TANGNCIA CIRCUNFERNCIAAnalisando o ponto em relao circunferncia, a fim de obter retas que tangenciam uma determinada circunferncia. Para isso necessrio compreender os conceitos de posio relativa de um ponto em relao circunferncia, e conceitos da geometria analtica, como distncia entre ponto e reta, tang.No estudo sobre as circunferncias, um conceito importante a ser estudo o das retas tangentes a uma circunferncia. Para realizarmos esse estudo, necessrio compreender as posies relativas de um ponto em relao a uma circunferncia. Caso voc no tenha estudado algo relacionado a esse tema, confira o artigoPosies relativas entre um ponto e uma circunferncia.Observando a posio de um ponto em relao a uma circunferncia, podemos concluir alguns fatos relacionados s retas tangentes. Sabe-se que existem trs posies relativas de um ponto a uma circunferncia. Para cada posio desta, podemos concluir algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto.

Ponto interno circunferncia: no possvel traar uma reta tangente por esse ponto.

Ponto pertencente circunferncia: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele o ponto de tangncia.

Ponto externo circunferncia: por esse ponto podemos traar duas retas tangentes circunferncia.

Portanto, para determinar a equao da reta tangente a uma circunferncia por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posio relativa desse ponto. Posio esta que depende da distncia do ponto ao centro da circunferncia.

Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria analtica:

A menor distncia de um ponto a uma reta um segmento perpendicular a esta reta;

A reta tangente sempre ser perpendicular ao raio no seu ponto de tangncia.

Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a distncia da reta tangente ao centro dever ser igual ao raio.

Portanto, para determinar a equao da reta tangente, devemos analisar a posio do ponto que traaremos reta e com isso calcular a distncia da reta que contm esse ponto em relao ao centro da circunferncia.

Para a melhor compreenso de todos esses conceitos, trabalharemos com exemplos que necessitam dessas reflexes.

1) Determine a(s) equao(es) da(s) reta(s) tangente(s) circunferncia dada, traada pelo ponto P. a) eq. circunferncia: x2+ y2- 6x - 8y = 0 P (0,0)

Com isso, podemos extrair as informaes necessrias para o nosso problema:C(3,4), r=5.Devemos agora encontrar a posio relativa do ponto P (0,0):

Portanto, o ponto P o ponto de tangncia.Vamos determinar a equao da reta que passa pelo ponto P.

Para determinarmos de fato a equao da reta, nos falta descobrir qual o coeficiente angular dessa reta. Um dos fatos que vimos no incio desse artigo foi quanto perpendicularidade da reta tangente ao raio da circunferncia. O ponto P um ponto de tangncia, ento o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e o centro dever ser perpendicular reta tangente. Para isso, temos uma relao entre coeficientes angulares perpendiculares.

Em outras palavras, o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares igual a -1.Para determinar o coeficiente angular do segmento PC, devemos utilizar a seguinte expresso:

Com isso, obtemos a equao da reta tangente:

Uma outra forma para determinar o valor de m seria calculando a distncia do centro reta. Essa distncia igual ao raio. Vejamos:

Quando o ponto for externo circunferncia, deveremos encontrar o ponto de tangncia utilizando a distncia do centro da circunferncia at a reta tangente, pois, assim, iremos determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente, que, por sua vez, determinar a equao da reta tangente.Encontrando a reta tangente a uma circunfernciaO estudo das posies relativas de uma reta em relao a uma circunferncia nos mostra trs possibilidades para estas posies, onde todas dependem da distncia do centro da circunferncia at a reta.

Para uma melhor compreenso do que ser abordado neste artigo, indicamos a leitura dos artigos Distncia entre ponto e retaePosio relativa entre uma reta e uma circunferncia.

Iremos encontrar a reta tangente partindo de um ponto cuja posio de grande relevncia para o estudo da reta tangente que passa por ele. Sendo assim, teremos os seguintes casos:

Ponto P interno circunferncia (distncia do centro ao ponto menor que o raio), no existe nenhuma reta tangente nestas condies;

O ponto P como um ponto da circunferncia (distncia do centro ao ponto igual ao raio), nos d uma nica reta tangente, sendo P o ponto de tangncia;

Ponto P externo circunferncia (distncia do centro ao ponto maior que o raio), teremos duas retas tangentes passando por este ponto.

