
moderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971.
Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente as
noções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões do
GEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna.
Os autores ROCHA & BARBOSA (1971) denominam o capitulo de “Noções
sobre Derivadas”.
Assim, propriamente dito, os autores, antes de definir derivadas por limite,
começa definindo h x X – X0, o qual denomina de acréscimo da variável
independente x, a partir do ponto X0.
O livro segue com apresentação de regras simples, sem demonstração, e com
muitos exemplos numéricos e gráficos.
(iii) DÉCADA DE 1980
Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,
Vol. 3ª, de 1983.
LAPA & CAVALLANTE (1983), como já citado acima, fica evidente o perfil
do livro, no qual se encaixa as recomendações do GEEM (1965).
Seguindo o conteúdo, LAPA & CAVALLANTE (1983), começa com vários
exemplos gráficos de tangentes a uma curva em um ponto, e segue ate a definição de
por limites, usando coeficiente angular. No tópico seguinte, relativo a regras de
derivação, tais regras são vistas sem a demonstração, com exceção da derivada da
função potencia de expoente n e função logarítmica de base e, cujas derivadas são feitas
via dedução por limites, algo não visto nos livros das décadas anteriores.
O capitulo termina com um tópico referente a comportamento de uma função e a
função derivada, o qual é afeita mediante vários exemplos gráficos, para que se
introduza a determinação de máximos e mínimos.
(iv) DÉCADA DE 1990
115
Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que derivadas são apresentadas de
maneira intuitiva, através de taxa de variação, com bastante exemplos numéricos e
gráficos, e sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na
prática, tal livro parece reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os
exemplos.
(v) DECADA DE 2000
Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006.
Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio.
8.2.5 INTEGRAIS
(i) DÉCADA DE 1960
Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO
BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da
chamada “Matemática Moderna”.
Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), o
Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas
instruções metodológicas, em relação ao conteúdo de Integral, recomenda o seguinte
conteúdo:
Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas
imediatas; regras simples de integração.
Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos
elementares.
Tomando agora SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteiro
de Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Em
relação a Integrais, no Terceiro Colegial não temos nenhum conteúdo do referido
tópico.
Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)
se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos a
extinção do tópico ‘Integral’.
(ii) DÉCADA DE 1970
116
Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegial
moderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971.
Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente as
noções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões do
GEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna.
Dessa forma, ao consultarmos o conteúdo do livro, notamos que não existe o
conteúdo de integrais, indo na mesma linha de sugestões do GEEM.
(iii) DECADA DE 1980
Consultamos LAPA & CAVALLANTE (1983) e TROTTA, IMENES &
JAKUBOVIC (1980), que não trazem nada a respeito de integrais.
(iv) DECADA DE 1990
Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que as integrais são apresentadas
como operação inversa das derivadas, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e
sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Aqui vemos
grande numero de tabelas e regras para o aluno decorar. Na prática, tal livro parece
reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos.
(v) DECADA DE 2000
Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006.
Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio.
9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE
CÁLCULO
Antes de entrarmos no desenvolvimento dos cursos de cálculo e suas
problemáticas nos cursos superiores, vamos fazer a análise de diversos livros didáticos
indicados para os alunos de Cálculo 1 e Cálculo Diferencial e Integral 1, já que vimos
até agora como o calculo era dado no ensino médio, segundo alguns livros.
Podemos dizer o que o objetivo deste capitulo é fazer a analise de diversos livros
didáticos indicados para os alunos de Cálculo.
117
Dessa forma, passamos aos livros que de fato são usados nos cursos iniciais de
Cálculo..
Consultando os planos de ensino no “NEXOS”, na página da UFSCar. No item
referente à bibliografia de todas as turmas oferecidas em 01/2009, observamos um total
de 17 livros indicados. São eles:
1) Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, Vol.1 e 2, 5ª. Edição, LTC, Rio de
Janeiro, 2001.
2) Thomas, G. B. et al, Cálculo, Vol 1, Addison-Wesley (Pierson Education do
Brasil), São Paulo, 2002.
3) Bartle, R. G.; Tulcea, C. I., Calculus, Scott, Glenview, 1968.
4) Apostol, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967.
5) Stewart, J., Cálculo, Vol. 1, Pioneira, São Paulo, 2001.
6) Ávila, G. S. S., Cálculo: diferencial e integral. V. 1, 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros
Tecnicos e Cientificos, 1978.
7) COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Alberto Nunes Serrao (Trad.).
Porto Alegre: Globo, 1970. v.1.
8) Spivak, M., Calculus, Addison-Wesley, 1973.
9) Zorich, V. A., Mathematical Analysis I, Springer Verlag, 2002.
10) Anton, H., Cálculo - Um novo horizonte, Vol. 1, 6ª.Edição, Bookman, Porto
Alegre, 2000.
11) Leithold, L., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1, Harper & Row do Brasil
Ltda., São Paulo, 1977.
12) SIMMONS, George F., 1925-. Calculo com geometria analitica. V. 1, Seiji
Hariki (Trad.). Sao Paulo: McGraw-Hill, 1987.
13) Flemming, M., Gonçalves, M. B. - Cálculo A - 5a. edição Makron Books, São
Paulo, (1992).
14) Piskunov, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou,
(1968).
15) Priestley, W. M. - Calculus: An Historical Approach - Springer-Verlag, N. Y.,
(1979).
16) Swokowski, E. W. - Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 - Makron Books,
São Paulo, (1995).
118
17) SAMPAIO, J. C. V. Fascículos de Cálculo 1, 2005.
Desta lista de livros, selecionaremos alguns destes, que segundo BARUFI
(1999), apresentam uma proposta original e alternativa, fundamentada em objetivos
claros do autor, que demonstram uma preocupação com a aprendizagem significativa
por parte dos estudantes.
9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1
Segundo BARUFI (1999), APOSTOL (1967) começa o livro dizendo que não
existia uma concordância geral em que consistiria um primeiro curso de cálculo, pois
alguns sugerem o desenvolvimento passo a passo, de maneira lógica e rigorosa, e já
outros enfatizam que como o cálculo é uma ferramenta, deveria priorizar aplicações.
Assim, termina APOSTOL (1967), dizendo que ambas as idéias fazem sentido, já que
muito da beleza do cálculo deriva da beleza das aplicações físicas.
Dessa forma, BARUFI (1999) começa enfatizando que a seqüência de temas do
livro difere da maioria dos outros textos, pois o autor começa com o Calculo Integral, e
depois o Calculo Diferencial. Sendo assim, a opção inicial é exposição do método de
exaustão de Arquimedes, o que segundo APOSTOL (1967) acabou sendo transformado
no Cálculo Integral.
BARUFI (1999, p. 67) analisa que:
A escolha de Apostol parece ser adequada para
estabelecer uma ponte com o conhecimento dos
alunos iniciantes, para os quais o problema de
calcular áreas e volumes de figuras mais gerais
parece estar muito próximo dos problemas de
calcular áreas e volumes de figuras simples que foi
desenvolvido na escola média.
