Tarefa Padrão Da Tabuada

33Educao e Matemtica n 72 Maro/Abril de 2003

conhecido um jogo que se faz que diz o seguinte:

Imagine um nmero de 1 a 9 inclusiv e multiplique por 9. Se o nmero tiver mais de 2 algarismos some-os. Desse algarismo resul-tante da soma ou o prprio 9 caso o algarismo inicial seja 1 (9x1=9) subtraia 5. ()

O jogo continua, no entanto a parte importante j foi referida. E este jogo engraado porque o resultado desta parte ser sempre 4 o que com a continuao do jogo o seu resultado sempre igual.

Mas esquecendo o jogo e lembrando apenas a parte em que o resultado sempre 4 decidi que queria saber e de alguma maneira provar porque que ele sempre 4. Escrevi a tabuada do 9 e o resultado saltou vista:

9 x 1 = 09 > 0 + 9 = 99 x 2 = 18 > 1 + 8 = 99 x 3 = 27 > 2 + 7 = 99 x 4 = 36 > 3 + 6 = 99 x 5 = 45 > 4 + 5 = 99 x 6 = 54 > 5 + 4 = 99 x 7 = 63 > 6 + 3 = 99 x 8 = 72 > 7 + 2 = 99 x 9 = 81 > 8 + 1 = 9

Daqui v-se logo no que se baseia o jogo. Este 9 parece um nmero inte-ressante. Enquanto que o primeiro algarismo cresce, o outro decresce simetricamente, digamos, o que origina um resultado ser sempre 9.

Daqui se conclui aquilo que ao princ-pio quis provar.

Mas aqui comeou o meu interesse pois, se existe esta igualdade com o 9, porque sero os outros nmeros diferentes. E pegando num bloco fiz exactamente a mesma coisa para o resto dos nmeros. (Na realidade fiz a tabuada com o 10 includo, mas visto que verifiquei que irrelevante para este caso apresento apenas at ao 9 inclusiv.

8 x 1 = 08 > 0 + 8 = 88 x 2 = 16 > 1 + 6 = 78 x 3 = 24 > 2 + 4 = 68 x 4 = 32 > 3 + 2 = 58 x 5 = 40 > 4 + 0 = 48 x 6 = 48 > 4 + 8 = 12 > 1 + 2 = 3 8 x 7 = 56 > 5 + 6 = 11 > 1 + 1 = 28 x 8 = 64 > 6 + 4 = 10 > 1 + 0 = 18 x 9 = 72 > 7 + 2 = 9

Apesar do pequeno problema que tive quando cheguei a 6 rapidamente o resolvi somando os nmeros de novo o que resultou naquilo que queria. Nota-se que existe uma contagem decrescente dos nmeros com excep-o do 9 que est no final (mais frente vamos verificar que isto no ocorre apenas na tabuada do 8). No entanto tudo se compe se colocar-mos o 9 no incio da tabuada ficando com uma contagem decrescente perfeita.

Quanto aos algarismos os segundos diminuem de par em par e quando chegam a 0 recomea de novo.

Padro da TabuadaPaulo J. Matos

A Matemtica assim, existe para muitas vezes nos deixar boquiabertos

e nos pr a pensar de maneira mais abstracta.

() curiosidades matemticas como

esta so coisas de que sempre gostei e, apesar de j ter lido vrios livros

() nunca ouvi falar sobre este interessante

padro.

PROGRAMA DE FORMAO CONTNUA EM MATEMTICA PARA PROFESSORES DO 1 CICLOEscola Superior de Educao de Viseu

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Quanto aos primeiros eles aumentam existindo apenas uma repetio no 4. No entanto no achei que a anlise dos algarismos seja relevante para a possvel concluso final o que me leva a deixar de fazer a mesma coisa para os seguintes.

