Swapping de Correlaciones Cu anticas.

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

Swapping de Correlaciones Cuanticas.

Ariana Scarlet Munoz Espinoza.

Profesor Guıa: Dr. Luis Roa Oppliger.Departamento de Fısica.

Facultad de Ciencias Fısicas y MatematicasUniversidad de Concepcion.

Tesis para ser presentada en Direccion de postgrado para optar al grado deMagıster en Ciencias mencion en Fısica

ARIANA MUNOZ - CHILE 2014

A mi familia

Director de Tesis : Dr. Luis Roa Oppliger.

Comision : Dr. Luis Roa Oppliger.Dra. Marıa Loreto Ladron de Guevara.Dr. Andrei Borisovich Klimov.Dr. Marcelo Alid Vaccarezza.

Indice general

Agradecimientos i

Resumen ii

Introduccion iii

I Marco Teorico 1

1. Teorıa de la Informacion Clasica 21.1. Bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Teoremas de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Teorema 1 de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Teorema 2 de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Informacion mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Nociones de Mecanica Cuantica 72.1. Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Espacio de Hilbert Finito-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Espacio de Hilbert Infinito-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Operadores Lineales y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Operadores adjuntos y hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Operadores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2. Operadores de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Operadores basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Postulados de la Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Estados Cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Teorıa de la Informacion Cuantica 183.1. Qubit y Qudit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Entropıa de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Entropıas marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Operaciones Cuanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

iii

INDICE GENERAL iv

3.4.1. Operaciones Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Transformacion local unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Mediciones locales tipo von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Adjuntar una ancila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Eliminacion de la ancila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Reduccion en la informacion disponible sobre el sistema total: . . . . . . . 24

3.5. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6. Clasificacion de estados cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6.1. Estado producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6.2. Estados separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6.3. Estados entrelazados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Estados de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6.4. Estado clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7. Cuantificacion del entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.8. Informacion mutua y discordia cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9. Protocolos de Informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9.1. Teleportacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.9.2. Preparacion remota de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II Redistribucion de correlaciones cuanticas 36

4. Intercambio de entrelazamiento 374.1. Estados maximalmente entreazados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Estados parcialmente entrelazados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Estados-X 435.1. Entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. Intercambio de estados-X 46

7. Redistribucion de entrelazamiento para estados-X 50

8. Ejemplos 548.1. Estados α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2. Estados β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9. Redistribucion de discordia cuantica 599.1. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

III Conclusiones y Apendices 63

A. Postulados de Mecanica cuantica 65

B. Desigualdades de Bell 67

Bibliografıa 73

Agradecimientos

Soy consciente de que estas lıneas no bastan para expresar mi gratitud a todos quienes hancontribuido en este trabajo y en mi carrera, aun ası, tratare de pragmar lo mejor posible missentimientos hacia todos ellos.

En primer lugar, quiero agradecer a mi familia, por su apoyo incondicional, sus palabras dealiento, sus miradas y abrazos de animo, por el amor que me entregan dıa a dıa; al Dr. Luis Roapor aceptar ser mas que mi profesor guıa, por querer ser mi tutor, no solo academico sino devida, por su gran disposicion, paciencia, y por todas las ayudas y sugerencias. Tambien quieroagradecer a todos los docentes del Departamento de Fısica que contribuyeron a mi formacion,en especial, a los Dres. Renato Saavedra, Patricio Salgado, Juan Crisostomo, Jaime Araneda,Felix Borotto, Claudio Faundez, Joaquın Dıaz de Valdes, y al Dr. Cesar Soto de la Facultadde Quımica, quienes con sus conocimientos y consejos han sido de gran importancia para elcomienzo de mi carrera cientıfica. Agradezco a la Escuela de Graduados de la Universidad deConcepcion por la Beca otorgada para estudios de postgrado, a CONICYT-PCHA/MagısterNacional/ano 2013 - folio 221320424 por colaborar en el financiamiento de mi ultimo ano en elprograma de Magıster en Ciencias con mencion en Fısica y al proyecto Fondecyt 1120695 por elapoyo durante el ano 2012 y en las asistencias a conferencias durante todo el periodo.

Extiendo estos agradecimientos a mis amigos y mis companeros de aula, de estudio, y delaboratorio e investigacion, por apoyarme en estos largos y ratificantes semestres, en particulara Gesa Gruning por su activa participacion en la discusion y elaboracion del artıculo basado enesta tesis enviado a publicar en el 2013.

Finalmente, quiero agradecer de manera muy especial y simbolica, al ser que ha guiado todolo que soy, aquel que no necesita presentacion, el camino, la verdad y la vida...

i

Resumen

La teorıa de la informacion cuantica no habrıa podido desarrollarse si no hubiese conside-rado las correlaciones cuanticas, en particular, el entrelazamiento entre sistemas, “la capacidadque posee un sistema de perturbar a otro” o como bien se refirio a el Schrodinger “la propiedadmas caracterıstica de la mecanica cuantica”.

El esquema basico de intercambio de entrelazamiento, entanglement swapping, puede en-tenderse como un proceso que permite redistribuir las propiedades de los estados de Bell entrediferentes pares en un sistema de cuatro qubits. Para lograr la redistribucion se requiere realizaruna medida tipo von Neumann, que proyecta aleatoriamente un par de qubits factorizados auno de los cuatro estados de Bell. En esta tesis, se propone un esquema similar, haciendo uso deuna medicion analoga Bell-von Neumann sobre dos qubits locales, cada uno de ellos, inicialmen-te correlacionado a traves de un estado-X con un qubit espacialmente distante. Este proceso,intercambia la caracterıstica X sin importar las condiciones iniciales, sin embargo, el entrela-zamiento se redistribuye parcialmente en los cuatro posibles estados de salida pero bajo ciertascondiciones. Especificamente, se obtienen dos valores de umbral para el entrelazamiento inicial,de modo tal, que los estados de salida sean no separables. Encontramos ademas, que hay dosposibles cantidades de entrelazamiento de salida, siendo una mayor y otra menor que el entre-lazamiento de entrada, aunque la probabilidad de obtener el mayor entrelazamiento resultantees menor que la probabilidad de lograr entrelazamiento en al menos una salida. Finalmente, seestudia la redistribucion de entrelazamiento y discordia cuantica para algunos estados-X inicia-les particulares e interesantes, como lo son los llamados estados-α y estados-β.

Como resultado, se logro una primera generalizacion del protocolo entanglement-swappingpara estados tipo-X.

ii

Introduccion

“La realidad objetiva se ha esfumado”, la mecanica cuantica no representa partıculas, sinomas bien nuestro conocimiento, nuestra observacion, nuestra conciencia de las partıculas. El ob-servador afecta y cambia la realidad que estudia,“lo que nosotros observamos no es la naturalezaen sı, sino la naturaleza expuesta a nuestro metodo de interrogacion”, en efecto, un proceso demedida genera interacciones, conexiones, correlaciones entre los sistemas. He comenzado estaintroduccion con ideas un tanto controversiales, por decir lo menos, dichas por Heisenberg en1958 [1], pero que motivaron e inspiraron el desarrollo de mi trabajo.

Desde Aristoteles hasta la actualidad, se han desarrollado ideas tales como, toda intervencionobservacional se considera infinitamente reductible (lım → 0), de manera que no hay lımiteinferior de la cantidad de perturbacion observacional, hay separacion entre objeto y sujeto, laperturbacion es despreciable ya que se trabaja con objetos macroscopicos, a las cuales la teorıacuantica responde, hay un valor mınimo para la interaccion entre instrumentos y propiedades(el lımite no tiende a cero), luego no es infinitamente reductible porque es una teorıa discreta,no puede conocerse con certeza antes de la medicion el resultado de la interaccion, ahora elobjeto y el sujeto forman un todo indivisible al tratarse de ordenes de magnitudes equiparables,la perturbacion no es despreciable.

Paralelamente, el concepto de informacion ha sido abordado y discutido por numerososfilosofos y asumido por una gran cantidad de fısicos, pero, ¿que es la informacion?..., ¿una pro-piedad intrınseca de un sistema?, o tal vez, el propio sistema. Resulta complicado aventurarseen definir un concepto tan discutible, este comenzo a tener gran relevancia en las ciencias fısicadesde el momento en que notamos la necesidad de representarlo como una cantidad, ası, comola masa, la carga y el espın.

Los fundamentos de la mecanica cuantica fusionados con la idea de correlacion y el conceptode informacion, dan origen a la teorıa cuantica de la informacion, que tiene como principalobjeto de estudio los llamados protocolos de informacion. El intercambio de entrelazamientoo entanglement-swapping es uno de los protocolos que ha adquirido gran relevancia, porqueademas de operaciones sobre sistemas utiliza entrelazamiento como su principal recurso. Sinembargo, hasta la fecha solo consideraba sistemas bipartitos representados por estados purosmaximalmente entrelazados. En la presente tesis, se estudia la redistribucion de correlacionespara un esquema similar al de intercambio de entrelazamiento donde cada sistema tiene algungrado inicial de correlacion, y ademas estan representados tanto por estados puros parcialmenteentrelazados como por estados mixtos.

Parte I

Marco Teorico

1

Capıtulo 1

Teorıa de la Informacion Clasica

La informacion se puede entender como “aquello” que reduce la incertidumbre, cualquieraque sea el origen de esta. En el ambito de la comunicacion humana la informacion solo tienesentido si se enmarca dentro de una accion finalizada e intencional, como por ejemplo, una pre-gunta con su respuesta o un proceso de medida con su resultado. El significado debe estudiarsedesde la perspectiva empırica del uso del lenguaje.

En teorıa clasica de la informacion se piensa en terminos de procesamientos macroscopicos,aquı ella puede copiarse a voluntad, sin embargo, solo puede transmitirse hacia delante en eltiempo, hacia un receptor situado en el cono de luz del emisor. En general, dicha informaciones transmitida por un canal de comunicacion, caracterizado en su totalidad por elementos de lamecanica clasica, electrodinamica, termodinamica y teorıa de la informacion.

El presente capıtulo esta basado en los siguientes textos [2, 3, 4, 5, 6, 7].

1.1. Bit

¿Cual es el elemento que deseamos emitir, transmitir y recepcionar?, la respuesta es simple,el llamado bit, base de la teorıa de la informacion. Corresponde a un sistema clasico que adoptasolo uno de dos valores excluyentes 0 y 1, que pueden ser representados fısicamente y estaralmacenados, por ejemplo, usando un capacitor. Notese que los estados del capacitor, cargadoy descargado, son macroscopicos, distinguibles y estables a lo conocido como ruido. Adicional-mente, si se quiere comunicar y procesar la informacion se pueden utilizar n-bits, de modo queexiste acceso a 2n numeros o sımbolos.

1.2. Teoremas de Shannon

La teorıa clasica de la informacion se origino en los trabajos de Claude Shannon [2, 3],a finales de la decada de los 40. Esta teorıa relaciona multiples aspectos, tales como, leyesmatematicas que rigen la transmision y el procesamiento de la informacion, la extraccion yrepresentacion de la misma, ası como tambien la capacidad de los sistemas de comunicacion para

2

1.2. Teoremas de Shannon 3

transmitirla y procesarla. Shannon desarrolla una completa teorıa aplicada a la tecnologıa actual,contestando en sus trabajos la interrogante, “¿Cual es la cantidad mınima de recursos necesariospara almacenar la informacion producida por un emisor, de manera que posteriormente puedaser reconstruida por un receptor?”.

La teorıa de la informacion de C. Shannon establece los lımites de cuanto se puede compri-mir la informacion y de cual es la maxima velocidad a la que se puede transmitir. La teorıa dela informacion es por tanto, una teorıa de lımites alcanzables: maxima compresion de datos ymaxima tasa de transmision de informacion sin errores.

En las siguientes subsecciones se estudian brevemente los cimientos de las afirmacionesanteriores.

1.2.1. Teorema 1 de Shannon

La informacion I(xi), cuantificada en bits, aporta un determinado valor xi de una variablealeatoria X = {x1, x2, ..., xn}, que posee un conjunto de n sımbolos los cuales permiten codificarun mensaje, tiene una distribucion probabilıstica p1, p2, ..., pn de aparicion y se define como:

I(xi) = log2

1

pi. (1.1)

La Shannon entropy o entropıa de Shannon cuantifica la cantidad de incertidumbre de lavariable X antes de conocer su valor, y es definida mediante la siguiente expresion:

H(X) = −n∑n=i

pi log2 pi. (1.2)

Por ejemplo, si se considera el lanzamiento de una moneda donde el resultado de una de suscaras es aleatorio y tiene probabilidad 1/2 de ocurrir, vemos que la entropıa de Shannon es iguala 1, y por tanto nuestra incerteza inicial es completa, no se conoce el resultado del lanzamiento yla distribucion de probabilidades es homogenea. Sin embargo, si el lanzamiento no es totalmentealeatorio, es decir, arreglamos la forma de lanzar la moneda de modo que siempre salga solo unade las caras, entonces, la entropıa de Shannon es cero y la informacion que se posee es completa,ya que tenemos certeza del resultado [6].

1.2.2. Teorema 2 de Shannon

Para entregar el mensaje necesitamos de un canal de comunicacion o transmision, que gene-ralmente no es perfecto, luego producira errores en algunos bits por el ruido inherente del canalhaciendo que parte de la informacion se pierda.

Para asegurar que el mensaje enviado sea reproducido por el posible receptor, se utilizala redundancia de la informacion, la cual se realiza codificando cada sımbolo con mas bits delos estrictamente necesarios, ası los errores pueden ser facilmente detectados y corregidos. Sinembargo, dicha redundancia tiene un costo, mas bits, con lo cual la transmision se vuelve maslenta. El segundo teorema de Shannon [3], se refiere a la codificacion de un canal con ruido,

1.2. Teoremas de Shannon 4

donde cuantifica la mınima redundancia posible que permite la transmision fidedigna de la in-formacion. Para ello, necesitamos definir el concepto de canal de informacion.

Definicion 1. Un canal de informacion sin memoria, es determinado por un alfabeto de entradaA = {ai}, con i = 1, 2, ..., r; un alfabeto de salida B = {bj}, j = 1, 2, ..., s, y un conjunto deprobabilidades condicionales P (bj |ai). Donde, P (bj |ai) es la probabilidad de recibir a la salidael sımbolo bj cuando se envıa el sımbolo de entrada ai [4].

Un canal de gran importancia tanto teorica como aplicada es el canal binario simetrico, queposee dos sımbolos de entrada (a1 = 0, a2 = 1) y dos sımbolos de salida (b1 = 0, b2 = 1). Essimetrico dado que la probabilidad de error p es la misma al recibir un 0 o un 1, y por lo tanto,la probabilidad de recibir 0 o 1 sin error es igual a 1− p [6].

La eleccion del sımbolo de entrada ai tiene asociada una probabilidad P (ai), sin embargo,si el sımbolo de salida es bj , la probabilidad de que el sımbolo de entrada correspondiente sea aies P (ai|bj).

Luego, la probabilidad condicional P (ai|bj) se determina utilizando la ley de Bayes pormedio de la siguiente expresion:

P (ai|bj) =P (bj |ai)P (ai)

P (bj), (1.3)

donde P (bj) es dada por:

P (bj) =r∑i=1

P (bj |ai)P (ai). (1.4)

Por otra parte, la probabilidad que el sımbolo de entrada sea ai y el sımbolo de salida seabj , se llama probabilidad conjunta, es denotada por P (ai, bj), es simetrica al intercambio desımbolos, y se calcula como:

P (ai, bj) = P (bj |ai)P (ai) = P (ai|bj)P (bj). (1.5)

Determinemos ahora el valor de la probabilidad de los diferentes sımbolos de entrada porel hecho de recibir a la salida el sımbolo bj . Se denomina P (ai) a la probabilidad a priori delos sımbolos de entrada, es decir, antes de recibir uno de salida. La probabilidad a posterioriP (ai|bj) es despues de la recepcion de bj [6].

Luego, la entropıa a priori de A es:

H(A) = −r∑i=1

P (aj) log2 P (ai) (1.6)

y la a posteriori de A, recibido ya bj , es:

H(A|bj) =

r∑i=1

P (ai|bj) log2 P (ai|bj). (1.7)

1.3. Informacion mutua 5

H(A) se interpreta como el numero medio de bits necesarios para representar un sımbolode una fuente con probabilidad asociada a priori P (ai), i = 1, 2, ..., r; H(A|bj) nos entrega elnumero medio de bits necesarios para representar un sımbolo de la fuente (emisor) con unaprobabilidad a posteriori P (ai|bj), i = 1, 2, ..., r.