BARUFI (1999) afirma que há uma grande quantidade de figuras sugestivas e
criativas, pois, por exemplo, no tópico sobre derivadas, observa-se grande quantidade de
ilustrações relacionando uma função com sua derivada.
119
Por fim, BARUFI (1999), diz que o autor constrói os conceitos de através de
processos aproximados, procurando fazer com que o leitor, ao alcançar a formalização
definitiva dos conceitos, tenha passado por varias etapas sucessivas.
A seqüência temática do APOSTOL (1967), segundo BARUFI (1999), é a
seguinte:
FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE
APOSTOL (1967)
(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1
Segundo BARUFI (1999), ÁVILA (2001) começa o livro dizendo que o
Cálculo com seus fundamentos profundos e sutis, só podem ser adquirido
gradualmente e de forma intuitiva, e por isso sugere que tais conceitos devem ser
dados com o mínimo de formalismo.
Continuando, AVILA (2001, p. x) afirma que:
(...) a idéia de que o aluno de Matemática se deva
ministrar, desde o inicio, um ensino rigoroso e
isolado das outras ciências encerra um grave erro,
120
Cálculo integral
Cálculo diferencial
Logaritmo, exponencial, e as inversas das funções trigonométricas
Introdução a eq. diferenciais
Álgebra vetorial com aplicações à geometria analítica
Curvas e superfícies
Teor, do valor médio e generaliza-ções
Aplicações do teor. Do valor médio
Seq. Series infinitas e integrais imprópias
sob dois aspectos: de um lado, priva-se o estudante
da correta apreciação da Matemática, cujo valor
mais autêntico reside na idéias, na criatividade e
não apenas no rigor e no encadeamento lógico das
demonstrações. (...) De outro lado, esse ensino
isolado n ao corresponde à realidade histórica; de
fato, as exigências de desenvolvimento de teorias e
métodos matemáticos em Física, Astronomia e nas
demais ciências tem se constituído nas fontes mais
estimuladoras da criação matemática.
Segundo BARUFI (1999), a preocupação inicial de ÁVILA (2001) é na
revisão de temas do ensino médio, e só após que começa a explorar as idéias do
Cálculo, através de colocações provisórias para só depois chegar ao conceito em
sua forma definitiva. Outra coisa que BARUFI (1999) nota é que ao final do
livro, é colocado um texto para mostrar que aquele conceito não foi descoberto e
sim construído.
Encerrando, BARUFI (199) afirma que a seqüência temática é bastante
tradicional, mas a exposição não o é.
FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA
DE ÁVILA (2001)
121
Nos reaisEq. e gráficos Funções,
limites, derivadas
FunçõesElemen-tares
Aplicações da Integral
Regras de integração
Integral Comportamento de funções
(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL –
VOL. 1
Segundo BARUFI (1999), COURANT (1970) começa a revisão de
alguns conceitos do ensino médio, onde examina o conceito de limite de
forma intuitiva, para só depois dar uma definição formal de limites, usando
seqüência de números reais e por ultimo coloca a definição de limite quando
a variável é continua. Já sobre a continuidade BARUFI (1999) nos diz que a
continuidade é explora de forma intuitiva por exemplos, até o conceito
formal aparecer.
No capitulo 2, BARUFI (1999) diz que o autor começa explorando as
idéias do Cálculo através de áreas, e só depois passa para o limite do
quociente de diferenças. Já sobre integração, COURANT (1970) começa um
tópico especifico para explorar a interpretação gráfica, com ilustrações
usando a integração e a relação com o coeficiente angular da reta tangente.
BARUFI (1999, p. 87) termina a análise dizendo:
Ao longo de todo o texto observamos a utilização
da linguagem corrente, para esclarecer aquilo que
foi feito formalmente. Dessa forma, o autor
consegue propor um curso com um bom nível de
profundidade e na qual as idéias não ficaram
escondidas atrás de uma máscara lógico-formal. A
obra atinge um alto nível de generalização,
constituindo um texto de Cálculo extremamente
completo.
(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1
Segundo BARUFI (1999), o autor parece fazer um revelação do
Cálculo sistematizado, buscando idéias internalistas, sem recorrer aos
problemas que motivaram seu surgimento. BARUFI (1999) continua
afirmando que os problemas servem para ilustrar os resultados e os exemplos
para motivação.
122
Outra análise, segundo BARUFI (1999), é sobre a preocupação com a
formalização e a generalização sempre presentes.
BARUFI (1999) encerra dizendo que o autor não faz referencia à
gênese do calculo, e a seqüência temática apresenta o Calculo sistematizado
e logicamente estruturado, onde tal seqüência temática é:
NUMEROS REAIS – FUNÇÕES – LIMITES E CONTINUIDADE –
EXTENSOES DO CONCEITO DE LIMITE – TEOREMAS DO
ANULAMENTO, DO VALOR INTERMEDIÁRIO E DE WEIERSTRASS
– FUNÇÃOEXPONENCIAL E LOGARITMICA – DERIVADAS –
FUNÇÕES INVERSAS – ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES –
PRIMITIVAS – INTEGRAL DE RIEMANN – TECNICAS DE
INTEGRAÇÃO – EQ. DIF. DE 1ª ORDEM, DE VAR. SEPARÁVEIS E
LINEARES – TEOR. DE ROLLE, DO VALOR MÉDIO E DE CAUCHY,
REGRAS DE L´HOSPITAL – FORMULA DE TAYLOR – APENDICE 1
A 5 – FUNÇÕE INTERAVEIS – FUNÇÃO DADA POR INTEGRAL –
MAIS ALGUMAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL, COORDENADAS
POLARES – EXTENSOES DO CONCEITO DE INTEGRAL – EQ. DIF.
DE 1ª E 2ª ORDEM, COM COEF. CONSTANTES.
(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -
VOL. 1
Segundo BARUFI (1999), as idéias fundamentais não são
apresentadas como solucionadoras de problemas importantes, e nem
colocação de problemas para motivar a introdução dos conceitos, embora
coloque diversas aplicações posteriores. Seguindo BARUFI (1999), diz que
na parte de integrais, é observado o desenvolvimento da operação de
primitivação, como inversa da derivação, antes de falar em área sob o gráfico
de uma curva.
Encerrando a análise, BARUFI (1999), p. 112) afirma que:
O autor cuida da generalização e da formalização,
demonstrando, normalmente, todas as proposições
ou teoremas.
123
A seqüência de conteúdos é a seguinte:
NUMERO, VARIÁVEL, FUNÇÕES – LIMITE E CONTINUIDADE
DE FUNÇÕES – DERIVADA E DIFERENCIAL – TEOR.
