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CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo

www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf1

APRESENTAÇÃO

Prezados concurseiros(as),

Meu nome é Emerson Mazulo. Sou Mestre em Administração pela

Universidade Estácio de Sá. Atuo na Administração Pública Federal há mais de

10 anos exercendo funções como Gestor Financeiro, Gestor de Licitações e

Contratos e Gestor de Custos no âmbito do Ministério da Defesa. Já atuei como

professor universitário de Estatística, Matemática Financeira, Contabilidade

Geral, Contabilidade de Custos, Contabilidade Pública, Controle Interno,

Auditoria, Planejamento Tributário, Orçamento Público e Gestão Pública. Sou

Bacharel em Ciências Militares, ênfase em Administração pela Academia Militar

das Agulhas Negras (AMAN). Sou ex-aluno do Instituto Militar de Engenharia

(IME). Possuo Pós-graduação em Finanças Públicas pela Universidade Cândido

Mendes. Possuo MBA em Gestão Financeira, Controladoria e Auditoria pela

Fundação Getúlio Vargas (FGV). Possuo Pós-graduação em Logística pelo

Ministério da Defesa.

Aqui no Canal dos Concursos sou responsável pela produção de cursos

para os seguintes concursos:

- ICMS/SP;

- ICMS/RJ

- BNDES;

- AFC/STN;

- AFT;

- AFRFB.

Feita essa apresentação, vamos ao nosso curso.

O curso é destinado a detalhar o conteúdo de Raciocínio Lógico-

Quantitativo por meio da teoria e de questões da CESPE, que

tradicionalmente produz as provas da PRF, e outras bancas importantes

(CESGRANRIO, ESAF, FCC, FGV etc.), que possam nos auxiliar no

entendimento dos assuntos.

As aulas se iniciam com as resoluções das questões do assunto

específico e, ao final da aula, são listadas as questões, com gabarito,

permitindo a todos que testem seu desempenho, antes e/ou após a aula.

O curso será composto de 6 aulas (esta e mais 5) e será disponibilizado

com a seguinte divisão:



Aula 0 Demonstrativa – Resolução de

questões

Aula 1 Noções de Probabilidade

Aula 2 Noções de Estatística

Aula 3

Números inteiros, racionais e

reais. Problemas de contagem.

Sistema legal de Medidas. Razões

e proporções; divisão

proporcional. Regras de três

simples e composta.

Porcentagens. Raciocínio lógico:

problemas aritméticos.

Aula 4

Equações e inequações de 1º e 2º

graus. Sistemas lineares.

Funções. Gráficos.

Aula 5 Sequências numéricas. Progressão

aritmética e geométrica.

Nesta Aula Demonstrativa comento algumas questões recentes, para

que observem a didática e o nível de aprofundamento utilizado na resolução

das questões.

Ao final de cada aula, serão resolvidas questões das bancas atinentes à

matéria abordada em cada aula.

Aconselho que, após a aula, todos testem os conhecimentos obtidos com

os comentários. Para isso, ao final da aula estão as questões que foram objeto

de comentário e o gabarito.

Por fim, desejo sucesso a todos rumo à almejada aprovação.



Questões Comentadas

Texto para as questões de 1 e 2

Ficou pior para quem bebe

O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro

mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a

cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as

apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca,

eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000

CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve

subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses

resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN).



1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou

cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será

necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou

cassadas seja um número

A) inferior a 180.000.

B) superior a 180.000 e inferior a 200.000.

C) superior a 200.000 e inferior a 220.000.

D) superior a 220.000 e inferior a 240.000.

E) superior a 240.000.

Comentários:

Assunto: Média

A questão está interessada nas CNHs suspensas ou cassadas, dessa

forma vamos utilizar a 2ª coluna da tabela.

Observando a tabela, percebemos que, para o ano de 2008, os dados

vão de janeiro a junho, logo faltam os dados relativos aos meses de julho a

dezembro para abranger o ano de 2008 todo.

O enunciado pede qual deve ser esse valor que falta para obtermos uma

média de 170.000 CNHs suspensas ou cassadas.

A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e

dividindo pela quantidade de elementos.

A fórmula para cálculo da média para rol de dados é:

Como queremos que a média seja 170.000 temos que:

= 170.000



Vamos chamar de “y” o número de carteiras cassadas no ano de 2008.

Para descobrir o valor do somatório, em vez de somarmos os valores da

tabela, podemos fazer por subtração e excluir o valor de 2008.

Dessa forma:

Somatório = Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 +

Número de CNHs cassadas ou suspensas em 2008 (y)

Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 = 853.900 –

64.500 = 789.400

Com isso o Somatório é 789.400 (de 2003 a 2007) + y (2008)

Lembrando também que o número de dados é igual a 6. Ou seja:

n = 6

Substituindo temos:

170.000 =

⇒

789.400 + y = 170.000 x 6 ⇒

y = 1.020.000 – 789.400 ⇒

y = 230.600

Gabarito: Letra D



2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha

sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e

que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas.

Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de

CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é






Comentários:

Assunto: Interpretação de tabelas

A questão quer saber a diferença entre o número de CNHs suspensas e o

número de CNHs cassadas.

É fornecida a seguinte relação:

“Para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas.”

Chamando de S o número CNHs suspensas e de C o número CNHs

cassadas, temos a relação:

5S = 3C

Observando a tabela, temos que, para o ano de 2006, o número de

carteiras suspensas e cassadas é 98.800.

Ou seja:



S + C = 98.900

Com isso podemos montar o seguinte sistema:

Pela expressão temos que:

C =

Substituindo na 2ª expressão:

S +

= 98.800 ⇒

= 98.800 ⇒

S = 37.050

Substituindo na 1ª expressão temos:

C =

C = 61.750

Logo a diferença será:

C – S = 61.750 – 37.050 ⇒



C – S = 24.700

Gabarito: Letra B

3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012)

Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem

de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados

apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as

quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano?

(A) 9,08

(B) 10,92

(C) 12,60

(D) 21,68



(E) 24,80

Comentários:

Assunto: Gráficos

A questão nos fornece um gráfico e nos pede para calcular a diferença

entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano.

Observando os gráficos verificamos que:

a) o gráfico da produção está em milhões de toneladas por ano;

b) o gráfico da reciclagem está porcentagem da produção.

Como queremos a diferença entre as reciclagens entre China e EUA,

vamos calcular cada uma das quantidades recicladas.

Quantidade de lixo reclicado pelos EUA:

34% de 228 =

x 228 =

= 80,92

Quantidade de lixo reclicado pela China:

30% de 300 =

x 300 =

= 90

Subtraindo o maior valor pelo menos valor (para não obtermos valor

negativo) temos que:

Diferença = 90 – 80,92 = 9,08



Gabarito: Letra A

4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três

períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no

gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da

tarde.

(A) 450.

(B) 460.

(C) 470.

(D) 480.

Comentário:

Assunto: Gráficos



Analisando o gráfico, percebemos que existem valores absolutos e em

porcentagem.

Para iniciar a questão temos que ter em mente que o percentual total

sempre é 100%.

Dessa forma o somatório dos alunos da noite, tarde e manhã é 100% ou

1, pois correspondem à totalidade.

Os períodos da tarde e da manhã estão em porcentagem do total.

Chamando o total de alunos de “T”, temos:

300 + 40% T + 35% T = 100% T ⇒

300 +

T +

T =

T ⇒

300 + 0,4T + 0,35T = T ⇒

300 = T – 0,4T – 0,35T ⇒

300 = T – 0,75T ⇒

300 = 0,25T

T=

T = 1200

A questão quer saber quantos alunos frequentam o turno da tarde.

Logo:

Tarde = 40% T = 40% de 1200 =

x 1200 = 480



Gabarito: Letra D

5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de

preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de

uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o

comercializam.

Estabelecimento Preço

P 5,00

Q 8,00

R 6,00

S 6,00

T 4,00

U 7,00

A variância dessa amostra é

(A) 1,50

(B) 1,75

(C) 2,00

(D) 2,25

(E) 2,50

Comentários:

Assunto: Medidas de Dispersão

Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está

sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem

quanto ao denominador.

A fórmula para cálculo da variância amostral é:



Onde:

= cada uma das observações registradas

= média da amostra

= número de observações

A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o

valor de n, que é a quantidade de dados.

Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7.

Então só nos falta calcular a média.




Substituindo os dados na fórmula temos:

=

⇒

=

⇒

= 6

Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância

amostral.

Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos:



⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Gabarito: Letra C

Considere os dados a seguir para responder à questão 6.

Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua,

registram-se os seguintes números de moradores em cada uma:

Casa A Casa B Casa C Casa D Casa E

3 6 2 7 2

6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é

(A) 5,8

(B) 5,5

(C) 5,1



(D) 4,8

(E) 4,4

Comentários:

Assunto: Medidas de Dispersão

Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está

sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem

quanto ao denominador.

A fórmula para cálculo da variância amostral é:

Onde:

= cada uma das observações registradas

= média da amostra

= número de observações

A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o

valor de n, que é a quantidade de dados.

Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7.

Então só nos falta calcular a média.




Substituindo os dados na fórmula temos:



=

⇒

=

⇒

= 4

Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância

amostral.

Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Gabarito: Letra B



7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas

dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do

sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas

obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5.

Quantos homens foram aprovados nesse concurso?