El valor medio de las entropıas a posteriori denotado por H(A|B) es:

H(A|B) =

s∑j=1

P (bj)H(A|bj) (1.8)

y recibe el nombre de equivocacion de A con respecto a B o del canal, esta ultima en funcionde las probabilidades conjuntas y condicionales es:

H(A|B) = −∑A,B

P (a, b) log2 P (a|b). (1.9)

“Cabe destacar que los sucesivos sımbolos de entrada ai se codifican empleando codigosdistintos para cada sımbolo de salida bj. Sin embargo, no es suficiente seleccionar un conjuntode codigos unıvocos cuyas palabras tengan longitudes que satisfagan la relacion (1.9), se requieretambien, que los codigos sean instantaneos” [4, 6].

1.3. Informacion mutua

Shannon en el desarrollo de su segundo teorema encuentra que es posible establecer unacomunicacion libre de error a pesar de que un canal ruidoso pueda interferirla. La maximatasa de transferencia de informacion del canal para una cierta cantidad de ruido se denominacapacidad.

Por otra parte, la diferencia entre las entropıas a priori de A, B y la equivocacion del canal,entregan en promedio H(A) + H(B) − H(A|B) bits de informacion. Esta diferencia se llamainformacion mutua y se escribe de la forma:

I(A;B) = H(A) +H(B)−H(A,B). (1.10)

Tambien es posible expresarla en terminos de distribuciones,

I(A;B) =∑A,B

P (a, b) log2

P (a, b)

P (a)P (b). (1.11)

La correlacion total entre dos sistemas clasicos A y B cuyo estado es descrito por unadistribucion de probabilidad conjunta P (A|B) puede ser obtenida a traves de una medida deinformacion mutua reescrita en una expresion equivalente

J(A;B) = H(A)−H(A|B), (1.12)

usando la regla de Bayes, donde la entropıa condicional H(A|B) cuantifica la ignorancia sobreel estado A cuando se conoce el estado de B, o sea, por la observacion de un sımbolo de salida

1.3. Informacion mutua 6

[4, 6, 7].

La generalizacion a sistemas cuanticos se realizara en el capıtulo 3.

Capıtulo 2

Nociones de Mecanica Cuantica

El cambio radical de las ideas fısicas del movimiento mantenidas por la mecanica cuanticacon respecto a las de la clasica, exige una variacion del formalismo matematico de la teorıa. Enmecanica clasica el estado del sistema se describe dando todas sus coordenadas y sus velocidades,sin embargo, en mecanica cuantica esta descripcion es imposible.

No obstante, en teorıa cuantica, la descripcion completa del estado de un sistema significa:la posibilidad de predecir las probabilidades de tales o cuales resultados de la medida de lascoordenadas (u otras magnitudes) del sistema [8]. La base de esta afirmacion se revisara en elpresente capıtulo.

2.1. Espacio de Hilbert

Para entender en profundidad el desarrollo de esta investigacion necesitamos definir el es-pacio donde se realiza la descripcion matematica de los sistemas fısicos en estudio [9].

Definicion 2. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal finito- o infinito-dimensionalcon producto escalar en C.

Los elementos del espacio vectorial son nuestra representacion para un sistema fısico. No-temos que, en el contexto de la mecanica cuantica las cantidades fısicas que queremos medircorresponden a operadores que actuan sobre los vectores o elementos del espacio de Hilbert.

2.1.1. Espacio de Hilbert Finito-dimensional

En dimensiones finitas, los vectores del espacio de Hilbert denotado por H y sus productosescalares correspondientes, difieren del caso Euclideano estandar solo por la eleccion de cantida-des complejas C, en lugar de reales R. Esto significa que para los vectores a, b ε H:

a =

a1

...an

, b =

b1

...bn

, ai, bi ε C,

7

2.1. Espacio de Hilbert 8

donde H representa el espacio de Hilbert n-dimensional.

El producto escalar se puede escribir como:

aibi = 〈a|b〉 =(a1, · · · , an

) b1...bn

=

n∑i=1

ai∗bi.

Ahora bien, cada vez que un covector 1 cuyas componentes ai = ai∗ son los complejos conju-gados de las componentes del vector correspondiente, actua sobre uno con componentes bi desdeel lado izquierdo, se obtiene un numero complejo.

Luego es posible inferir la siguiente propiedad:

ab = (ba)∗. (2.1)

Se garantiza ademas que, la norma de un vector sea real positiva, es decir,

‖a‖ =√aa = (aia

i)1/2 =

(n∑i=1

ai∗ai

). (2.2)

Finalmente, los operadores que actuan sobre el espacio de Hilbert mapean un vector enotro vector del espacio, o sea, son transformaciones lineales que pueden ser representados pormatrices:

a = Xb ⇔

a1...an

=

X11 · · · X1n...

. . ....

Xn1 · · · Xnn

b1

...bn

⇔ ai = Xijbi. (2.3)

2.1.2. Espacio de Hilbert Infinito-dimensional

En dimensiones infinitas el espacio vectorial se generaliza a un espacio funcional de funcionescon valores complejos que ahora toman el rol de vectores 2 de estado.

El producto interior se define como:

〈ψ|φ〉 :=

∫ ∞−∞

d3xψ∗ (−→x )φ (−→x ) , (2.4)

donde, analogamente al caso finito dimensional, 〈ψ| es un covector (o funcional lineal) actuandosobre el vector |φ〉.

El conjunto de todas las funciones cuadrado integrables ψ(x) sobre un cierto intervalo 3 con:

1Un covector es un vector del espacio vectorial dual, que se denota por una fila en vez de una columna y porındices inferiores (covariante) en lugar de superiores (contravariante).

2Son vectores en el sentido abstracto, ya que son elementos de un espacio vectorial.3El restringirnos a un interbalo a, b no implica perdida de generalidad, ya que, podemos hacer tender estos

numeros a ±∞.

2.1. Espacio de Hilbert 9

b∫a

|ψ (x)|2 dx <∞ (2.5)

constituye un espacio vectorial [10].

Luego, sı ψ y φ son cuadrado integrables y su producto interior existe (la integral (2.4)converge a un numero finito), la inecuacion de Schwarz toma la forma:∣∣∣∣∣∣

b∫a

ψ (x)∗ φ (x) dx

∣∣∣∣∣∣ ≤√√√√√ b∫

a

|ψ (x)|2 dxb∫a

|φ (x)|2 dx. (2.6)

En particular,

〈φ|ψ〉 = 〈ψ|φ〉∗ . (2.7)

Adicionalmente, el producto interior de ψ con si misma,

‖ψ‖2 = 〈ψ|ψ〉 =

∫dx |ψ (x)|2 (2.8)

es real positivo y solo es cero cuando ψ(x) = 0.

Notemos que:

Una funcion se dice normalizada si su producto interior con si misma es 1.

Dos funciones son ortogonales si su producto interior es 0.

Un set de funciones {ψn} son ortonormales si ellas son normalizadas y mutuamente orto-gonales, es decir:

〈ψm|ψn〉 = δnm. (2.9)

Finalmente, un set o conjunto de funciones es completo si, cualquier otra funcion (en elespacio de Hilbert) puede ser expresada como una combinacion lineal de ellas,

ψ (x) =

∞∑n=1

Cnψn (x) . (2.10)

Por lo tanto, el espacio de Hilbert es un espacio de funciones completo con producto escalaren C.

2.2. Operadores Lineales y Matrices 10

2.2. Operadores Lineales y Matrices

Los operadores que actuan sobre este espacio mapean un estado en otro estado, es decir:

|φ〉 = A|ψ〉. (2.11)

Por otro lado, del algebra lineal sabemos que un operador lineal entre espacios vectorialesV y W es definido como un funcional A : V −→W ,

A

(∑i

ai|ψ〉

)=∑i

aiA (|ψ〉) . (2.12)

Ahora bien, supongamos que V , W y X son espacios vectoriales, A : V −→W y B : W −→X son operadores lineales, luego a partir de esto se define explicitamente la composicion deoperadores, en particular, BA denota la composicion de B con A. Ası, podemos generalizar laaccion sobre el espacio con una n-esima composicion de operadores.

Una relacion complementaria que es extremadamente util se presenta a continuacion:

I =∑j

|j〉〈j|, (2.13)

donde I es el operador identidad, es decir, I|ψ〉 = |ψ〉 para cualquier |ψ〉. La suma de la derechaes sobre las diadas |j〉〈j| correspondiente a los elementos |j〉 de una base ortonormal.

Usando (2.13) se tiene que:

|ψ〉 =

∑j

|j〉〈j|

|ψ〉 =∑|j〉〈j|ψ〉 =

∑j

〈j|ψ〉|j〉. (2.14)

Los operadores tambien pueden ser representados por matrices, en efecto, dado un operadorA y una base {βj} que no necesariamente es ortonormal, se le puede asociar una matriz cuadradaA de numeros definidos por Ajk:

A|βk〉 =∑j

|βj〉Ajk =∑j

Ajk|βj〉. (2.15)

La matriz depende de la eleccion de la base, ası como en el operador. En el caso de una baseortonormal y utilizando (2.13) se tiene,

A|k〉 = IA|k〉 =

∑j

|j〉〈j|

A|k〉 =∑j

|j〉〈j|A|k〉 =∑j

〈j|A|k〉|j〉, (2.16)

donde 〈j|A|k〉 es el producto interior de |j〉 con A|k〉, equivalente a Ajk en la expresion (2.15).Ası, 〈j|A|k〉 se conoce como un elemento de la matriz cuando se utiliza la notacion de Dirac.

Cuando A se refiere a un qubit, la forma habitual de escribir la matriz en la base estandar(o computacional) es (notese el orden de los elementos):


(〈0|A|0〉〈1|A|0〉〈1|A|0〉〈1|A|1〉

).

Otra aplicacion de (2.13) esta en escribir el elemento de matriz del producto de dos opera-dores en terminos de los elementos matriciales individuales:

〈j|AB|k〉 = 〈j|AIB|k〉 =∑m

〈j|A|m〉〈m|B|k〉, (2.17)

usando subındices la ecuacion queda de la forma:

(AB)jk =∑m

AjmBmk. (2.18)

Adicionalmente, la traza Tr(A) de un operador A es la suma de los elementos diagonalesde esta matriz, es decir:

Tr(A) =∑j

〈j|A|j〉 =∑j

Ajj . (2.19)

Se puede demostrar que esta es independiente de la base utilizada en la definicion de loselementos de la matriz, en particular, no se necesita usar una base ortonormal;

∑jAjj puede ser

usada con los Ajj definidos en (2.15).

2.2.1. Operadores adjuntos y hermitianos

Los operadores usados en mecanica cuantica poseen propiedades importantes que estudia-remos en esta subseccion.

Supongamos un operador A actuando sobre un espacio de Hilbert V , existe un operadorlineal unico A† sobre V de tal manera que, para todos los vectores |ψ〉 y |φ〉 ∈ V ,

(|ψ〉, A|φ〉) =(A†|ψ〉, |φ〉

), (2.20)

este operador lineal es conocido como el adjunto o conjugado del operador A, ademas, (AB)† =B†A†. Por convencion, sı |φ〉 es un vector, definimos |φ〉† ≡ 〈φ|, de lo cual desprende (A|φ〉)† =〈φ|A†.

Se debe tener en consideracion que la operacion daga es antilineal, donde los escalares sesustituyen por sus complejos conjugados.

Un operador normal A sobre el espacio de Hilbert es uno que conmuta con su adjunto, esdecir, AA† = A†A. Ellos tienen la propiedad de ser diagonalizados usando una base ortonormal,de la forma:

A =∑j

αj |aj〉〈aj |, (2.21)


donde los vectores |aj〉 son autovectores de A y los αj son sus autovalores. Equivalentemente, lamatriz de A en esta base es diagonal,

〈aj |A|ak〉 = αjδjk. (2.22)

La ec. (2.21) se conoce comunmente como la forma espectral o resolucion del operador A.Ahora bien, un operador hemıtico definido por la propiedad A = A† es tambien un operadornormal, siendo el analogo cuantico de un numero real (en oposicion a un complejo). Sus valorespropios αj son numeros reales.

Los terminos “hermitianos y auto-adjunto” son equivalentes para un espacio de Hilbert dedimension finita, que es el abordado en esta tesis, sin embargo, la distincion es importante paraespacios infinito-dimensionales.

Tambien existe un operador llamado proyector o mas formalmente, operador proyeccionortogonal, que satisface P 2 = P . Notese que es un operador hermıtico con autovalores 0 o 1, porlo tanto, siempre hay una base (que depende, por supuesto, del proyector) en la que su matrizes diagonal en el sentido de (2.22), con solo 0 o 1 en la diagonal principal. Luego, una matrizsiempre representa un proyector.

Operadores Unitarios

En mecanica cuantica se utilizan operadores unitarios para cambiar de una base ortonormala otra, para representar simetrıas como la de rotacion, y para describir algunos aspectos de ladinamica o la evolucion de un sistema cuantico.

Los denominados operadores unitarios U tienen la propiedad:

U †U = I = UU †. (2.23)

Donde vemos que U conmuta con su adjunto, ademas es un operador normal, y se puedeescribir en la forma (2.21). Entonces, de (2.23) se tiene la condicion: todos los valores propios deU son numeros complejos de magnitud 1, es decir, se encuentran en la circunferencia unitariaen el plano complejo.

En un espacio de Hilbert de dimension finita, con U mapeando el espacio sobre si mismo,cada igualdad en (2.23) implica la otra, por lo que basta solo considerar una de ella, UU † = I,para verificar si U es unitario.

2.2.2. Operadores de Pauli

El estudio de los operadores que actuan sobre los espacios de Hilbert resulta de gran interes,en particular, los llamados operadores de Pauli o matrices de Pauli. La revision previa de estosconceptos es necesaria para simplificar la compresion de los protocolos de informacion que seabordaran en el siguiente capıtulo y a lo largo de este trabajo.


Operadores basicos

Es posible introducir operadores hermitianos actuando sobre un espacio de Hilbert de di-mension 2, los denominados σk con k = 1, 2, 3 o k = x, y, z:

σ†k = σk, (2.24)

los cuales satisfacen la condicion, σ2k = I.

Queremos que, σ 6= I y que sus valores propios sean reales. Si consideramos la hermiticidaddel operador, vemos que sus valores propios son (+1) y (−1). Al mismo tiempo, se puede observarpor su descomposicion espectral que σk es unitario,

σ†k = σ−1k (2.25)

y su traza (Tr(σk)) es nula.

Ademas, estos operadores satisfacen relaciones de anticonmutacion, [A,B]+ = AB +BA

[σi, σj ]+ = 2δijI. (2.26)

Existe otra propiedad importante de los σk que viene dada por el conmutador ([A,B]− =AB −BA) y es complementaria a la relacion (2.26),

[σi, σj ]− = 2i3∑

k=1

εijkσk, (2.27)

εijk es un tensor totalmente antisimetrico en todos los ındices, con εijk = 1. Finalmente y enadicion a las ecuaciones (2.26) y (2.27) podemos escribir:

σiσj = δijI + i3∑

k=1

εijkσk. (2.28)

Representacion matricial

Veamos ahora, como serıa la forma matricial de estos operadores.

Si consideramos una base ortonormal de autovectores |0〉 y |1〉 4 de σz con autovalores (+1)y (−1) respectivamente, vemos que:

σz|0〉 = +|0〉

σz|1〉 = −|1〉.

Por consiguiente, en la base computacional la representacion matricial de σz es:

4Base logica

2.3. Postulados de la Mecanica Cuantica 14

σz =

(1 00 −1

). (2.29)

Usando las ecuaciones (2.24) y (2.28) encontramos las expresiones para σx y σy, completandoel conjunto de las denominadas matrices de Pauli,

σx =

(0 11 0

)= |0〉〈1|+ |1〉〈0| , (2.30)

σy =

(0 −ii 0

)= −i (|0〉〈1| − |1〉〈0|) , (2.31)

σz =

(1 00 −1

)= |0〉〈0| − |1〉〈1| . (2.32)

Por otra parte, la accion de los operadores σ sobre los vectores de la base computacional esmostrada en la siguiente secuencia de igualdades:

σx |0〉 = |1〉 (2.33a)

σx |1〉 = |0〉 (2.33b)

σy |0〉 = i |1〉 (2.33c)

σy |1〉 = −i |0〉 (2.33d)

σz |0〉 = + |0〉 (2.33e)

σz |1〉 = − |1〉 (2.33f)

donde σx hace un cambio de estado (bit flip), σy intercambia e introduce la fase ±i, y σzintroduce la fase ±1 (phase flip).