RELATIVOS ÀS FUNÇÕES DERIVÁVEIS – ESTUDO DA
VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES – CURVATURA DE UM CURVA –
NUMEROS COMPLEXOS, POLINOMICOS – FUNÇÕES DE
VARIAS VARIÁVEIS – APLICAÇÕES DO CALCULO
DIFERENCIAL À GEOMETRIA DO ESPAÇO – INTEGRAL
INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA – APLICAÇÕES GEOM. E
MECANICAS DA INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES
DIFERENCIAVEIS.
(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA
ANALÍTICA - VOL. 1
BARUFI (1999) nos diz logo nas primeiras páginas, o autor apresenta um
formulário, onde inclui uma grande quantidade de fórmulas referentes às derivadas e às
integrais e inclusive a diversos outros assuntos normalmente constantes do conteúdo
desenvolvido no ensino médio, o que leva a crer que o autor queira garantir o que seja
possível encontrar aquilo que normalmente os estudantes imaginam ser o fundamental
num curso de Cálculo.
No Prefácio, segundo BARUFI (1999), encontramos que a presente edição,
revisão da original, ou seja:
(...) foi empreendida com três objetivos em mente.
O primeiro é tornar o livro mais voltado para o
estudante, ampliando discussões e proporcionando
maior número de exemplos e ilustrações para
melhor esclarecer os conceitos. Para auxiliar
ainda mais o leitor, foram acrescentadas, em
muitas seções do texto, sugestões para a resolução
de problemas. O segundo objetivo é enfatizar a
utilidade do Cálculo por meio de aplicações
124
atualizadas de derivadas e integrais. O terceiro
objetivo - tornar o livro tão livre de erros quanto
possível - foi alcançado por meio de um exame
cuidadoso do texto ...(Swokowski, 1994, p. xix)
O autor inicia seu texto, segundo BARUFI (1999), com uma Revisão
Pré-Cálculo, na qual retoma diversos assuntos que considera essenciais
para o desenvolvimento subseqüente, logo desenvolve o conceito de limite de
uma função que é uma das idéias fundamentais que distinguem o cálculo da
álgebra e da trigonometria. Pode-se, observar, segundo BARUFI (1999), que o
autor busca convencer tanto através de cálculos, como de figuras ou da
linguagem. O uso da intuição é também bastante explorado.
No Capítulo sobre Derivadas, BARUFI (1999), observa-se que há três
exemplos, desenvolvidos com detalhes, que são: reta tangente ao gráfico de uma
função num ponto, velocidade instantânea e taxa instantânea de variação, nos
quais sempre obtém a expressão usual que, em seguida, vai colocar como sendo
aquela que define a derivada de uma função em um ponto. Já parte sobre
integração, BARUFI (1999) analisa que primeiro o autor trabalha a integração
indefinida, como operação inversa da derivação, e só depois coloca a questão do
cálculo de áreas.
Encerrando a análise, BARUFI (1999, p 120), nos diz que:
Todo o texto é trabalhado no sentido de primeiro
apresentar exemplos trabalhados com detalhe,
antes da introdução do conceito. Os problemas
mais interessantes são propostos depois. O texto
busca o convencimento do leitor, e para isso utiliza
argumentos muitas vezes intuitivos, não apenas
decorrentes da lógica interna. A formalização e
generalização são bem cuidadas.
A seqüência de conteúdos é a seguinte:
125
REVISAO PRÉ-CALCULO – LIMITES DE FUNÇÕES – A DERIVADA –
APLICAÇÕES DA DERIVADA – INTEGRAIS – APLICAÇÕES DA
INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES LOGARITICAS E EXPONENCIAIS –
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS E HIPERBOLICAS –
TECNICAS DE INTEGRAÇÃO – FORMA INDETERMINADAS E
INTEGRAIS IMPROPRIAS – APENDICE.
10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE
CÁLCULO
O objetivo deste capitulo é mostrar a importância da historia da matemática
parta o ensino de Cálculo.
Segundo BARBOSA (2008), aparentemente existe um consenso entre autores
que um dos meios mais interessantes de obter conhecimento é através da história, e que
é possível compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar
também os aspectos humanos do seu desenvolvimento, ou seja, enxergando os homens
que criaram essas idéias e estudando as circunstâncias em que elas se desenvolveram.
Nesse sentido, BARBOSA (2008, p.78), destaca a importância da
história da matemática escrevendo:
“A participação da história dos conteúdos matemáticos
como recursos didáticos é imprescindível. O
desenvolvimento histórico não só serve como elemento de
motivação, mas também como fator de melhor
esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias
estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica
de duas linhas ao iniciar um capitulo, mas de realmente
usar a ordem histórica da construção matemática para
facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução
teórica. Isto é central. Os conceitos e noções da
matemática tiveram uma ordem de construção histórica.
Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que
surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar
teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao
126
estado atual de conhecimento) é possível revelar seu
sentido e seus limites. A história deveria servir, então,
como o instrumento mais adequado para a estruturação
do delineamento mesmo da exposição dos conceitos. É
provável também que uma aproximação dessa natureza
seja possível satisfazer as exigências de um sentido
vetorial do concreto ao abstrato. Com isso não se quer
dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem da
aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem
dúvida, todas as ciências possuem certa lógica interna que
se dá a partir de sínteses teóricas importantes e que se
deve assimilar no sentido ensino-aprendizagem. Só se
coloca a necessidade buscar um equilíbrio, enfatizando a
importância do segundo”.
No entanto, pelo que vimos acima, o autor supra citado considera a história da
matemática como uma importante ferramenta no ensino-aprendizagem da mesma. Mas,
através de diversos livros didáticos, vemos que muitos autores apenas usam a história
como mera curiosidade, e no máximo como elemento motivador.
Já MENDES (2007), nos diz que, com relação ao uso da história como recurso
de ensino de matemática, há na literatura referente a esse tema, um estudo exaustivo,
realizado por MIGUEL (1993), onde ele caracteriza diversas fontes de utilização na
história da matemática, dentre as quais destacamos a de motivação da aprendizagem, a
de seleção de objetivos de ensino, a de recreação através de atividades lúdicas e
heurísticas, a de desmistificação, para mostrar a matemática acessível às atividades
educativas do homem; a de formalização de conceitos, a de dialética, a de unificação de
vários campos da matemática, a de conscientização epistemológica e de significação, a
de cultura e a de epistemologia.
Nesse sentido, SEBASTIANI FERREIRA (1997, p.154), diz que:
“A história em sala de aula tem um alcance muito
maior que apenas uma simples motivação. Além de
motivar o aluno, o faz passar por revoluções no
127
método da matemática, que foram sem dúvida,
marcos decisivos nesta ciência”. Além disso,
continua o autor, “mostra como a matemática foi
construída pelo homem através dos tempos e como
suas dificuldades foram sendo superadas”.
Dessa forma, conforme afirma BARBOSA (2008), conhecendo a história da
matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes
resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram que foram
desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela
em que são apresentadas após todo o processo de criação, conforme acontece no
Cálculo Diferencial e Integral.