Sendo assim, antes de irmos busca da reta tangente, devemos verificar a posio relativa entre o ponto e a circunferncia.

Vejamos um exemplo:

Determine as equaes das retas tangentes circunferncia : x+y=1, traadas pelo ponto P(2, 0).

Devemos verificar a posio relativa circunferncia. Ou seja, calcular a distncia deste ponto at o centro da circunferncia.

Temos que esta circunferncia possui centro C(0,0) e raio r=1. Sendo assim,

Se o ponto P um ponto externo, podemos afirmar que devemos encontrar duas retas tangentes.

Se as retas so tangentes, sabemos que a distncia do centro at a reta tangente dever ser igual ao raio. Esta reta tangente dever passar pelo ponto P(2, 0).

Sendo assim, a equao da reta t ser:

t: y-0=m(x-2) -> mx-y-2m=0

Com a equao da reta temos condies de calcular a distncia do centro da circunferncia at a reta tangente.

Basta substituirmos o valor do coeficiente angular m na equao da nossa reta tangente para obtermos a resposta final.

Portanto, para encontrarmos a equao de uma reta tangente traada por um ponto dado preciso conhecer a posio relativa deste ponto, para assim analisarmos o comportamento da reta que passa por este ponto e tangencia a circunferncia.Interseco de CircunfernciasA equao da circunferncia dada por:(xa)2+(yb)2=r2(1)Ondeaebso as coordenadas do centro da circunferncia er o raio da circunferncia. Se a circunferncia for centrada na origem, a equao(1)se transforma em:x2+y2=r2(2)Graficamente, temos:

Sejam duas circunfernciasC1eC2. A interseco dessas duas circunferncias determinada pelos pontosP(x,y)que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equaes. Podemos encontrar3situaes possveis:1)Dois pontos em comumP1eP2. Isso implica que o sistema de equaes admite duas solues:P1(x1,y1)eP2(x2,y2). Graficamente:

2)Um ponto em comumP(x,y). Isso implica que o sistema de equaes admite apenas uma soluo real:P(x,y). Graficamente:

3)Nenhum ponto em comum, ou seja,C1C2=. Isso implica que o sistema de equaes impossvel. Graficamente:

Vamos resolver alguns exemplos para melhor esclarecimento.Exemplo1:Seja obter a interseco entre as circunfernciasC1eC2, cujas equaes so:C1:x2+(y2)2=4eC2:(x1)2+y2=1.Podemos montar o seguinte sistema com as equaes:{x2+(y2)2=4(x1)2+y2=1{x2+y24y=0x22x+y2=0Resolvendo o sistema, encontramos os valores:y1=0x1=0y2=45x2=85Desta forma, as circunferncias interceptam-se nos pontos:P1=(0,0)eP2=(85,45)O conjunto soluo :C1C2={(0,0),(85,45)}Graficamente, temos:

Exemplo2:Seja obter a interseco entre as circunfernciasC1eC2, cujas equaes so:C1:x2+y2=4eC2:(x4)2+y2=36.Podemos montar o seguinte sistema de equaes:{x2+y2=4(x4)2+y2=36{x2+y2=4x28x+y2=20Resolvendo o sistema, encontramos apenas um valor parax:x=2y=0Logo, as circunferncias interceptam-se em apenas um ponto:P1=(2,0)

O conjunto soluo :C1C2=(2,0)

Graficamente, temos:

Exemplo3:Seja obter a interseco entre as circunfernciasC1eC2, cujas equaes so:C1:(x2)2+(y2)2=1eC2:x2+(y2)2=49.Podemos montar o seguinte sistema de equaes:{(x2)2+(y2)2=1x2+(y2)2=49{x24x+y24y=7x2+y24y=45Resolvendo o sistema, encontramos:x=13Se substituirmos este valor dexna primeira equao, chegamos a uma equao do segundo grau, cujo discriminante negativo:y=44802Isso implica dizer que o sistema impossvel. Logo, no h interseco entre as circunferncias.O conjunto soluo :C1C2=Graficamente, temos: