Voc j ouviu falar em Stomachion? No, esta palavra no est ligada a qualquer rgodigestivo, embora tenha a mesma raiz que a palavra grega para estmago. Queira acreditar ou no, este o nome de um dos mais antigos quebra-cabeas geomtricos do mundo, que foi inventado porArquimedes. Vamos conhecer a sua histria?

Esttua de Arquimedes

A informao que se tem sobre este quebra-cabeas chegou atravs de dois manuscritos muito incompletos (copiados de manuscritos anteriores que se perderam), mas que permitem constru-lo e observar algumas das suas caractersticas. Um deles uma traduo do rabe, e o outro um manuscrito grego datado do sculo 10, descoberto emConstantinoplaem 1899. No se sabe se Arquimedes inventou o jogo ou simplesmente explorou os seus aspectos geomtricos, mas tudo indica que ele fez um estudo bastante completo do quebra-cabeas, mas esse estudo no sobreviveu aos muitos sculos de guerras, pilhagens e destruies.

O jogo

O jogo constitudo por um conjunto de 14 peas planas (originalmente confeccionadas em marfim) de vrias formas poligonais, que formam um quadrado. O objetivo do jogo rearranjar as peas formando coisas interessantes, como animais, objetos, etc, com duas caractersticas fundamentais:

As peas podem unir-se, formando um quadrado;

A rea de cada pea comensurvel com a rea do quadrado original (constitudo pelas 14 peas). O que significa comensurvel? Significa que o quociente entre a rea de cada pea e a rea do quadrado total um nmero racional.

Construindo o jogo muito fcil construir o quebra-cabeas se partirmos de um quadrado de lado igual a 12 unidades. Comeamos por traar o quadrado sobre um papel quadriculado, tomando como unidade um quadrado do papel quadriculado. O quadrado resultante ter rea igual a 144 unidades. Em seguida marcamos os pontos indicados na figura B ao lado e unimos esses pontos, obtemos 14 figuras poligonais, que constituem o Stomachion.

O manuscrito rabe contm clculos das reas das peas do Stomachion, mostrando que as reas de todas as peas so comensurveis com a rea do quadrado original, obedecendo as seguintes razes:

* 1:48 (2 peas de rea 3)

* 1:24 (4 peas de rea 6)

* 1:16 (1 pea de rea 9)

* 1:12 (5 peas de rea 12)

* 7:48 (1 pea de rea 21)

* 1:16 (1 pea de rea 24)

A determinao da rea de cada figura fcil se atendermos ao seguinte resultado conhecido como Teorema de Pick: "A rea de uma figura cujos vrtices so vrtices de uma quadrcula (quadrado que compe a figura poligonal) regular (geoplano) igual ao nmero de vrtices da quadrcula que se encontram no interior da figura mais metade do nmero de vrtices que se encontram sobre a linha limite da figura a que se retira uma unidade".

Este teorema foi descoberto pela primeira vez pelo matemtico Georg Alexander Pick em 1899. Pick nasceu em Viena de ustria em 1859 e morreu durante a Segunda Grande Guerra em 1943, no campo de concentrao de Theresienstadt. O teorema de Pick s vlido para figuras simples, isto , para figuras em que os lados no se intersectem a no ser, eventualmente, nos vrtices. O teorema usado, por exemplo, na indstria florestal, para determinar a rea de uma regio em funo do nmero de rvores (regularmente espaadas).

rea das peas do Stomachion

O Teorema de Pick resume-se seguinte frmula:

rea de cada pea= f/2 + i 1, ondef o nmero de vrtices da quadrcula na fronteira, isto , na linha que delimita a pea e,io nmero de vrtices da quadrcula no interior da pea. Usando este teorema, fcil provar que no Stomachion h 2 peas de rea 3, 4 peas de rea 6, 1 pea de rea 9, 5 peas de rea 12, 1 peas de rea 21 e uma pea de rea 24. Como a rea do quadrado formado por todas as peas 144, a razo entre a rea de cada figura e a rea do quadrado , respectivamente, 1/48, 1/24, 1/16, 1/12, 7/48 e 1/6.