Então, pelo que vemos na História da Matemática, ela tem um papel importante
na organização do conteúdo que se quer ensinar, e até dando, por assim dizer, um modo
de raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir.
Segundo BARBOSA (2008), o desafio que ainda não foi superado é encontrar
uma metodologia que contemple o desenvolvimento histórico da matemática como
mecanismo de ensino; qual deve ser o melhor caminho para inseri-la como ferramenta
no processo de ensino-aprendizagem.
Desse modo BARBOSA (2008), traz um panorama de algumas metodologias,
como segue abaixo.
10.1 Metodologias
(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.
De acordo com SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.250) cita CLAIRAUT
(1892):
“Afim de seguir nesta obra um caminho semelhante
aos dos inventores faço com que os principiantes
descubram antes de tudo as verdade que pode
depender a simples medida dos terrenos e das
distâncias acessíveis, etc. Passo daí a outras
investigações, de tal modo análogas às primeira que
128
a curiosidade natural de todos os homens os leva a
nelas se deterem. Justificando depois esta
curiosidade por algumas aplicações úteis, chego a
ensinar tudo o que de mais interessante a geometria
elementar tem ... Por esse método, os principiantes,
a cada passo que lhes fazemos dar, percebem a
razão que move o inventor; e podem assim mais
facilmente adquirir o espírito da invenção”
(CLAIRAUT, 1892, apud SEBASTIANI FERREIRA,
1996, p.250).
(ii) Principio Genético
Segundo BARBOSA (2008) este principio pode ser estabelecido da seguinte
forma: “a aprendizagem efetiva requer que cada aluno refaça os principais passos da
evolução histórica”, ou seja, lembramos a lei biogenética da Psicologia, que
afirma que o indivíduo, desde seu nascimento até sua maturidade,
repete as principais etapas do desenvolvimento humano.
Assim, segundo EDWARDS (1977), citado por BARBOSA (2008), a História
da Matemática não se detém na descrição da teoria, a não ser o mínimo necessário para
o entendimento dos fatos, e o método genético não busca um estudo detalhado dos
eventos que não contribuem para o entendimento do assunto. Entre os autores que
defendem este principio, temos Hanri Poincaré, George Polya, Morris Kline e René
Thom.
Segundo SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.253), Antonio Miguel em sua tese
de doutorado, diz que é problemático o uso do “principio genético” para relacionar
história e ensino-aprendizagem, porque na concepção de produção do conhecimento no
plano psicogenético, a matemática passa a ser vista como um corpo cumulativo de
conhecimentos seqüenciais e ordenados hierarquicamente, e a adoção do recurso à
história baseada na ordem cronológica da constituição dos conteúdos a serem ensinados.
(iii) Método Experimental
129
Segundo BARBOSA (2008), esse método é fundamentado no conceito de
experiência cientifica. Para realização de tal experiência devemos adquirir recursos
tanto materiais quanto teóricos. Para isso devemos nos preocupar em:
a) Espaço para realização da pesquisa, que não precisa ser
necessariamente a sala de aulas, mais sim um laboratório de computação,
biblioteca, etc.;
b) Encher o espaço com ferramentas semelhantes as quais dispunham os
matemáticos e determinada época; segundo Ferreira, os materiais não
precisam ser necessariamente objetos concretos, mas conceitos, técnicas
e estratégias matemáticas que o autor dispunha.
c) Perturbação do sistema. Essa etapa consiste em mudar os
equipamentos (conceitos, técnicas e estratégias matemáticas) de acordo
com a evolução do processo histórico. Nesse momento, utilizamos
bibliografias para mostrar os principais momentos históricos até que
chegamos ao computador por ser a ferramenta e/ou equipamento
utilizado pelos matemáticos contemporâneos;
d) Instigar os alunos para que eles expressem todo o processo
experimental, podendo ser em forma oral, escritas, ou ambas.
Ainda segundo BARBOSA (2008), a idéia é pegar um fato e “caminhar” com
ele através da história da matemática. Essa é a idéia defendida pelo professor Eduardo
Sebastiani.
(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino
Retomando o Projeto deste trabalho, bem como estudos realizados
anteriormente, durante no nosso projeto Iniciação Científica, vimos que a análise sobre
o uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto
de vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação,
deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas
principalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais
presentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobre
o papel da História da Matemática no ensino, tem condições de verificar onde e como
130
esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que a
Matemática consegue estabelecer com a realidade.
Portanto, essa Metodologia leva o aluno a participar da construção do
conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação
com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo. A este
processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica.
Agora vamos destacar alguns livros que propõe o ensino do Cálculo usando a História.
10.2 Livros de Cálculo usando a história
(i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos.
De acordo com BARBOSA (2008, p.83),
A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e
expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo
contando os principais fatos históricos e instigando o
leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo
questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Em
alguns casos, pede-se que façamos comentários críticos e,
em outros, propõe que se façam resumos de partes dos
textos. Nestes textos encontramos traduzidos os relatos,
publicações, cartas, etc. como são encontrados nos
trabalhos originais dos autores. Logo após cada
exposição desses trabalhos, são feitos apontamentos sobre
o assunto.
(ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz.
De acordo com BARBOSA (2008, p.83),
O livro segue a inspiração histórica para apresentar os
conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma
discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos
gregos sobre os processos infinitos, a teoria das
proporções, o método da exaustão, a medida da
131
circunferência de Arquimedes, o conceito de número,
limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da
integral definida se inicia com a quadratura da parábola
por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos
após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o
estudo do problema de se encontrar a tangente a uma
curva em um ponto, com problemas de máximos e
mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo
dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre
derivada e integral. O livro termina com aplicações a
problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis
de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado,
tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a
Alemanha em 1939.
(iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.
De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4),
Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do
cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o
valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem,
desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa
discutindo os problemas da antiguidade até chegar à
análise do século vinte. Após tratar dos principais
assuntos da matemática grega, o autor conta fatos
históricos e as contribuições dos principais personagens
precussores do cálculo, que de uma forma ou de outra,
colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à
Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um
deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles
inevitavelmente considerados a peça central da história
do cálculo. A principal característica deste livro é a
inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como
132
uma parte integrante da exposição. A história da
matemática, como matemática própria, não se aprende
com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No
entanto, a solução de problemas típicos e particulares de
um determinado período histórico, utilizando as
ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar
o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que
o melhor caminho de penetrar no pensamento de
Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns
problemas utilizando seus próprios métodos.
11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO
O objetivo deste capitulo é discutir a história da matemática como metodologia
de ensino em Cálculo.
Podemos começar a dizer sobre uma proposta metodológica tomando SPINA
(2002), que vem mostrar que na escola, o antigo paradigma deveria ter sido substituído,
o que significaria o fim dos "planejamentos de arquivo", das aulas preparadas e nunca
mudadas, da passividade-receptividade dos alunos, numa palavra, o abandono das
certezas, dos objetivos de longo prazo, o que na prática não acontece, ou seja, ainda
persistem os antigos métodos de ensino, à revelia das mudanças que estão a exigir uma
nova mentalidade.
