Urn antigo jogo chinesnas aulas de Maternatica

o Tangram e um quebra-cabec;:a formado porsete pec;:as que tem formas geometricas bem co-nhecidas. Sao cinco triangulos, um quadrado e umparalelogramo, originados da decomposic;:ao deum quadrado. Sua idade e seu inventor sac desco-nhecidos. Os chineses 0 conhecem por "Tch'iTch'iao pan", que significa "As sete tabuas daargucia (habilidade, destreza)".

Para obter as sete pec;:as do Tangram dividi-mos um quadrado desta maneira:

o desafio e formar certas figuras usando assete pec;:as.Veja ao lade algumas das centenas defiguras que podem ser formadas.

Estas sac as regras do jogo:1" regra: e necessario, em cada figura, usar sempresete pec;:as (nenhuma pode ficar de fora);2" regra: as figuras formadas sac planas, isto e, assete pec;:as devem repousar sobre uma superffcieplana, como 0 tam po da mesa, por exemplo - elasnao podem ser dispostas como se faria para aconstruc;:ao de um castelo de cartas;3" regra: nao e permitido sobrepor as pec;:as.

Para formar uma determinada figura, e neces-sario concentrac;:ao, habilidade e sensibilidade. Eprecise conhecer bem as sete formas geometricasque comp6em 0 jogo e perceber certas relac;:6es

~7<J V

o

entre est as formas e a figura que se deseja formar.Muitas vezes a solu9ao para uma determinada figu-ra aparece quando se esta tentando montar umaoutra.

Para compreender melhor estas ideias voceprecisa jogar um pouco. Mas, para isto, e preciseter um Tangram. Vamos construir um?

As pe9as podem ser construfdas em papelao,cartolina ou mesmo papel comum. Desenhe 0 qua-drado e divida-o em sete partes seguindo 0 mo-delo.

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Observe os angulos retos, paralelismos e pon-tos medios da constru9ao. Em seguida recorte.

Agora divirta-se tentando formar 0 canguru, 0coelho, 0 pato, 0 gato etc. As solu90es estao nofinal deste artigo. Mas, antes de ve-Ias, quebre acabe9a!

o todo it a soma das partes?

Antes de apresentar diferentes atividades como Tangram, queremos chamar a aten9ao dos cole-gas para uma questao importante. Ha uma ideiabastante explorada na Geometria, que comparececom muita for9a nas atividades com esse jogo.Trata-se do seguinte: se uma figura Fe decompos-ta nas partes A, B, C, ...,P, entao a arE'a de Fe iguala soma das areas de A, B, C, ...,P.

Ou ainda: se as partes forem separadas ereagrupadas formando uma nova figura F', entao a

area de F' sera igual a area de F. Estamos tratandodo princfpio de conserva9ao da area.

Pois bem, esta ideia que, para nos, pode serevidente, nao 0 e necessariamente para a crian9a.Alem disso, devemos perceber que 0 fracionamen-to de uma figura em outras nem sempre garante aconserva9ao de um atributo.

Pense nas duas questoes que seguem:a)um retangulo ABCD, cujos lados medem 3 e 10, edecomposto nos retangulos AEFD (de lados 3 e 4) e

~I. [-, I:F

EBCF (de lados 3 e 6). 0 perfmetro de ABCD e asoma dos perf metros de AEFD e EBCF?b) um bloco retangular de dimensoes 3, 10 e 2, edecomposto em dois blocos retangulares: um de-les tem dimensoes 3, 4 e 2 e 0 outro 3, 6 e 2. A area

4 6

--10 - - ~

da superffcie do bloco todo e a soma das areas dassuperficies das duas partes?

A resposta e nlo para as duas perguntas. Leianovamente 0 tftulo deste ftem e perceba que apergunta all contida e vaga.

o Tangram na sala de aulaE claro que um jogo justifica-se por si so, mas

seu uso pedagogico deve ir alem do prazer dejogar.

o Tangram pode ser usado nas aulas de Mate-matica com diferentes objetivos: identifica9ao deformas geometricas, composi9ao e decomposi9aode figuras, rela90es entre os elementos de umafigura, explora9ao do conceito de area, problemasenvolvendo 0 teorema de Pitagoras, rela9ao area-perfmetro etc.

Num primeiro momenta e interessante que ascrian9as apenas brinquem com 0 Tangram tentan-do construir diferentes figuras (canguru, coelho,pato etc). Esta etapa e importante para que sefamiliarizem com 0 jogo e suas pe9as, percebamalgumas rela90es, identifiquem formas etc. Aposesta etapa, podemos real9ar as caracterfsticas geo-metricas das pe9as do jogo. 0 Tangram e compos-

to de cinco triangulos, um quadrado e um paralelo-gramo. Os cinco triangulos sac retangulos e isos-celes.

Os triangulos indicados com a letra T saciguais e suas hipotenusas sac iguais ao lade doquadrado original. Seus catetos sac iguais a meta-de da diagonal do quadrado.

o triangulo indicado com a letra gregab(Ieia "tau" - esta letra corresponde ao nosso T)tem catetos iguais a metade do lado do quadrado.Sua hipotenusa e igual a metade da diagonal doquadrado.