2.3. Postulados de la Mecanica Cuantica

En mecanica cuantica no existe el concepto de trayectoria de una partıcula, esto constituyela base del llamado principio de incerteza o indeterminacion 5. No solo es controversial hasta laactualidad este principio, sino que tambien lo son conceptos como observador, observable o el deproceso de medicion, aunque a pesar de los reiterados debates, la gran mayorıa coincide en unacaracterıstica importante: la de ejercer siempre una accion sobre la partıcula que se someta a el,esta accion por principio, no puede ser tan debil como se quiera para una presicion dada de lamedicion; es claro que si la accion del proceso de medicion se pudiera debilitar a voluntad, estosignificarıa que la cantidad medida tiene un valor determinado independiente de dicha medicion,sin embargo, los sistemas estan en constante interaccion con el ambiente y ademas la teorıa es

5Descubierto en 1927 por Werner Heisinberg.

2.3. Postulados de la Mecanica Cuantica 15

discreta, por lo que la precision en la medida resulta ser uno de los actuales desafıos que tienela mecanica cuantica.

Por otra parte y antes de comenzar una descripcion mas detallada de los fundamentos dela teorıa, es importante mencionar que entenderemos por descripcion completa de un estado.“Los estados completamente definidos surgen como resultado de la medicion simultanea de unsistema completo de magnitudes fısicas”, de esta manera, podemos determinar la probabilidadde los resultados de cualquier medicion posterior, independiente de todo lo que le haya ocurridoa la partıcula antes de la primera medida.

El primer postulado esta orientado a la descripcion de un sistema cuantico [11].

Postulado 1. En un tiempo fijo t0 se define el estado de un sistema fısico aislado por el ket|ψ(t0)〉6 perteneciente al espacio de Hilbert con norma unitaria.

Debido a que H es un espacio vectorial, en el primer postulado esta inmerso el principio desuperposicion: una combinacion lineal de vectores es un vector de estado.

Postulado 2. La evolucion de un sistema cuantico cerrado es descrita por una transformacionunitaria. Tal que, el estado |ψ(t0)〉 en el tiempo t1 se relaciona con el estado |ψ′(t0)〉 del sistemaen el tiempo t2, mediante un operador unitario U .∣∣ψ′⟩ = U |ψ〉 . (2.34)

Postulado 3. Dado un operador A. El unico resultado posible de la medicion de una cantidadfısica A es uno de los valores propios del correspondiente observable A.

Notemos que una medida de A siempre tiene un valor real, dado que el operador es pordefinicion hermıtico. Ademas, si el espectro de dicho operador es discreto, los resultados quepueden ser obtenidos de la medicion de A estan cuantizados.

Postulado 4 7. Cuando la cantidad fısica A es medida sobre un sistema en el estado norma-lizado |ψ〉, la probabilidad P (an) de obtener un autovalor an del correspondiente observable Aes:

P (an) = | 〈φ|ψn〉 |2, (2.35)

donde |φ〉 es un autovector normalizado, asociado a la cantidad fısica A con autovalor an.

Postulado 5. Si la medicion de la cantidad fısica A sobre el sistema en el estado |ψ〉 da comoresultado an, el estado inmediatamente despues de la medicion es la proyeccion normalizada

6Vector en espacio H.7Caso de un espectro discreto no desgenerado.

2.4. Estados Cuanticos 16

Pn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉

de |ψ〉 sobre los autosubespacios asociados a an.

Usualmente no se consideraba el siguiente enunciado como un postulado, pero dado quepara esta investigacion es importante lo enunciaremos como tal, dejando abierta la discusion desu derivacion a partir de los postulados y definiciones anteriores.

Postulado 6. El estado de un sistema fısico compuesto es el producto tensorial de los estadosfısicos que lo componen, es decir, sı tenemos sistemas numerados del 1 hasta el n, y el sistemai se prepara en el estado |ψi〉, entonces el estado del sistema total es:

|Ψ〉 = |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 ⊗ ...⊗ |ψn〉 . (2.36)

2.4. Estados Cuanticos

Hemos restringido nuestra formulacion de los postulados a los estados puros descritos porvectores en el espacio de Hilbert, como aparece en la subseccion anterior. Ahora, vamos a in-troducir una representacion diferente, que a su vez nos lleva directamente a un enfoque parala descripcion de mezclas estadıstica y mezclas generales mediante el uso de operadores densidad.

Se sabe que el estado de un sistema cuantico, en general, no es puro |ψ〉. Sin embargo, unoasume que el sistema es preparado en uno de los estados normalizados {|ψi〉}, con una ciertaprobabilidad pi. Por lo que el conocimiento que se tiene del sistema cuantico es descrito porun ensamble de estados puros, {|ψi〉, pi} [6]. Si este ensamble esta compuesto de tan solo unestado, entonces, se dice que es puro, en otro caso, el sistema se describe por una superposicionincoherente de estados puros.

Ası, para describir una mezcla estadıstica o estado mixto se usa un operador en vez de unvector de estado, el cual se denomina operador densidad, es denotado por ρ, y tiene la siguienteforma:

ρ =

n∑i

pi|ψ〉〈ψ|. (2.37)

El operador densidad, tambien llamado matriz densidad, posee las siguientes propiedades:

i) Condicion de normalizacionTr(ρ) = 1, (2.38)

es decir, la suma de los elementos diagonales es igual a 1.

ii) Es semidefinida positiva,〈φ|ρ|φ〉 ≥ 0, (2.39)

para cualquier vector |φ〉 en el espacio de los estados.

2.4. Estados Cuanticos 17

Si se cumplen las dos condiciones, el operador densidad tiene una descomposicion espectralde la forma:

ρ =∑j

λj |j〉〈j|, (2.40)

donde los vectores |j〉 son mutuamente ortogonales y los valores propios de ρ, λj son realespositivos.

En general, para la traza de un operador densidad se cumple, Tr(ρ2 ≤ 1). La igualdad sesatisface solo para estados puros, por lo que la expresion anterior es utilizada como un criteriopara cualificar la pureza de un estado cuantico. Ademas, el operador densidad es hermıtico,sus elementos matriciales fuera de la diagonal principal son llamados terminos de coherencia,ρnm = 〈n|ρ|m〉, y los terminos diagonales ρnn = 〈n|ρ|n〉 son llamados poblaciones [6].

Notemos que, los terminos de coherencia y poblaciones satisfacen la desigualdad triangular,

〈n|ρ|n〉〈m|ρ|m〉 ≥ |〈n|ρ|m〉|2. (2.41)

En base a esta seccion se extiende una “generalizacion” de los postulados expuestos ante-riormente en la seccion 2.3, para mas detalles ver el apendice A.

Capıtulo 3

Teorıa de la Informacion Cuantica

La teorıa de la informacion y la computacion ha logrado significativos avances debido ala existencia de correlaciones entre sistemas, sin embargo, la introduccion de nuevos conceptosfundamentales de la mecanica cuantica, como por ejemplo, el entrelazamiento, provocaron laaparicion de una nueva lınea de investigacion, la llamada “Informacion cuantica”, generando ungran interes en la comunidad cientıfica, ya que pone de manifiesto propiedades que no poseenanalogo clasico.

3.1. Qubit y Qudit

El bit clasico es un concepto fundamental de la computacion clasica y la teorıa clasica dela informacion, sin embargo, en teorıa cuantica de la informacion y en computacion cuantica esnecesario introducir un concepto analogo, el llamado bit cuantico o qubit [12, 13].

Cuando el espacio de Hilbert del sistema utilizado para codificar informacion es un espaciode dimension 2 nos referimos a este sistema como un qubit, mientras que en el caso de espaciosdiscretos con dimensiones mayor a dos se les denomina qudits.

El bit clasico adopta un estado dentro de dos posibles, 0 y 1 1, mientras que, el bit cuantico(qubit) [14], puede encontrarse no solo en los estados base |0〉 y |1〉, sino tambien, en unasuperposicion de ellos,

|ψ〉 = a|0〉+ b|1〉 ←→(a

b

), (3.1)

donde a y b son numeros complejos, tales que, |a|2 + |b|2 = 1. Notemos que esto amplıa lacantidad de informacion que podemos almacenar en un qubit, ya que los coeficientes complejospertenecen en principio, a un conjunto continuo e infinito de valores. Una forma conveniente devisualizar un qubit es dada en la siguiente representacion.

Dado que, |a|2 + |b|2 = 1 es posible reescribir la ecuacion (3.1) como:

1Representados ası en el sistema binario

18

3.1. Qubit y Qudit 19

|ψ〉 = eiγ(

cosθ

2|0〉+ eiϕ sin

θ

2|1〉), (3.2)

donde θ, ϕ y γ son numeros reales y eγ es una fase global de (3.2) que podemos ignorar porqueno produce efectos observables, ası, el estado queda de la forma:

|ψ〉 =

(cos

θ

2|0〉+ eiϕ sin

θ

2|1〉). (3.3)

Es claro que los numeros θ y ϕ definen un punto sobre la esfera de Bloch 2, como lo muestrala figura:

Siendo este esquema una buena herramienta para describir muchas de las operaciones quese aplican a qubit individuales, sin embargo, hay que tener en cuenta que es limitada porque nohay generalizaciones simples de la esfera Bloch conocidas para multiples qubits.

Ahora bien, ¿Cuanta informacion esta representada por en qubit?. Paradogicamente, hayun numero infinito de puntos sobre la esfera unitaria, de manera que en principio podrıamosalmacenar la cantidad de informacion que desearamos en la expansion binaria infinita de θ, sinembargo, esta afirmacion es un tanto enganosa, debido al comportamiento del qubit cuando esobservado. Recordemos que la medicion de un qubit dara solo 0 o 1, ademas cambiara el estadodel sistema, por ejemplo, si consideramos el estado,

|+〉 ≡ 1√2

(|0〉+ |1〉),

2Esfera unitaria tridimensional

3.2. Entropıa de von Neumann 20

vemos que, si la medicion de |+〉 da 0, entonces el estado de post-medicion del qubit sera |0〉,perdiendo la superposicion que nos permitıa almacenar infinita informacion.

Por lo tanto, a partir de una sola medicion se obtiene unicamente un bit de informacionsobre el estado del qubit.

Consideremos ahora que tenemos dos qubit, el estado general que nos permite asociar estosqubits es una superposicion arbitraria normalizada de cuatro estados clasicos ortogonales 00,01, 10 y 11 [15], es decir,

|ψ〉 = a00|00〉+ a01|01〉+ a10|10〉+ a11|11〉 ←→

a00

a01

a10

a11

, (3.4)

con las amplitudes complejas limitadas solo por la condicion de normalizacion |a00|2 + |a01|2 +|a10|2 + |a11|2 = 1.

La generalizacion resulta natural cuando tenemos n qubits, el estado general ahora pue-de escribirse como la superposicion de los 2n estados clasicos diferentes con amplitudes cuyosmodulos al cuadrado suman 1:

|ψ〉 =∑

0≤x<2n

ax|xn〉, (3.5)

∑0≤x<2n

|ax|2 = 1. (3.6)

Ası, hemos definido el elemento basico de la teorıa de la informacion cuantica que tienecomo ventaja, en comparacion con la teorıa clasica, utilizar el principio de superposicion, ycomo desventaja el ser un sistema microscopico.

3.2. Entropıa de von Neumann

El analogo cuantico de la entropıa de Shannon es la entropıa de von Neumann, que en lugarde utilizar elementos de una distribucion de probabilidad utiliza operadores densidad. Dichaentropıa permite desarrollar topicos en las secciones posteriores de esta tesis.

Sea ρ el operador densidad (2.37), que caracteriza un sistema cuantico arbitrario A, defini-remos la entropıa de von Neumann de este sistema como:

S(A) = −Tr{ρ log2 ρ}. (3.7)

Se puede calcular dicha entropıa en terminos de los autovalores del operador densidad:

ρ =∑i

λi|λi〉〈λi|, (3.8)

3.2. Entropıa de von Neumann 21

con |λi〉〈λj | = δij , es decir,

S(ρA) =∑i

−λi log2 λi. (3.9)

Enumeremos algunas de las propiedades matematicas de la entropıa de von Neumann [7].

i) La entropıa S(ρ) es no negativa para cualquier operador densidad ρ.

ii) El valor maximo de S(ρ) es log2 d, siendo d la dimension del espacio. Dicho valor esalcanzado para el estado maximalmente mixto ρ = 1

dId⊗d.

iii) La entropıa S(ρ) es cero cuando ρ es un estado puro arbitrario 3. En efecto, si se conoceel estado |ψ〉, siempre es posible realizar una medicion {|ψ〉〈ψ|, 1− |ψ〉〈ψ|} y tener certezaabsoluta del resultado de esta.

Al medir el conjunto {My} sobre el estado ρ se genera una variable estocastica 4 Y , cuyadistribucion es pi(y) = Tr{My}. Luego, podemos redefinir la entropıa de von Neumanncomo la menor entropıa de Shannon de la variable Y , donde la minimizacion se realizasobre todas los posibles POVM de rango 1, es decir,

S(ρ) = mın{My}

S(Y ). (3.10)

En base a esto podemos decir que existe una medida optima sobre ρ, de manera que, laentropıa de Shannon de la medida sea equivalente a la entropıa de von Neumann del estadoρ.

iv) La entropıa de von Neumann es concava en el operador densidad, es decir, nunca disminuyeal mezclar estados,

S(ρ) = S

(∑x

pX(x)ρx

)≥∑x

pX(x)S(ρx), (3.11)

adicionalmente, la entropıa de una mezcla estadıstica [12], ρ =∑xpX(x)ρx es:

S(ρ) = S

(∑x

pX(x)ρx

)≤∑x

pX(x)S(ρx) +H(X), (3.12)

la igualdad es valida cuando ρ tiene soporte en un espacio vectorial que se construye comocombinacion lineal de todos los autoestados y ademas es ortogonal.

Luego, si ρx = |ψx〉〈ψx| entonces,

S(ρ) = S

(∑x

pX |ψx〉〈ψx|

)≤ H(X). (3.13)

3Es poco intuitivo que la entropıa de un estado puro sea cero, ya que existe una incerteza netamente cuanticaen el estado.

4Magnitud cuyos valores estan determinados por las leyes de probabilidad, como los puntos resultantes de latirada de un dado.

3.3. Entropıas marginales 22

Finalmente, es de suma importancia destacar que la entropıa de un operador densidad esinvariante bajo transformaciones unitarias, es decir:

S(ρ) = S(UρU †

), (3.14)

con U un operados unitario y U † su complejo conjugado.

3.3. Entropıas marginales

En general siempre necesitamos determinar una cantidad propia de una parte de un sistemamultipartito, por ejemplo para el caso mas simple, un sistema cuantico compuesto de dos partesque se encuentra en un estado puro |ψA,B〉.

Los estados del sistema A y B son:

ρA = TrB {|ψA,B〉〈ψA,B|} , (3.15)

ρB = TrA {|ψA,B〉〈ψA,B|} . (3.16)

Como lo mencionamos en la seccion 3.2, la entropıa del sistema bipartito se anula porque esun estado puro, sin embargo, la entropıa de los subsistemas A y B no necesariamente es nula,ası,

S(A|B) = 0 ≤ S(A), (3.17)

H(A|B) = 0 ≤ S(B). (3.18)

Adicionalmente, como el sistema esta en un estado puro, se cumple la siguiente propiedad:

S(ρA) = S(ρB). (3.19)

Su demostracion esta basada en que todo estado puro de un sistema bipartito puede escri-birse usando la descomposicion de Schmidt [12].

Al aplicar la traza parcial sobre el estado bipartito notamos que, los autovalores de ρA y ρBson iguales, esto implica que sus entropıas tambien lo son. La propiedad es valida para sistemasmultipartitos siempre cuando el estado del sistema completo sea un estado puro [7].

3.4. Operaciones Cuanticas

Necesitamos conocer la dinamica de los sistemas cuanticos para una gran variedad de condi-ciones fısicas, como por ejemplo, los sistemas abiertos que se encuentran fuertemente acopladoscon el medio ambiente. En el formalismo de operaciones cuanticas, el sistema se describe poruna matriz densidad u operador densida ρ, el cual evoluciona de la forma:

3.4. Operaciones Cuanticas 23

ρ′ = Λ(ρ). (3.20)

“El mapeo Λ transforma el operador densidad inicial ρ en el operador densidad ρ′, describela dinamica del cambio que ocurre como resultado de algun proceso fısico, y se le denominaoperacion cuantica” [6].

Revisemos algunos ejemplos de operaciones cuanticas.

3.4.1. Operaciones Locales

Consideremos un operador densidad ρA,B que describe el estado de un sistema cuanticocompuesto de dos subsistema, cada uno de ellos en poder de un observador. Los observadores Ay B solo pueden aplicar transformaciones sobre su subsistema, es decir, A ⊗ I y I ⊗ B respec-tivamente. Si permitimos que las transformaciones que un observador aplica sobre su sistemadependan de las transformaciones aplicadas por el otro observador, notamos que debe existir unacoordinacion entre dichos observadores, la cual se realiza mediante el intercambio de informacionclasica. Este tipo de operaciones se denominan operaciones cuanticas locales y comunicacionesclasicas (LOCC) [16].

En general, un mapeo local puede ser cualquier transformacion local, incluyendo una medidasobre todos los posibles resultados [17]. Luego es posible descomponer una operacion cuanticalocal arbitraria en procesos mas simples [6, 16].

Transformacion local unitaria

ρA,B → ρ′A,B = (UA ⊗ IB)ρ(U †A ⊗ IB), (3.21)

donde UA es una transformacion unitaria que actua sobre el sistema del observador A. Analo-gamente para el caso del subsistema B.

Mediciones locales tipo von Neumann

El observador A mide alguna cantidad sobre su subsistema, proceso que esta simulado porla aplicacion de un proyector πk = πkA,B⊗ IB local sobre el operador densidad ρ. El resultado de

la medida se obtiene con probabilidad pk y proyecta el sistema total al estado ρkA,B = πkρA,B =

(πkA,B ⊗ IB)ρA,B. Los proyectores {πk} son mutuamente ortogonales.

Adjuntar una ancila

Esta operacion consiste en aumentar la dimension del espacio de Hilbert mediante la inclu-sion de un nuevo sistema fısico. El estado de este sistema no se encuentra correlacionado con elsistema total, sin embargo, se acopla a uno de los observadores.

ρA,B → ρA,B,C = ρA,B ⊗ ρC . (3.22)

3.5. Entrelazamiento 24

Eliminacion de la ancila

El sistema auxiliar acoplado al sistema total puede ser eliminado trazando sobre el, es decir:

ρA,B,C → ρ′A,B = TrC(ρA,B,C) (3.23)

La comunicacion clasica permite que algunas operaciones cuanticas locales dependan delresultado de otras, originando la existencia de transformaciones locales que no forman partedel conjunto de operaciones cuanticas locales, sin embargo, dichas transformaciones pueden serescritas en terminos de los cuatro procesos estudiados junto a uno nuevo.

En efecto, supongamos que los observadores A y B comparten un sistema compuesto descritoen el espacio de Hilbert HA⊗HB, estos subespacios pueden estar asociados, por ejemplo, a dospartıculas con identicas caracterısticas, una en poder de A y otra en poder de B. Ası, el estadode ambos subsistemas esta descrito por el operador densidad ρ1

A,B. Ademas supongamos que

los observadores comparten un segundo par de partıculas en el estado ρ2A,B. El observador A,

con probabilidad q1, elimina una de las partıculas en su poder, de manera que termina con elestado ρ1

A,B y comunica su intencion al observador B quien elimina la partıcula correspondiente.Posterior al proceso, los observadores finalizan con uno de los dos posibles estados,

ρ = ρ1A,B ⊗ ρ2

A,B → {q1, ρ1A,B ⊗ I2; 1− q1, I

1 ⊗ ρ2A,B}. (3.24)

Notemos que, si el observador A no comunica su eleccion de partıcula a eliminar y borra elregistro de las elecciones anteriores, el estado final sera:

ρ = ρ1A,B ⊗ ρ2

A,B → ρ′ = q1ρ1A,B ⊗ I2 + (1− q1)I1 ⊗ ρ2

A,B. (3.25)

El obtener alguno de los estados (3.24) o (3.25) depende unicamente de la informaciondisponible a los observadores. Luego tenemos un nuevo proceso fundamental,

Reduccion en la informacion disponible sobre el sistema total:

{qk, ρk} → ρ′ =∑k

qkρk, (3.26)

donde∑k

qkρk corresponde a cualquier ensamble representado por ρ′.

3.5. Entrelazamiento

Las correlaciones cuanticas son las que ponen de manifiesto “una teorıa de la informacionbasada en los principios cuanticos, amplıa y completa la teorıa clasica de la informacion, delmismo modo que los numeros complejos amplıan y completan los reales” [18].

Son una propiedad de los sistemas cuanticos compuestos de dos o mas partıculas 5. Dichascorrelaciones dan origen a un sin numero de aplicaciones, tanto en informacion cuantica comoen computacion cuantica, tales como: preparacion remota de estados [19, 20, 21], codificacion

5o una partıculas con mas de un grado de libertad.


densa [22], teleportacion de estados cuanticos [23], swapping de entrelazamiento [24], y cripto-grafıa cuantica [25].

La siguiente revision del concepto entrelazamiento esta basada en el trabajo realizado en [6].

En 1935 E. Schrodinger se refirio al entrelazamiento como “los rasgos caracterısticos de lamecanica cuantica”[26]. En efecto, cuando dos sistemas espacialmente separados con estados biendefinidos entran en una interaccion producto de fuerzas conocidas que actuan sobre ellos, luegode un tiempo finito de influencia mutua, estos sistemas se separan de manera que, ya no puedenser descritos de la misma forma inicial dotando a cada uno de ellos con su propia representacionindependiente. Esta es una las caracterıstica de la teorıa cuantica que genera un distanciamientonotable de las lineas del pensamiento clasico. Como resulta natural, la interaccion cambia lossistemas, los conecta, los entrelaza.

Paralelamente, la interpretacion de Copenhagen de la mecanica cuantica era fuertementecriticada por A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen EPR [27]. En el trabajo, ellos cuestionan sila mecanica cuantica puede ser considerada una teorıa completa de la realidad fısica, bajo supropio paradigma realista. Considerando este contexto, plantean que en una teorıa completacada elemento de realidad fısica debe tener una contraparte en la teorıa, por lo cual, la mecanicacuantica es sometida al siguiente criterio:

Sin perturbar de ningun modo un sistema se puede predecir con certeza, es decir, con pro-babilidad unitaria el valor de una cantidad fısica, entonces existe un elemento de realidad fısicaasociado a dicha cantidad.

El argumento EPR senala que en teorıa cuantica, si los correspondientes operadores de doscantidades fısicas, A y B no conmutan, entonces el conocimiento preciso de una de las cantidadesexcluye el conocimiento de la otra. Por lo tanto, se concluye que:

i) la descripcion de realidad de la mecanica cuantica entregada por la funcion de onda no escompleta,

ii) o cuando los correspondientes operadores de dos cantidades fısicas no conmutan no puedentener realidad simultaneamente.

En el mismo ano N. Bohr [28] respondio a la crıtica realizada a la interpretacion de Co-penhagen de la teorıa. El argumento de Bohr es que hay una ambiguedad en la implicancia dela expresion: “sin perturbar de ningun modo un sistema”. En mecanica cuantica es imposiblecontrolar con certeza, es decir, con probabilidad 1, la reaccion del sistema ante el instrumentode medida, lo cual es conocido como principio de incertidumbre o indeterminacion.

“En 1952 D. Bohm introduce una nueva interpretacion que pretendıa revolucionar la teorıaen terminos de variables “ocultas” [29]. Con las cuales en principio era posible determinar enforma precisa el resultado de cada proceso individual de medida. Dice que, la teorıa puede sergeneralizada al considerar que las perturbaciones en el proceso de medida podrıan ser eliminadas.

3.6. Clasificacion de estados cuanticos 26

Segun esto es concebible que el principio de incertidumbre no sea valido” [6].

1964, resulto ser el ano clave para esclarecer las interpretaciones de la mecanica cuantica,fue propuesta una prueba experimental por J. Bell [30], para determinar si los argumentos deEPR eran validos. El resultado es conocido como la “desigualdad de Bell” (ver apendice B),que es completamente general y no depende de una teorıa fısica en particular. Por medio de ladesigualdad de Bell fue posible demostrar que al considerar estados entrelazados no se satisfacela desigualdad, lo que esta en acuerdo con las predicciones de la mecanica cuantica, con elargumento de Bohr, y en contradiccion con las ideas de la denominada paradoja EPR. Es elrequisito de localidad, o particularmente, que el resultado de una medicion sobre un sistemano sea afectado por operaciones sobre sistemas distantes con los cuales ha interactuado en elpasado, el que crea la dificultad esencial. Por consiguiente, no existe una teorıa fısica sobrevariables ocultas que reproduzca todas las predicciones de la mecanica cuantica. Incluso hastala actualidad se desarrollan trabajos que ratifican el resultado entregado por J. Bell y eliminanlas posibles ambiguedades de su resultado [31].

3.6. Clasificacion de estados cuanticos

Esta seccion toma como base la descripcion de estados cuanticos realizada en [7].

Consideremos un sistema cuantico compuesto de N subsistemas fısicamente distinguiblesA,B,C..., cuyo operador densidad es ρA,B,C..., y el operador densidad del i-esimo sistema seobtiene al trazar parcialmente sobre todos los otros subsistemas.

3.6.1. Estado producto

Se dice que ρA,B,C... es un estado producto si es posible escribirlo como el producto tensorialde los respectivos operadores densidad, es decir:

ρA,B,C... = ρA ⊗ ρB ⊗ ρC ... (3.27)

Los estados producto no presentan correlaciones. Notemos que la mezcla de dos estadosproducto pertenece al conjunto de los estados separables.

3.6.2. Estados separables

Aquellos estados compuestos de dos o mas partıculas que no estan entrelazados se les conocencomo estados sepables, y se caracterizan por satisfacer la desigualdad de Bell B.8. Un estadocompuesto ρA,B,C,..., por los subsistemas A,B,C, ..., es separable [32], si se puede escribir de laforma:

ρA,B,C,... =∑i

piρiA ⊗ ρiB ⊗ ρiC ..., (3.28)

3.6. Clasificacion de estados cuanticos 27

donde ρiA, ρiB, ρ

iC , ..., corresponden a los operadores densidad de los subsistemas A,B,C, ..., res-

pectivamente y∑ipi = 1.

3.6.3. Estados entrelazados

Como contraparte a los estados separables que no presentan entrelazamiento, pero sı corre-laciones clasicas, existen los llamados estados entrelazados o enredados.

Un estado bipartito en un espacio de Hilbert d dimensional esta maximalmente entrelazadosi es posible escribirlo como:

|ψAB〉 =1√d

d−1∑i=0

|i, i〉 (3.29)

o es unitariamente equivalente a (3.29).Notemos que, un estado maximalmente entrelazado puede ser construido a partir de una

base separable, es decir, |j〉 ⊗ |k〉 con j, k = 0, ..., d − 1, que expande un espacio de Hilbert dedos qubit,

|ψjk〉 =1√d

d−1∑n=0

ei2πdjn|n〉 ⊗ |n k〉, (3.30)

donde |n〉 ⊗ |n k〉 denota la diferencia n− k modulo d.Luego, un estado cuantico se encuentra maximalmente entrelazado si es posible construir a

partir de el cualquier otro estado de la base usando operaciones locales y comunicacion clasi-ca (LOCC). Sabiendo que una operacion local es aquella que no actua sobre dos sistemas 6

simultaneamente, sin embargo, cualesquiera otros operadores pueden ser formados a traves deoperaciones unitarias actuando en el estado.

En particular, cuando la dimension es 2 son los llamados estados de Bell.

Estados de Bell

Un estado de Bell o tambien conocido como par EPR 7 [27], es un estado que representaentrelazamiento maximo entre dos sistemas. Dichos estados de Bell forman una base ortogonaldenominada base de Bell:

|φ±〉 =1√2

(|0〉|0〉 ± |1〉|1〉) , (3.31a)

|ψ±〉 =1√2

(|0〉|1〉 ± |1〉|0〉) . (3.31b)

6Para nuestros resultados esto se reduce solo a un par de qubits.7Eintein, Podolsky y Rosen.

3.7. Cuantificacion del entrelazamiento 28

3.6.4. Estado clasico

Un estado clasico tiene la particularidad de poseer solo correlaciones clasicas [33]. Se cons-truye como una mezcla de estados puros no entrelazados, localmente ortogonales y es de laforma:

ρA,B,C,... =∑~k

p~k|~k〉〈~k|, (3.32)

donde los estados |~k〉 denotan un producto tensorial de N estados |~ki〉, los cuales definen unabase ortogonal en cada subsistema 8.

La mezcla de estados clasicos conduce en general a un estado separable, no obstante, cuandodos estados son clasicos y poseen los mismos autovalores, entonces la mezcla de ellos sigue siendoclasica.

Dado que las correlaciones cuanticas generalmente no son simetricas, es posible definir es-tados semi-clasicos, los cuales son clasicos tan solo en una de sus partes.

3.7. Cuantificacion del entrelazamiento

En 1996 una buena cantidad de trabajos fueron dedicados a la busqueda de medidas cuan-titativas de entrelazamiento, en particular, para los estados mixtos de un sistema bipartito[34, 35, 36]. Tal vez la mas basica de estas medidas es el entrelazamiento de formacion, queabordaremos mas adelante, esta tiene por objeto cuantificar los recursos necesarios para crearun estado entrelazado dado [36].

Un posible criterio pudo haber sido la desigualdad de Bell, sin embargo, existen estadosparcialmente entrelazados que no satisfacen la desigualdad, por ejemplo, los estados de Werner[32]. Luego, la desigualdad de Bell no puede ser utilizada como medida de entrelazamiento.

Una buena medida de entrelazamiento para estados puros |φAB〉 es la entropıa de vonNeumann, utilizando un operador densidad reducido, es decir, con la entropıa de una parte delsistema. Ası pues, se define la entropıa del entrelazamiento como:

E (|φ〉〈φ|) = S(TrA|φ〉〈φ|) = S(TrB|φ〉〈φ|), (3.33)

donde S es la entropıa de von Neumann S(ρ) = −Tr(ρ log2 ρ) y TrA o TrB, corresponden a lasrespectivas trazas parciales sobre los subsistemas A y B.

Para estados mixtos no existe una unica cuantificacion del entrelazamiento, pero se sabeque una posible medida de el debiese satisfacer las condiciones [37]:

i) Para un sistema bipartito E(ρ) debe ser un mapeo desde operadores densidad a numerosreales positivos.

8Dicho de otra manera, los autoestados del operador densidad que describe un estado clasico son factorizadosy ademas localmente ortogonales

3.7. Cuantificacion del entrelazamiento 29

ii) Debe ser cero, si el estado es separable.

iii) La medida no debe en promedio aumentar bajo operaciones locales y comunicacion clasica(LOCC).

iv) Para estados puros la medida de entrelazamiento se debe reducir a la entropıa del entre-lazamiento (3.33). Para estados maximalmente entrelazados como el de la ecuacion (3.29)la medida se reduce a log2 d.

Sin embargo, algunos autores [37, 38] exigen otras propiedades que debe cumplir E(ρ):

v) Continuidad: El entrelazamiento debe converger a cero; en el lımite cuando la distancia dedos operadores densidad distintos tiende a cero, es decir, E(ρ)−E(σ)→ 0 para ‖ ρ− σ ‖→0.

vi) Aditividad: Un numero n de copias identicas del estado ρ debe contener n veces el entre-lazamiento de una copia, es decir, E(ρ⊗n) = nE(ρ).

vii) Subaditividad: El entrelazamiento del producto tensorial de dos estados ρ y σ no deberıaser mayor que la suma de los entrelazamientos de cada subsistema, es decir, E(ρ ⊗ σ) ≤E(ρ) + E(σ).

viii) Convexidad: La medida del entrelazamiento deberıa ser una funcion convexa, es decir,E(λρ+ (1− λ)σ) ≤ λE(ρ) + (1− λ)E(σ) para 0 < λ < 1.

Desafortunadamente, existen medidas de entrelazamiento que implican extremizaciones difıci-les de manejar analıticamente, el entrelazamiento de formacion no es la excepcion a esta regla.Sin embargo, en el caso especial de dos sistemas cuanticos binarios, como el spin de una partıculao la polarizacion de un foton - sistemas que se denominan genericamente “qubits” - una formulaexplıcita para el entrelazamiento de formacion fue probada, por ejemplo, para una clase especialde matrices densidad [39]. En definitiva, Wootters generaliza y prueba la formula para los esta-dos arbitrarios de dos qubits, la cual satisface las condiciones anteriores y generaliza la entropıadel entrelazamiento (3.33) para estados mixtos.

Ası, si consideramos un sistema bipartito ρAB, vemos que el entrelazamiento de formacionse puede expresar como el mınimo sobre todas las descomposiciones del ensamble de ρAB,

Ef (ρAB) = mın∑i

piE(ψi), (3.34)

es decir, la minimizacion es realizada sobre todos los ensambles {pi, ψi} tal que, ρAB =∑ipi|ψi〉〈ψi|.

La minimizacion de la expresion (3.34) en el caso de dos qubit fue la realizada por Wootters[40].

Luego, el entrelazamiento de formacion de un estado ρAB de dos qubit se redujo a:

Ef (C) = h

(1 +

√1− C(ρAB)2

2

), (3.35)

3.8. Informacion mutua y discordia cuantica 30

donde E(C) es monotonamente creciente y oscila entre 0 y 1, h es la entropIa binaria h(x) =−x log2 x− (1− x) log2(1− x), y C(ρAB) es la llamada concurrencia,

C(ρ) = max{0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4}, (3.36)

con λi los autovalores en orden decreciente de la matriz hermıtica R ≡√√

ρρ√ρ. De forma

alternativa, se puede decir que los λi son las raıces cuadradas de los autovalores de la matrizAntihermıtica,

ρAB = (σy ⊗ σy)ρ∗AB(σy ⊗ σy) (3.37)

Observemos que cada uno de los λi es un numero real no negativo.

3.8. Informacion mutua y discordia cuantica

La informacion mutua cuantica nace en principio, como una generalizacion de la informacionmutua clasica, introduciendo conceptos utilizados en la mecanica cuantica. En efecto, conside-remos la expresion para la informacion mutua clasica (1.12), luego para un sistema cuanticorepresentado por un operador densidad bipartito ρA,B, la entropıa funcional de Shannon (1.6)es reemplazada por la entropıa de von Neumann (3.7), siendo esta la primera extension cuanticade la informacion mutua clasica.

Tambien se puede generalizar utilizando un operador condicional basado en la medicion [41].Ahora bien, si nos limitamos a medidas proyectivas realizadas localmente solo en el sistema Bdescrito por un conjunto completo de proyectores {πk}, correspondiente a los resultados k, elestado cuantico despues de la medida cambia a:

ρk =(IA ⊗ πk)ρA,B(IA ⊗ πk)

Tr(IA ⊗ πk)ρA,B(IA ⊗ πk)), (3.38)

donde I es el operador identidad del sistema A. A partir de este operador densidad condicionalse puede definir un analogo cuantico de la entropıa condicional como:

S(ρA,B|{πk}) =∑k

PkS(ρk). (3.39)

De esta forma, se encuentra la segunda extension cuantica de la informacion mutua clasica,

J(ρA,B|{πk}) = S(ρA)− S(ρA,B|{πk}). (3.40)

Las mediciones sobre el sistema B eliminan todas las correlaciones no clasicas entre lossistemas A y B, pero el valor de J(ρA,B|{πk}) depende de la eleccion de {πk}. Para asegurarnosque capturamos todas las correlaciones clasicas, debemos maximizar J sobre todos los {πk}, estacantidad

Q(ρ) = sup{πk}J(ρA,B|{πk}) (3.41)

3.9. Protocolos de Informacion 31

es interpretada explicitamente por Henderson y Vedran [42, 43], como una medida de correla-ciones clasicas.

La discordia cuantica se define entonces como:

D(ρ) = I(ρ)−Q(ρ) (3.42)

y nos proporciona informacion sobre la naturaleza cuantica de las correlaciones entre los dossistemas, siendo cero solo para los estados con correlaciones clasicas y distinta de cero paraestados con correlaciones cuanticas. Aunque la discordia cuantica es igual al entrelazamiento deformacion para estados puros, no es cierto para estados mixtos, ya que algunos de ellos presentanfinita discordia cuantica incluso cuando el entrelazamiento es cero [41].

3.9. Protocolos de Informacion

En informacion cuantica existen conjuntos de procedimientos destinados a estandarizar elcomportamiento de nuestros objetos de estudio (qubits o qudits). Dichos procedimientos, danorigen a los llamados protocolos de informacion cuantica, algunos de los cuales seran tratadosen las siguientes subsecciones.

3.9.1. Teleportacion

La teleportacion de estados cuanticos fue propuesta en el ano 1993 [23], mientras que suimplementacion experimental fue realizada por primera vez en Austria por Bouwmeester et al.[44] y en Italia por Boschi et al. [45] utilizando una fuente de fotones entrelazados.

En la presente subseccion explicare brevemente el protocolo para teleportar el estado purode un qubit como lo muestra el esquema (3.1).

Supongamos que un sistema A tiene una partıcula (que rotularemos con a), cuyo estadocuantico,

|ψa〉 = α|0a〉+ β|1a〉, (3.43)

es desconocido para el sistema A. Lo que A quiere es enviarle informacion a otro sistema B, demodo que, el tenga una copia del estado |ψ〉 sin que A envıe directamente su partıcula. Para estose utilizan dos partıculas adicionales, rotuladas con b y c respectivamente, las que se encuentranpreparadas en el estado singlete de Bell (6.4a) (conocido tambien como un par EPR) 9, dadopor:

|φ+bc〉 =

1√2

(|0b〉|0c〉+ |1b〉|1c〉), (3.44)

9 El (los) grado(s) de libertad con el que codifica el estado de Bell podrıa ser distinto al que se utilizo paracodificar |ψ〉.


a b

a

a

b

b

c

c

c

Par EPR

Medición sobre la base

de Bell

A le comunica el

resultado de su

medida

Canal clásico

A B

Figura 3.1: Esquema para teleportar un quibit mediante un par EPR y comunicacion clasica.

donde A posee la partıcula a y b, mientras que el sistema B posee la partıcula c. El estado delsistema tripartito es hasta ahora |ψa〉|φ+

b,c〉:

|ψa〉|φ+b,c〉 =

1√2

(α|0a〉|0b〉|0c〉+ α|0a〉|1b〉|1c〉+ β|1a〉|0b〉|0c〉+ β|1a〉|1b〉|1c〉). (3.45)

Podemos reescribir el estado del sistema completo realizando un cambio de base en lossistemas 0 y 1, para lo cual utilizaremos la base de Bell.

Ası,

|ψa〉|φ+b,c〉 =

1

2(|φ+

a,b〉(α|0c〉+ β|1c〉) + |φ−a,b〉(α|0c〉 − β|1c〉)

+ |ψ+a,b〉(α|1c〉+ β|0c〉) + |ψ−a,b〉(α|1c〉 − β|0c〉).

(3.46)

Usando los operadores de pauli (2.33), tenemos:

|ψa〉|φ+bc〉 =

1

2(|φ+

ab〉(|ψc〉) + |φ−ab〉(σcz|ψc〉) + |ψ+

ab〉(σcx|ψc〉) + |ψ−ab〉(σ

cxσ

cz|ψc〉). (3.47)

Para acoplar la partıcula a con una de las partıculas del par entrelazado, el sistema A rea-liza mediciones sobre sus partıculas en la base de Bell (notese que la medicion es hecha sobrela partıcula que inicialmente no estaba entrelazada y sobre una sola de las partıculas del par


EPR). Como efecto de su medicion, A proyecta el estado de las partıculas a y b sobre uno delos cuatro estados de Bell, y debido al entrelazamiento proyecta el estado de la partıcula de Ba un cierto estado. Como A conoce el resultado de su medicion tambien conoce que operacionunitaria debe realizar B sobre su partıcula con el fin de obtener el estado |ψ〉. Para ello, A debeenviar 2 bits de informacion clasica a B comunicandole la operacion unitaria que es necesariarealizar.

La medicion de estados de Bell es crucial para poder acoplar la partıcula a a la partıcula delpar EPR, con quienes no se encontraba entrelazada al principio, y ası traspasar la informaciondel estado |ψ〉 desde la partıcula a hacia la partıcula c.

Hemos de notar que este proceso no depende de la forma explıcita del estado |ψ〉. Es mas, Ano tenıa conocimiento alguno acerca de los coeficientes de dicho estado. Este proceso constituyeuna evidencia de los efectos del entrelazamiento, pues la partıcula c cuyo estado fue preparadofinalmente en |ψ〉, nunca fue directamente alterada por A, sino que solo mantuvo su correlacioninicial con la otra partıcula del par EPR.

Este protocolo se puede extender a dimensiones mayores incluyendo el dominio de las va-riables continuas [46].

3.9.2. Preparacion remota de estados

El protocolo de preparacion remota de estados cuanticos [19, 20, 21], tiene un objeto analogoal de la teleportacion. Lo que se desea es enviar la informacion contenida en un estado cuanticodesde un sistema A a otro sistema B, sin enviar directamente el sistema. Comunmente esteprotocolo es realizado con fotones [47, 48].

Al igual que en teleportacion ambos sistemas comparten un par de partıculas entrelazadas(par EPR). El estado de la partıcula del sistema B queda remotamente preparado despues deque el sistema A le comunique mediante un canal clasico el resultado de la medicion realizadapor el, como lo muestra la Fig. (3.2).

Sin embargo, a diferencia del protocolo anterior, el sistema A conoce el estado y por endela informacion que desea enviar. Razon por la cual, este protocolo necesita menos informacionclasica, o sea, bits empleados en la comunicacion clasica que la teleportacion. El protocolo hasido optimizado para reducir el costo de informacion clasica.

En efecto, los sistemas A y B comparten un par de partıculas entrelazadas, para este casoutilizaremos el estado |φ−a,b〉 (6.4a). El sistema A tiene una de las partıculas y la otra la posee elsistema B, como se muestra en la Fig (3.2).

|φb〉 = α|0b〉+ β|1b〉 (3.48)

con |α|2 + |β|2 = 1. Nos limitaremos a describir un solo metodo por el cual A puede realizar suobjetivo a traves de, mediciones proyectivas.

Lo primero es reescribir el estado de Bell (6.4a) en termino de los estados |φ〉 y

a

a

a b

b

b

Par EPR

A le comunica el

resultado de su

medida

Canal clásico

A B

Figura 3.2: Esquema del proceso de preparacion remota de estados cuanticos.

|φ⊥〉 = β∗|0〉+ α∗|1〉, (3.49)

donde vemos que 〈φ|φ⊥〉 = 0, de modo tal que (6.4a) toma la forma:

|φ−〉 =1√2

(|φa〉|φ⊥b 〉 − |φ⊥a 〉|φb〉). (3.50)

En el siguiente paso, A realiza una medicion sobre la base {|φa〉, |φ⊥a 〉}. Una vez conocido elresultado se lo comunica a B. Si el resultado de la medicion entrega el estado |φ⊥a 〉, el estado dela partıcula de B es |φb〉, obteniendo lo que A deseaba preparar. Por otro lado, si el resultado dela medicion de A es el estado |φa〉, entonces, la partıcula de B se encuentra en el estado |φ⊥b 〉.B podrıa aplicar una operacion unitaria para obtener el estado |φb〉, pero como el no conoce elestado que le estan enviando, se le es imposible conocer la operacion unitaria que debe realizarpara pasar de |φ⊥b 〉 a |φb〉, haciendo que el proceso completo tenga una probabilidad de 1/2. Sinembargo, este metodo puede tener una eficiencia del 100 % si B conoce a que cırculo maximode la esfera de Bloch esta restringido el estado |φ〉. Por ejemplo, si B sabe de antemano queA le enviarıa un estado de la forma |φb〉 = 1√

2(|0b〉 + eiϕ|1b〉), pertenecientes al ecuador de la

esfera de Bloch, entonces, B sabrıa que debe aplicar la operacion σz sobre su partıcula paraobtener |φb〉 en caso que su partıcula haya quedado en el estado |φ⊥b 〉 como consecuencia de lamedicion proyectiva efectuada por A. La informacion que posee B permite que el proceso seadeterminista, y ademas se necesita que A envıe tan solo un bit de informacion clasica.

Parte II

Redistribucion de correlacionescuanticas

36

Capıtulo 4

Intercambio de entrelazamiento

El intercambio de entrelazamiento [24], es una poderosa herramienta que se investiga ac-tualmente, su primera generalizacion fue propuesta por S. Bose, V. Vedral, y P. L. Knight [49],quienes la extiendien a sistemas multipartitos.

La interpretacion del intercambio de entrelazamiento es discutible, ya que si se consideraesta correlacion como una propiedad bipartita, solo podrıa distribuirse entre las partes, o bien, silo consideramos como la capacidad que tiene un sistema de perturbar a otro, nunca podrıa inter-cambiarse, sino redistribuirse. El abuso del lenguaje resulta crucial para la correcta compresionde lo que ocurre en el proceso. En primer lugar, el protocolo senala condiciones iniciales que nosindican un mapeo de la distribucion original del entrelazamiento, la forma en que se opere sobreel sistema o subsistemas entregara la informacion de la redistribucion de la correlacion final. Sedeja abierta esta discusion al lector y se sugiere sea analizado desde los diferentes paradigmas,es decir, considerar sistemas cerrados de multiples partes, o bien, subsistemas abiertos que in-teractuen con otros.

Son numerosas las realizaciones experimentales reportadas en la literatura que representanalguna aplicacion del proceso de intercambio de entrelazamiento [24, 50, 51]; recientemente se hademostrado que el entrelazamiento puede ser redistribuido entre sistemas cuanticos separadosen el tiempo [52].

Se abordan los principales aspectos del protocolo de entanglement-swapping para estadospuros, dejando para los siguientes capıtulos la generalizacion a estados mixtos, en particular,estados tipo-X.

Para la comprension de este protocolo consideraremos dos pares de qubits rotulados A,B,C1 y C2, preparados en estados correlacionados, ver figura (4.1). Luego de la preparacion delas parejas se realiza una medida proyectiva sobre el subsistema formado por los qubits C1 yC2, utilizando la base de Bell 1, ver figura (4.2). El proceso de medida deja los qubits C1 yC2 en un estado de Bell, la pregunta clave es, ¿Como quedan correlacionados los qubits A y Bcomo resultado de la interaccion a traves de sus correlaciones iniciales con los qubits C1 y C2respectivamente?.

1Es posible generalizar el proceso de medida, pero es un estudio para trabajos posteriores.

37

CAPITULO 4. INTERCAMBIO DE ENTRELAZAMIENTO 38

C1

A

C2

B

Figura 4.1: Condiciones iniciales para el esquema de entanglement-swapping.

C1

A

C2

B

Figura 4.2: Medida proyectiva sobre el subsistema formado por los qubit C1 y C2.

C1

A

C2

B

Figura 4.3: ¿Como quedan correlacionados los qubits A y B?

En estas secciones veremos explicitamente como este protocolo permite redistribuir corre-laciones cuanticas, en particular, entrelazamiento mediante un proceso de medida proyectivo yuna interaccion a traves de la correlacion cuantica para diferentes condiciones iniciales.

4.1. Estados maximalmente entreazados 39

4.1. Estados maximalmente entreazados

Los dos pares de qubit A,C1 y B,C2 de la figura (4.1) estan preparados en los estados deBell, |φ+

A,C1〉 y |φ+B,C2〉. El protocolo se puede entender a partir de:

|φ+A,C1〉|φ

+B,C2〉 =

(|0A〉 |0C1〉+ |1A〉 |1C1〉√

2

)⊗(|0B〉 |0C2〉+ |1B〉 |1C2〉√

2

)(4.1)

=1

2(|0A〉 |0C1〉 |0B〉 |0C2〉+ |0A〉 |0C1〉 |1B〉 |1C2〉

+ |1A〉 |1C1〉 |0B〉 |0C2〉+ |1A〉 |1C1〉 |1B〉 |1C2〉) (4.2)

=1

2(|0A〉 |0B〉 |0C1〉 |0C2〉+ |0A〉 |1B〉 |0C1〉 |1C2〉

+ |1A〉 |0B〉 |1C1〉 |0C2〉+ |1A〉 |1B〉 |1C1〉 |1C2〉). (4.3)

Usando,

|0〉|0〉 =|φ+〉+ |φ−〉√

2, (4.4)

|1〉|1〉 =|φ+〉 − |φ−〉√

2, (4.5)

|0〉|1〉 =|ψ+〉+ |ψ−〉√

2, (4.6)

|1〉|0〉 =|ψ+〉 − |ψ−〉√

2. (4.7)

Reordenando y agrupando obtenemos que:

|φ+A,C1〉|φ

+B,C2〉 =

1

2

(|φ+A,B〉|φ

+C1,C2〉+ |φ−A,B〉|φ

−C1,C2〉

+ |ψ+A,B〉|ψ

+C1,C2〉+|ψ

−A,B〉|ψ

−C1,C2〉

), (4.8)

donde |φ±U,V 〉 y |ψ±U,V 〉 son los estados de Bell (6.4) y {|0〉, |1〉} son los autoestados del operadorde Pauli σz. Cuando nosotros realizamos el proceso de medida, proyectando los qubits C1 y C2sobre uno de los estados de Bell (4.2), el par de qubits A,B tambien es proyectado sobre unode los estados de Bell.

El siguiente cuadro muestra los posibles estados que se inducen sobre el subsistema A,Bcon su probabilidad asociada.

Estado de medida Estado del subsistema A,B Probabilidad

|φ+C1,C2〉 |φ+

A,B〉14

|φ−C1,C2〉 |φ−A,B〉14

|ψ+C1,C2〉 |ψ+

A,B〉14

|ψ−C1,C2〉 |ψ−A,B〉14

4.2. Estados parcialmente entrelazados 40

Por lo tanto, mediante la proyeccion sobre la base de Bell de los qubits C1, C2 el entrelaza-miento contenido en los dos pares A,C1 y B,C2 se redistribuye al par A,B, a pesar de que nohay interaccion directa entre ellos. Lo que ocurre es que interactuan a traves de su correlacioninicial.

4.2. Estados parcialmente entrelazados

Una primera generalizacion de lo presentado en la seccion anterior es considerar los dos paresde qubits A,C1 y B,C2 inicialmente en estados puros parcialmente entrelazados de manera que,

|φ+A,C1〉|φ

+BC2〉 = (a|0A〉|0C1〉+ b|1A〉|1C1〉) (a|0B〉|0C2〉+ b|1B〉|1C2〉) (4.9)

= a2|0A〉|0C1〉|0B〉|0C2〉+ ab|0A〉|0C1〉|1B〉|1C2〉+ab|1A〉|1C1〉|0B〉|0C2〉+ b2|1A〉|1C1〉|1B〉|1C2〉 (4.10)

= a2|0A〉|0B〉|0C1〉|0C2〉+ ab|0A〉|1B〉|0C1〉|1C2〉+ab|1A〉|0B〉|1C1〉|0C2〉+ b2|1A〉|1B〉|1C1〉|1C2〉. (4.11)

Usando (4.4) la ecuacion (4.8) toma la forma:

|φ+A,C1〉|φ

+B,C2〉 =

√pφ

(|φ+A,B〉|φ

+C1,C2〉+ |φ−A,B〉|φ

−C1,C2〉

)+ab

(|ψ+A,B〉|ψ

+C1,C2〉+ |ψ−A,B〉|ψ

−C1,C2〉

), (4.12)

donde,

|φ+U,V 〉 = a|0U 〉|0V 〉+ b|1U 〉|1V 〉,

|φ±A,B〉 =a2|0A〉|0B〉 ± b2|1A〉|1B〉√

|a|4 + |b|4,

pφ =|a|4 + |b|4

2,

con |a|2+|b|2 = 1. Notemos que, proyectando los qubits C1 y C2 sobre uno de los estados |ψ±C1,C2〉el par A,B es proyectado sobre uno de los estados |ψ±A,B〉 con probabilidad pψ = |a|2|b|2, por

otra parte, cuando el par C1 y C2 es proyectado sobre uno de los |φ±C1,C2〉 el subsistema A,B

tambien es proyectado sobre uno de los estados parcialmente entrelazados |φ±A,B〉 con probabili-dad pφ ≥ pψ.

Ası, cuando el entrelazamiento inicial E(|φ+U,V 〉) es no maximal hay dos posibles estados

de salida maximalmente entrelazados, sin embargo, los otros dos estados resultantes tienen unamenor cantidad de entrelazamiento E(|φ±A,B〉) el cual es mas pequeno que el inicial; mas aun, el


entrelazamiento de salida promedio E es mas pequeno que el inicial E(|φ+U,V 〉).

Se ilustra de mejor manera la redistribucion del entrelazamiento en la Fig. (4.4) como funcionde |a|.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|a|

Entr

elaza

mie

nto

de

form

aci

ón

Figura 4.4: El entrelazamiento de formacion en funcion de |a|; para los estados iniciales |φ+U,V 〉

(lınea azul), de los resultados |φ±A,B〉 (lınea verde) y |ψ±A,B〉 (lınea negra). La lınea roja corres-

ponde al promedio de entrelazamiento E de los posibles resultados de los cuatro estados |φ±A,B〉y |ψ±A,B〉.

Los cuatro estados de salida estan maximalmente entrelazados solo cuando |a| = 1/√

2, quecorresponde a la identidad (4.8) de la seccion anterior.

Vale la pena destacar los siguientes tres aspectos:

i) El entrelazamiento de salida es maximal con probabilidad 2|a|2|b|2, y es cero solamente enlos valores extremos |a| = 0, 1, que es justamente donde no hay entrelazamiento inicial.

ii) La probabilidad de incrementar el entrelazamiento es siempre mas pequena que la dedisminuirlo, ya que 2|a|2|b|2 ≤ |a|4 + |b|4.

iii)) Para tener entrelazamiento en los estados de salida necesitamos tener entrelazamientoinicial diferente de cero.

Finalmente, es importante notar que la redistribucion de entrelazamiento es asimetrica en


los cuatro estados de salidas, lo cual se evidencia en la identidad (4.12), favoreciendo a los estadosde Bell parcialmente entrelazados |φ±A,B〉.

Capıtulo 5

Estados-X

Los estados tipo-X son en la actualidad de gran interes, no solo porque existe una expresionanalıtica para calcular su entrelazamiento, sino tambien, porque son en principio una generaliza-cion de estados maximalmente entrelazados. Motivaciones para su estudio se derivan del hechoque en general se encuentran en diferentes areas, por ejemplo, mecanismos de decoherencia quepueden tomar qubits en un estado-X [53, 54, 55], dos atomos de dos niveles en el modelo deTavis-Cummings pueden alcanzar una dinamica de estado-X [56], los estados de mınima y maxi-ma discordia cuantica para un valor de entrelazamiento fijo son estados-X [57], en el campo dela materia condensada del estado fundamental de dos sitios de simetrıa-Z2 de una red tambienesta representado por un estado-X [58, 59, 60, 61].

En los siguientes parrafos, se tratan algunos de los aspectos mas relevantes de los estados-X,representando dos qubit a y b.

En la base logica {|0a〉|0b〉, |0a〉|1b〉, |1a〉|0b〉, |1a〉|1b〉} 1 el estado de dos qubits es dado por:

ρa,b ≡

ρ11 0 0 ρ14

0 ρ22 ρ23 00 ρ32 ρ33 0ρ41 0 0 ρ44

. (5.1)

Los elementos de la matriz 5.1 deben satisfacer la condicion de4∑j=1

ρjj = 1 y la de positividad,

|ρ14| ≤√ρ11ρ44 y |ρ23| ≤

√ρ22ρ33. (5.2)

En adelante consideraremos los elementos diagonales fijos, es decir, la distribucion de pro-babilidades permanece invariante, de manera que el analisis lo realizaremos en funcion de loselementos fuera de la diagonal principal. Estos muestran el grado de coherencia dentro de dossubespacios ortogonales, por ejemplo, H00,11 expandido en la base {|0a〉|0b〉, |1a〉|1b〉}, y H01,10

expandido por {|0a〉|1b〉, |1a〉|b〉}. En efecto, cuando ρ14 = 0 existe decoherencia absoluta en elsubespacio H00,11, mientras que para |ρ14| =

√ρ11ρ44, ρA,B es un estado puro en H00,11. El

1o tambien conocida como base computacional.

43


elemento ρ23 tiene un significado similar en el subespacio H01,10. En consecuencia, los estados-X(5.1), que dependen de los modulos |ρ14| y |ρ23|, van desde una superposicion incoherente delos cuatro estados logicos factorizados a una superposicion de dos estados puros parcialmenteentrelazados.

El grado total de coherencia se puede evaluar por la entropıa de von Neumann,

S(ρa,b) = −λ+14 log2 λ

+14 − λ

−14 log2 λ

−14 − λ

+23 log2 λ

+23

−λ−23 log2 λ−23, (5.3)

donde λ±ij son los autovalores de ρa,b,

λ±14 =1

2

(ρ11+ρ44 ±

√(ρ11 − ρ44)2 + 4|ρ14|2

), (5.4a)

λ±23 =1

2

(ρ22+ρ33 ±

√(ρ22 − ρ33)2 + 4|ρ23|2

). (5.4b)

No obstante, si |ρ14| = 0 entonces la entropıa es mınima para |ρ23| = 1, maxima para|ρ23| = 0 y viceversa.

Por otra parte, los estados reducidos de los sistemas A y B son:

ρa = (ρ11 + ρ22)|0a〉〈0a|+ (ρ33 + ρ44)|1a〉〈1a|, (5.5a)

ρb = (ρ11 + ρ33)|0a〉〈0a|+ (ρ22 + ρ44)|1a〉〈1a|. (5.5b)

Ası, el grado de decoherencia de los estados reducidos es determinado solo por la distribu-cion de probabilidades ρii.

Hay dos caracteristicas importantes de los estados-X que son necesarias para el desarrollode las siguientes secciones:

i) La forma X en si misma es consecuencia de poblar los dos subespacios H00,11 y H01,10 sintener terminos fuera de la diagonal entre elementos de los subespacios.

ii) El entrelazamiento entre los dos sistemas involucrados.

5.1. Entrelazamiento

Como los estados-X son una representacion de sistemas bipartitos, resulta de gran interes,conocer, cualificar y cuantificar las correlaciones que pueden contener, ya sea, mediante sus en-tropıas o bien, mediante la distribucion de los elementos en la matriz tipo-X.

La correlacion que toma gran importancia para el desarrollo de esta tesis es el entrelaza-miento, que puede ser calculado por la concurrencia (3.7), que en particular para los estados(5.1) viene dada por [53]:


Cin = 2 max{0, |ρ14| −√ρ22ρ33, |ρ23| −

√ρ11ρ44}. (5.6)

Ası, el entrelazamiento es diferente de cero cuando una de las siguientes inecuaciones sesatisface,

|ρ14| >√ρ22ρ33, |ρ23| >

√ρ11ρ44, (5.7)

de otra forma el entrelazamiento del sistema es cero.

Como complemento de las desigualdades (5.7) con la de positividad (5.2) se presentan lasdesigualdades que nos dicen bajo que condiciones hay entrelazamiento,

|ρ23| ≤√ρ22ρ33 < |ρ14| ≤

√ρ11ρ44, (5.8a)

|ρ14| ≤√ρ11ρ44 < |ρ23| ≤

√ρ22ρ33, (5.8b)

claramente solo una o ninguna de ellas se satisface.

De las inecuaciones (5.8) extraemos que:

i) Para Cin 6= 0 es necesario que ρ11ρ44 6= ρ22ρ33.

ii) Para Cin 6= 0 es necesario y suficiente tener un cierto grado de coherencia diferente decero dentro de uno de los subespacios H00,11 o H01,10, es decir, |ρij | >

√ρnnρmm, con

i 6= j 6= n 6= m.

iii) El grado de coherencia en los otros subespacios, |ρnm|, no contribuyen a la Cin; mas aun,|ρnm| puede ser cero y, aun ası, no afectara la cantidad de entrelazamiento de los estados-X.

iv) El entrelazamiento desaparece justo cuando el max{|ρ14|, |ρ23|} = mın{√ρ11ρ44,√ρ22ρ33}.

Destaquemos que, para los elementos diagonales fijos la cantidad maxima de entrelazamiento sealcanza cuando se satisface la condicion i), y tiene total coherencia en un subespacio H00,11 oH01,10 de acuerdo con la condicion ii).

Las desigualdades (5.8) definen, en el espacio de Hilbert compuesto, los bordes entre estados-X entrelazados y estados-X separables.

Capıtulo 6

Intercambio de estados-X

El intercambio exacto de estados-X se define como “el intercambio entre dos estados cuanti-cos bien definidos en el espacio de Hilbert de un sistema cuantico global”, es decir, es el inter-cambio de la propiedad X entre dos subsistemas, por ejemplo el abordado en [62].

En este capıtulo estudiaremos como se intercambia esta propiedad para ciertas condicionesiniciales de nuestros subsistemas A,C1 y B,C2.

Recordemos el esquema basico de entanglement-swapping, en el se consideran dos pares dequbits A,C1 y B,C2. Los qubits C1 y C2 se encuentran en el mismo laboratorio, de maneraque es posible aplicar operaciones locales sobre ellos. Ademas, los qubits A y B estan separadosespacialmente el uno del otro y de los qubits C1 y C2 respectivamente, de manera que, no esposible realizar operaciones conjuntas sobre A y B.

Se asume que en algun instante t fijo del pasado, los pares de qubits A,C1 y B,C2, fueronpreparados en los estados-X, ρA,C1 y ρB,C2 que llamaremos estados de entrada.

En la base logica, {|0A〉|0C1〉, |0A〉|1C1〉, |1A〉|0C1〉, |1A〉|1C1〉} y {|0B〉|0C2〉, |0B〉|1C2〉, |1B〉|0C2〉, |1B〉|1C2〉}los estados de entrada son representados por las matrices:

ρA,C1≡

ρ11 0 0 ρ140 ρ22 ρ23 00 ρ32 ρ33 0ρ41 0 0 ρ44

, ρB,C2≡

ρ′11 0 0 ρ′140 ρ′22 ρ′23 00 ρ′32 ρ′33 0ρ′41 0 0 ρ′44

(6.1)

o equivalentemente,

ρA,C1 = ρ11|0A〉|0C1〉〈0A|〈0C1|+ ρ14|0A〉|0C1〉〈1A|〈1C1|+ρ22|0A〉|1C1〉〈0A|〈1C1|+ ρ23|0A〉|1C1〉〈1A|〈0C1|+ρ32|1A〉|0C1〉〈0A|〈1C1|+ ρ33|1A〉|0C1〉〈1A|〈0C1|+ρ41|1A〉|1C1〉〈0A|〈0C1|+ ρ44|1A〉|1C1〉〈1A|〈1C1| (6.2)

46

CAPITULO 6. INTERCAMBIO DE ESTADOS-X 47

ρB,C2 = ρ′11|0B〉|0C2〉〈0B|〈0C2|+ ρ′14|0B〉|0C2〉〈1B|〈1C2|+ρ′22|0B〉|1C2〉〈0B|〈1C2|+ ρ′23|0B〉|1C2〉〈1B|〈0C2|+ρ′32|1B〉|0C2〉〈0B|〈1C2|+ ρ′33|1B〉|0C2〉〈1B|〈0C2|+ρ′41|1B〉|1C2〉〈0B|〈0C2|+ ρ′44|1B〉|1C2〉〈1B|〈1C2|. (6.3)

La diferencia con el esquema basico del protocolo radica en las condiciones iniciales, las queveremos inciden directamente sobre los estados de salida, y por consiguiente, en las correlacionescuanticas resultantes.