Dessa forma, ASSMANN (1996, p.55) afirma:
“Confesso a minha perplexidade, não apenas diante de
muitos aspectos da atual evolução da humanidade, mas
também diante dos que persistem em não evoluir. Há
muita literatura sobre a educação na qual não se registra
nada acerca dos terremotos epistemológicos do século
XX.”
Assim, MORAES (1997, p. 51), citado por SPINA (2002), diagnostica o estado
de calamidade do sistema escolar brasileiro:
133
Na área educacional, as influências do pensamento
cartesiano-newtoniano parecem ainda mais graves
considerando o seu significado para a formação de novas
gerações, com sérias implicações para o futuro da
humanidade. (...) Em vez de produzir as transformações
necessárias para o desenvolvimento harmonioso do ser
humano, a educação atual continua gerando padrões de
comportamento preestabelecidos, com base em um sistema
de referência que nos ensina a não questionar, a não
expressar o pensamento divergente, a aceitar
passivamente a autoridade, a ter certeza das coisas (...)
Dessa forma, ainda de acordo com SPINA (2002), o ensino da Matemática não
foge à regra. As transformações por que passa o mundo, o ritmo alucinante da evolução
solicita outra didática, mentalidade, metodologia.
Como diz ZUÑIGA (1991), citado por SPINA (2002):
O reflexo disso se faz sentir na Matemática (...) a natureza
da Matemática está mudando: há muitos indícios disso.
Cada dia mais pessoas questionam o modelo matemático
infalível, absoluto, longe da intuição empírica e da
realidade terrena, que dominou até agora... Cada vez se
percebe melhor a íntima relação entre as matemáticas e a
sociedade. Cada vez tem-se mais espaço para um novo
paradigma sobre a natureza das matemáticas, um
paradigma empírico e construtivista, um paradigma que
recorre à intuição sensorial, um paradigma que integre no
seu seio as influências sociais e culturais, que recorre à
História das Matemáticas e das Ciências como
inspiração, não só para anedotas, senão para estabelecer
a lógica que sustenta a prática educativa de uma forma
mais acertada.
134
Assim, quando pretendemos abordar a História da Matemática como
procedimento de ensino, esta é pedagogicamente orientada, tal como, as várias
dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem
durante o processo.
Então, de acordo com estudos realizados anteriormente, durante na nossa
Iniciação Científica, temos que se vista de forma dinâmica, a História da Matemática se
insere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos de
Lanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o aluno
reconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, além
de mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. O
aluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica
tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social que
sustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A este
processo estamos denominando de perspectiva lógico-histórica.
Assim, segundo SOUSA (2007), ao acenarmos para um ensino que se fundamente
no par lógico-histórico, estamos defendendo que a relação lógico-histórica na prática
pedagógica do professor.
Também, nesta mesma linha, de acordo com estudos anteriores, feitos durante o
Relatório de Iniciação Científica, podemos dizer que ao assumirmos o lógico-histórico
enquanto forma de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que se
fundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003),
consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo e
o movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquanto
define para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquanto
o homem tenta se humanizar pelo conhecimento.
Já RIBNIKOV (1987, p. 12), nos diz que:
Conhecer a história do desenvolvimento da matemática
nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender
o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos
homens”
135
Dessa forma, de acordo com SOUSA (2004), professores e estudantes devem
partir do princípio de que aprender um conceito matemático envolve apropriação de
significações que são produzidas durante o desenvolvimento histórico da humanidade.
Tais apropriações são elaboradas enquanto procuram atender as necessidades sociais e
cognitivas.
12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS
DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Este capítulo possui a intenção de mostrar os delineamentos de propostas de
ensino pesquisadas a partir de um enfoque histórico, onde a idéia seria a de
proporcionar que o estudante possa fazer reflexões sobre conceitos que estuda.
Outro ponto a ser abordado aqui é a opção entre seguir os nexos conceituais
presentes no desenvolvimento do Cálculo, ou seguir a ordem adotada nos livros
didáticos.
Mais especificamente, para BARUFI (1999), existem dois modelos principais a
serem abordados, a saber:
(...) Constitui na apresentação do Cálculo sistematizado,
formal e logicamente organizado, como resultado do
trabalho de pensadores, filósofos e matemáticos, durante
vinte séculos. (...) Nesse caso, a seqüência temática,
basicamente é: Números Reais, funções, Limites,
Derivadas e Integrais, e o tratamento metodológico
obedece, em muitos casos, à idéia de fornecer uma
revelação do Cálculo. (BARUFI, 1999, p. 52)
(...) Este modelo diverge do anterior por apresentar uma
seqüência temática que não obedece necessariamente à
estrutura lógica, mas muito mais ao desenvolvimento do
Cálculo, ou à sua contemporaneidade. Isto se deve ao fato
de basear-se numa metodologia problematizadora,
segundo a qual aquilo que deflagra o processo de
construção do conhecimento, por parte dos alunos, é a
136
existência de problemas importantes e motivadores.
(BARUFI, 1999, p. 53)
Dessa forma, a abordagem lógico-histórica, que aqui adotamos, condiz com o
segundo modelo apresentado por BARUFI (1999).
Nesse sentido, em nossas pesquisas, constatamos que praticamente não existem
atividades de ensino com a abordagem histórica na literatura em português e em
espanhol, cujas pesquisas realizamos através da base de dados SCIELO. Outra fonte de
pesquisa da literatura brasileira, em específico, foi através do banco de dados das
principais universidades brasileiras, onde não foi encontrada nada de relevante. Em
português foi encontrada a coleção “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron
e H. J. M. Bos, de 5 volumes.
Já na literatura internacional, encontramos três livros em específico, de autores
americanos, que são: TOEPLITZ (1996), PRIESTLEY (1974) e EDWARDS (1974).
Dessa forma, em vez de copiarmos alguns exercícios de tais livros, vamos
apenas relembrar suas principais características, já analisadas acima, de acordo com
BARBOSA (2008).
Seguem as principais características desses livros:
(i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos.
De acordo com BARBOSA (2008, p.83),
A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e
expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo
contando os principais fatos históricos e instigando o
leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo
questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Logo
após cada exposição desses trabalhos, são feitos
apontamentos sobre o assunto.
Verificamos que os exercícios são mais de cunho histórico do que sobre
cálculo especificamente.
(ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz.
137
De acordo com BARBOSA (2008, p.83),
O livro segue a inspiração histórica para apresentar os
conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma
discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos
gregos sobre os processos infinitos, a teoria das
proporções, o método da exaustão, a medida da
circunferência de Arquimedes, o conceito de número,
limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da
integral definida se inicia com a quadratura da parábola
por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos
após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o
estudo do problema de se encontrar a tangente a uma
curva em um ponto, com problemas de máximos e
mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo
dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre
derivada e integral. O livro termina com aplicações a
problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis
de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado,
tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a
Alemanha em 1939.