Os triangulos indicados com a letra t saciguais e suas hipotenusas sac iguais a metade dolado do quadrado. Seus catetos sac iguais a quartaparte da diagonal do quadradao.

o lade do quadrado q e igual a quarta partedaquela diagonal.

Um dos lados do paralelogramo p e igual ametade do lado do quadradao. 0 outro lade e iguala quarta parte da mesma diagonal.

A seguir apresentamos algumas atividades.Antes, e precise esclarecer 0 seguinte: na etapa dojogo livre, quando 0 aluno est a tentando formar 0canguru, 0 coelho etc, 0 aluno deve usar sempre assete pec;as (esta e uma das regras do jogo). Entre-tanto, nas atividades que serao propostas a seguir,o aluno, as vezes, trabalha com as sete pec;as, asvezes so com algumas delas. E preciso alerta-Iopara est a mudanc;a da regra.

A criterio do professor, as crianc;as podemtrabalhar individualmente ou em grupo.

Com 0 Tangram, formar um quadradousando:a) so duas pe~as;b) so tr6s pe~as;c) so quatro pe~as;d) so cinco pe~as;e) so seis pe~as;f) as sete pe~as;

Em cada caso e interessante analisar possf-veis soluc;oes diferentes. Duas soluc;oes serao con-sideradas diferentes se os quadrados obtidos fo-rem diferentes ou, entao, se os quadrados obtidosforem iguais, mas formados por figuras diferentes.Eis as diferentes soluc;oes para cada um dos casos:

a) quadrado com duas pe~as

Neste caso temos duas soluc;oes. as quadra-dos obtidos tem tamanhos diferentes.

Os tres quadrados construidos sac iguais, po-ram formados por figuras diferentes. Observe queem todos eles temos um triangulo T e do is triangu-los t. A quarta figura que comp6e 0 quadrado a 0triangulo (; no primeiro caso, a 0 quadrado q nosegundo, e 0 paralelogramo p no terceiro caso.Oeste modo podemos concluir que 0 triangulo G, 0quadrado q e 0 paralelogramo p tern areas iguais.Oizemos que sac figuras equivalentes.d) quadrado com cinco pec,8s

Tambam neste caso temos apenas uma so-luc;:ao.

e) quadrado com seis pec,8s

Nao a possivel construir urn quadrado nestecaso. Achamos instrutivo que 0 aluno seja coloca-do diante de problemas impossiveis. A matematicaesta repleta deles (quanto a vida, entao, a melhornem dizer nada!).

Esta situac;:ao a intrigante uma vez que a pos-sivel resolver 0 problema s6 com 2, 3, 4 e 5 pec;:as.Espera-se conseguir soluc;:ao com 6 pec;:as e istonao ocorre. Mais adiante voltaremos a discutir estaquestao, esclarecendo por que este problema eimpossive!.

f) qU8drado com sete pec,as

A soluc;:ao tamMm a (mica e 0 quadrado obti-do a aquele que da origem ao jogo.

Outras atividades analogas a esta podem serpropostas, sugerindo que os alunos construamtriangulos, retangulos, paralelogramos, trapezios,u:,ando s6 duas pec;:asdo jogo, s6 tres e assim pordlante. Os alunos poderao inventar outros proble-mas estabelecendo outras regras. E importante in-centiva-Ios neste momenta de explorac;:ao, desco-berta e criac;:ao.

Atividades envolvendoo conceno de ~rea

Nas atividades propostas a seguir exploramoso conceito de area. Para obter a area de uma figuraa necessario compara-Ia com urn padrao. Vamoscombinar que 0 quadrado q do Tangram e es;epadrao. Sua area vale 1.

Considerando entao como unitaria a area doquadrado q, calcular as areas das demais pec;:asdojogo.

o aluno resolve este problema compondo edecompondo figuras. Vejamos a soluc;:ao.

Oois triangulos t formam 0 quadrado q, logo ttem area 1/2.

o triangulo G pode ser decomposto em doistriangulos t, logo sua area a 1. Combinando aindaos triangulos t obtemos 0 paralelogramo p quetambem tern area 1. Confirma-se entao que G, P e qtern areas iguais.

o triangulo T pode ser composto (ou decom-posto) de varias maneiras. Sua area a igual a 2.

Atividade 3Lembrando novamente que 0 quadrado q tem

area igual a 1, calcular as areas de cada um dosquadrados construidos na atividade 1.

Seguem as respostas deste problema:

a) 1 e 4 b) 2 c) 4 d) 4 f) 8Esta atividade pode ser ampliada propondo

que calculem tambem as areas das outras figurasconstruidas (trifmgulos, retangulos, paralelogra-mos, trapezios etc.).

E interessante levar os alunos a concluiremque qualquer figura obtida a partir das pec;:as doTangram tem area, no maximo, igual a 8 e, nominimo, igual a 1/2. Convem lembrar que nestesproblemas que envolvem areas estamos sempresupondo que a area do quadrado q e igual a 1.