(A) 52

(B) 54

(C) 56

(D) 58

(E) 62

Comentários:

Assunto: Média Aritmética

A média, para um rol de dados, é obtida através da fórmula:

Onde:

Σ = somatório

Xi = valores observados

n = total das frequências (observações)

A questão nos informa que:

a) média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi

6,08, ou seja:



= 6,08

Fazendo:

h = número de homens

m = número de mulheres

Temos que:

h + m = 110

b) a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto

a média das mulheres foi 5,5, ou seja:

= 6,6

= 5,5

Pela definição temos que:

e

Sabemos também que:

=

= 6,08 ⇒



= 6,08 ⇒

= 6,08 x 110 ⇒

= 668,80 (1ª expressão)

Sabemos também que:

= 6,6 ⇒

= 6,6h

e

= 5,5 ⇒

= 5,5m

Substituindo os dados na 1ª expressão temos:

= 668,80 ⇒

6,6h + 5,5m = 668,80 (2ª expressão)

Sabemos que:

h + m = 110 ⇒

m = 110 - h



Substituindo na 2ª expressão temos:

6,6h + 5,5 (110 - h) = 668,8 ⇒

6,6h + 605 - 5,5h = 668,8 ⇒

1,1h = 668,8 - 605 ⇒

1,1h = 63,8 ⇒

h =

⇒

h = 58

Gabarito: Letra D

8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4

números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma

por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro

números, a média aritmética aumentará de quantas unidades?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5



Comentários:

Assunto: Propriedades da Média

A questão trata de uma das propriedades da média.

As propriedades são:

I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável

(X) por uma constante (k), a sua MÉDIA fica MULTIPLICADA OU DIVIDIDA

pela constante.

II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os

valores de uma variável (X), a sua MÉDIA fica ACRESCIDA OU DIMINUÍDA

dessa constante.

Cabe destacar que, embora não sejam objeto desta aula, as

propriedades da variância, que é uma medida de dispersão.

I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua VARIÂNCIA fica multiplicada ou dividida

pelo QUADRADO da constante.

II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os

valores de uma variável (X), a sua VARIÂNCIA fica INALTERADA, pois a

variância de uma constante é igual a zero.

Dessa forma, concluímos que se adicionarmos uma unidade, ou seja,

somarmos 1, a média aritmética também fica acrescida em uma unidade.

Gabarito: Letra A



9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de

cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil

passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...)

Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de

visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010)

Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem,

Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está

entre

(A) 100 e 500

(B) 500 e 900

(C) 900 e 1.300

(D) 1.300 e 1.700

(E) 1.700 e 2.100

Comentários:

Assunto: Média

A questão nos fornece várias informações, porém devemos nos ater ao

que é pedido.

O enunciado pede o número médio de visitantes por cruzeiro em Búzios.

São fornecidas as seguintes informações:

“Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de

visitantes a bordo de 254 cruzeiros.”

Ou seja:

Número de visitantes = 500.000

Número de cruzeiros = 254



Dessa forma, podemos obter o número médio de habitantes por cruzeiro

dividindo o número de visitantes pelo número de cruzeiros.

Logo:

Média =

⇒

Média = 1968,5

Gabarito: Letra E



QUESTÕES COMENTADAS

Texto para as questões de 1 e 2

Ficou pior para quem bebe

O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de

aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de

CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões

subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram

suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs

por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir

para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados

nos últimos anos (fonte: DENATRAN).



1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou

cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será

necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou

cassadas seja um número






2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha

sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e

que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas.

Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de

CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é








3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012)

Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem

de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados

apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as

quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano?

(A) 9,08

(B) 10,92

(C) 12,60

(D) 21,68

(E) 24,80



4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três

períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no

gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da

tarde.

(A) 450.

(B) 460.

(C) 470.

(D) 480.

5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de

preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de

uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o

comercializam.

Estabelecimento Preço

P 5,00

Q 8,00

R 6,00

S 6,00

T 4,00

U 7,00



A variância dessa amostra é

(A) 1,50

(B) 1,75

(C) 2,00

(D) 2,25

(E) 2,50

Considere os dados a seguir para responder à questão 6.

Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua,

registram-se os seguintes números de moradores em cada uma:

Casa A Casa B Casa C Casa D Casa E

3 6 2 7 2

6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é

(A) 5,8

(B) 5,5

(C) 5,1

(D) 4,8

(E) 4,4



7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas

dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do

sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas

obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5.

Quantos homens foram aprovados nesse concurso?

(A) 52

(B) 54

(C) 56

(D) 58

(E) 62

8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4

números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma

por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro

números, a média aritmética aumentará de quantas unidades?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5



9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de

cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil

passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...)

Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de

visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010)

Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem,

Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está

entre

(A) 100 e 500

(B) 500 e 900

(C) 900 e 1.300

(D) 1.300 e 1.700

(E) 1.700 e 2.100



GABARITO

01 - D 02 - B 03 - A 04 - D 05 - C

06 - B 07 - D 08 - A 09 - E

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Education

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