Continuando con el proceso, realicemos una medida proyectiva en los qubits C1 y C2.Especificamente, apliquemos una medida tipo von Neumann sobre los estados factorizadosρA,C1 ⊗ ρB,C2, proyectando ası, el par C1, C2 sobre uno de los cuatro estados de Bell,

|φ±C1,C2〉 =1√2

(|0C1〉|0C2〉 ± |1C1〉|1C2〉) , (6.4a)

|ψ±C1,C2〉 =1√2

(|0C1〉|1C2〉 ± |1C1〉|0C2〉) . (6.4b)

En consecuencia, el par A,B experimenta una proyeccion sobre uno de los estados ρφ±

AB, ρψ±

AB, quellamaremos estados de salida. En efecto, si consideramos la base logica {|0A〉|0B〉, |0A〉|1B〉, |1A〉|0B〉, |1A〉|1B〉},se tiene para los estados (6.4a),

〈φ±C1,C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|φ±C1,C2〉 =1

2(〈0C1|〈0C2| ± 〈1C1|〈1C2|) ρA,C1 ⊗ ρB,C2 (|0C1〉|0C2〉 ± |1C1〉|1C2〉)

=1

2(〈0C1|〈0C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|0C1〉|0C2〉

±〈0C1|〈0C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|1C1〉|1C2〉±〈1C1|〈1C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|0C1〉|0C2〉+〈1C1|〈1C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|1C1〉|1C2〉) (6.5)

〈φ±C1,C2|ρA,C1⊗ρB,C2|φ±C1,C2〉 =1

2

(ρ11|0A〉〈0A|+ ρ33|1A〉〈1A|)⊗ (ρ′11|0B〉〈0B|+ ρ′33|1B〉〈1B|)± (ρ14|0A〉〈1A| ± ρ32|1A〉〈0A|)⊗ (ρ′14|0B〉〈1B|+ ρ′32|1B〉〈0B|)± (ρ23|0A〉〈1A|+ ρ41|1A〉〈0A|)⊗ (ρ′23|0B〉〈1B|+ ρ′41|1B〉〈0B|)+ (ρ22|0A〉〈0A|+ ρ44|1A〉〈1A|)⊗ (ρ′22|0B〉〈0B|+ ρ′44|1B〉〈1B|)

,en forma matricial,


ρφ±

A,B =1

2

ρ11ρ

′11 + ρ22ρ

′22 ± (ρ14ρ

′14 + ρ23ρ

′23)

ρ11ρ′33 + ρ22ρ

′44 ± (ρ14ρ

′32 + ρ23ρ

′41)

± (ρ41ρ′23 + ρ32ρ

′14) ρ33ρ

′11 + ρ44ρ

′22

± (ρ32ρ′32 + ρ41ρ

′41) ρ33ρ

′33 + ρ44ρ

′44

(6.6)

Analogamente, para los estados (6.4b), se tiene:

〈ψ±C1,C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|ψ±C1,C2〉 =1

2(〈0C1|〈1C2| ± 〈1C1|〈0C2|) ρA,C1 ⊗ ρB,C2 (|0C1〉|1C2〉 ± |1C1〉|0C2〉)

= 〈0C1|〈1C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|0C1〉|1C2〉±〈0C1|〈1C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|1C1〉|0C2〉±〈1C1|〈0C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|0C1〉|1C2〉+〈1C1|〈0C2|ρA,C1 ⊗ ρB,C2|1C1〉|0C2〉 (6.7)

〈ψ±C1,C2|ρA,C1⊗ρB,C2|ψ±C1,C2〉 =1

2

(ρ11|0A〉〈0A|+ ρ33|1C1〉〈1A|)⊗ (ρ′22|0B〉〈0B|+ ρ′44|1B〉〈1B|)± (ρ14|0A〉〈1A|+ ρ32|1A〉〈0A|)⊗ (ρ′23|0B〉〈1B|+ ρ′41|1B〉〈0B|)± (ρ23|0A〉〈1A|+ ρ41|1A〉〈0A|)⊗ (ρ′14|0B〉〈1B|+ ρ′32|1B〉〈0B|)+ (ρ22|0A〉〈0A|+ ρ44|1A〉〈1A|)⊗ (ρ′11|0B〉〈0B|+ ρ′33|1B〉〈1B|)

,(6.8)

que en su forma matricial,

ρψ±

A,B =1

2

ρ11ρ

′22 + ρ22ρ

′11 ± (ρ14ρ

′23 + ρ23ρ

′14)

ρ11ρ′44 + ρ22ρ

′33 ± (ρ14ρ

′41 + ρ23ρ

′32)

± (ρ41ρ′14 + ρ32ρ

′23) ρ33ρ

′22 + ρ44ρ

′11

± (ρ41ρ′32 + ρ32ρ

′41) ρ33ρ

′44 + ρ44ρ

′33

(6.9)

Normalizando las matrices (6.6) y (6.9), los estados de salida son finalmente representadospor:

ρφ±

AB ≡1

Nφ

ρ11ρ

′11 + ρ22ρ

′22 0 0 ± (ρ14ρ

′14 + ρ23ρ

′23)

0 ρ11ρ′33 + ρ22ρ

′44 ± (ρ14ρ

′32 + ρ23ρ

′41) 0

0 ± (ρ41ρ′23 + ρ32ρ

′14) ρ33ρ

′11 + ρ44ρ

′22 0

± (ρ41ρ′41 + ρ32ρ

′32) 0 0 ρ33ρ

′33 + ρ44ρ

′44

,

(6.10a)

ρψ±

AB ≡1

Nψ

ρ11ρ

′22 + ρ22ρ

′11 0 0 ± (ρ14ρ

′23 + ρ23ρ

′14)

0 ρ11ρ′44 + ρ22ρ

′33 ± (ρ14ρ

′41 + ρ23ρ

′32) 0

0 ± (ρ41ρ′14 + ρ32ρ

′23) ρ33ρ

′22 + ρ44ρ

′11 0

± (ρ41ρ′32 + ρ32ρ

′41) 0 0 ρ33ρ

′44 + ρ44ρ

′33

,

(6.10b)


donde hemos definido las constantes de normalizacion,

Nφ = (ρ11 + ρ33)(ρ′11 + ρ′33

)+ (ρ22 + ρ44)

(ρ′22 + ρ′44

),

Nψ = (ρ11 + ρ33)(ρ′22 + ρ′44

)+ (ρ22 + ρ44)

(ρ′11 + ρ′33

).

Las probabilidades de obtener cada uno de los cuatro posibles resultados (6.10) son Pφ± =Nφ/2 y Pψ± = Nψ/2 respectivamente. Adicionalmente, vemos que las cuatro posibles salidas,

ρφ±

AB y ρψ±

AB, son tambien estados-X, lo cual significa que la caracterıstica X de los estados paresde entrada A,C1 y B,C2 se intercambia con el estado de la pareja A,B.

Los elementos diagonales de las salidas (6.10) solo dependen de los elementos diagonales delos estados de entrada, y los elementos no diagonales de (6.10) solo dependen de los elementos nodiagonales de las entradas. Ası, ambos terminos ρ14 y ρ23 afectan y contribuyen a la coherenciaen ambos subespacios H00,11 y H01,10 del par A,B.

Los dos estados ρφ+

AB y ρφ−

AB son equivalentes por medio de los operadores unitarios localesIA ⊗ (|0B〉〈0B| − |1B〉〈1B|) o (|0A〉〈0A| − |1A〉〈1A|)⊗ IB, lo cual significa que la cantidad de co-

rrelacion cuantica permanece invariante. Analogamente, los estados ρψ+

AB y ρψ−

AB son equivalentes

bajo las mismas operaciones unitarias locales. Sin embargo, los dos estados ρφ±

AB, en general,

no son local y unitariamente equivalentes a los estados ρψ±

AB, por lo tanto, en este proceso el

entrelazamiento se redistribuye probabilisticamente con concurrencia CφAB en las dos salidas ρφ±

AB

y con CψAB en ambos estados ρψ±

AB, los cuales, son diferentes. Esta redistribucion asimetrica esreminiscencia del caso expuesto en el capıtulo 4 para estados puros.

De las ecuaciones (6.10), nos damos cuenta que los elementos de la matriz ρA,C1 son tranfe-ridos a los estados de salida del par A,B cuando el estado ρB,C2 = |φ+

B,C2〉〈φ+B,C2|. En este caso

particular, los estados ρφ±

AB son local y unitariamente equivalentes con los estados ρψ±

AB respecti-vamente, por medio de la transformacion unitaria local IA⊗σBx o σAx ⊗ IB. Significa que, en esteproceso todas las caracterısticas del estado-X ρA,C1 son transferidas al estado de los dos qubitsremotos A y B.

Con el fin de simplificar el analisis y para arrojar algo de luz sobre los aspectos principalesy el ambito de aplicacion de este regimen, en los siguientes capıtulos nos limitaremos al caso enque los elementos de las matrices (6.1) son iguales, es decir, ρ′nm = ρnm.

Capıtulo 7

Redistribucion de entrelazamientopara estados-X

El protocolo de intercambio de entrelazamiento es en la actualidad uno de los mas discutidosy que posiblemente entregue la mayor cantidad de aplicaciones. Ha sido abordado por diferenteslıneas de investigacion, por ejemplo, para estados gaussianos [63], implementaciones experimen-tales [64], generalizaciones para qubits en un oscilador armonico unidimensional [65] y trabajosmas actuales como [66].

Para nosotros, existe una sutileza entre intercambiar, distribuir y redistribuir correlaciones opropiedades. En efecto, si inicialmente se tiene una distribucion de entrelazamiento, siendo parteintrınseca de un sistema, este no se intercambia mediante operaciones o procesos de medida, sinomas bien, se redistribuye entre otros subsistemas.

En el presente capıtulo se analiza la redistribucion del entrelazamiento de los pares A,C1y B,C2 al sistema A,B, cuando ambos estados-X iniciales (6.1) son iguales. En este caso, lasconcurrencias respectivas de los estados de salida (6.10a) y (6.10b) toman la forma:

CφAB(∆) =2 max {0, g(∆)−(ρ11ρ33 + ρ22ρ44)}

(ρ11 + ρ33)2 + (ρ22+ρ44)2, (7.1a)

CψAB(0) =max

{0, g(0)− 2

√ρ11ρ22ρ33ρ44

}(ρ11 + ρ33)(ρ22 + ρ44)

, (7.1b)

donde hemos definido la funcion,

g(ϕ) =

√(|ρ14|2 + |ρ23|2)2 − 4|ρ14|2|ρ23|2 sin2(ϕ), (7.2)

con ∆ = θ14 − θ23 y θnm la fase de los elementos no diagonales, ρnm = |ρnm|eiθnm .

La concurrencia CψAB(0) no depende de las fases θnm y es mas grande que CφAB(∆) para todoslos valores de ∆. Un resultado interesante y que esta en concordancia con el obtenido para losestados puros, es que ademas de haber redistribuido asintoticamente el entrelazamiento entrelos resultados, la probabilidad 2Pψ de tener CψAB(0) es mas pequena que la probabilidad 2Pφ de

50

CAPITULO 7. REDISTRIBUCION DE ENTRELAZAMIENTO PARA ESTADOS-X 51

tener CφAB(∆).

La concurrencia CφAB(∆) alcanza su maximo valor para ∆ = 0 y el mınimo en ∆ = π/2.Teniendo en cuenta que las fases relativas θnm de los qubits pueden manipularse elegiendoadecuadamente los ejes en la esfera de Bloch, o sea, θ14 = θ23, se tiene ∆ = 0. En este caso, lasconcurrencias (7.1) quedan de la forma:

CφAB =2 max

{0, |ρ14|2+|ρ23|2−(ρ11ρ33 + ρ22ρ44)

}(ρ11+ρ33)2 + (ρ22+ρ44)2

, (7.3a)

CψAB =max

{0, |ρ14|2+|ρ23|2−2

√ρ11ρ22ρ33ρ44

}(ρ11+ρ33)(ρ22+ρ44)

. (7.3b)

A partir de estas expresiones vemos que los cuatro estados de salida (6.10) estan entrelazadossi los elementos de la matriz de los estados de entrada satisfacen la desigualdad:

|ρ14|2 + |ρ23|2 > ρ11ρ33 + ρ22ρ44, (7.4)

mientras que el entrelazamiento solo esta presente en dos de los estados de salida (6.10b) si lassiguientes desigualdades se cumplen,

ρ11ρ33 + ρ22ρ44 ≥ |ρ14|2 + |ρ23|2 > 2√ρ11ρ22ρ33ρ44, (7.5)

de lo contrario los cuatro estados son separables.

Por otra parte, si hacemos un analisis mas detallado de la inecuaciones (5.2), (5.7), (5.8),(7.5), y (7.4), podemos observar que:

a) Si los estados de entrada ρA,C1 y ρB,C2 no estan entrelazados, entonces |ρ14| ≤√ρ22ρ33 y

|ρ23| ≤√ρ11ρ44.

La multiplicacion adecuada de los respectivos terminos de estas desigualdades con lasde positividad |ρ14| ≤

√ρ11ρ44 y |ρ23| ≤

√ρ22ρ33, conduce a |ρ14|2 ≤

√ρ11ρ22ρ33ρ44 y

|ρ23|2 ≤√ρ11ρ22ρ33ρ44.

Adicionalmente, obtenemos que |ρ14|2 + |ρ23|2 ≤ 2√ρ11ρ22ρ33ρ44, lo cual significa que la

desigualdad del lado derecho de la expresion (7.5) no se cumple. Luego, si los estados deentrada carecen de entrelazamiento, los cuatro estados de salida son separables.

Sin embargo, el hecho de que la concurrencia inicial Cin sea diferente de cero no garantizaque los estados de salida esten entrelazados. Especıficamente, si consideramos la Cin > 0encontramos que:

b) Solo dos estados de salida ρψ±AB tienen entrelazamiento diferente de cero sı,

Cthmın < Cin ≤ Cthmax.


c) El entrelazamiento esta presente en los cuatro estados resultantes ρψ±AB y ρ

φ±AB sı

Cin > Cthmax.

Los dos valores umbrales de concurrencia son:

Cthmın = 2(√

2√ρ11ρ22ρ33ρ44 −mın{|ρ14|2, |ρ23|2}

−mın{√ρ11ρ44,√ρ22ρ33}), (7.6)

Cthmax = 2(√ρ11ρ33 + ρ22ρ44 −mın{|ρ14|2, |ρ23|2}

−mın{√ρ11ρ44,√ρ22ρ33}). (7.7)

Estos valores umbrales son una funcion decreciente de los elementos fuera de la diagonalmın{|ρ14|2, |ρ23|2} que no afecta a la cantidad de concurrencia inicial Cin, por lo tanto, cuandolos estados de entrada tienen entrelazamiento, el termino fuera de la diagonal mın{|ρ14|2, |ρ23|2}ahora juega un rol importante para lograr tener entrelazamiento en los estados resultantes, dehecho, permite disminuir los valores de umbral y aumentar el entrelazamiento de salida. Enotras palabras, el grado de coherencia dentro del respectivo subespacio ayuda a aumentar elentrelazamiento de los estados de salida cuando los estados de entrada tienen entrelazamiento.

En consecuencia, la concurrencia resultante (7.3) alcanza valores maximos cuando hay maxi-ma coherencia en el interior de los dos subespacios H00,11 y H01,10, es decir, |ρ14| =

√ρ11ρ44 y

|ρ23| =√ρ22ρ33.

Finalmente, para este caso y considerando elementos diagonales fijos, la mas alta concurren-cia de salida es:

CψAB,max =(√ρ11ρ44 −

√ρ22ρ33)2

(ρ11+ρ33)(ρ22+ρ44), (7.8)

y la mas pequena es:

CφAB,max = max

{0,

2(ρ11 − ρ22)(ρ44 − ρ33)

(ρ11 + ρ33)2 + (ρ22 + ρ44)2

}. (7.9)

Aquı, podemos facilmente ver que CψAB,max es mayor que Cin, y CφAB,max es menor que Cin.Notemos que, (7.9) es diferente de cero cuando ρ11 > ρ22 y ρ44 > ρ33 o ρ11 < ρ22 y ρ44 < ρ33,

que son condiciones para tener entrelazamiento inicial en acuerdo con la desigualdad (7.4) eva-luada para la maxima coherencia.

Vale la pena destacar que, con el fin de obtener en el proceso el entrelazamiento maximo desalida es necesario manipular los estados iniciales (6.1) tal que, θ14 = θ23. Esto puede hacersemediante la aplicacion de la operacion unitaria local |0〉〈0|+ ei(θ14−θ23)/2|1〉〈1| a los respectivosqubits C1 y C2 antes de realizar el procedimiento de medicion.


Hemos encontrado las condiciones para que este esquema permita la redistribucion del entre-lazamiento entre dos qubits separados espacialmente, que corresponden a dos valores umbralesde concurrencia.

El entrelazamiento se redistribuye asimetricamente sobre cuatro posibles resultados, ası tieneprobabilidades diferentes de cero de aumentar y disminuir con respecto al entrelazamiento inicial.Finalmente, la probabilidad de aumentarlo es mas pequena que la de disminuirlo, consecuenciade la asimetrıa de las salidas.

Capıtulo 8

Ejemplos

En el presente capıtulo se muestran dos ejemplos que ilustran el efecto producido por elmodulo mas pequeno de la expresion fuera de la diagonal de los estados de entrada sobre elentrelazamiento de salida.

En efecto, con estados de Werner y con estados-α el mın{|ρ14|2, |ρ23|2} = 0, en consecuencia,las salida exigen como condicion inicial entrelazamiento finito.

En el caso de los estados-β el mın{|ρ14|2, |ρ23|2} 6= 0, luego surge entrelazamiento en la salidapara los β 6= 1

2 de manera analoga a los estados de entrada.

Analizaremos casos interesantes, ya que, la relacion entre discordia, entrelazamiento de for-macion (EOF) y entropıa lineal que fue abordada en [57] por A. Al-Qasimi y D.F.V. James,expone estados para los cuales la discordia toma valores extremos dada una entropıa o entrela-zamiento fijo. Con un lımite superior de la relacion entrelazamiento-discordia entregado por elestado-α para 0 ≤EOF≤ 0,620, mientras que, el lımite inferior de esta relacion se satisface parael estado-β cuando 0 ≤EOF≤ 1.

Por las razones anteriormente expuestas en la presente seccion se analizan los estados desalida (6.1) cuando los estados de entrada son α o β.

Antes de desarrollar dichos ejemplos, vale la pena echar un vistazo al caso en que los estadosiniciales son los de Werner [32]:

ρ(γ) = (1− γ)I

4+ γ|ψ+〉〈ψ+| (8.1)

con 0 ≤ γ ≤ 1. Es claro que los estados de entrada no son separables para todos los γ > 1/3 yson llamados estados parcialmente entrelazados.

Podemos obtener los dos valores de umbral de la concurrencia aplicando los resultados delos capıtulos anteriores, que para estas condiciones iniciales resultan ser iguales, y cuyo valor esdado por:

Cthmın = Cthmax =

√(1− γ2)

2− (1− γ)

2. (8.2)

54

8.1. Estados α 55

Si consideramos la aseveracion c) del capıtulo 7, vemos que los cuatro estados de salidaestan entrelazados cuando:

Cin(γ) =(3γ − 1)

2>

√(1− γ2)

2− (1− γ)

2, (8.3)

valido solo para γ > 1/√

3.

8.1. Estados α

Los estados α corresponden a estados tipo-X dados por:

ρ(α) =

α2 0 0 α

20 1−α

2 0 00 0 1−α

2 0α2 0 0 α

2

(8.4)

o de manera equivalente,

ρ(α) =1− α

2(|ψ+〉〈ψ+|+ |ψ−〉〈ψ−|)

+α|φ+〉〈φ+|, (8.5)

donde α es un parametro real que va desde 0 a 1, |ψ±〉 y |φ±〉 son estados de Bell. Para α = 0 elestado ρ(α) es clasico e incoherente, sin embargo, para α = 1 es un estado de Bell maximalmenteentrelazado |φ+〉.

La concurrencia inicial Cin(α) de ρ(α) esta en [57] y vale:

Cin(α) = max{0, 2α− 1}. (8.6)

Notemos que, el estado ρ(α) es separable para todo α entre 0 y 1/2, y esta entrelazadopara los 1/2 < α ≤ 1, en tal caso, los cuatro estados de salida (6.1) son local y unitariamenteequivalentes y tienen la forma:

ρφ±

AB (α) = α (1− α)(|ψ+AB〉〈ψ

+AB|+ |ψ

−AB〉〈ψ

−AB|)

+

[α2 + (1− α)2

2± α2

2

]|φ+AB〉〈φ

+AB|

+

[α2 + (1− α)2

2∓ α2

2

]|φ−AB〉〈φ

−AB|,

ρψ±

AB (α) = σ(A)x ρφ

±

AB (α)σ(A)x .

8.1. Estados α 56

La concurrencia comun de ellos es:

CAB (α) = max{0, α (3α− 2)}. (8.7)

Igualmente que para los estados de Werner los dos valores umbrales de la concurrencia soniguales, es decir, Cthmın = Cthmax = Cth(α), con

Cth(α) =√

2α(1− α)− (1− α), para α > 1/2.

Por consiguiente, los entrelazamientos resultantes cuando Cin(α) > Cth(α) se mantienenpara los α > 2/3.

En la Fig. (8.1) se ilustra este comportamiento mostrando Cin(α), CAB(α), y Cthmax comofuncion de α.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α

Concurrencia

Figura 8.1: Concurrencias de entrada y salida como funcion de α. Cin(α) (lınea azul), CAB(α)(lınea verde), y Cthmax (lınea roja).

8.2. Estados β 57

8.2. Estados β

Los estados β tambien son un tipo particular de estados-X dados por:

ρ(β) =

β2 0 0 β

2

0 1−β2

1−β2 0

0 1−β2

1−β2 0

β2 0 0 β

2

(8.8)

o de manera equivalente,

ρ(β) = β|φ+〉〈φ+|+ (1− β)|ψ+〉〈ψ+|, (8.9)

donde β es un numero real que va desde 0 a 1; en los extremos tenemos un estado de Bell y unestado separable para β = 1/2.

La concurrencia Cin(β) esta en [57],

Cin(β) = |1− 2β|. (8.10)

Aquı tambien los estados de salida (6.10) son local y unitariamente equivalentes, y tienenla forma:

ρφ±

AB(β) = [β2 + (1− β)2]|φ±AB〉〈φ±AB|

+2β(1− β)|ψ±AB〉〈ψ±AB|,

ρψ±

AB(β) = σ(A)x ρφ

±

AB(β)σ(A)x .

Las cuatro salidas mantienen la estructura de los estados-β con el parametro sustutido porβ2 + (1− β)2. Ası, las concurrencias comunes de las salidas son:

CAB(β) = (1− 2β)2, (8.11)

justamente el cuadrado de la concurrencia de entrada.

Los valores de umbral para la concurrencia ρ(β) son iguales, Cthmın = Cthmax = Cth(β) y estandados por:

Cth(β) =

{ √β(2− 3β)− β, β < 1/2,√(3β − 1)(1− β)− (1− β), β > 1/2.

Si consideramos nuevamente la aseveracion c) del capıtulo 7, donde los cuatro estados desalida son no separables cuando Cin(β) > Cth, encontramos que hay entrelazamiento en las sali-das para todo β 6= 1/2.

8.2. Estados β 58

La Fig. (8.2) muestra el comportamiento de las concurrencias Cin(β), CAB(β) y Cthmax comofuncion de β.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β

Concurrencia

Figura 8.2: Concurrencias de entrada y salida como funcion de β. Cin(β) (lınea azul), CAB(β)(lınea verde), y Cthmax (lınea roja).

Capıtulo 9

Redistribucion de discordia cuantica

A comienzos de siglo dos fuerte grupos de fısica teorica introdujeron la idea: cuando elsistema no es puro, las correlaciones cuanticas no quedan unicamente cuantificadas por el en-trelazamiento. Si bien es cierto, las correlaciones cuanticas presentes en sistemas separables noson suficientes para introducir no-localidad, si son suficientes para efectuar algunos procesos eninformacion cuantica que son mucho mas eficientes que sus analogos clasicos. Por un lado L.Henderson y V. Vedral en [42] hacen la distincion entre las correlaciones clasicas y las corre-laciones cuanticas presentes en un sistema bipartito. Como en los sistemas clasicos (variablesestocasticas clasica) los cuanticos pueden compartir informacion, la diferencia radica, en que pa-ra estos ultimos parte de dicha informacion compartida no siempre es accesible localmente. Enparalelo H. Ollivier y W. H. Zurek introducen el termino discordia cuantica (quantum discord)[41] para referirse a las correlaciones cuanticas que aparecen entre un sistema y el aparato demedida.

La discordia cuantica se basa en la diferencia entre dos expresiones para la informacion mu-tua que son clasicamente equivalentes, pero que difieren para sistemas con correlaciones cuanticas(ver capıtulo 3); he ahı el origen de la discordia [7].

9.1. Casos particulares

Consideremos nuevamente nuestro objeto de estudio, el protocolo de entaglement-swapping.En analogıa a la idea de redistribucion de entrelazamiento, introduciremos el concepto de redis-tribucion de discordia cuantica. Dada una cierta medida finita de no-clasicalidad, esta no puedeintercambiarse, sino mas bien, redistribuirse entre diferentes subsistemas. En efecto, sean losestados α y β expuestos en el capıtulo 8, con discordias cuanticas iniciales:

(i) Para el estado α:

D←−AB

(α) = mın

{α, 1 + α log2 α+

1− α2

log2

1− α2− 1 + α

2log2

1 + α

2

}. (9.1)

donde por simetrıa, sus discordias cuanticas derecha e izquierda son iguales, D←−AB

= D−→AB

.

59

9.1. Casos particulares 60

(ii) Para el estado β:D←−AB

(β) = 1 + β log2 β + (1− β) log2(1− β). (9.2)

donde por simetrıa, sus discordias cuanticas derecha e izquierda son iguales, D−→AB

= D←−AB

.

Utilizando una expresion analıtica para la discordia cuantica cuando el estado de salida,posterior a la medicion tipo von Neumann, es un estado-X [67], esta dada por:

D(ρAB) = mın(D1, D2) (9.3)

donde,

D1 = S(ρA)− S(ρAB)− ρ11 log2

(ρ11

ρ11 + ρ22

)− ρ22 log2

(ρ22

ρ11 + ρ22

)(9.4)

−ρ44 log2

(ρ44

ρ22 + ρ44

)− ρ22 log2

(ρ22

ρ44 + ρ22

)(9.5)

yD2 = S(ρA)− S(ρAB)−∆+ log2 ∆+ −∆− log2 ∆− (9.6)

con ∆± = 12(1± Γ) y Γ2 = (ρ11 − ρ44)2 + 4(|ρ23|+ |ρ14|)2.

Ası, para los respectivos estados α y β, obtenemos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α

Dis

co

rdia

cuán

tica

Figura 9.1: Discordıa de entrada y de salida como funcion de α. Discordia inicial (lınea azul),discordıa final (lınea verde).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β

Dis

cord

ia c

uánti

ca

Figura 9.2: Discordıa de entrada y de salida como funcion de β. Discordia inicial (lınea azul),discordıa final (lınea verde).

De los resultados vemos que en ambos casos la discordia cuantica es redistribuida a losestados de salida independiente del estado de Bell sobre el cual se mida, ademas, y en acuerdocon lo conocido hasta la fecha, es necesaria la correlacion inicial para generar discordia final.

Por otra parte, destacamos que dicha discordia es siempre menor que la inicial, exceptuandolos valores extremos en donde estamos en presencia de un estado maximalmente entrelazado,con discordia igual a entrelazamiento en los cuatro estados de salida.

Finalmente, no encontramos valores de umbral como para el caso del entrelazamiento, esdecir, inmediatamente notamos una diferencia en el comportamiento de las correlaciones quepueden ser relevantes para estudios posteriores. Dejamos abierta esta lınea de investigacion yuna posible generalizacion para estados semi-clasicos que solo tengan discordia cuantica.

Parte III

Conclusiones y Apendices

63

Conclusiones

Se ha realizado una revision de los conceptos de la mecanica cuantica aplicados a la teorıa dela informacion, donde estudiamos, analizamos y utilizamos diferentes metodos para cuantificarel entrelazamiento tanto para estados puros como para estados mixtos.

En base al esquema mas simple para el intercambio de entrelazamineto, se ha propuesto unageneralizacion basada en el postulado de la medida, la capacidad que tenemos de perturbar unsistema, y la modificacion de las condiciones iniciales. En efecto, se realizaron medidas tipo vonNewmann en dos qubits locales, pero a diferencia del esquema para estados puros, cada qubitlocal se encontraba correlacionado a traves de un estado-X con un qubit espacialmente distante.Se ha encontrado que el proceso:

Intercambia la forma X de los estados de entrada.

Los entrelazamientos iniciales se redistribuyen parcialmente en las cuatro posibles salidasbajo ciertas condiciones.

El entrelazamiento se redistribuye asimetricamente en estados puros parcialmente entre-lazados y en estados mixtos.

Para estados iniciales iguales, se obtienen dos valores umbrales de concurrencia que debenser superados por el entrelazamiento de los estados iniciales, para ası, garantizar que lassalidas no sean separables. Estos valores de umbral para la concurrencia son en principiosolo para los estados-X mixtos.

Para estados iniciales iguales, hay dos posibles cantidades de entrelazamiento de salida,una mayor y otra menor que la inicial.

Para estados iniciales iguales, la probabilidad de obtener un entrelazamiento mayor en lassalidas, es menor que la probabilidad de tener entrelazamiento en al menos una salida.

64

Apendice A

Postulados de Mecanica cuantica

En el presente apendice se da otra vision de los postulados en terminos del operador densidad:

Postulado 1. En un tiempo fijo t0 el estado del sistema fısico es completamente descrito porun operador densidad, el cual es positivo con traza unitaria, actuando sobre el espacio de estadodel sistema. En efecto, si el sistema cuantico esta en el estado ρi con probabilidad pi, entonces,el operador densidad para el sistema es: ∑

i

piρi. (A.1)

Postulado 2. La evolucion de un sistema cuantico cerrado es descrita por una transformacionunitaria. Tal que, el estado ρ en el tiempo t1 se relaciona con el estado ρ′ del sistema en el tiempot2, mediante un operador unitario U ,

ρ′ = UρU †. (A.2)

Postulado 3. Una medicion es descrita por un conjunto de operadores de medida {Mm}. Elsubındice m indica el resultado de la medicion. Si el estado del sistema inmediatamente antesde la medicion es ρ, entonces, la probabilidad de obtener el resultado m es:

p(m) = Tr(M †mMmρ

)(A.3)

y el estado imediatamente despues de la medida queda de la forma:

M †mρMm

Tr(M †mMmρ

) . (A.4)

Los operadores que permiten realizar procesos de medida satisfacen la condicion de comple-titud, ∑

m

M †mMm = 1. (A.5)

65

APENDICE A. POSTULADOS DE MECANICA CUANTICA 66

Postulado 4. El estado de un sistema fısico compuesto es el producto tensorial de los estadosfısicos que lo componen. Por otra parte, si tenemos sistemas numerados del 1 hasta el n, y elsistema i se prepara en el estado ρi, entonces, el estado del sistema total es ρ1 ⊗ ρ2 ⊗ ...⊗ ρn.

Apendice B

Desigualdades de Bell

La desigualdad de Bell [30] se puede obtener considerando la existencia de un sistema fısicocompuesto por dos subsistemas A y B, el que es descrito por un conjunto de variables ocultasλ. Se considera que el sistema esta compuesto de dos partıculas de espın 1/2 y que medimos enun experimento σA~a en la direccion ~a y σB~b

en la direccion ~b.

Los posibles resultados seran:

σA−→a −→ A (−→a , λ) = ±1 (B.1)

σB−→b−→ B

(−→b , λ

)= ±1, (B.2)

donde ~a y ~b son vectores unitarios. Notemos que existe una anticorrelacion si medimos en lamisma direccion, A(~a, λ)B(~a, λ) = −1, lo cual implica que las partıculas de espın estan en sentidoopuesto. El resultado que se obtiene de cada subsistema lo multiplicamos entre sı, repitiendo elexperimento varias veces, de modo que el promedio de estas mediciones sera:

E(−→a ,−→b ) = dλρ (λ)A (−→a , λ)B

(−→b , λ

), (B.3)

donde ρ(λ) ≥ 0 corresponde a la distribucion estadıstica de las variables ocultas que satisfacenla relacion dλρ (λ) = 1.

Supongamos que la partıcula se mide en una direccion adicional ~c, se puede establecer unadiferencia entre las mediciones realizadas en las distintas direcciones,

E(−→a ,−→b )− E (−→a ,−→c ) = dλρ (λ)A (−→a , λ)

[B(−→b , λ

)−B (−→c , λ)

]. (B.4)

Utilizando la propiedad de anticorrelacion y dado que A2 = 1, se tiene,

E(−→a ,−→b )− E (−→a ,−→c ) = −dλρ (λ)A (−→a , λ)A

(−→b , λ

) [1 +A

(−→b , λ

)B (−→c , λ)

], (B.5)

67

APENDICE B. DESIGUALDADES DE BELL 68

donde el termino 1 + A(~b, λ)B(~c, λ) es positivo o nulo. En el caso del maximo valor, es decir,A(~a, λ)A(~b, λ) = 1 se obtiene:

E(−→a ,−→b )− E (−→a ,−→c ) ≥ −dλρ (λ)

[1 +A

(−→b , λ

)B (−→c , λ)

]= −1− E

(−→b ,−→c

). (B.6)

Analogamente, para el caso del mınimo valor A(~a, λ)A(~b, λ) = −1 se tiene que:

E(−→a ,−→b )− E (−→a ,−→c ) ≤ dλρ (λ)

[1 +A

(−→b , λ

)B (−→c , λ)

]= 1 + E

(−→b ,−→c

). (B.7)

Por lo tanto, la desigualdad de Bell toma la forma:

|E(−→a ,−→b )− E (−→a ,−→c ) | ≤ −1 + E

(−→b ,−→c

), (B.8)

la cual depende solo de los angulos de las distintas direcciones de medida y que se debe satisfacersi la teorıa de variables ocultas es valida. Sin embargo, si se considera el estado singlete parados partıculas de espın 1/2,

|ψAB〉 =1√2

(| ↑A〉| ↓B〉 − | ↓A〉| ↑B〉) , (B.9)

que corresponde a un estado maximalmente entrelazado, no se satisface la desigualdad B.8, enconsecuencia, la teorıa de las variables ocultas no puede ser correcta.

Ademas, si uno de los observadores mide en las direcciones ~a y ~b, y otro observador mide enlas direcciones ~c y ~d, se tiene lo que se llama una desigualdad generalizada de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) [68],

|S| = | 〈ac〉 − 〈ad〉+ 〈bc〉+ 〈bd〉 | ≤ 2. (B.10)

La desigualdad de CHSH fue comprobada experimentalmente [69], utilizando pares de foto-nes entrelazados en polarizacion. No obstante, en el 2013 un artıculo ratifica experimentalmentela violacion de la desigualdad de Bell y su respectiva generalizacion para estados enrelazados [31]

Adicionalmente, se han reportado en la literatura, correlaciones no locales en experimentosrealizados con fotones entrelazados [45, 70] y con pares de atomos entrelazados [71], por lo tanto,los resultados experimentales se ajustan a las predicciones de la mecanica cuantica y no a laspredicciones de una teorıa local (de variables ocultas).

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