Atividade 4Aqui apresentamos novos desafios, propondo

que os alunos formem determinada figura, especi-ficando tambem a sua area. Alguns exemplos:

a) forrnar urn trlAngulo de area 4,5.Resposta:

b) forrnar urn paralelograrno de area 6.Resposta:

c) forrnar urn retingulo de area 4.Resposta:

d) forrnar urn trapezlo de area 3.Resposta:

e) forrnar urn retingulo de area 8.Resposta:

Tambem esses problemas podem apresentarvarias soluc;:6es.

Ao resolver esses problemas, alguns alunospoderao, primeiro, selecionar as pec;:as de modoque a soma de suas areas seja igual ao valor pedi-do e depois, tentar obter com elasa forma exigida.Outros poderao se preocupar, primeiro, em obter aforma pedida para, depois, verificar se a area dafigura e igual ao valor fixado.

o professor deve valorizar raciocfnios, con-frontar soluc;:6es e discutir com a classe as diferen-tes ideias que sempre acabam surgindo. Nestasatividades, 0 processo e muito mais importante queo resultado. Fundamental e que 0 aluno nao selimite a montar 0 quebra-cabec;:a.

Combinamos que 0 quadrado q tem area igual a 1.Portanto seu lade tambem tem comprimento iguala 1.

o problema agora e .este: calcular as medidasdo lados das figuras T, t, G, p e do quadradao.

Vamos resolver este problema.Os catetos de t sao iguais ao lado do quadra-

do q, isto e, iguais a 1. Para calcular a medida desua hipotenusa aplicamos 0 teorema de Pitagoras.

)(2 = 12 + 12 = 2 ---. x =£

6V2

Os catetos de 0 sao iguais a hipotenusa de t,portanto iguais a 12'. Sua hipotenusa eo dobrodo lado do quadrado q, logo igual a 2.

V2

Comprove: 22 = (12 )2 + (i2 )2o lado do quadradao e 0 dobro do cateto do

tri~ulo b, portanto 0 lado do quadradao vale2V 2 . Ja sabemos que a area do quadradao eigual a 8. Comprove: (2 -{2 )2 = 8.

Areas e perimetrosConsideremos novamente 0 triangulo, 0 re-

tangulo e 0 quadradao formados com as sete pe9asdo jogo.

~-- --~

2

L

Uma vez que estas tres figuras saD construl-das com as mesmas sete pe«as, todas tem a mesmaarea (sabemos que esta area comum e igual a 8 -nao esque«a que a unidade e a area de q). Calcule-mos os perf metros das tres figuras.perf metro do triangulo = 8 + 4 €perimetro do retangulo = 12perimetro do quadradao = 8~

Estes resultados mostram que estas tres figu-ras tem perimetros diferentes, embora tenhamareas iguais.

Esquecendo um pouco 0 Tangram, arrumeexemplos de figuras que, tendo perl metros iguais,possuam areas diferentes.

Por que nso it possivel forrnar urnquadrado usando apenas seis pec;as?

Voce ainda se lembra da promessa que fize-mos? Afirmamos ser impossivel formar um quadra-do usando apenas seis pe«as do jogo e promete-mos justificar esta afirma«ao.

. Ao escolher seis pe«as, deixamos uma delado. Como ha pe«as duplas (T, T e t, t) ha so mentecinco possibilidades para a escolha de seis pe«as.

1) T, T, t, t, p, q2) T, T, t, t, p, ~3) T, T, t, t, q, ~4) T, t, t, p, q,b5) T, T, t, p, q,~

Nos casos 1, 2 e 3, se fosse possivel formar 0quadrado, sua area seria igual a 7 pois, nos trescasos, a pe«a que ficou fora tem area 1. Logo, talquadrado teria lado igual a -{7'. Acontece que oslados das figuras que compem 0 jogo saD iguais a1, i2"', 2 e 2 ~ e com eles, at raves de somas,nao e possivel obter ff.

No caso 4, se fosse posslvel formar 0 quadra-dO,sua area seria igual a6 eseu lado iguala ~Damesma forma, nao e possivel obter 6 somando osnumeros 1, rr,2 e 2 --[21.

No caso 5 0 quadrado a ser formado teria areaigual a 7,5 = 15/2e lado~ =i36' /4.0argumento e 0 mesmo: nao e possivel obter estenumero por soma daqueles outros quatro.

Fica entao demonstrado que e impossivel ob-ter um quadrado usando apenas seis pe«as dojogo.

Com este artigo pretendemos mostrar que 0Tangram e um recurso didatico bastante rico. Comele, podemos propor aos alunos atividades envol-ventes e desafiadoras. E importante que 0 profes-sor os estimule na busca de solu«oes, que, nestecaso, nao saD padronizadas. Isto contribui para 0desenvolvimento do raciocinio e da criatividade efavorece a constru«ao do conhecimento matemati-co pela crian«a.

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