7 x 1 = 07 > 0 + 7 = 77 x 2 = 14 > 1 + 4 = 57 x 3 = 21 > 2 + 1 = 37 x 4 = 28 > 2 + 8 = 10 > 1 + 0 = 17 x 5 = 35 > 3 + 5 = 87 x 6 = 42 > 4 + 2 = 67 x 7 = 49 > 4 + 9 = 13 > 1 + 3 = 47 x 8 = 56 > 5 + 6 = 11 > 1 + 1 = 27 x 9 = 63 > 6 + 3 = 9

Nesta ltima conhecemos tambm imediatamente um padro. Inicia-se uma contagem decrescente de mpa-res e chegando ao 1, inicia-se uma contagem decrescente de pares. No entanto c nos aparece de novo o 9 que se passarmos para o princpio tudo continua a bater certo pois ao invs de uma contagem decrescente iniciada em 7 temos uma iniciada em 9.

Continuando

6 x 1 = 06 > 0 + 6 = 66 x 2 = 12 > 1 + 2 = 36 x 3 = 18 > 1 + 8 = 96 x 4 = 24 > 2 + 4 = 66 x 5 = 30 > 3 + 0 = 36 x 6 = 36 > 3 + 6 = 96 x 7 = 42 > 4 + 2 = 66 x 8 = 48 > 4 + 8 = 12 > 1 + 2 = 36 x 9 = 54 > 5 + 4 = 9

Bom, nota-se aqui facilmente trs dis-tintas repeties da sequncia 639. Se no entanto passarmos o ltimo para primeiro temos a sequncia 963. Esperemos para ver o que se passa nos seguintes.

5 x 1 = 05 > 0 + 5 = 55 x 2 = 10 > 1 + 0 = 15 x 3 = 15 > 1 + 5 = 65 x 4 = 20 > 2 + 0 = 25 x 5 = 25 > 2 + 5 = 75 x 6 = 30 > 3 + 0 = 35 x 7 = 35 > 3 + 5 = 85 x 8 = 40 > 4 + 0 = 45 x 9 = 45 > 4 + 5 = 9

Nota-se que no sobressai nada primeira vista como nos anteriores no entanto com um olhar pormenorizado v-se que:

5 x 1 = 05 > 0 + 5 = 5

5 x 2 = 10 > 1 + 0 = 1

5 x 3 = 15 > 1 + 5 = 6

5 x 4 = 20 > 2 + 0 = 2

5 x 5 = 25 > 2 + 5 = 7

5 x 6 = 30 > 3 + 0 = 3

5 x 7 = 35 > 3 + 5 = 8

5 x 8 = 40 > 4 + 0 = 4

5 x 9 = 45 > 4 + 5 = 9

Isto sim, j faz notar o que se passa aqui. Temos vindo a ter at aqui vrios padres diferentes e no entanto padres que no devem ser apenas coincidncia mas acabemos ento visto que j aqui chegmos mas no sem antes rever o que se passou anteriormente. No 9 tivemos uma igualdade de 9, no 8 uma contagem decrescente, no 7 uma contagem decrescente mpar seguida de uma contagem decrescente par, no 6 uma repetio de uma sequncia e neste ltimo uma estranha juno de duas sequncias intercaladas entre si.

Continuemos ento para saber se existem novas ideias de padres da matemtica

4 x 1 = 04 > 0 + 4 = 44 x 2 = 08 > 0 + 8 = 84 x 3 = 12 > 1 + 2 = 34 x 4 = 16 > 1 + 6 = 74 x 5 = 20 > 2 + 0 = 24 x 6 = 24 > 2 + 4 = 64 x 7 = 28 > 2 + 8 = 10 > 1 + 0 = 14 x 8 = 32 > 3 + 2 = 54 x 9 = 36 > 3 + 6 = 9

Notamos aqui qualquer coisa parecida com o que aconteceu com o anterior, no entanto, temos o ltimo que de novo estraga o padro todo. Acontece que se mais uma vez passarmos o ltimo para primeiro tudo parece fun-cionar correctamente.




3 x 1 = 03 > 0 + 3 = 33 x 2 = 06 > 0 + 6 = 63 x 3 = 09 > 0 + 9 = 93 x 4 = 12 > 1 + 2 = 33 x 5 = 15 > 1 + 5 = 63 x 6 = 18 > 1 + 8 = 9 3 x 7 = 21 > 2 + 1 = 33 x 8 = 24 > 2 + 4 = 63 x 9 = 27 > 2 + 7 = 9

Isto agora que se comea a tornar, pelo menos para mim, bastante inte-ressante e engraado pois com isto da tabuada que aprendi na 1 classe, 12 anos depois verifico que existe um padro nisto tudo. O problema porqu mas isto ainda no acabou e tambm podemos verificar que este padro uma sequncia 369, pare-cida com a do 6.

2 x 1 = 02 > 0 + 2 = 22 x 2 = 04 > 0 + 4 = 42 x 3 = 06 > 0 + 6 = 62 x 4 = 08 > 0 + 8 = 82 x 5 = 10 > 1 + 0 = 12 x 6 = 12 > 1 + 2 = 32 x 7 = 14 > 1 + 4 = 52 x 8 = 16 > 1 + 6 = 72 x 9 = 18 > 1 + 8 = 9

Ora c temos mais um semelhante ao do 7. Crescente par e depois cres-cente mpar. No 7 era parecido sendo como j foi dito anteriormente decres-cente mpar, decrescente par.

1 x 1 = 01 > 0 + 1 = 11 x 2 = 02 > 0 + 2 = 21 x 3 = 03 > 0 + 3 = 31 x 4 = 04 > 0 + 4 = 41 x 5 = 05 > 0 + 5 = 51 x 6 = 06 > 0 + 6 = 61 x 7 = 07 > 0 + 7 = 71 x 8 = 08 > 0 + 8 = 81 x 9 = 09 > 0 + 9 = 9

Este trivial mas no deixei de o escrever por uma questo de coern-cia. E esta contagem crescente ser semelhante ao padro do 8 que uma contagem decrescente.

Neste ponto do assunto surgiu um terrvel problema e pergunta na minha cabea que foi o que se passaria exactamente com o 9. Passado uns momentos lembrei-me do nmero que faz parceria com o 9.

0 x 1 = 00 x 2 = 00 x 3 = 00 x 4 = 00 x 5 = 00 x 6 = 00 x 7 = 00 x 8 = 00 x 9 = 0

Pois , to simples que no me lem-brou a mim. No entanto completmos e chegmos ao final da tabuada, mas no do assunto.

Parece que temos aqui uma certa simetria seno vejamos:

09

Igualdade a 0 e a 9

18

Contagem crescente e decrescente

27

Contagens parciais crescentes e decrescentes pares e mpares

36

Repeties de sequncias 369 e 639

Verifica-se que em ambas as sequn-cias a soma dos 2 primeiros dgitos da sequncia (6 e 3) igual ao 3 (9)

45

Sequncias intercaladas de nmeros pares e mpares em contagem cres-cente e decrescente

Agora pergunto-me eu, o que que se passa? isto fruto do acaso ou existe um teorema provado dezenas de anos e do qual nunca ouvi falar? Por acaso curiosidades matemticas como esta so coisas de que sempre gostei e, apesar de j ter lido vrios livros como The book of numbers, The joy of MathematicsVol 1 e 2, Mathematical Paradoxes e outros, nunca ouvi falar sobre este interes-sante padro.

O que o nmero 9 no meio disto tudo? Parece ser to importante como o nmero 0. Vejamos na parte acima que so nmeros que soma-dos do 9 e logo fazem parte da sua tabuada (por exemplo, 45, 4+5=9, 9x5=45).

Resumindo e baralhando digamos que isto no seno mas uma daquelas coisas da Matemtica que nos deixa a pensar como que uma coisa destas poder ser explicada. Bom, provavel-mente no pode, quem sabe?

A Matemtica assim, existe para muitas vezes nos deixar boquiabertos e nos pr a pensar de maneira mais abstracta.

Isto isto No uma prova, no uma demonstrao mas CURIOSO!!!

Quem sabe o que est por detrs disto

Paulo J. MatosAluno do 2 ano de Eng. Informtica e

de Computadores do IST


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