Assim, verificamos que são exercícios voltados mais para física,
do que problemas de cunho histórico.
(iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.
De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4),
Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do
cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o
valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem,
desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa
discutindo os problemas da antiguidade até chegar à
análise do século vinte. Após tratar dos principais
138
assuntos da matemática grega, o autor conta fatos
históricos e as contribuições dos principais personagens
precursores do cálculo, que de uma forma ou de outra,
colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à
Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um
deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles
inevitavelmente considerados a peça central da história
do cálculo. A principal característica deste livro é a
inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como
uma parte integrante da exposição. A história da
matemática, como matemática própria, não se aprende
com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No
entanto, a solução de problemas típicos e particulares de
um determinado período histórico, utilizando as
ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar
o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que
o melhor caminho de penetrar no pensamento de
Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns
problemas utilizando seus próprios métodos.
Ao verificar o livro, vimos que é o que mais se aproxima de um livro didático de
cálculo usando a história da matemática. Também vimos muitos exercícios durante o
livro, adequados com a abordagem histórica.
Entretanto a critica que fazemos aqui é pela maioria das atividades se reduzirem
à simples exercícios, alguns de fixação da teoria ou onde são pedidas demonstrações de
resultados apresentados durante o capítulo, com poucos problemas a serem resolvidos.
12. CONCLUSÕES
Podemos concluir de nossa pesquisa que cumprimos nosso objetivo de estudar a
história da matemática enquanto metodologia de ensino nas disciplinas iniciais de
Cálculo, já que fizemos um levantamento das taxas de reprovações em tais cursos, e
139
também a partir de entrevistas de professores, levantamos as principais dificuldades no
ensino-aprendizagem, e aprofundamos seu estudo.
Assim, durante a nossa pesquisa, podemos observar tanto através das entrevistas
com professores como no estudo da bibliografia citada, que um dos principais conceitos
envolvidos no estudo do Cálculo é o de limite, sendo fundamental para o aprendizado
de derivadas e integrais.
Dessa forma, destacamos em nossa pesquisa a chamada ruptura entre o
pensamento algébrico e o analítico, como problema de ensino-aprendizagem do
Cálculo, que segundo ARTIGUE (1998) ocorre quando o aluno é obrigado a reconstruir
objetos matemáticos, ou seja, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento
da dificuldade técnica do trabalho matemático nos ajuda a compreender melhor à
distância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,
ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,
de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como um
instrumento operativo na resolução de problemas.
Logo, ao falarmos sobre nossa aprendizagem sobre ao conteúdo de Cálculo,
principalmente ao estudarmos as dificuldades de ensino-aprendizagem, um pouco sobre
o conceito formal de limites, sobre como eram tratadas as tangentes, deste problema dos
tempos de Euclides. Porém destaca-se aqui o conceito de integrais, principalmente na
integração de funções em intervalos descontínuos, onde não basta a aplicação pura e
simples das regras, e sim fazer antes um estudo do gráfico e das possíveis
descontinuidades, para ai sim efetuarmos a operação.
Na seqüência estudamos a importância do uso da história da matemática no
ensino de cálculo, onde aprofundamos com o estudo de diversas metodologias que usam
tal abordagem, culminando com o lógico-histórico. Dessa forma, podemos dizer que
aprendemos um pouco sobre a história dos conceitos de Cálculo, sendo destaque para
função, onde apareceu para nós todo o seu desenvolvimento lento e gradual. Também
destacamos o aprendizado sobre o surgimento histórico primeiro de integrais em
detrimento dos demais conceitos. Já sobre nosso aprendizado sobre as metodologias de
ensino de Cálculo, podemos dizer que passamos a ter algum conhecimento sobre os
diversos enfoques da história da matemática como metodologia.
140
Antes de concluirmos, por tudo que estudamos, aprendemos um pouco com as
entrevistas dos professores, das queixas deles em relação aos alunos e comparando com
as taxas de reprovações, vimos que realmente tem algo errado, e em geral com o
comportamento dos alunos em relação aos estudos. Porém, o radicalismo de alguns
professores em não tentar enxergar outras metodologias de ensino é um fator há ser
estudado. Assim, vemos que é mais fácil notarmos o que não deve ser feito em sala de
aula, com exemplos negativos, do que propormos um modo correto de procedimento.
Porém, pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o estudo da
disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho histórico, com
uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez do
enfoque metodológico tradicional.
Dessa forma, concluímos que o que melhor se adéqua de um livro didático de
cálculo usando a história da matemática é o livro de EDWARS (1977). Também vimos
muitos exercícios durante o livro, adequados com tal abordagem, porém, em vez de
copiarmos alguns exercícios de tais livros, apenas relembramos suas principais
características, vantagens e desvantagens.
Para encerrarmos, propomos a seguinte questão de investigação:
“De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia
de ensino de Cálculo?”
Assim, podemos dizer que tal perspectiva deve enfatizar a reconstituição, não
apenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,
psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula, levando o aluno a
participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica, tendo como
uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao
surgimento do Cálculo.
15. BIBLIOGRAFIA
AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. Trad. de
João Pitombeira de Carvalho. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática,
1984. 170 p.
141
ASIALA, M.; Cottrill, J.; Dubinsky, E. & Schwingendorf, K. The development
of student’s graphical understanding of the derivate. Journal of Mathematical Behavior,
1997.
ÁVILA, Geraldo. Evolução dos Conceitos de Função e Integral. Revista
Matemática Universitária, Nº 1, SBM. RIO DE JANEIRO, 1985.
_______________. As Coisas que Ensinamos. Revista Matemática
Universitária, Nº 18, SBM. RIO DE JANEIRO, 1991.
APOSTOL, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967.
ARTIGUE, M. La enseñanza de los principios del calculo: problemas
epistemológicos, congnitivos e didáticos. Ingenieria didática em educación matemática.
P Ed. P. Gomez. Grupo Editorial Iberoamericano. México, 1995.
ARTIGUE, M. Enseñanza y aprendizaje dela análisis Elemental: ¿qué se puede
aprender de las investgaciones didáticas y los câmbios curriculares? Relime, vol. 1, nº 1,
Grupo Editorial Iberoamericano. México, 1998.
ASMANN, H. Metáforas Novas para Reencantar a Educação. Piracicaba:
UNIMEP, 1996.
AZCÁRATE, C. La velocidad: introducción al concepto de derivada. Tesis de
doctorado, Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, 1990.
ÁVILA, G. S. S., Cálculo: diferencial e integral. V. 1, 3ª ed. Rio de Janeiro:
Livros Tecnicos e Cientificos, 1978.