Na Literatura antiga aparecem vrias referncias ao Stomachion. Marius Victorinus (sc. IV) e Atilius Fortunatus (sc. VI) chamaram o Stomachin de loculus Archimedius (caixa de Arquimedes). Num manuscrito do poeta e estadista romano Ausonius (sc IV), o Stomachion comparado como uma forma depoesiaem que vrias mtricas so misturadas. Nesse manuscrito, aparece a seguinte forma que se pode dar s peas do Stomachion e que aparenta ser um elefante:

Vrios problemas interessantes podem ser associados s peas do Stomachion. Alm disso, pode-se procurar outras figuras sugestivas que se possam formar com as suas peas. Por exemplo: agrupar as peas do Stomachion de modo que as reas (divididas pelo fator 3) dos novos fragmentos obtidos sejam representadas por:

- trs nmeros inteiros iguais;

- trs nmeros inteiros consecutivos;

- pelos oito primeiros nmeros inteiros e pelo nmero 12.

Stomachion em aoA rea dos polgonos da figuraAao lado fcil de se calcular. Mas e o da figuraB? Para calcular a rea deste polgono pode aplicar-se o teorema de Pick:

A= f/2 + i-1

A=10/2 + 6-1

A=10 (decompondo o polgono em quadrados e tringulos, tambm se verifica que a rea 10.)

O quebra-cabea de Arquimedes

Pergaminhos revelam trabalho indito do grego em anlise combinatria

Como se no bastasse ter sido o descobridor de leis da fsica, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) agora apontado tambm como o possvel inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.

De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de gua de igual valor. Alm disso, seu corpo imerso sofria a ao de uma fora vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da gua que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gnio teria sado nu s ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego), palavra que inspirou esta seo de GALILEU.

Arquimedes tambm deixou para a humanidade os benefcios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenes de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemtico, o grego famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o clculo do nmero "pi" e a medio de reas de figuras geomtricas.

S que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemtica Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califrnia, afirma que Arquimedes foi tambm pioneiro em anlise combinatria, rea que s ganhou mais incentivo e aplicao com os computadores, no sculo 20. Os matemticos desse ramo procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribudos mesa, e qual a melhor distribuio de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mos de vrios povos da Idade Mdia, desaparecer vrias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever oraes, sumir de novo e sofrer a ao de mofos, foram reencontrados e analisados nos ltimos anos por cientistas, matemticos e especialistas em grego. Com o auxlio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrio do trabalho de Arquimedes) de rudos (oraes escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou concluso que o grego deixou um trabalho indito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabea que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo , depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaos para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chins de 7 peas.

Os especialistas no compreendiam como um gnio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianas. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peas podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa uma questo para os especialistas em anlise combinatria responderem. E eles podem recorrer ajuda de computadores. Netz props o problema para matemticos atuais da rea de combinatria e eles, depois de seis semanas, concluram que a resposta 17.152.

Na verdade, no se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou resposta correta do nmero de arranjos possveis para a formao do quadrado. Mas na opinio de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma soluo. E isso h 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relaes geomtricas e inventava mquinas. Ele s no se preocupou em proteger sua prpria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invaso de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equaes matemticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Siclia. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Como o Stomachion

O passatempo que fez Arquimedes gastar seu tempo um quadrado dividido em 14 partes irregularesO desafio do brinquedo embaralhar as peas e depois junt-las novamente para formar um quadrado. Pode-se tambm tentar montar figuras parecidas com objetos ou animais. Um exemplo o esboo do elefante

INCLUDEPICTURE "http://galileu.globo.com/edic/151/imagens/eureca04.jpg" \* MERGEFORMATINET > Junte trs das peas abaixo (sem gir-las) para formar um tringulo que se encaixe noespao vazio direita