Süssekind - Curso de análise estrutural I

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CURSO DE ANLISE ESTRUTURAL

Volume I

Estruturas Isostaticas

O (lum de Anlise Estnitural compreende os volumes: 1 - Estruturas isostticag

11 - Deformaes em estruturas Mbtodo das foras. 111 -Mtodo das deformapes Processo de Cross.

CIP-Brasil Cataiogao-na-konlc Cmara Brasileira do Livro, SP

Siisseklnd, 3 0 6 Carlos, 1947- S963c Curso de anlise estnitural/ Jos Carlos Siissekind. - v.1-3 6. ed. - Porto Alegre -Rio de Janeiro : Globo, 1981.

v. ilust. (EnciolopMia tbcniui unfversal Globo) Bibiiogm. Conteiido: -v. 1. Estnitiuas isostticar -2. Deforma-

es em estruturas. Mtodo das forps. -3. Mtodo das deforma6es Processo de Cross.

I 1. EstruturaAnse. (Engenharia) I. Tftulo. U. Tftu- 10 : Estrutu~as isostticar IU. Sene. hdloes parn catlogo slstedtim:

1. Anlise estrutural : Engenharia 624.171 2. Estruturas: Anlise: Engenhada 624.171

Enciclopdia Tcnica Universal Globo

JOSE CARLOS SUSSEKIND

CURSO DE ANLISE ESTRUTURAL

Volume I

Estruturas Isostticas

6? Edio

E O i I O R A GLOBO Porto Alegre 0 Rio de Janeiro

1981

l? Edio -dezembro de 1975 2? Edio - juiho de 1977 3? Edio - maro de 1979 4? Edio -maio de 1979 S? Edlo - maro de 1980

Capa: Ruben H e m a n n

A primeira edio desta obra foi realizada em convnio com a Universidade de So Paulo

Direitos exclusivos de edio, em lngua portuguesa, da Editora Globo S A.

Av. Getlio Vagas, 1271 - 90000 P o r t o Alegre, RS Rua Sarg. Sllno Hollenbach, 350 - 21510 - Rio de Janeiro, R1

I Apresentaco A idia de escrever este Curso de Anlise Estrutural nasceu da necessi-

dade encontrada de um texto que nos servisse de'suporte para o ensino da Isositica e da Hiperesttica aos futuros engenheiros civis, idia esta que cresceu com o estmulo recebido da parte de diversos colegas de magistrio, que se vm deparando com o mesmo problema, e cuja concretizao se tomou possvel a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em edit-lo.

O Curso de Anlise Estmturd ser dividido em trs volumes, no primeiro dos quais estudaremos os esforos nas estmturas isostticas, ficando o estudo dos esforos nas estruturas hiperestticas e das deformaes em estruturas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes ltimos, incluiremos tambm o estudo de alguns tbpicos especiais, cujo conhecimento julgamos indi~pensvel ao engenheiro civil.

Na apresentao deste Curso, dever de gratido mencionar o nome do extraordinrio professor que o Dr. Domcio Falco Moreira e Silva, a quem devemos nossos conhecimentos de Mecnica Racional e de Mecnica das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lanados no magistrio superior,

I na Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro. Agradecemos antecipadamente aos nossos leitores e colegas quaisquer

comentrios, sugestes ou crticas que nos venham a enviar atravs da Editora Globo, pois, a partir deles, estaremos em condies de tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de torn-lo cada vez mais til ao nosso estu- dante - objetivo final de nossos esforos.

Rio de Janeiro, 1Q de abril de 1974

Jos Carlos Sussekind

Sumrio CAmULO I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1 - Domnio de estudo da Anlise Estmtunl 1

2 - As grandezas fundzmentais: Fora e Momento 2 2.1 - Fora 2 2.2 - Momento 3 2.2.1 - Propriedades do momento 4 2.2 1.1 - Momento de uma fora em relao a um ponto 4 2.2.1.2 - Momentos de uma fora em relao a diversos pontos 5 2.2 1.3 - Momento de uma fora em relao a um eua 6 2.2.1.4 - Momento constante de um sistema de duas foras paralelas,

de mesmo mdulo e sentidos opostos 9 2.3 - Reduo de um sistema de foras a um ponto. Conceito fsico 10

3 - Condies de equilbrio 10 3.1 - Casos particulares importantes 12 3.1.1 - Sistema de foras concorrentes no espao 12 3.1.2 - Sistema de foras paralelas no espao 12 3.1.3 - Sistema de foras coplanares 14

4 - Graus de liberdade. Apoios. Estaticidade e Estabilidade 16 4.1 - Graus de liberdade 16 4.2 - Apoios 17 4.2.1 - Estruturas planas canegadas no prprio plano 18 4.2.2 - Clculo das reaes de apoi 20 4.3 - Estaticidade e Estabilidade 23

5 - Esforps simples 25 5.1 - Caso particular importante: estruturas planas canegadas no prprio plano 34

6 - Cargas 40 6.1 - Cargas mncentradas 41 6.2 - Cargas distribudas 41 6.3 - Cargas-momento 45

CAPITULO U - ESTUDO DAS VIGAS ISOSTTICAS 1 - As equaes fundamentais da Esttica 48

2 - Vigas biapoiadas 50 2.1 - Carga concentrada 50 2.2 - Carga uniformemente distribuda 53 2.3 - Carga triangular 55 2.4 - Carpa-momcnto 59 2.5 - Casa geral de carregamento 62

3 - Vigas engastadas e livres 67

4 - Vigas biapoiadas com balanos 69

5 - Vigas Gerber 73 5.L - Introduo 73 5.2 - Exemplos de decomposio 77

6 - Vigas inclinadas 79 6.1 - viga submetida a carregamento distribudo vertical 79 6.2 - Viga submetida a carregamento distribudo horizontal 81 6.3 - Viga submetida a carregamento distribudo perpendicular a scu eixo 82

7 - Problemas resolvidos 84

8 - F'roblemas propostos 98

9 - Soluo dos pmblemas propostos 104

CAPfiULO 111 - ESTUDO DOS QUADROS ISOSTATICOS PLANOS 1 - Quadros simplm 110

1.1 - Quadro biapoiado 110 1.2 - Quadro engastado c livre 115 1.3 - Quadro triarticulado 117 1.4 - Quadro biapoiado, com articulao L tuante (ou escora) 121

2 - Quadros com banas c u m 123

3 - Quadros compostos 130 3.1 - Introduo 130 3.2 - Exemplos de decoml,osio 131 3.3 - Exemplos de resoluo 135

4 - Estudo dos arcos triarticulados 140 4.1. - Estudo dos arcas triarticulados para carrwamanto vertical em funo

da viga de substituio 141 4.2 - Definio e determinao da linha de presses 143 4.3 - Aplicaes 146

6 - Problemas propostos 156 1 i 7 - Soluo dos problemas pmps tos 170

2 - Cbdieao das trelias 192 2.1 - Qiianta estatiidde 192 2.2 - Quanta lei de formao 195

3 - Mtodo de Ritter 195 3.1 - As bases do mtodo 195 3.2 - Exemplos de aplicao 198 3.3 - Resoluo das trelias de altura constante em f u n ~ o

da viga de substituio 202 3.3.1 - Trelia com uma diagonal por paiiiel 202 3.3.2 - Trelias com duas diagonais por painel (Vi@sH:ssler) 214

4 - Mtodo de Cremona 220 4.1 - Introduo 220 4.2 - Apresentao do mtodo 223 4.2.1 - Notaco das cargas e dos esforo? normais 223 4.2.2 - Roteiro do mtodo 223 4.3 - Exemplos 226

5 - Trelias compostas 231 5.1 - Conceituao 231 5.2 - Mtodo dc resoluqo 233 5.3 - Aplicaes 236

6 - Trelias complexas 241 6.1 - Conceituao 241 6.2 - Mtodo geral de resoluo das trelias complexas Mtodo de Henneberg) 241 6.3 - Aplicaes 246

7 - Trelias com cargas fora dos n? 251 7.1 - Mtodo de resoluo 251 7.2 - Aplicaes 253

8 - Intmdufo ao estudo das trelias espaciais 258

9 - Problemas propostos 263

10 - &l@o dos problemas PrOPOStOS 270

1 - Estudo das grelhas isostticas 275 1.1 - Introduo 275 1.2 - Definio 276 1.3 - Aplicaes 279 1.4 - Vigas-balco 286

2 - Estudo dos quadros espaciais isostticos 289

3 - hohlcrnas propostos 292 4 - Solu@o dos pmblemaa prnposios 295

CAP~TULO VI - ESTUDO DAS CARGAS M6VEIS EM ESTRUTURAS ISOSTATICAS

I - lnhoduo 298 1.1 - Classificao das cargas que atuam nas estruturas 298 1.2 - Definivo das cargas mveis. Trons-tipo 299 1.3 - O pmblcma a resolver. Forma de resoluo 300

2 - Linhas de influncia 301 2.1 - Dcfinio 301 2.2 - Fascs dc resoluo do problcma 302 2.3 - Obteno dos efeitos, conhecidos o trem-tipo i. a linha dc influncia 302 2.4 - Obteno das linhas de influncia para 2s estruturas isostticas 304 2.4.1 - Viga engastada e livre 304 2.4.2 - Viga biapoiada 305 2.4.2.1 - Pesquisa dos valores mximos 311 2.4.3 - Viga biapoiada com balanos 320 2.4.4 - Vigas Gerber 325 2.4.5 - Sistemas triarticulados 328 2.4.5.1 - Tcnses nos bordos das ses 330 2.4.5.2 - Tenses nos bordos dos encontros 332 2.4.6 - Treliyas 342 2.4.6.1 - Caso particular: trelias de altura constante 346

3 - Roblemas propostos 351

4 - solu@Q dos problemas pmpartos 357

Introduco - ao primeiro volume

O primeiro volume, em que fazemos o estudo esttico das estruturas isostticas, para cargas permmentes e mveis, foi dividido em seis captulos, comentados a seguir.

O primeiro capitulo (Conceitos Fundamentais) visa a fiwaodos c m ceitos de Mecnica Racional que julgamos base imprescindvel boa compreenso da Anlise Estrutural; nele d e f k o s as condies estticas do equilbrio, introduzimos as noes de vnculos, graus de liberdade e estaticidade de uma estrutura e definimos os esforos simples que a t u m numa seo de uma estrutura.

No segundo captulo (Estudo das vigas isostticas), apresentamos as equaes diferenciais fundamentais de Esttica, estudando a seguir, para os diversos tipos de carregamentos que podem ocorrer na prtica, as vigas biapoiada, engastada e livre, biapoiada com balanos e Gerber. Durante este estudo, so apresentadas ao leitor, pouco a pouco, as idias bsicas para o traado dos diagramas solicitantes, que ao fm deste captulo, no dever mais encontrar qualquer dificuldade neste setor.

O terceiro capitulo aborda em detalhes os quadros isostticos simples e compostos. Queremos chamar a ateno para a enorme importncia deste estudo, pois, embora os quadros isostticos ocorram com pequena incidncia

I na prtica, seu perfeito conhecimento absolutamente indispensvel ao estudo das estruturas hiperestticas. (Este um problema com o qual nos deparamos, constantemente, no ensino de Hiperestticq motivo pelo quaI demos uma grande nfase ao tratamento dos quadros isostticos em nosso Curso.)

O quarto capitulo trata do estudo das trelias isostticas planas (simples, compostas e complexas), sendo discutida sua lei de formao apresentados seus dois grandes mtodos de resoluo (Ritter e Cremona). So feitas aplicaes para os tipos usuais de trelias da prtica. Entre eles, nfase especial mereceu o caso das trelias cujo estudo pode ser feito recair no de uma viga de substituio (muito comuns em pontes).

No final do capitulo, apresentanos as idiias bsicas para a gerao e o estudo das trelias isostticas no espao, mostrando como obedecem s inesmasidias bsicas vlidas para trelias planas.

O quinto captulo estuda os quadros isostticos espaciais, recebendo nfase maior o caso das grelhas. Este estudo no aparece, normalmente, nas obras clssicas sobre Esttica, o que, a nosso ver, tem contribudo para criar quase que um tabu a respeito destas estruturas, que julgamos poder evitar comeando a estudii-las paralelamente ao estudo das estruturas planas. Este procedimento vem sendo adota'do, com grande xito, nas cadeiras de Anlise Estrutural na Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro, o que nos levou colocao do assunto no primeiro volume deste Curso.

Finalmente, o sexto captulo estuda os efeitos estticos das cargas mveis atuantes nas estruturas isostticas, atravs do processo das linhas de influncia. O processo aplicado para todos os tipos de estruturas isostticas, obtendo-se as envoltrias necessrias ao projeto das pontes, viadutos, vigas de rolamento etc.

Ao fun de cada captulo apresentamos uma lista de problemas p r o postos, cuja resoluo indispensvel sedimentao da teoria e exemplos apresentados durante a exposio de cada assunto e que representam a parcela de trabalho individual que cada leitor precisa realiia~para atingir um bom domnio da Isosttica- base slida e indispensvel para o prossegui- mento no estudo da Anlise Estmtural.

Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradecimentos ao amigo Jos de Moura Villas Boas, pelo trabalho de reviso deste volume, e aos demais amigos que, com suas sugestes, estmulo e ajuda no traado das figu- ras, colaboraram para elaborao deste trabalho.

Rio de Janeiro, 3 de Junho de 1974

CONCEITOS FUI NDAN

1 - DOMmIO DE ESTUDO DA ANLISE ESTRUTURAL A Aniise Estrutural a parte da Mecnica que estuda as estruturas, consis-

tindo este estudo na determinao dos esforos e das deformaes a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variaes trmicas, movimento de seus apoios, etc.).

As estruturas se compem de uma ou mais peas, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estvel, isto , um conjunto capaz de receher solicitaes externas, abso~-Ias internamente e transmiti-las at seus apoios, onde estas solicitaes externas encontrar50 seu sistema esttico equilibrante.

As peas que compem as estruturas possuem, evidentemente, trs diien- ses. Trs casos podem ocorrer:

a) duas dimenses so pequenas em relao terceira; h) uma dimenso pequena em relao s outras duas; c) as trs dimens8es so considerveis. No l? caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prtica, a

dimenso maior o comprimento da pea, estando as duas outras dimenses nadas no plano a ele perpendicular (plano da seo transversal da pea). :ste caso, o estudo esttico da pea, que ser denominada barra, pode ser ito considerando-a unidimensional, isto , considerando-a representada pelo u eixo (lugar geomtrico dos centros de gravidade de suas sees trans- rsais). Uma barra ser dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto ou INO. Conforme os eixos das diversas barras que compem a estrutura este- m ou no contidos no mesmo plano, a estrutura ser chamada estrutura ana ou espacial O 2P e o 39 casos so aqueles, respectivamente, das placas; das cascas

uja espessura 6 pequena em presena da superfcie da pea, superfcie esta

2 Curso de analise estrutural

plana para as placas e curva para as cascas) e dos blocos (caso das barragens) e no sero abordados neste Ciifiau de Anlise Estrutural; so estudados, a partir da teoria da Elasticidade, erri Cadeiras prprias (em nvel & especializao ou ps-graduao, dependendo da Universidade).

Nosso Curso de Anlise Estrutural ser, ento, um curso da Anlise Estni- tural das barras. A teoria que aqui desenvolveremos tem preciso excelente para barras cuja relao do comprimento para a altura seja superior a 10 : 1, apresentando preciso ainda boa para relaes at 5 : 1. Estas relaes englobam a esmagadora maioria das barras da prtica (Nos casos em que esta relao se torne inferior, a pea no mais poder6 ser classificada como barra, devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso.)

2 - AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: FORA E MOMENTO'

..l - Fora

A noo de fora das mais intuitivas possfveis: podemos exercer uma fora sobre um corpo por meio de um esforo muscular; uma locomotiva exerce fora sobre os vages que ela reboca; uma mola esticada exerce foras sobre as peas que fotam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, O corpo que exerce a fora est em contato w m aquele sobre o qual ela exer- cida - tratam-se, pois, de foras de contato. H, tambm, foras que a t u m atravs do espao, sem contato, chamadas, por esta razo, foras de ao distncia - so as foras devidas existncia de campos agindo sobre o corpo. o caso das foras elhtricas, magnticas, das foras de gravitao e, no caso da Terra, das foras devidas gravidade (que so os pesos dos corpos). Estas ltimas sero as mais importantes da Anlise Estrutural, c o n f m e veremos em seu desenvolvimento. E wmum chamar-se b foras que aluam numa estrutura de cargas, denominao esta que manteremos em nosso Curso.

As foras so grandezas vetoriais, caracterizadas por direo, sentido e intensidade. Sua unidade, no sistema MT*S, que o adotado em Engenharia Estrutural, a tonelada-fora, cujo smbolo B t*, ou, mais simpmcadarnente, t.2

I No nosso objetivo, neste tbpiw, escrever um tratado sobre Esttica Abstrata, j estudada nas Cadeiras de Mecnica Racional que antecedem r de Anlise Estrutural. Faremos, apenas, uma ~~apresentaqo, nossa maneira, dos conceitos basiws, a respeito dos quais, muitas vezes, o aluno que se inicia no estudo da Anlise Estrutural apresenta dvidas, mnforme tem demonstrado nossa experincia, bem como a de diversos colegas de magistrio.

No confunair esre Ultimo com a unidade de massa do sistema MTS.

Conceitos fundamentais 3

No caso mais geral, que o das foras situadas no espao, elas ficam de- fuiidas por um ponto de passagem e por suas componentes X, Y e Z segundo os eixos triortogonais x , y. z, a partir das quais podemos express-las pela igualdade 1.1 :

No nos deteremos no estudo das propriedades das foras, para as quais valem as propriedades dos vetores, j estudadas em Clculo Vetorial.

2.2 - Momento

Seja a barra da Fig. 1-1, suportada em Cpor um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja contrabalanar por um peso suspenso em

L 4m 2m 1 Fig. 1-1

E fcil ver que o peso a ser colocado em A, a fm de contrabalanar o efeito da rotao da barra em tomo do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este ltimo; por tentativas, veramos que seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de rotao de uma fora em torno de um ponto depende do valor da fora e tambm de sua distncia ao ponto, sendo diretarnente pro- porcional a ambos. Se desejarmos, ento, criar uma nandeza fsica, atravs da qual queiramos representar a tendncia de rotao em torno de um ponto, provocada por uma fora, esta grandeza dever ser funo da fora e de sua distncia ao ponto.

Esta grandeza o momento, que ser defmido da maneira a seguir. + Chama-se mome$o de uma fora F em relao a um ponto O ao produto

vetorial do vetzr OM (sendo+M um ponto qualquer situado sobre a Iinlia de ao da fora F ) pela fora F, conforme indica a Fig. 1-2.

--t -t Temos: 5 = OMA F (1.2)

4 Cuno de anlise esbutural

Representaremos o vetor-momento * m por um vetor com seta dupla (a fm de no confundi-lo com uma for- a). Sua direo perpendicular ao plano 5 que contm a reta-suporte da fora F e o ponto 0; seu sentido dado, a ~ a f t i r do sentidoba rotao do

+ L - &\ 3: \ \/ vetor no mesmo, OM para a pjartir o vetor do sentido F ou, o da que rota- d io da fora F em tomo do ponto 0, 1 \ pela regra da mo direita, conforme

indica a Fig. 1-2, fazendo a mo direi- ia girar no sentido desta rotao e obtendo-se o sentido do vetor-momen- to pela posio ocupada pelo polegar durante esta rotao (o polegar aponta para o lado em que est situada a seta dupla do v e t o ~ m o m ~ t o ) p u m6- dulo dado por I ml = i OMi IFlsen a = = Fd, isto 6 , i q a l ao produto do m-

\ dulo da fora F pela menor distncia do ponto O sua linha de ao.

A unidade de momento, no sistema Pig. 1-2 MT*S, o mt (ou tm).

2.2.1 - Propriedades do momento Estudaremos, a seguir, algumas propriedades do momento, que conduziro

a concluses importantes no estudo da Anlise Estrutural.

2.2.1.1 - O momento m' de uma fora ?em r$ao a um ponto 0' igual soma vetoribdo momento da fora F em relao ao ponto O com o momento de F, suposta aplicada em O, em relao ao ponto 0 ' .


A partir da definio de momento, temos:

Como, a partir da Fig. 1-3, temos: -I-- O'A = 0 ' 0 t OA, podemos escrever: ) + - I m3= (0'0 ~ O A ) A F = O ' O A F ~ GAF= iii to'Ci~? (1.9, ficando demonstrada nossa propriedade.

+ 2.2.1.2 - Os momentos de uma fora F em relao a diversos pontos

situados sobre um mesmo eixo tm projeo idntica sobre este eixo.

/

v'' Pig. 1-4

-, Seja uma fora F e um eixo r, definido pelos ponfps O e O', conforme indica a Fig. 1.4. Calculado o momento da fora F em relao ao pon- to 0 , podemos determinar sua projeco sobre a reta r, qu~chamaremos p Calculemos, agora, a projeo do momento m' da fora F em relao ao ponto O', sobre a reta r.

A partir da igualdade 1.3, podmos escrever que:

6 Cursa de anblise estrutural 4 + *

proj, 2 = proj, %.+ proj, (O'OAF) = P + proj, ( 0 3 ~ F) + +

Ora, sabemos, pela definio de produto vetorii&que+O'O A F um vetar perpendicular reta r e que, portanto, proj,(O'OAF) = 0.

.. .. .. Com isto temos: proj, m = proj, m' = proj, m" = . . . . . . . . . = p.

* 2.2.1.3 - O momento iii de uma fora F em relao a um ponto O pode

ser representado por suas projees M,, My e Mz na direo de 3 eixos cartesianos triortogonais, conforme indica a Fig. 1-5, a partir das quais pode ser definido pela igualdade L4:

Z

A As projees M,, My e M, so cha- I madas momentos da fora ?em rela- I o aos eixosx, y e z, respectivamente. f:,] O um momento eixo , ento, de uma uma fora grandeza em relao emi- a

? - nentemente escalar, cujo sinal 6 posi- I tivo ou negativo conforme a dupla seta I O --- - v /' 5, do momento resultante & tenha sua I ---L / projeo sobre o eixo acompanhando

/Mx ou no seu sentido positivo, ou, o que / d no mesmo, verificando, pela regra

da mo direita, se a rotao da fora em torno do eixo d i um momento no Fig. 1-5 sentido positivo ou negativo do eixo.

Levando.se em conta a pypriedade 2.2.1.2 deste tpico, podemos definir o momento de uma fora F em relao a um eixo como sendo a proje, sobre esse eixo, do momento desta fora em relao a qualquer ponto desse eixo.

Observaes: a) Calculemos o momento de uma fora em relao a um eixo que lhe seja coplanar, conforme indica a Fig. 1-6: O momento )m desta for~em+relao a um ponto genrico O deste eixo, send+o dado por & = OMA F , perpendicular ao plano P definido pela fora F e pelo eixo r. Sua projeo sobre r serento, nula.

Podemos, pois, afirmar que o momento de uma fora em relao a um eixo que lhe seja concorrente ou paralelo 6 nulo (nos dois casos a forqa e o eixo so coplanares). Esta propriedade seri de grande importncia no nosso estudo.

onceitos fundamentais

Fig. I 4 Fig. 1-7

b) O momento resultante de um sistema de foras coplanares em relao a qualquer ponto situado no plano destas foras ser sempre perpendicular a este plano, pois, a partir da obse~ao anterior, imaginando ser este plano o que contm os eixos x e y, leramos M, = My = O e o momento resultante .. m ficaria dado por % = M, k, sendo z o eixo perpendicular ao plano das foras, conforme indica a Fig. 1-7. Usaremos esta propriedade no estudo das estruturas planas, carregadas no prprio plano.

c) O m6dulo do momento resultante de uma fora em relao a um eixo pode ser obtido diretamente, sem ser necessrio calcular o momento resultante para, aps, achar sua componente na direzo do eixo:

Fig. 1-8

+ * Seja calcular o momento+da forpa F em relao ao eixo z. A fora F pode :r decomposta nas foras F, e F, indicadas na Fig. 1-8, a primeira paralela o eixo z e a segunda situada num plano P a ele perpendicular. A componente

8 Curso de anlise estrutural

Ex. 11; Calcular os momentos M,, M, e Mz em relado aos eixosx. y z z , da fora F , de origem no poiito A(1, 4, O), direo e sentido do vetor A 5 e cujo mbdulo, em toneladas. igual ao mdulo da distncia AB. Verificar, a partir de sua definio. que o inoinento % da fora3eni relao ao ponto O dado por:

I F I , por ser paralela a z. no dari momeiito em relao a este eixo, sobrando + apenas o da componente F 2 , cujo mdulo igual ao do momento desta fora em relao ao p2nto O em que o eixo iiitercepta o plano P. O mdulo

-3

-, Pefa Fi&I-9,godemos ver que a fora F pode ser expressa pela igualdade

F = F, + F, + F,, em que cada uma destas ltimas foras paralela a um dos eixos coordenados. Calculemos os momentos de cada uma delas em relao aos eixos x, y e z.

i

Temos: Para a fora Fl : Mx = O (F, 6 paralela a Ox) My = O (F, concorrente com Oy) M, = - 4 X F i = - 1 2 m t

do momento da foia F em relaqo ao eixo z ser, ento. igual a I M, I = F 2 d = = Fd sen a, sendo d a menor distncia do suporte da fora F ao eixo z, conforme indica a figura (no caso, o momento seri positivo, pela regra da mo direita). Podemos afirmar, ento, que o mdulo do momento de uma fora em relao a um eixo igual ao produto do mdulo da fora pela menor distincia entre a reta suporte da fora e o eixo e pelo seno do ngulo formado pela fora e o eixo: seu sinal obtido pela regra da mo direita, definida anteriormente.

A aplicao seguinte esclarecera.


Para a fora F, : M, = O (F2 concorrente com Ox) My = O (F1 paralela a Oy) M , = - l X F , = - 4 m t

Para a fora F,: M, = 4 X F, = 16 m t M Y = - I X F , = - 4 m t M, = O (F3 B paralela a Oz) 4

Os momentos da fora F em relao aos eixos x, y e z sero, ento, por superposio de efeitos:

C M x = O + O + 1 6 = 1 6 m t My = O + + - 4 4 - 4 m t M, = - 1 2 - 4 + O = - 1 6 m t +. -, Calculemos o momento m da fora F em relao ao ponto 0:

+ ? + ' Temos: F = (B - A) = 31 - 4j + 4k e ento:

valor este que j sabiamos a priori, a partir dos valores j calculados para Mx, My e M,.

Obsem~ o leitor a enorme simplicidade com que calculamos os momentos da fora F em relao aos eixos x , y e z, trabalhando com suas componentes nas direees dos 3 eixos coordenados (no foi necessrio calcular menor distncia entre+a reta AB e cada um dos eixos nem os senos dos ingulos form$os por F com cada um dos eixos, porque no trabalhamos diretamente com F). Tal procedimento deve ser sempre empregado, a fim de simplificar a resoluo numrica dos problemas.

2.2.1.4 - Um sistema de duas foras paralelas, de mesmo mdulo e sentidos opostos, conforme indicado na Fig. 1-10, tem a propriedade de possuir momento constante em relaqo a qualquer ponto do espao, seno vejamos.

-+ O momento das duas forpas F em +

rela ao ponto genrico O ser da- o F ~ O ~ O ~ : ~ = O ~ , ~ - O ~ A P = -.

. .+ F

= MM'A 2 independendo, portanto, da posio de O. Dtzemos, neste caso, que as 2 foras formam um binirio, que , conforme vimos, uin invariante em relar;o a qualquer ponto do espa-

++. 'o. Fig. 1-10


2.3 - Reduyo de um sistema de foras a um ponto. Conceito fsico

Seja a fora indicada lia Fig. 1-1 1.1, que qucremos reduzir ao ponto 0. isto 6. cujos efeitos em relao ao ponto O desejamos conliecer.

Nada se alter+a, sob+o ponto de vista estatico, se acrescentarmos, no ponto 0. duas foras F e (- F), conforme indicado em 1-1 1.2. Analisando o esquemz indicado nesta figura, podemos encar-lo como constit2'do por uma fora[ aplicada em O e pelo binrio formado pelas foras (- F) a g l i c a ~ e m ~ e F aplicada em A , que pode ser :.ubstituidz pelo momento m = OA A F, que se confunde com o momento da fora F em relao ao ponto 0 , conforme indica 1-1 1.3. Podemos, ento, afirmar que, para reduzir uin sistema de foras a um determinado ponto do espao, basta transferir todas as foras para este ponto, acrescentandc, para cada uma delas, seu momento em relao a este ponto.

-, Um sistema de foras 6, ento, redutivel a uma resultante H e a um

momento resultante %em relao a qualquer ponto O do espao, nos casos mais gerais, iguais, respectivamente, soma vetorial de todas as foras e soma vetorial dos momentos de todas estas foras em relao ao ponto 0. A resultante simboliza a tendncia de translao do sistema e o momento resultante, sua tendncia de rotao em-relao a um eixo passando por 0.

3 - CONDIES DE EQUILBRIO

Para um corpo, submetido a um sistema de foras, estar em equilbrio, necessrio que elas no provoquem nenhuma tendncia de translao nem rotao a este corpo. Como a tendncia de translao dada pela resultante -+ R das foras e a tendncia de rotao, em tomo de qualquer ponto, 6 dada pelo momento resultante % destas foras em relao a este ponto, basta que

* estes dois vetores R e sejam nulos para que o corpo esteja em equilbrio.

A condio necessria e suficiente para que um corpo esteja em equilbrio,


submetido a um sistema de forqas, C que estas foras sattsfaam s cquaq6es vetoriais:

-

-t em que R a resultante das foras e seu momeiito resultante em relayo a qualquer ponto do espao.

Levando-se em conta que:

r as 2 equaes vetoriais de equilbrio (1.5) podeni ser substitudas, cada uma delas, por trEs equaes escalares de equilrio, obtendo-se o grupo das seis equaes (I.6), que so as seis equaes universais da Esthtica, regendo o equilibrio de um sistema de foras, o mais geral, no espao.

-i 3E IIcito afirmar que, se para um dado ponto O do espao temos R = O e R = 0, as mesmas igualdades se repetiro para todos os demais, seno vejamos.

Sejaum sistema de foras que, reduzido a uni ponto + do espao, nos forneceu uma resultante R e um momento resultante X , conforme indica a Pig. 1.12. Reduzindo estas solicitaes p%,a o ponto O', teremos, por infi+uCncia de R, a aparecimento de uma O ' O A R foraR e de um momento dado por^^^^ aplicados em O'e, por influncia do momen- to E , um momento adicional de Z em O' -+ (i que uma carga-momento, por poder ser R substitulda por uni binrio, um invariante em relaqo a qualquer ponto do espae). No ponto 0' temos ento, uma fora R c um monicntoi(Z + %'A 2). Logo, s c z e O "morrem nu$s num dado ponto, t;irnb&ni o Sero par* todos os demais, iisscgrirando o

1:ig. 1-12


3.1 - Casos particulares importalites

3.1.1 - Sistema de foras concorrentes no espao Seja o sistema de foras no espao, concorrentes no ponto 0, indicado na

Fig. 1-13, Seu equili%rio 6 , conforme sabemos, ditado pelo grupo de equa-

I es (1.6). Por se tratarem de foras I concorrentes no ponto 0, as trs 1- timas equaes do grupo, que simboli-

zam o momento resultante nulo, degeneram em meras identidades (pois uma fora no d momento em relao

/ a um ponto situado sobre sua linha de /

-I qo), perdendo, pois, sua expresso

x ~ ' Fn como equaes. Tal caso ser, ento, regido apenas pelas equaes que ca-

Fig. 1-13 racterizam a resultante nula, ou seja, pelas equaes (1.7).

Observao: Este caso de sistema de foras ocorrer no estudo do equilibrio dos 116s das trelias espaciais, conforme veremos no Cap. IV deste volume.

3.1.2 - Sistema de foras paralelas no espao Seja o sistema de foras paralelas no espao indicado na Fig. 1-14, Por

z serem todas as foras paralelas ao eixo

I Oz, as equaes C X = O, C Y = O e ZM, = O degeneram em identidades, pois no h componentes de foras

F3 1 I': 1- paralelas a um dos eixos coordenados nas direes dos dois demais, bem co- L - - - - + v mo no existe momento de uma fora /'O em relao a um eixo que Lhe seja

/ ' th lh paralelo. Permanecero vlidas, ento, X

como equaes, as indicadas no grupo (1.8). que regero o equilbrio de um

kig. 1-14 sistema de foras paralelas ao eixo Oz.


Obse~aes: a) A equao C Z = O pode ser substituida por uma terceira equao de somatno de momentos nulo em relao a um 3P eixo r, situado sobre o plano xy, mas no-concorrente com estes 2 eixos em 0, conforme indica a Fig. 1-15, seno vejamos:

Se temos CM, = EMy = 0, isto 1s garante que o sistema de foras o apresenta um momento resultante

em relao ao ponto O (pois CMx = = C M y = C M , = O). Um sistema de foras paralelas, que satisfaa a estas duas primeiras condies, poderia ser apenas redutvel a uma resultante passando por 0; para indicar que esta resultinte deve tambm ser nula, podemos empregar a equao C Z = O, j5

Fig. 1-15 discutida anteriormente, ou uma equa. qo de somat6rio de momentos nulo em relao a um em0 t no-concorrente com os eixos x e y em O. O gmpo de equaes (1.9) ,poderia ser, ento, empregado para estudo do equilbrio deste sistema de foras. em ve7 do grupo (1.8):

O equilbrio de um sistema de foras paralelas no espao pode ser estuda- do, ento, a partir de trs equaes de somat6rio de momentos nulo em tela. o a 3 eixos, no-concorrentes os trs no mesmo ponto, nem paralelos os trs entre si, e situados num plano perpendicular ao das foras (no existe obrigao de dois desses trs eixos serem ortogonais, pois basta eles serem

>ncorreutes num ponto e termos somat6rio de momentos nulo em relao a es, para podermos afirmar que o momento resultante nulo em relao a ;se ponto, recaindo-se no raciocnio que introduziu o gmpo de equaes

1.9).

b) Este tipo de sistema de foras ser4 abordado em detalhe no estudo das grelhas, que se far5 no Cap. V deste volume.

14 Curso de anlise esrutural

3.1.3 - Sistema de foras coplanares Seja o sistema de foras situadas 110 plano xy indicado na Fig. 1-16,

' t As equaes Z Z =O, Z M , = O e

Z M , = O se transformam em meras I -, + identidades, pois sabemos que um sis- F1. , 1 1 ,..).,:y tema de foras situado no plano xy I no possui componentes na direo Oz nein d inoinentos em relao aos eixos I x e y , por lhe serem coplanares. Per- I maneceiii, ento. vlidas como equa-

O C - - - - - - - x es as duas outras equaes de pmje- Fig. 1-16 es Z X = O e Z Y = O e aou t ra

equao de somatrio de momentos nulo ZM, = O (que, no caso, coincidir com Z m o = O, pois todos os momentos tero a direo 02). O grupo de equaes (1.10) reger, ento, o equilibrio dos sistemas de foras coplanares:

sendo M o o momento de cada uma das foras em relao a um ponto O inteiramente arbitrrio, situado no plano das foras.

Observaes: a) As duas equaes de projees Z X = O e Z Y = O podem ser substitudas por duas equades de somatSrio de momentos nulo em relaqo a dois outros pontos 0' e O" do plano xy, desde que 0 , O'e O" no sejam colineares, conforme indica a Fig. 1-17; ou por uma equao de somatrio de momentos nulo em relao ao ponto 0' e outra de somatrio de projees nulo segundo um eixo t que no seja perpendicular a OO', conforme indica a Fig. 1-18:

Fig. 1-17 ng. 1-18


De fato, se temos M o = O e Mo, = 0, isto quer dizer que a nica possibilidade do sistema de foras no estar em equilbrio seria a dele ser redutvel a uma resultante cuja linha de ao fosse 0 0 ' ; para amarrar o valor nulo dessa resultante, podemos empregar ou uma equao de somatrio de momentos nulo emrelao a uin ponto0': situado fora da reta OO', ou uma equao de somat6rio de projees nulo em relao a um eixo t que no seja perpendicular reta 00'. Sendo assim, as equaes do grupo (1.1 1) (referindo-se ao esquema da Fig. 1-17) e do grupo (1.12) (referindo-se ao da Fig. 1-18) podem, tambin, ser empregadas para reger o equilibrio dos sistemas de foras coplanares:

C Z M o = O Z M o = O EMO' = o (I. 12) ZMo,v = O Z T = O b) O caso de sistema de foras coplanares o mais frequente na Anlise

Estmtural, pois a grande maioria das estruturas que se nos apresentam so estruturas planas submetidas a carregamentos atuantes no seu prprio plano.

c) Abordaremos, agora, dois casos particulares dos sistemas de foras wplanares, que so o caso de todas as foras serem concorrentes num mesmo ponto 0 , conforme indica a Fig. 1-19, e o de todas as foras serem paralelas entre si, conforme indica a Fig. 1-20.

Fig. 1-19 Fig. 1-20

Para o caso da Fig. 1-19. em que todas as foras passam pelo ponto 0, a luao EMo = O perde, evidentemente, a expresso, transformando-se nu-

-ia identidade. Permanecem apenas, ento, as duas equaes de projees Z X = O e Z Y = O que regero, pois, o equilibrio de um sistema de foras ~p lanares e concorrentes num mesmo ponto (este ser o caso do estudo do equilbrio dos ns de uma trelia plana, conforme veremos no Cap. IV

:ste volume).

1 16 Curso de anlise esbutural Para o caso ,da Fig. 1-20, em que todas as forqas sao paralelas ao eixo

Oy, perde a e>tpresso a equao Z X = O que se transforma em mera identidade, permanecendo vlidas como equaes Z:Y = O e Z M o = 0, que regero o equilbrio de um sistema de foras paralelas e coplanares. A equao Z Y = O pode ser substituda por uma equao de somatrio de momenCos nulo em relao a um 2P ponto O', desde que a reta 00' no seja paralela direo das foras (pois, caso o fosse, restaria a possibilidade do sistema ser redutvel a unia resultante passando por esta reta). O caso de um sistema de foras paralelas no plano ocorre no estudo das vigas, que ser feito, em detalhe, no Cap. I1 deste volume.

I Resumindo:- um sistema de foras coplanares e concorrentes regido pelo grupo de equaes (L13), a seguir: I! L - um sistema de foras coplanares e paralelas 6 regido por um dos dois grupos de equaes (1.14 ou I.15), a partir do esquema da Fig. 1-20:

4 - GRAUS DE LIBERDADE. APOIOS. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE

4.1 - Graus de liberdade

J sabemos que a ao estitica de um sistema de foras no espao, em relao a um dado ponto, &.igual a de sua resultante e $ de seu momento resultante em relao quele ponto; provocando, a primeira, uma tendncia de translao e, o segundo, uma tendncia de rotao. Como, no espao, uma iranslao pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais e, uma rotao, como a resultante de trs rotaes, cada uma em torno de um desses eixos, dizemos que uma estrutura no espao possui um total de 6 graus de liberdade (3 translaes e 3 rotaes, segundo 3 caos triortogonais). * 6 evidente que- estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de

modo a evitar toda tendncia de movimento da estrutura, a fm de ser possi- vel seu equilbrio. Esta restrio dada por apoios, que devem impedir as diversas tendncias possveis de movimento, atravs do aparecimento de reaes destes apoios sobre a estrutura, nas direes dos movimentos que

Conceitos fundamenta* 17

5les impedem, isto , dos graus de liberdade que eles restringem. Estas reaes de apoio se oporo s cargas aplicadas a estrutura, formando este conjunto de cargas e reaes um sistema de foras em equllibrio, e regidas, portanto, pelos caupos de equaes deduzidos no item anterior, para os diversos tipos de sistemas de foras que podem ocorrer na prtica.

4.2 - Apoios

A funo dos apoios, conforme vimos em 4.1,B a de restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isto reaes nas direes dos movimentos impedidos. Eles sero classificados em funo do nmero de graus de liberdade permitidos (ou do nmero de movimentos impedidos), podendo ser, ento, de 6 tipos diferentes (isto , podendo permitir 5,4,3,2, 1 ou nenhum grau de liberdade). Os exemplos seguintes esclarecero.

a) Seja o apoio representado na Fig. 1-21, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O nico movimento que ela ser capaz de Unpedir a translao na direo vertical Oz, aparecendo com isto uma reao R, agindo sobre a estrutura, conforme indica a Fig. 1-21. O apoio ser dito, ento, um apoio com 5 graus de liberdade (ou w m I movimento impedido).

b) Seja, agora, o apoio aa Fig. 1-22. constitudo por trs esferas ligadas ?ntre si por trs hastes, de modo a ficar formado um conjunto rgido. Ficam


impedidas, no caso. alm da translao na direo i. as rotaes em torno dos eixos .v e y , O apoio ser dito, ento. um apoio com 3 graus de liberdade (que so. no caso, a rotao em torno do eixo Oi e as translaes nas direes dos eixos 0.i e Oj,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecero, agindo sobre a estrutura, as reaes M,, My e R, indicadas na figura.

C) O esquema da Fig. 1-23 representa a ligao rgida entre a estrutura e seu apoio, de dimenses to maiores que as da estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presena daquelas. Neste caso, o apoio impedir todos os movii~~eiitos possveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou coni todos os movin~entos impedidos). Correspondendo a cada um dos movimentos impedidos. aparecem, agindo sobre a estrutura, as reaes R,, Ry. R,, M,. M, e iZ1, indicadas na figura. Este tipo de apoio chamado engaste.

Fig. 1-23

4.2.1 - Estruturas planas carregadas no prprio plano. Para o caso das estruturas planas carregadas no prprio plano, que o

mais frequente da Anlise Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater, seno vejamos.

Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a Fig. 1-24, os graus de liberdade a combater so as

+

translaes nas direes Ox e Oy e a Fq rotao em torno de um eixo perpen- - dicular ao plano (no caso, Oz), pois L-- -- - -- estas so as iinicas tendncias de movi-

o mento capazes de serem produzidas

t'ig. 1-24 pelo sistema de foras indicado.


so os seguintes os apoios utilizveis para impedir estes movimentos:

a) Apoio do 1P gnero ou charrioi

. que Rei pel: .~..

1-25.1 1-25.2 1-25.3 Fig. 1-25

O apoio do 1P genero pode ser obtido por uma das duas formas represen- tadas nas Figs. 1-25.1 e 1-25.2; na primeira, temos a estratura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamen& na direo y, permitindo livre rotao em torno dele, assim como livre deslocamento na direo x ; na segunda, a rotao assegurada por um pino sem atrito e a translao, na direo x, pelos rolos diretamente em contato com o plano

: serve de apoio, continuando impedido o deslocamento na direo y. ?resentaremos esquematicamente, em nosso Curso, o apoio do 1P gnero a forma indicada na Fig. 1-25.3. Na direo do iinfco movimento impedido,

aparecer uma reao de apoio R, conforme indica 1-25.3.

b) Apoio do 2P gnero, articulao ou rtula

x Pino 4 V A v

Se, no apoio da Fig. 1-25.2, substituirmos os rolos por uma chapa presa completamente ao plano-suporte. conforme indica 1-26.1. estaremos impedin- do todas as translaes possveis, permanecendo livre apenas a rotao, assegurada pelo pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir todas as translaes possveis no plano, chamamos apoio do 2P gnero. Ele ser representado esquematicamente, em nosso Curso, por uma

20 Curro de anlise estrutural

das 2 formas indicadas em 1-26.2 e 1-26.3. Na direo das translaes impedidas, aparecero as reaes H e V indicadas na figura, cuja composio vetorial nos dar a reao de apoio resultante no apoio do ZP gnero.

Observao: No somos obrigados a decompor a reao de apoio resultante em direes ortogonais4, conforme fizemos na Fig. 1-26; podemos decomp-la em duas direes quaisquer (no-paralelas, evidentemente), a partir das quais obteremos a reao resultante. Escolheremos sempre o caminho que mais simplifique o clculo das reaes de apoio.

c) Apoio do 3P gnero ou engaste

4 Y Estrutura

Engaste _C H&

t v 1-27.1 1-27.2

Pig. 1-27

Se ancorarmos a estruma num bloco de dimenses que possam ser consideradas infmitas em presena das dimenses da estrutura, conforme indica a Fig. 1-27.1, na seo de contato entre ambos o bloco estar impe- d ido , por sua enorme rigidez, todos os movimentos possveis da estrutura e dizemos ento que ele engasta a estrutura. Um engaste ser representado, esquematicamente, da forma indicada em 1-27.2, aparecendo, na direo de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translaes e 1 rotao), as reaes de apoio H, V e M indicadas.

4.2.2 - Clculo das reaes de apoio Definidos os apoios, o clculo de suas reaes B imediato, pois elas so

foras (ou momentos) de ponto de aplicao e direo conhecidas e tais que equilibrem as cargas aplicadas estrutura. Sero calculadas, ento, a partir das equapes de equilbrio instituidas no item 3 deste capitulo. Os exemplos seguintes esclarecem.

%er explicao para esta observao no item 4.1 do Cap. iil.

I I Ex. I .Z - Calcular as reaes de apoio para a estrutura da Fig. 1-28.

Aplicando nos apoios do 29 gnero A e do 1P gnero D suas reaes, nas direes que j conhecemos, e arbitrando para elas um sentido, conforme indica a Fig. 1-29, teremos, a partir das equaes de equilbrio 1.10, que

:em o equilbrio de um sistema de foras coplanares:

A -

Fig. 1-29

Por EMA = 0: 8Vo + 8 - 6 X 4 - 4 X 6 = 0 :. VD = 5 t Por XY = O: VA + VD = 6 :. VA = I3 Por Z X = O: H* = 4t Os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para foras. Caso tivssemos encontrado algum sinal negativo, isto quereria dizer ie o mdulo da reao seria o encontrado, e o sentido correto o inverso do bitrado, no sendo necessrio refazer qualquer clculo.


Ex. L3 - Calcula1 as reaes de apoio no engaste A da estrutura espacial da Fie. 1-30. cujas bairas formam, em todos os ns, ngulos de 90".

k - 3 m 4 Fig. 1-30

Como um engaste impede todos os movimentos possveis, nele aparecero as reaes de apoio indicadas na Fig. 1-31, que sero calculadas a partir do grupo de equaes 1.6 que regem o equilibno de um s~stema de foras no espar Teremos:

Por XX = O : X A = I t Por I! Y = O: YA = -1 t Por X Z = O : ZA = -1 t Por Z M , = O : ( M x ) ~ + 2 X 4 - 4 X 3 + 5 X 3 - 3 X 4 = 0 .'.

.'. (M,)A = 1 mt Por ZM,, = O: - 1 X 4 + 5 X 2 = O :. ( M y ) ~ = -6 mt por XM, = O: @I,),, + I x 3 - 3 X 2 = 0 :. (MZ)a = 3 mt

nceims fundamentais 23

As reaes de apoio no engaste A so, entao, as indicadas na I'ig. 1-33.

Itk' I,, "Y A

Fig. 1-32

Ohselvaes: a) No exercitaremos mais profundamente, agora, o clculo das reaes de apoio porque este assunto ser retomado, ao longo de todo este volume, para cada um dos tipos estruturais que estudareinos.

b) Os apoios sZo os vnculos externos da estrutura, isto , seus vnculos em relao a seus suportes (solo o u outra estrutura). Podem existir. tambm. vnculos internos nas estruturas; preferimos no apresent-los j. a fim de no confundir o leitor principiante com um excesso de conceitos tiovos, deixando para defini-los nos prximos captulos, quando aparecero de Irma espontnea.

4.3 - Estaticidade e Estabilidade

Acabamos de ver que a funo dos apoios 6 limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Trs casos podem ento ocorrer:

a) Os apoios so em nmero estritamente necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura.

Neste caso. o nmero de reaes de apoio a determinar B igual ao nmero de equaes de equilbrio disponveis (isto : nmero de incgnitas = nmero de equaes), chegando-se a um sistema de equaes determinado que resolver o problema. (Foi o caso dos exemplos L2 e 1.3 anteriores.)

Diremos, ento, que a estmtura isosttica, ocorrendo uma situao de equilbrio estvel.

b) Os apoios sdo em nmero inferior ao necessrio para impedir todos os ~vimentos possveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equaes que incgnitas, che-

gando-se a um sistema de equaes impossvel, nos casos gerais. A estrutura ser dita hiposttica e ser, ento, instvel. (Pode ocorrer uma situao de carregamento tal que o prprio carregamento consiga impedir os graus de liherdade que os apoios no forem capazes de impedir; ser, entao, um

24 CUM de an&lise estrutural

caso de equilbrio, mas de equilbrio instvel, pois qualquer que seja a deformao imposta estrutura, ela tender a prosseguir at a Sua mim). As estrut~~ras hipostticas so, ento, inadmissveis para as construes.

c) Os apoios so em nmero superior ao necessrio para impedir todos os movimentos possveis da estrutura.

Neste caso, teremos menor nmero de equaes que de incgnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equaes univenais da Esttica no sero, ento, suficientes para a determinao das reaes de apoio, sendo necessrias equaes adicionais de compatibilidade de deformaes, conforme veremos no Vol. I1 deste Curso. A estrutura seri dita hiieresttica, continuando o equilibrio a ser estvel (alis, poderamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilibrio mais que estvel).

ObservaBes: a) A partir do exposto neste item, pode o leitor ser tentado a estabelecer o seguinte critrio para classificar uma estrutura (sem vnculos internos) como externamente5 isosttica, hiposttica ou hiperesttica: contar o nmero de apoios e ver se igual, menor ou maior que o nmero de graus de liberdade da estrutura. Este critrio 6 perfeito no caso das estruturas hipostticas, mas, no caso das estruturas isostticas e hiperestticas, fornece apenas uma condio necessria, mas no suficiente, conforme esclarecem os exemplos das Figs. 1-33 e 1-34.

No caso da estrutura plana da Fig. I 3 3 que, como tal, possui trs graus de liberdade, temos um apoio do 20 gnero e um apoio do l'? gnero, dando um total de trs reaes de apoio a determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isosttica, fato que no ocorre, entretanto, pois o apoio A impede translaes nas direes Ax e Ay e o apoio B translao tambm na

'A r z o desta palavra "externamente" ser vista quando estudarmos, no VOl. I1 deste Curso, a determinao do grau hiperesttico de uma estrutura


direo Ax. A rotao do sistema no est, pois, impedida e a estrutura , ento, hipostdtica (embora aparentemente isosttica).

Analogamente, a estrutura plana da Fig. 1-34 aparentemente hiperesttica, pois temos trs graus de liberdade para cinco reaes de apoio a

erminar. Entretanto, 6 fcil ver que nenhum dos apoios impede a islao na direo ABCDE; com isto, a estrutura hiposttica (embora rentemente hiperesttica). Portanto, para classificar uma estrutura (sem v i n d o s internos) como

externamente isosttica ou hiperesttica, no basta comparar o nmero de reaes de apoio a determinar com o de graus de liberdade da estrutura; 6 necessrio nos certificarmos tambm que os apoios restringem, de fato, ,dos os graus de liberdade da estrutura em questo (com isto 6 que oderemos afastar completamente a possibilidade da estrutura ser hiposttica). kte assunto ser retomado ao longo deste volume, no estudo dos diversos pos estruturais que sero abordados.

b) As estruturas isostticas sero estudadas neste volume, ficando o studo da Hiperesttica para os Vols. I1 e 111 deste Curso.

5 - ESFOROS SIMPLES

J vimos como um sistema de foras, atuando sobre um corpo, encontra seu equilfino atravs das reaes de apoio que provocam. Vejamos, agora, quais os efeitos estticos que estas cargas e reaes provocam em cada uma das sees do corpo.

Para tal, consideremos o corpo representado na Fig. 1-35, submetido ao Wnjunto de foras em equilibrio indicadas (no importa quais so as foras aplicadas e quais as reaes de apoio; importa, sim, que elas wnstituam

um todo em equilibrio). Seccionemos o corpo por um plano P, que o intercepta segundo uma seo S, dividindo-o nas duas partes @ e @ indicadas nas Figs. 1-36.1 e 1-36.2.

1-36.1 1-36.2 Pig. 1-36

Para ser possvel esta diviso, preservando o equilibrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seo S da parte 0, um sistema esttico equivalente ao das foras que ficaram na parte da direita -j que estas iiltimas podem ser encaradas como sendo as foras tais que equilibram as foras situadas na parte da esquerda, pois o conjunto de foras da esquerda e da direita est em equilbrio - e, analogamente, na seo S da parte @, um sistema esttico equivalente ao das foras situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estdticos equivalentes so obtidos, evidentemente, reduzindo as foras esquerda e direita da sego S a um ponto qualquer situado nesta seo S. Este ponto, pelas raz8es que ficaro claras quando do estudo da Resistncia dos Materiais, ser sempre o centro de gravidade G da seo.

Assim, teremos, reduzindo as forcas situadas na parte @ ao cyt ro de gravidade G da seo S da parte 0, o aparecimento da resultante R destas foras e de seu momento resultante ?I em relao ao ponto G. Reduzindo as foras situadas na parte @ ao c ~ t r o de gravidade G da se S da parte D, obteremos uma resultante R e um momento resultante de mesmo mdulo e sentidos opostos aos encontrados pela reduo &sfora+ situadas na parte @ ao ponto G, o que 6 evidente, pois, no I? caso, R

um sistema esttico equivalente s foras existentes na 20 caso, um sistema equivalente s foras existentes na

parte Q, que se equilibram, o mesmo acontecendo, ento, com os vetores R e indicados em 1-36.1 e 1-36.2.

-+ Resumindo, a resdtante R que atua na parte da esquerda foi obtida

pelas foras da dieita, e viee-vem; o momento resultante % que atna na parte da esquerda foi obtido pelas f o v da direita, e vicevena

Conceitos fundamaiais n

Podemos, ento, dizer que uma seo S de umzorpo+ern equilbrio est, em equilbrio, submetida a um par de foras R e (-R) e a um par de momentos % e (-m), aplicados no seu centro de gravidade e resultantes da reduo, a este centro de gravidade, das foras atuantes, respectivamente, esquerda e direita da seo S. Na Fig. 1-37 est feita esta representao, respeitando-se os sentidos indicados na Fig. 1-36, para um elemento do corpo de comprimento infhitesimal que contm a seo S como seo transversal Fig. 1-37

+ Faamos um estudo detalhado dos efeitos estticos provocados por R e na seo S. I

I

a s sen for dic vet

1-38.1 1-38.2 Pig. 1-36

-+ Decompondo os vetores R e % em duas componentes,uma perpendiculac eo S (tendo, portanto, a direo do eixo da barra, que representaremos npregor x) e outra situadgno prprio plano da sego S, ob+temos as as N (perpenAicular a S) e Q (pertencente a S) e osmomentos T (perpen- ular a S) e M (pertencente a S). Faamos a anlise de cada um desses ores, aos quais chamaremos esforas simples atuantes na seo S. (Observafo: Pelo exposto, vemos que 6 indiferente calcular os esforos

simples atuantes numa seo, entrando com as foras da parte A esquerda ou da parte direita da seo. Na prtica, usaremos as foras do lado que nos conduzir ao menor trabalho de clculo.)

a) 3 Repysentando duas seaes infmitamente prximas, a tendncia das

foras N ser a de promover uma variao da distncia que separa as sedes, manecendo as mesmas paraleias uma outra6, conforme indica a

6 O esiudo do valor desta vmiao de distancia feito na Resistncia dos Mate~iais. I

28 Curso de an8lise estrutural

Fig. 139.2, Por acarretar, ent, uma tendncia de movimento da sego normalmente mesma (que a direo do eixo), chamaremos a N de esforo normal atuante na seo. Podemos, ento, definir esforo normal atuante numa seo como sendo a soma algbrica das componentes, na direo normal h seo, de cada uma das foras atuantes de um dos lados desta seo, O esforo normal ser8 positivo quando de trao (isto , quando tender a afastar duas sees infiitamente prximas ou, em linguagem mais simples, quando estiver "saindo" da seo), sendo negativo em caso contrrio (caso da compresso).

ObservaZo: O sentido de esforo normal representado na Fig. 1-39 6 o positivo, isto 6, o de tno.

b) e Rep~sentando duas sees infiitamente prximas, a tendncia das duas

foras Q 6 a de promover um deslizamento relativo de uma em relao & outra, conforme indica+a Fig. 1-40.2, aparecendo, ento, uma tendncia de corte. Por esta razo, Q 6 chamada de esforo cortante.


NSo 6 usual, entretanto (por requerer uma soma vetorial), calcular diretamente o esforo cortante atuante na sego; preferimos calcular suas componentes Qy e Q, segundo 2 eixos ortogonais y e z arbitrrios, situados no plano da seo, conforme indica a Fig. 1-41, pois que, para efetuar tal cAlculo, basta efetuar uma soma algarica de projees, o que 6 bem mais cmodo que uma soma vetorial.

Assim sendo, podemos d e f i esforo cortante atuante numa seo, na direo de um eixo pertencente a esta seo, como sendo igual soma alg6brica das projees das foras situadas de um dos lados da seo segundo a dueo deste eixo. Orientando os eixos y e z nos sentidos arbitrrios indicados na Fig. 1-42 (o eixo x tem sempre a direo normal seo), diremos que um esforo cortante Q,, ou Q, 6 positivo quando, calculado pelas foras situadas do lado esquerdo da seo, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, o que d no mesmo, quando for caleuIado pelas foras situadas do lado direito da sego, tiver o sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrrio, diremos que o esforo cortante 6 negativo.

Defmmios, ento, esforo cortante atuante nnma se@o como sendo ignal r3 sana vetorial das componentes, sobre O piano da sepio, das foras situadas de um dos iados desta seo.

30 Cuim de analise estrutural

A razo desta coiiveno de sinais ficar clara no desenvolvimento dos demais captulos deste volunie, de modo que, por ora, no faremos maiores coineiitrios sobre ela.

()bsrn,o@o: Note o leitor que os sinais obtidos para os esforos cor- tatites e,. e Q, so fuiio das sentidos que arbitramos para os e ixos j e z. ~onhecidos Q,, e Q... O esforo cortante resultante na seo imediatamente obtido a do esquema da Fig. 1-41,

c) T Representando duas sees mfmita-

mente rbximas, a tendncia do mo-

&?

mento $ 6 a de promover umarotao relativa destas duas sees em torno de um eixo que hes perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade

- T (exo x, portanto). Podemos dizer, em

linguagem simplista, que o momento ? est torcendo a pea e ele 4, pois, denominado momento toror atuante

Fig. 143 na seo.

Defuimios, ento, momento toror atuante numa seo S como sendo a soma algbrica dos momentos das foras situadas de um dos lados desta seo em relao ao eixo nomal a seo que contm o seu centro de gravidade.

A conveno de sinais que adotaremos para o momento toror 6 inteiramente anloga i do esforo nomial. Diremos que um momento toror positivo quando o vetor de seta dupla que o representa est como que tracionando a seo em questo, sendo negativo em caso contrrio (no caso da Fig. 1-43, o momento toror indicado positivo).

d) X Reprzentando duas sees infinitamente prximas, a tendncia do mo-

mento M, conforme a regra da mo direita, a de provocar uma rotao da seo em torno de um eixo situado no seu prprio plano.

Como um momento pode ser substitudo por um binrio, vemos que O efeito de 2 pode ser assimilado ao do binrio indicado na Fig. 1-44.2, que provoca uma tendncia de alongamento em uma das partes da seo e uma tendncia de encurtamento na outra parte. A pea ficar ento fletida, sendo, por isto, denominado $de momento fletor.

~nceitos fundamentais 31

Fig. 144

Definimos, ento, como momento fletor atuante numa seo, soma vetonal das componentes, sobre o plano da seo, dos momentos de todas as foras situadas de um dos lados da seo em relao ao seu centro de gravidade.

No usual, entretanto, por requerer uma soma vetorial, calcular diretamente o momento fletor atuante numa seo; preferimos calcular suas componentes My e M, segundo ,2 eixos ortogonais arbitrrios (os mesmos idotados para o clculo de Qy e Q,) y e r , situados no plano da seo, :onfonne indica a Fig. 1-45. pois que, >ara tal clculo, basta efetuar uma z 1 soma algbrica de valores, ao invs de uma soma vetorial. Cgnhecidos My e M,, a obteno de M imediata, a partir do esquema da Fig. 1-45, Assim sendo, definimos momento fletor atn- ante numa seo, na direo de um eixo contm pertencente o seu centro a esta de seo gravidade, e que @Ly

como sendo a soma algbrica dos momentos das foras situadas de um Fig. 145 dos lados desta seo em relao a esse eixo.

Para o momento fletor, desejamos sempre conhecer que fibras esto tracionadas e que fibras esto comprimidas (para, no caso das vigas de concreto amado, por exemplo, sabemos de que lado devemos colocar as barras de ao, que so o elemento resistente trao). No ter, ento, sentido fsico algum estabelecemos uma conveno de sinais baseada em orientao dos eixos y e z, de modo que no agiremos desta forma, preferindo calcular o mdulo do momento fletor, acrescendo-o da infor- mao de que fibras ele traciona (para obter que fibras da seo esto tracionadas pelo momento em questo, basta substitui-lo por um binrio

de mesmo sentido que ele, ficando a parte tracionada defuiida pela fora do binrio que tiver o sentido de trao). Assim, para o caso da Fig. 1-45. o momento MI traciona as fibras do lado esquerdo da seo (em perspectiva, na Fig. 1-46.1, correspondendo as fibras da frente) e o momento My traciotia as fibras da parte superior, conforme se pode verificar pelo esquema I da Fie. 1-46.2.

(As setas, nas fmras, indicam o sentido em que as fibras da seo , tendem a se deformar.)

Resumindo, podemos dizer que, numa seo+atuam, no caso mais ger% quatro esforos simples: um esforo normal N, um esforo cortante Q (definido por suas componentes Q.,, e Qcsegundo 2 eixos ortogonais y e z per t enFes ao plano da seo), um momento toror 7 e um momento fletor M (definido por suas componentes My e Mr segundo estes mesmos eixos y e z). Estes esforos simples so obtidos pelas foras atuantes de um dos lados da seo, trabalhando-se, em geral, com aquele que conduzir ao menor trabalho de clnilo numrico.

EX. 1.4 - Obter os esforos simples atuantes na se@ S indicada p m a estrutura da Fig. 1-47, cujas barras formam, em todos OS ns, ngulos de 90"-

~nceitos fundamentais 33

I Entrando, no caso, com as foras situadas direita da seo (o que

muito mais simples, pois, se quisssemos entrar com as foras da esquerda, teramos que fazer o d a d o previ0 das reaes de apoio no engaste A), obtemos, reduzindo-as seo S, os esforos indicados na Fig. 1-48.

A partir do esquema da Fii. 1-48 temos, levando em conta as definies e conven6es de sinais dadas para esforos simples neste item, os esforos seguintes na sego S: .

Esforo normal: N = -2 t (comprime a seo) Esforos cortantes: Qy = -1 t (calculado pelas foras da direita tem o

mesmo sentido que o sentido positivo de OY)

Q, = , 4 t (calculado pelas foras da direita tem sentido oposto ao sentido positivo Oz)

Momento toror: T = -12 mt (o vetor de dupla seta est como que "comprimindo" a seo)

Momentos fletores: My = 8 mt, tracionando as fibras superiores M, = 8 mt, tracionando as fibras da frente.

Qbsewaes: a) A identificao das fibras tracionadas pelos momentos M, e M, 6 imediata a partir dos binrios equivalentes indicados na Fig. 1-49 tas fibras tracionadas esttio hachuradas).

1-49.1 Pig. M 9 i-49.2


b) Pela composio vetorial de Q, com Q, e de M." com M, podemas obter o esforo cortante Q e o momento resultante -fletbr M resultantes atuantes na seo, que so iguais a:

No d usual, entretanto, fazermos este clculo,pois trabal!Iamos diretamente com as componentes Qy, Q,, MY e M,, conforme se ver no Cap. V deste volume e no Vol. 11 deste Curso.

C) Recomendamos ao leitor, como exerccio, refazer o clculo destes esforos simples entrando com as foras do lado esquerdo (que so as reaes de apoio iio engaste). Chegar-se$, evidentemente, aos mesmos resultados.

d) Como os e ldos de esforos simples so feitos para o centro de gravidade das sees, representaremos daqui para a frente as estruturas compostas de barras pelo seu eixo (lugar geom6trico dos centros de gravidade das sees).

I/ 5.1 - Caso particular importante: estmturas planas carregadas no prprio I/ 1 plano Seja a estrutura representada na Fig. 1-50.1, que admite um plano P de

simetria, estando todas as cargas aplicadas nesse plano.

I Destacando o trao da estrutura neste plano de simetria P, que contkn

o eixo da estrutura, obtemos o esquema representado na Fig. 1-50.2, em que a linha tracejada representa o eixo da estrutura. Trata-se, ento,' de um sistema de foras coplanares, caso partinilar de um sistema de foras

Conceitos fundamentais I 35 1

no espao. Os esforos simples sao, ento, um caso particular do caso do 1 espao e teremos, chamandoxy ao plano da estrutura, os seguintes esforos

nulos: My = O, T = O (pois ambos seriam momentos das foras situadas 1 de um dos lados da seo em questo em relao a eixos situados no mesmo plano das foras, momentos estes nulos, conforme vimos em 2.2.13 -

observao a) e Q, = O (po~s no h carregamento na direo 2). Sobram, ento N, M, e Qy, que sero, respectivamente, o esforo normal, o momento fletor e o esforo cortante atuantes na seo em estudo. No

I caso da estrutura plana carregada no prprio plano, o momento M, se confunde com o momento resultante M das foras situadas de um dos lados da seo em relao ao seu centro de gravidade e 6 prefervel represent-lo por uma curva que indica seu sentido de rotao, conforme mostra a Fig.1-51, ao invds de um vetor de dupla seta, puis a curva pertence ao plano das cargas, ao passo que o vetor de dupla seta seria a ele perpendicular, o que nos obrigaria a representar uma terceira dimenso perpendinilar ao plano. O momento fletor ser defmido, como sempre, pelas fibras que est tracionando.

O esforo cortante Qy se confunde, tambm, com o esforo cortante iultante na seo (pois Q, = O) e represent-lo-emos, entzo, por Q. Sua nveno de sinais 6 a m e w a do caso do espao, mas, apenas para evitar grau de iiberdade na escolha da orientao dos eixos, orientaremos o :o y para cima7 (a direo x d sempre a do eixo da barra em estudo) e demos, ento, dizer que o esforo cortante positivo quando, calculado Ias fords da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas r p da direita, for voltado para baixo. Quanto ao esforo normal, nada h a acrescentar, valendo tudo que foi

dito no caso do espao tridimensional. Na Fig. 1-51, representamos os esforos simples M, N, Q, que podem

atuar numa seo S de uma estrutura plana. Notar que os esforos indicados como atuando na parte da direita (Fig. 1-51.2) foram calculados com as,

I I

"ver observaa h deste item.

36 Cursa de anlise esiruemutural

foras existentes na parte da esquerda e vice-versa. No caso da Fig. 1-51. os esforos cortante e normal indicados so positivos e o momento fletor traciona as fibras de baixo, conforme mostra o esquema da Fig. 1-52, em que substitumos MS por um binrio equivalente, indicado em pontilhado.

Pig. 1-52

Resumindo, podemos d e f ~ da maneira seguinte os esforos simples atuantes numa seo de uma estrutura plana, carregada em seu prprio plano:

- Esforo nonnal: L! a soma algbrica das proje6e.s das foras atuantes de um dos lados da seo na direo do eixo da estmtura (direo normal seo); - Esforo cortante: B a soma alg&rica das projees das foras atuantes

de um dos lados da seo na diieo perpendicular ao eixo da estrutura; - Momento fletor: a soma alg6brica dos momentos das foras atuantes

de um dos lados da seo em relao a seu centro de gravidade. As convenes de sinais para esforo nomal e esforo cortante j foram

explicadas anteriormente e o momento fletor deve ser acrescido da infor- mao de que fibras da seo ele traciona.

Observaes: a) Muitos autores, a de eliminar a necessidade de se escrever, com palavras, que fibras da seo o momento fletor traciona, adotam para ele a seguinte conveno de sinais:

Pontilhando um dos fados da estrutura, conforme indica a Fig. 1-53, diie- mos que o momento fletor positivo l - - - - - - l quando traciona as fibras do lado pontilhado, sendo negativo em caso 1 I mntririo. de se dizer, E atravs m forma, de um como sinal, se quais v, I I so as fibras tracionadas pelo momento fletor e que ns adotaremos tambm.

Fig. 1-53 No caso de todas as barras serem horizontais (caso das vigas, que estudaremos no Cap. 11) suporemos sempre

Concaitoa fundamentais 37

que o pontilhado esteja do iado de baixo, isto 6, suporemos positivo o momento fletor que tracionar as fibras inferiores da estmtnra.'

Para as estruturas espaciais, no 6 interessante a adoo desses pontilhados, pois, devido ao fato de existirem momentos fletores em 2 planos distintos, seramos obrigados a pontilhar 2 lados da estmtura, representao esta que, feita em perspectiva, poderia trazer o perigo de um entendimento errado no caso da perspectiva no ser suficientemente clara. Por esta razo d que, nas estmturas espaciais, preferimos dizer, com palavras, quais so as fibras tracionadas pelos momentos fletores.

b) Na furaffo da conveno de sinais de esforos cortantes, falamos em foras da esquerda, em foras da direita e em orientao do eixo perpendicular ao eixo da barra para cima. No caso de uma barra vertical, poderamos ficar em dvida quanto a esta classificao. Tal problema , no entanto, facilmente solucionvel, bastando que ns olhemos a barra por uma posio tal que ela fique horizontal (at6,no principio, caso o leitor tenha dificuldades, aconselhamos que ele gire o papel at6 tornar a barra horizontal), recaindo-se ento na situao de defuiio.

Seja, por exemplo, a estrutura da Fig. 1-54, submetida ao carregamento autoequilibrado indicado, para a qual desejamos determinar o esforo cortante em S. Olhando a barra na posio indicada pelo observador 0, a fora P, aplicada em A, se comporta como fora esquerda e o esforo cortante ser P, para baixo, e igual, portanto, a QS = -P (cortante para baixo pelas foras da esquerda negativo). Note o leitor que d inteiramente indiferente o lado pelo qual olhamos para a barra: se estivssemos oihando-a na posio do observador O', a. fora P aplicada em A seria uma fora direita e o cortante, para cima, calculado pelas foras A direita negativo, com o que obteramos o mesmo valor.

8 As razes para isto ficar0 claras a partu da d h s & dos iesultados daintegrao d=M equago diferencial

= -q, feita no Cap. ii deste volume. I ds


Coiicluindo. para fins de obteno de esforo cortante, devemos olhar cada uma das barras de uma posio tal que elas se comportem como horizontais, aplicando ento a conveno de sinais j definida

Ex. 1.5 Obter os esforos simples atuantes nas sees SI e S2 da estrutura da Fig. 1-55, submetida ao carregamento indicado.

I Conceitos fundamentais

Fig. 1-55

Para obtermos os esforos simples, necessitamos inicialmente calcular as reaes dk apoio, iudicadas na Fig. 1-55, A partir das equaes de equilbrio, temos:

Por Z M A = O : 9 X 2 + 9 X 6 - 9 V g = O : V g = B t Por Z Y = O : V , + V D = 9 . V, = I t Por ZX = O : H ~ = 9 t

(Os sinais positivos encontrados indicam que os sentidos arbitrados para as reaes na Fig. 1-55 esto corretos.)

Temos, ento:

a) seo SI Calculando pelas foras esquerda, temos o esquema indicado na

Fig. 1-56.1, a partir do qual, obtemos:

Ns, = -1 t (compresGo) Qsi = 0 MsI = + I R mt (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas so as do lado pontilhado, conforme indica a Fig. 1-56.2).

1x4 - 9x2=18mt 1-56.1 Pig. 1-56

lbservaffio: Os esforos poderiam tambm ser calculados pelas foras iireita, obtendo-se os mesmos valores, evidentemente, conforme indica ig. 1-57.

Fig. 1-57

:alculando pelas toras esquerda temos, conforme o esquema da 1-58:


Ex. 1.6 - Calcular os esforos simples atuantes na seo S da estmtura da Fig. 1-59.

+ 10m + Fig. 1-59

Estando a estrutura submetida a um carregamento autoequilibrado, as reaes de apoio so nulas (pois no 6 necessria fora adicional alguma para equilibrar o carregamento atuante) e os esforos simples na seo S, calculados pelas foras esquerda da sego valem, a partir do esquema da Fig. 1-60:

Fig. 1-60 \

(Os'sentidos dos esforos indicados na Fig. 1-60 esto corretos; os sinais so negativos em obedincia s nossas convenes de sinais.)

1 Conceitos fundamentais 41

6.1 - Cargas concentradas

Suponhamos uma roda de um caminho descarregando uma reao P sobre uma ponte, conforme simboliza a Fig. 1-61.

Esta reao P ser descarregada ao longo da rea de contato da roda com

1 a ponte, que bastante pequena (caracterizada por o ) , mas no nula. No haver, ento, a aplicao, rigorosa- mente falando, de uma carga concentrada P na estmtura; haver, sim, a aplicao de uma carga distribuda, mas segundo uma rea to pequena u a que podemos consider-la nula em Fig. 1-41 nresena das dimenses da estmtura.

As cargas concentradas a o , ento, uma forma aproximada de tratar rgas distribudas segundo reas to pequenas (em presena das dimenses

da estmtura), que podem ser consideradas nulas. Neste caso, o erro cometido, por esta razo, 6 absolutamente desprovido de significado e, portanto, inteiramente tolervel, tendo em vista a simplificao de trabaiho de clculo -"e ele possibilita.

6.2 - Cargas distnindas

Ate agora, s lidamos com cargas concentradas em nossos exemplos. Faamos, ento, um estudo das diferentes leis de distribuio de cargas que podem ocorrer na Anlise Estmtural.

g~shidaremos neste item a classificao das cargas apenas quanto B sua lei de distribuio. No estudaremos, por ora, a classificao das cargas quanto sua owirncia em relao ao tempo (cargas permanentes e cargas andentais), nem quanto forma com que carregam as estruturas (cargas diretas e cargas induetas); este estudo ser feito no Cap. VI deste volume.

Suponhamos que a estmtura 0, indicada na Fi. 1-62, supor4e o corpo @ indicado, cujo peso especifico 7'. Este peso introduzir, evidentemente, um carregamento na estmtura 0, carregamento este distribudo e contnuo,

ja taxa de distribuio vamos calcular.

Fig. 1-42


O volume do corpo que carrega um trecho de com rimento ds da estrutura 6 ~ d s , sendo s a rea da seo determinada em 6 C por um plano perpendicular ao eixo da estrutura. O peso deste volume ser: dP = ySds e a taxa de distribuio de carregamento q(s) ao longo do eixo da estrutura vale, ento, q(s) =% = yS, conforme indica a Fig. M3, variando ento proporcionalmente com a variao do valor da rea S.

Fig. 1 6 3

Os tipos mais usuais de cargas distribudas que ocorrem na prtica so as cargas uniformemente distribudas (S = constante) e as cargas triangulares (casos de empuxos de terra e de gua,principalmente), indicadas na Fig. 1-64.

M A 1 -Orna uniformemente distribuda u

-

164.2 - Carga triangular

Pig. 1-64

Com menor frequncia, ocorrem ainda carregamentos parab6licos e, em casos mais excepcionais, carregamentos de forma inteiramente aleat6ria. Os diversos tipos de cargas distribudas sero estudados, em detalhe, no Cap. I1 deste volume. Um problema, no entanto, precisa ser resolvido desde j: o da determinao da resultante de um carregamento distribudo em mdulo, direo e sentido, a fm de sermos capazes de calcular rea3es de apoio e esforos simples em estmturas submetidas a carregamentos distri- budos. Sua soluZo d simples, seno vejamos.

Como uma carga distribuda pode ser encarada wmo uma soma infinita de cargas concentradas infinitesimais, qds, conforme indica a Fig. 1-65, a resultante do car~egamento distripuido ser6 igual a:

R =[ qds,


ou seja, ser igual rea S2 Imitada entre a curva que detine a lei de variao do carregamento e o eixo da estmtura.

Fig. I45

Para obtermos a posio desta resultante, basta lembrarmos que, como ela 6 a fora tal que d capaz de substituir estaticamente o carregamento distribudo atuante, ela dever dar, em relao a qualquer ponto do espao, o mesmo momento que o dasforas da qual ela 6 resultante. Assim, chamando -.

s a distncia da resultante a um ponto gendrico 0, temos:

Momento da resultante = R: = X 1" qds B

Soma dos momentos das componentes =i (qds)s I" qsds Igualando, obtemos: 7 =

Pela expresso obtida para F, podemos encarar esta distncia como sendo a razo entre o momento esttico da rea C2 em relao ao eixo z e o valor C2 desta rea. Isto, a partir da defdo de centro de gravidade de uma rea C21, indica que S 6 a distncia do centro de gravidade da rea C2 ao eixo z e podemos escrever, ent%o, fmalmente, que a resultante de um carregamento distniuido igual i rea compreendida entre a linha que defuie este carregamento e o eixo da barra sobre a qual est aplicado, sendo seu ponto de apLicao o centro de gravidade da referida rea.

''ver em livros de Clailo Integral, Mecnica Racional ou Resistncia dos Materiais.

44 Curso de an8lise estrutural

Ex. 1.7 - Obter as reaes de apoio para a estrutura da Fig. 1-66.

G 6 m 4

Fig. 1-66

Para obter as reaes de apoio devemos, inicialmente, substituir as cargas distribudas por suas resultantes (que produzem os mesmos efeitos estticos que elas). Assim, temos, levando em conta as concluses obtidas para carregamento distribudo neste item, a partir do esquema da Fig. 1-67, as seguintes reaes de apoio:

Por Z M A = O : 6 V ~ t l X 2 - 4 X 2 - 6 X 4 = 0 :. V B = 5 t Por Z Y = O : V ~ = 6 - V a = l t Por X = O : H A = ~ - 1 = 3 t

(Os sinais positivos confirmam os sentidos arbitrados na Fig. 1-67,)


Ex. 1.8 - Obter os esforos simples atuantes na seo S da Fig. 1-66, Entrando, por exemplo, com as foras atuantes esquerda da seo e

ue se encontram indicadas na Fig. 1-68, obtemos, substituindo o carrega- lento distribudo atuante nesse trecho por sua resultante (que vale 2 t, i posio indicada):

Fig. 1-66

Note o leitor que, para fins de determinao dos esforos simples atuantes numa seo, devemos substituir por sua resultante, apenas, as cargas distribudas atuantes de um dos lados da seo.

Uma estrutura pode, alkn de estar solicitada por cargas-fora (concentradas e ou distribudas), estar solicitada por cargas-momento. As cargas- momento, cujo tratamento esttico no apresenta dificuldade adicional alguma, ocorrem mais raramente como carregamento realmente atuante na estrutura, mas tm importncia fundamental como ferramenta de resoiuxo das estruturas hiperestticas, conforme veremos nos volumes correspondentes de nosso Curso, de modo que dedica- M remos a elas a mxima nfase neste volume. Uma carga-momento , evi- 5 i dentemente, caracterizada pelo seu A t mdulo, direzo, sentido e ponto de aplicao, conforme exemplifica o caso da Fig. 1-69, ~ i g . 1-69

46 Curso de anslise estrutural

Ex. 1.9 - Obter as rea6es de apoio para a estrutura da Fig. 1-70.

41,5m& 3m A - 2 m 4 1 . 5 m J F Fig. 1-70

- 8 m d Pig. 1-71

Temos duas formas de encarar este problema.

A primeira consiste na utilizao pura e simples das equaes da Esttica, conduzindo, a partir do esquema da Fig. 1-71 aos seguintes resultados:

Por CMA=O: 8 V g t 7 - 3 - 8 = O : V B = 0 , 5 t Por C Y = O : V ~ = V ~ = 0 , 5 t Por C X = O : HA = O

A outra forma - muito mais elegante - de encarar o problema verificar que existe uma carga-momento resultante de (3 t 8 - 7) = 4mt , que s pode ser equilibrada por um binrio de sentido oposto, formado pelas reaes verticais, cujo% sentidos devem ser, ento, os indicados na Fig. 1-71 e cujos mdulos valem VA = V' = $ = 0,s t.

Observaes: a) Podem ocorrer, tambkn, cargas-momento distriiudas; esta ocorrncia , no entanto, rarssima na Anlise Estmtural das estruturas compostas por barras, cujo estudo estamos iniciando. No daremos, pois, nfase especial a tais cargas em nosso Curso (embora seu estudo no apresente dificuldade alguma, pois elas so regidas pelos memos princpios a que obedecem as demais).


b) Neste Cap. I, nosso objetivo foi o de apenas apresentar conceitos bsicos, limitando a exemplificao ao nmero mnimo necessrio boa compreenso destes conceitos, cuja sedimentao se far ao longo dos prximos captulos, onde os assuntos aqui introduzidos sero estudados, em detalhe, para os diversos tipos estruturais que ocorrem na prtica.

Seja a viga biapoiada da Fig. 11-1, submetida ao carregamento indicado. * x d

t 'A +s&

Fig. -1

Os esforos simples em S so dados por:

Derivando as expresses acima em relao abscissa s que define a seo, obtemos, levando em conta que

qdx = s- $ [ s i s ] :hs qdx *hs qdx = S ~ B ) + hs q d ;

Estudo das vigas irostticas 49

os valores:

Em resumo, temos:

val se dic

Demonstramos, ento, que a derivada do momento fletor atuante numa seo S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relao abscissa que defme esta seo igual ao esforo cortante nela atuante e que a derivada deste em relqo a esta abscissa 6 igual ao valor da taxa de carga aplicada na seo S com o sinal trocado. As igualdades (11.1) - '112) so as equaqoes fundamentais da Estdtica, pois nos permitem obter

esforos solicitantes nas diversas seoes da viga em funo do carrega- nto q(x) atuante. A partir de q(x) obteremos, ento, as funoes Ms e QS que nos do os ores dos momentos fletores e esforos cortantes atuantes em qualquer

I o da viga. Representando graficamente estas funes MS e QS perpen- I ularmente ao eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de

momentos fletores e de esforos cortantes atuantes, que iremos agora estudar para os diversos tipos de carregamentos que ocorrem na prtica.

Observaes:

1. A partir de 11.1, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seo S igual ao esforo cortante nela atuante.

2. A partir de 11.2, temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforos cortantes numa se5o S 6 igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seo com o sinal trocado.

50 Curso de anlise ertrutural Estudo das vigas isostticas 51

3. Adotandoae como positivo o carregamento distribudo de cima para baixo (o que usual), por integrao das equaes (11.1) e 01.2) obtemos que um esforo cortante positivo quando, calculado pelas forps da esquerda, der para cima (ou, quando calculado pelas foras da direita,der para baixo) e que um momento fletor positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga. Tais so as convenes de sinais que adotaremos, embora dispensemos a colocao do sinal no diagrama de momentos fletores, como pleonstico, pois que o desenharemos sempre do lado das fibras por ele tncionadas.

4. Uma observao importante, sob o ponto de vista conceitual, 6 que, aps carregada a viga, ela se deformar e os esforos esto sendo calculados para sua posio indeformada primitiva. Nosso estudo se baseia, ento, nesta simplificao (de preciso excelente, pois as deformaes das peas usuais so muito pequenas em presena. de suas diimenses, conforme veremos no Vol. I1 deste Curso) e a Esttica que estamos desenvolvendo , pois, a Esttica das pequenas deformaes.

2 - VIGAS BIAPOIADAS

2.1 - Carga concentrada

Seja a viga biapoiada da Fig. 112, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seo S.

I @ Fig. '-2

I - Pa b I I I

I I

Das equaes de equilibrio da Estgtica @Ma = O e riMg = O, por 1 exemplo), obtemos as equaes de apoio indicadas em 11-2. Passemos ao

traado dos diagramas solicitantes. Por fora de (11.1) e (ILZ), sabemos que, num trecho descarregado (q = O),

o diagrama de esforos cortantes ser uma reta horizontal (pois $ = -q) d2M I diagrama de momentos fletores uma reta (pois= = -q). Assim, no

cho AS, bem como no trecho BS, o diagrama de momentos fletores ser ~ ~ ~ i l n e o .

Como sabemos que em A e em B os momentos so nulos, bastar conhecer seu valor em S para termos defmido o diagramaM. Imediatamente, obtemos:

Pab Ms =- I .

Q sof nel

Quanto ao diagrama de esforos cortantes, ser dado no trecho AS por Pb

= + Va = - e, no trecho SB, por Q = - Vg = - Na seo S, ele i 1 ' rer uma descontinuidade igual a ($-+I) = P, valor da carga concentrada a aplicada, :

Obsemes: a) O diagrania M possui um ponto anguloso em S, o que dM era de se esperar, pois, a partir de (II.l), temos que (ds)seq = Qsesq

d M e (ds)Sdir = Qsdir e, no caso, Qsesq Z QSdir. Na seo S, nZo se define esforo cortante; ele 6 defmido esquerda e

direita da seo sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. Podemos a fmar ento que, sob uma carga concentrada, o diagrama de

momentos fletores apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforos cortantes apresenta uma descontinuidade igual ao d o r desta carga.

b) Calmlemos as integrais Qds. Temos:

B , 0 que evidente em face de 11.1.

Os valores acima ilustram a obteno do diagrama de momentos fletores a partir do diagrama de esforos cortantes.

1 A condi((*[ Qds = O permite a verificao do equilibrio da viga,

c) Caldemos os d o r e s de tg a e tg a. Pb Temos: tg a =- = Qea AS I

Pa tgp = --= Q ttechoSE

Os valores acima ilustram a obtenpo do diagrama de esforos cortantes a partir do diagrama de momentos fletores.

d) O caso de mais de uma carga concentrada seri resolvido de maneira inteiramente anloga ao caso de uma s6 carga concentrada, conforme esclareced o exemplo a seguir.

Ex. U.1 - Obter os diagramas solicitantes para a viga da Fig. 11-3.

Pi 11-3 u -1lt

Das equaes da Estitica, obtemos as reaBes de apoio:

tudo das vigas iiwothicar 53

As ordenadas necessrias determinao do d i a m a M so:

Os esforos cortantes vaiem:

Seja a viga biapoiada da Fig. 11-4, submetida a uma carga unifarmemente distribuda q.

' 54 Curso de anlise Wruiural

Sendo as reaes de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes esforos simples numa seo genrica S:

O diagrama de esforos cortantes seri uma linha reta, que fica determinada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = O e a x = 1, que ao : QA =$-e QB = -%. (Estes valores poderiam ser obtidos diieta- mente a partir das reaes de apoio.)

O diagrama de momentos fletores ser dado por uma parbolado 20 grau, I passando por zero em A e B e passando por um mxmio2em x =T (seo I onde Q = % = O), de valor Mm& = 4: (3 - +) = % . Para obteno dos valores de M numa seo gengrica, empregaremos a equao

sendo WR = E - 2 , (II.4) X

onde E =- I A funo W R , introduzida na Anlise Estrutural pelos autores alemes,

encontra-se tabelada na tabela I para sees nos 1/12 do vo.

Observaes: a) Temos Q& = O, o que veritica o equillbrio da viga. LB b) Sendo a taxa de carregamento constnte (grau zero), o diagrama de esforos cortantes 6 retilineo (grau um) e o de momentos fletores 6 parablico (grau 2), conforme ji sabiamos por (11.1) e (11.2).

Podemos afmar, ento, que, sob carga unifomemente diitribuda, o diagrama de momentos fletores parablico do 2P grau e o diagrama de esforos cortantes retilineo.

c) Apresentamos, na Fig.II-5, uma constnio geom6trica que nos d excelente preciso no traado do diagrama de momentos fletores.

Sendo MM, = q12/8, marcamos MIM2 = MM,. Dividimos os segmentos AM2 e BM, em 4 partes iguais; obtemos os pontos I, 11, III, I', 11', e IIP, que, ligadas alternadamente, nos do tangentes externas i parbola que 6 ento facilmente obtida. Se quisermos aumentar nossa preciso, dividimos AM2 e BM2 em 8, 16, ... partes ao invs de 4, repetindo o mesmo tipo de traado.

Estudo dar vigas irostatioas

Fig. 11-5

d) Um valor notivel no diagrama de momentos fletores o valor para as yBes com E = 0,25 e e = 0,75, que 6:

h usual, no caso de traado de diagramas de moment? fletores com I sgas uniformemente distribudas, cotar apenas o valor $

f ) Calculemos a inclinaeo do diagrama de esforos cortantes. ql rir

-- --

Temos tg a = = -q, conforme IL2.

1 2.3 - Carga tri@ Seja a viga biapoiada da Fig. II.6, submetida a uma carga triangular, de

taxa mxima igual a p, no apoio da direita. Sendo as reaes de apoio as indicadas na figura,temos os seguintes esforos simples numa seo genkrica S:

1 Ou, simplificando: I

56 Cursa de analise estruiural

O diagrama de esforos cortantes ser, ento, parabblico do 20 grau, com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = O), tendo seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (t V A ) e (-VB) e passando por zero para x = 1 ~ 3 3 = 0,577 1, conforme pode ser obtido imediatamente a partir de sua equao. Por ser uma meia parbola do segundo grau, podemos, para seu traado grfico, aproveitar o tipo de construo apresentado em 2.2.

Estudo das vigas isorticas 57

Para obteno dos valores de Q numa seo gengrica, empregaremos a equao Q =% U M ( 3 .5 ) sendo w ~ = 1 - 3 ~ 2 (II.6), tabelada na tabela I .

O diagramr de momentos fletores ser uma parbola do 30 grau, que passa por um mximo em x = 1 6 1 3 = 0,577 1 bois dM/ds = Q = O), de valor Mm& =g2 X 9 (1 - 7) = p12/9 \/3 = 0,064p12, e cnjos valores, numa seo genbrica, so dados por

P ) = M = - w D 6 01.6) ido w ~ = E - P (II.7), tabelado na tabela I.

Observaes:

a) Temos Qdx = O, o que verifica o equilibrio da viga. L" b) Sendo a taxa de carregamento uma funo linear (grau um), o diagrama de esforpi cortantes 6 parabdlico do 20 grau e o diagrama de momentos fletores

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