BADILLO, E. La derivada como objeto matemático y como objeto de
enseñanza y aprendizaje en profesores de matemáticas de Colombia. Tesis de doctorado
no publicada, Universitat Autònoma de Barcelona., Barcelona, 2003.
BAKER, B.; Cooley, L. & Trigueros, M. A calculus graphing schema. The
Journal for Research in Mathematics Education, 2000.
BARBOSA, Evaldo F. M. A REGRA DE L’HÔPITAL: Analise Historica da
regra de L’Hôpital. A importância da História da Matemática na disciplina de Cálculo.
CAMPINAS: UNICAMP, 2008. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO.
BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A construção/negociação de significados no
curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. SÃO PAULO: USP, 1999.
TESE DE DOUTORADO.
BAUMGART, John K. Tópicos de história da matemática para o uso em sala
142
de aula: Álgebra. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.
BEZERRA, Manuel Jairo. Curso de Matemática. Companhia das Letras, 8ª
edição, São Paulo, 1962.
BIAHCHINI, E.; PACCOLA, H. MATEMÁTICA. Vol. 1: versão alfa. Ed.
Moderna, 2.a edição. São Paulo, 1995.
BOGDAN, R. C; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação. Porto
Editora, Porto, 1994.
BOS, M.; BARON, M. Curso de História da Matemática: Origens e
Desenvolvimento do Cálculo: Newton e Leibniz. Vol. 3. Trad. Rudolf Maier. Editora
Universidade de Brasília, Brasília, 1974.
BOULOS, P.; WATANABE, R. MATEMÁTICA: 2.o GRAU, vol. 1. Ed.
Nacional. São Paulo, 1979.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad. de Elza F. Gomide.
São Paulo, Edgard Blücher, 1974.
____________________. História da Matemática. Trad. de Elza F. Gomide.
São Paulo, Edgard Blücher, 1989.
_____________________. The History of Calculus and its Conceptual
Development. New York, Dover, 1959.
BRASIL. Portaria nº 966, de 02 de outubro de 1951a. Programa do Ensino
Secundário. Revista Atualidades Pedagógicas, São Paulo, 1952. Suplemento nº 1.
BROLEZZI, A.C. A Arte de Contar: uma Introdução ao Estudo do Valor
Didático da História da Matemática. Dissertação de Mestrado. São Paulo: FEUSP,
1991. Disponível em:
< http://www.ime.usp.br/~brolezzi/teseedissertacao.html>
______________. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História da
Matemática e no Ensino de Matemática . Tese de Doutorado. São Paulo: FEUSP, 1996.
________________. Epistemologia e História: anotações para uma História da
Matemática às Avessas. Disponível em:
<http://www.educarede.org.br/educa/img_conteudo/File/CV_132/
texto_Brolezzi_semin_rio_Nilson_versao_3.doc>. Consultado em: 01/04/2009.
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Tipografia
Matemática. Lisboa, 1951.
143
CLAIRAUT, A. Elementos de geometria. São Paulo: Livraria Teixeira &
Irmão, 1892.
Clark, J. M.; Cordero, F.; Cottrill, J.; Czarnocha, B.; DeVries, D. J.; St. John,
D.; Tolias, G. & Vidakovic, D. Constructing a schema: the case of the chain rule. Jour-
nal of Mathematical Behavior 14 , 1997.
COBIANCHI, A. S. Estudos de continuidade e números reais: matemática,
descobertas e justificativas de professores. RIO CLARO/SP, 2001.
CORNU, B. Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Press, 1991
COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Vol. 1. Alberto Nunes Serrao
(Trad.). Porto Alegre: Globo, 1970.
CUNHA, Antônio Geraldo. Dicionário Etimológico. Nova Fronteira de Língua
Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1996.
DA COSTA, Newton C. A. & DORIA, F. A. Continuous & Discrete: A
Research Program. IN: Bol Soc. Paran. Mat. (2ª Série), v. 12/13, n. 1/2. Curitiba: Ed. da
UFPR, 1991/2.
DA SILVA, J. F.; BORGES NETO, H. QUESTÕES BÁSICAS DO ENSINO
DO CÁLCULO. Disponível em:
www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do-ensino-de-
calculo.pdf Consultado em: 14/05/2009.
DANTE, Luiz R. MATEMÁTICA. Vol. 1. Ediora Ática, 1ª ed. São Paulo,
2006.
______________. MATEMÁTICA. Vol. 3. Ediora Ática, 1ª ed. São Paulo,
2006.
DINIZ, Geral L. História do Limite. 2006. Publicado em:
http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histlimite.htm Consultado em: 18/04/2009.
EDWARDS, H. M. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introducion to
Algebraic Number. New York: Springer Verlag, 1974.
EDWARDS, C. H. Jr. The historical development of the calculus. New York:
Springer-Verlag, 1977.
ENGLEL, A.; VRANCKEN, S.; MÜLLER, D.; GREGORINI, M. I. Análisis
de uma propuesta dedática para La enseñanza de limite finito de variable finita. Revista
Iberoamericaca de Educacion Matemática. Nº 11, p. 113 – 132. ARGENTINA, 1997.
144
FIOTENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática:
Percursos Teóricos e Metodológicos. Autores Associados, Campinas/SP, 2006.
Font, V. Procediments per obtenir expressions simbòliques a partir de
gràfiques. Aplicacions a la derivada. Tesis de doctorado no publicada, Universitat de
Barcelona, Barcelona, 2000a.
Font, V. Representaciones ostensivas que pueden ser activadas en el cálculo de
f’(x). El caso de la función seno. Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 2000b.
GEEM. Matemática Moderna para o Ensin1o Secundário. Série Professor nº 1,
2ª ed. São Paulo, 1965.
GENTIL, N.; SANTOS, C. A. M.; GRECO, A. C.; GRECO, S. E.
MATEMÁTICA PARA O SEGUNDO GRAU. Vol. 3. Ed. Átoca, 6.a edição. São
Paulo, 1997.
GRAGNER, G. Filosofia do Estilo. Ed. Perspectiva. São Paulo, 1974.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso De Cálculo. Vol. I, Rio de Janeiro, LTC
Editora, 1997.
Habre, S. & Abboud, M. Student’s conceptual understanding of a function and
its derivative in an experimental calculus course. Journal of Mathematical Behavior,
2006.
KLINE, Morris. Mathematical thought from ancient to modern times. New
York: Oxford University Press, 1990.
_____________. Mathematical thought from ancient to modern times. New
York: Oxford University Press, 1972.
LANNER DE MOURA, A.R. - A medida e a criança pré-escolar. Faculdade de
Educação. Tese de Doutorado. UNICAMP, 1995.
LAPA, N.; CAVALLANTE, S. L. MATEMÁTICA. Vol. 1. Ed. Moderna. São
Paulo, 1984.
__________________________________________. Vol. 3. Ed. Moderna. São
Paulo, 1984b.
LEITÃO, Henrique. Imagens. Disponível em:
<http://www.scientia.artenumerica.org/imagens.html>. Consultado em: 09/04/2009.
LLORENS, J. L.; SANTONJA, F. J. Uma interpretación de las dificultades em
el aprendizaje de concepto de integral. Divulgaciones Matemáticas, v. 5, No, ½, p. 61 –
145
76. Valencia, 1997.
MAGNE, Augusto. Dicionário Etimológico da Língua Latina: Famílias de
Palavras e Derivações Vernáculas. Rio de Janeiro: MEC, 1953.
MIGUEL, A. Três Estudos sobre História e Educação Matemática. UNICAMP:
Campinas, 1993. Tese de Doutorado.
MENDES, Iran de Abreu. Histórica no ensino da Matemática: O caso da
Trigonometria. Site:
http://membros.aveiro-digital.net/matematica/acompanhamento/Iran2.pdf.
Consultado em: 31/10/2007.
MENDES, Maria Helena Monteiro. O conceito função: aspectos históricos e
dificuldades apresentadas por alunos na transição do segundo para o terceiro grau.
Dissertação de Mestrado - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 1994.
MORAES, M. C. O Paradigma Educacional Emergente. Campinas, Papirus,
1997.
MUNDY, J., Analysis of Errors of First Year Calculus Students, en Theory,
Research and Practice in Mathematics Education, Bell, A., Low, B. And Kilpatrick, J.
(Eds.), Proceedings ICME-5, 1984, 170–172.
OLIVEIRA, N. Conceito de Função: uma Abordagem do Processo Ensino-
Aprendizagem. Dissertação de Mestrado. PUC: SÃO PAULO, 1997.
ORTON, A. Student’s understanding of differentiation. Educational Studies in
Mathematics, 1983.
PETITOT, Jean. Infinitesimal. IN: Enciclopedia Einaudi, Vol. 4
(Local/Global). Trad. João Sàágua. Porto: Imprensa Nacional/Casa da Moeda, 1985.
Piskunov, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou,
1968.
PRIESTLEY, W. M. Calculus: Na Historical Approach. Springer-Verlag, New
York, 1979.
REZENDE, Wanderley Moura O ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza
Epistemológica. Anais do II SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em
Educação Matemática, Santos/SP, 2003.
ROBINET, J. Les réels: quels modèles en ont les élèves. Cahier de Didactique
146
des mathématiques, nº 21, IREM. PARIS, 1986.
ROBINSON, Abraham. Non-standard Analysis. Amsterdam: North-Holland,
1974.
ROCHA, L. M.; BARBOSA, R. M. Matemática: Curso Colegial Moderno..
Vol. 3. IBEP, SÃO PAULO, 1971.
SÁ, P. F.; SOUZA; G. S.; SILVA, I. D. B. A construção do conceito de função:
Alguns dados históricos. Traços, Vol. 6, Nº 11, p. 81 – 94. Belém, 2003.
SÃO PAULO (Estado). Sugestões para um Roteiro de Programa para a cadeira
de Matemática. Diário Oficial do Estado de São Paulo, p. 42-43, São Paulo, 1965,
SEBASTIANI FERREIRA, E. O uso da História da Matemática nas aulas de
cálculo. Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática e Seminário Nacional de
História da Matemática. Anais. Águas de São Pedro - SP: Sergio Nobre, 1997.
SIERPINSKA, A. Obstacles épistémologiques relatifs à La notion de limit.
Rechercher em Didactique des Mathématiques. Vol. 6.1, Montreal, 1985.
SILVA, Givanildo F. A Reorganização da Matemática Escolar do Colégio em
Tempos do Movimento da Matemática Moderna. PUC: São Paulo, 2008. Dissertação de
Mestrado.
SOUSA, MARIA DO Carmo de. O ENSINO DE ÁLGEBRA NUMA
PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Um estudo das elaborações correlatas de
professores do Ensino Fundamental. Tese de Doutorado. UNICAMP, 2004.
SOUSA, Maria do Carmo de. Quando a História da Matemática passa a ser
Metodologia de Ensino. ANAIS DO 16o. CONGRESSO DE LEITURA DO BRASIL.
CAMPINAS/SP, 2007.
SPINA, Catharina de Oliveira Corcoll. MODELAGEM MATEMÁTICA NO
PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL PARA O ENSINO MÉDIO. Dissertação de Mestrado. RIO CLARO-SP,
2002.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo Com Geometria Analítica. Vol. I, Trad. Alfredo
Alves de Faria, São Paulo, Makron Books, 1994.
Tall, D. Concept image, generic organizers, computers and curriculum change.
For the Learning of Mathematics. 1989.
THOMAS, G. B.; FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R.
147
CÁLCULO: Material Complementar para Professores. Vol. 1, 10ª edição. São Paulo:
Addison Wesley, 2002.
TOEPLITZ, O. The Calculus, a Genetic Approach. Chicago: The University
Press, 1966.
TROTA, F.; IMENES, L. M. P.; JAKUBOVIC, J. MATEMÁTICA
APLICADA. Ed. Moderna. São Paulo, 1980.
TUMELERO, Gilson; MUSIAL, Marieli. Histórico da Integral. BOLETIM
ELETRÔNICO DA MATEMÁTICA, Vol. 1, No. 01. PATO BRANCO/ PR, 2003.
TURÉGANO, P., Los Conceptos en torno a la Medida y el Aprendizaje del
Cálculo Infinitesimal, Tesis Doctoral, Universidad de Valencia, 1993.
VIEIRA, J. C. D. Ensino Aprendizagem do Conceito de Limite. Millenium on
line. Nº 16, outubro de 1999. Disponível em: http://www.ipv.pt/millenium/16_ect3.htm
Consultado em: 28/05/2009.
YOUSCHKEVITCH. “Le concept de fonction jusqu’au milieu Du XIX siècie”,
Fragments d’historie dês Mathematiques, Brochure APMEP, Nº 41, p. 7 – 67, 1981.
YOUNG, Robert M. Excursions in Calculus: an Interplay of the Continuous
and the Discrete. Dolciani Mathematical Expositions, Nº 13. New York: The
Mathematical Association of America, 1992.
ZANDIETH, M. A theoretical framework for analyzing student understanding
of the concept of derivate. In E. Dubinsky, A. Shoenfeld & J. Kaput (Eds.), Research in
Collegiate Mathematics Education. IV CBMS Issues in Mathematics Education (volume
8, pp. 103-127). American Mathematical Society. Providence, USA, 2000.
ZUÑIGA, A.R. Las Matemáticas Modernas em las Américas: filosofia de una
reforma. In VIII CIAEM, Miami, USA, 1991.
16. DATA – LOCAL – ASSINATURA
148
SÃO CARLOS, 22 DE JUNHO DE 2009.
_____________________________________________
PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA
ORIENTADORA
________________________________
AILTON BARCELOS DA COSTA
ALUNO
149